Моделирование динамических систем с гироскопической структурой при параметрических возмущениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Исламов, Ринат Робертович

• Исламов, Ринат Робертович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Исламов, Ринат Робертович

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ 16 СИСТЕМ С ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

1.1. Математическая модель движения динамической системы с 16 гироскопической структурой в форме Рауса

1.2. Линейная модель движения динамических систем в специальных 22 координатах

1.3.0 математической теории параметрического резонанса

1.4. Области неустойчивости в случае параметрического резонанса в 33 динамической системе с гироскопической структурой при наличии диссипативных сил

Выводы и результаты

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 38 НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

2.1. Исследование математической модели динамической системы с 38 гироскопической структурой для различных матриц возмущения при координате

2.2. Исследование математической модели динамической системы с 50 гироскопической структурой для различных матриц возмущения при производной

2.3. Исследование влияния диссипативных сил на устойчивость движения 56 динамической системы с гироскопической структурой при параметрических возмущениях

2.4. Об опасности комбинационных резонансов в динамических системах с 60 гироскопической структурой при наличии диссипативных сил

Выводы и результаты

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 64 ГИРОСКОПИЧЕСКИ СТАБИЛИЗИРОВАННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

3.1. Исследование математической модели гироскопически 64 стабилизированных динамических систем для симметрических и кососимметрических матриц возмущений при координате

3.2. Исследование математической модели гироскопически 73 стабилизированных динамических систем для симметрических и кососимметрических матриц возмущений при производной

Выводы и результаты

4. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ К 81 ИССЛЕДОВАНИЮ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСОВ В НЕКОТОРЫХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

4.1. Исследование устойчивости гиромаятника на вибрирующем основании

4.2. Исследование четырехгироскопной гировертикали при вибрации 96 основания

4.3.0 параметрическом резонансе однороторного гирокомпаса при 104 трехкомпонентной вибрации основания

4.4. Исследование параметрического резонанса двухроторного гирокомпаса при специальном маневре корабля.

Выводы и результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование динамических систем с гироскопической структурой при параметрических возмущениях»

Изучение моделей динамических систем с гироскопической структурой, описывающих движение данных систем при параметрических возмущениях с учетом диссипации, является актуальной задачей, поскольку динамические системы с гироскопической структурой встречаются во многих областях техники. Это гироскопические системы (гировертикали, гирокомпасы, гиростабилизаторы и т.д.), которые применяются в авиации и на морских судах для навигации и автоматического управления; на танках для стабилизации прицелов и орудий; в нефтяной и горнорудной промышленности при бурении скважин, прокладке шахт и тоннелей и т.д. В реальных условиях эксплуатации гироприборы находятся под воздействием разнообразных возмущений, которые могут привести к параметрическим резонансным явлениям, нарушающим нормальную работу гироприборов. Предвидение и предупреждение резонансных явлений - неотъемлемая часть расчетов на точность и стабильность работы гироскопических систем.

Изучение линейной математической модели движения динамических систем с гироскопической структурой в условиях параметрических возмущений и диссипации приводит к исследованию линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и гироскопическими связями, что представляет трудную для исследования задачу.

С такими уравнениями приходится встречаться при исследовании движения моделей гироскопических систем в линейном приближении при вибрациях основания, когда центр тяжести гироприбора смещен относительно точки подвеса (гиромаятник, гирокомпас и т.д.). Смещение центра тяжести может происходить в процессе его эксплуатации вследствие температурных напряжений, износа подшипников и т.д.

Большое число задач физики и техники сводится к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, что подчеркивает актуальность указанной проблемы. Достаточно указать на теорию нелинейных колебаний, небесную механику, динамическую устойчивость упругих систем, проблемы волновой механики, колебаний коленчатых валов.

Несмотря на многочисленные исследования по изучению уравнений с периодическими коэффициентами, выполненные отечественными и зарубежными учеными, некоторые вопросы остаются нераскрытыми. Задача о влиянии малых диссипативных сил для системы с гироскопическими связями при параметрическом резонансе является актуальной, так как в реальных системах всегда имеет место диссипация, а этот вопрос изучен недостаточно. Также важной является задача об устойчивости гироскопически стабилизированных динамических систем при различных классах параметрических возмущений, которая на настоящий момент практически не изучена.

