Моделирование и идентификация временных рядов в компьютерных системах с использованием фрактального и вейвлет-анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Муллер, Нина Васильевна

  • Муллер, Нина Васильевна
  • кандидат науккандидат наук
  • 2017, Комсомольск-на-Амуре
  • Специальность ВАК РФ05.13.18
  • Количество страниц 140
Муллер, Нина Васильевна. Моделирование и идентификация временных рядов в компьютерных системах с использованием фрактального и вейвлет-анализа: дис. кандидат наук: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Комсомольск-на-Амуре. 2017. 140 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Муллер, Нина Васильевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Современное состояние проблемы и критический анализ существующих методов обработки временных рядов

1.1 Методы анализа временных рядов в компьютерных системах

1.2 Анализ временных рядов телекоммуникационного трафика

1.3 Корреляционный анализ временных рядов

1.4 Спектральный анализ временных рядов

1.5 Фрактальный анализ нестационарных процессов

1.5.1 Классификация фракталов

1.5.2 Обзор методов получения фрактальных множеств

1.5.3 Фрактальная размерность

1.5.4 Методы определения фрактальной размерности

1.6 Вейвлет-анализ нестационарных процессов

1.6.1 Математические основы кратномасштабного анализа

1.6.2 Применение вейвлет-преобразований

1.6.3 Достоинства и недостатки вейвлет-преобразований

1.7 Выводы по главе 1

Глава 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение обработки временных рядов в компьютерных системах

2.1 Идентификация временного ряда

2.2 Математическая модель временного ряда

2.3 Модифицированный комбинированный подход для анализа временных рядов

2.4 Математическая и алгоритмическая реализация фрактального

анализа временных рядов

2.4.1 Метод оценки показателя Херста

2.4.2 Метод оценки фрактальной размерности

2.5 Математическая и алгоритмическая реализация вейвлет-анализа

временных рядов

2.6 Интерпретация вычисленных показателей хаотичности и результатов вейвлет - спектров

2.7 Корреляционный анализ вейвлет-спектров

2.8 Дополнительный показатель частотно-временного распределения нестационарных временных рядов

2.9 Выводы по главе 2

Глава 3. Численная и программная реализация фрактального и вейвлет-анализа временных рядов

3.1 Натурный эксперимент на примере обработки временного ряда базы данных информационной системы

3.2 Натурный эксперимент на примере обработки временного

ряда сетевого трафика компьютерной системы

3.3 Выводы по главе 3

Заключение

Обозначения и сокращения

Список использованных источников

Приложение А Список зарегистрированных программ для ЭВМ.

Свидетельства о регистрации, справки и акты внедрения

Приложение Б Основы корреляционного анализа сигналов

Приложение В Основы спектрального анализа сигналов

Приложение Г Примеры наиболее часто используемых вейвлетов. Свойства

вейвлет-преобразования

Приложение Д Программа «Обработка нестационарных данных с

применением фрактального и вейвлет-анализа»

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и идентификация временных рядов в компьютерных системах с использованием фрактального и вейвлет-анализа»

Введение

Актуальность

Для изучения свойств сложных систем широко применяется подход, основанный на анализе сигналов, произведенных системой. Это важно, когда математически описать исследуемый процесс затруднительно, но в нашем распоряжении имеется некоторая характерная наблюдаемая величина. Поэтому анализ систем, особенно при экспериментальных исследованиях, часто реализуется посредством обработки регистрируемых сигналов [62].

Почти в каждой предметной области существуют явления, которые необходимо изучать в их динамике, а совокупность регистрируемых сигналов подобного рода за определенный период времени и является временным рядом (ВР). Во временных рядах наблюдения статистически зависимы, и характер этой зависимости может быть определен последовательностью произведенных наблюдений. Как правило, временные ряды представляют случайные изменения величин, наиболее популярные примеры которых можно привести из области технических систем, информационно-телекоммуникационных систем, экономики (колебания обменных курсов валют), медицины (электрокардиограмма) и т.д. [5,13,80,87,89,97].

Для анализа временных рядов, которые представляют собой стационарные или нестационарные случайные процессы используют традиционные методы статистического анализа случайных величин и функций. Наиболее распространенными из них являются корреляционный и спектральный анализы, сглаживание и фильтрация данных, модели авторегрессии и прогнозирования [12,23,26,67,94].

Наряду с традиционными методами, в последние годы получают распространение способы обработки сигналов, основанные на фрактальном и вейвлет-преобразованиях [15,20,21,24,32,43,88,97]. Отличительная особенность

последних состоит в том, что они позволяют вскрыть особенности локальной структуры сложного сигнала и выявить различные его свойства, невидимые в режиме реального времени. В области вейвлет-преобразования выделяется дополнительная информация, недоступная в исходном виде. Важной характеристикой методов, основанных на фрактальных представлениях и вейвлет-преобразованиях, является их универсальность.

На сегодняшний момент времени существуют две основные цели анализа временных рядов: необходимость выявления внутренних закономерностей в поведении временных рядов и прогноз периодов устойчивости исследуемых процессов. Требования к качеству выявления и исследования этих закономерностей в настоящее время ужесточаются и данные цели требуют, чтобы модель ряда была идентифицирована.

Поэтому возникает необходимость в разработке новых и модификации существующих алгоритмов анализа временных рядов в компьютерных системах.

Все это определило выбор темы диссертации, основную цель и исследовательские задачи.

Диссертационная работа посвящена решению проблемы по моделированию и идентификации временных рядов с применением комбинированного подхода для проведения многофакторного анализа нестационарных процессов.

Целью настоящей работы является повышение качества идентификации и анализа временных рядов в компьютерных системах путем использования фрактального и вейвлет-анализа.

Объект исследования - временные ряды в компьютерных системах.

Предмет исследования - фрактальный и вейвлет-анализ.

В ходе достижения цели диссертационного исследования решались следующие задачи:

- разработать математическую модель временных рядов на основе фрактального и вейвлет-анализа;

- расширить возможности фрактального и вейвлет-анализа введением корреляционного анализа и показателя частотно-временного распределения нестационарных временных рядов;

- разработать алгоритмическое и программное обеспечение, реализующие предложенные математическую модель, фрактальную и вейвлет-обработку временных рядов;

- применить предложенный комбинированный подход, вычислительный алгоритм и программный комплекс для проверки адекватности модели на основе данных натурных экспериментов;

- выявить закономерности в поведении временных рядов на примере базы данных информационной системы и сетевого трафика компьютерной системы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработана математическая модель временного ряда, отличающаяся тем, что введена компонента хаотичности, в результате чего модель более точно отражает реальную ситуацию по идентификации временного ряда на самоподобность по сравнению со статистическими методами анализа;

- предложен комбинированный подход для математического моделирования и численной реализации на основе сочетания фрактального, вейвлет-анализа временных рядов, корреляционного анализа вейвлет-спектров и дополнительного показателя частотно-временного распределения нестационарных временных рядов, позволяющего оценить скорость изменения компонентов сигнала -динамики нестационарности;

- разработан комплекс алгоритмов и программ для анализа временных рядов на основе применения фрактального и вейвлет-анализа данных информационной системы (Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008613838 и Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009610716).

Научные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель временного ряда для описания всего многообразия процессов от стохастических до хаотических и детерминированных;

- комбинированный подход применения алгоритмов математического моделирования и численной реализации на основе сочетания фрактального, вейвлет-, корреляционного анализа и динамики нестационарности;

- комплекс вычислительных алгоритмов для реализации предложенного подхода обработки временных рядов;

- комплекс программ для идентификации и анализа временных рядов.

Практическая ценность работы:

- разработано программное обеспечение, реализующее модель и алгоритмы обработки временного ряда;

- разработанные математическая модель, алгоритмическое и программное обеспечение являются универсальными и применимы к исследованию нестационарных процессов, представленных временными рядами;

- предложенный подход позволяет выявлять внутренние закономерности в поведении временных рядов в режиме реального времени и прогнозировать периоды предполагаемой устойчивости явления исследуемых процессов.

Внедрение результатов работы. Разработанная модель и программный комплекс внедрены к использованию в организациях: ООО «Строительная компания Приамурья», OOO «Дальневосточная дорожно-строительная компания», ООО «ТКС Холдинг», в учебный процесс ФГБОУ ВО «КнАГТУ». Акты о внедрении приведены в Приложении А.

Результаты диссертационной работы находят применение и развитие при выполнении Государственного задания Министерства образования и науки РФ 2.1898.2017/ПЧ «Создание математического и алгоритмического обеспечения интеллектуальной информационно-телекоммуникационной системы безопасности вуза».

