Моделирование хозяйственной деятельности предприятий пищевой промышленности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Умеренков, Дмитрий Евгеньевич

• Умеренков, Дмитрий Евгеньевич
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Умеренков, Дмитрий Евгеньевич

1. Актуальность исследования

2. Предмет, цели и задачи исследования

3. Научная новизна

1. Обзор математических моделей функционирования производственногопредприятия

1.1 Историческое развитие математических моделейпроизводственного предприятия

1.2. Обзор математических моделей производственного предприятия

2. Построение модели деятельности предприятия

2.1. Базовая модель предприятия

2.1.1. Базовые предпосылки

2.1.2. Описание алгоритма деятельности предприятия

2.1.3. Параметры и переменные

2.1.4. Уравнение для каждой фазы моделирования

2.1.5. Итоговое уравнение

2.1.6. Предельный анализ

2.2. Вектор реинвестирования

2.2.1 Значение вектора реинвестирования

2.2.2. Ограничения на вектор реинвестирования

2.2.3. Экономический смысл нрименения вектора реинвестирования

2.2.4. Простейшие векторы реинвестирования

2.2.5. Товар с потребительскими качествами, существенно зависящимиот его возраста

2.2.6. Комбинированный вектор реинвестирования

2.3.1. Недостатки имеющихся переменных унравления

2.3.2. Взаимосвязь между спросом и ценой

2,3,3, Построение функции спроса

2,4, Случай убывающей производительности капитала

2.4.1, Поведение модели в случае неограниченных ресурсов

2.4.2, Вариант разорения

2.4.3, Вариант стабилизации

2.4.4, Вариант экспоненциального роста

2.4.5, Общий вид зависимости объема производства от первоначальныхфинансовых вложений

2,4,6,3акон убывающей производительности капитала

2,4,7,Производственная функция Кобба-Дугласа

2,4,8,Построение новой модели

2,4,9, Поведение новой модели

2,5,Построение итоговой модели

2,5,1.Моделирование в детерминированном и недетерминированномслучае

2,5,2,Влияние помехи на результаты моделирования

2,5,3,Недостатки существующих методов применения помехи,

2,5,4, Применение помехи к вектору рефинансирования

2,5,5 Построение итоговой модели

3,Реализация и практическое применение модели для исследованияповедения предприятия

3.1, Рекурсивный и матричный методы реализации модели

3.1.1, Общие вопросы реализации модели

3.1.2, Рекурсивный метод реализации

3.1.3, Матричный метод реализации, оценка эффективности

3,1,4,Выбор критериев оценки

3.2, Моделирование в различных условиях

3.2.1, Общий план исследования модели

3.2.2, Зависимость объема производства через год от цены

3,2,3,Зависимость от цены вероятности неразорения в течение года

3.2.4. Зависимость от цены нормы доходности через год

3.2.5. Зависимость объема нроизводства через год от инвестиций воборотные средства

3.2.6. Зависимость вероятности неразорения в течение года отинвестиций в оборотные средства

3.2.7. Зависимость нормы доходности через год от инвестиций воборотные средства

3.2.8. Зависимость нормы доходности через год от инвестиций восновные средства

3.3. Оценка результатов моделирования

4. Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование хозяйственной деятельности предприятий пищевой промышленности»