Необходимо отметить, что учет диссипативных сил в линейной модели движения делает непригодными многие методы, применяемые для исследования параметрических резонансов в канонических системах. Поэтому актуальна задача построения упрощенной линейной модели рассматриваемой динамической системы, удобной для дальнейшего исследования. В диссертации рассматриваются вопросы устойчивости решений определенного класса векторных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами и гироскопической структурой при наличии малой диссипации. К исследованию таких дифференциальных уравнений приводят многие задачи техники, физики и систем автоматического управления в случае параметрических колебаний с такими уравнениями приходится встречаться также при исследовании движения гироскопических систем в линейном приближении при вибрациях основания, когда центр тяжести гироприбора смещен относительно точки подвеса (гиромаятник, гирокомпас и т.д.). Смещение центра тяжести может происходить в процессе его эксплуатации вследствие температурных напряжений, износа подшипников и т.п.

Гироскопические системы применяются в различных областях техники: в авиации и морских судах для навигации и автоматического управления; на танках для стабилизации прицелов и орудий; в нефтяной и горнорудной промышленности при бурении скважин, прокладке шахт и тоннелей и т.д. Сложные условия эксплуатации современной техники предъявляют очень высокие требования к точности и надежности работы гироскопических устройств. В реальных условиях эксплуатации гироприборы находятся под воздействием разнообразных возмущений, которые могут привести к возникновению параметрических резонансных явлений, нарушающих нормальную работу гироприборов. Предвидение и предупреждение резонансных явлений - неотъемлемая часть расчетов на точность и стабильность работы гироскопических систем.

Погрешности в работе гироприборов могут происходить также из-за параметрических резонансов, возникающих в гироскопических устройствах вследствие угловых и линейных вибраций основания прибора. Такие вибрационные колебания гироприбора на различных диапазонах частот порождаются работой двигателя; сверхзвуковым течением газов на выходе из сопла; изгибно-крутильными деформациями крыльев и хвостового оперения.

Изучение вопросов параметрического резонанса в гироскопических системах (в линейном приближении) приводит к исследованию линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и гироскопическими членами. К исследованию указанных дифференциальных уравнений приводят многие задачи физики и техники.

Для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, где отсутствуют гироскопические члены, известны теоремы об устойчивости решений М. Г. Крейна и К. Г. Валеева. Несомненный интерес представляет обобщение этих результатов на системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и гироскопическими связями. Так как в реальных гироскопических системах всегда присутствуют силы трения, то весьма важной является задача изучения влияния малых диссипативных сил на поведение системы в случае параметрического резонанса. Для определенных линейных систем без гироскопических членов в случае комбинационного параметрического резонанса в работах некоторых исследователей была отмечена возможность расширения области неустойчивости при наличии малого трения.

Для систем с гироскопическими связями актуальной является задача о влиянии малых диссипативных сил при параметрическом резонансе, так как эти вопросы изучены недостаточно. Отметим также, что уравнения в вариациях для периодических решений широкого класса нелинейных систем, представляют собой линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, которые могут быть истолкованы как уравнения параметрических колебаний.

Целью работы является построение линейной модели динамической системы с гироскопической структурой при параметрических возмущениях с учетом диссипации в специальных координатах, разработка приближенного аналитического метода исследования устойчивости таких систем для различных классов параметрических возмущений, создание численного метода и комплекса программ для нахождения границ областей неустойчивости.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построить линейную модель динамической системы с гироскопической структурой при действии диссипативных сил и параметрических возмущений в специальных координатах.

2. Разработать приближенный аналитический метод исследования устойчивости динамической системы при действии гироскопических и диссипативных сил в случае наличия параметрических возмущений на основе ее линейной модели.

3. Провести исследование влияния диссипативных сил на устойчивость динамических систем с гироскопической структурой в случае простого и комбинационного параметрических резонансов. Изучить движение гироскопически стабилизированных систем для различных классов периодических возмущений.

4. Разработать численный метод и комплекс программ для построения границ областей неустойчивости системы и применить созданные методы к исследованию параметрического резонанса в конкретных гироскопических системах.

Научная новизна работы

1. Научная новизна разработанной линейной модели движения динамической системы с гироскопической структурой заключается в учете действия диссипативных сил и параметрических возмущений, а также в приведении ее к специальным координатам, удобным для дальнейшего исследования.

2. Разработан приближенный аналитический метод исследования устойчивости движения для построенной модели в случае параметрических возмущений, новизна которого заключается нахождении границ области неустойчивости непосредственно через параметры систем и обобщении результатов, касающихся устойчивости движения динамических систем при параметрических возмущениях на более широкий класс динамических систем с гироскопической структурой.

