Моделирование антенн сотовых телефонов методом векторных конечных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Салимов, Роман Вячеславович

• Салимов, Роман Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Салимов, Роман Вячеславович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНТЕННЫ МОБИЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ И МЕТОДЫ ИХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.

1.1 Особенности конструкции и параметры антенн сотовых телефонов.

1.2 Постановка задачи. Исходные уравнения.

1.4 Сравнительный анализ методов моделирования волновых электромагнитных полей.

1.4.1. Метод конечных разностей.

1.4.2. Метод моментов.

1.4.3 Метод конечных элементов.

1.5 Основные положения метода векторных конечных элементов.

1.5.1 Дискретизация задачи. Метод Галеркина.

1.5.2 Базисные функции.

1.5.3 Ассемблирование и решение глобальной СЛАУ.

1.5.4 Учет граничных условий.

ГЛАВА 2. ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДА ВЕКТОРНЫХ КОЖИНЫХ ЭЛЕПМЕНТОВ.

2.1 Описание программы.

2.2 Метод быстрого расчета амплитудно-частотных характеристик.

2.3 Моделирование источников возбуждения.

2.4 Расчет параметров многополюсных микроволновых устройств.

2.5 Моделирование сосредоточенных элементов.

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ ПОЛЯ И ПАРАМЕТРОВ АНТЕНН.

3.1 Радиационные граничные условия.

3.2 Расчет поля в дальней зоне.

3.3 Расчет параметров антенн.

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА УДЕЛЬНОЙ ПОГЛОЩАЕМОЙ МОЩНОСТИ

4.1 Стандартные методики определения максимальной удельной поглощаемой мощности в голове пользователя.

4.2 Численный метод расчета удельной поглощаемой мощности.

4.3 Способы снижения удельной поглощаемой мощности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование антенн сотовых телефонов методом векторных конечных элементов»

Последние десятилетия характеризуются стремительным развитием телекоммуникационных систем, в частности, мобильной сотовой связи. Современный сотовый телефон - продукт эволюции протоколов мобильной связи и технологий, позволяющих производить компактные многофункциональные устройства. Так как функционирование сотового телефона основано на приеме и передаче электромагнитных волн микроволнового диапазона, особый интерес представляет задача проектирования и оптимизации приемо-передающих модулей телефона, в частности, антенной системы. Следует отметить, что актуальность проблемы проектирования антенн сотовых телефонов возрастает по мере развития систем сотовой связи, несмотря на улучшение покрытия местности базовыми станциями и, как следствие, ослабление требований к чувствительности и мощности применяемой аппаратуры. Причины этого кроются как в усложнении конструкции телефона вследствие расширения набора выполняемых им функций.

К конструктивным особенностям современного сотового телефона, усложняющим его электродинамический анализ, можно отнести следующие основные черты:

1) Компактный размер — как правило, характерный размер сопоставим или меньше рабочей длины волны электромагнитного излучения, что делает необходимым применение электрически малых антенн с вытекающими последствиями в виде ограничения по ширине поддерживаемых частотных диапазонов;

2) Применение внутренних антенн. Эта особенность особенно важна, так как, в отличие от внешних антенн, влияние корпуса и деталей телефона на работу внутренней антенны существенным образом сказывается на ее радиочастотных характеристиках. Более того, это влияние не представляется возможным учесть с применением аналитических методов — необходим натурный эксперимент. Альтернативой экспериментальным исследованиям и оптимизации характеристик с помощью работы с прототипом является численное моделирование, причем для получения точного результата необходим учет всех основных проводящих и непроводящих деталей телефона.

3) Плотная компоновка деталей усложняет задачу проектирования антенны из-за ограничений по занимаемому антенной объему;

4) Расположение сразу нескольких встроенных антенн в одном корпусе, например для обмена информацией с помощью беспроводных Wi-Fi и Bluetooth протоколов, при этом возможна работа соответствующих радиомодулей в пересекающихся частотных диапазонах. Соответственно, необходимо решение задачи о минимизации влияния антенн друг на друга.

5) Наличие перемещающихся друг относительно друга частей телефона делает необходимым оценку влияния динамических изменений конструкции на характеристики телефона.

