Моделирование и методы статистического анализа пространственной структуры древостоев на основе случайных точечных полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Грабарник, Павел Яковлевич

• Грабарник, Павел Яковлевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Грабарник, Павел Яковлевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ а

1 ОБЗОР МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ПОЛЕЙ

1.1 Основные понятия и определения

1.1.1 Случайная точка. Множество случайных точек

1.1.2 Конечное точечное поле

1.1.3 Случайные считающие меры

1.1.4 Характеризация распределения случайных точечных полей

1.1.5 Операции с точечными полями

1.1.6 Моменты и другие числовые характеристики точечных полей

1.1.7 Условные распределения, связанные с точечными полями

1.1.8 Функция условной интенсивности (Папангелу)

1.2 Модели случайных точечных полей

1.2.1 Точечное поле Пуассона

1.2.2 Модели прореживания точек

1.2.3 Модели, учитывающие неоднородность распределения ресурсов, и модели возобновления

1.2.4 Модели, заданные плотностью относительно пуассоновского точечного поля

1.2.5 Марковские точечные поля

2 МОДЕЛИ МАРКИРОВАННЫХ ГИББСОВСКИХ ТОЧЕЧНЫХ ПОЛЕЙ

2.1 Конечные маркированные гиббсовские точечные поля

2.2 Марковские точечные поля относительно маркированных соседей

2.3 Оценивание параметров маркированного гиббсовского точечного поля с помощью метода максимального псевдо-правдободобия

2.4 Статистические свойства оценок максимального

псевд о-правдоподобия

2.5 Гиббсовские модели взаимодействующих дисков

3 МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАСТЕРНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

3.1 Проблема моделирования кластерных конфигураций с помощью гиббсовских полей

3.2 Марковские точечные поля относительно динамического соседства

3.2.1 Характеризационные результаты для марковских моделей относительно динамического соседства

3.3 Модель точечного поля взаимодействующих соседей

3.4 Марковское свойство и характеризационная теорема

3.4.1 Характеризация точечных полей взаимодействующих соседей с помощью функции взаимодействия

3.4.2 Связь между точечными полями взаимодействующих соседей и другими моделями

3.4.3 Пространственное марковское свойство точечных полей взаимодействующих соседей

3.5 Некоторые примеры точечных полей взаимодействующих соседей

3.5.1 Точечные поля, когда взаимодействие задано в полупараметрической форме

3.5.2 Модели с плотностью, принадлежащей к семейству экспоненциальных распределений

3.6 Компьютерные эксперименты моделирования ВС-полей

4 МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСИММЕТРИЧНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

4.1 Моделирование пространственной структуры с учетом асимметрии взаимодействия растений в сообществе

4.2 Модель с иерархическими взаимодействиями

4.3 Марковское свойство и характеризация

4.4 Алгоритм моделирования гиббсовского поля иерархическими взаимодействиями

5 МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ГИББСОВСКИХ ТОЧЕЧНЫХ ПОЛЕЙ

5.1 Метод Такача-Фикселя

5.2 Метод, основанный на оценивающей функции с марковской структурой

5.2.1 Марковская цепь рождения и гибели с непрерывным временем

5.2.2 Двухчастичная марковская цепь рождения и гибели с непрерывным временем

5.2.3 Марковские цепи Метрополиса-Хастингса

5.3 Обобщение инвариантного во времени метода оценивания

5.4 Сравнение статистистических свойств ИВ-оценок

6 ПРОВЕРКА СОГЛАСИЯ ГИПОТЕЗЫ "ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СЛУ-ЧАЙНОСТИ"ПРОТИВ АЛЬТЕРНАТИВ СМЕШАННЫХ РЕГУЛЯРНО-КЛАСТЕРНЫХ РАЗМЕЩЕНИЙ

6.1 Задача проверки гипотезы о совершенно случайном размещении

6.2 Критериальная статистика

6.3 Асимптотические свойства статистики (52

6.4 Сравнение мощности критерия С}2

6.4.1 Альтернативные модели

6.4.2 Конкурирующие критериальные статистики

6.4.3 Результаты

6.5 Пример и обсуждение

7 МЕТОД ПРОВЕРКИ АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ ГИББСОВСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ

7.1 Основания метода диагностики

7.2 Оценка вариабельности

7.3 Средства диагностики, основанные на моментных мерах второго порядка

8 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МОНТЕ-КАРЛО В ЗАДАЧАХ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ДЛЯ ТОЧЕЧНЫХ ПОЛЕЙ

8.1 Статистические тесты для анализа точечных конфигураций

8.2 Улучшенный метод огибающих

8.3 Метод отклонений

8.4 Примеры проверки гипотезы "независимости марок"

8.5 Обсуждение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и методы статистического анализа пространственной структуры древостоев на основе случайных точечных полей»

ВВЕДЕНИЕ

Теория систем с большим числом взаимодействующих компонент представляет собой естественный аппарат для математического моделирования реальных систем разнообразной природы. К ним относятся сложные физические, химические, биологические, геологические, технические, кибернетические и содио-экономические системы.

Относительно самостоятельным классом задач является моделирование систем пространственно распределенных дискретных объектов. Задачи, связанные со свойствами таких случайных систем, решаются методами стохастической геометрии и теории случайных полей, развитие которых в значительной степени стимулировалось задачами прикладных исследований.

Примерами применения указанных методов являются анализ распределения эпицентров землетрясений в геофизике [126,160,161], изучение пространственного размещения географических объектов [59], анализ пространственной структуры растительных сообществ [67,121], моделирование распределения месторождений полезных ископаемых в геологии при оценке запаса [56], моделирование и анализ нейронных сетей в нейрофизиологии [51], анализ эконометрических систем [23,24,72] и многие другие области исследования.

Общим для указанных задач является то, что, во-первых, случайные события происходят в пространстве и, во-вторых, эти события не являются независимыми. Отметим, что для задач, в которых случайные точки образуют поток событий (на временной оси), существует хорошо разработанная теория случайных точечных процессов, которая, как и теория временных рядов, допускает обобщение на многомерный параметр. Тем не менее, две основные трудности:

1) отсутствие независимости,

2) отсутствие естественной упорядоченности событий

требуют поиска новых подходов и разработки специальных методов, которые позволяли бы строить и проверять согласие моделей и экспериментальных данных.

Интегральная геометрия, основы которой были заложены Крофтоном в XIX веке или ее современный вариант - стохастическая геометрия, восходят к классическим работам по геометрическим вероятностям (см. историческую справку в [12]). В работах Бляшке и его учеников в 30-х годах прошлого столетия интегральная геометрия оформляется как самостоятельная дисциплина. Целью в данном случае является получение геометрически интересных результатов с помощью вероятностных идей [20].

Благодаря работам Девида Кендалла, Крикенберга и Майлза, интегральная геометрия была обогащена введением идей и методов случайных процессов. Французские математики под руководством Матерона развили теорию случайных множеств, привлекая глубокие топологические идеи [16]. Несколько иной подход был предложен в работах шведского математика Олафа Калленберга, разработавшего понятие случайной меры [127], которое обобщает модель случайного поля, чтобы включить возможность описания разнообразных случайных геометрических систем, например, процессы волокон [203].

В качестве примера рассмотрим следующую задачу [25]. Пусть А с Ж4* - выпуклое компактное множество и Ь - случайная линия относительно меры, инвариантной к группе движений. Тогда вероятность, что случайная линия Ь пересечет некоторое фиксированное выпуклое множество В С А, есть

Р{ЬГ)В^Ф}= |<9Б|

\дА\

где | • | - длина и д - граница области.

Этот результат типичен для стохастической геометрии в том смысле, что вероятность пересечения случайного множества X с некоторой фигурой В не зависит от положения фигуры В внутри области А и, более того, не зависит от формы В. Если в качестве фигуры В выбран линейный отрезок, то мы немедленно получим решение классической задачи Бюффона [3], которая считается отправной точкой области геометрических вероятностей.

Имеется много других замечательных результатов, которые выражают вероятности пересечения случайного множества X с фиксированной фигурой В через геометрические

свойства этой фигуры

Р{ХПВ^Щ = и(В),

где и - некоторый геометрический функционал.

Эти результаты могут быть интерпретированы несколькими способами:

1) как свойство функционала и;

2) как основа статистического метода оценки v{B) с помощью случайной выборки ХГ\В;

3) как характеризации распределения случайного множества X, например, для проверки 11 равномерности "распределения множества X.

Нестрого говоря, различные аспекты стохастической геометрии, соответствующие каждой из приведенных выше интерпретаций, образуют предмет более специализированной области, а именно, интегральной геометрии, стереологии, пространственной статистики.

Термин "стохастическая геометрия" был введен в 1969 году на конференции по интегральной геометрии и геометрическим вероятностям (Обервольфах, Германия), чтобы подчеркнуть связь рассматриваемых задач с теорией случайных процессов, в частности с той ее частью, которая относится к случайным полям или'пространственным случайным процессам (см. предисловие Д. Кендалла в [203]). С другой стороны, случайные процессы, реализации которых суть геометрические структуры, являются предметом изучения в рамках стохастической геометрии [203,206].