3. Получены данные о расширении границ области неустойчивости в случае комбинационного параметрического резонанса при наличии в системе с гироскопической структурой достаточно малого трения, научная новизна которых заключается в определении критериев, при которых происходит расширение границы области неустойчивости на плоскости параметров системы. Также получены новые данные об устойчивости гироскопически стабилизированной системы для различных классов параметрических матриц возмущений.

4. Разработан численный метод и комплекс программ для построения границы области неустойчивости в случае параметрического резонанса, опирающийся на новые подходы, предложенные в диссертационной работе.

Теоретическая и практическая ценность работы

Теоретическая ценность работы заключается в разработке приближенного метода исследования устойчивости для линейной модели динамической системы с гироскопической структурой по виду периодических матриц возмущений и установлении критерия расширения границы области неустойчивости в случае комбинационного параметрического резонанса при наличии малой диссипации.

Практическая ценность работы заключается в применении разработанных методов при исследовании устойчивости движения гироскопических приборов (гировертикали, гирокомпаса, четырехгироскопной вертикали) в случае параметрического резонанса. Получены соотношения, позволяющие отыскать параметры гироскопических приборов, исключающие возможность наступления простого параметрического резонанса. Разработанные численные методы используются для построения границ области неустойчивости.

В первой главе показано, что линейная модель движения динамической системы с гироскопической структурой при действии параметрических возмущений диссипативных сил в нециклических координатах описывается векторным линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Далее модифицированная линейная модель движения системы записывается в специальных координатах, приводятся основные положения теории параметрического резонанса и формулы для нахождения границ области неустойчивости на плоскости параметров.

Во второй главе разработан приближенный аналитический метод исследования линейной модели движения динамической системы с гироскопической структурой при параметрических возмущениях с учетом диссипативных сил. Исследуется устойчивость определенного класса динамических систем при симметрических и кососимметрических матрицах возмущений. Получены формулы, определяющие границы области неустойчивости, выраженные через параметры системы. Рассмотрены примеры, где результаты численного исследования системы согласуются с результатами, полученными аналитически.

Изучается влияние малых диссипативных сил на устойчивость динамической системы с гирскопической структурой при параметрических возмущениях. Получены условия расширения границ области неустойчивости в случае комбинационного параметрического резонанса при наличии в гироскопической системе достаточно малого трения.

В третьей главе исследуется устойчивость гироскопически стабилизированных систем при параметрических возмущениях. Полученные результаты позволяют сделать заключение об устойчивости системы по виду периодических матриц возмущений. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие основные положения изложенной теории. Получены формулы, определяющие границы области неустойчивости.

Четвертая глава посвящена применению результатов, полученных в предыдущих главах, в исследовании конкретных гироскопических систем, подверженных действию периодических параметрических возмущений.

Исследуется движение гиромаятника и четырехгироскопной вертикали при вибрации основания по гармоническому закону в вертикальном направлении с учетом массы рамок и вязкого трения в опорах осей подвесов. При этом уравнения малых колебаний гиромаятника и четырехгироскопной вертикали представляют собой линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. Исследование устойчивости проводится согласно методике, изложенной в главах 1 - 3. Приводятся формулы, определяющие границы области неустойчивости в случае простых и комбинационных параметрических резонансов. Установлено, что при определенных условиях наличие малого трения в осях карданова подвеса приводит к расширению области неустойчивости при комбинационном параметрическом резонансе. Показано, что при определенных соотношениях параметров гиромаятника простые параметрические резонансы отсутствуют. С помощью разработанного численного метода определяются границы области неустойчивости.

Рассматривается также случай, когда центр тяжести гиромаятника расположен выше точки опоры. При этом исследование параметрических колебаний гиромаятника проводится на основе метода, изложенного в главе III при исследовании гиростабилизированной системы.

Исследуется движение однороторного гирокомпаса с маятником при трехкомпонентной линейной вибрации основания. Полученные уравнения после линеаризации приводятся к линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. Приведены условия устойчивости, выраженные через параметры гирокомпаса, амплитуды вибраций и коэффициенты трения в осях подвесов.

Также рассматривается вопрос об устойчивости двухроторного гирокомпаса типа Аншютца при циркуляции корабля с учетом диссипативных сил. Уравнения движения записываются в специальных координатах. Получены уравнения границ области неустойчивости в первом приближении в случае параметрического резонанса. С учетом сил трения получены условия асимптотической устойчивости гирокомпаса.