Проблема численного моделирования сотового телефона осложняется сложной криволинейной геометрией деталей и неупорядоченным чередованием материалов с различными физическими свойствами.

Требования к дизайну антенн помимо обозначенных особенностей компоновки узлов телефона в равной степени определяются необходимостью поддержки тех или иных протоколов мобильной связи. Для современных телефонов стандартом является поддержка сразу нескольких частотных диапазонов, что делает актуальным проблему проектирования многодиапазонных антенн.

В целях сохранения совместимости при развитии сетей третьего поколения (3G) было принято решение обеспечить одновременную поддержку соответствующих широкополосных протоколов и сетей второго поколения, что приводит к усложнению процесса проектирования антенн. Цель внедрения новых протоколов - обеспечение высокой скорости передачи данных при условии приема и передачи в среде с многолучевым распространением и перемещения мобильного терминала в пространстве с достаточно высокой скоростью. На момент написания данной работы уже началось развертывание сетей четвертого поколения, в рамках которых для борьбы с быстрыми замираниями предусмотрены широкополосные протоколы и применение нескольких антенн для приема и передачи данных (англ. MIMO - Multiple Input Multiple Output). Это, прежде всего, мобильные системы WiMAX и LTE. В последней, помимо прочего, для улучшения проникающей способности электромагнитных волн предусмотрено использование относительно низкого диапазона частот (700 MHz) совместно с MIMO. То есть телефон, разработанный для сетей четвертого поколения, должен включать в свою конструкцию несколько равнозначных электрически малых антенн, поддерживающих широкою полосу частот с относительно низкой центральной частотой. Разработка подобных принципиально новых конструкций экспериментальным методом проб и ошибок может оказаться неоправданно ресурсоемкой или потребовать использования неосвоенных технологий изготовления деталей. Поэтому на этапе предварительных исследований численное моделирование представляется необходимым этапом перед изготовлением первых экспериментальных макетов.

В процессе проектирования современных сотовых телефонов помимо решения проблем, связанных непосредственно с его конструкцией и функционированием, необходимо также принимать во внимание взаимодействие телефона как источника и приемника электромагнитных волн с окружающей средой, главным образом, воздействие на пользователя. Оценка воздействия излучаемого телефоном электромагнитного поля на пользователя необходима также для сертификации устройства и проверки совместимости с международными стандартами. Для оценки интенсивности поглощения электромагнитной энергии в тканях человеческого организма производится расчет удельной поглощаемой мощности — параметра SAR — Specific Absorption Rate. Экспериментально определение данного параметра требует длительных, тщательно документируемых измерений. Численный эксперимент по определению SAR позволяет, не используя ограниченные производственные ресурсы, оперативно вносить изменения в конструкцию телефона.

Совокупность всех описанных условий и требований, определяющих исходные данные и результат проектирования антенн сотовых телефонов, оставляет только два способа электродинамического анализа: экспериментальное исследование и компьютерное моделирование. Принимая во внимание значительно возросшую за последние десятилетия производительность вычислительных машин, математическое моделирование позволяет во многом заменить экспериментальные исследования, обеспечивая значительно большую гибкость и оперативность процесса анализа и оптимизации антенн сотовых телефонов, сокращая при этом общие сроки создания новой продукции, улучшая качество изделий и уменьшая затраты на их проектирование.

На сегодняшний день существует развитый теоретический аппарат и успешный опыт применения различных численных методов электродинамического моделирования. Некоторые из этих методов реализованы в ряде коммерческих программ, позволяющих осуществлять эффективное компьютерное моделирование сложных электродинамических систем. К наиболее универсальным программным пакетам моделирования, позволяющим решать самый широкий спектр задач электродинамики от волноводов до фазированных антенных решеток, можно отнести такие продукты, как CST Microwave Studio и ANSYS HFSS. В данных продуктах вычислительное ядро реализовано с применением, соответственно, метода конечного интегрирования и метода конечных элементов. Эти программы обладают удобным пользовательским интерфейсом, встроенным модулем решения краевых задач электродинамики с возможностью удаленного запуска на многопроцессорных высокопроизводительных машинах и функциональным постпроцессором. Недостатками указанных программ с точки зрения их применения в производственном цикле для проектирования антенн сотовых телефонов являются, во-первых, высокая стоимость (включая регулярные лицензионной выплаты), и, во-вторых, отсутствие возможности специализации интерфейса и постпроцессора для удовлетворения специфических нужд инженеров, занимающихся проектировкой и оптимизацией высокочастотной части сотовых телефонов. Существуют и более специализированные, но не менее дорогие программные средства, такие как SPEAG SEMCAD, использующий для расчета метод конечных разностей.