Значительная часть стохастической геометрии формировалась как решение прикладных задач в различных областях знания. Пространственные данные, то есть наблюдения, где пространственные координаты тесно связаны со случайным механизмом явления, типичны для таких областей как метеорология, геофизика, география, экология, лесоведение и многих других.

Термин "пространственная статистика"получил широкое распространение с выходом в свет монографии английского математика Б. Рипли "Spatial Statistics"(1981), в которой он впервые систематически изложил методы и примеры анализа пространственных данных. В настоящее время под пространственной статистикой понимается методология

анализа пространственных данных трех типов - с непрерывной пространственной вариацией, с дискретной пространственной вариацией и точечных структур (паттернов) [82]. Методы, позволяющие анализировать данные первого типа, часто относят к геостатистике. Этот термин отражает вклад специалистов горной промышленности ЮАР и французских математиков из горного института (L'Ecole des Mines, Fontainebleau) в разработку методов интерполяции пространственных данных. Методы геостатистики широко используются не только в геологии, но и экологии [138], почвоведении и агрохимии [95], лесоведении, дистанционном зондировании [197], океанологии, метеорологии и многих других областях знания.

Методы анализа данных второго типа востребованы и широко применяются в географических науках [59], социо-экономических исследованиях [24,110] санитарно-эпидемиологических работах [73,216] полевых экспериментах эколого-биогеоценотического характера [138] и т.д. Для таких данных типичным является обстоятельство, что точки отбора экспериментального материала дискретны, либо данные агрегируются и характеризуют подобласти, на которые разбита исследуемая территория, например, административные округа.

Наконец, методы анализа точечных структур тесно связаны с стохастической геометрией, которая предлагает математические модели для данных, соответствующих точечным конфигурациям. Примерами таких данных являются карты расположения деревьев в лесу [121,220] местоположения археологических находок, расположение гнездовий птиц и многие другие объекты в географии [79], астрономии [196], биологии [218], медицине [149].

Отметим, что в последние годы интерес к методам пространственной статистики со стороны нематематических дисциплин постоянно растет. Это связано, главным образом, с осознанием важности пространственных взаимоотношений между частями общей сложной системы пространственно распределенных объектов и учета зависимости поведения или состояния этой системы от направленности и напряженности таких взаимодействий. В частности, укажем на появление таких новых дисциплин как пространственная экология (Spatial Ecology) [220], пространственная эконометрия (Spatial Econometry) [24,110] пространственная эпидемиология (Spatial Epidemiology) [73,137].

Несомненным источником идей для пространственной статистики явились теорети-

ческие результаты, наработанные в задачах статистической физики [2,15,21]. Модели, которые используют физики, чтобы описать большие молекулярные системы, оказались достаточно универсальны, чтобы быть полезными для описания пространственных данных различной природы. Идея использовать микроописание системы взаимодействующих объектов, чтобы предсказать ее макроповедение, успешно реализуется во многих науках, являясь основой имитационного и статистического моделирования.

Кроме многих естественно-научных и социо-экономических дисциплин, для которых пространственная статистика поставляет модели и методы анализа экспериментальных данных, методы пространственной статистики и стохастической геометрии используются для цифровой обработки изображений [17,45], распознавания образов [186], математической морфологии [61,184] и других областях интеллектуальной обработки данных.

Вклад пространственной статистики в теоретическую статистику может быть связан с работами эколого-биометрического характера, появившимися в литературе начиная с 50-х годов прошлого столетия, в которых разрабатывались различные методы проверки гипотезы о "пуассоновости" случайного точечного поля. Завершением этого цикла публикаций явилась работа [183], в которой получили теоретическое освещение многочисленные попытки конструирования и применения различных индексов агрегированности и показателей регулярности расположения точек.

Также практические задачи явились стимулом для введения и изучения новых моделей пространственных точечных процессов. Например, кластерные точечные процессы, по-видимому, впервые появились в литературе как попытка описать распределение звезд на небесной сфере [157]. Позднее модельные представления были развиты в классической работе Матерна [148], в которой пространственные процессы использовались для изучения оптимальных выборочных схем полевых экспериментов. Несколько позже появились и получили большое распространение гиббсовские модели, заимствованные из статистической физики, в которых отклонение от модели пуассоновского точечного поля является следствием взаимодействия между точками [68,162,163,181,207].

Теоретические основы для применения статистических методов, базирующихся на моделях пространственных точечных процессов, были заложены в работах Б. Рипли [180,181] и развиты усилиями представителей немецкой математической школы (Фрайберг, Герма-

и

ния) [74,112,165,166,199].

Важные результаты в области стохастической геометрии и теории случайных пространственных точечных процессов получены в работах М.Бартлетта, П.Диггла, Ю.Бе-сага, Б.Рипли, И. Мекке, Д.Штояна, К.-Х.Ханиша, И. Маттеса, Б. Огаты, Д. Дели, Д. Вери-Джонса, О. Калленберга, Д. Кендалла, Р. Майлза, А. Бэддли, Е.Йенсен, И. Мочано-ва, Е. Мёллера и других. Известна своими работами в области стохастической геометрии группа, возглавляемая проф. Р.В. Амбарцумяном в Армении.

Роль компьютерных вычислений в методах стохастической геометрии и пространственной статистики.

В последние два десятилетия с увеличением мощности компьютеров и их большей доступностью растет интерес к применению компьютерных программ для реализации методов пространственной статистики и стохастической геометрии. Причем, компьютерные методы используются не только в их традиционном амплуа, на стадии анализа данных, но и для изучения свойств математических объектов, где теоретические инструменты либо слишком ограничительны, либо просто отсутствуют. Более того, такие программы особенно важны, когда исследуют свойства реальных систем и, следовательно, упрощающие предположения могут быть слишком ограничительны, например, при изучении архитектуры корней растений [99], 3-d структуры клеток тканей [144], телекоммуникационных сетей [92] и т.д.

Чтобы быть полезными такие программы должны быть доступными, платформо-независимыми, эффективными как по времени, так и размеру задачи, и предоставлять большое разнообразие методов. В настоящее время имеется ряд свободно распространяемых пакетов программ, которые включают методы анализа изображений и обработки пространственных данных. К ним относятся

• пакет Z-IMAGE, разработчик CSIRO, Australia, (http: / / www.cmis.csiro.au/1АР / zimage.htm),

в пакет GeoStoch, разработчик Institute of Stochastics, University of Ulm, Germany ((http: //www.geostoch.de)

• пакет spatstat, авторы А. Бэддли и Рольф Тцрнер (http://www.spatstat.org)

• пакет splancs, авторы П.Диггл и Б. Роулингсон (http: //cran. r-proj ect. org / web / packages/splancs)

Z-IMAGE ориентирован на задачи из области обработки изображений, в том числе динамических сцен, а также распознавания образов. Пакет GeoStoch - это коллекция модулей, применяемых для типичных задач стохастической геометрии, стереологии и точечных процессов. Пакет spatstat - единственный в настоящее время пакет программ, которые позволяют не только анализировать пространственные данные точечного типа, но и подбирать модели, которые часто используются в приложениях. Наконец, пакет splancs ориентирован на решение задач анализа данных методами геостатистики. Заметим, что пакеты spatstat и splancs предназначены для работы под управлением популярной статистической системы R (http://www.r-project.org/).

Укажем еще на одну причину почему компьютерные вычисления так важны при моделировании и анализе пространственно распределенных систем. Фактически это единственный способ получать оценки параметров моделей или других числовых характеристик, строить доверительные интервалы, проверять статистические гипотезы и сравнивать альтернативные методы, используемые для статистических выводов. Особенностью моделей пространственных точечных структур является то обстоятельство, что кроме нескольких тривиальных случаев мы не можем выписать вероятностное распределение в явном виде, и, следовательно, такой мощный инструмент как метод максимального правдоподобия не может быть применен непосредственно. В качестве приема, позволяющего обойти эту трудность, было предложено моделировать распределение с некоторыми фиксированными значениями параметров, и использовать информацию о статистиках, чтобы получить приближенные оценки [90]. Этот метод, который является монте-карловским вариантом максимального правдоподобия, дает возможность работать с распределениями, нормировочная константа которых неизвестна, что является типичным для моделей возникающих в пространственной статистике. Решение в еще более общей ситуации было предложено в работе [70], в которой авторы рассматривают случай применения метода максимального правдоподобия, когда распределение полностью неизвестно.