В приложении А приводится исходный код программного продукта, разработанного для нахождения границ области неустойчивости систем с гироскопической структурой при наличии диссипативных сил. Приводится пример вычисления границ области неустойчивости. Показано, что введение достаточно малого трения в систему с гироскопической структурой приводит к расширению границ области неустойчивости при комбинационном параметрическом резонансе. В случае простых параметрических резонансов данного явления не наблюдается.

Приведем краткий обзор работ, посвященных способам построения областей неустойчивости и исследованиям параметрического резонанса в гироскопических системах.

Приступая к обзору, заметим, что современная теория линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами создана главным образом работами отечественных ученых: Н.Н. Боголюбова, К.Г. Валеева, Ф.Р. Гантмахера, И.П. Гельфанда, Б.П. Демидовича, Л.И. Донской, Н.П. Еругина, К.Р. Коваленко, В.О. Кононенко, Н.Е. Кочина, Н.Н. Красовского, М.Г. Крейна, Н.М. Крылова, В.Б. Лидского, A.M. Ляпунова, И.Г. Малкина, Ю.А. Митропольского, Н.Д. Моисеева, М.Г. Нейгауза, В.В. Немыцкого, К.П. Персидского, А.П. Проскурякова, И.М. Раппопорта, A.M. Самойленко, В.М. Старжинского, В.В. Степанова, С.Ф. Фещенко, В.Н. Фомина, Н.Г. Четаева, С.П. Шиманова, И.З. Штокало, В.А. Якубовича и др.

Математическая теория параметрического резонанса для линейных гамильтоновых (канонических) систем дифференциальных уравнений развита достаточно хорошо. Результаты, полученные в этом направлении, приведены в работе М.Г. Крейна и В.А. Якубовича [58].

Большая заслуга в создании теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами принадлежит A.M. Ляпунову [64].

Формулы, определяющие границы области неустойчивости на плоскости параметров в первом приближении, получены В.А. Якубовичем [102] методом малого параметра. Аналогичные формулы другими методами были получены К.Г. Валеевым в работах [15], [17], [19] и М.Г. Малкиным [65].

Для гамильтоновых систем формулы, определяющие границы области неустойчивости, выведены Б.Г. Питтелем [75-77] и В.В. Болотиным [13]. Используя методику работ [58, 77, 106], границы области неустойчивости во втором приближении получены В.В. Чугаевым [91].

Монография В.Н. Фомина [90] посвящена исследованию явления параметрического резонанса в линейных системах с распределенными параметрами.

В вышеуказанных работах границы области неустойчивости получены для канонических систем. Однако в реальных системах всегда имеет место диссипация энергии. Поэтому исследование влияния трения на устойчивость системы при параметрическом резонансе представляет практический интерес.

В работе К.Г. Валеева [24] для определенного класса линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами исследуется влияние трения на устойчивость решений. Вслед за работой [109], для более широкого класса систем показано, что в случае комбинационного резонанса введение трения может привести к расширению области неустойчивости. Возможность данного явления отмечена и в работе [89].

В книге [10] параметрический резонанс исследуется асимптотическими методами. Границы области неустойчивости можно получить также на основе метода, указанного в книге [89].

Перейдем к рассмотрению работ, посвященных исследованию параметрических колебаний в гироскопических системах.

В работе В.Д. Королева [52] исследуется устойчивость двухроторного гирокомпаса на основе прецессионных уравнений, в случае равномерной циркуляции корабля. Рассмотрены простые и комбинационные резонансы. Исследование проводится асимптотическим методом Боголюбова-Крылова, а также одним из вариантов метода малого параметра.

В работе В.Н. Кошлякова и С.П. Сосницкого [55] на основе прецессионных уравнений исследуется устойчивость двухроторного гирокомпаса типа Аншютца для определенного маневра корабля. При этом показана возможность возникновения параметрического резонанса. Используя результаты работы [15] получены в первом приближении области неустойчивости. Делается вывод о том, что комбинационный параметрический резонанс представляет большую опасность по сравнению с простым резонансом.

В работе В.П. Нестеренко [70] исследуется устойчивость однороторного гирокомпаса в случае линейной гармонической вибрации основания. При этом рассмотрены простые резонансы, определено условие устойчивости.