Методы исследования. В диссертационной работе при решении поставленных задач были использованы: теория идентификации, математическое моделирование, математическая статистика, методы численного анализа, фрактальный, вейвлет-анализ, корреляционный анализ. В качестве инструментов моделирования и программирования применялись: пакет прикладных программ

MATLAB, пакет статистических функций среды разработки программного обеспечения "Delphi", а также средства высокоуровневого языка программирования для инженерных расчетов "IDL".

Достоверность научных положений, выводов, рекомендаций, изложенных в диссертации, подтверждаются применением общепризнанных методов обработки: традиционного - корреляционного анализа, и современных методов - фрактального и вейвлет-анализа, а также использованием большого объема информационных данных для натурных экспериментов, предоставленных отделом социального страхования г. Комсомольска-на-Амуре и ИТ управлением ФГБОУ ВО «КнАГТУ».

Апробация результатов диссертации. Результаты научно-исследовательской работы по теме диссертации докладывались:

- на V конкурсе - конференции молодых ученых и аспирантов, организованной при поддержке администрации Хабаровского края в Институте водных и экологических проблем ДВО РАН г. Хабаровск, июнь 2003 г.;

- на международных научных чтениях «Приморские зори - 2003», организованных Администрацией Приморского края, ГОУВПО «ДВГТУ» и ТАНЭБ г. Владивосток, апрель 2003 г.;

- на научно-технической конференции аспирантов и студентов ФГБОУ ВПО «КнАГТУ» г. Комсомольск-на-Амуре, апрель 2004 г.;

- на 4-й региональной научно-практической конференции «Дальневосточная весна», посвященной 50-летию ФГБОУ ВПО «КнАГТУ» г. Комсомольск-на-Амуре, май 2005 г.;

- на международной конференции «Дальневосточная весна - 2007» ФГБОУ ВПО «КнАГТУ» г. Комсомольск-на-Амуре, июнь 2007 г.;

- на расширенном семинаре на кафедре информатики ФГОУ ВПО «АмГПГУ» г. Комсомольск-на-Амуре, февраль 2010 г.;

- на физико-математическом семинаре на кафедре прикладной математики ФГОУ ВПО «ТОГУ» г. Хабаровск, май 2010 г.;

- на расширенном семинаре на кафедре информатики ФГОУ ВПО «АмГПГУ» г. Комсомольск-на-Амуре, сентябрь 2010 г.;

- на физико-математическом семинаре на кафедре прикладной математики ФГОУ ВПО «ТОГУ» г. Хабаровск, февраль 2011 г.;

- на международной конференции «Career and education 2013», Сингапур, г. Сингапур, март 2013 г.;

- на международной конференции «Trends in nanotechnology international conference TNT-2013» - Испания, г. Севилья, сентябрь 2013 г.;

- на физико-математическом семинаре ФГОУ ВПО «ТОГУ» г. Хабаровск, октябрь 2015 г.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников. Содержание изложено на 140 страницах. Список использованных источников включает 149 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Публикации и личный вклад.

Основные результаты диссертации отражены в 14 научных работах, в том числе 7 - в ведущих рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК. Проведение основного объема теоретических и экспериментальных исследований, включая обработку данных; разработка моделей, методов и алгоритмов для решения поставленной задачи; анализ и обобщение результатов, полученных в процессе вычислительных экспериментов с моделью выполнены лично автором. Получено два свидетельства о регистрации программ для ЭВМ.

Благодарность. Автор выражает признательность научному руководителю Амосову О. С. за чуткое руководство и за поддержку в работе над диссертационным исследованием. Автор благодарит Хвостикова А.С., Баена С.Г. Магола Д.С. за ценные советы и консультации. Автор искренне признателен Кабалдину Ю.Г. и Серому С.В. за помощь в проведении диссертационного исследования.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ И КРИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

В главе проведена систематизация известных исследований по обработке временных рядов, освещены и проанализированы работы в этой области. Сформулированы задачи диссертационного исследования.

1.1 Методы анализа временных рядов в компьютерных

системах

Временной ряд - это собранная в разные отрезки времени статистическая информация о значениях каких-либо параметров изучаемого процесса. Измерение или отсчет - это каждая единица статистического материала [6]. Пусть, имеется временной ряд - последовательность наблюдений, упорядоченная по времени:

х1, х2,......., хп, где ^ - измерения некоторой переменной в п -равностоящих

моментов времени ? = 1,2,...,п [6].

Во временных рядах идет учет взаимосвязи измерения со временем, а не только статистическое разнообразие [16]. Временные ряды подразделяются на моментные и интервальные. Моментные временные ряды характеризуются значениями показателей на определенные моменты времени, интервальные характеризуются значениями показателей за определенный интервал времени.

В свою очередь, процессы, описываемые временными рядами можно разделить на стационарные и нестационарные [6].

В настоящее время существует множество статистических методов, применяемых для того, чтобы с определенной точностью отнести исследуемый случайный процесс к тому или иному виду для описания определенной

математической моделью. Большее число этих методов применимы к стационарным процессам, для которых существуют доказанные теоремы, позволяющие получать правомерные оценки параметров соответствующих распределений по временному ряду.

Сигнал является стационарным в случае, если его вероятностные характеристики со временем не изменяются и представляют собой как бы случайные колебания около некоторого среднего значения, в отличие от нестационарных (неоднородных), к которым относятся все другие сигналы [26,27,28]. Достаточно сложно обрабатывать нестационарные сигналы, применяя предположение о его стационарности (в случае классического преобразования Фурье). Случайный процесс £(0 можно назвать стационарным, если для произвольной последовательности t1,...,для любого значения 10 и для любого целого числа п > 1 функция распределения п -го порядка процесса имеет вид [26]:

Кп (Х1,----, Хп , ) = Кп (х1,-", Хп , t1 + t0 ,*•• tn + t0)• (1.1)

Следовательно, у стационарного случайного процесса п -мерная функция распределения зависит только от п -1 временных аргументов tl - ^ (г = 2,3,...,п).

В частности, одномерная функция распределения стационарного процесса не зависит от времени, и соответственно его математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, которые не зависят от времени.

Анализ временных рядов отличается от других видов статистического анализа за счет наличия существенности порядка, в котором произведены наблюдения. Природа ряда и структура процесса, порождающего ряд, предопределяют порядок образующейся последовательности.

Анализ временного ряда необходим для выявления структуры и прогноза поведения временных рядов [57]. Прогнозирование предполагает, что данные, которые получены в прошлом, смогут помочь объяснить значения в будущем. Необходимо понимать, что в некоторых случаях мы будем иметь дело с деталями, не отраженными в накопленных данных.

В разных предметных областях временные ряды достаточно распространенный тип данных, представленных в виде баз данных информационно-телекоммуникационных систем, которые анализируются впоследствии для исследования тенденций развития процессов. Во временных рядах содержится информация об особенностях и закономерностях протекания процесса. Такое извлечение из хранилищ и баз данных, является сферой профессиональной деятельности специалистов различного профиля [55]. Таким образом, в практической жизни базы данных компьютерных систем используются для хранения и обработки временных рядов.

Выявлять структуру временного ряда необходимо для построения математической модели того явления, которое будет являться источником анализируемого временного ряда. Временные ряды могут состоять из двух элементов: периода времени, по состоянию на который будут приведены числовые значения и числового значения какого-либо показателя, которое называют уровнем ряда [80].

Пример графического изображения временного ряда с шумом представлен на рисунке 1. 1

4-

3

2 I

_1_I_I_I_I_I_I_1_1_

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Рисунок 1.1 - Пример временного ряда

Скалярным временным рядом \хг =1 называется массив из N чисел, представляющих собой значения некоторой измеренной (наблюдаемой)

динамической переменной х^) с некоторым постоянным шагом т по времени ^ = ^ + (I - 1)т : х = ), I = 1,..., N [80].

Существует разные способы анализа временных рядов: динамические и статистические. В динамических методах подразумевается, что в ряде присутствует детерминированный хаос. В статистических методах применяется допущение наличия шума, и ряд рассматривается как стохастический [37].

К основным статистическим методам исследования временных рядов относят: метод выделения тренда, метод регрессии, автокорреляции, адаптивный метод (скользящих средних), метод гармонического анализа, спектрального анализа и нейросетевой метод [22,59,67,79].

Каждый из них обладает определенными преимуществами и недостатками. Все способы и методы проводятся с целью получения достоверной информации, которую можно было бы использовать впоследствии, в зависимости от поставленных целей исследования. Но пока, ни один из представленных методов нельзя считать наиболее предпочтительным или универсальным, в каждом из них имеются свои плюсы и минусы.

Все вышеуказанные методы корректно применимы только для стационарных рядов. Однако и в практической жизни они применяются ко всем рядам, которые возникают в случайном эксперименте. Тогда возникает вопрос корректности применения данных методов и оценки точности получаемых результатов.

