Модели управления внутрифирменным обучением персонала в организационных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Харитонов Игорь Андреевич

• Харитонов Игорь Андреевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Харитонов Игорь Андреевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Математический аппарат и методология исследования

1.1 Предметная постановка задачи

1.2 Математическая постановка задачи

1.3 Общая схема исследования

2. Применение методов линейного программирования для 28 решения задачи управления обучением персонала

2.1. Линейное программирование: необходимость и возможности

2.2. Модели линейного программирования при управлении обучением 31 персонала

2.3. Ограничения линейного подхода

3. Применение методов динамического программирования для 48 решения задачи управления обучением персонала

3.1. Динамическое программирование: необходимость и возможности

3.2. Модели динамического программирования

3.3. Выводы по использованию динамического программирования

4. Теоретико-графовые средства решения задачи управления 67 обучением персонала

4.1. Теория графов: необходимость и возможности

4.2. Теоретико-графовые модели управления обучением персонала

4.3. Выводы по использованию теории графов

5. Имитационное моделирование управления обучением 85 персонала

5.1. Имитационное моделирование: необходимость и возможности

5.2. Постановка задачи имитационного моделирования

5.3. Примеры работы алгоритма

5.4. Выводы по использованию имитационного моделирования

Технология решения задачи управления обучением персонала

Заключение

Литература

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели управления внутрифирменным обучением персонала в организационных системах»

ВВЕДЕНИЕ

Теория расписаний —это раздел дискретной математики, появившийся в 1950-х годах как ответ на запросы производства, нуждающегося в оптимальном способе выполнения работы станками. С тех самых пор теория расписаний позволяет правильно (в математическом смысле) распределять рабочее время и ресурсы, составляя так называемые расписания для выполняемых задач.

В 1950-х годах своей работой "Mathematical aspects of scheduling theory" Беллман Р.Э1 [101] подвёл итог того, что было исследовано в теории расписаний до 1956 года, что дало основу для дальнейшего развития, так как систематизация полученных результатов приносит не меньше пользы, чем сами исследования. Также Беллман и Джонсон С.М2 [103] рассмотрели задачи о двух станках, что дало понять наличие проблемы распределения ресурсов при последовательной обработке и показало, что уже стали появляться первые способы её решения.

Причём способ Джонсона оказался настолько хорош, что его до сих пор используют как минимум для сравнения с новыми алгоритмами, а иногда и как основу для решения задач.

В своей обзорной работе [49] Левин В.И.3 в 2005 году показал, что исследования в данной области были весьма успешными в период с 1950-х годов. Он отмечает как минимум четыре направления, по которым происходило развитие. На данный момент, когда основной математический аппарат разработан, ученые делают акцент на разностороннем практическом

1Ричард Эрнест Беллман (англ. Richard Ernest Bellman; 26 августа 1920, Нью-Йорк, США — 19 марта 1984, Лос-Анджелес, США), Известные работы: Введение в неравенства — 1961г, Прикладные задачи динамического программирования — 1962г, Динамическое программирование и уравнения в частных производных — 1974г, Математические методы в медицине — 1987. В 1979 году был награждён медалью почёта IEEE «за вклад в теорию процессов принятия решений и теорию управления системами, особенно за создание и применение динамического программирования».

2Селмер Мартин Джонсон (21 мая 1916 - 26 июня 1996). Известные результаты: Впервые им были применены методы разрезающей плоскости, заложил основу решения проблемы планирования поточного цеха, разработал алгоритм Форда-Джонсона, Алгоритм Джонсона, схему Штайнхауса-Джонсона-Троттера.

3Виталий Ильич Левин (17 мая 1936, Одесса) — советский и российский математик, специалист в области теории автоматов и системного анализа, инженер, историк. Основные научные результаты включают в себя: Применение непрерывной логики к исследованию структурно-сложных информационных и управляющих систем, разработка новых асимптотических методов расчёта надёжности дискретных автоматов, Создание аналитической динамики дискретных автоматов.

применении имеющихся инструментов. Если раньше в основном работы посвящались станкам и заводам (даже была разработана нотация Грэхэма4 [102], позволяющая кодировать различные постановки задач, которые различались тем, как была устроена работа, как работали станки, сколько их было и.т.д. ), то сейчас множество статей рассказывают о том, как можно применять теорию расписаний вне заводов. В качестве примеров можно привести статьи, посвященные работе в кинотеатрах [18], пожарных частях [12] и.т.д. По данным открытой онлайн-библиотеки «Киберленинка» (cyberleninka.ru) за каждые 5 лет, начиная с 2000 года, выходило как минимум по 100 статей на русском языке (не считая опубликованные секционные и пленарные доклады, которые можно найти, например, на сайте Гугл Академии (scholar.google.ru) по поисковому запросу «Теория расписаний»).

Математику принято делить на дискретную и непрерывную [91]. К непрерывной математике можно отнести все те теории и идеи, которое включают в себя понятия о пределах или о непрерывности как таковой. Дискретная математика, в свою очередь, изучает свойства структур конечного характера или бесконечных, но с возможностью отделять составляющие их элементы.