В свете обозначенных недостатков коммерческих программ актуальна разработка алгоритма моделирования волновых электромагнитных полей и его реализации в компьютерной программе, сочетающей универсальность и возможность решения широкого круга задач вычислительной электродинамики со специализированными инструментами, облегчающими моделирование сотовых телефонов.

Целью диссертационной работы является моделирование электромагнитного поля и параметров антенн сотового телефона с помощью специально разработанной программы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Разработка и реализация в компьютерном коде алгоритма моделирования волновых электромагнитных полей методом векторных конечных элементов.

• Реализация метода быстрого частотного сканирования для ускоренного расчета поля и параметров устройства в широкой полосе частот.

• Разработка моделей сосредоточенных элементов и источников возбуждения и их встраивание в полевую конечно-элементную модель с целью оптимизации размера ячеек конечно-элементной сетки.

• Разработка и реализация эффективного метода расчета параметров рассеяния многоплечих микроволновых устройств.

• Разработка и реализация метода расчета параметров и характеристик антенн.

• Расчет характеристик антенн сотовых телефонов в присутствии модели головы пользователя (фантома).

• Расчет удельной поглощаемой мощности и выработка рекомендаций по ее снижению.

Объектом исследования является высокочастотное электромагнитное поле, создаваемое антеннами пользовательских терминалов сетей мобильной сотовой связи.

В качестве основного метода исследования в работе используется метод вычислительного эксперимента. Для проверки корректности алгоритмов и программ используются данные экспериментов, предоставленные другими исследователями, а также результаты аналитических расчетов. Научные положения:

1. Для вычисления элементов матрицы рассеяния многоплечих микроволновых устройств целесообразно использовать предложенные в работе алгоритмы возбуждения электромагнитного поля источниками тока и вычисления эквивалентных напряжений в плечах. Такая методика, в сочетании с методом быстрого частотного сканирования, позволяет на несколько порядков уменьшить время расчета параметров рассеяния в широкой полосе частот (несколько октав) по сравнению с методом последовательного перебора частот.

2. Для обеспечения возможности использования метода быстрого частотного сканирования для анализа устройств, содержащих сосредоточенные элементы, необходимо введение импедансных граничных условий, соответствующих эквивалентным схемам этих элементов. При этом поверхностная проводимость должна иметь вид рациональной функции частоты.

3. Расчет удельной поглощаемой мощности в теле пользователя целесообразно проводить с учетом глубины проникновения электромагнитного поля в модель головы (фантома), а также размеров телефона и его расположения. Это позволяет существенно снизить требования к необходимым для расчета вычислительным ресурсам.

Новые научные результаты:

• Впервые были предложены многоячеистые модели сосредоточенных элементов, совместимые с методом быстрого частотного сканирования.

• Разработан и реализован оригинальный метод моделирования источников возбуждения электромагнитного поля в виде источников тока, также разработан оригинальный метод расчета параметров рассеяния многоплечих микроволновых устройств.

• Впервые была предложена и реализована методика численной оценки сертификационного значения удельной поглощаемой мощности в голове пользователя с применением метода конечных элементов.

• Показано, что нанесение металлического покрытия на определенную часть корпуса телефона позволяет существенно снизить удельную поглощаемую мощность в голове пользователя.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что предложенные решения реализованы при разработке программы моделирования электромагнитного поля и параметров электродинамических систем «Radio frequency Simulator» (далее по тексту RFS), не уступающему по точности лучшим известным коммерческим программам, а по допустимой сложности моделей и затратам вычислительных ресурсов — превосходящей эти программы. Реализация и внедрение результатов исследования:

1. Программа RFS используется в «LG Electronics Inc.» в процессе разработки новых моделей сотовых телефонов.