Возможность получения реализаций вероятностных моделей пространственных процессов важна при проверки согласия моделей и данных как частной задачи проверки ста-

тистических гипотез. Исторически [188], метод генерации реализаций многомерных распределений, нормирующая константа которых не может быть вычислена аналитически, впервые был предложен в контексте статистической физики [151] для вычислений состояний конфигурационного газа, и получил название алгоритм Метрополиса. Этот метод был в дальнейшим развит в статистической литературе, благодаря работе [114], в которой автор предложил семейство алгоритмов, включающее алгоритм Метрополиса как частный случай. Эта статья не была замечена, и только в 90-е годы прошлого столетия, начиная с работы [83], в которой был продемонстрирован потенциал методов, реализующих алгоритмы марковких цепей, для получения выборок из сложных многомерных распределений, теория и приложения этих методов - Markov chain Monte Carlo (MCMC) - стали бурно развиваться [53,188]. Главной сферой приложений МСМС-методов стали байесовские вычисления [39,48,195].

Интересно отметить, что два основных алгоритма МСМС-методов, широко использующихся сегодня во всех разделах математической статистики, алгоритм Метрополиса и гиббсовский алгоритм, первоначально появились в работах прямо относящихся к стохастической геометрии и пространственной статистике. Алгоритм Метрополиса, как уже упоминалось, был предложен для вычислений, связанных с распределением состояний конфигурационного газа [151], а гиббсовский алгоритм был "открыт"в работе, посвященной анализу изображений [84]. Ранее гиббсовский алгоритм был предложен для решения задач статистической физики [35] как альтернатива методу Метрополиса, и в качестве алгоритма генерации реализаций точечного процесса с фиксированным числом точек [182].

Для моделей точечных полей с локальной зависимостью (гиббсовские точечные поля) долгое время использовался алгоритм, основанный на пространственном процессе рождения и гибели [139,175,203]. Несколько позднее был предложен метод, позволяющий получать выборки с помощью алгоритмов Метрополиса-Хастингса, реализующих марковские цепи [89].

Важность применения методов Монте-Карло для задач проверки гипотез была подчеркнута в работе [47], в которой даны примеры использования этой процедуры для проверки простой гипотезы в форме, предложенной ранее в [36]. Для моделей, реализации которых не являются независимыми, в работе [46] описана модификация метода Монте-

Карло, позволяющая обойти эту трудность.

Моделирование пространственной структуры растительных сообществ.

В последние десятилетие появилось заметное число работ, посвященных изучению пространственной структуры экологических систем, и, в частности, горизонтальной структуры древостоя [86,171,220]. Этот интерес обусловлен тем, что пространственная структура закономерно связана с процессами, протекающими в растительном сообществе. К сожалению, эта связь не является прозрачной из-за многообразия и сложности факторов, влияющих на возобновление, рост и отпад деревьев и приводящих к специфической пространственной организации популяции растений, то есть взаимному расположению растений в сообществе. К числу таких процессов относятся разнос семян, внутривидовая и межвидовая конкуренция, различные нарушения естественного и антропогенного характера, неоднородность в обеспеченности ресурсами (минеральное питание, распределение солнечной радиации), микроклиматические факторы и т.д. Тем не менее, анализ размещения деревьев дает возможность исследователю сделать некоторые содержательные выводы о процессах, протекающих в растительном сообществе. Например, анализ расстояний между деревьями позволяет определить напряженность конкурентных взаимоотношений, в то время как изменение локальной плотности деревьев может дать основания говорить о неоднородности внешних условий.

Исследования пространственной структуры популяций растений свидетельствуют о том, что в процессе развития и функционирования сообщества структура размещения растений претерпевает значительные изменения. Заметим, что мы говорим о естественных насаждениях, не подвергающихся санитарному уходу, т.е. таких лесных участках, где единственными структурообразующими факторами являются отпад и возобновление деревьев. Понятно, что пространственная структура в этом случае является важной характеристикой состояния растительного сообщества и играет существенную роль в прикладных исследованиях и практике лесного хозяйства.

Практическими задачами, для которых имеет большое значение изучение пространственной структуры древостоя, являются планирование инвентаризационного учета, уход и восстановление насаждений.

Выборочные исследования обычно вовлекают измерения непосредственно на лесном

участке, даже при наличии качественных аэрофотоснимков. Прежде, чем измерения будут выполнены, должен быть определен выборочный план, устанавливающий размер, форму и расположение выборочных площадок. При этом план составляется с учетом традиционных методик и целей обследования. Например, интерес могут представлять затраты, связанные с мероприятиями по учету и уходу за лесным насаждением, или управления лесным хозяйством и т.п. В идеальном случае конечный план должен быть выбран таким, чтобы разброс значений оценок параметров при данных полных затратах на выборочные обследования был бы минимальным. Однако, минимизация разброса - трудная задача, и одна из причин состоит в том, что на качество оценивания оказывает влияние большое число факторов. Разброс, например, зависит от распределения размеров деревьев, пространственной вариабельности плодородия почвы, относительного расположения деревьев и т.д. Эти факторы, тесно связанные с пространственной структурой популяции растений, должны быть приняты во внимание при планировании хозяйственных мероприятий [11,14,148]. Решение этой важной в практическом отношении задачи представляется в разработке имитационных моделей растительного сообщества [19,65,106].

Исторически методы анализа пространственных точечных структур оформились в работах экологического и географического характера более полувека назад [1,10,59]. Однако, по-настоящему доступными они стали после создания пакетов программ (Spatstat, Splanc, ADE), призванных облегчить исследователю рутинную часть работы и сосредоточиться на содержательной части. Кроме того, сами методы интенсивно развивались, пополнив разделы стохастической геометрии, пространственных случайных процессов и математической статистики [61,121,154,206]. В данном разделе мы опишем некоторые наиболее распространенные методы анализа пространственных данных и продемонстрируем их возможности на конкретных примерах. Мы ограничимся рассмотрением вида пространственных данных, где объекты дискретны и могут быть представлены точками на плоскости. Такие точечные множества мы будем называть точечными конфигурациями. Чтобы подчеркнуть, что интерес представляет характер взаимного расположения точек, для наблюдаемой конфигурации точек в западной литературе принят термин "паттерн"(рисунок). В том случае если для каждого объекта измерены некоторые характеристики, например, диаметр и высота ствола, возраст, высота прикрепления кроны, и/или имеется информация о породе (виде)

растения, онтогенетическом состоянии, то множество, соответствующее совокупности местоположения растений и их характеристик, называется маркированной точечной конфигурацией (паттерном), а характеристики растений - марками. Такой тип данных оказывается довольно гибким, чтобы описать большое разнообразие ситуаций. В последнее время большое внимание уделяется моделям, которые описывают точечные системы, изменяющиеся во времени [191], но в данной статье этот класс моделей рассматриваться не будет. Во многих практических ситуациях для описания лесного массива достаточно привести некоторые численные параметры, усредненные по всей территории, например, плотность (число деревьев на единицу площади), средний диаметр и/или высота, породный состав и т.д. Однако, численных значений элементарных характеристик может быть недостаточно, если мы хотим описать изменчивость параметра в том числе и по пространству. Например, исследователя может интересовать тип пространственной структуры: образуют растения скопления, расположены кслучайнон. или относительно регулярно. От ответа на этот вопрос зависит также оценка точности типичных показателей таксационных характеристик участка леса. Достаточно информативными характеристиками изменчивости признака по пространству являются так называемая радиальная функция, которую в статистической литературе принято называть парная корреляционная функция [206], и /С-функция Рип-ли [5,180,184]. Эти характеристики отражают корреляционные (по пространству) свойства точечного множества и позволяют связать изменения в крисункеш расположения точек с масштабом (расстоянием между парами точек). Таким образом, исследователь получает возможность характеризовать пространственную структуру достаточно сложно устроенных растительных сообществ. Скажем, мелкомасштабная изменчивость отражает взаимодействие между растениями, в то время как средние и крупномасштабные неоднородности могут соответствовать градиентам среды. Часто задача состоит в том, чтобы включить в пространственный анализ характеристики растений и рассмотреть как меняется их взаимосвязь с взаимным расстоянием. Такие методы основываются на вычислении различных корреляционных мер [121]. Частным случаем такой задачи является анализ взаимодействия между видами в многовидовом сообществе, а также определение зависимости отпада деревьев от локальной плотности [132]. Многие экологические работы ограничиваются этапом предварительного анализа, который позволяет дать общую характеристику изуча-

емого объекта. Математически более строгие выводы могут быть сделаны на основе формальных процедур в рамках статистической проверки гипотез. Применение таких методов требует, как правило, больших объемов вычислений, поскольку аналитические результаты относительно возникающих задач за исключением вырожденных случаев отсутствуют и единственный способ получить ответы на поставленные вопросы - это использовать метод статистического моделирования Монте-Карло [47,67].

Суммируя вышесказанное мы можем утверждать, что три взаимосвязанные проблемные области: модели случайных точечных полей и статистические методы, основанные на этих моделях, математическое моделирование популяции растений как систем взаимодействующих объектов, а также программные средства, необходимые для реализации новых методов моделирования, являются активно развивающимися областями исследования и определяют актуальность настоящей работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Грабарник, Павел Яковлевич, 2013 год

Литература

1. Васильевич, В.И. Статистические методы в геоботанике / В.И. Васильевич. — Наука, Ленингр. отд-ние, 1969.