В диссертации рассмотрены применяемые методы анализа временных рядов: традиционные - корреляционный, спектральный анализы, современные методы - фрактальный и вейвлет-анализ.

1.2 Анализ временных рядов телекоммуникационного трафика

Усовершенствование сетевого оборудования и транспортных протоколов в компьютерных сетях должно основываться на адекватных математических

моделях параметров трафика и инструментах моделирования сетевых процессов [92]. При росте числа потребителей информационных услуг увеличиваются требования к сетевому и серверному оборудованию, которые необходимы для поддержания необходимого уровня качества обслуживания.

Информация о сетевом трафике имеет статистический характер и представляет собой временные последовательности [125,126]. В частности, имеется в виду статистический анализ сетевого трафика как анализ временных рядов, а исследуемая статистика может быть как текущей (с усредненным интервалом информации от одной до десятков секунд), так и долговременной (с усредненным интервалом информации от минут до нескольких часов или суток).

Под анализом трафика рассматривается извлечение информации через данные, полученные на основе наблюдений за потоками трафика (объем, направление и частота).

Технология анализа сетевого трафика получила наиболее полное развитие в связи с несколькими факторами [92,125,126,134]:

- непрекращающийся рост объёмов передаваемых данных;

- рост ширины каналов, обеспечивающих возможности для передачи этих объёмов;

- увеличение количества разнообразия передаваемых данных, в частности тех, которые могут использоваться для составления различных профилей, как отдельных пользователей, так и различных групп;

- рост разновидностей и количества сетевых угроз и атак.

На сегодняшний момент существует достаточно много научных исследований в области анализа сетевого трафика и применения конкретных программно-аппаратных решений [14,134]. К факторам, влияющим на изменение времени передачи пакета данных на критическом участке, можно отнести: интенсивность трафика; время коммутации пакета; пропускную способность канала передачи данных; объем пакета данных; длину очереди пакетов данных к каналу; коэффициент загрузки канала служебной информацией.

При рассмотрении сетевого телекоммуникационного трафика одной из важных задач является наличие жестких требований по выявлению аномалий и своевременное реагирование на них для устойчивой и безопасной работы компьютерной сети. Традиционные модели сетевого трафика проявляют пульсирующий характер на коротких масштабах времени, но сильно сглажены на больших масштабах. Однако, трафик проявляет изменчивость в широком диапазоне масштабов времени [92,125,126,134].

При этом множество вопросов или исследований освещено в неполной мере или ориентировано на решение узких прикладных задач. Достаточно ограничен перечень статистических методов, который используется для обработки данных, характеризующих уровень интенсивности трафика. Особенность пакетной коммутации диктует необходимость пересмотра традиционных подходов анализа и синтеза трафика с применением традиционных теорий телекоммуникационного трафика и теорий массового обслуживания [4].

На данный момент нет систематизированных исследований по влиянию самоподобных свойств трафика на качество обслуживания абонентов. Математические модели трафика выстраиваются при условии его стационарности, что говорит о потребности в дальнейшем развитии исследований по данной проблематике.

1.3 Корреляционный анализ временных рядов

При применении корреляционного анализа временных рядов устанавливают взаимосвязь между показателями в одной выборке либо между двумя разными выборками. Существование этой связи будет сопровождаться либо увеличением одного показателя, либо уменьшением другого [12,91]. Корреляционный анализ является помощником в установлении предсказаний возможных значений одного

показателя при известной величине другого. Основы корреляционного анализа сигналов приведены в Приложении Б.

1.4 Спектральный анализ временных рядов

Главным методом обработки условно стационарных временных рядов является спектральный анализ. Спектральный анализ (Фурье-анализ) - способ обработки сигналов, позволяющий давать характеристику частотному составу изучаемого сигнала [12].

Преобразование Фурье применяется как математическая основа, которая связывает временной или пространственный сигнал с его представлением в частотной области. По одному единственному отрезку сигнала вероятно получение только некоторой оценки его спектра [91]. Основы спектрального анализа сигналов приведены в Приложении В.

Преобразование Фурье не отличает стационарный сигнал от нестационарного, так как спектральные коэффициенты вычисляются интегрированием по всему интервалу задания сигнала.

Он малопригоден для нестационарных сигналов из-за сложного спектрального распределения их во времени, не позволяя выделять тонкую структуру сигнала из-за малых соотношений сигнал-шум.

На практике наиболее часто встречаются процессы, описываемые нестационарными временными рядами. Для решения подобных задач требуется точный тщательный расчет, связанный с прогнозами, базирующимися на методах анализа данных, которые выявляют закономерности на фоне случайностей [77].

Если предположить, что нестационарный сигнал кусочно-стационарен, то можно использовать окно, достаточно узкое для того, чтобы сигнал внутри него выглядел стационарным. Такой подход получил название оконного преобразования Фурье (ОПФ).

При ОПФ сигнал будет делиться на отрезки, в пределах которых его можно считать стационарным. Для этого к сигналу применяется оконная функция w, ширина которой должна быть равной ширине окна [24].

Но в ОПФ имеется свой недостаток, который называется принципом неопределенности Гейзенберга, и гласит о том, что невозможно получить произвольно точное частотно-временное представление сигнала, то есть невозможно определить для какого момента времени, какие спектральные компоненты присутствуют в сигнале [24].

Таким образом, делаем вывод, что для решения актуальной задачи исследований нестационарных процессов необходимо применение более современных методов анализа сигналов, которые изначально предназначены для нелинейных и нестационарных данных. К таким методам относятся фрактальный и вейвлет-анализ.

1.5 Фрактальный анализ нестационарных процессов

Фрактал — термин, введённый Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных множеств. В этой области работали и другие ученые Пуанкаре, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф, Безикович [15,20,46,56, 64,109,135,136]. Фракталом можно назвать бесконечно самоподобную геометрическую фигуру, каждый фрагмент которой будет повторяться при уменьшении масштаба [11]. Использование фрактальной природы итерационных отображений и решений дифференциальных уравнений достаточно красочно отображено в книгах Пейтгена Х.О. и Рихтера Р.Н. «Красота фракталов», Пейтгена Х.О. «Искусство фракталов. Введение в компьютерную графику» [82].

Фракталы дают очень компактный способ описания объектов и процессов. Большинство структур являются самоподобными и обладают свойством геометрической регулярности, что проявляется в их инвариантности по

отношению к масштабу. Другими словами, при рассмотрении реальных объектов в разном масштабе, на каждом уровне будем находить одни и те же геометрические формы [15,29,33,34].

1.5.1 Классификация фракталов

Существует общепринятая классификация фракталов: геометрические, алгебраические, стохастические.

1. Геометрические фракталы - это наиболее наглядные фракталы, которые в двухмерном случае получаются при помощи некоторой ломаной, называемой генератором. В течение одного шага алгоритма каждый из отрезков, который составляет ломаную будет заменен на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. При бесконечном повторении этой процедуры, получится геометрический фрактал [36,46,110,121].

2. Алгебраические фракталы - это одна из наиболее крупных групп фракталов, получаемых с применением нелинейных процессов в п -мерном пространстве. Их генерируют с помощью алгебраических формул, иногда совсем несложных.

Установлено, что нелинейные динамические системы имеют несколько устойчивых состояний. Состояние, в котором находится динамическая система после ряда итераций, будет зависеть от ее начального состояния. Поэтому каждые устойчивые состояния (аттракторы) обладают некоторой областью начальных состояний, из которых система окажется в рассматриваемых конечных состояниях. В итоге, фазовое пространство системы будет разбито на области притяжения аттракторов. При фазовом двухмерном пространстве и окрашивании области притяжения разнообразными цветами, возможно получение цветового фазового портрета этой системы (итерационного процесса). Изменяя алгоритм выбора цветов, можно получать сложные фрактальные картины [15,19,39,56,111].

Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Муллер, Нина Васильевна, 2017 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Алексеев, К.А. Модели и алгоритмы вейвлет- обработки сигналов датчиков с применением лифтинга. Ч.1 - Теоретические основы лифтинга / К.А. Алексеев // Датчики и системы. -2002. -№1. - С. 3 - 9.

2. Алексеев, К.А. Модели и алгоритмы вейвлет-обработки сигналов датчиков с применением лифтинга. Ч.2 - Численное моделирование / К.А. Алексеев // Датчики и системы. - 2002. - №2. - С. 2 - 5.

3. Айфичер, Э. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. / Э. Айфичер, Б. Джервис. - М.: Вильяме, 2004. - 992 с.

4. Андреев, А.М., Модель трафика корпоративной телекоммуникационной сети с пакетной коммутацией в задаче кластеризации при условии ограниченного наблюдения / А.М. Андреев, С.В. Усовик // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Приборостроение. - 2012 г. - С. 133-151.