1 .Актуальность исследования В современной экономике все большее распространение получаеттакой метод исследования деятельности предприятий, как математическоемоделирование хозяйственных процессов. Механизм экономическогоповедения предприятий рассматривается на основе построенияколичественных моделей механизма его деятельности и отображения егосостояния в стоимостной форме. Конечно, даже самая подробнаяматематическая модель является упрощением реальности, поскольку неучитывает факторы, которые невозможно количественно оценить (мотивацияперсонала, профессиональность руководства компании, имидж компании вглазах потребителей и т.д.). Однако даже такие параметры могут войти вмодель, пусть и в неявном виде. Например, мотивация и квалификацияперсонала в определенной степени определяет производительность труда и,соответственно, величину затрат на производство единицы продукции.Существуют различные математические модели, отражающиеосновные аспекты деятельности предприятия: объем производства,переменные и постоянные издержки, скорость реализации продукции, объемпоступающих предприятию денежных средств, степень налоговойобремененности и т.д. При этом модели выражаются в совокупностипараметров, описывающих основные показатели хозяйственной деятельностипредприятия и системы формул, устанавливающих между ними взаимосвязь.Существующие модели применяются как для моделирования предприятия вединичный момент времени (статические модели), так и для изученияповедения предприятия в течение нескольких периодов (динамическиемодели). Целью разработки математических моделей является, как правило,исследование и анализ экономических факторов или их аспектов. Так,моделирование может применяться для:• определения точки безубыточности;• определения рентабельности предприятия;• изучения тенденций изменения цены на продукцию;• изучения устойчивости предприятия к воздействиям внешнихфакторов;• расчета влияния различных факторов на экономическиепоказатели деятельности предприятия.Вся совокупность моделей делится на две основные группы:макроэкономические, и микроэкономические. Макроэкономические моделипредназначены для изучения поведения конгломерата предприятий, какявляющихся частью единого холдинга, так и независимых. Как правило, втаких моделях рассматриваются соотношения специального вида междусубъектами производственной деятельности, называемые балансовымиуравнениями или уравнениями баланса. Балансовые уравнения могутопределять соотношения между произведенными товарами (услугами),полученными денежными средствами, и расходами предприятия какденежными, так и товарными. Уравнения баланса, как правило, задаются' ввиде системы равенств, где в одной части стоит изменение запасов товаровили денежных средств, а в другой - потоки товаров или потокифинансирования.Модели микроэкономической группы, предназначены для изучениядеятельности поведение отдельно взятого предприятия или подразделения. Вмоделях такого рода особое внимание уделяются описанию различныхфункций предприятия (производство, хранение, сбыт, модернизацияосновных фондов и т.д.). Поведение предприятия описываетсясовокупностью уравнений, описывающих зависимость его состояния отпараметров внешней среды.Область возможного использования той или иной математическоймодели зависит от ряда факторов.6• Область применимости модели. Любая модель построена, исходяиз определенных предположений о внутренней структуре предприятия иего хозяйственной деятельности. Таким образом, модель применима к темпредприятиям, для которых эти предположения выполняются. Так,модель, учитывающая только оборотные налоги, может использоватьсядля описания предприятия, работающего по упрощенной системеналогообложения, но вряд ли будет показывать адекватный результат дляпредприятия, имеющего сложную и неоднородную структуру налоговойнагрузки.• Моделируемые параметры. При построении модели приходитсяотбрасывать значительное число факторов, которые влияют на показателиэкономической деятельности предприятия, заменяя их болееобобщенными. Так, в значительном количестве моделей все издержкиделятся на постоянные и переменные без более подробного их деления.Очевидно, что такие модели не предназначены для исследования,например, изменения фонда оплаты труда, поскольку этот параметр вмодели явно не фигурирует.• Вычислительная сложность. Абсолютное большинствосуществующих математических моделей деятельности предприятиянеприменимы без использования современной вычислительной техники.При этом объем вычислений для получения результатов, особенно встохастическом случае и при исследовании зависимостей, может бытькрайне велик. К счастью, прогресс в области современныхвычислительных средств позволяет рассматривать модели, изучениекоторых десять-двадцать лет назад было бы практически невозможно(например, модель, рассматриваемая в данной работе, вряд ли бы моглабыть реализована даже десять лет назад).• Сложность идентификации параметров. Следует признать, что вРоссии до сих пор математические модели деятельности предприятийприменяются, в основном, в научных исследованиях, а не в системахподготовки и принятия управленческих решений. Чтобы успешноприменять модель на практике, необходимо с достаточной точностьюидентифицировать параметры, характеризующие как само предприятие,так и состояние внешней среды. Практически единственным источникомисходных данных, являются в России данные бухгалтерского и налоговогоучетов. К сожалению, определение параметров модели по этим даннымможет быть крайне затруднено или невозможно. Остается надежа набольшее распространение в нашей стране систем управленческого учета,которые позволили бы проще решать задачу идентификации нараметров.