2. Взаимодействующие марковские процессы и их применение в биологии / под ред. Р. Л. Добру шина. - 1986.

3. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко. — М.: Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры, 1988.

4. Гнеденко, Б.В. Введение в теорию массового обслуживания / Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко. — М.: Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры, 1987.

5. Грабарник, П.Я. Анализ горизонтальной структуры древостоя: модельный подход / П.Я. Грабарник // Лесоведение. - 2010. — №. 2. - С. 77-85.

6. Грабарник, П.Я. Статистический анализ пространственных структур. Методы, использующие расстояния между точками. / П.Я. Грабарник, A.C. Комаров. — Экомодель-4. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ. Пущино: ОНТИ НЦБИ, 1980. - С. 1-48.

7. Грабарник, П.Я. Статистический анализ горизонтальной структуры древостоя / П.Я. Грабарник, A.C. Комаров // Моделирование биогеоценотических процессов.-М.: Наука. - 1981. - С. 119-135.

8. Грабарник, П.Я. Статистическое моделирование и анализ данных лесной таксации для задач оценки биоразнообразия / П.Я. Грабарник , В.Э. Смирнов, И.Е. Сизов // Лесоведение. - 2004. - Ж 3, - С. 35-43.

9. Грабарник, П.Я. О модели точечных конфигураций, заданной полупараметрическим взаимодействием / Д.Я. Грабарник, В.В. Щербаков // Вестник Московского университета. - 2012. - Ж 2 - С. 3-8.

10. Грейг-Смит, П. Количественная экология растений / П. Грейг-Смит. — М.: Мир, 1967.

11. Гусев, H.H. Лесоустройство / H.H. Гусев, В.В. Заварзин, В.А. Солдатов; Ed. by

A.Н. Филипчук. - М.: ВНИИЛМ, 2004.

12. Кендалл, М.Г. Геометрические вероятности / М.Г. Кендалл, П.А.П. Моран. — М.:Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры, 1972.

13. Кокс, Д.Р. Статистический анализ последовательностей событий / Д.Р. Кокс, П. Льюис. - М.:Мир, 1969.

14. Коровин, Г.Н. Модель динамики лесного фонда в задачах оптимизации лесопользования / Г.Н. Коровин, Э.А. Карпов // Проблемы мониторинга и моделирования динамики лесных экосистем. — М.: Международный институт леса, 1995. — С. 140156.

15. Малышев, В.А. Гиббсовские случайные поля: Метод кластерных разложений /

B.А. Малышев, P.A. Минлос. — М.:Наука, Глав. ред. физико-математической литры, 1985.

16. Матерон, Ж. Случайные множества и интегральная геометрия / Ж. Матерон. — М:Мир, 1978.

17. Методы компьютерной обработки изображений / Поде ред. В.А. Сойфера. — М: Физматлит, 2003.

18. Минлос, Р.А. Предельное распределение Гиббса / Р.А. Минлос // Функциональный анализ и его приложения. — 1967. — Т. 1, №. 2. — С. 60-73.

19. Моделирование динамики органического вещества в лесных экосистемах / Ed. А.С. Комаров, О.Г. Чертов, и др. (Отв. редактор В.Н.Кудеяров). — М.: Наука, 2007.

20. Сантало, JI.A. Интегральная геометрия и геометрические вероятности / JT.A. Санта-ло. — М.: Наука, 1983.

21. Рюэль, Д. Статистическая механика: Строгие результаты / Д. Рюэль. — М.:Мир, 1971.

22. Ambartzumian, R.B. Homogeneous and isotropic random point fields in the plane / R.B. Ambartzumian // Math. Nachrich. - 1975. - Vol. 70. - pp. 365-385.

23. Anselin, L. Spatial econometrics: methods and models / L. Anselin. — Kluwer Academic Pub, 1988. - Vol. 4.

24. Anselin, L. Advances in spatial econometrics: methodology, tools and applications / L. Anselin, R. Florax, S.J. Rey. — Springer Verlag, 2004.

25. Baddeley, A.J. A crash course in stochastic geometry / A.J. Baddeley // Stochastic Geometry: Likelihood and Computation / Ed. by OE Barndorff-Nielsen, WS Kendall, MNM van Lieshout. — London: Chapman and Hall, 1999. — pp. 1-35.

26. Baddeley, A.J. Spatial sampling and censoring / A.J. Baddeley // Stochastic Geometry: Likelihood and Computation / Ed. by OE Barndorff-Nielsen, WS Kendall, MNM van Lieshout. — London: Chapman and Hall, 1999. — Vol. 2. — pp. 37-78.

27. Baddeley, A.J. Time-invariance estimating equations / A.J. Baddeley // Bernoulli. — 2000. - Vol. 6, no. 5. - pp. 783-808.

28. Baddeley, A. Nearest-neighbour Markov point processes and random sets / A. Baddeley, J. M0ller // International Statistical Review. — 1989. — pp. 89-121.

29. Baddeley, A. Properties of residuals for spatial point processes / A. Baddeley, J. M0ller, A.G. Pakes // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. — 2008. — Vol. 60, no. 3. — pp. 627-649.

30. Baddeley, A.J. Fast approximation of the intensity of Gibbs point processes / A. Baddeley, G. Nair // Electronic Journal of Statistics. — 2012. - Vol.6.- pp. 1155-1169.

31. Baddeley, A.J. A cautionary example on the use of second-order methods for analyzing point patterns / A.J. Baddeley, B.W. Silverman // Biometrics. — 1984. — pp. 1089-1093.

32. Baddeley, A. Practical maximum pseudolikelihood for spatial point patterns / A. Baddeley, R. Turner // Australian & New Zealand Journal of Statistics. — 2000. — Vol.42, no 3. — pp. 283-322.

33. Baddeley A. Residual analysis for spatial point processes (with discussion) / A. Baddeley, R. Turner, J. M0ller, M. Hazelton // Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology). — 2005. - Vol. 67, no. 5. - pp. 617-666.

34. Baddeley, A.J. Area-interaction point processes / A.J. Baddeley, M.N.M. Van Lieshout // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. — 1995. — Vol. 47, no. 4. — pp. 601-619.

35. Barker, A.A. Monte Carlo calculations of the radial distribution functions for a proton electron plasma / A.A. Barker // Australian Journal of Physics. — 1965. — Vol. 18, no. 2. - pp. 119-134.

36. Barnard, G.A. Discussion of Professor Bartlett's paper / G.A. Barnard // Journal of the Royal Statistical Society, Series B. — 1963. — Vol. 25. — P. 294.

37. Batista, J. Modeling the spatial structure of topical forests / J. Batista, D. Maguire // Forest Ecology and Management. - 1998. - Vol. 110, no. 1. — pp. 293-314.

38. Bauer, S. Asymmetric competition as a natural outcome of neighbour interactions among plants: results from the field-of-neighbourhood modelling approach / S. Bauer,

T. Wyszomirski, U. Berger et al. // Plant Ecology. — 2004. — Vol. 170, no. 1. — pp. 135145.

39. Bernardo, J.M. Bayesian Theory / J.M. Bernardo, A.F.M Smith. — Wiley, 2009. — Vol. 405.

40. Besag, J. Spatial interaction and the statistical analysis of lattice systems / J. Besag // Journal of the Royal Statistical Society. Series B. — 1974. — Vol. 36, no. 2. — pp. 192-236.

41. Besag, J. Statistical analysis of non-lattice data / J. Besag // Journal of the Royal Statistical Society. Series D (The Statistician). — 1975. — Vol. 24, no. 3. — pp. 179-195.

42. Besag, J. Contribution to the discussion of Dr. Ripley's paper / J Besag // Journal Royal Statistical Society, ser. B. - 1977. — Vol. 39, no. 2. — pp. 193-195.

43. Besag, J. Efficiency of pseudolikelihood estimation for simple Gaussian fields / J. Besag // Biometrika. — 1977. — Vol. 64, no. 3. — pp. 616-618.

44. Besag, J. Some methods of statistical analysis for spatial data / J. Besag // Bulletin of the International Statistical Institute. — 1977. — Vol. 47, no. 2. — pp. 77-92.

45. Besag, J. On the statistical analysis of dirty pictures / J. Besag // Journal of the Royal Statistical Society. Series B. — 1986. — pp. 259-302.

46. Besag, J. Generalized Monte Carlo significance tests / J. Besag, P. Clifford // Biometrika. - 1989. - Vol. 76, no. 4. - pp. 633-642.

47. Besag, J. Simple Monte Carlo tests for spatial pattern / J. Besag, P.J. Diggle // Applied Statistics. — 1977. — pp. 327-333.