Дискретная математика ещё с древнейших времен помогала людям решать различные комбинаторно-логические задачи в тех ситуациях, когда не получалось вывести какой-то общий алгоритм решения и приходилось перебирать комбинации вариантов и как-то их логически анализировать. До нас такие задачи дошли уже в качестве занимательных. В качестве простого и всем известного примера можно привести задачу о переправе. Проблема перевозки козы, капусты и волка впервые была описана в труде Propositiones

4Рональд Льюис Грэм (Грэхэм, англ. Ronald Lewis Graham; 31 октября 1935 — 6 июля 2020), основными научными результатами можно считать его рассмотрение теории Рамсея и нахождении настолько большего числа которое является решением что это число назвали в его честь, Собрание более 200 задач Эрдёша в области теории графов, создание гипотезы Эрдёша-Грэма, Алгоритм Грэхема.

ad Acuendos Juvenes за авторством англо-саксонского учёного Алкуина5, вышедшем в 804 году, там же была схожая задача о ревнивых мужьях.

Следует подчеркнуть, что деление математики на «непрерывную» и «дискретную» весьма условно, т.к. вся математика едина и пронизана глубокими аналогиями. Сходные идеи и конструкции одинаково успешно работают в различных ее разделах. С одной стороны, происходит обмен идеями и методами между ними, а с другой - часто возникает необходимость исследования моделей, обладающих как дискретными, так и непрерывными свойствами одновременно. Например, аппарат теории множеств и теории графов используется при изучении не только дискретных, но и непрерывных объектов. Математика, изучающая количественный аспект материальной действительности, отражает противоречивость реального мира. Непрерывность и однородность пространства — это предпосылки возникновения континуальных разделов математики, а разрывность и неоднородность — дискретных разделов. В то же время единство мира, тесная связь его непрерывных и дискретных свойств являются основанием единства математики. Однако характер объектов, исследуемых дискретной математикой, настолько своеобразен, что методов классической математики не всегда достаточно для их изучения. Поэтому те специфические методы, которые применяются для очень широкого класса конечных дискретных объектов, и были объединены в общее направление — дискретную математику. Изучение элементов дискретной математики является существенной и неотъемлемой частью общематематического образования на всех его этапах и для всех обучаемых [91].

В настоящий момент к дискретной математике относят в основном те направления, которые тем или иным образом связаны с цифровыми технологиями, а именно: теория кодирования, теория сетевых графов, теория

5Алкуин (лат. Л1ошпш[4], также Л1Ьшш; около 735[1]—19 мая 804[2]) — англо-саксонский учёный, основные результаты его деятельности: инициатива ревизии латинского перевода библии (вклад был настолько оценен что эту версию библии так и называли «Библия Алкуина»), более 3 сотен поучительных стихотворений а так же загадки., различные учебники такие как искусство грамматики и Словопрение высокороднейшего юноши Пипина с Альбином Схоластиком.

автоматов и алгоритмов и многие другие. Непосредственно термин "дискретная математика" появился относительно недавно, в советских энциклопедиях только в 1969 году [91]. До этого момента не было отделения дискретной математики от конечной математики.

Работы Эйлера Л6. и Бернулли Д.7 дали начало нового этапа развития дискретной математики. Эйлер опубликовал исследования на тему комбинаторного анализа, а Бернулли занимался развитием теории графов.Этот этап относится к 17-му веку.

В 19-м веке свой вклад в развитие дискретной математики внесли такие видные ученые, как Лагранж Ж. Л.8 с его работами, посвященными теории чисел, Кэли А.9, написавший более семисот работ, из-за чего его можно назвать одним из самых плодовитых ученых 19-го века, в частности, доказавший теорему о числе деревьев, профессор математики Джордж Буль10, которого называют одним из основателей математической логики, и Камиль Жордан11, работавший в направлении «Теория групп».

Наряду с использованием дискретных математических методов для решения аналитических и прикладных задач в гуманитарных и естественнонаучных дисциплинах, важным аспектом их применения является также формирование методологических и языковых навыков,

6Леонард Эйлер (нем. Leonhard Euler; 15 апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя). Основные научные результаты нет возможности выделить так как он является автором более чем 850 работ по таким темам как: Математический анализ, Дифференциальная геометрия, Теория чисел, Приближенные вычисления, Небесная механика, Математическая физика, Оптика, Баллистика, Кораблестроение, Теория музыки, Медицина, Химия, Ботаника, Воздухоплавание и множество древних языков. Но в качестве математика можно выделить формулу которую так и стали называть — Формула Эйлера.

7Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782) — швейцарский физик, механик и математик, основные научные результаты заключаются в: Труде «математические этюды», фундаментальный труд «Гидродинамика» в котором был описан «Закон Бернулли», Серия работ по колебаниям струн. За его научные результаты его считают основателем математической физики наряду с Даламбером и Эйлером.