С.П. Сосницким в работе [83] исследуется устойчивость двухроторного гирокомпаса для случая маневра корабля, состоящего из последовательных полуциркуляций, разделенных промежутками времени, в течении которых корабль следует прямым курсом. При этом учитываются силы вязкого трения в жидкостном подвесе.

На основе формул, приведенных в [15], [24] находятся в первом приближении границы области неустойчивости в случае комбинационного резонанса с учетом трения и без трения.

Работа В.И. Копытова [53] посвящена поведению однороторного гирокомпаса при трехкомпонентной линейной вибрации основания. При этом задача о движении гирокомпаса на основе прецессионных уравнений сводится к задаче Хилла.

В работе Ю.В. Осетинского [74] исследуется устойчивость гироскопического маятника, установленного на платформе, совершающего гармонические колебания в вертикальном направлении. На основе асимптотических методов установлено, что могут возникнуть параметрические колебания колец подвеса.

В работах [42], [43] исследуется устойчивость гироскопических систем при параметрических возмущениях.

Используя результаты работы К.Г. Валеева [24], изучается влияние диссипативных сил. Показано, что при комбинационном резонансе введение достаточно малого трения приводит к расширению области неустойчивости. Исследуется устойчивость гиромаятника и четырехгироскопной вертикали при вибрации основания.

В книге [47] изложены методы интегрирования гамильтоновых систем, перечислены многие точно решенные задачи. Результаты общего характера проиллюстрированы примерами из небесной механики, динамики твердого тела, гидродинамики и математической физики. Рассмотрены резонансные режимы колебаний в гамильтоновой системе.

В работе [110] на основе теории Флоке рассматривается система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Исламов, Ринат Робертович

Результаты исследования представляют также интерес в математической теории параметрического резонанса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1.В диссертации разработан приближенный метод исследования параметрического резонанса для линейной модели движения динамических систем с гироскопической структурой при наличии диссипации. Метод основан на приведении уравнений движения динамических систем к специальным координатам и использовании теории параметрического резонанса.

2. С помощью данного метода получены формулы, определяющие границы области неустойчивости, выраженные непосредственно через коэффициенты системы дифференциальных уравнений, пригодные для инженерных расчетов.

3. Получены результаты, обобщающие теоремы об устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами на более широкий класс дифференциальных уравнений с гироскопической структурой с учетом диссипации.

4. Установлен результат об опасности комбинационного параметрического резонанса при наличии в системе с гироскопической структурой достаточно малой диссипации. Получены условия, при которых происходит расширение границы области неустойчивости на плоскости параметров системы в случае комбинационного параметрического резонанса.

5. Получены новые результаты об устойчивости гироскопически стабилизированной динамической системы при действии различных классов периодических матриц возмущений.

6. Полученные результаты применяются для исследования конкретных гироскопических систем (гировертикали, гирокомпаса, четырехгироскопной вертикали и т.д.) в условиях параметрического резонанса. Найденные условия устойчивости для гировертикали и гирокомпаса при параметрических возмущениях совпадают с исследованиями других авторов, полученными на основе асимптотических методов для некоторых простых случаев.

7. Результаты аналитического исследования моделей динамических систем с гироскопической структурой иллюстрируются результатами численного моделирования. Приводится примеров численного решения задачи

Коши для линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами для различных классов матриц возмущений.

8. Разработан численный метод и программный продукт для численного определения границ области неустойчивости динамических систем с гироскопической структурой. В приложении приведены результаты вычислительного эксперимента, свидетельствующие о расширении границ области неустойчивости на плоскости параметров при введении в систему трения.

На основе полученных результатов можно сделать заключение об устойчивости решений определенного класса систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и гироскопической структурой непосредственно по виду периодических матриц возмущений. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при исследовании устойчивости гироскопических устройств в задачах физики и техники в случае параметрических возмущений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Исламов, Ринат Робертович, 2007 год

1. Арнольд В. И. Замечания о теории возмущений для задач типа Матье. //УМН, 1983.-Т.38. №4(232).-С. 189-203

2. Арнольд В.И. Избранное-60 М.: ФАЗИС, 1997. - 815 с.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.-472 с.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.-568 с.

5. Аргатов И.И. Введение в асимптотическое моделирование в механике. С.П-б.: Политехника, 2004. - 302 с.

6. Ашихмин В.Н., Гитман М.Б. Введение в математическое моделирование. М.: Логос, 2005. - 439 с.