2. Учебный вариант программы используется в учебном процессе кафедры РТЭ СПбГЭТУ «ЛЭТИ» для подготовки магистров по образовательной программе «Микроволновая и телекоммуникационная электроника». Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на ряде конференций и семинаров различного уровня:

1. Научно-технические конференции профессорско-преподавательского состава Санкт-Петербургского Государственного Электротехнического Университета (ЛЭТИ) (2003 - 2009),

2. East-West Workshop "Advanced Techniques in Electromagnetics", Warsaw, Poland (2004),

3. Международная научно-техническая конференция, посвященная 110-летию изобретения радио и 75-летию СГТУ. Саратов, Россия (2005),

4. 8-th international workshop on finite elements for microwave engineering. Stel-lenbosch, South Africa (2006),

5. 7-я международная научно-технической конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов, Россия (2006),

6. Научно-технический семинар "Современные проблемы техники и электроники СВЧ", Санкт-Петербург (2006),

7. 40-th annual international microwave power symposium IMPI, Boston, USA (2006),

8. 18-я международная конференция "СВЧ техника и телекоммуникационные технологии", Севастополь, Украина (2008),

9. 9-th international workshop on finite elements for microwave engineering, Bonn, Germany (2008),

10.8-я международная конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов, Россия (2008), 11 .Научно-технический семинар "Инновационные разработки в СВЧ технике и электронике", Санкт-Петербург (2008). 12.26-я международная конференция "Progress in applied computational electromagnetics", Tampere, Finland (2010).

Основные теоретические и практические результаты диссертации опубликованы в 12 работах. В списке литературы данные работы перечисляются под номерами [76] — [87].

Структура диссертации.

Во введении сформулирована цель работы, ее основные результаты и научные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена постановке задачи электродинамического моделирования антенн сотовых телефонов и обзору существующих методов ее решения. Приводится описание конструкции антенн и определены их основные параметры. Рассмотрены основные положения метода векторных конечных элементов.

Во второй главе рассмотрены основные методики реализации метода векторных конечных элементов, позволяющие проводить эффективный анализ электромагнитных полей и расчет параметров антенн сотовых телефонов в широкой полосе. Рассмотрены предложенные модели источников возбуждения поля, метод расчета параметров многополюсных устройств и предложенный способ встраивания сосредоточенных элементов в полевую конечно-элементную модель.

Третья глава посвящена расчету поля излучения и параметров антенн методом конечных элементов.

В четвертой главе описывается алгоритм численной оценки удельной поглощаемой мощности в голове пользователя. Рассматриваются особенности моделирования антенны сотового телефона в присутствии модели головы пользователя.

В заключении приводится перечень основных результатов работы.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Салимов, Роман Вячеславович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения диссертационной работы были получены следующие результаты:

1. Реализован метод быстрого частотного сканирования, основанный на ортогонализации частотных моментов с автоматическим выбором требуемого их количества в зависимости от ширины расчетного диапазона частот. Метод позволяет производить расчет частотных характеристик устройства в полосе частот более двух октав при решении полной электродинамической задачи только в одной частотной точке.

2. Разработаны многоячеистые модели сосредоточенных элементов и источников возбуждения электромагнитного поля, позволяющие встроить их в конечно-элементную полевую модель и совместимые с методом быстрого частотного сканирования.

3. Разработан и реализован оригинальный метод расчета параметров рассеяния многополюсных устройств, позволяющий в несколько раз уменьшить время их вычисления.

4. Разработан алгоритм вычисления поля в дальней зоне излучения и вычисления характеристик и параметров антенн.

5. Разработан и реализован эффективный метод расчета максимальной средней удельной поглощаемой мощности в голове пользователя, учитывающий реальную глубину проникновения поля в ткани и использующий упрощенную модель головы. Метод удовлетворяет требованиям стандарта IEEE-1528.

6. Показано, что использование экранирующего покрытия корпуса телефона позволяет существенно (до 40%) уменьшить удельную поглощаемую мощность в голове пользователя.

7. Проведены расчеты различных антенных систем и различных моделей сотовых телефонов, а также расчетов поглощаемой мощности. Сравнение результатов этих расчетов с теорией и экспериментом показало, что погрешность расчета резонансных частот реальных антенных систем не превышает 3%, а удельной поглощаемой мощности - 10%.