5. Астафьева, Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н.М. Астафьева // УФН. -1996. - Т. 166. - С. 1145 - 1770.

6. Афанасьев, В.Н. Анализ временных рядов и прогнозирование; Финансы и статистика / В. Н. Афанасьев, М. М. Юзбашев. - М.: Инфра, 2010. - 320 е.

7. Амосов, О.С. Математическое моделирование и программная реализация вейвлет-преобразования сигналов / О.С. Амосов, Д.С. Магола // Информационно-коммуникационные технологии в образовании: Сб. научн. Трудов Хабаровск - 2008. - С. 3-12.

8. Амосов, О.С. Оценивание случайных последовательностей с использованием регрессии и вейвлетов / О.С. Амосов, Л.Н Амосова, Д.С. Магола // Информатика и системы управления. - 2009. - №3 (21) - С. 101-109.

9. Амосов, О.С. Модели и алгоритмы идентификации пользователя корпоративной информационной системы на основе нейронных сетей и вейвлетов. / О.С. Амосов, Д.С. Магола // Информатика и системы управления. 2008. -№ 3(17). - С. 91-101.

10. Алмазов, А.А. Фрактальная теория. Как поменять взгляд на финансовые рынки /А.А. Алмазов. Издательство: Admiral Markets. - 2009. - 358 с.

11. Балханов, В.К. Введение в теорию фрактального исчисления / В.К. Балханов, Ю.Б. Башкуев. - Улан-Удэ: изд. БГУ, 2001. - 224 с.

12. Бендат, Дж. Применение корреляционного и спектрального анализа / Дж. Бендат, А. Пирсол. - М.: Мир, 1983. - 312 с.

13. Бендат, Дж., Прикладной анализ случайных данных / Дж. Бендат, А. Пирсол. - М.: Мир, 1989. - 540 с.

14. Блейхут, Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов/ Р. Блейхут. - М.: Мир, 1989. - 448 с.

15. Божокин, СВ. Фракталы и мультифракталы / С.В. Божокин, В. А. Паршин. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 128 с.

16. Бокс, Дж. Анализ временных рядов прогноз и управление. Ч.2 / Дж. Бокс, Г. Дженкинс. - М.: Альта-Пресс , 1981. - 500 c.

17. Бондаренко, В.А. Фрактальное сжатие изображений по Барнсли-Слоану / В.А. Бондаренко, В.Л. Дольников // Автоматика и телемеханика. - 1994. -№5. -С. 12-20.

18. Бородич, Ф.М. Энергия разрушения фрактальной трещины, распространяющейся в бетоне или горной породе / Ф.М. Бородич // Доклады РАН. - 1992. -Т.325, № 3, - С.1338-1141.

19. Витолин, Д. Применение фракталов в машинной графике. / Д. Витолин // Computerworld-Россия. - 1995. - № 15.

20. Вишик. М.И. Фрактальная размерность множеств. / М.И. Вишик // Соросовский образовательный журнал. -1998. - № 1, - С. 122-127.

21. Воробьев, В.И. Теория и практика вейвлет преобразования / В.И Воробьев, В. Г. Грибунин. - СПб.: ВУС, 1999. - 203 с.

22. Валентинов, В.А. Эконометрика / В.А. Валентинов. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2010. - 436 с.

23. Гетьман, А.И. Анализ сетевого трафика в режиме реального времени: обзор прикладных задач, подходов, решений / А.И. Гетьман, Е.Ф. Евстропов, Ю.В. Маркин. - М.: Изд-во ИСП РАН, 2015. - С.1-47.

24 Грибунин, В.Г. Введение в вейвлет-преобразование / В.Г. Грибунин.

- СПб.: АВТЭКС, 2005. - 59 с.

25 Грибунин, В.Г., Введение в анализ данных с применением непрерывного вейвлет- преобразования / В.Г. Грибунин. - СПб.: АВТЭКС, 2005.

- 30 с.

26. Горбацевич, В.В. Анализ и прогнозирование временных рядов. Методические указания к чтению лекций и проведению практических занятий / В.В. Горбацевич. - М., 2000. - 209 с.

27. Гутников, В.С. Фильтрация измерительных сигналов / В.С. Гутников.

- Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 192 с.

28. Даджион, Д. Цифровая обработка многомерных сигналов / Д. Даджион, Р. Мерсеро. - М.: Мир, 1988. - 488 с.

29. Данилов, Ю.А. Красота фракталов / Ю.А. Данилов // Труды Московского Международного Синергетического Форума. - 1997. - 218 с.

30. Дмитриев, В.И. Прикладная теория информации: Учебник для студентов вузов / В.И. Дмитриев. - М.: Высшая школа, 1989. - 325 с.

31. Дмитриев, А. Хаос, фракталы и информация./ А. Дмитриев // Наука и жизнь. - 2001. - № 5. - С. 45-54.

32. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам. /И. Добеши. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 464 с.

33. Долбилин, Н. Игра "Хаос" и фракталы / Н. Долбилин // Квант. - 1997.

- № 4. - С.1-7.

34. Долбилин, Н. Самоподобные мозаики / Н. Долбилин // Квант. -1998. - № 2. - С. 1-9.

35. Дремин, И.Л. Вейвлеты и их использование / И.Л. Дремин, О.В Иванов, В.А. Нечитайло // Успехи физических наук. - 2001. - Т.171, № 5. - С. 465-501.

36. Жиков, В.В. Фракталы / В.В. Жиков // Соросовский образовательный журнал. - 1996. - № 12.

37. Заславский, Г.М. Стохастичность динамических систем / Г.М. Заславский. - М.: Наука, 1984. -272 с.

38. Забарянский, С. Ф. Фрактальное сжатие изображений / С. Ф. Забарянский // Компьютеры + программы. - 1993. - № 6. - С. 39.

39. Зельдович, Я.Б., Фракталы, подобие, промежуточная асимптоматика. / Я.Б. Зельдович, Д.Д Соколов // Успехи физических наук. - 1985. - Т. 14, выпуск 3. - С. 493.

40. Зосимов, В.В. Фракталы в волновых процессах / В.В. Зосимов, Л.М. Лямшев //Успехи физических наук. - 1995. - Т. 146, выпуск 4. - С. 361.

41. Зиновьев, А.Л. Введение в теорию сигналов и цепей: учебное пособие для вузов/ А.Л.Зиновьев, Л.И Филиппов. - М.: Высшая школа, 1975. - 264 с.

42. Игнатов, В.А. Теория информации и передачи сигналов / В.А. Игнатов. - М.: Советское радио, 1979. - 280 с.

43. Иванов, С.С. Оценка фрактальной размерности самоаффинных множеств: метод встречного масштабирования дисперсий / С.С. Иванов // ДАН, 1993. - Т.332. № 1. - С. 82-92.

44. Иванова, B.C. Синергетика и фракталы в материаловедении. B.C Иванова, А.С. Баланкин - М.: Наука, 1994. - 383 с.

45. Иванюк, Г.Ю. Фрактальные геологические среды: размерность, основные типы, генетические следствия / Г.Ю. Иванюк // Физика Земли. - 1997. -№ 3. - С. 21-31.

46. Карпов, В.Г. Что такое фракталы? / В.Г.Карпов, А.В. Субашиев. -СПб.: ЛПИ. - 1989.

47. Каток, А.Б. Введение в современную теорию динамических систем. / А.Б. Каток, Б. Хасселблат. - Тверь: Факториал, 1999. - 767 с.

48. Каданов, Л.П. Пути к хаосу / Л.П. Каданов // Физика за рубежом. -М.: Мир, 1985. - С. 9-32.

49. Кеплер, И. О шестиугольных снежинках / И. О Кеплер. - М.: Наука, 1982. - 192 с.

50. Кириченко, Л.О Сравнительный анализ статистических свойств оценок показателя Херста/ Л.О Кириченко // Вестник «Научная периодика». -2010. - С. 88-95.

51. Козинцев, С. Ландшафты фрактальных миров./ С. Козинцев // Наука и жизнь. -1995. -№ 12.

52. Короновский, А Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения/ А. Короновский, А Храмов. - М: Физмалит, 2003. -176 с.

53. Короленко, П.В. Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования : учебное пособие / П.В. Короленко, М.С. Маганова, А.В. Меснянкин //Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына. - М.: МГУ им. Ломоносова, 2004. - 82 с.

54. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа. / А.Н Колмогоров, С.В. Фомин - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 572 с.

55. Коннолли, Т. Базы данных. Проектирование, реализация и сопровождение. Теория и практика. 3-е издание/ Т. Коннолли, К. Бегг. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. - 1440 с.

56. Кроновер, Р. Фракталы и хаос в динамических системах / Р. Кроновер. - М.: Постмаркет, 2000. - 353 с.