8Жозеф Луи Лагранж (фр. Joseph Louis Lagrange; 25 января 1736, Турин — 10 апреля 1813, Париж) — французский математик, астроном и механик итальянского происхождения, один из крупнейших математиков 18 века. Автор трактата «Аналитическая механика», Один из первых описавших вариационную задачу (первый кто это сделал в общем виде), Точек Лагранжа ( в работе о либрации Луны), Теории движения спутников, Формулы конечных приращений итд.

9Артур Кэли (или Кейли, англ. ArthurCayley; 16 августа 1821, Ричмонд — 26 января 1895, Кембридж) — английский математик, профессор Кембриджского университета.

10Джордж Буль (англ. George Boole; 2 ноября 1815, Линкольн — 8 декабря 1864, Баллинтемпл, графство Корк, Ирландия) — английский математик и логик. Профессор математики Королевского колледжа Корка (ныне Университетский колледж Корк) с 1849 года.

11Мар^ Энмон Камиль (Камилл[3]) Жордан (фр. Marie Ennemond Camille Jordan, 5 января 1838 — 22 января 1922) — французский математик, известный благодаря своим фундаментальным работам в теории групп и «Курсу анализа».

позволяющих формализовать и структурировать проблемы в соответствующей предметной области [69].

С середины 20-го века произошло множество изменений, связанных с дискретной математикой: от осознания дискретности окружающего мира до объединения методов решения задач, применяемых в разных отраслях науки. Такие ученые, как Пуанкаре Ж.А.12 и Тьюринг А.М.13, оказали наиболее существенное влияние на дискретную математику в этот момент истории.

Вторая половина 20-го века тесно связана с цифровой революцией, и в этот момент произошел основной расцвет дискретной математики, так как она стала основой для создания электронных устройств. Стали появляться новые разделы: теория надёжности схем, теория сложности и теория автоматов. Такие ученые, как Нейман Д.14, Ляпунов А.А.15 и Котельников В.А.16 , внесли существенный вклад на данном этапе развития.

Классической высшей математики недостаточно для моделирования кибернетических и интеллектуальных систем. Для описания главных систем информационного периода и появилась новая математика, которую называют в России дискретной математикой (выделяется дискретность структуры информации, собственно информационной системы и ее функционирования) в США — Computer Science (на первое место выдвигается техническая сторона дела — компьютеры); в Западной Европе — информатикой (акцент делается на информационные процессы) [88].

12Жюль Анри Пуанкарё (фр. Jules Henri Poincaré; 29 апреля 1854, Нанси, Франция — 17 июля 1912, Париж, Франция) — французский математик, механик, физик, астроном и философ.

13Алан МЭтисон Тьюринг, OBE (англ. Alan MathisonTuring; 23 июня 1912 — 7 июня 1954) — английский математик, логик, криптограф, оказавший существенное влияние на развитие информатики.

14Джон фон Нейман (англ. John von Neumann; или Иоганн фон Нейман, нем. Johann von Neumann; при рождении Янош Лайош Нейман, венг. Neumann Janos Lajos; 28 декабря 1903, Будапешт — 8 февраля 1957, Вашингтон) — венгеро-американский математик, физик и педагог еврейского происхождения, сделавший важный вклад в квантовую физику, квантовую логику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки.

15 Алексей Андреевич Ляпунов (25 сентября [8 октября] 1911, Москва — 23 июня 1973, Москва) — советский математик, один из основоположников кибернетики, член-корреспондент АН СССР (1964). Специалист в области теории функций вещественного переменного и математических вопросов кибернетики.

16Владимир Александрович Котельников (24 августа [6 сентября] 1908, Казань, Российская империя — 11 февраля 2005 года, Москва, Россия) — советский и российский учёный в области радиофизики, радиотехники, электроники, информатики, радиоастрономии и криптографии.

В 21-м веке дискретная математика стала наиболее бурно развивающимся разделом математики. Причиной этого служит то, что дискретная математика фактически является основой компьютерной математики, что не даёт ей шанса оставаться на месте, так как развитие компьютерных технологий в этот период шло семимильными шагами. Модели и методы дискретной математики очень хорошо подходят для моделирования, что с развитием тех же высоких технологий позволяют другим наукам, таким как физика или химия, так же бурно развиваться. В целом удобство языка дискретной математики сделало его как бы метаязыком всей современной математики [91].

Несмотря на то, что теория расписаний возникла за рубежом, российский вклад остаётся значимым. В период с 1950-х по 2022 год вышло более 2400 статей на русском языке, которые или полностью были посвящены теории расписаний, или теория расписаний была у них в ключевых словах. Рассмотрим самые значимые работы.

С 1950-х годов (а это то время, когда Беллман и Джонсон рассмотрели задачу о двух станках, сформулировали основу математического аппарата этой науки и в целом дали начало формированию этого направления в дискретной математике), до 1980-х можно выделить четыре основных направления [49], в которых развивалась теория расписаний.