89

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Салимов, Роман Вячеславович, 2010 год

1. Balanis С. A. Antenna Theory: Analys and Design, N.-Y.: Wiley & Sons, 2nd edition, 1997.

2. Слюсар В. И. 60 лет теории электрически малых антенн. Некоторые итоги // Электроника: НТВ, 2006, № 6, с. 10-19.

3. Слюсар В. И. Многодиапазонные антенны мобильных средств связи // Электроника: НТБ, 2006, №8, с.90-96.

4. Слюсар. В. И. Антенны PIFA для мобильных средств связи. Многообразие конструкций // Электроника: НТБ, 2007, №1, с.64 74.

5. Григорьев А. Д., Янкевич В.Б. Резонаторы и резонаторные замедляющие системы СВЧ: Численные методы расчёта и проектирования. -М.: Радио и связь, 1984. 248 с.

6. Volakis J.L., Eibert T.F. Antenna Analysis Methods, chapter in Encyclopedia of Telecommunications, ed. J. Proakis. —2002.

7. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных: Пер. с англ. / Под ред. Б. М. Будана, Н.П. Жидкова. М.: ИЛ, 1963.

8. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Физматлит, 1983.

9. Марчук Г.И. Методы вычислительной сатематики. М.: Физматлит, 1986.

10. Ильин В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во института математики, 2000.

11. Davies J. В., Muilwyk С. F. Numerical solution of uniform hollow wave guides with arbitrary shapes // Proc. IRE, V. 113, No. 2, pp. 277-284 1966.

12. Davies J. B. Review of methods for numerical solution of the hollow waveguide problem // Proc. IRE, V. 119, No 1. pp. 33-37, 1972

13. Yee K.S. Numerical Solution of Initial Boundary Wave Problems Involving Maxwell's equations in Isotropic Media // IEEE Trans. АР. V. 14.-No 5.-pp 302-307, 1966.

14. Taflove A., Hagness S. C. Computational Electromagnetics: The Finite-Difference Tome-Domain Method. 3-rd edition. Norwood, MA: Artech House, 2005.

15. Kunz K.S., Luebbers R.J. The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics. Boca Raton, FL: CRC Press, 1993.17. http://www.speag.com/simulation/index.php18. http://www.remcom.com/

16. Harrington R.F. Matrix methods for Field Problems // Proc. IEEE, Vol. 55 pp. 136-49, Feb. 1967.

17. Wang J. J. H. Generalized moment method in electromagnetics. N.-Y • John Wiley & Sons, 2002.

18. Sadiku M. N. O. Numerical methods in electromagnetics. Boca Raton Florida: CRC Press LLC, 2000.

19. Davidson D. В., Aberle J. T. An introduction to spectral domain method-of-moments formulations // IEEE Antenna prop, mag., V. 46, No. 3, pp 11-19, 2004.23. http://www.feko.info/24. http://www.zeland.com/ie3d.htm

20. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер. с англ. / под ред. Г. И. Марчука. М.: Мир, 1977.

21. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. Пер. с англ. / Под ред. Г. В. Демидова и A. JI. Урванцева. М.: Мир, 1981.

22. Сабонатьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. Пер. с франц. / Под ред. Э. К. Стрельбицкого. М.: Мир, 1989.

23. Zienkiewicz О.С., Taylor R.I. The Finite Element Method. Fifth edition. Vol. 1-3. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000.

24. Сильвестр П., Феррари P. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

25. Bossavit A. Computational electromagnetism. Variational formulations, complementarity, edge elements. San Diego: Academic Press, 2005.

26. Jin J. The finite element method in electromagnetics. N.-Y.: John Wiley & Sons, 2002.

27. Nedelec J. C. Mixed finite element in R3 // Number. Math., Vol. 35, No 3, pp. 315-341, 1980.

28. Whitney H. Geometric integration theory. Princeton University Press, USA, 1957.

29. Andersen L. S., Volakis J. L. Hierarchical tangential vector finite elements for tetrahedral // IEEE Microwave and Guided Wave Letters, Vol. 8 No 3, pp. 127-129, March 1998.

30. Savage J. S., Peterson A. F. Higher-order vector finite elements for tetrahedral cells // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., Vol. 44, No 6, pp. 847879, June 1996.

