Моделирование изгибного деформирования стержневых упругих элементов с сосредоточенными массами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Левин Артём Сергеевич

• Левин Артём Сергеевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Левин Артём Сергеевич

Введение

1 Состояние исследуемого вопроса

1.1 Область применения стержневых упругих элементов

1.2 Обзор литературы по теме исследования

2 Квазистатическое деформирование стержневых упругих элементов амортизаторов

2.1 Принятые гипотезы

2.2 Основная система уравнений и начальные условия

2.3 Численное решение основной системы уравнений

2.3.1 Численное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка

2.3.2 Решение методом минимизации целевой функции

2.4 Сравнение результатов различных методов расчёта

2.5 Построение силовых характеристик

2.6 Потенциальная энергия стержневых упругих элементов

2.7 Выводы по главе

3 Динамическое деформирование стержневых упругих элементов амортизаторов

3.1 Основная система уравнений для описания динамики процесса

3.2 Численное решение задачи динамики упругих элементов

3.2.1 Расчёт коэффициента отношения скоростей

3.2.2 Расчёт изменения скорости во времени

3.3 Сравнение результатов расчётов для квазистатической и динамической постановок задачи

3.3.1 Сравнение времени первого останова

3.4 Выводы по главе

4 Начальное контактно-волновое взаимодействие

4.1 Модель возникновения и распространения поперечной волны в стержневых упругих элементах

4.2 Численные расчеты

4.3 Выводы по главе

5 Стержневые упругие элементы с зафиксированными сосредоточенными массами

5.1 Квазистатическое деформирование стержневых упругих элементов с зафиксированными сосредоточенными массами

5.1.1 Основная система уравнений

5.1.2 Численное решение уравнения изгиба стержня с зафиксированными сосредоточенными массами

5.1.3 Результаты численных расчётов

5.2 Динамическое деформирование упругого элемента с зафиксированными сосредоточенными массами

5.2.1 Основные уравнения

5.2.2 Численный расчёт динамики стержневых упругих элементов с сосредоточенными массами

5.3 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А (рекомендуемое) Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ

Приложение Б (рекомендуемое) Акты о внедрении результатов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование изгибного деформирования стержневых упругих элементов с сосредоточенными массами»

Введение

Актуальность темы диссертации. Задача эффективного расчёта параметров амортизационных устройств на стадиях их проектирования, отработки и эксплуатации актуальна в различных отраслях машиностроения и приборостроения. Амортизационные устройства применяются в автомобильной, авиационной технике, медицинском оборудовании, измерительных приспособлениях, стрелковом и артиллерийском оружии и прочих механизмах, работающих на основе упругого изгибного деформирования стержневых элементов.

Существует широкое многообразие механизмов, где именно амортизаторы являются «лимитирующими» звеньями, от характеристик которых зависят интенсивность и темп работы устройства, поэтому создание комплексных математических моделей изгибного деформирования их упругих стержневых элементов, а также программных комплексов и инженерных методик, позволяющих надежно прогнозировать их квазистатические и динамические характеристики, актуально в настоящее время.

Широкие диапазоны варьирования параметров внешних воздействий для одних и тех же амортизирующих устройств в процессе их эксплуатации требуют оперативного изменения и адаптации квазистатических и динамических характеристик их упругих элементов без изменения их конструкции. Одним из методов изменения характеристик упругих элементов является использование зафиксированных в их структуре сосредоточенных масс, в связи с чем разработка и реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов динамического изгибного деформирования стержневых элементов амортизаторов с сосредоточенными массами как варьируемыми параметрами их конструкции является актуальной задачей.

Анализ различных современных систем автоматизации процессов проектирования и расчётов, в числе которых: SolidWorks Simulation, ANSYS, Логос, Abaqus, показывает широкую возможность их применения в рамках задач механики деформируемого твёрдого тела, существующие системы работают на основе метода конечных элементов и позволяют решать широкий спектр задач. Недостатком проведения расчётов в существующих автоматизированных системах является большая трудоёмкость, высокие требования к оборудованию вычислительной машины и обязательное наличие необходимых компетенций у инженера - исполнителя расчёта.

Общим недостатком существующих расчётных автоматизированных систем является отсутствие возможностей встраивания созданных и численно реализованных моделей в структуру более крупных программных комплексов, например, при создании востребованных в различных отраслях «цифровых двойников».

В качестве недостатка моделирования в расчётных автоматизированных системах можно также отметить невозможность создания сложных моделей для решения сопряженных задач «сквозного» проектирования, вследствие чего созданные в расчётных автоматизированных системах модели имеют более низкий потенциал масштабирования, чем классические конечно-разностные варианты их реализации.

Таким образом, задача создания современных машиноориентированных инженерных методик, позволяющих проводить расчёты стержневых элементов амортизаторов с варьируемыми сосредоточенными массами без существенной трудоёмкости, является актуальной с точки зрения ее научной и практической значимости.

Область исследований диссертации соответствует пунктам 2, 3 и 8 паспорта специальности 1.2.2. «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:

- «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий»;

- «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»;

- «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Степень разработанности темы. Задачи оценки различных физических характеристик стержневых упругих элементов являются одними из наиболее старейших задач механики. Комплексную задачу моделирования процесса изгиба упругих стержневых элементов можно разложить на три основных части: квазистатическую, динамическую и контактно-волновую.

В задаче расчёта статики упругих стержневых элементов наибольшее распространение в настоящее время получили модели Эйлера-Бернулли и С.П. Тимошенко, фундаментальными являются исследования: Я. Бернулли, Л. Эйлера, Г. Кирхгофа, С.П. Тимошенко, А.И. Лурье, Е.П. Попова, В.А. Светлицкого, В.З. Власова, А.А. Илюхина, П.А. Жилина.

Из современных авторов, занимающихся проблемой статики стержней можно выделить работы: Н.В. Пустового, В.Е. Левина, К.Г. Охоткина, Д.М. Зуева, К.Н. Анахаева, S. Bouadjadjaa, A.M. Dehrouyeh-Semnani, H. Weia, Q.X. Pan.

Проблема динамики изгиба стержневых упругих элементов рассматривалась в большом количестве работ, как отдельный процесс, так и в контексте общего рассмотрения процесса колебаний. В качестве основных исследований можно отметить работы: В.А. Светлицкого, М.Н. Серазутдинова, H. Weia, W. Sumelka, P. Stempin.

Современными авторами, рассматривающими решения контактно-волновой задачей для стержневых упругих элементов являются: А.А. Локтев, А.В. Залетди-

нов, S. Abrate.

Задача динамики стержневого упругого элемента с сосредоточенными массами решалась в работах: В.А. Светлицкого, W. Ji, V.C. Meesala, X. Du, J. Zhang.

В результате анализа существующих работ был сделан вывод об отсутствии комплексной модели динамического изгиба стержневых упругих элементов и актуальности темы диссертации.

Цель диссертационной работы: разработка математической модели, позволяющей создать инженерно-ориентированный комплекс программ для проведения вычислительных экспериментов по комплексному динамическому изгибному деформированию стержневых упругих элементов с зафиксированными сосредоточенными массами.

Задачи, решаемые в работе:

1. Создание численных программно-ориентированных математических моделей квазистатического изгиба стержневых упругих элементов амортизаторов переменного сечения на основе уравнения Эйлера-Бернулли.

2. Разработка математических моделей динамики процесса взаимодействия стержневых элементов и амортизируемых ими тел, и их программная реализация.

3. Предложение контактно-волновой модели начальной стадии процесса соударения стержневых упругих элементов и амортизируемых ими тел путем введения волновых процессов в общие уравнения энергобаланса с целью повышения точности расчётов кинематических и силовых характеристик упругих элементов, а также для оценки влияния фронтов поперечных волн на прочность материала в их опасных сечениях.

4. Разработка комплексных моделей динамики стержневых элементов с зафиксированными варьируемыми сосредоточенными массами с целью разработки инженерных методик, позволяющих анализировать влияние величин сосредоточенных масс и их геометрического положения в конструкции на лимитирующие эксплуатационные характеристики упругих элементов амортизаторов. Реализация

полученных методик в виде комплексов программ, позволяющих проводить априорные прогностические расчёты динамики стержневых элементов с зафиксированными сосредоточенными массами.