48. Besag, J. Bayesian computation and stochastic systems / J. Besag, P. Green, D. Higdon, K. Mengersen // Statistical Science. — 1995. — pp. 3-41.

49. Besag, J. Point process limits of lattice processes / J. Besag, R. Milne, S. Zachary // Journal of Applied Probability. - 1982. - pp. 210-216.

50. Billiot, J-M. Maximum pseudolikelihood estimator for exponential family models of marked Gibbs point processes / J-M. Billiot, J-F. Coeurjolly, R. Drouilhet // Electronic Journal of Statistics. — 2008. — Vol. 2. - pp. 234-264.

51. A new statistical method for identifying interconnections between neuronal network elements / G.N. Borisyuk, R.M. Borisyuk, A.B. Kirillov et al. // Biological cybernetics.

- 1985. - Vol. 52, no. 5. - pp. 301-306.

52. Bretz, F. Multiple comparisons using R / F. Bretz, T. Hothorn, P. Westfall. — London:Chapman & Hall/CRC, 2011.

53. Brooks, S.P. Bayesian computation: a statistical revolution / S.P. Brooks // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2003. — Vol. 361, no. 1813. — P. 2681.

54. Brooks, S.P. Convergence assessment techniques for Markov chain Monte Carlo / S.P. Brooks, G.O. Roberts // Statistics and Computing. — 1998. — Vol. 8, no. 4. — pp. 319-335.

55. Brown, T.C. A class of two-type point processes / T.C. Brown, B.W. Silverman, R.K. Milne // Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. — 1981.

- Vol. 58, no. 3. - pp. 299-308.

56. Carlson, C.A. Spatial distribution of ore deposits / C.A. Carlson // Geology. — 1991. — Vol. 19, no. 2. - pp. 111-114.

57. Carter, D.S. Exponential spaces and counting processes / D.S. Carter, P.M. Prenter // Probability Theory and Related Fields. - 1972. - Vol. 21, no. 1. - pp. 1-19.

58. Chayes, J.T. The analysis of the Widom-Rowlinson model by stochastic geometric methods / J.T. Chayes, L. Chayes, R. Kotecky // Communications in Mathematical Physics. - 1995. - Vol. 172, no. 3. - pp. 551-569.

59. Cliff, A.D. Spatial processes: models & applications / A.D. Cliff, J.K. Ord. — Pion London, 1981. - Vol. 44.

60. Cowles, M.K. Markov chain Monte Carlo convergence diagnostics: a comparative review / M.K. Cowles, B.P. Carlin // Journal of the American Statistical Association. — 1996. — Vol. 91, no. 434. - pp. 883-904.

61. Cressie, N.A.C. Statistics for spatial data / N.A.C. Cressie. — New York: Wiley, 1993.

62. Cressie, N. Statistics for spatio-temporal data / N. Cressie, C.K. Wikle. — Wiley, 2011. — Vol. 465.

63. Dale, M.R.T. Conceptual and mathematical relationships among methods for spatial analysis / M.R.T. Dale, Ph. Dixon, M.-J. Fortin et al. // Ecography. — 2002. — Vol. 25, no. 5. — pp. 558-577.

64. Daley, D.J. An introduction to the theory of point processes: General theory and structure / D.J. Daley, D. Vere-Jones. - Springer-Verlag, 2007. - Vol. 2.

65. DeAngelis, D.L. Individual-based models and approaches in ecology: populations, communities and ecosystems. / D.L. DeAngelis, L.J. Gross. — Chapman &; Hall, 1992.

66. Diggle, P.J. On parameter estimation and goodness-of-fit testing for spatial point patterns / P.J. Diggle // Biometrics. - 1979. - pp. 87-101.

67. Diggle, P.J. Statistical analysis of spatial point patterns / P.J. Diggle. — 1983.

68. Diggle, P.J. On parameter estimation for pairwise interaction point processes / P.J. Diggle, T. Fiksel, P. Grabarnik et al. // International Statistical Review. — 1994. — pp. 99-117.

69. Diggle, P.J. A nonparametric estimator for pairwise-interaction point processes / P.J. Diggle, D.J. Gates, A. Stibbard // Biometrika. — 1987. - Vol. 74, no. 4. - pp. 763770.

70. Diggle, P.J. Monte Carlo methods of inference for implicit statistical models / P.J. Diggle, R.J. Gratton // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). — 1984. - pp. 193-227.

71. Diggle, P.J. Bivariate Cox processes: some models for bivariate spatial point patterns / P.J. Diggle, R.K. Milne // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). — 1983. - pp. 11-21.

72. Eckel, S. An investigation of the spatial correlations for relative purchasing power in BadenWürttemberg / S. Eckel, F. Fleischer, P. Grabarnik, V. Schmidt // AStA Advances in Statistical Analysis. — 2008. — Vol. 92, no. 2. — pp. 135-152.

73. Elliot, P. Spatial epidemiology: methods and applications. / P. Elliot, J.C. Wakefield, N.G. Best et al. — Oxford University Press, 2000.

74. Fiksel, T. Estimation of parametrized pair potentials of marked and non-marked Gibbsian point processes / T. Fiksel // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. — 1984. - Vol. 20, no. 5/6. - pp. 270-278.

75. Fiksel, T. Estimation of interaction potentials of Gibbsian point,processes / T. Fiksel // Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics. — 1988. — Vol. 19, no. 1. — pp. 77-86.

76. Ford, E.D. Competition for light in a plant monoculture modelled as a spatial stochastic process / E.D. Ford, P.J. Diggle // Annals of Botany. — 1981. - Vol. 48, no. 4. -pp. 481-500.

77. Fortuin, C.M. On the random-cluster model: I. Introduction and relation to other models /

C.M. Fortuin, P.W. Kasteleyn // Physica.- 1972. - Vol. 57, no. 4. - pp. 536-564.

78. Gates, D.J. Clustering estimates for spatial point distributions with unstable potentials /

D.J. Gates, M. Westcott // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. — 1986. — Vol. 38, no. 1. - pp. 123-135.

79. Gatrell, A.C. Spatial point pattern analysis and its application in geographical epidemiology / A.C. Gatrell, T.C. Bailey, P.J. Diggle, B.S. Rowlingson // Transactions of the Institute of British geographers. — 1996. — pp. 256-274.

80. Gavrikov, V.L. Trank-top relations in a Siberian pine forest / V.L. Gavrikov, P.Ya. Grabarnik, D. Stoyan // Biometrical Journal. — 1993. — Vol. 35. — pp. 487-498.

81. Gavrikov, V. The use of marked point processes in ecological and environmental forest studies / V. Gavrikov, D. Stoyan // Environmental and ecological statistics. — 1995. — Vol. 2, no. 4. - pp. 331-344.

82. Gelfand A.E. Handbook of spatial statistics / A.E. Gelfand, P.J. Diggle, P.Guttorp, M. Fuentes (Editors).— Chapman and Hall, 2010.

83. Gelfand, A.E. Sampling-based approaches to calculating marginal densities / A.E. Gelfand, A.F.M. Smith // Journal of the American statistical association. — 1990. — pp. 398-409.

84. Geman, S. Stochastic relaxation, Gibbs distributions, and the Bayesian restoration of images / S. Geman, D. Geman // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. — 1984. - Vol. 6. - pp. 721-741.

85. Dieckmann U.The geometry of ecological interactions: simplifying spatial complexity / U. Dieckmann, R. Law, J.A.J. Metz (Editors). — Cambridge University Press, 2000.

86. Getzin, S. Spatial patterns and competition of tree species in a Douglas-fir chronosequence on Vancouver Island / S. Getzin, C. Dean, F. He et al. // Ecography. — 2006. — Vol. 29, no. 5. — pp. 671-682.

87. Geyer, C.J. Practical Markov chain Monte Carlo / C.J. Geyer // Statistical Science. — 1992. - Vol. 7, no. 4. - pp. 473-483.

88. Geyer, C.J. Stochastic geometry: likelihood and computation / C.J. Geyer / Ed. by 0. Barndorff-Nielsen, W.S. Kendall, M.N.M. van Lieshout. — Chapman k Hall/CRC Press, London, 1999. - pp. 79-140.

89. Geyer, C.J. Simulation procedures and likelihood inference for spatial point processes / C.J. Geyer, J. M0ller // Scandinavian Journal of Statistics. — 1994. — pp. 359-373.

90. Geyer, C.J. Constrained Monte Carlo maximum likelihood for dependent data / C.J. Geyer,

E.A. Thompson // Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological). — 1992. - pp. 657-699.

91. Geyer, C.J. Annealing Markov chain Monte Carlo with applications to ancestral inference / C.J. Geyer, E.A. Thompson // Journal of the American Statistical Association. — 1995.

- pp. 909-920.

92. Gloaguen, C. Analysis of shortest paths and subscriber line lengths in telecommunication access networks / C. Gloaguen, F. Fleischer, H. Schmidt, V. Schmidt // Networks and Spatial Economics. — 2010. — Vol. 10, no. 1. — pp. 15-47.