7. Бейлин Е.А., Джанелидзе Г.А. Обзор работ по динамической устойчиовсти упругих систем. // ПММ, 1952. Т. 16. - Вып. 5. - С. 635-648.

8. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. - 408 с.

9. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.-243 с.

10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963. - 447 с.

11. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.

12. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: РХД, 2001.-379 с.

13. Булгаков Б.В. О нормальных координатах. // ПММ, 1946. Т. 10. -Вып. 2.-С. 235-243.

14. Бутенин Н.В. Влияние сил сухого и вязкого трения на движение оси свободного гироскопа, установленного на неподвижном основании. // Изв. вузов. Приборостроение, 1960. Т. 3. - Вып. 5. - С. 213-221

15. Валеев К.Г. О решении и характеристических показателях решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // ПММ, 1960. Т. 24. - Вып. 4. - С. 535-602.

16. Валеев К.Г. К методу Хилла в теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // ПММ, 1960. Т. 24. - Вып. 6. - С. 979-987.

17. Валеев К.Г. Об одном методе решения систем линейных дифференциальных уравнений с синусоидальными коэффициентами. // Изв. вузов. Радиофизика, 1960. Т. 3. - Вып. 6. - С. 1113-1126.

18. Валеев К.Г. К методу Хилла в теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Определение характеристических показателей.//ПММ, 1961.-Т. 25.-Вып. 2.-С. 314-318.

19. Валеев К.Г. Об устойчивости решений системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с периодическими коэффициентами в резонансном случае. // ПММ, 1961. Т. 25. - Вып. 4. -С. 794-796.

20. Валеев К.Г. Об устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с синусоидальными коэффициентами. // Изв. вузов. Радиофизика, 1962.-Т. 5.-Вып. 4.-С. 766-783.

21. Валеев К.Г. Исследование устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с синусоидальными коэффициентами. // Изв. вузов. Радиофизика, 1962. Т. 5. - Вып. 4

22. Валеев К.Г. Об одной системе линейных дифференциальных уравнений с простыми гармоническими коэффициентами. // Изв. АН СССР. Мех. и машиностр, 1963. №5. - С. 203-205.

23. Валеев К.Г. О сходимости рядов, определяющих границы областей неустойчивости решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами. // ПММ, 1963. Т. 27. - Вып. 3.

24. Валеев К.Г. Об опасности комбинационных резонансов. // ПММ, 1963. Т. 27. - Вып. 23. - С.1134-1142.

25. Валеев К.Г., Важговская М.Я. Об аналитичности границ областей устойчивости решения канонической системы дифференциальных уравнений. // Тез. респ. симп. по диф. ур. Одесса, 1968.-С. 123-131.

26. Волков. Е.А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. - 256 с.

27. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971. - 508 с.

28. Гайшун И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. 2-е изд., стер. М.: Эдиториал УРСС, 2004. - 408 с.

29. Галкин О. Г. Резонансные области для динамических систем типа Матье // УМН, 1989. 44:3(267) - С. 153-154.

30. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. 3-е изд. М.: Физматлит, 2001. - 254 с.

31. Гельфанд И.М., Лидский В.Б. О структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // УМН, 1955. Т. 10. - Вып. 1(63) - С. 340.

32. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М.: МГУ, 2000.719 с.

33. Горелик Г.С. Резонансные явления в линейных системах с периодически меняющимися параметрами. // ЖТФ, 1934. Т. 4 - Вып. 10. -С.1783-1817.

34. Гудстейн Р. Решение уравнений движения гироскопа методом теории возмущений. // Механика (Период, сб. переводов), 1960. -№5(63). С. 132-141.

35. Гусаров Р.С. Об ограниченности решений линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами. // ПММ, 1950. Т.4. - Вып.З. - С. 313-314.

36. Далецкий Г.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. -534 с.

37. Демидович Б.П. О некоторых свойствах характеристического показателей системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // Учен. зап. МГУ. Матем., 1952. Т.6. -Вып. 163.-С. 123-132.

38. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. Изд. 2-е. М.: МГУ, 1998. - 480 с.

39. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазилинейными коэффициентами. Минск: АН БССР, 1963.-367 с.

40. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний. -М.: Наука, 1988.-380 с.

41. Зубов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970. - 435 с.

42. Исламов P.P., Исламов P.P. Исследование параметрического резонанса в гироскопических системах // Вестник УГАТУ, 2005. Т.6, №1(12). -С. 41-46.