Научная новизна исследования.

1. Создана и реализована оригинальная математическая модель нелинейного изгиба стержневых упругих элементов амортизаторов на основе уравнения Эйлера-Бернулли, отличающаяся от существующих использованием в ней метода минимизации целевой функции для уменьшения трудоёмкости решения.

2. Разработана методика расчёта динамического изгиба стержневых элементов амортизаторов, отличающаяся возможностью многократного использования однократно рассчитанных силовых характеристик стержневых элементов при расчёте параметров ударяющих амортизируемых тел с различными массами и начальными скоростями.

3. Разработана комплексная методика расчёта квазистатического и динамического изгибного деформирования стержневых элементов с зафиксированными сосредоточенными массами, в отличии от существующих методов учитывающая контактно-волновые явления и использующая метод многомерной минимизации, позволяющая эффективно с низкой трудоёмкостью производить численное решение.

4. Создана новая экспериментальная установка и на ее базе самостоятельно выполнены эксперименты, позволяющие верифицировать предложенные расчётные зависимости времен первого останова и изгибных амплитуд стержневых элементов с зафиксированными варьируемыми сосредоточенными массами при амортизации ими ударяющего тела.

Теоретическая значимость диссертации. Результаты, полученные в виде математических моделей изгибного деформирования стержневых упругих элементов амортизаторов с зафиксированными варьируемыми сосредоточенными массами и их реализации, дополняют и обобщают существующие исследования в

части создания комплексных моделей динамики изгиба стержневых упругих элементов амортизаторов.

Практическая значимость работы состоит:

1) в создании комплексного инженерного инструментария, позволяющего эффективно проектировать узлы амортизирующих устройств, связанных со стержневыми упругими элементами, с учетом разработанных моделей их деформирования в квазистатической, динамической и контактно-волновой постановке;

2) в разработанных и зарегистрированных программных комплексах, внедрённых на АО «СКБ» (г. Пермь) и используемых в проектировании образцов амортизирующих устройств;

3) в разработанных математических моделях и программно-вычислительных комплексах, внедрённых в учебный процесс ТулГУ.

Методы и методология исследования. Исследование базируется на современных методах исследования теории упругости, механики и волновой динамики стержневых упругих элементов. В процессе исследования применяются современные машинно-ориентированные численные методы, такие как метод Рунге-Кутты 4-го порядка с адаптивным шагом, с использованием коэффициентов Дормана-Принса; метод конечных разностей; метод численной минимизации целевой функции «Differential Evolution»; метод полиномиальной интерполяции. Вычисления проводились с использованием современных ПЭВМ с использованием разработанных программных комплексов на языке Python и математического пакета Matlab.

В исследовании применяется авторский экспериментальный метод верификации разработанных моделей динамического изгибного деформирования стержневых элементов амортизаторов.

Объектами исследования настоящей работы являются стержневые упругие элементы амортизаторов, имеющие переменное поперечное сечение, с зафиксированными варьируемыми сосредоточенными массами.

Предметом исследования настоящей работы является комплексный (квазистатический, динамический, контактно-волновой) процесс изгиба стержневых элементов амортизаторов переменного поперечного сечения с зафиксированными сосредоточенными массами.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель динамического изгиба стержневых элементов амортизаторов, позволяющая производить многократный расчёт с использованием одной и той же силовой характеристики для амортизируемых тел с различными параметрами массы и скорости.

2. Комплексная математическая модель квазистатического, динамического и ударно-волнового изгибного деформирования стержневых элементов амортизаторов с зафиксированными варьируемыми сосредоточенными массами.

3. Алгоритмы решения системы ОДУ второго порядка на основе уравнения Эйлера-Бернулли, включающего предложенные варианты целевых функций, зависящих от схем приложения внешней нагрузки и позволяющих создавать численную реализацию для расчёта и анализа квазистатического процесса изгибного деформирования стержневых элементов амортизаторов.

Достоверность основных научных положений и выводов обеспечивается:

1) применением апробированных классических и современных численных методов анализа;

2) положительными результатами сравнения решений, полученных с использованием новых методик, представленных в данной работе, и методик других авторов;

3) объёмом натурных и численных авторских экспериментов, анализ результатов которых демонстрирует достоверность разработанных методик расчёта;

4) положительными решениями Федеральной службы по интеллектуальной собственности Российской Федерации о Государственной регистрации программ для ЭВМ, разработанных автором.

Апробация результатов исследования. Результаты исследования докладывались на научно-практических конференциях с Всероссийским участием «Техника XXI века глазами молодых учёных и специалистов» (2020,...,2024 гг.); «Научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ с Всероссийским участием» (2021,...,2023 гг.), проводимых на базе Тульского государственного университета; на Всероссийской конференции «Проблемы развития стрелковой отрасли в Российской Федерации» в городе Ижевск (2024 год).

Результаты работы были удостоены П-го места на XXI Всероссийской научно-технической конференции студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов», проводимой на базе ТулГУ в 2023 году.

Публикации. По теме диссертации автором:

- опубликовано суммарно 17 статей в различных сборниках и научно-технических журналах, из которых 2 статьи в научных изданиях, утверждённых ВАК Минобрнауки РФ;

- получено 4 свидетельства о Государственной регистрации программ для

ЭВМ.

Работа выполнена в Тульском государственном университете, где автор являлся аспирантом в 2020-2025 гг.

Личный вклад автора:

1) автором разработана серия проблемно-ориентированных программных комплексов по расчёту квазистатических и динамических характеристик стержневых упругих элементов с зафиксированными сосредоточенными массами;

2) представленные в диссертации модели процессов динамического изгиб-ного деформирования стержневых упругих элементов амортизаторов с зафиксированными сосредоточенными массами и связанные с ними исследования, включая численные расчеты и их анализ, выполнены автором лично;

3) автор осуществлял организацию проведения комплекса экспериментальных работ и принимал непосредственное участие в их проведении, а также в анализе и использовании их результатов.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (116 наименований) и двух приложений. Изложена в объёме 145 страниц машинописного текста и содержит 54 рисунка и 7 таблиц.

1 Состояние исследуемого вопроса

1.1 Область применения стержневых упругих элементов

Стержневые упругие элементы амортизаторов используются в различных областях машиностроения и приборостроения. Использование стержневых упругих элементов позволяет демпфировать возникающие пики нагружения и распределить их во времени, что приводит к увеличению надёжности работы механизмов и улучшает эргономику устройств.

В приложении к стрелковому вооружению, амортизирующее устройство позволяет значительно скомпенсировать отдачу оружия и обеспечить безопасную стрельбу патронами большого калибра. Однако, для достижения наибольшего эффекта амортизации необходимо подобрать амортизирующие элементы таким образом, чтобы они обеспечивали амортизацию при определённых интенсивно-стях нагрузок. В качестве упругого элемента может быть использован стержневой амортизирующий элемент (рисунок 1.1) [49]. Варьирование конструкционных параметров упругого элемента позволяет достичь требуемых характеристик амортизационного устройства и всей конструкции в целом.

Рисунок 1.1 - Приклад стрелкового оружия

Амортизационные устройства на основе плоских упругих элементов получили большое распространение в отрасли транспортного машиностроения. В автомобилестроении известно большое количество амортизирующих устройств, имеющих в качестве амортизирующего элемента упругий стержень, например: [48, 50, 51]. Особое распространение стержневые упругие элементы получили в подвеске различного автотранспорта, примером является однолистовые полурессоры независимой подвески, применяемые в различных изделиях, например деталь с артикулом М1120400 (рисунок 1.2) [86] в шасси грузовых автомобилей марок BPW, KNORP, KOGEL, SCHMITZ.

Существуют примеры применения упругих стержневых элементов в медицинском оборудовании (рисунок 1.3), например патент [52], при проектировании, таких элементов, важно точно достигать требуемых квазистатических и динамических характеристик для априори заданных массогабаритных параметров. Каждое медицинское ортопедическое изделие имеет уникальные параметры, зависящие от особенностей пользователя изделия, в результате чего использование представленной в работе методики позволит оперативно производить расчёты для большого количества образцов за малое время.