93. Goreaud, F. On explicit formulas of edge effect correction for Ripley's K-function /

F. Goreaud, R.. Pelissier // Journal of Vegetation Science. — 1999. — Vol. 10, no. 3.

- pp. 433-438.

94. Goreaud, F. Avoiding misinterpretation of biotic interactions with the intertype K12-function: population independence vs. random labelling hypotheses / F Goreaud,

R. Pelissier // Journal of Vegetation Science. — 2003. — Vol. 14, no. 5. — pp. 681— 692.

95. Goovaerts, P..Geostatistics in soil science: state-of-the-art and perspectives / P. Goovaerts // Geoderma. - 1999. - Vol. 89, no. 1. - pp. 1-45.

96. Goulard, M. Parameter estimation for marked Gibbs point processes through the maximum pseudo-likelihood method / M. Goulard, A. Sarkka, P. Grabarnik // Scandinavian Journal of Statistics. — 1996. - pp. 365-379.

97. Grabarnik, P. Goodness-of-fit test for complete spatial randomness against mixtures of regular and clustered spatial point processes / P. Grabarnik, S.N. Chiu // Biometrika. — 2002. - Vol. 89, no. 2. - P. 411.

98. Grabarnik, P. Correct testing of mark independence for marked point patterns / P. Grabarnik, M. Myllymaki, D. Stoyan // Ecological Modelling. - 2011. - Vol. 222, no. 2-3. - pp. 3888-3894.

99. Grabarnik, P. Geometrical properties of simulated maize root systems: consequences for length density and intersection density / P. Grabarnik, L. Pages, A.G. Bengough // Plant and Soil. - 1998. - Vol. 200, no. 2. - pp. 157-167.

100. Grabarnik, P. Some interaction models for clustered point patterns: application to forestry / P. Grabarnik, A. Sarkka // Proceedings of Conference on Stereology, Spatial Statistics and Stochastic Geometry, Ed. V. Benes, J. Janacek, I. Saxl . — Prague. — 1998.

- pp. 107-112.

101. Grabarnik, P. Interacting neighbour point processes: some models for clustering / P. Grabarnik, A. Sarkka // Journal of Statistical Computation and Simulation. — 2001.

- Vol. 68, no. 2. - pp. 103-125.

102. Grabarnik, P. Modelling the spatial structure of forest stands by multivariate point processes with hierarchical interactions / P. Grabarnik, A. Sârkkâ // Ecological Modelling. - 2009. - Vol. 220, no. 9-10. - pp. 1232-1240.

103. Grabarnik, P. Modelling the spatial and space-time structure of forest stands: How to model asymmetric interaction between neighbouring trees / P. Grabarnik, A. Sàrkkâ // Procedia Environmental Sciences. — 2009. — Vol. 7. — pp. 62-67.

104. Gray, L. Spatial point-pattern analysis for detecting density-dependent competition in a boreal chronosequence of Alberta / L. Gray, F. He // Forest ecology and management. — 2009. - Vol. 259, no. 1. - pp. 98-106.

105. Gray, L. Mixture formulae for shot noise weighted point processes / L. Gray, F. He // Statistics & probability letters. — 2004. - Vol. 67. - pp. 311-320.

106. Grimm, V. Pattern-oriented modeling of agent-based complex systems: lessons from ecology / V. Grimm, E. Revilla, U. Berger et al. // Science. — 2005. — Vol. 310. — P. 987.

107. Gubner, J.A. Performance analysis of hypothesis testing for sparse pairwise interaction point processes / J.A. Gubner, W-B. Chang, M.M. Hayat // Information Theory, IEEE Transactions on. — 2000. — Vol. 46, no. 4. — pp. 1357-1365.

108. Hàggstrôm, O. Characterization results and Markov chain Monte Carlo algorithms including exact simulation for some spatial point processes / O. Hàggstrôm, M.N.M. van Lieshout, J. M0ller // Bernoulli. - 1999. - Vol. 5, no. 4. — pp. 641-658.

109. Hahn, U. Inhomogeneous spatial point processes by location-dependent scaling / U. Hahn, E.B. Jensen, M.N.M. van Lieshout, L.S. Nielsen // Advances in Applied Probability. — 2003. - Vol. 35, no. 2. - pp. 319-336.

110. Haining, R.. Spatial data analysis in the social and environmental sciences / R. Haining.

— Cambridge University Press, 1993.

111. Hanisch, K.H. Reduction of n-th moment measures and the special case of the third moment measure of stationary and isotropic planar point processes / K.H. Hanisch // Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics. — 1983. — Vol. 14, no. 3. — pp. 421-435.

112. Hanisch, K.H. Formulas for the second-order analysis of marked point processes / K.H. Hanisch, D. Stoyan // Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics. — 1979. - Vol. 10, no. 4. - pp. 555-560.

113. Harkness, R.D.. A bivariate spatial point pattern of ants' nests / RD Harkness, Valerie Isham // Applied Statistics. - 1983. - pp. 293-303.

114. Hastings, W.K. Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications / W.K. Hastings // Biometrika. — 1970. — Vol. 57, no. 1. — pp. 97-109.

115. Hayat, M.M. A two-step Markov point process / M.M. Hayat, J.A. Gubner // Information Theory, 1995. Proceedings. 1995 IEEE International Symposium. — 1995. — P. 421.

116. Heinrich, L. On estimating the asymptotic variance of stationary point processes / L. Heinrich, M. Prokesovâ // Methodology and Computing in Applied Probability. — 2010. - Vol. 12, no. 3. - pp. 451-471.

117. Ho, L.P. Testing the complete spatial randomness by Diggle's test without an arbitrary upper limit / L.P. Ho, S.N. Chiu // Journal of Statistical Computation and Simulation.

- 2006. - Vol. 76, no. 07. - pp. 585-591.

118. Ho, L.P. Modelling marked point patterns by intensity-marked Cox processes / L.P. Ho, D. Stoyan // Statistics & Probability Letters. — 2008. — Vol. 78, no. 10. — pp. 1194-1199.

119. H"ogmander, H. Multitype spatial point patterns with hierarchical interactions / H. H"ogmander, A. S"arkk"a// Biometrics. - 1999. - Vol. 55. - pp. 1051-1058.

120. Hope, A.C.A. A simplified Monte Carlo significance test procedure / A.C.A. Hope // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). — 1968. — Vol. 30. pp. 582-598.

121. Illian J. Statistical analysis and modelling of spatial point patterns / J. Illian, A. Penttinen, H. Stoyan, D. Stoyan. - Wiley, 2008. -

122. Isham, V. Multitype Markov point processes: some approximations / V. Isham // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. —

1984. - Vol. 391. - pp. 39-53.

123. Jensen J.L.and Kiinsch, H.R. On asymptotic normality of pseudo likelihood estimates for pairwise interaction processes / H.R. Jensen, J.L.and Kiinsch // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. — 1994. — Vol. 46, no. 3. — pp. 475-486.

124. Jensen, J.L. Asymptotic normality of estimates in spatial point processes / J.L. Jensen // Scandinavian Journal of Statistics. — 1993. — pp. 97-109.

125. Jensen, J.L. Pseudolikelihood for exponential family models of spatial point processes / J.L. Jensen, J. Moller // The Annals of Applied Probability. — 1991. — Vol. 1, no. 3. — pp. 445-461.

126. Kagan, Y.Y. Spatial distribution of earthquakes: the two-point correlation function / Y.Y. Kagan, L. Knopoff // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. — 1980. - Vol. 62, no. 2. - pp. 303-320.

127. Kallenberg, O. Random measures / O. Kallenberg. — 4 edition. — Berlin: Akademie-Verlag, 1986.

128. Karr, A. Point processes and their statistical inference / A. Karr. — Dekker, New York,

129. Kelly, F.P. A note on Strauss's model for clustering / F.P. Kelly, B.D. Ripley // Biometrika. - 1976. - pp. 357-360.

130. Kendall, W.S. A spatial Markov property for nearest-neighbour Markov point processes / W.S. Kendall // Advances in Applied Probability. - 1990. - Vol. 28. - pp. 767-778.

131. Kendall, W.S. Quermass-interaction processes: conditions for stability / W.S. Kendall, M.N.M. Van Lieshout, A.J. Baddeley // Advances in Applied Probability. — 1999. — Vol. 31, no. 2. - pp. 315-342.

132. Kenkel, N.C. Pattern of self-thinning in jack pine: testing the random mortality hypothesis / N.C. Kenkel // Ecology. - 1988. - pp. 1017-1024.

133. Kerstan, J. Infinitely divisible point processes / J. Kerstan, K. Matthes, J. Mecke. — Wiley: New York, 1978.

134. Klein, W. Potts-model formulation of continuum percolation / W Klein // Physical Review B. - 1982. - Vol. 26, no. 5. - P. 2677.