31. Mur G. Edge elements, their Advantages and their Disadvantages // IEEE Trans, on Magnetics, V. 30, No 5, pp 3553-3557, 1994.

32. Bossavit A. Generating Whitney Forms of Polynomial Degree One and Higher. // IEEE Trans, on Magnetics, V. 38, No 2, pp. 341-345, Feb. 2002.

33. David C. Dibben, Metaxas R. A comparison of the errors obtained with Whitney and linear edge elements // IEEE Transaction on magnetics, Vol. 33, No 2, pp. 1524-1527, March 1997.

34. Jo-Yu Wu, Lee R. The advantages of triangular and tetrahedral edge elements for electromagnetic modeling with finite-element method // IEEE

35. Transaction on Antennas and Propagation, Vol. 45, No 9, pp. 1431-1437, Sept. 1997.

36. Webb J. P. Hierarchal vector basis functions of arbitrary order for triangular and tetrahedral finite elements // IEEE Transaction on Antennas and Propagation, Vol. 47, No 8, pp. 1244-1253, August 1999

37. Yioultsis Т. V., Tsiboukis T. D. Development and implementation of second and third order vector finite elements in various 3D-electromagnetic field problem // IEEE Transaction on Magnetics, Vol. 33, No 2, pp. 18121815, March 1997.

38. Graglia R., Wilton D. R., Peterson A. F. Higher order interpolating vector bases for computational electromagnetics // IEEE Transaction on Antennas and Propagation, Vol. 45, pp. 329-343, March 1997.

39. Webb J. P., Forghani B. Hierarchical scalar and vector tetrahedra // IEEE Transaction on Magnetics, Vol. 29, pp. 1495-1498, March 1993.

40. Andersen L. S., Volakis J. L. Mixed-order tangential vector finite elements for triangular and tetrahedral elements // IEEE Transaction on Antennas and Propagation, Vol. 50, No 1, pp. 104-108, February 1998.

41. Din-Kow Sun, Jin-Fa Lee, Z. Cendes. Construction of Nearly Orthogonal Nedelec Bases for Rapid Convergence with Multilevel Preconditioned Solvers // SIAM J. Sci. Copmut. Vol. 22, No. 4, pp. 1053-1076. 2001.

42. Sacks Z. S., David M. Kingsland, Lee R., Lee J.-F. A Perfectly Matched Anisotropic Absorber for Use as an Absorbing Boundary Condition // IEEE Trans, on Antennas and Prop., Vol. 43, No 12, pp. 1460-1463. December 1995.

43. Bramble J. H., Pasciak J. E. Analysis of a finite element PML approximation for the three dimensional time-harmonic Maxwell problem // Math. Сотр., Vol. 77, pp. 1-10. 2008.

44. Volakis J. L., Ozdemir Т., Gong J. Hybrid finite element methodologies for antennas and scattering // IEEE Antennas Propag., pp. 493-507. March 1997.

45. Chatterjee A., Volakis J. L. Conformal Absorbing Boundary Conditions for 3-D Problems: Derivation and Applications // IEEE Trans, on Antennas and Prop., Vol. 43, No. 8, pp. 860-866. August 1995.

46. Botha M. M., Davidson D. B. Rigorous, Auxiliary Variable-Based Implementation of a Second-Order ABC for the Vector FEM // IEEE Trans, on Antennas and Prop., Vol. 54, No. 11, pp. 3499-3504. November 2006.52. http://www.ansoft.com/products/hf/hfss/

47. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.-416 с.

48. Lou Z., Jin J.-M. An Accurate Waveguide Port Boundary Condition for the Time-Domain Finite-Element Method // IEEE Trans, on Microwave Theory and Tech., Vol. 53, No 9, pp. 3014-3023. September 2005.

49. Cendes Z., Lee J.-F. The Transfinite Element Method for Modeling MMIC Devices // IEEE Trans, on Microwave Theory and Tech., Vol. 36, No. 12, pp. 1639- 1649. December 1988.

50. Din Kow Sun, Cendes Z., Lee J.-F. Adaptive Mesh Refinement, h-version, for Solving Multiport Microwave Devices in Three Dimensions // IEEE Trans, on magnetics, Vol. 36, No. 4, pp. 1596-1599, July 2000.