Рисунок 1.2 - Полурессора и её расположение в системе подвески:

1- полурессора

Рисунок 1.3 - Сборная лангета для коленного сустава: 1 - стержневой упругий элемент

Стержневые упругие элементы широко применяются в измерительных приспособлениях (рисунок 1.4), например: патент [53]. Разработанная в данной работе методика позволяет при проектировании измерительных приспособлений эффективно осуществить расчётное прогнозирование будущих квазистатических и динамических характеристик стержневых упругих элементов.

Рисунок 1.4 - Измерительное приспособление

Для создания современных амортизирующих и виброзащитных устройств со стержневыми упругими элементами необходимо точно определять конструктивные параметры и физические характеристики, что достигается за счёт моделирования. Применение предложенных моделей и разработанных программных

комплексов позволит конструктору в ходе научно-исследовательской работы или на этапе технического проекта опытно-конструкторских работ более точно достигать требуемых динамических характеристик для проектируемых деталей, что позволит значительно сократить время на разработку опытного образца, а также положительно скажется на его качестве.

1.2 Обзор литературы по теме исследования

Моделирование изгиба стержневого упругого элемента является одной из старейших задач механики. Впервые задачу расчёта изгиба упругого стержня рассматривали ещё Леонардо да Винчи и Галилео Галилей [71].

В настоящее время существует огромное количество моделей, описывающих изгибное деформирование стержневого упругого элемента, самыми распространёнными из которых являются [60]: модель Кирхгоффа; модель Эйлера-Бернулли; модель С.П. Тимошенко; модель Шереметьева-Пелеха-Редди-Левинсона; модели, использующие метод конечных элементов.

Создание модели динамического изгибного деформирования представляет комплексную задачу, сочетающую квазистатическую, динамическую и ударную части. В данной работе в качестве основной модели по критерию математической ясности и точности вычислений предлагается взять модель упругого изгиба стержня Эйлера-Бернулли.

Квазистатическое изгибное деформирование стержневого упругого элемента с использованием модели Эйлера-Бернулли рассматривается в широком множестве научных исследований. Известно большое количество методов получения решений задач изгиба стержневых упругих элементов в квазистатической постановке. Однако проведенный анализ показал, что представленные в современной

научной литературе аналитические и численные методы расчёта не являются универсальными для различных схем внешнего нагружения.

В работах [54, 55, 56] для расчёта изгиба изначально прямого стержневого элемента, нагруженного сосредоточенной нагрузкой, предлагается использовать следующую форму уравнения изгиба Эйлера-Бернулли (записано в нотации Е.П. Попова [55]):

^ = - Р вт(3 + £с) , (1.1)

дз2 Н с/'

где 3 - угол наклона касательной к упругой линии; я - длина упругого элемента; Рс - сосредоточенная нагрузка; Н - изгибная жёсткость , Н = Е1; 5С - угол наклона оси абсцисс к вектору сосредоточенных сил. Вводят обозначения:

А2 = Рс 12/ н , с = з + бс , где I - расстояние от точки нагружения до точки консольного закрепления.

Используя введённые обозначения, записывают следующую форму уравнения (1.1):

о ^23 о

12 = -А2втС. (1.2)

Записывают общую точную форму дифференциального уравнения равновесия упругой линии для всех многообразных задач основного класса:

12 ^ = -А2Вт^, (1.3)

где опущен индекс «с» и в левой части вместо 3 стоит £, так как = 3 + 8С и величина 5С является постоянной в каждом равновесном состоянии стержневого упругого элемента.

Далее в работе [55] предлагается метод эллиптических параметров и метод упругих параметров для упрощённого решения уравнения (1.3). В работе [55] ав-

тором представлена численная реализация разработанных им методов в виде программы для ЭВМ, позволяющая инженеру оперативно рассчитывать квазистатические характеристики упругих стержневых элементов.

Достоинством работы [55] является компактность общих формул расчёта изгиба и практическая простота расчётов по разработанной автором методике.

В работе [55] представлены методы, позволяющие рассчитывать изгиб только геометрически однородных упругих стержневых элементов, в результате чего методика не обеспечивает эффективного расчёта в условиях сильных ограничений массогабаритных параметров проектируемых стержневых упругих элементов, требующих переменного сечения стержневого упругого элемента.

Кроме этого, представленные в [55] методы не позволяют достичь требуемой при проектировании точности результатов расчётов при малых изгибах упругих элементов, что отмечает сам автор в тексте работы.

Результаты, полученные в работах Е.П. Попова используются современными авторами в работах [28], [29].

В работах [61, 62, 64] В.А. Светлицким предложен подход к моделированию стержня, как пространственно-ориентированной кривой. Данный подход отражён в современных работах Н.В. Пустового [59], В.Е Левина [43], суть подхода может быть отражена в системе уравнений (1.4) - (1.10).

и1, ^ = £*1,5 -гх2, з; (1.4)

и2,5 = £Х2,5 +7*1,5 ; (1.5)

Г3,=М3; (1-6)

Ей

а, з=-?ь (1.7)

Q2,s =-ь; (1.8)

Мз = -тз + *2,з Q1 - Q2; (1.9)

з Q )

£

EF

(1.10)

где иг-, 5 - проекции вектора перемещения точки упругого элемента; е - продольная деформация; хи8 - координаты узлов криволинейного участка; у - величина кручения; у3,5 - кривизна осевой линии; М3 - изгибающий момент в сечении; Е - модуль Юнга; ^ - площадь сечения; 2г> - проекция вектора внутренних сил; qi -проекция вектора нагрузки; т3 - проекция вектора внешнего момента.

Уравнения (1.4) - (1.10) в работе [43] предлагается решать с помощью метода пристрелки.

В качестве общего недостатка работ [43], [59] можно отметить сложность численной реализации приведённых уравнений в случае расчёта геометрически неоднородного стержня.

В работах К.Г. Охоткина и Д.М. Зуева [28, 29, 31] предлагается для выражения расчёта для первой моды (без точек перегиба) нелинейного решения задачи поперечного изгиба защемлённой консоли использовать модифицированную линеаризованную теорию.

/=И (2 - 34 + 43) , (1.11)

1 + 2 и2 -71+^

4 -2-, (1.12)

1 + и

где / - безразмерное значение стрелы прогиба, равное отношению прогиба к

Р11

длине стержня у /1; и - безразмерный параметр нагрузки, и =-; Р - величи-

2 EJ

на нагрузки; Е - модуль упругости; J - момент инерции.

Представленные выражения (1.11) и (1.12) являются простыми в применении и, как показано в [29], имеют приемлемую точность. Недостатком представленных выражений является невозможность расчёта прогиба для стержней переменного сечения, а также для следящих и скользящих схем внешнего нагружения.

В работе [1] К.Н. Анахаев рассматривает проблему расчёта прогиба стержневых упругих элементов на основе теории Эйлера-Бернулли с использованием упрощённых зависимостей по расчёту эллиптических интегралов:

г,Е л „Х

*А = 2--1, Уа = 2- , (1.13)

к к

Е = 1пд/е" -(в"-е2)-Х2 , (1.14)

Р = Р =

РЕ V";

к2, (1.15)

-="+-Щ-т. (1.16)

2 1п[0,35(1 - 0,2 л/1 -Х2)]

Ре =

ж

~2

L2

(1.17)

где *А , уА - абсцисса и ордината точки нагружения изогнутого стержневого упругого элемента; Е - эллиптический интеграл 2 рода; К - полный эллиптический интеграл 1 рода; Р - безразмерное значение нагрузки; РЕ - критическая сила; Ж - изгибная жёсткость; Р - величина нагрузки ; L - длина упругого элемента; Х - модуль эллиптического интеграла.

Выражения (1.13) - (1.17) обладают вычислительной простотой и, как показывает анализ, приведенный в статье [1], обладают допустимой точностью относительно классического метода эллиптических интегралов [55]. К недостаткам приведённых выражений можно отнести невозможность расчёта для стержней переменного сечения, а также требование к применению вычислительной техники для определения величины Х подбором из выражений (1.14) и (1.16).