57. Козлов, П.В. Вейвлет-преобразование и анализ временных рядов / П.В. Козлов, Б.Б. Чен. - Вестник КРСУ. - 2002. - № 2.

58. Кривоносова, Е.К. Разработка методов прогнозирования и анализа кредитных и инвестиционных рисков с применением фрактальных и мультифрактальных характеристик/ Е.К. Кривоносова. - ФГБОУ ВПО «ПНИПУ», 2015. - 167 с.

59. Купер, Дж. Вероятностные методы анализа сигналов и систем / Дж. Купер, А. Макгиллем. - М.: Мир, 1989. - 376 с.

60. Левкович-Маслюк, Л. Введение в вейвлет- анализ: учебный курс / Л. Левкович-Маслюк, А. Переберин. - М.: ГрафиКон, 1999. - 364 с.

61. Лукин, А. Введение в цифровую обработку сигналов / А. Лукин. - М.: МГУ, 2007. - 54 с.

62. Лоскутов, А.Ю. Основы теории сложных систем/ А.Ю. Лоскутов - М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2007.-311 с.

63. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. -М.: Ижевск: РХД, 2002. - 656 с.

64. Мандельброт, Б. Самоаффинные фрактальные множества / Б. Мандельброт. - М.: Мир, 1988. - 672 с.

65. Макс, Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах / Ж. Макс - М.: Мир, 1983. - 305 с.

66. Максимов, В. П. Измерение, обработка и анализ быстропеременных процессов в машинах / В. П. Максимов, И. В. Егоров, В. А. Карасёв. — М.: Машиностроение, 1987. — 208 с.

67. Марпл, С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения /С.Л. Марпл.- М.: Мир, 1990. - 584 с.

68. Милнор, Дж. Голоморфная динамика / Дж. Милнор. - Ижевск: РХД 2000. - 320 с.

69. Морозов, А.Д. Инвариантные множества динамических систем в Windows / А.Д. Морозов, Т.Н. Драгунов, С.А. Бойкова. - М.: Эдиториал УРСС, 1998. - 303 с.

70. Морозов, А. Д. Введение в теорию фракталов / А. Д. Морозов. -Нижний Новгород: Изд-во НижГУ. - 1999. - 160 с.

71. Мун, Ф. Хаотические колебания / Ф. Мун. - М.: Мир, 1990. - 311 с.

72. Найденов, В.И. Эффект Херста в геофизике / В.И. Найденов, И.А. Кожевникова // Природа, № 1, 2000.

73. Наймарк, О. Б. Топологический фрактальный анализ кинетики накопления дефектов при оценке прочности углеродных композитов / О. Б.

Наймарк, М. М. Давыдова // Механика композитных материалов. - 1994. - Т. 30, № 1. - С. 19-30.

74. Никитин, А.А. Теоретические основы обработки геофизической информации: учебник для вузов / А.А. Никитин - М.: Недра, 1986. - 342 с.

75. Нигматуллин, Р. Р. Фракталы: от узоров к движению / Р. Р. Нигматуллин, М. Н. Овчинников, Я. Е. Рябов // Природа. - 1998. - № 2. - С. 61-72.

76. Новиков, Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов: учебное пособие./ Л.В. Новиков. - СПб.: Изд-во ООО «МОДУС», 1999. - 152 с.

77. Новиков, И.Я, Основы теории всплесков / И.Я Новиков, С.Б. Стечкин // Успехи математических наук. - 1998 . - № 6 - С. 9-13.

78. Новиков, И. Я. О бесконечно гладких почти - всплесках с компактным носителем. Доклады РАН./ И. Я. Новиков, М. З Берколайко // Докл. РАН, 1992. -Т. 326. № 6. - С. 935-938.

79. Оппенгейм, А.В. Цифровая обработка сигналов / А.В. Оппенгейм, Р.В. Шафер - М.: Связь, 1979. - 416 с.

80. Отнес, Р. Прикладной анализ временных рядов / Р.Отнес, Л Эноксон .М.: Мир, 1982. - 428 с.

81. Павлейно, М.А. Спектральные преобразования в Ма1:ЬаЬ / М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов — СПб: 2007. — С. 160.

82. Пайтген, Х.О. Красота фракталов / Х.О. Пайтген, П. Х. Рихтер — М.: Мир, 1993. - 176 с.

83. Пащенко, Ф.Ф. Основы моделирования энергетических объектов / Ф.Ф. Пащенко, Г.А. Пикина. - М.: Физматлит, 2011. - 556 с

84. Переберин, А.В. О систематизации вейвлет-преобразований / А.В Переберин. // Вычислительные методы и программирование, 2002. - С. 15-40.

85. Петухов, А.П. Введение в теорию базисов всплесков / А.П. Петухов.-СПб.: СПбГТУ, 1999. - 131 с.

86. Петухов, А. П. Периодические дискретные всплески / А.П. Петухов // Алгебра и анализ. - 1996. - С. 151-183.

87. Потапов, А. Фракталы в дистанционном зондировании / А. Потапов // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. - 2000. -№ 6. - С. 3-65.

88. Пигаль, А.С. Применение вейвлет-преобразования для анализа кардиосигналов: предварительные результаты исследований / А.С Пигаль, П.Б. Пигаль/ Здоровье для всех. - 2014. - № 1. - С. 9-14.

89. Прыгунов, А. И. Вейвлеты в вибрационной динамике машин/ А. И. Прыгунов // 1997.—.ISBN 5-98003-206-1. — С. 676.

90. Пьетронеро, Л. Фракталы в физике / Л. Пьетронеро, Э.Тозатти. - М.: Мир, 1988. - 670 с.

91. Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Л. Рабинер, Б. Гоулд. - М.: Мир, 1978. - 848 с.

92. Семенова, З.В. Мировые информационные ресурсы: учебное пособие/ З.В. Семенова, В.В.Бесгаль. - Омск: ОГИС, 2004. - 122 с.

93. Севостьянов, Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б.А. Севостьянов. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

94. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов. 2-е. / А. Б. Сергиенко. — Спб: Питер, 2006. — 751 с.

95. Сиберт, У.М. Цепи, сигналы, системы / У.М. Сиберт. - М.: Мир, 1988. - 336 с.

96. Смирнов, Б. М. Физика фрактальных кластеров / Б. М. Смирнов. - М.: Наука, 1991. - 136 с.

97. Смоленцев, Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в Matlab./ Н.К.Смоленцев. - М; ДМК пресс, 2014. - 304 с.

98. Сойфер, В.А. Компьютерная обработка изображений. Часть 2. Методы и алгоритмы / В.А. Сойфер// Соросовский образовательный журнал. - 1996. - №3.

99. Солонина, А.И. Основы цифровой обработки сигналов: учебное пособие / А.И.Солонина. - СПб.: БХВ Петербург, 2005. - 768 с.

100. Сонечкин, Д.М. Оценка тренда глобального потепления с помощью вейвлетного анализа / Д.М. Сонечкин, Н.М. Даценко., Н.Н. Иващенко // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. - 1997. - Т.33, № 2. - С.184-194.

101. Сухов, В. Fractan / В. Сухов // Институт Математических проблем биологии Российской Академии Наук.

102. Стаховский, И.Р. Вейвлетный анализ временных сейсмических рядов/ И.Р. Стаховский // ДАН. - 1996. - Т.350, № 3. - C. 393-396.

103. Старченко, Н.В. Индекс фрактальности и локальный анализ хаотических временных рядов / Н.В. Старченко //Диссертация на соискание ученой степени к.т.н. - М.: Московский инженерно-физический институт, 2005. -122 с.

104. Субботин, Ю. Н. Базисы в пространствах аналитических и гармонических функций / Ю. Н. Субботин, Н. И. Черных //Международная конференция по комплексному анализу и смежным вопросам. Тезисы доклада. -Нижний Новгород: ННГУ, 1997. - С. 72-73.

105. Третьяков, Ю.Д. Дендриты, Фракталы и Материалы / Ю.Д. Третьяков // Соросовский Образовательный Журнал. - 1998. - № 11., - С. 96-102.

106. Транковский, С. Красота хаоса / С. Транковский // Наука и жизнь. -1994. - № 4. - С. 15.

107. Уэлстид, С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии: учебное пособие / С. Уэлстид. - М.: Издательство Триумф, 2003. - 320 с.

108. Фарков, Ю. А. Ортогональные всплески на локально компактных абелевых группах / Ю. А Фарков // Функциональный анализ и его приложения. -1997. - С. 86-88.

109. Федер, Е. Фракталы / Е. Федер - М.: Мир, 1991. - 261 с.

110. Фоменко, А. Т. Наглядная геометрия и топология / А. Т. Фоменко. -М.: МГУ- ЧеРо, 1998. - 416 с.

