Моделирование электромагнитного поля в средах с дисперсией электропроводности и диэлектрической проницаемости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Долгун, Алексей Александрович

• Долгун, Алексей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Долгун, Алексей Александрович

Выводы

Для решения уравнений, представленных в главе 2, построены вычислительные схемы на базе векторного метода конечных элементов. Рассматривались вариационные постановки, дискретизация, базисные функции, разностные схемы для аппроксимации по времени и методы решения СЛАУ. Приведено также описание программного комплекса, в котором были реализованы все необходимые алгоритмы.

Глава 4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ 4.1. Задача с известным решением

Целью данного исследования является тестирование работы программного комплекса и сходимости построенных вычислительных схем. Рассмотрим сначала задачу без зависимости от частоты (2.19) со всеми коэффициентами, равными 1:

4.1) к '' д? ы ы

В качестве решения будем использовать векторную функцию, состоящую из двух множителей: пространственного, являющегося трехмерным полиномом третьей степени, и временного: х-Щг-О^ Ху-1)(х-0,5)

Легко убедиться, что начальные условия будут однородными: и(х,0|,=0=0, ди(х, г) и(х, 0 =

-/О- (4.2) 0. 1=о ы

Подстановка и в уравнение (4.1) дает правую часть Г. Использование полиномов позволяет вычислять интегралы для вектора правой части (3.32) аналитически.

Численное решение задачи требует расчета краевых условий и второго слоя вычислительной схемы (3.34). Для этого необходимо построить аппроксимацию и в конечномерном пространстве Н1' (то^О.11), базисом которого являются \У0, \У13., ЛУд^. Делается это следующим образом. Пусть а0,а{,., - коэффициенты разложения аппроксимирующей функции по

N-1 базису. Потребуем, чтобы невязка и-^г^ЛУ,. была ортогональна всему

7=0 пространству Ни(гоі, О?):

N-1 Л 0 для всех / = 0,., N-1,

•/=° Л2(пЛ)

В результате получаем СЛАУ

JBa = g, где матрица В является одной из используемых в вычислительной схеме (3.31), а вектор g - аналог вектора правой части (3.32).

Область, в которой решается задача, представляет собой единичный куб 0<л:< 1, 0<7<1, 0<2<1. Для улучшения однородности тетраэдральной сетки в нем строится последовательность вложенных кубических сеток, каждая ячейка которых разбивается на шесть тетраэдров. Для измерения густоты сетки используется параметр к - длина стороны ячейки кубической сетки. То есть, при к = 1/2 область делится на 8 кубов и 48 тетраэдров.

Близость точного и численного решений по пространству рассчитывается с помощью относительной нормы разности где й — численное решение. Так как й представляет собой линейную комбинацию базисных функций, то интегральная норма Ь2 может быть получена с использованием той же матрицы В. Пусть а0, ах>., аих - коэффициенты этой линейной комбинации, тогда и-С«*

V /=о у=о 2

1}{С1") И-1 ЛГ-1

ЛМ

5>2Л К, IV,) - 2^«, («". + (и. «^(П») :=0 у=о /=0

7(и' = - 2 а • 8 + (и, и)^) / (и, и)^.

По времени задача решается на отрезке [0,1] с использованием равномерного шага для разностной схемы. Отрезок делится на т, равное 8, 16, 32 и т.д., частей. Сходимость по времени оценивается через сходимость по пространству в 8 точках: 1

1=1

4.3) I где t¡= — . Эта величина и показана далее в таблицах 4.1 и 4.2 при исполь-8 зовании базисов первого порядка второго типа и второго порядка второго типа, соответственно.