Кроме того, зачастую в моделях используются параметры, хотя илогичные с математической точки зрения, однако крайне сложноподдающиеся оценке. Использование таких параметров, безусловно,крайне затрудняет применение подобных моделей на практике.Одним из перспективных классов моделей, описывающих деятельностьотдельного предприятия, являются модели, построенные на основерегрессионно-авторегрессионных уравнений [15,24,25,26,27,28,29]. Моделиэтого класса описывают состояние предприятия на шаге t как функцию от егосостояния в течение предыдущих ш шагов и параметров внешней среды. Ксожалению, имеющиеся модели обладают рядом значительных недостатков,не позволяющих серьезно рассматривать их практическое применение:• экономически необоснованное стремление производства кбесконечности при определенных комбинациях структурных параметров;• отсутствие четкого описания экономической сущности рядаструктурных параметров модели и, как следствие, невозможность нетолько их идентификации, но и составления экономически обоснованныхпредположений об их значениях;• экспоненциальная зависимость объема производства от номерашага моделирования;• оторванность модели от окружающей конкурентной среды;8• отсутствие методик оценки деятельности предприятия порезультатам моделирования;• неопределенность круга предприятий, для которых имеет смыслиспользование подобных моделей.Разработке модели данного класса, избавленной от перечисленныхнедостатков, рассмотрению области ее применимости, методикепрактической реализации и оценке модели с экономической точки зренияпосвящено данное исследование.2.Предмет цели и задачи исследованияПредметом настоящего исследования является поведение различныххозяйственных предприятий в условиях изменяющейся окружающей среды,как детерминированной, так и стохастической.Целью настоящей работы является создание дискретной динамическойматематической модели хозяйственной деятельности предприятия,построенной на основе регрессионно-авторегрессионных дискретныхуравнений, адекватно отражающей реальные экономические процессы, ирассмотрение вопросов, связанных с ее применением.Для реализации поставленной цели в работе решены следующие задачи:1. Определены и ликвидированы факторы, приводившие кнеопределенному значению уравнения состояния модели принекоторых комбинациях структурных параметров.2. Рассмотрена экономическая сущность центрального элемента модели вектора реинвестирования, предложена методика построения этоговектора, исходя из экономических соображений.3. Модель модифицирована, с целью учета закона убывающейпроизводительности капитала.4. Введена взаимосвязь между ценой продукции преднриятия и еепривлекательностью для покупателей, реализовано полноценноеуправление предприятием путем установления цены на продукцию,5. Разработана методика исследования деятельности предприятия вусловиях случайно колеблющегося спроса на продукцию, исследованазависимость производственных показателей предприятия от величинытаких колебаний.6. Разработан ряд методик оценки деятельности предприятия как по чистохозяйственным, так и по финансовым результатам деятельности;7. Четко определены требования для объектов моделирования, определенкруг предприятий, моделирование которых целесообразноосуществлять с помощью данной модели.8. Проведено подробное моделирование предприятия с целью изученияэкономической обоснованности получаемых результатов.3.Научная новизнаВ рамках данной работы впервые по сравнению с другимиматематическими моделями, построенными на основе регрессионноавторегресионных уравнений, реализованы следующие положения:• зависимость вектора реинвестирования от цены на товар;• нестанционарность вектора реинвестирования;• применение помехи к вектору реинвестирования;• управление предприятием путем установления цены на товар.Впервые подробно рассмотрены вопросы:• области применения модели и ограничений, накладываемых намоделирование предприятия;10• экономического смысла вектора реинвестирования;• целесообразности и экономической обоснованностирассмотрения различных параметров модели как случайных величинКроме того, впервые для данного класса моделей проведено детальноемоделирование предприятия с оценкой полученных результатов с точкизрения их экономической целесообразности.Ряд результатов, полученных в настоящей работе, опубликован впечатных изданиях [26,28,29], докладывался на международной конференции[27].111. Обзор математических моделей функционирования производственногопредприятия1.1 Историческое развитие математических моделей производственногопредприятияНачало разработки экономико-математических моделей положилиработы В.В, Леонтьева, B.C. Немчинова, Л.В. Канторовича. [20,32,41]Дальнейшее развитие методы моделирования деятельности предприятияполучили в 50-60-х годах прошлого столетия в работах А.Г. Гранберга, В.Л. Макарова, Ю.Н. Иванилова, К.А. Бариновского и многих других авторов.[8,17,38,40,3].