Первое направление — это работы, посвященные использованию комбинаторных методов для составления, синтеза и анализа расписаний. В качестве результатов работы этих ученых можно привести:

• Приём, используемый при перестановках, позволяющий находить у расписаний малой размерности аналитические условия локальной оптимальности [89];

• Для расписаний большой размерности был создан непрерывно-логический аппарат (включающий в себя теорию логических

определителей), который, в свою очередь, позволял получать аналитические условия локальной оптимальности для них [48];

• Матричный метод синтеза расписаний, использующий специфику матрицы времён выполнения работ в блоках системы [49];

• При работе с расписаниями высокой размерности были выявлены случаи, в которых удавалось сводить эти расписания к расписаниям, у которых размерность была ниже [9];

• Найденные условия и случаи, позволяющие выявлять доминирующие стратегии, которые, в свою очередь, позволяют сокращать область рассматриваемых расписаний путём удаления доминируемых [6].

Данное направление не преследовало целей поиска каких-то новых отраслей применения теории расписаний.Оно было сосредоточено на улучшении уже имеющихся методов и применении приёмов из других областей.

Второе направление сосредоточилось на применении методов ветвей и границ. В результате изысканий было выявлено, к чему приводит использование локальных условий оптимальности расписаний. Эти методы, несомненно, являются результативными и позволяющими находить оптимальные значения, как они это делали в других областях. К сожалению, на тот момент не были получены достаточно общие теоретические результаты.

Второе направление дало основу для дальнейшего применения различных методов, предоставленных дискретной математикой. К сожалению, с задачами высокой размерности, как обычно, появляются проблемы, так как хоть это и не полный перебор, но всё же его наследник, который хоть и не рассматривает заведомо неоптимальные случаи, но всё равно по временным затратам сильно уступает методам, не основанных на переборе.

Третье направление задействовало аппарат статистического моделирования. Так как оно использовало случайные последовательности для улучшения уже имеющегося расписания с дальнейшим запоминанием рекордного, то из этого можно сделать вывод: поскольку это практически эмпирический метод (очень похожий на генетический алгоритм своим подходом к поиску), то ожидать от него достаточно общих теоретических результатов не приходится, а значит, и быть уверенным в его результатах нельзя. Однако, он давал свои результаты, которые были достаточно близки к оптимальным. Также были сформулированы правила остановки процесса. Данное направление развивает достаточно результативный метод, который, вполне возможно, был предшественником достаточно хорошо изученного и не менее хорошо работающего генетического алгоритма, позволяющего работать с расписаниями даже большой размерности.

Четвёртое направление взяло на вооружение методы математического программирования. Несмотря на то, что было установлено, что любую задачу синтеза оптимального расписания можно свести к задаче математического программирования, это не привело к каким-то практическим результатам, так как опять мешало "проклятие размерности". Данное направление решило отойти от переборов и эвристики и решать задачи более точно и однозначно. Но оно столкнулось с ограничениями в мощностях, что в то время, к сожалению, было непреодолимым, что отодвинуло продвижение этого направления.

В целом можно сказать, что за эти 30 лет теория расписаний оказалась перенасыщена, что, соответственно, привело к непродолжительному спаду работ по ней. За это время удалось выяснить, что в общем случае задача составления расписания является №-трудной, что ставит крест на многих способах их составления. Это очень сильное ограничение заставило исследователей сменить направление и вместо того, чтобы улучшать то, что есть, начать разрабатывать новые постановки задач и, соответственно, способы их решения. Благодаря этому появились постановки, в которых

работы поступали на вход в реальном времени, давался строгий порядок выполнения поступающих работ. Были также найдены эвристические алгоритмы, но уже с гарантированной точностью. Когда приняли возможность менять порядок выполнения работ (при условии, что не было точного времени выполнения работ), то появились задачи синтеза при этих условиях.

В период с 1980 по 2000 годы:

• Снова поднималась проблема №-полноты. Была рассмотрена задача о трех станках без возможности прерываний при этих условиях, также было доказано, что эта задача относится к классу №-полных [71];

• В 1999 году был предложен приближенный итеративный алгоритм, позволяющий решать общую задачу теории расписаний с 12% точностью. На данный момент это, конечно, кажется плохим методом, но на тот момент технические возможности не позволяли добиться больших точностей. Однако, авторы наметили пути улучшения при возможности получения больших мощностей [32];

• В то же время ученые из нынешнего ЮФУ при использовании генетического алгоритма, ослаблении условий (убрали прерывания) и использовании многопроцессорных систем, обеспечили погрешность порядка 0.3%, что также подтверждает, что работа над теорией расписаний тесно связа нас техническим прогрессом, дающим вычислительные возможности для решения задач [16];

• Находятся практические применения двум алгоритмам, в которых учитывается время, необходимое для переналадки оборудования. Данная работа обусловлена реальной потребностью в эффективных алгоритмах календарного планирования, так как в момент выхода этой статьи вовсю шло оснащение промышленных предприятий гибкими промышленными системами, и, соответственно, вложения, затрачиваемые на улучшение алгоритмов, позволяющими с ними

работать, окупались сторицей, и руководство могло выделять эти средства, что стимулировало развитие данной области [31];

• Проводились исследования адаптивных алгоритмов для параллельно-конвейерных систем [96], формализовались задачи обслуживания требований в административной системе управления, социальной сферы [54];

• Находит своё применение и теория нечетких множеств. Её используют для построения систем календарного планирования, так как всё больше и больше ученых приходят к выводу, что с линейными четкими значениями и функциями описывать окружающую нас действительность возможно, но этот процесс становится слишком специфичным [60].