В исследовании [85] авторами предложены выражения для расчёта статики стержневого упругого элемента с переменным сечением и проведена экспериментальная положительная оценка точности результатов расчётов.

1 п

k=1

D' = 3 I Q* [(hk - e)3 - (hk- e)3], (1.18)

3 k=1

k=n^k

A = I Qeq (hk - hk-1) , (1.19)

k=1

1 k=n^k

B = QTea (hk2 - hk2-1) , (1.20)

~ j—í eq v "k ' k 2 k=1

B

e = B , (1.21)

A

l =d ct=jm= • o-22)

v zr tJ sin у - sin у

Ax = L - 2J^[sinyw] , (1.23)

. D' sin у

A- = V Yp ^ /• m ■ ^ • (1'24)

v 2p д/ sin у - sin у

где A , B , D - специальные коэффициенты; Qeq - матрица жесткости; hk-1 , hk -толщина начала и конца участка k из n; L - длина упругого элемента в рассматри-ваемои точке; P - величина нагрузки; у - угол склонения нейтральной оси стержня; Ax , Az - горизонтального и вертикальное перемещение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Левин Артём Сергеевич, 2025 год

// / / /

* / \

/ \ / 4 \\ \

\ \ 1 2 \ 3 4 5 6

-0.05

-0.10

-0.15

-0.20

Рисунок 2.12 - Силовая характеристика для неследящей нескользящей схемы

для элементов: А = 0,02 , Ь = 0,05 м, Ь = 0,4 м и переменным 1 - 0,03 м; 2 - 0,025 м; 3 - 0,02 м; 4 - 0,017 м; 5 - 0,015 м; 6 - 0,012 м

22500

15000

7500

/

\

\ ^ 1 NN \ \ 2 3 \ \ 4 5 6

-0.05 -0.10 -0.15 -0.20 -0.25 Ур, М

Рисунок 2.13 - Силовая характеристика для неследящей скользящей схемы

для элементов: А = 0,02 , Ь = 0,05 м, Ь = 0,4 м и переменным Н0: 1 - 0,03 м; 2 - 0,025 м; 3 - 0,02 м; 4 - 0,017 м; 5 - 0,015 м; 6 - 0,012 м

Р. Н

70000

60000

50000

40000

30000

20000

10000

\

Л

/ /У /V и

// / Л \\1

/ / / / / / // \\

1 2 3 ' / . 4 5 у / 6 \\

м

0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 7р,М

Рисунок 2.14 - Силовая характеристика для неследящей скользящей схемы

для элементов: А = 0,02 , Ь = 0,05 м, Ь = 0,4 м и переменным к0: 1 - 0,03 м; 2 - 0,025 м; 3 - 0,02 м; 4 - 0,017 м; 5 - 0,015 м; 6 - 0,012 м

На рисунках 2.10 - 2.14 изображены силовые характеристики для различных схем нагружения и площадей сечения упругих элементов. Из анализа графиков следует, что с увеличением высоты поперечного сечения уменьшается влияние скорости возрастания нагрузки на изгибные прогибы упругих элементов.

Варьируя площади поперечного сечения и длины элементов, можно получить широкий спектр силовых характеристик, что позволяет инженеру производить предварительный ориентировочный выбор подлежащих определению в рамках выполняемого задания конструктивных параметров упругого элемента, а затем переходить к более точным и трудоёмким расчётам для нахождения их оптимальных значений.

2.6 Потенциальная энергия стержневых упругих элементов

Получаемые в рамках квазистатической модели силовые характеристики упругих элементов амортизаторов позволяют в процессе их нагружения и деформирования параллельно оценивать накапливаемую ими потенциальную энергию по следующему выражению [14, 39]:

R

Еа = { Е^г , (2.5)

0

где - модуль проекции вектора нагрузки на вектор перемещения г; г -модуль вектора перемещения; Я - перемещение точки приложения внешней нагрузки, соответствующее максимальной, заданной в данном расчёте нагрузке; Етах - предельная величина нагрузки до которой в данном случае

проводится расчёт.

Выражение (2.5) в рабочем виде выглядит следующим образом:

yf zf

Ea = i Fydy + JFzdz, (2.6)

0 0

где Yf, Zf - ордината и абсцисса точки нагружения, соответствующая максимальной нагрузке; Fy, Fz - проекции нагрузки F на соответствующие индексам оси; y и z - текущие значения ординаты и абсциссы точки нагружения в процессе деформирования.

О -0.005 -0.010 -0.015 -0.020 -0.025 -0.030 у

Рисунок 2.15 - Потенциальная энергия для элементов следящей нескользящей схемы нагружения от координаты Yf: A = 0,02 , b = 0,05 м, h0 = 0,02 м и переменным L: 1 - 0,2 м; 2 - 0,3 м; 3 - 0,4 м; 4 - 0,5 м

Рисунок 2.16 - Потенциальная энергия для элементов следящей нескользящей схемы нагружения от координаты ZF: A = 0,02 , b = 0,05 м, h0 = 0,02 м и переменным L: 1 - 0,2 м; 2 - 0,3 м; 3 - 0,4 м; 4 - 0,5 м

Рисунок 2.17 - Потенциальная энергия для элементов неследящей скользящей схемы нагружения от координаты Ур : А = 0,02 , Ь = 0,05 м, к0 = 0,02 м и переменным Ь : 1 - 0,2 м; 2 - 0,3 м; 3 - 0,4 м; 4 - 0,5 м

Из анализа результатов расчётов, приведённых на рисунках 2.15 - 2.17, следует, что для меньшей длины упругого элемента характерно более резкое накопление потенциальной энергии при его изгибе.

Пренебрегая влиянием массы упругого элемента на процесс амортизации, можно представить упрощённую квазистатическую постановку задачи анализа амортизации. Закон сохранения энергии для квазистатической постановки будет выглядеть следующим образом:

£0 = Ек.т + Еа , (2.7)

где £0 - начальная кинетическая энергия амортизируемого тела; Ект - кинетическая энергия тела в данный момент; Еа - потенциальная энергия упругого элемента.

Развёрнутая форма закона сохранения энергии в квазистатической постановке задачи:

тУ^ т¥{

2

2

+ £

а

(2.8)

где т - масса амортизируемого тела; У0 - начальная скорость амортизируемого тела; У1 - скорость амортизируемого тела в произвольный момент времени; Еа - потенциальная энергия амортизатора, рассчитываемая по выражению (2.6).

Выражая из (2.8) скорость У\ в произвольный момент времени, получим:

2 2Е

V =л 1У0 -

а

т

(2.9)

Время прохождения процесса рассчитывается по стандартному кинематическому выражению:

Я

dr

Т = Г О у1(г )

(2.10)

где Я - перемещение ударяющегося тела в данный момент; г - переменная интегрирования, перемещение точки нагружения; Р1(г) - скорость тела, соответствующая перемещению.

Рисунок 2.18 - Кинетика изменения энергобаланса системы «амортизатор - ударяющее тело» для упругого элемента А = - 0,02 м, Ь = 0,05 м, к = 0,02 м, Ь = 0,3 м для скользящей неследящей схемы нагружения, при ударе тела массой 2 кг со скоростью 1 м/с: 1 - потенциальная энергия амортизатора; 2 - кинетическая энергия амортизируемого тела

Очевидно, что в инженерной практике возможны различные ситуации, когда представленная квазистатическая интерпретация расчёта не удовлетворяет требованиям по точности, и в этих случаях рекомендуется использовать более сложную, комплексную динамическую постановку, описывающую процесс упругого изгибного деформирования упругих элементов амортизаторов (этому посвящена глава 3 настоящей работы).

2.7 Выводы по главе 2

1 В главе 2 сформирована математическая модель стержневого упругого элемента в виде системы дифференциальных уравнений второго порядка (2.1) - (2.3) на основе уравнения изгиба стержня Эйлера-Бернулли, описаны основные гипотезы и применяемые в модели расчётные схемы.