В СССР, в силу больших размеров страны и плановой экономики,преобладали народохозяйственные модели и модели межотраслевогобаланса. [2,18,20]. Этому также способствовали особенности советскойэкономики, при которой производственный план предприятия не могформироваться независимо от всей иерархии экономической системы.Ресурсы, потребляемые предприятием, и продукция им производимаясвязаны с другими предприятиями обшими балансами системы и взначительной степени предопределены. Обычно определялись основныеобъемные показатели работы предприятия и номенклатура важнейших видовпродукции. На практике, исходя из результатов предыдущих периодов,балансовых возможностей и связей между предприятиями, устанавливалисьдостаточно четкие плановые задания, хотя жесткость их зависела от отраслии характера производства.С конца 50-х годов более широкую известность начали получатьмодели текущего планирования на предприятии. [9] В таких моделях годовоепланирование рассматривалось в качестве объемного планирования, прикотором определяется объем выпуска продукции и необходимые ресурсы нафиксированный отрезок времени (год). Нри годовом планировании не12рассматривалось временное распределение производства продукции ипотребления ресурсов, поэтому эти модели являются статичными. [9,20]. Вэтой области выделяются работы Л.В. Канторовича, А.А. Модина, М.М. Федоровича. [2].Широкое распространение получили также модели планирования врамках одного предприятия, в основном это оптимизационные модели,учитывающие взаимозаменяемость ресурсов, рациональное использованиересурсов (например раскрой материала), оптимальное распределение работ ит.д. Разработка подобных моделей остается актуальной и по суй день,особенно для крупных предприятий [31,45].Важным толчком к развитию математических моделей в этот периодпослужил прогресс в внедрении на предприятиях электроннойвычислительной техники. [6,36]В середине 70-х годов начинается формироваться идея обиспользовании экономико-математических моделей для целейпрогнозирования. До этого вопросы прогнозирования в экономике считалисьсвязанными с «процедурами обработки экспертных оценок илиэкстраполяцией, использующими методы математической статистики» [39].К концу 70-х годов основной тенденцией развития прикладныхмоделей деятельности предприятия становится переход от моделейпланирования в чистом виде к моделям функционирования экономическихсистем [37]. Применение соответствующей методики позволило болеедетально изучить характер функционирования и развития экономическихобъектов.К этому времени широкое распространение начинают приобретатьимитационное моделирование, позволяющее преодолеть ряд трудностей,связанных с оптимизационными подходами. Главной проблемойоптимизационных методов является сложность, а иногда и невозможность,строгой математической формулировки критериев оптимизации. Помимоэтого, даже при наличии сформулированного критерия оптимальности,13нахождение оптимального плана не дает ответа на все поставленныевопросы, поскольку выполнение любого плана неразрывно связанно сорганизацией структуры управления. [17,54,48] В этой связи целесообразнымявляется получения оценки для различных вариантов развития предприятия.Таким образом, одним из требований к динамическим моделям предприятиястановится их приспособленность к проведению многовариантных расчетов.В условиях становления рыночной экономики более широкоераспространения начинают получать использование формальных моделейуправления финансовыми потоками. Целью финансового моделированиястановится не только разработка показателей финансового плана, но иразработка детальной финансовой стратегии. [11,22,46]Говоря об истории развития моделей деятельности предприятия нельзяне отметить концепции MRP, MRP II и ERP. Впервые сформулированные всередине 70-х годов под названием MRP (Material Requirement Planning) этиконцепции, развиваемые силами ряда зарубежных неправительственныхорганизаций, например APICS (Американское обш;ество по управлениюпроизводством и запасами), получили широкое распространение на западе.[1]Концепция MRP предназначена для планирования потребностипредприятия в ресурсах и материалах. В качестве её логического развитиябыла разработана концепция Manufacturing Resourse Planning (планированиепроизводственных ресурсов) сокращенно обозначающаяся MRP П. В рамкахMRP II становится возможным планирование всех производственныхресурсов предприятия: сырья, материалов, оборудования, человеческихресурсов и пр. MRP II постепенно обросла возможностями по учету иуправлению другими затратами предприятия. Это привело к созданиюконцепции ERP или Enterprise-wide Resourse Planning (планированиересурсов в масштабе предприятия). Концепция ERP к настоящему времениполучила очень широкое распространение по всему миру. [43]14в течение десятилетий ученые разрабатывают различные математикоэкономические модели, предназначенные для улучшения деятельностипредприятий. Необходимо отметить, что большинство разработанныхмоделей предназначены для исследования и планирования деятельностикрупных предприятий или целых отраслей промышленности, в то время какмоделированию малых и средних предприятий уделяется ощутимо меньшевнимания. В этой связи разработка моделей финансовых и товарных потоковдля малых и, отчасти, средних предприятий являются в настоящее времякрайне актуальным.1.2. Обзор математических моделей производственного предприятияВ настоящее время существует целый ряд математико-экономическихмоделей, предназначенных для планирования и анализа деятельностипредприятия как единого целого, [33,42,53] В основной массе это моделипредназначенные для исследования и прогнозирования хозяйственнойдеятельности крупных, интегрированных предприятий. Ряд существующихмоделей является относительно универсальным, в том смысле, что на ихоснове может планироваться развитие различных экономических объектов.