51. Slone R. D., Lee R., Lee J.-F. Automating multipoint Galerkin AWE for a FEM fast frequency sweep well conditioned asymptotic waveform evaluation for finite elements // IEEE Trans, on Magnetics, Vol. 38, No. 2, pp. 637-640, March 2002.

52. Slone R. D., Lee R., Lee J.-F. Well conditioned asymptotic waveform evaluation for finite elements // IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol. 51, No. 9, pp. 2442-2447, September 2003.59. http://www.emtalk.com/mwt mpa.htm

53. Bahl I. J. Lumped Elements for RF and Microwave Circuits. Artech House, 2003.

54. Feliziany M., Maradey F. Modeling of electromagnetic fields and electrical circuits with lumped and distributed elements by WETD method // IEEE Trans. Magnetics. 1999. Vol. M-35, № 3. P. 1666-1669.

55. Wu H., Cangellaris A. C. model-order reduction of finite-element approximation of passive electromagnetic devices including lumped electrical-circuit models // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 2004. Vol. MTT-52, №9. P. 2305-2313.

56. Vendik O.G., Pakhomov I. A. Electric- and Magnetic-field Strength in the Frensel Zone of a Microradiator Formed by an Electric and Magnetic Di-pole. Technical Physics, Vol. 50, No.l 1, 2005, P. 1479-1485.

57. Volakis J. L., Chatteijee A., Kempel L.C. Finite Element Method for Electromagnetics, IEEE Press, 1992.

58. Senior Т. B. A., Volakis J. L., Approximate Boundary Conditions in Electromagnetics, IEE Press, 1995.

59. Григорьев А. Д. Электродинамика и микроволновая техника: Учебник для вузов. 2-е изд., доп. СПб.: Лань, 2007.

60. IEEE 1528, IEEE Recommended Practice for Determining the Peak Spatial-Average Specific Absorption Rate (SAR) in the Human Head From Wireless Communications Devices: Measurement Techniques. January 2003.

61. CENELEC, Basic standard for the measurement of Specific Absorbtion Rate related to human exposure to electromagnetic field from mobile phones (300 MHz 3 GHz). Tech. Rep. EN 50361, July 2001.

62. Siegbahn M., Tornevik С. Measurements and FDTD computations of IEEE SCC 34 Spherical Bowl and Dipole Antenna. http://www.remcom.com/articles-and-papers/measurements-and-fdtd-computations-of-the-ieee-scc-34spheric.html

63. Martinez-Burdalo M., Nonidez L., Martin A., Villar R. FDTD analysis of the maximum SAR when operating a mobile phone near a human eye and a wall // Microwave and Optical Technology Letters, Vol. 28, issue 2, pp. 8385.

64. Koulouridis S., Konstantinia S. N. Study of the coupling between human head and cellular phone helical antennas // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, Vol. 46, No. 1, pp. 62-70. February 2004.

65. Martinez-Burdalo M, Martin A, Anguiano M, Villar R. Comparison of FDTD-calculated specific absorbtion rate in adults and children when using a mobile phone at 900 and 1800 MHz // Physics in Medicine and Biology, No. 49, pp. 345-354. January 2004.

66. Григорьев А.Д., Салимов P.B. Моделирование волновых электромагнитных полей методом векторных конечных элементов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. — 2005. Вып. 1.- С. 82-85.

67. Салимов Р. В. Встраивание сосредоточенных элементов и портов в векторный метод конечных элементов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 2. С. 66-69.

68. Григорьев А. Д., Салимов P. В., Тихонов P. И. Сравнительный анализ результатов моделирования антенны сотового телефона различнымипрограммными средствами. // Труды конференции, посвященной Дню радио, Изд-во СПбГЭТУ, 2008, с. 28.

69. Григорьев А. Д., Салимов Р. В., Тихонов Р. И. Расчет поля и параметров антенн сотовых телефонов. // Материалы 8-й международной конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов: Изд-во СГТУ, 2008, с. 243 249.

70. Григорьев А. Д., Салимов Р. В., Тихонов Р. И. Сравнительный анализ результатов моделирования антенн сотовых телефонов.//. Материалы научн.-техн. семинара "Инновационные разработки в СВЧ технике и электронике". СПб.: Изд-во СПбГЭТУ, с. 16-17, 2008.