2 Приведена методика численного решения системы дифференциальных уравнений второго порядка. Использован метод решения системы дифференциальных уравнений на основе применения современных машиноори-ентированных методов минимизации. Сформированы минимизируемые целевые функции, проанализирована эффективность и трудоёмкость различных методов минимизации. В главе описана методика расчёта потенциальной энергии амортизатора. Приведены примеры расчётов для различных вариантов стержневых упругих элементов амортизаторов.

3 Проанализированы результаты расчётов изгиба стержневых упругих элементов, полученных с помощью разработанной методики численного решения. Сравниваются результаты, полученные с применением методов эллиптических параметров, методов Кирхгофа и метода конечных элементов, реализованного в автоматизированной расчётной системе SolidWorks Simulation, с результатами расчётов, полученных согласно разработанной методики. Показано преимущество разработанного метода относительно прочих.

3 Динамическое деформирование стержневых упругих элементов амортизаторов

Функционирование стержневых упругих элементов амортизаторов связано со «скоростным» - динамическим нагружением, существенно отличающимся от квазистатического [26].

Под динамическим нагружением понимается такое воздействие на амортизирующий элемент, в котором скорость взаимодействия не позволяет представить происходящий процесс квазистатическим, как последовательную смену статических положений нагруженного изогнутого упругого элемента, а требует при расчёте учёта воздействия на процесс массы движущегося упругого элемента.

В данной работе процесс динамического изгиба упругого элемента упрощенно заменяется ударом движущегося тела о стержневой упругий элемент с последующим его торможением посредством сопротивления изгибающегося упругого элемента.

Процесс соударения твёрдого тела и амортизатора (рисунок 3.1) сопровождается расходом кинетической энергии удара не только на изгибное деформирование, но и, в отличие от квазистатической схемы, на движение массы стержневого упругого элемента.

Рисунок 3.1 - Удар амортизируемой массы по упругому стержневому элементу

В главе 2 (раздел 2.6) приведена методология расчёта времени первого останова на основе закона сохранения энергии с точки зрения квазистатического представления процесса деформирования упругого элемента. Квазистатическое представление задачи не учитывает влияние массы упругого элемента на динамику процесса амортизации, следовательно, не позволяет получить требуемые в отдельных конструкторских задачах динамические характеристики.

Как будет показано далее, встречаются случаи, когда учёт влияния массы упругого элемента вносит значительную поправку в результаты расчётов, и в таких случаях необходим расчёт с использованием динамической интерпретации процесса амортизации.

3.1 Основная система уравнений для описания динамики процесса

Предлагаемая модель динамики упругого элемента основывается на законе сохранения энергии, где составными частями являются: кинетическая энергия амортизируемого (ударяющегося) тела, кинетическая энергия массы упругого элемента и потенциальная энергия деформирующегося элемента:

Е0 = Ек.т + Еа + Ек.а (3.1)

где Е0 - начальная (доударная) кинетическая энергия амортизируемого тела; Ект - кинетическая энергия амортизируемого тела в данный момент; Еа и Ека - потенциальная и кинетическая энергия упругого элемента в данный момент.

В процессе столкновения и последующего совместного движения упругого элемента и ударяющейся амортизируемой массы происходят различные явления, связанные с неравномерностью соприкосновения контура

тела и поверхности упругого элемента, также в процессе движения может возникать взаимное проскальзывание, трение и т.п. явления. В данной работе явления, связанные с соприкосновением контуров соударяющихся тел, не рассматриваются, и в качестве упрощения принимается допущение о равномерном соприкосновении тел после начала совместного движения системы без трения.

В описываемой модели для динамики системы, состоящей из упругого элемента и ударяющейся массы, принимаются допущения:

1) После переходного процесса (удара): в вариантах нескользящих схем нагружения ударяющееся тело неподвижно и устойчиво закреплено в определённой контактной точке; в вариантах скользящих схем ударяющееся тело движется по вертикальной траектории без трения.

2) В любой момент времени амортизируемое тело одинаковым образом контактирует с поверхностью упругого элемента, исключая явления проскальзывания и качения.

3) В процессе амортизации, в зависимости от схемы нагружения, вектор скорости контактной точки амортизатора может не совпадать с вектором скорости амортизируемого тела (например, в случае скользящей неследящей схемы внешнего нагружения, когда скорость амортизируемого тела направлена вниз и при одновременном криволинейном движении упругого элемента и последовательной сменой точек контакта из-за скольжения нагрузки по оси упругого элемента), что вносит погрешность при расчёте влияния амортизирующего элемента на тело. В рамках данной работы принимается допущение о том, что данная погрешность будет иметь небольшую величину. Учёт выше описанной поправки из-за несовпадения векторов скоростей возможен, но для этого потребуется вносить в структуру динамических уравнений дополнительные элементы, описывающие движение упругого элемента относительно линии воздействия силы и смены точек контакта, что потребует увеличения трудоёмкости расчётов в программном комплексе. Для устранения

лишней трудоёмкости и упрощения расчётов вводится допущение: вся энергия изгибного деформирования стержневого упругого элемента уходит на торможение ударяющегося тела.

Распишем по составным частям представленный в (3.1) закон сохранения энергии для системы "стержневой упругий элемент - амортизируемое тело" [14, 16].

Начальная кинетическая энергия амортизируемого тела Е§ (3.2) является единственным внешним источником энергии в системе. После удара кинетическая энергия перераспределяется по всей системе, и она затрачивается на движение массы амортизатора и его изгибное деформирование.

^ тУ02

Ео =—( , (3.2)

где т - масса ударяющегося тела; У0 - начальная скорость ударяющегося тела.

Кинетическая энергия амортизируемого тела рассчитывается согласно стандартному выражению.

Е - тУ2

Ек.т - 2 ' (3.3)

где У1 - текущая скорость ударяющегося тела в данный момент времени.

Выражение для расчёта кинетической энергии массы амортизирующего элемента, будет выглядеть следующим образом:

Мтах у2 (р Атах 2

Екд - I -2т1 -2 I ЭД • у2(и^ , (3.4)

0 2 2 0

где V(w) - мгновенная скорость точки амортизатора с координатой w по длине упругого элемента; 5(w)- площадь поперечного сечения упругого элемента амортизатора с координатой w (в рамках рассматриваемой прямой задачи прочностного проектирования данная функция задана априори); р -плотность материала упругого элемента; £тах - осевой габарит упругого элемента в его недеформированном состоянии; dM - элемент движущейся массы амортизатора; Мтах - масса упругого элемента.

Для упрощения преобразования выражения (3.4) и последующих численных расчётов в структуру выражения (3.4) предлагается ввести коэффициент расчёта скорости произвольной точки упругого элемента Кг (м), отображающий отношения скорости в произвольной точке к скорости в точке нагружения в данный момент времени [41].

Использовалось следующее выражение коэффициента Кг ^):

Кг VÍW) ; ^ = ^ ;

vн vн гн

dr(w) dt dr(w); dt drн drн

v( w) dr (w) vн drн '

КГ (3.5)

А гн

где Кг (w) - отношение скорости упругого элемента в точке с координатой w по длине к скорости в точке нагружения; v(w) и г (w) - скорость и перемещение упругого элемента в точке с координатой w по длине упругого элемента; vн и гн - скорость и перемещение упругого элемента в точке нагружения (точке контакта движущейся массы и упругого элемента).

Силовая характеристика, используемая для решения уравнений динамики упругого элемента, рассчитывается относительно определённой величины нагружения (силы воздействия на упругий элемент), следовательно д г (w) и Д гн , рассчитанные между соседними значениями итераций величины нагружения, взятых с малым шагом, можно принять за величины линейных приращений г(w) и гн .

Отметим, что коэффициент Кг введён для удобства численного расчёта и, как показано выше (3.5), может быть заменён отношением скоростей разных точек упругого элемента.

Выразим через коэффициент Кг кинетическую энергию массы упругого стержневого элемента (3.4), соответствующую нескользящей схеме внешнего нагружения:

2 Т

р■ ^шах ^

Ек.аI Я^У КГ2 ^, (3.6)

2 0

где Тшах - длина стержневого упругого элемента.