111. Фракталы // Компьютерная газета. - 1999. - № 36. - С. 226.

112. Фракталы в физике // Труды 6 Международного симпозиума. - М.: Мир, 1988. - 670 с.

113. Фукс, Б. А. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения / Б. А.Фукс, Б. В. Шабат. - М.: Наука, 1964. - 376 с.

114. Хемминг, Р.В. Цифровые фильтры / Р.В. Хемминг. - М.: Недра, 1987. - 221 с.

115. Хуанг, Т.С. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / Т.С. Хуанг.- М.: Радио и связь, 1984. - 224 с.

116. Циллис, К. Об измерении фрактальных размерностей по физическим свойствам / К. Циллис // В сб. статей «Фракталы в физике». - М.: Мир, 1988.

117. Чуи, К. Введение в вейвлеты. /К. Чуи. - М.: Мир, 2001. - 292 с.

118. Чувыкин, Б.В. Применение теории Wavelets в задачах обработки информации / Б.В. Чувыкин, Т.В. Истомина, В.Е. Щеголев. - Пенза: Изд-во Пензенского госуниверситета. 2000. - 132 с.

119. Чураков, Е. П. Прогнозирование эконометрических временных рядов: учебное пособие / Е. П. Чураков. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 208 с.

120. Шалагинов, А. А. Об отображениях самоподобных кривых / А. А. Шалагинов // Сибирский математический журнал. - 1993. - Т. 34, № 6. - С. 210215.

121. Шабетник, В.Д. Фрактальная физика. Введение в новую физику. 2-е изд. На англ. и русск. язык / В.Д. Шабетник. - Каунас, Gylys, 1994. -72 с.

122. Шабетник, В.Д. Фрактальная физика. Наука о мироздании / В.Д. Шабетник. - М.:Тибр, 2000. - 416 с.

123. Шабетник, В.Д. Фрактальная физика как учение о мироздании -пример объединения естественнонаучного и духовного направлений в образовании. "Математика. Компьютер. Образование". Вып.7, Часть 1 / В.Д. Шабетник // Сб. науч. тр. - М.: Прогресс-Традиция, 2000, - С. 79-88.

124. Шеннон, К. Математическая теория связи. Работы по теории информации и кибернетики/ К. Шеннон. - М.: 1963. - С. 243-333.

125. Шелухин, О.И. Моделирование информационных систем / О.И.

Шелухин. - М.: Горячая линия-Телеком, 2012. - 536 с.

126. Шелухин, О.И. Самоподобие и фракталы. Телекоммуникационные приложения/ О.И. Шелухин, А.В. Осин, С.М. Смольский. - М.: Физматлит, 2008. - 368 с.

127. Шоберг, А.Г. Современные методы обработки изображений: модифицированное вейвлет-преобразование/ А.Г. Шоберг. - Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2014. -125 с.

128. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы / М. Шредер. - М.: Ижевск: РХД, 2001. - 528 с.

129. Шустер, Г. Детерминированный хаос / Г. Шустер. - М.: Мир, 1988. -

253 с.

130. Яковлев, А.Н. Введение в вейвлет- преобразование: учебное пособие / А.Н. Яковлев. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - 104 с.

131. Якобсон, М.В. Эргодическая теория одномерных отображений / М.В. Якобсон // Итоги науки и техники, сер. Современные проблемы математики. -1986. - Т. 2. - С. 204-226.

132. Chui, C. An introduction to wavelets./ C. Chui. - Academic Press, 1992.

133. Grossmann, A. Math. Anal/ A. Grossmann, J. Morlet, 1984.

134. Patrice Abry, Fabrice Sellan. The Wavelet-Based Synthesis for Fractional Brownian Motion Proposed by F. Sellan and Y. Meyer: Remarks and Fast Implementation / Abry Patrice, Sellan. Fabrice // Applied and computational harmonic analysis. - 1996. -№ 3. - P. 377-383.

135. Barlow, M. T. Diffusions on fractals / M. T. Barlow // Lectures on probability theory and statistics. - Springer Verlag, Berlin, 1998. - P. 1-121.

136. Kigami, J. Analysis on fractals / J. Kigami //Volume 143 of Cambridge Tracts in Mathematics. - Cambridge University Press, Cambridge, 2001.

137. Ramchandran, K. Best wavelet packet bases in a rate-distortion sense / K. Ramchandran, Vetterli // IEEE transactions on image processing, 1993. VOL. 2. - № 2. -p.160 - 175.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

138. Амосов, О.С. Структурно-параметрическая идентификация временного ряда с применением Фрактального и вейвлет-анализа / О.С. Амосов, Н.В. Муллер, Ф.Ф. Пащенко // Информатика и системы управления. -Благовещенск, 2015. - №2 (44) - С. 80-88.

139. Амосов, О.С. Фрактальный вейвлет-анализ телекоммуникационных рядов информационной системы /О.С. Амосов, Н.В. Муллер, Д.С. Магола// Ученые записки КнАГТУ.-Комсомольск-на-Амуре, 2016.-Т.1,№ 1(25). - С. 28-36.

140. Муллер, Н.В. Исследование временных рядов с применением фрактального и вейвлет анализа / Н.В. Муллер, О.С. Амосов // Интернет-журнал Науковедение: Изд-во ИГУПИТ - 2014. - № 3 (22) (ISSN 2223-5167). - C. 1-14.

141. Муллер, Н.В. Математическое и численное моделирование проблем исследования травматизма на морских судах методом вейвлет и фрактального анализа // Морские интеллектуальные технологии. - СПб., 2014. - № 1 (23). - С. 63-65.

142. Муллер, Н.В. Математическое моделирование и исследование производственных и социальных процессов на основе фрактального и вейвлет-анализа / Н.В. Муллер, С.В. Серый// Информатика и системы управления. -Благовещенск, 2009. - № 3 (21). - С.52-60.

143. Муллер, Н.В. Математическое моделирование прогнозирования производственного травматизма / Н.В. Муллер // Нелинейный мир. - Москва, 2009. - т.7. № 4. - С. 296-300.

144. Муллер, Н.В. Прогнозирование риска производственного травматизма методом вейвлет и фрактального анализа / Н.В. Муллер // Вестник СамГУ. -Самара, 2009. - № 2(68). - С. 146-154.

145. Амосов, О.С. Применение методов вейвлет и фрактального анализа для математического и численного моделирования временных рядов / О.С. Амосов, Н.В. Муллер //Современные наукоёмкие технологии. Физико-математические

науки: Издательский Дом «Академия Естествознания». - Пенза, 2014. - №3. - С. 122-124.

146. Муллер, Н.В. Применение фрактального и вейвлет-анализа для исследования и прогнозирования нестационарных процессов в динамических системах / Н.В. Муллер, Ю.Г. Кабалдин, С.В. Серый, Д.В. Шатагин // Материалы международной научно-практической конференции «Современные возможности - 2013». - Нижний Новгород, 2013.

147. Муллер, Н.В. Прогнозирование риска производственного травматизма одним из методов математического моделирования / Н.В. Муллер, С.В. Серый // Приморские зори-2009: Материалы региональной научно-технической конференции. - Владивосток, 2009. - С. 58-61.

148. Муллер, Н.В. Исследование травматизма по различным факторам с помощью вейвлет и фрактального анализа / Н.В. Муллер, Ю.Г. Кабалдин, А.С. Хвостиков // Вестник КнАГТУ: Выпуск X. Управление наноструктурированием металлических материалов и динамическими системами. - Комсомольск-на-Амуре, 2008. - С. 133-149.

149. Муллер, Н.В. Прогнозирование производственного травматизма с помощью вейвлет и фрактального анализа / Н.В. Муллер, Ю.Г. Кабалдин, А.С. Хвостиков //Вестник КнАГТУ: Выпуск IX. Проблемы формирования наноструктур при атомной сборке и наноструктурирования металлических материалов при внешнем механическом воздействии. - Комсомольск-на-Амуре 2007. - С. 145-155.

Список зарегистрированных программ для ЭВМ

1. Прогнозирование риска несчастных случаев с помощью вейвлет-анализа (WaveProgneza) Муллер Н.В.,Кабалдин Ю.Г., Хвостиков А.С. Программа для ЭВМ: Прогнозирование риска несчастных случаев с помощью вейвлет-анализа (WaveProgneza). КнаГТУ, Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2008613838 от 12.08.2008 г.

2. Прогнозная оценка травматизма несчастных случаев с помощью вейвлет-анализа (Prognez) Муллер Н.В., Н.В.,Кабалдин Ю.Г., Хвостиков А.С. Программа для ЭВМ: Прогнозная оценка травматизма несчастных случаев с помощью вейвлет-анализа (Prognez). КнаГТУ, Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2009610716 от 30.01.2009 г.