43. Исламов P.P., Исламов P.P. Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений при параметрических возмущениях // Вестник УГАТУ, 2005. Т.6, №2(13). - С. 40-41.

44. Ишлинский А.Г. Механика гироскопических систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.-482 с.

45. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976.-672 с.

46. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Ж. эксперим. и теоретич. физики, 1951. Том 21, №5.-С. 588-597.

47. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995. - 432 с.

48. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика. // Межд. матем. конгресс в Амстердаме. М.: Физматгиз, 1961. - С. 531-537.

49. Кононенко В.О. О связанных изгибно-крутильных колебаниях. М.: Изд-во АН СССР, 1965. - 280 с.

50. Кононенко В.О. О параметрическом резонансе дробного порядка. // Изв. АН СССР. ОТН, 1958.-Т. 8.-№5.-С. 341-346.

51. Кононенко В.О. Колебательные системы с ограниченным возбужением. -М.: Наука, 1964. 370 с.

52. Королев В.Д. Исследование устойчивости гирокомпаса методами нелинейной механики. // Инж. журн. МТТ, 1966. №2 - С. 430-438.

53. Копытов В.И. Некоторые вопросы динамики гирокомпаса при наличии трехкомпонентной линейной вибрации основания. // Изв. вузов. Приборостроение, 1970. Т. 13. - Вып. 10. - С. 220-229.

54. Кочин Н.Е. О крутильных колебаниях коленчатых валов. // ПММ, 1934.-Т. 2.-Вып. 1. С.321-328.

55. Кошляков В.Н., Сосницкий С.П. Об устойчивости гирокомпаса. // Изв. АН СССР. МГТ, 1969. №3. - С. 403-412.

56. Кошляков В.П. Теория гироскопических компасов. М.: Наука. 1972. -532 с.

57. Крейн М.Г. Основные положения Я-зон устойчивости канонической системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // Сб. «Памяти А.А. Андронова». М.: Изд-во АН СССР, 1955.-С. 413^38.

58. Крейн М.Г., Якубович В.А. Гамильтоновы системы линейных дифференциальных уравнений. // Тр. междунар. симпозиума по нелинейным колебаниям. К.: Изд-во АН УССР - Т.1, 1963. - С. 277-305.

59. Кудревич Б.И. Теория гироскопических приборов. JI.: Судпромгиз. 1963.-379 с.

60. Кузьмин П.А. Устойчивость при параметрических возмущениях. // ПММ, 1957.-Вып. 1. С.678-685.

61. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. С-Пб.: Лань, 2006. - 432 с.

62. Леонов М.Я. Параметрическое представление квазигармонических колебаний. // ДАН СССР, 1948. Т.62. - №2. - С. 318-331.

63. Леонов М.Я. Устойчивость квазигармонических колебаний. // ДАН СССР, 1949. Т.64. - №5. - С. 410-423.

64. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат. 1950.-263 с.

65. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат. 1956. -488 с.

66. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966.530 с.

67. Матросов В.М. К вопросу устойчивости гироскопических систем с диссипацией. // Труды КАИ. К.: Изд-во КАИ - 1959. - Вып. XV. - С. 324-331.

68. Мозер Ю. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория. Ижевск: НИЦ «РХД», 1999 - 296 с.

69. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. 2-е изд. -М.: Едиториал УРСС, 2004. - 192 с.

70. Нестеренко В.П. Параметрический резонанс однороторного гирокомпаса, установленного на вибрирующем основании. // Изв. вузов. Приборостроение, 1971. Т. 14. - №4. - С. 641-649.

71. Николаи Е.Л. Гироскоп в кардановом подвесе. М.: Наука, 1964.412 с.

72. Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем. -Ижевск: НИЦ «РХД», 1998. 216 с.

73. Осетинский Ю.В. Колебания системы типа центрифуги в зоне параметрического резонанса. // Инж. журн. МТТ, 1966. -№1. С. 512-521.

74. Осетинский Ю.В. О погрешности гиромаятника, установленного на колеблющейся платформе.// Изв. вузов. Приборостроение, 1970. Т.13. -№2.

75. Питтель Б.Г. О применении метода малого параметра в одной задаче динамической устойчивости. // В кн.: «Методы вычислений». Вып. 1. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1963. - С. 66-75.

76. Питтель Б.Г. Об алгоритме построения границ области неустойчивости линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. // В кн.: «Методы вычислений». Вып. 4. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1967.-С. 151-163.