В указанной области за этот же период были достигнуты следующие результаты:

• Были написаны и введены в эксплуатацию такие программы, как: Ректор [87] — программа, позволяющая составлять уроки в школах в полуавтоматическом режиме. Как замечает автор программы, на данный момент нет возможности решить задачу составления расписаний в автоматическом режиме. Программа АРС [38], которая, как и прошлое решение, не гарантирует идеального результата, но призвано дать базу, на которую будет опираться составитель, так как работа с нуля и работа уже с таким черновым вариантом — это совершенно разные виды работ. Школьный диспетчер [30], который, помимо составления расписания, также помогает вести школьную документацию. В целом к 2000 году всё больше и больше отраслей начинают нуждаться в автоматизации (хотя бы частичной) так как объемы обрабатываемой информации неуклонно растут, а возможности людей имеют достаточно скудные пределы;

• Помимо производств, школ и образовательных учреждений, идёт активная работа по внедрению автоматизации в работу остальных

организаций: Система PLA [5] служит для помощи руководителям в разработке программных изделий, что очень важно, так как если до этого в основном разрабатывались программные продукты, предназначенные для улучшения работы в других областях, то теперь появляются продукты для оптимизации выпуска аналогичных продуктов, что неминуемо ведёт к улучшению производственного процесса, а вслед за ним растет охват областей, подвергаемых оптимизации. Разрабатываются средства построения распределенных информационных систем [59] с основным упором на адаптацию к различным отраслям.

В целом за 1980-2000 годы акцент сместился на более прикладной характер исследований, без строгих математических доказательств оптимальности полученных результатов. В некоторых публикациях высказывается мысль о том, что задача составления расписаний не относится к строго математическим, и в большей степени вклад в эту область вносят люди, которые непосредственно составляют и пользуются расписаниями, так как нет возможности учесть уникальные особенности участника этого действия.

В период с 2000 года по наше время вектор исследований остался относительно прежним, но объём работ оказывается практически непосильным для осознания, так, как только по информационному ответвлению было найдено более 1000 публикаций из журналов ВАК и 80 из Scopus только на русском языке. По строго математической отрасли развитие не такое бурное — примерно 730 статей из ВАК и 70 из Scopus [18]. Также из-за перенасыщенности в разнообразных решениях и подходах, приходит пора задумываться над не только выполнимостью составленных расписаний, но и на то, как на это расписание будет воздействовать на человека, дабы не попасть в ловушку так называемого близорукого рыбака. Обзор данной темы также выходит за рамки данной работы.

Итак, проблема планирования существовала всегда, но только с ростом технологических возможностей она смогла по-настоящему раскрыться и получить должное внимание со стороны науки и непосредственно пользователей. На данный момент идёт активная работа над всеми возможными отраслями применения теории расписаний, но, как и в 1950-х годах, и сейчас остаются нерешенные задачи. О некоторых из них хотелось бы упомянуть в конце обзора в качестве указания, на чём застопорилась работа и, соответственно, к чему они пришли.

К нашему времени методы, которыми принято решать задачи теории расписаний, стали разделять на три достаточно крупные категории [62].

Точные методы, позволяющие решать задачи хоть и филигранно точно, но скорость, с которой они это делают, оставляет желать лучшего. В списке этих методов появляется уже упомянутый метод ветвей и границ, который с момента своего создания в 1960-х претерпел столько улучшений и доработок, что до сих пор остаётся конкурентоспособным и занимает 19-е место в общем списке алгоритмов, но уступает многим эвристическим алгоритмам.

Эвристические методы хоть и не могут выдать гарантированно оптимальный результат, но с гораздо более допустимыми временными затратами выдают результат с заданной точностью. Самое главное, они не ограничены какой-либо областью применения, в отличие от точных методов, которые в большинстве своём жестко привязаны к решаемой задаче. В теме теории расписаний есть свои особенности, и учитывая их, можно добиться лучших результатов, чем и занимаются так называемые метаэвристические алгоритмы. Они характеризуются двумя особенностями: последовательно строят несколько решений, а потом делают новое расписание с учётом старых. К ним относятся нейронные сети и генетические алгоритмы. Именно они являются наиболее перспективной отраслью, в которой будут развиваться методы решения задач теории расписаний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Харитонов Игорь Андреевич, 2025 год

Литература

1. Андреева Я. Н. Принципы хорошего наставничества // Скиф. 2018. № 1 (17).

2. Аничкин А. С., Семенов В. А. Современные модели и методы теории расписаний // Труды ИСП РАН. 2014. № 3 (26). С. 5-50.

3. Аннабаева Н. Р. Динамическое программирование // Символ науки. 2023. № 10-2.

4. Атабаллыева О., Мухаммедова А. А., Магтымов М. Модели динамического программирования // Символ науки. 2024. № 1-1.