3. Разработана и подана на регистрацию программа для ЭВМ: «Обработка нестационарных данных с применением фрактального и вейвлет-анализа». Исходящее письмо о направлении документов на регистрацию программы ЭВМ «Обработка нестационарных данных с применением фрактального и вейвлет-анализа» № 39-81/1 от 26.01.2017. (Приложение Д).

Ниже по тексту приведены свидетельства о регистрации программ и справки и акты внедрения результатов диссертационного исследования.

101 'Пааьиааав 1 мам «Анкм I гаамшпьааа мвмпаяма И1М «шоааав! на« им ипасвмама « в"»и и 1ятгш«»)1 ма 1М1

«я» 1П1М)1М1 / ма шиш

лппск

1и.*ааа I(«1171 >»17 Л I №11} СПС rir.mii!!!

Справка о внедрении

Настоящим подтверждаем, что результаты диссертационного исследования Муллер Н.В. на тему: «Моделирование и идентификация временных рядов в компьютерных системах с использованием фрактального и вейвлет - анализа» обладают актуальностью, представляют практический интерес и были использованы при обработке данных по изысканиям, проводимым геологоразведовательными экспедициями в области изыскательских, геодезических и камеральных работ. Применение результатов работы на пракгике позволит оптимизировать затраты на проведение работ и минимизировать потерю времени для выезда бригад на местность.

ц/с шткшшннп ■ с« МШШШЫЯШМ«»'

ыщмизи'аптыи )<»>•

шиш-й ||1№11<| «типам

||Кочсома,11>ск'|[ н-им-Амурс locy.mpc псваыа

Фи ]С Р J.Ï bl ШС I Н) С У IJ р( I Bfl1 НОС iiiojitc I 1ЮГ обр JJOR ШИШ« у ipi'ifc" 1С ВВС ■EHDCI О Ои|1Л]ОВЯШ[Ч

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ШВВЧЕСКВВ J вввсрсш IL I >■

i I ЬОУ НО «КнАГТ)'»)

АКТ

г. Комсомольск-на-Амуре «Внедрення»

в учеб!...... принцесс кафе. фы БЖ ФЭХТ ФГБОУ ВО «КиАГТУ»

р1']у.1ыя1ив икхч1 р ] ;Ш11 н Нииы Ваенльсвиы Муллер мл тепу: «Моделирование н лденщфнкллня кременлых рпдон и компьютерных системах е использованием фрак I л,1ыюго к кеинлет-аналша»

Комиссия в составе председ-отеля-

ИП. Степановой, заведующей кафедрой БЖ ФГБОУ ВО «КнАГТУ» доктора ювичесш наук, профессора, членов:

ВчВ. Тслсша, декана ФЭХТ ФГБОУ НО <(К|[АГ"ГЧ'>н. кандидата химических паук, доцента:

О. Г. Шакировой, заведующей кафедрой ТПНП, кандидата химических наук.

удостоверяем, что результаты диссертацией «ото исследования h.В. Муллер, а

именно, модифицированный комбинированный под код обработки временного ряда внедрен к учебны!] процесс кафедры «БЖя ФЭХТ ФГБОУ ВО «КнАГТУ» и используются при веденлл учебного процесса по дисциплинам «Новсшшгиш), «Системным анализ и моделирование процессов и техносфере», «Надежность технических систем и техногенный рлсю>, в ходе курсовых н выпускных квалификационных работ, лрн выполнен!hi Hi IPC для студентов направленна 20.03.01 оТехпосферлая безопасность») лрофиль «Безопасность жизнедеятельности в техносфере».

доцента.

Основы корреляционного анализа сигналов

Корреляция дает численную оценку соответствия данных между собой и соответствия самим себе (автокорреляция), и является одним из методов анализа сигналов [12]. Метод корреляции обладает особым значением для анализа случайных процессов с целью выявления неслучайных составляющих.

Пусть, имеется сигнал s(t), с некоторой последовательностью x(t) конечной длины T. Для того, чтобы найти эту последовательность в скользящем по сигналу s(t) временном окне длиной T, вычисляем скалярные произведения сигналов s(t) и x(t). То есть, мы сопоставляем сигнал x(t) с сигналом s(t), вдоль его аргумента, и по величине скалярного произведения будем оценивать степень похожести сигналов в точках сравнения [14].

Автокорреляционая функция. Автокорреляционная функция (АКФ) сигнала s(t) - это вариант количественной интегральной характеристики формы сигнала, чтобы выявить в нем характер, параметры взаимной временной связи отсчетов и степень зависимости значения отсчетов в данный момент времени от предыдущего. АКФ определяется интегралом от перемножения двух копий сигнала s(t), которые сдвинуты относительно друг друга на время т [12]:

ад

В (т) = J s(t)s(t + t)dt = <s(t), s(t + т)> = ||s(t)||||s(t + т)|| cos ^(т). (Б. 1)

—ад

Следовательно, АКФ - это скалярное произведение сигналов и их копий в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига т.

ад

В^ (0) = J s(t )2 dt = Е^. (Б.2)

—ад

АКФ дискретных сигналов. При интервале дискретизации данных At = const определение АКФ будет выполняться по интервалам Az = At, в качестве дискретной функции номеров n сдвига отсчетов nAz [28]:

ад

B (nAt) = At Z sksk_n. (Б.3)

k=—<x>

Дискретные сигналы будут задаваться в виде числовых массивов

/V

определенной длины с нумерацией отсчетов k = 0,1,... K при At = 1, а определение дискретной АКФ в единицах энергии будет выполнено в одностороннем варианте, учитывая длину массивов. При использовании всего массива сигнала и числа отсчетов АКФ равно числам отсчетов массива, и вычисление будет выполняться по выражению:

K kk—n

Bs (n) = -£-—n. (Б4)

K — n k=0

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) различных сигналов отражает степень подобия форм двух сигналов и их взаимное расположение друг к другу по координате [28]:

Bsu (z) = Л s(t )u(t + z)dt, (Б.5)

где s(t) - один сигнал, u(t) - второй сигнал, z - сдвиг по времени.

Корреляционная функция сигнала связана преобразованием Фурье с квадратом модуля спектральной функции, или с энергетическим спектром сигнала. Корреляционная функция сигнала не зависит от его фазового спектра.

Следовательно, сигналы, у которых одинаковые амплитудные спектры, а фазовые различны, будут иметь одинаковую корреляционную функцию.

По корреляционной функции невозможно восстановить исходный сигнал из-за утраты информации о фазе [94].

Основы спектрального анализа сигналов

Статистические методы играют значительную роль в спектральном анализе, так, как сигналы чаще всего обладают шумовым или случайным характером. Обработка сигнала сопровождается решением задач двух видов - задачи обнаружения и задачи оценивания [41,42,99]. Задача обнаружения выполняется при условии наличия информации на данный момент времени о присутствии на входе некоторого сигнала с априорно известными параметрами. Задача оценивания заключается в измерении значений параметров, которые описывают сигнал [12,61,65].

Преобразование Фурье представляется сигналом, заданным во временной области, в виде разложения по ортогональным базисным функциям (синусы и косинусы), с выделением частотных компонент.

Недостатком преобразования Фурье является то, что частотные компоненты не локализуются во времени, что ограничивает применение данного метода к некоторым задачам (в случаях изучения изменений частотных параметров сигнала на временном интервале в динамике).

Преобразование Фурье - математическая основа спектрального анализа, состоит в представлении сигнала f (t) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(o)sin( cot). Функция F(jo) называется преобразованием Фурье или Фурье-спектром сигнала [67]:

оо

F (jo) = J f (t )e—cdt. (В.1)

—ад

Формула (А.6) определяет прямое преобразование Фурье. Применяя прямое преобразование Фурье, мы преобразуем функцию времени f (t ) в комплексную функцию частоты F(jo).

Обратное преобразование Фурье:

1 ад

f (t) — J F(ja)ejatda (В.2)

2— —ад

Произведение F(ja)da представляет «вклад» гармоники с частотой а в функцию f (t). По этой причине F(ja) называют спектральной функцией или

спектральной плотностью.

Для применения метода спектрального анализа необходимо временной ряд привести к стационарному виду. При спектральном анализе случайный стационарный процесс состоит из суммы гармонических колебаний различных частот (гармоник) [3].

Спектр - это функция, описывающая распределение амплитуд случайного стационарного процесса по различным частотам. Например, сезонную компоненту ВР можно разложить в ряд Фурье и представить как сумму нескольких синусоидальных и косинусоидальных гармоник с разными периодами [132]:

оо

yt = Z (ик cos а + vk sin аX (В.3)

k =1

где uk ,ик - некоррелированные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями: D(uk ) = D(uk ) = Dk,

ak - длина волны функции синуса или косинуса, которые называются частотой. Частоту можно выразить числом циклов (периодов) в единицу времени.