Для нескользящих схем внешних нагрузок, в точке контакта скорости амортизируемого тела и упругого элемента равны:

VI - УН , (3.7)

Для скользящих схем внешних нагрузок скорость тела будет представлять собой вертикальную составляющую мгновенной скорости точки соприкосновения амортизируемого тела и упругого элемента:

VI - УН ■ сов(аШ%(- С)), (3.8)

Потенциальная энергия деформирующегося амортизатора Еа рассчитывается с использованием силовой характеристики амортизатора. Подробно

расчёт потенциальной энергии амортизатора и его силовой характеристики описан в главе 2 настоящей работы, выражение (2.6).

Текущее положение упругого элемента в пространстве зависит от решения системы уравнений (2.1) - (2.3), в структуру которой входят геометрические и физические параметры деформируемого упругого элемента, а также параметры и схема внешнего нагружения амортизируемой массой.

Запишем полную форму закона сохранения энергии для всей системы, с использованием выражений (3.1) - (3.8) для нескользящих схем внешнего нагружения:

mV

2

-2

PV2 L

2

mV2 R pv " 2

1 + J Frdr + —L j s(w)K2(w)dw

2

0

2

0

(3.9)

V =

' 2 R '

mVo - 2 J Frdr 0

L 2

m + p J S(w) • Kr (w)dw 0

л-1Л

(3.10)

Аналогично для скользящих схем нагружения:

V1 =

' 2 R Л

mVo - 2 JFrdr 0

L

m + -

P

max

cos (arctg(- C)) 0

J S (w)- K2 (w) dw

2

(3.11)

Запишем кинематическое выражение для нахождения времени соответствующего определённому перемещению амортизатора в точке контакта:

R

T = J

dr

V1( r )

(3.12)

1

0

где Я - перемещение ударяющегося тела в данный момент; г - переменная интегрирования, перемещение точки нагружения; У\(г)- скорость тела, соответствующая перемещению г амортизируемого тела.

3.2 Численное решение задачи динамики упругих элементов

Для численного решения задачи динамики упругих элементов, необходимо вначале получить силовую характеристику для упругого элемента, после чего, зная плотность упругого элемента, начальную скорость и массу амортизируемого груза, найти динамические характеристики.

Из анализа уравнения (3.1) следует, что в момент первого останова (момент, когда скорость амортизируемой массы впервые достигает нуля) кинетическая энергия массы упругого элемента Ека и кинетическая энергия

амортизируемого тела будут равны нулю Е0, из чего следует, что в уравнении энергобаланса останется единственная составляющая - потенциальная энергия амортизатора Еа:

Е0 - Еа . (3.13)

Уравнение (3.13) справедливо как для квазистатической. так и для динамической постановки задачи. Из уравнения (3.13) следует, что в момент первого останова начальная кинетическая энергия амортизируемого тела полностью переходит в потенциальную энергию упругого элемента. Поэтому, используя уравнение (3.13), можно получить прогиб упругого элемента, соответствующий моменту первого останова.

Используя силовую характеристику и зная решения системы (2.1) - (2.3) для различных начальных количественных параметров внешнего

нагружения, можно получить значение коэффициента КГ для последующего

использования его в уравнениях (3.10), (3.11) с целью расчёта текущей кине-

тической энергии массы амортизатора, соответствующей определённому значению величины нагружения и перемещения точки нагружения.

Расчёт силовой характеристики, описанный в главе 2, позволяет находить кривую образующей стержня путём организации цикла итераций, заключающегося в последовательной подстановке значений нагрузки р в основную систему уравнений (2.1) - (2.3) и её многократного решения.

3.2.1 Расчёт коэффициента отношения скоростей

Расчёт коэффициента Кг связан с определением перемещения различных участков упругих элементов для различных значений величины нагрузки и последующей подстановкой полученных данных в выражения (3.10) и

(3.11).

В программном комплексе [66] реализована схема в которой, для определённого упругого элемента априори задаётся произвольное значение максимума действующей нагрузки, затем рассчитывается силовая характеристика, соответствующая элементу под воздействием итерируемой нагрузки с заданным предельным значением.

В программном комплексе [68] присутствует функция автоматического подбора максимума действующей нагрузки посредством применения биномиального поиска.

Результатом квазистатического расчёта является массив данных, содержащий информацию о перемещениях точек упругого элемента и, как следствие, информацию о кривой в точке нагружения, в которую входят значения: (абсцисса точки нагружения); Гр (ордината точки нагружения); Ср

(значение первой производной для кривой нейтральной линии упругого элемента); р (нагрузка, соответствующая данному прогибу), то есть четырехмерный массив , Гр, Ср, р).

На рисунках 3.2 и 3.3 изображены силовые характеристики упругого элемента из стали 60С2А, имеющей модуль упругости Е = 212 • 109 Па, полученные для различных схем приложения внешней нагрузки. Упругий элемент на рисунке 3.2 обладает сечением шириной Ь = 0,01 м и переменой высоты И, изменяющейся по линейному закону И = -0,005 w+0,01 и длину Ь = 0,4 м, на рисунке 3.3 сечением шириной Ь = 0,03 м и переменой высоты И, изменяющейся по линейному закону И = -0,005- w+0,02 и длину Ь = 0,5 м.

После получения силовой характеристики упругого элемента рассчитывают потенциальную энергию, соответствующую различным значениям итерированной нагрузки. Получив значение потенциальной энергии упругого элемента по выражению (3.13), определяем, остановится ли амортизируемое тело под действием упругого элемента, хватит ли потенциальной энергии элемента для остановки амортизируемого тела.

О 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Г, М

Рисунок 3.2 - Нагрузка и перемещение точки нагружения 1 - нескользящая неследящая; 2 -нескользящая следящая; 3 -скользящая неследящая; 4 - скользящая следящая

12000 10000 8000 6000 4000 2000

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 Г, М

Рисунок 3.3 - Нагрузка и перемещение точки нагружения 1 - нескользящая неследящая; 2 -нескользящая следящая;

3 -скользящая неследящая; 4 - скользящая следящая

В случае, если потенциальной энергии упругого элемента не хватает для остановки амортизируемого тела, то максимальное значение итерируемой нагрузки подбирают вплоть до значения, позволяющего набрать необходимое количество кинетической энергии для остановки тела, либо до возникновения больших значений после минимизации целевой функции (что означает невозможность точной численной минимизации целевой функции имеющимися средствами или в физическом смысле - изгиб упругого элемента вышел за пределы допустимых для данной физической модели).

Информация о квазистатике упругого стержневого элемента, полученная после численного расчёта, имеет дискретный характер. Параметры произвольной точки изогнутого упругого элемента рассчитываются с помощью интерполяции [110].

Результатом численного расчёта квазистатики упругого элемента является крупный массив данных, поэтому от использования различных подходов к интерполяции зависит трудоёмкость расчётов. В ходе отработки различных схем решений, было предложено использовать полиномиальную схему интерполяции, а именно готовое решение, предлагаемое в качестве класса InterpolatedШivariateSpHne в модуле scipy.mterpolate из пакета SciPy для язы-

ка программирования Python, как наиболее отработанную и предоставляющую удовлетворительную точность вне зависимости от количества рассчитанных точек первоначальной кривой. Работа использованного алгоритма сплайн-интерполяции подробно описана в [110].

Силовая характеристика и информация о перемещениях массы упругого элемента интерполируется с помощью полиномов, таким образом для произвольного значения по длине упругого элемента w , можно найти перемещения, соответствующие определённому значению нагрузки.

Для расчёта перемещения каждого фрагмента массы упругого элемента, элемент разбивается на N отрезков каждый определённой массы тг- . Количество выделенных фрагментов предлагается брать более 10000, таким образом можно не учитывать геометрическую неоднородность сечения отдельного фрагмента, принимая координатами центров масс середины длин выделенных фрагментов.

Зависимость получаемых параметров расчета динамики упругого элемента от количества выделенных фрагментов иллюстрирует таблица 3.1.

В таблице 3.1 расчёт проводится для упругого элемента длиной L = 0,4 м , с прямоугольным сечением, высота которого измеряется в метрах и меняется по линейному закону h = -0,005 • w + 0,01 , ширина сечения b = 0,01 м. Материалом упругого элемента является пружинная сталь 60С2А, обладающая модулем упругости E = 212 -109Па и плотностью р = 7680 кг/м 3. Ударяющийся груз, масса m которого отображена в таблице,

воздействует на элемент согласно следящей скользящей схеме нагружения. Используемая силовая характеристика построена для нагрузки 0 до 2000 Н (рисунок 3.4) с 100 шагами итерации.