5. Баранов С. Н. [и др.]. Автоматизация процесса управления проектом программных изделий // Программные продукты и системы. 1998. № 4.

6. Белов И. С., Столин Я. Н. Алгоритм в одномаршрутной задаче календарного планирования // Наука. 1974.

7. Боева Е. Л. Наставничество в образовательной организации // Вестник науки. 2023. № 3 (60).

8. Броневич А. Г., Зюзерова Н. С. Модели теории графов для выделения контуров по градиентному изображению // Известия ЮФУ. Технические науки. 1998. № 2.

9. Бурдюк В. Я. О выборе последовательности загрузки станков // Экономика и математические методы. 1970. № 1 (VI). С. 112-116.

10. Бусов В. И. Концепция обучения студентов теории и практики организации и управления, в том числе менеджменту // Вестник ГУУ. 2014. № 17.

11. Вагина М. Ю., Нигматулин Р. М. Некоторые оценки времени выполнения конкурирующих работ при пакетном планировании // Программные системы и вычислительные методы. 2017. № 3.

12. Владимирович О. М. [и др.]. Алгоритм составления расписания выполнения задач оперативной дежурной смены центра управления в кризисных ситуациях территориального органа МЧС России при ликвидации

чрезвычайных ситуаций // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. 2020. № 3 (46). С. 30-39.

13. Волкова П. С., Власова Н. Ю. Наставничество в государственном управлении // Столыпинский вестник. 2022. № 3.

14. Деканова М. В. Конкретизация постановочных принципов проблемы многокритериальной оптимизации расписания занятий в университете // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С. Фундаментальные науки. 2014. № 4.

15. Денисова А. Р. Методы нелинейного программирования для решения задач линейного программирования // Инновационная наука. 2017. № 9.

16. Дергачев С. П. Генетический алгоритм диспетчеризации пакетов независимых задач // Известия ЮФУ. Технические науки. 1997. № 3.

17. Димитриев А. П. Моделирование составления расписания занятий с учетом потоков // АРМОМ. Серия: Естественные и технические науки. 2014. № 6.

18. Дмитриевич Л. Н. Точные математические постановки задачи составления расписания сеансов кинотеатра // StudNet. 2020. № 10 (3). С. 31.

19. Добрынин А. С., Кулаков С. М., Койнов Р. С. Формирование расписаний в системах управления мультипроектными разработками // Вестник АГТУ. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2021. № 3.

20. Долгов Д. С. Наставничество // Образование. Карьера. Общество. 2016. № 2 (49).

21. Жукович С. Я. Применение методов системного анализа для моделирования процесса дистанционного обучения // Системный анализ и прикладная информатика. 2021. № 2.

22. Жукович С. Я. Принцип минимума гамильтониана при оптимальном управлении процессом дистанционного обучения // Системный анализ и прикладная информатика. 2022. № 1.

23. Заславская О. Ю., Филатова Н. И. Элементы теории управления в обеспечении углубленного обучения информатике // Вестник РУДН. Серия: Информатизация образования. 2011. № 1.

24. Иваницкий А. В., Гребенник О. Г. Математические модели задач линейного программирования // Теория и практика современной науки. 2018. № 1 (31).

25. Кабаева И. И. Задачи динамического программирования // Europeanresearch. 2016. № 11 (22).

26. Кабардов А.С., Ульбашева С.А., Кардангушев И.З., Хуранова Л.З., Жабелов С. Т., Ниязов И. А. Применения линейного программирования // International Scientific Review. 2017. № 7 (38).

27. Калачёв В. Ю., Угольницкий Г. А., Харитонов И. А.Применение теории расписаний для решения задачи обучения персонала // Инженерный вестник Дона. 2022. №3 (87).

28. Калашников М. А. Школьный диспетчер // КИО. 2000. № 3-4.

29. Канцедал С. А., Костикова М. В. Алгоритмы календарного планирования производства с переналадками оборудования // Радиоэлектроника и информатика. 2000. № 10 (1).

30. Канцедал С. А., Костикова М. В. Приближенный алгоритм для решения общей задачи теории расписаний с высокой точностью // Радиоэлектроника и информатика. 1999. № 9 (4).

31. Капитонов Ю. А., Бородавкин В. А., Шматко А. Д. Комплексный подход к решению задач оперативно-календарного планирования производства на основе теории расписаний. Санкт-Петербург: Балтийский государственный технический университет «Военмех», 2022. С. 158-160.

32. Каретникова Л. В. Обучение персонала в организации // Экономика и социум. 2012. № 4 (4).

33. Карташова А. М., Исакова О. В. Проект "Методическое наставничество" // Образование. Карьера. Общество. 2022. № 1 (72).

34. Кащук И.В., Тимофеева И.Я. Развитие института наставничества // Клиническая геронтология. 2017. № 9-10.

35. Коренева Е. Н., Киреева Н. В., Чернявская Н. Э. Теория преобразующего обучения РКИ в рамках системы управления онлайн-обучением первокурсников // Современное педагогическое образование. 2023. № 4.

36. Коробова И. Л. АРС - пакет программ автоматизированного составления расписания занятий в школе // КИО. 1998. № 5.