Целью спектрального анализа ВР является оценивание спектра ряда. Спектр ВР можно определить, как разложение дисперсии ряда по частотам, чтобы определить значимые гармоники.

Значение спектра временного ряда рассчитывается по формуле [132]:

1

f (a j) =

m

^c0 + 2ck cosak

k=1 j

где а. - частоты, для которых оцениваются спектры:

(В.4)

—.

а, = —. (В.5)

j m

ск - автокорреляционная функция, значения которой рассчитываются по формуле [132]:

ск =

п

п—к

£ ^ +к —

п

п п—к

- £ ^ + £ ^

к г=1—1 г=1

(В.6)

1

1

г=1

Дисперсия ряда Фурье рассчитывается по формуле уг) = Я

да

£ (ик сс$>скг _ + ик 81и скг

к=0

да да

= £(0С82 сокг + 81И2 скг)Як = £Як. (В.7)

к=0 к=0

Дисперсия ряда Фурье вычисляется через сумму всех гармоник её спектрального разложения. Как следствие, дисперсия Я (у) распределяется по различным частотам. Периодограмма отражает графическое распределение дисперсии ряда Фурье. Суть анализа периодограммы сводится к определению частоты или периода с наибольшими спектральными плотностями, вносящими наибольший вклад в периодические колебания ВР, что позволяет определять его основной период колебания [132].

Преобразование Фурье обладает свойством линейности:

п п

£ак/к (г) (ус), (В.8)

л=1 к=1

где ^ - знак соответствия.

Умножение спектральной плотности на ]с соответствует дифференцированию функции времени, а деление на у с - интегрированию:

^ ^ усР (Ус), I / (г)Л (Ус). (В.9)

аг у с

Умножению спектральных функций соответствует свертка функций времени:

да

рх(]с)^(ус) ^ I/х(т)/2(г — т)ат. (В.10)

—да

Классический метод спектрального анализа применим к стационарным сигналам. Аппарат Фурье-преобразований достаточно прост для расчетов и прозрачен для интерпретации результатов, но имеются у него и недостатки [24].

Он не делает отличия сигналов, которые являются суммой двух синусоид, от ситуаций последовательного включения синусоид. Не предоставляет информацию о преимущественном распределении частот во времени, что может привести к некорректному результату для сигналов с участками резкого изменения.

Исследуемые ряды не периодичны и задаются на ограниченном отрезке времени. Может наблюдаться искажение в спектральных составляющих по боковым лепесткам из-за взвешивания данных при помощи окна [67].

Примеры наиболее часто используемых вейвлетов

HAAR - вейвлет:

1, 0 < t < 1/2 -1, 1/2 < t < 1 0, t < 0, t > 1

l(t)

FHAT - вейвлет ("Французская шляпа" - French hat):

¥(t) =

1,

t < 1/3

-1/2, 1/3 < t < 1 0, |t|>1

' t2Л

Wave - вейвлет:

^(t) = t exp

v 2,

MHAT - вейвлет (^"Мексиканская шляпа" - Mexican hat)

iy(t) = (1 -12) exp

v 2,

Вейвлет Морле (образует комплексный базис):

l(r) = exp

ik 0r

r

.2 л

2

Свойства вейвлет-преобразований

<

<

Свойства вейвлет-преобразования позволяют получить определенную объективную информацию об анализируемом сигнале. Применим индекс

Ж[/(г)] при обозначении операции вейвлет-преобразования произвольных функций / (г ).

Основные свойства вейвлет-преобразования.

Линейность [60].

Ж [а* / (г) + р* /2 (г)] = а* Ж [/ (г)]+р* Ж [/ (Т)]

Тогда для векторной функции следует, что Ж векторной функции является вектором с компонентами Ж для каждой из компонент анализируемого вектора в отдельности.

Инвариантность относительно сдвига. При сдвиге сигнала во времени на го происходит сдвиг вейвлет-спектра также на го [60]:

Ж [/ (г — 0] = С (а, Ь — О.

Инвариантность относительно масштабирования [60]. При растяжении (сжатии) сигнала происходит растяжение (сжатие) вейвлет-спектра сигнала:

Ж / (г / а0)] = (1/С (а / Ь /

Дифференцирование [60].

сап {ж [/ (г)]}/с1гп = Ж [ап (/ (г))/ с1гп,]

Ж [ап (/ (г)) / агп ] = (— 1)п £ / (г )[ап (^(г)) / агп ]аг.

Следовательно, что безразлично производить дифференцирование функции или анализируемого вейвлета. Производить анализ особенностей высокого порядка или мелкомасштабных вариаций сигнала / (г) с игнорированием крупномасштабных полиномиальных составляющих (тренда и регионального фона) можно с применением дифференцирования нужного числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Это полезное свойство, когда сигнал задается дискретным рядом.

Аналог теоремы Парсеваля для ортогональных и биортогональных вейвлетов [60]:

1 / © * / (г) = С ^ Iх 2С(а, Ь)С * (а, Ь)аааЬ. Из этого следует, что энергию сигнала можно вычислить через коэффициенты вейвлет-преобразования.

Программа «Обработка нестационарных данных с применением фрактального и вейвлет-анализа»

Программа «Обработка нестационарных данных с применением фрактального и вейвлет-анализа» разработана в среде МаАаЬ 2016а.

Программа предназначена для обработки нестационарных данных с применением фрактального и вейвлет-анализа.

Программа может быть применена как в учебной деятельности, так и на производстве при анализе различных входных данных, описывающих исследуемые процессы, например: данные телекоммуникационного трафика, оцифрованные сигналы, любые статистические данные, данные сетевого трафика, и др. данных в компьютерных системах.

Функциональные возможности: на вход программы подается нестационарный временной ряд, после чего реализуется процесс вычисления. Результаты выводятся в виде вейвлет-спектрограмм и данных, которые могут быть экспортированы для дальнейшего анализа.

Код программы

%Фрактальный анализ

Clear all; close all; clc; z=0;

%z = rand(1,1000);

z1 = load(,Stat_KNA02729GU2.dat')';

for i=1:10

step=i*50000;

clear z;

z=z1(1:step);

%z = load('Stat_KNA02729GU2.dat'),+rand; N = length(z);

d0 = 5000; % начальный размер интервалов

dmax = N/5; % максимальный размер интервалов (чтобы было не менее 5 штук) m = 1.2; % шаг изменения d d = d0; % нач. значение v = [];

while d <= dmax v(end+1) = d; d = fix(d*m);

end

[y,x, yp,xp] = RSanalise(z,v);

fresult = fit(x,y,'poly1') herst(i)=fresult.p1;

disp(['Наклон (показатель Хёрста): ',num2str(fresult.p1)]) end

for i=1:length(x)

herstline(i)=fresult.p1*x(i)+fresult.p2;

end

plot(x,y,'b',x, herstline,'k',xp,yp,'.r') grid on

title('R/S-анализ')

xlabel('log10(t)'),ylabel(4og10(R/S)') axis([x(1) x(end) -inf +inf])

herst'

figure (10)

plot(herst),grid

function [logRS, logN, logRSpts, logNpts] = RSana(x,n)

о

% Осуществление R/S анализа временной последовательности.

о

% x - входная последовательность

% n - вектор, содержащий значения длинн поддиапазонов % logRS - логарифм по осн. 10 отношения R/S. % logN - логарифм по осн.10 длинн диапазонов % logRSpts - множество значений R/S для каждого d

% logNpts - значения длин соответствующие logRSpts

%

if nargin<1 | isempty(x)==1

error('Недостаточно аргументов'); else

% x must be a vector if min(size(x))>1

error('Требуется одномерный временной ряд');

end

x=x(:);

% N is the time series length N=length(x);

end

if nargin<2 | isempty(n)==1

n=1; else

% n must be either a scalar or a vector if min(size(n))>1

error('Вектор диапазонов не должен быть матрицей!');

end

% n must be integer if n-round(n)~=0

error('Диапазон должен быть целым числом');

end

% n must be positive if n<=0

error('Диапазон не может быть отрицательным!');

end

end

logRSpts = []; % инициализация массивов logNpts = [];

for i = 1:length(n)

% Расчет начал поддиапазонов a = floor(N/n(i));

% Создание матрицы поддиапазонов X = reshape(x(1:a*n(i)),n(i),a);

% Рассчет среднего для каждого поддиапазона ave = mean(X);

% Вычитаем среднее из каждого поддиапазона cumdev = X - ones(n(i),1)*ave;

% Рассчет сумм отклонений cumdev = cumsum(cumdev);

% Рассчет станодартного отклонеия stdev = std(X);

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.