Рисунок 3.5 - Расчёт коэффициента К

Таблица 3.1. Расчёты времени до останова и трудоёмкости.

№ Количество фрагментов Скорость, м/с Масса, кг Время до первого останова, с Трудоёмкость, с

1 2 5 5 0,0317484331 0,1047203540

2 10 5 5 0,0318993931 0,1087083816

3 100 5 5 0,0319709772 0,1436152458

4 1000 5 5 0,0319787229 0,4790072441

5 2000 5 5 0,0319791562 0,8018867969

6 3000 5 5 0,0319793008 1,1672711372

7 4000 5 5 0,0319793730 1,4889793395

8 5000 5 5 0,0319794164 1,9115288257

9 6000 5 5 0,0319794453 2,1831886768

10 7000 5 5 0,0319794660 2,6129209995

11 8000 5 5 0,0319794815 3,1276462078

12 9000 5 5 0,0319794935 3,2433497905

13 10000 5 5 0,0319795031 3,5704848766

14 20000 5 5 0,0319795465 7,0153558254

15 50000 5 5 0,0319795725 17,494246006

16 100000 5 5 0,0319795812 34,704888820

17 2 5 10 0,0481741992 0,1396267414

18 10 5 10 0,0483001696 0,1815145015

19 100 5 10 0,0483605478 0,1914870738

20 1000 5 10 0,0483670951 0,6083986759

21 2000 5 10 0,0483674614 1,0711600780

22 3000 5 10 0,0483675836 1,5229554176

23 4000 5 10 0,0483676447 1,9807124137

24 5000 5 10 0,0483676814 2,4185597896

00

LO

Продолжение таблицы 3.1.

№ Количество фрагментов Скорость, м/с Масса, кг Время до первого останова, с Трудоёмкость, с

25 6000 5 10 0,0483677058 2,9232106208

26 7000 5 10 0,0483677233 3,3640036582

27 8000 5 10 0,0483677364 3,8109033107

28 9000 5 10 0,0483677466 4,2884840965

29 10000 5 10 0,0483677547 4,7831530570

30 20000 5 10 0,0483677914 9,4548125267

31 50000 5 10 0,0483678134 23,153589010

32 100000 5 10 0,0483678207 46,350396394

33 2 10 5 0,0408137902 0,1495997905

34 10 10 5 0,0411456676 0,1575784683

35 100 10 5 0,0413061302 0,2064480781

36 1000 10 5 0,0413235431 0,6822030544

37 2000 10 5 0,0413245174 1,1934309005

38 3000 10 5 0,0413248423 1,7044630050

39 4000 10 5 0,0413250048 2,1935789585

40 5000 10 5 0,0413251023 2,7325000762

41 6000 10 5 0,0413251674 3,2913787364

42 7000 10 5 0,0413252138 3,8570485115

43 8000 10 5 0,0413252486 4,3824343681

44 9000 10 5 0,0413252757 4,8061778545

45 10000 10 5 0,0413252974 5,3965973854

46 20000 10 5 0,0413253949 10,497927188

47 50000 10 5 0,0413254534 25,953939437

48 100000 10 5 0,0413254730 53,033299446

На рисунке 3.5 изображён график рассчитанного коэффициента Кг для упругого элемента из пружинной стали 60С2А плотностью 7680 кг/м3 с модулем

упругости Е = 212-109Па постоянного прямоугольного сечения длиной 0,25 м, толщиной 0,0025 м, шириной 0,019 м при нескользящей следящей нагрузке величиной 80 Н.

По графику на рисунке 3.5. отслеживается постепенное увеличение коэффициента Кг от 0 у точки заделки упругого элемента до 1 в точке нагружения.

Получив значения коэффициента Кг в определённых точках по длине упругого элемента, интерполируем полученные значения с помощью полиномов и получаем выражение для расчёта Кг в любой точке на длине элемента, далее используем полученные расчётные зависимости для расчёта согласно уравнениям (3.10) или (3.11).

3.2.2 Расчёт изменения скорости во времени

Рассчитав интерполированные результаты квазистатических расчётов и характеристики ударяющегося тела, выполняют расчёт изменения скорости контактной точки приложения внешней нагрузки.

На рисунке 3.6 приведены результаты расчёта изменения скорости во времени для упругого стержневого элемента из стали 60С2А длиной 0,5 м прямоугольного сечения шириной 0,02 м, с высотой сечения, изменяющейся по уравнению Ь = -0,005 • w + 0,01 , для скользящей неследящей схеме нагружения. Начальная скорость ударяющегося тела 10 м/с, масса 2 кг.

Рисунок 3.7 иллюстрирует расчёт изменения скорости во времени для упругого стержневого элемента из стали 60С2А длиной 0,4 м, прямоугольного сечения высотой 0,01 м и шириной 0,02 м, с высотой сечения изменяющейся по уравнению И = -0,005 • w + 0,01, для скользящей неследящей схеме нагружения. Начальная скорость ударяющегося тела 5 м/с, масса 2 кг.

О 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Т, С

Рисунок 3.6 - Изменение скорости точки нагружения во времени

0 0.0025 0.0050 0.0075 0.0100 0.0125 0.0150 0.0175 Т, С

Рисунок 3.7 - Изменение скорости точки нагружения во времени

В численных расчётах динамики процесса амортизации ударяющегося тела, изображённого на графиках рисунков 3.6 и 3.7, в начале кривых линий присутствует «скачок» скорости. Согласно физике решаемой задачи предлагается ассоциировать данное явление с процессом начального постударного перераспределения кинетической энергии от массы ударяющегося тела к массе упругого стержневого элемента.

Глубокое рассмотрение природы начального «скачка» скорости приводит к волновой природе распространения воздействия удара тела о упругий элемент и является актуальным материалом для дальнейших исследований, выходящим за пределы данной работы.

3.3 Сравнение результатов расчётов для квазистатической и динамической

постановок задачи

3.3.1 Сравнение времени первого останова

Из формы записи законов сохранения энергии для квазистатического (2.7) и динамического (3.1) вариантов следует, что между данными выражениями существует разница в элементе Ек а , отражающая учёт влияния массы упругого элемента на процесс амортизации.

0 0.0025 0.0050 0.0075 0.0100 0.0125 0.0150 0.0175 Т, С

Рисунок 3.8 - Влияние варианта расчёта на результат

—"—X

Л \\ NN

> \

\\ \\ \\

V > Л \\

\\ \>

О 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 Т, С

Рисунок 3.9 - Влияние варианта расчёта на результат

На рисунках 3.8 и 3.9 приведены результаты расчётов изменений скоростей амортизируемого тела во времени для упругого стержневого элемента со следящей скользящей схемой нагружения, сделанного из стали 60С2А длиной 0,4 м, прямоугольного сечения шириной 0,02 м и переменой высотой изменяющейся по закону h = -0,005^+0,01 . Рисунок 3.8 отображает расчёт скорости амортизируемого тела с массой 2 кг и начальной скоростью 5 м/с, рисунок 3.9 для амортизируемого тела массой 1 кг и начальной скоростью 8 м/с. Сплошной линией отображены результаты расчётов в рамках динамического варианта расчёта, пунктирной - в рамках квазистатического варианта.

Анализ показывает, что в зависимости от значений массы и начальной скорости ударяющегося об один и тот же упругий элемент тела изменяется величина начального значения постударной скорости (величина «скачка») и итоговое значение времени первого останова.

На величину постударной скорости существенное влияние будет оказывать масса упругого элемента, для демонстрации этого приведём ниже несколько гипотетических расчётов.