135. Kokkila, T. A method for generating stand structures using Gibbs marked point process / T. Kokkila, A. Makela, E. Nikinmaa // Silva Fennica. — 2002. - Vol. 36, no. 1. -pp. 2G5-277.

Law, R. Ecological information from spatial patterns of plants: insights from

136. Lawson, A.B. A deviance residual for heterogeneous spatial Poisson processes / A.B. Lawson // Biometrics. - 1993. - pp. 889-897.

137. Lawson, A.B. Statistical methods in spatial epidemiology / A.B. Lawson. — John Wiley, 2001.

138. Legendre, P. Spatial pattern and ecological analysis / P. Legendre, M.J. Fortin // Vegetatio. - 1989. - Vol. 80, no. 2. - pp. 107-138.

139. Lieshout, M.N.M. Markov point processes and their applications / M.N.M. Lieshout. — London: Imperial College Press, 2000.

140. Lieshout, M.N.M. A nonparametric measure of spatial interaction in point patterns / M.N.M. Lieshout, A.J. Baddeley // Statistica Neerlandica. — 1996. — Vol. 50.— pp. 344361.

141. Lieshout, M.N.M. Shot noise weighted processes: a new family of spatial point processes / M.N.M. Lieshout, I.S. Molchanov // Communications in statistics. Stochastic models. — 1998. - Vol. 14, no. 3. - pp. 715-734.

142. Loosmore, N.B. Statistical inference using the G or K point pattern spatial statistics / N.B. Loosmore, E.D. Ford // Ecology. - 2006. - Vol. 87, no. 8. - pp. 1925-1931.

143. Lotwick, H.W. Methods for analysing spatial processes of several types of points / H.W. Lotwick, B.W. Silverman // Journal of the Royal Statistical Society. Series B. — 1982. - pp. 406-413.

144. Luck, S. Three-dimensional analysis of intermediate filament networks using SEM tomography / S. Liick, M. Sailer, V. Schmidt, P. Walther // Journal of Microscopy. — 2010. - Vol. 239, no. 1. - pp. 1-16.

145. Marriott, F.H.C. Barnard's Monte Carlo tests: How many simulations? / F.H.C. Marriott // Applied Statistics. — 1979. — pp. 75-77.

146. Mase, S. Consistency of the maximum pseudo-likelihood estimator of continuous state space Gibbsian processes / S. Mase // The Annals of Applied Probability. — 1995. — Vol. 5, no. 3. — pp. 603-612.

147. Mase, S. Marked Gibbs Processes and Asymptotic Normality of Maximum Pseudo-Likelihood Estimators / S. Mase // Mathematische Nachrichten. — 2000. — Vol. 209, no. 1. — pp. 151-169.

148. Matern, B. Spatial variation. Stochastic models and their application to some problems in forest surveys and other sampling investigations. / B. Matern // Meddelanden fran statens Skogsforskningsinstitut. — 1960. — Vol. 49, no. 5.

149. Mattfeldt, T. Statistical analysis of labelling patterns of mammary carcinoma cell nuclei on histological sections / T. Mattfeldt, S. Eckel, F. Fleischer, V. Schmidt // Journal of Microscopy. — 2009. — Vol. 235, no. 1. - pp. 106-118.

150. Mecke, J. Stationäre zufällige Maße auf lokalkompakten abelschen Gruppen / J. Mecke // Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. — 1967. — Vol. 9, no. 1.

- pp. 36-58.

151. Metropolis, N. Equation of state calculations by fast computing machines / N. Metropolis, A.W. Rosenbluth, M.N. Rosenbluth et al. // The Journal of Chemical Physics. — 1953.

- Vol. 21, no. 6. - P. 1087.

152. M0ller, J. Markov chain Monte Carlo and spatial point processes / J. M0ller // Stochastic Geometry: Likelihood and Computation / Eds OE Barndorff-Nielsen, WS Kendall, MNM van Lieshout. — London: Chapman and Hall, 1999.

153. M0ller, J. Log Gaussian cox processes / J. M0ller, A.R. Syversveen, R.P. Waagepetersen // Scandinavian Journal of Statistics. — 1998. — Vol. 25, no. 3. — pp. 451-482.

154. M0ller, J. Statistical inference and simulation for spatial point processes / J. M0ller, R.P. Waagepetersen. — London: Chapman and Hall, CRC Press, 2004. — Vol. 100.

155. Myllymäki, M. On deviation tests for marked spatial point patterns / M. Myllymäki, P. Grabarnik, H. Seijo, D. Stoyan // arXiv:1306.1028 [stat.ME]. - 2013.

156. Myllymäki, M. Conditionally heteroscedastic intensity-dependent marking of log Gaussian Cox processes / M. Myllymäki, A. Penttinen // Statistica Neerlandica. — 2009. — Vol. 63, no. 4. - pp. 450-473.

157. Neyman, J. Statistical approach to problems of cosmology / J. Neyman, E.L. Scott // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). — 1958. — pp. 1-43.

158. Nguyen, X. Integral and differential characterizations of the Gibbs process / X. Nguyen, H. Zessin // Mathematische Nachrichten. — 1979. — Vol. 88, no. 1. — pp. 105-115.

159. Nielsen, L.S. Statistical inference for transformation inhomogeneous point processes / L.S. Nielsen, E.B. Jensen // Scandinavian Journal of Statistics. — 2004. — Vol. 31, no. 1. - pp. 131-142.

160. Ogata, Y. Statistical models for earthquake occurrences and residual analysis for point processes / Y. Ogata // Journal of the American Statistical Association. — 1988. — Vol. 83, no. 401. - pp. 9-27.

161. Ogata, Y. Space-time point-process models for earthquake occurrences / Y. Ogata // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. — 1998. — Vol. 50, no. 2. — pp. 379402.

162. Ogata, Y. Estimation of interaction potentials of spatial point patterns through the maximum likelihood procedure / Y. Ogata, M. Tanemura // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. — 1981. — Vol. 33, no. 1. — pp. 315-338.

163. Ogata, Y. Likelihood analysis of spatial point patterns / Y. Ogata, M. Tanemura // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). — 1984. — pp. 496-518.

164. Ogata, Y. Estimation of interaction potentials of marked spatial point patterns through the maximum likelihood method / Y. Ogata, M. Tanemura // Biometrics. — 1985. — pp. 421-433.

165. Ohser, J. On estimators for the reduced second moment measure of point processes / J. Ohser // Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics. — 1983. — Vol. 14, no. 1. - pp. 63-71.

166. Ohser, J. On the Second-Order and Orientation Analysis of Planar Stationary Point Processes / J. Ohser, D. Stoyan // Biometrical Journal. — 1981. — Vol. 23, no. 6. — pp. 523-533.

167. Penrose, M.D. Maximum likelihood estimation for cooperative sequential adsorption / M.D. Penrose, V. Shcherbakov // Advances in Applied Probability. — 2009. — Vol. 41, no. 4. — pp. 978-1001.

168. Penrose, M.D. Asymptotic normality of the maximum likelihood estimator for cooperative sequential adsorption / M.D. Penrose, V. Shcherbakov // Advances in Applied Probability. - 2011. - Vol. 43, no. 3. - pp. 636-648.

169. Penttinen, A. Modelling interactions in spatial point patterns: parameter estimation by the maximum likelihood method / A. Penttinen. — Number 7 in Jyvaskyla Studies in Computer Science, Economics and Statistics. University of Jyvaskyla., 1984. — Vol. 7.

170. Penttinen, A. Statistical analysis for a class of line segment processes / A. Penttinen, D. Stoyan // Scandinavian Journal of Statistics. — 1989. — pp. 153-168.

171. Penttinen, A. Marked point processes in forest statistics / A. Penttinen, D. Stoyan, H.M. Henttonen // Forest science. - 1992. - Vol. 38, no. 4. - pp. 806-824.

172. Perry, G.L.W. A comparison of methods for the statistical analysis of spatial point patterns in plant ecology / G.L.W. Perry, B.P. Miller, N.J. Enright // Plant Ecology. — 2006. — Vol. 187, no. 1. - pp. 59-82.

173. The multi-scale marked area-interaction point process: a model for the spatial pattern of trees / N. Picard, A. Bar-Hen, F. Mortier, J. Chadoeuf // Scandinavian Journal of Statistics. — 2009. - Vol. 36, no. 1. - pp. 23-41.

174. Pommerening, A. Reconstructing spatial tree point patterns from nearest neighbour summary statistics measured in small subwindows / A. Pommerening, D. Stoyan // Canadian Journal of Forest Research. — 2008. - Vol. 38, no. 5. — pp. 1110-1122.

175. Preston, C.J. Spatial birth-and-death processes / C.J. Preston // Bull. Int. Statist. Inst.

- 1977. - Vol. 46, no. 2. - pp. 371-391.