37. Коровин Д. И., Чернышов Л. Н. Решение задач планирования рабочего цеха с машинами, допускающими одновременную обработку требований // Известия ВУЗов ЭФиУП. 2021. № 3 (49).

38. Костикова М. В., Пьянида В. А. Алгоритмы решения задач теории расписаний на основе прогноза. Часть 1 // АСУ и приборы автоматики. 2007. № 139.

39. Криволь И. А. Опыт наставничества в техникуме // Образование. Карьера. Общество. 2020. № 4 (67).

40. Кривощекова Д. П. Совершенствование процесса обучения персонала // Экономика и социум. 2018. № 12 (55).

41. Кудинов И. Д. Исследование практической применимости полиномиальной схемы для задач теории расписаний с двумя приборами и графом предшествования. Москва: Издательство «Перо», 2022. С. 425-426.

42. Кузнецова М. Е. Риски в обучении персонала // Вестник СурГУ. 2017. № 2 (16).

43. Кузьмина И. В., Лозовская Л. Б., Морозов О. А., Новиков В. А. Опыт применения проектного метода обучения в практических занятиях курса «Основы теории управления» // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2021. № 9-1.

44. Кутателадзе С. С. Эвристика линейного программирования // Вестник Владикавказского НЦ РАН. 2008. № 1.

45. Куцопал А. В. Метод линейного программирования в экономике // Экономика и социум. 2017. № 5-2 (36).

46. Левин В. И. К планированию работы вычислительных систем. I. II, III (Математический аппарат, анализ плана, синтез плана) // Автоматика и вычисл. техника. 1982. № 5.

47. Левин В. И. Некоторые мысли о теории расписаний // Вестник ТГТУ. 2005.

48. Левин В. И. Теория и методы системного анализа. Структурно-логические методы исследования сложных систем с применением ЭБМ. Москва: Наука, 1987. 304 с.

49. Левин С. М. Не все LMS одинаково полезны [для обучения] // НАУ. 2021. № 66-3.

50. Лукашов Н. В. Методические аспекты обучения руководителей органов внутренних дел Российской Федерации основам теории и организации ситуационного управления // Труды Академии управления МВД России. 2022. № 1 (61).

51. Лымарева А. Л., Елизарова Л. И. Управление трудовой мотивацией в рамках профессионального обучения // Экономика и бизнес: теория и практика. 2021. № 9-1.

52. Львович И. Я., Толоконникова О. В., Юрочкин А. Г. Формализация задачи обслуживания поступающих требований с директивными сроками их завершения в административной системе управления социальной сферы // Известия ЮФУ. Технические науки. 2000. № 2.

53. Майер Р. В. Имитационная модель деятельности школьника, читающего текст // Концепт. 2019. № 6.

54. Майер Р. В. Модель дидактического процесса, учитывающая распределение элементов учебного материала по сложности // Ученые записки Крымского федерального университета имени В. И. Вернадского. Социология. Педагогика. Психология. 2021. № 4.

55. Манокин М. А., Шенкман Е. А. Синхронный и асинхронный форматы онлайн обучения в контексте теории коммуникации // Отечественная и зарубежная педагогика. 2021. № 2.

56. Маркелова И. В., Данилов А. М. Специальные задачи линейного программирования в строительстве // Вестник магистратуры. 2014. № 5-1 (32).

57. Машечкин И. В., Калугина Н. В., Шляхова Е. М. Об одном инструментальном средстве построения распределенных информационных систем // Известия ЮФУ. Технические науки. 2000. № 2.

58. Машечкин И. В., Петровский М. И. Применение элементов теории нечетких множеств и OLAP технологий для построения систем календарного планирования // Известия ЮФУ. Технические науки. № 2.

59. Мерзленко А. С., Кобак В. Г. Сравнительный анализ алгоритмов раскраски обыкновенного взвешенного графа // AdvancedEngineeringResearch (Rostov-on-Don). 2014. № 2 (77).

60. Могилев А. А. Обзор методов решения задач теории расписаний // Информатика, вычислительная техника и инженерное образование. 2019. № 37 (4).

61. Моисеенко Н. В. Обучение персонала в системе профессионального развития персонала // Профессиональная ориентация. 2018. № 2.

62. Никитина А. А., Черний Ю. А., Горностаева Ж. В. Организация обучения персонала на предприятии // Форум молодых ученых. 2021. № 1 (53).

63. Овчинников В. Г. К алгоритмам динамического программирования оптимальных процессов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2012. № 3 (28).

64. Овчинников В. Г. К динамическому программированию по значениям в полугруппе // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2016. № 1.

65. Олейник Т. Н. Об одной задаче календарного планирования // Вестник УГАТУ, 2006. № 5.

66. Осипов Н. П., Агафонов Е. О. Наставничество на предприятии // Экономика и социум. 2019. № 4 (59).

67. Осипова В. А. Основы дискретной математики. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006. 160 с.

68. Охрименко Е. П. Необходимость обучения персонала организации // Теория и практика современной науки. 2019. № 9 (51).