На рисунке 3.10 приводятся результаты расчётов изменений скоростей амортизируемого тела во времени для упругих элементов, одинаковых по своим упругим свойствам, однако различающихся друг от друга плотностью материала [13]. Пунктирной линией 1 на рисунке 3.10 изображён квазистатический расчёт. Цифрами 2, 3 и 4 обозначены динамические расчёты для плотностей материала 7680 кг/м3 , 76800 кг/м3 и 768000 кг/м3 соответственно. Расчёты выполнены для упругого элемента с геометрическими параметрами, совпадающими с расчётами на рисунке 3.7, для скользящей следящей схемы нагружения и ударяющего тела массой 5 кг с начальной скоростью соударения 5 м/с.

Анализируя графики на рисунке 3.10, можно сделать вывод о весомом значении массовой составляющей упругого элемента при расчёте времени его первого останова, следовательно можно утверждать от том, что существуют такие слу-

чаи расчётов, когда замена полного динамического расчёта квазистатическим вариантом невозможна, так как приведёт к неверному результату.

0.05 Т, С

1 - квазистатический расчёт; 2 - плотность 7680 кг/м3; 3 - плотность 76800 кг/м3; 4 - 768000 кг/м3 Рисунок 3.10 - Изменение скорости во времени

3.4 Выводы по главе 3

1 В главе 3 сформированы основные уравнения для расчёта динамических характеристик стержневых упругих элементов амортизаторов с учётом описанных в главе гипотез. Разработаны выражения для учёта влияния массы упругих элементов в процессе динамической изгибной деформации.

2 Анализируются результаты численных расчётов, выполненных с применением разработанной методики. Показан положительный эффект от применения динамического расчёта относительно стандартного квазистатического. Прово дит-ся сравнение динамического расчёта с различными вариантами деления стержневого элемента по массам с точки зрения трудоёмкости и точности.

4 Начальное контактно-волновое взаимодействие

Начальная фаза взаимодействия амортизируемого тела и упругого стержневого элемента характеризуется зарождением фронта поперечной волны и дальнейшим его распространением на всю длину упругого элемента.

Для учета этого эффекта в данной работе будет использоваться модель, предложенная J. Bielak, представленная в работах [21], [83].

4.1 Модель возникновения и распространения поперечной волны в стержневых упругих элементах

Начальный момент ударно-волнового взаимодействия амортизируемых тел и стержневых упругих элементов характеризуется обладанием некой начальной скорости амортизируемого тела и покоем упругого элемента. В результате столкновения в физической структуре рассматриваемого процесса возникает «разрыв» (ударное воздействие), который сопровождается дальнейшим распространением в материалах стержневых упругих элементов волн различного характера.

Для стержневых упругих элементов с переменным сечением существуют варианты конструкции, при которых прочность определённого сечения, не выдерживает напряжений, вызываемых фронтом поперечной волны, возникающих при ударе массы амортизируемого тела, движущегося с определённой скоростью к стержневому упругому элементу, что может привести к откольному разрушению элемента.

Исходя из конструкторских потребностей, длины упругих стержневых элементов амортизаторов в большинстве случаев значительно больше толщины сечения элемента, в результате чего движение волны от стенки к стенке и отражения волн в толще массы упругого элемента предлагается не рассматривать и принять допущение о незначительном влиянии данных явлений в процессе изгибной деформации.

Согласно [44], в общем случае в зоне контакта (рис.4.1) возникнет сферическая волна, распространяющаяся в толщине упругого элемента, однако если поперечные габариты нагружаемого упругого элемента и габариты поверхности контакта малы по сравнению с продольными габаритами амортизатора, то нормальная относительно поверхности контакта составляющая волны напряжений может быть представлена в виде стандартной упругой продольной волны.

Напряжения, возникающие в зоне контакта в момент начала удара г = 0 с и формирующие передний фронт волны, определяются согласно выражению [46]:

(4.1)

где р - плотность материала упругого элемента; Е - модуль упругости; V) - скорость амортизируемого тела в момент соударения.

Зная геометрические параметры зоны контакта, можно определить геометрические параметры зоны воздействия продольных волн и рассчитать затраченную на контактную деформацию энергию [20]:

2 П 7

& к йкпк

где Sк - площадь пятна контакта; Лк - средняя толщина упругого элемента под площадью контакта; Е - модуль упругости.

Скорость амортизируемого тела после затраты энергии на начальное взаимодействие:

=

тРн 2Еп.в (4 3)

т

где т - масса амортизируемого тела; Ун - начальная ударная скорость тела; Епв энергия, затраченная на контактную деформацию.

Общее уравнение энергобаланса (3.1) преобразуется следующим образом:

Е0 _ Ек.т + Еа + Ек.а + Еп.в

(4.4)

где Е0 - начальная ударная энергия амортизируемого тела; Ект - кинетическая энергия тела; Еа - потенциальная энергия амортизируемого упругого элемента; Ек а - кинетическая энергия учитываемой массы упругого элемента; Епв - энергия продольной волны.

Распространение поперечной волны предлагается описывать посредством уравнения из [21] , [83]:

рЯ ^ )

д2и _ д дt2 д2

kGS {2)

ди д2

(4.5)

где р - плотность материала упругого элемента; ) - площадь поперечного сечения в контактной элемента; t - время; и^^) - вертикальное перемещение; k -сдвиговой коэффициент С.П. Тимошенко, зависящий от формы сечения балки, для прямоугольного сечения k = 0,833 ; О - модуль сдвига; 2 - координата абсцисс неизогнутого стержня.

Ниже на рисунке 4.1 изображена схема контакта тела и упругого элемента.

Рисунок 4.1 - Зона контакта

На рисунке 4.1: , - абсциссы левого и правого края зоны контакта; -

абсцисса свободного конца упругого элемента; Ь - длина элемента; и - вертикальное перемещение частиц элемента; т - масса амортизируемого тела.

Для решения уравнения (4.5) предлагается задавать следующие из физического смысла задачи начальные условия:

и(2,0) = 0; для2 £ ,];

ди д 2

_ &к

г=0

Е

для 2 £12/, 2

{*/> };

ди д 1

ди

0, для2 £ {2/,};

г=0

дг

ди

= Р0,для 2 , ] ;

г=0

дг

= 0, для 2 , ];

г=0

и (0, г) = 0;

ди

д2

= 0

(4.6.1)

(4.6.2)

(4.6.3)

(4.6.4)

(4.6.5)

(4.6.6)

2 = 0

Выражение (4.6.1) соответствует условию покоя стержня амортизатора до начала воздействия его взаимодействия с амортизируемой массой. Из-за начального воздействия, описанного выражением (4.1) , в участке контакта возникают нормальные напряжение, которые при рассмотрения поперечного движения частиц стержня переходят в касательные, что позволяют описать условия (4.6.2) и (4.6.3). Воздействие амортизируемого тела на область контакта позволяет сформировать условия (4.6.4) и (4.6.5). Условие (4.6.6) моделирует консольное закрепление стержневого упругого элемента.

Решение уравнения (4.5) позволяет рассчитать максимальные касательные

напряжения Т2у, возникающее в сечении стержневого упругого элемента , что

позволяет контролировать недопустимую возможность перехода его материала в неупругое состояние.

Величину касательных напряжений ^2у, предлагается рассчитывать, согласно следующему выражению [103]:

ди

^ _ С% . (4.7)

4.2 Численные расчеты

Для численного расчёта по выражениям (4.1) и (4.2) требуются физические параметры материала, из которого сделан упругий элемент, а также начальная скорость У0 и масса т ударяющегося тела, средняя толщина упругого элемента в области контакта Ик. Площадь контактной области Як задаётся для каждого случая индивидуально.

На рисунке 4.2 изображены результаты расчётов изгибного деформирования упругого элемента с учётом поправки на начальное взаимодействие согласно выражению (4.4).

Расчеты проводились для упругого элемента длиной Ь = 0,3м , с постоянным прямоугольным сечением высота которого составляет И _ 0,0025 м , ширина сечения Ь = 0,02 м. Материалом упругого элемента является пружинная сталь 60С2А, обладающая модулем упругости Е _ 212-109 Па и плотностью р _ 7680 кг/м 3 . Амортизируемый груз массой т = 0,04 кг имеет начальную ско-

_5 2

рость У0 = 4 м/с. В процессе амортизации площадь контакта _ 9.25 • 10 м .

V, м/с

3.5

3.0