77. Питтель Б.Г., Юзефович Г.П. Построение областей динамической неустойчивости канонических систем с периодическими коэффициентами. // Вест. ЛГУ. Серия: матем., механ., астр., 1962. Вып. 1. №1. - С. 89-101.

78. Пожарицкий Г.К. Об устойчивости диссипативных систем. // ПММ, 1957.-Т.21.-Вып. 4.-С. 127-133.

79. Рапопорт И.М. О линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами. // ДАН СССР, 1951. Т. XXVI. - №6. -С. 409^22.

80. Ройтенберг Я.Н. Многогироскопная вертикаль // ПММ, 1946. Т. 10. -Вып.1. - С. 121-136.

81. Ройтенберг Я.Н. Гироскопы. М.: Наука. 1966. - 345 с.

82. Слезкин Л.Н. О применении асимптотических методов к исследованию гироскопических систем. // ДАН СССР, 1962. Т. 147. - Вып.1. -С.358-366.

83. Сосницкий С.П. О комбинационном резонансе двухроторного гирокомпаса. // Прикл. мех., 1970. Т.6. -Вып.З. - С. 212-221.

84. Старжинский В.М. Обзор работ об условиях устойчивости тривиального решения системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // ПММ, 1954. Т. 18. - Вып.4. - С. 513-524.

85. Старжинский В.М. Об устойчивости тривиального решения линейных систем с периодическими коэффициентами. // ПММ, 1958. Т.22. -Вып. 5.-С. 646-656.

86. Старжинский В.М. Об устойчивости тривиального решения системы двух линейных уравнений с периодическими коэффициентами. // ПММ, 1960. -Т.24. Вып.З. - С. 578-581.

87. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. Ижевск: НИЦ «РХД», 1999.-596 с.

88. Федорченко A.M. О движении тяжелого несимметричного гироскопа с вибрирующей точкой опоры. // Укр. мат. журн. , 1958. Т.10. - №2. - С. 301— 312.

89. Фомин В.Н., Якубович В.А. Вычисление характеристических показателей линейных систем с периодическими коэффициентами. // В кн.: «Методы вычислений». Вып. 3. - J1.: Изд-во ЛГУ, 1966. - С. 108-117.

90. Фомин В.Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972. - 237 с.

91. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966.230 с.

92. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1984.-347 с.

93. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. - 360 с.

94. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - 423 с.

95. Чугаев В.В. Устойчивость малых колебаний шулеровской вертикали при движении объекта вдоль земной ортодромии. // МТТ, 1970. Т.6. - № 4. -С. 16-32.

96. Шиманов С.Н. Об отыскании характеристических показателей систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // ПММ, 1958. Т. 22. - Вып.З. - С. 382-385.

97. Штокало И.З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. // Матем. сб, 1946 Т. 19(61).№2. - С. 263-286.

98. Якубович В.А. Критерий устойчивости решения системы двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. //УМН, 1951. Т.6. -Вып.1. - С. 166-188.

99. Якубович В.А. Оценка характеристических показателей системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // ПММ, 1954. Т. 18. - Вып.5. - С. 533-546.

100. ЮО.Якубович В. А. Вопросы устойчивости решений систем двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // Матем. сб., 1955. Т.37(79). №1. - С. 21-68.

101. Якубович В.А. Замечания к некоторым работам по системам линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // ПММ, 1957. Т.21. - Вып.5. - С. 707-713.

102. Ю2.Якубович В.А. Критические частоты квазиканонических систем. // Вест. ЛГУ, 1958. №13. - Вып.З. - С. 35-63.

103. Якубович В.А. О динамической устойчивости упругих систем. // ДАН СССР, 1958. -Т .121. № 4. - С.602-605.

104. Ю4.Якубович В.А. Метод малого параметра для канонических систем с периодическими коэффициентами // ПММ, 1959. Т.23. - Вып.1. - С. 15-34.

105. Ю5.Якубович В.А. Системы линейных дифференциальных уравнений канонического вида с периодическими коэффициентами. // Автореф. дисс. на соискание учен. ст. д. ф.-м. н. ЛГУ, 1959. 16 с.

106. Юб.Якубович В.А. Области динамической неустойчивости гамильтоновых систем. // В кн.: «Методы вычислений». Л.: Изд-во ЛГУ, 1966. -Вып. 3.-С. 51-69.

107. Ю7.Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972-738 с.

108. Ю8.Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.:Наука, 1987. - 328 с.