176. Pretzsch, H. Analysis and modeling of spatial stand structures. Methodological considerations based on mixed beech-larch stands in Lower Saxony / H. Pretzsch // Forest ecology and Management. — 1997. — Vol. 97, no. 3. — pp. 237-253.

177. Pretzsch, H. Forest dynamics, growth and yield: from measurement to model / H. Pretzsch.

- Springer, 2009.

178. Rathbun, S.L. A space-time survival point process for a longleaf pine forest in southern Georgia / S.L. Rathbun, N. Cressie // Journal of the American Statistical Association. — 1994. - Vol. 89, no. 428. - pp. 1164-1174.

179. Reich, R.M. Modeling small-scale spatial interaction of shortgrass prairie species / R.M. Reich, C.D. Bonham, K.L. Metzger // Ecological modelling. — 1997. — Vol. 101, no. 2. — pp. 163-174.

180. Ripley, B.D. The second-order analysis of stationary point processes / B.D. Ripley // Journal of applied probability. — 1976. — pp. 255-266.

181. Ripley, B.D. Modelling spatial patterns / B.D. Ripley // Journal of the Royal Statistical Society. Series B . - 1977. - pp. 172-212.

182. Ripley, B.D. Algorithm AS 137: simulating spatial patterns: dependent samples from a multivariate density / B.D. Ripley // Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics). — 1979. — Vol. 28, no. 1. - pp. 109-112.

183. Ripley, B.D. Tests ofrandomness' for spatial point patterns / B.D. Ripley // Journal of the Royal Statistical Society. Series B. — 1979. — pp. 368-374.

184. Ripley, B.D. Spatial statistics / B.D. Ripley. - Wiley, 1981. — Vol. 24.

185. Ripley, B.D. Statistical inference for spatial processes / B.D. Ripley. — London: Cambridge University press, 1988.

186. Ripley, B.D. Pattern recognition.and neural networks / B.D. Ripley. — London: Cambridge University press, 2008.

187. Ripley, B.D. Markov point processes / B.D. Ripley, F.P. Kelly // Journal of the London Mathematical Society. — 1977. — Vol. 2, no. 1. — pp. 188-192.

188. Robert, C. A short history of Markov Chain Monte Carlo: subjective recollections from incomplete data / C. Robert, G. Casella // Statistical Science. — 2011. — Vol. 26, no. 1. - pp. 102-115.

189. Robert, C..P. Convergence control of MCMC algorithms / C..P Robert, D. Cellier // Discretization and MCMC Convergence Assessment. — Springer, 1998. — pp. 27-46.

190. Rue, H. Gaussian Markov random fields: theory and applications / H. Rue, L. Held. — London: Chapman & Hall, 2005. — Vol. 104.

191. Sárkká, A. The analysis of marked point patterns evolving through space and time / A. Sárkká, E. Renshaw // Computational statistics & data analysis. — 2006. — Vol. 51, no. 3. - pp. 1698-1718.

192. Sárkká, A. Modelling interactions between trees by means of field observations / A. Sárkká, E. Tomppo // Forest ecology and management. — 1998. — Vol. 108, no. 1. — pp. 57-62.

193. Schladitz, K. A third order point process characteristic / K. Schladitz, A.J. Baddeley // Scandinavian Journal of Statistics. — 2000. — Vol. 27, no. 4. — pp. 657-671.

194. Schlather, M. On the second-order characteristics of marked point processes / M. Schlather // Bernoulli. - 2001. - Vol. 7, no. 1. - pp. 99-117.

195. Smith, A.F.M. Bayesian computation via the Gibbs sampler and related Markov chain Monte Carlo methods / A.F.M. Smith, G.O. Roberts // Journal of the Royal Statistical Society. Series B. — 1993. - pp. 3-23.

196. Snethlage, M. Point field models for the galaxy point pattern / M. Snethlage, V.J. Martinez, D. Stoyan, E. Saar // Astronomy and Astrophysics. — 2002. — Vol. 388, no. 3. - pp. 758-765.

197. Stein, M.L. Interpolation of Spatial Data: some theory for kriging / M.L. Stein. Springer

198. Stoll, P. A neighborhood view of interactions among individual plants / P. Stoll, J. Weiner // The geometry of ecological interactions: Simplifying spatial complexity. — 2000. - pp. 11-27.

199. Stoyan, D. On correlations of marked point processes / D. Stoyan // Mathematische Nachrichten. - 1984. - Vol. 116, no. 1. - pp. 197-207.

200. Stoyan, D. Statistical analysis of spatial Point processes: A soft-core model and cross-correlations of marks / D. Stoyan // Biometrical Journal. — 1987. — Vol. 29, no. 8. — pp. 971-980.

201. Stoyan, D. Second-order characteristics for stochastic structures connected with Gibbs point processes / D. Stoyan, P. Grabarnik // Mathematische Nachrichten. — 1991. — Vol. 151, no. 1. - pp. 95-100.

202. Stoyan, D. Statistics for the stationary Strauss model by the casp point method / D. Stoyan, P. Grabarnik // Statistics. - 1991. - Vol. 22. — pp. 283-289.

203. Stoyan, D. Stochastic geometry and its applications / D. Stoyan, W.S. Kendall, J. Mecke. - New York: Wiley, 1995. - Vol. 313.

204. Stoyan, D. Recent applications of point process methods in forestry statistics / D. Stoyan, A. Penttinen // Statistical Science. — 2000. — Vol. 15, no. 1. — pp. 61-78.

205. Stoyan, D. On one of Matern's hard-core point process models / D. Stoyan, H. Stoyan // Mathematische Nachrichten. — 1985. — Vol. 122, no. 1. — pp. 205-214.

206. Stoyan, D. Fractals, Random Shapes, and Point Fields: Methods of Geometrical Statistics /

D. Stoyan, H. Stoyan. — Wiley Chichester, 1994.

207. Strauss, D.J. A model for clustering / D.J. Strauss // Biometrika. — 1975. — Vol. 62, no. 2. - pp. 467-475.

208. Takacs, R. Estimator for the pair-potential of a gibbsian point process / R. Takacs // Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics. — 1986. — Vol. 17, no. 3. — pp. 429-433.

209. Takahata, H. On the rates in the central limit theorem for weakly dependent random fields / H. Takahata // Probability Theory and Related Fields. — 1983. - Vol. 64, no. 4. - pp. 445-456.

210. Teichmann, J. Generalizations of Matern's hard-core point processes / J. Teichmann, F. Ballani, K.G. van den Boogaart // Spatial Statistics. — 2013.

211. Thonnes, E. A comparative study on the power of van Lieshout and Baddeley's J-function /

E. Thonnes, M.N.M. van Lieshout // Biometrical journal. — 1999. — Vol. 41, no. 6. — pp. 721-734.

212. Tomppo, E. Models and methods for analysing spatial patterns of trees. / E. Tomppo. — Communicationes Instituti Forestalls Fenniae, 1986. — Vol. 138.

213. Tscheschel, A. Statistical reconstruction of random point patterns / A. Tscheschel, D. Stoyan // Computational statistics & data analysis. — 2006. — Vol. 51, no. 2. — pp. 859-871.

214. Varin, C. An overview of composite likelihood methods / C. Varin, N. Reid, D. Firth // Statistica Sinica. — 2011. — Vol. 21, no. 1. — pp. 5-42.

215. Wälder, O. On variograms in point process statistics / 0. Wälder, D. Stoyan // Biometrical Journal. - 1996. - Vol. 38, no. 8. - pp. 895-905.

216. Waller, L.A. Applied spatial statistics for public health data / L.A. Waller, C.A. Gotway.

- Wiley, 2004. - Vol. 368.

217. Wang, X. Species associations in an old-growth temperate forest in north-eastern China / X. Wang, T. Wiegand, Z. Hao et al. // Journal of Ecology. - 2010. - Vol. 98, no. 3. -pp. 674-686.

218. Weston, D.J. Analysis of spatial point patterns in nuclear biology / D.J. Weston, N.M. Adams, R.A. Russell et al. // PloS one. - 2012. - Vol. 7, no. 5. - pp. 836841.

219. Widom, B. New model for the study of liquid-vapor phase transitions / B. Widom, J.S. Rowlinson // The Journal of Chemical Physics. — 1970. — Vol. 52. - P. 16701683.

220. Wiegand, T. Rings, circles, and null-models for point pattern analysis in ecology / T. Wiegand, K. A Moloney // Oikos. - 2004. - Vol. 104, no. 2. - pp. 209-229.

221. Wiegand, T. Species associations in a heterogeneous Sri Lankan dipterocarp forest / T. Wiegand, S. Gunatilleke, N. Gunatilleke // The American Naturalist. — 2007. — Vol. 170, no. 4. - pp. E77-E95.

222. Zhang, C. Gender-related distributions of Fraxinus mandshurica in secondary and old-growth forests / C. Zhang, X. Zhao, L. Gao, K. von Gadow // Acta Oecologica. — 2010.

— Vol. 36, no. 1. — pp. 55-62.