69. Панишев А. В., Скрипина И. В., Фасовец В. И. О вычислительной сложности составления непрерывного расписания задачи Джонсона // Радиоэлектроника и информатика. 2000. № 10 (1).

70. Передельский П. А. Дистанционные технологии в обучении персонала // Профессиональная ориентация. 2017. № 1.

71. Пименов В. В., Рассказова М. Н. Разработка математической модели расчета расписания. Омск: Омский государственный технический университет, 2022. С. 118-119.

72. Плиев И. М., Войтицкий В. И. Линейное программирование в экономике // Инновационная наука. 2023. № 11-2.

73. Подымов В. Н. Лекционное обучение в понятиях теории управления // Вестник КГЭУ. 2009. № 1.

74. Прохоров А. В. Оптимизация порядка выполнения работ при помощи теории расписаний. Ростов-на-Дону: Научные решения, 2022. С. 153-156.

75. Прохоров Ю. И. Психологические аспекты наставничества // Психопедагогика в правоохранительных органах. 1998. № 1.

76. Разумова И. А. Семейное наставничество // Труды Кольского научного центра РАН. Серия: Естественные и гуманитарные науки. 2024. № 2.

77. Рахмонова Г. О. Обучение персонала в организации // Теория и практика современной науки. 2015. № 6 (6).

78. Рахмонова Г. О. Обучение персонала в организации // Теория и практика современной науки. 2015. № 6 (6).

79. Рожкова М. В., Погиба А. В. Система обучения персонала в организации // Экономика и управление в XXI веке: тенденции развития. 2015. № 25.

80. Романовский И. В. Задача Штейнера на графах и динамическое программирование // КИО. 2004. № 2.

81. Рустамов Б. М. Промышленные применения динамического программирования // Символ науки. 2023. № 9-1.

82. Рябухина Е. А., Гущина О. А. Система обучения информатике в контексте теории управления проектами // ИТС. 2012. № 3.

83. Садуакас М. Р., Садуакасова А. Б. Эффективность производственно-хозяйственной деятельности предприятия с применением линейного программирования при разработке оптимальной производственной программы // Вестник науки. 2019. № 5 (14).

84. Сервах В. В., Тавченко В. Ю. Минимизация времени обработки идентичных деталей и циклические расписания. Омск: Омский государственный технический университет, 2022. С. 28-29.

85. Смыкалов П. Ю. Ректор - программа для составления расписания уроков // КИО. 1998. № 5.

86. Соболева Т. С., Чечкин А. В. Дискретная математика: учебник для студ. вузов. М.: Издательский центр «Академия», 2006. 3-е изд.

87. Танаев В. С., Шкурба В. В. Введение в теорию расписаний. М.: Наука, 1975. 255 с.

88. Тимкина Ю. Ю. Системный подход к обучению иностранному языку в вузе // МНИЖ. 2023. № 1 (127).

89. Фирсова Е. В. История развития дискретной математики и ее роль в обучении информатиков-экономистов // Молодой ученый. 2012. № 37 (2). С. 304-311.

90. Халатян К. А., Никитина П. В. Теория графов // Вестник науки. 2018. № 9 (9).

91. Харитонов И. А. Модель оптимизации учебного процесса при внутрифирменном обучении персонала // Инженерный вестник Дона. 2025. № 1 (121).

92. Харитонов И. А. Оптимизация управления процессом корпоративного обучения: математическая модель и ее применение // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2025. Т. 13, №1. URL: moitvivt.ru/ru/journal/pdf?id= 1782. DOI: 10.26102/23106018/2025.48.1.006.

93. Хмызова А. А. Игровое моделирование как средство повышения мотивации обучения у бакалавров профессионального образования // Ученые записки ОГУ. Серия: Гуманитарные и социальные науки. 2021. № 4 (93).

94. Чефранов А. Г. Об эффективности адаптивных алгоритмов планирования для параллельно-конвейерных вычислительных систем // Известия ЮФУ. Технические науки. № 2.

95. Шайдулин З. Ф., Балдычев М. Т., Тимошенко А. В., Омельшин А. А. Проактивное управление составом и структурой системы пространственного мониторинга в условиях воздействия дестабилизирующих факторов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2021. № 6.

96. Шилов Н. В. Три лика динамического программирования // Вестник НГУ. Серия: Информационные технологии. 2012. № 2.

97. Щастный А. Т., Коневалова Н. Ю., Городецкая И. В., Пашков А. А., Кунцевич З. С., Голубцов В. В. Система наставничества в УО «ВГМУ» // Вестник ВГМУ. 2019. № 2.

98. Яковкина А. О. История наставничества в России // Вестник науки. 2023. № 5 (62).

99. Bellman R. Mathematicalaspectsofschedulingtheory. 1956.

100. Graham R. L., Lawler E. L., Lenstra J. K., Rinnooy Kan A. H. G. Optimization and approximation in deterministic sequencing and scheduling // Annals of Discrete Mathematics. 1979.

101. Johnson S. M. Optimal two- and three-stage production schedules with setup times included. 1954.

Приложения