Однако такая обобщенность зачастую затрудняет отражение специфическихособенностей моделируемых объектов. [8]Необходимо также учитывать, что модели, разрабатывавшиеся вбывшем СССР, направлены на анализ и планирование развития предприятияв условиях плановой экономики, что приводит к существенным различиям впостановке задач для текущего и перспективного развития.Задача текущего планирования, является по своей сути статической изаключается в определении и исполнении оптимальной производственнойпрограммы в заданных условиях (текущее состояния рынка продукции,15ресурсы доступные предприятию и т.д.) При этом предполагаетсяотносительная неизменность условий функционирования предприятий (производственные процессы, технологии, налоговая нагрузка и т.д.) [20] Припереходе от плановой к рыночной экономике возрастает динамика измененияфакторов внешней среды, что в свою очередь приводит к необходимостиоперативно реагировать на изменяющиеся условия. При этом меняются нетолько внешние но и внутренние параметры функционированияпредприятия. Это в совокупности приводит к тому, что задача текуш,егопланирования перестает быть статической и требует динамических методовмоделирования. Таким образом задачи текущего и перспективногопланирования оказываются тесно взаимосвязаны, и рещение их должноосновываться на единой динамической модели хозяйственной деятельностипредприятия.Переход к рыночной экономике также обусловил необходимостьмоделирования не только основной производственной деятельностипредприятия, но и финансовых потоков, поскольку управление финансамиявляется одним из важнейших аспектов управления предприятием какединым целым.В западной практике методики анализа и управления предприятиемстроятся, как правило, на основе стандартов MRP и ERP. Однако разработкив области MRP и ERP носят прикладной характер и заключаются вразработке программных комплексов, предназначенных для анализа ипланирования хозяйственной деятельности предприятия. Математическоеописание моделей, лежащих в основе конкретных решений, как правиломалодоступны. Это, с одной стороны принуждает пользователя приниматьрезультаты расчетов без возможности анализа корректности расчетов, а сдругой делает подобные модели малопригодными для научных исследованийи анализа экономических закономерностей развития предприятия.Публикации основывающиеся на принципах MRP и ERP, как правилокасаются лишь общих закономерностей, положенных в основу моделей16(например необходимость планирования оборотных средств в зависимости отплана по выпуску продукции) и не дают детального описаниясоответствующих математико-экономических моделей.В настоящее время по некоторым оценкам на мировом рынкепредставлено около 500 различных систем класса MRP II - ERP. При этомрынок соответствующих систем переживает этап бурного развития (35%-40%в год), В настоящее время в Росси представлено около десяти западныхсистем и менее десяти отечественные системы аналогичного класса.Количество инсталляций составляет более 200, Успешно проведеновнедрение лишь в единичных случаях, [34] Основным клиентом поставщиковсистем MRP II - ERP в России являются крупные корпоративныепредприятия. Это в многом обусловлено дороговизной подобных решений,так лицензия программ SAP Business One (предназначенных для небольшихпредприятий) составляет от 10 до 30 тысяч долларов США, а система All-inOne (для средних предприятий)- 30-80 тысяч долларов США,[51] При этомстоимость внедрения соответствуюших систем может превышать стоимостьлицензии в десятки раз.Для предприятий малого и среднего бизнеса на российском рынкепрограммного обеспечения существуют системы бизнес планирования,основанные на дескриптивном моделировании, а не математикоэкономических моделях, описывающих финансовую и производственнуюдеятельность предприятий, К системам подобного рода относятся системы ctExpert, Альт-Инвест, ИНЭК-Аналитик, [23] Подобные системырассматривают достаточно ограниченные круг вопросов, связанных спрогнозированием развития предприятия. Наиболее популярным натерритории российской Федерации системами типа MRP II - ERP являютсясистемы Галактика, Мах, Navision, Axapta, Baan ориентированные в первуюочередь на крупные корпоративные предприятия. Предприятиям малого исреднего бизнеса предназначены специализированные версии нацеленные научет текущей хозяйственной деятельности и фирмы и не затрагивающие17вопросы перспективного планирования и прогнозирования. Кроме высокойстоимости к недостаткам подобных систем относятся ограниченныевозможности по управлению основными средствами. Так нерассматриваются вопросы приобретения и выбытия основных фондов, чтоявляется одной из основных статей затрат для небольших предприятий.Дискретная динамическая модель Дж. Форрестера [10] описываетразные стороны хозяйственной деятельности предприятия, а также каналовоптовой и розничной торговли. Однако при разработке данной модели целыобыло «исследование возможных колебаний или неустойчивости поведениясистемы, вытекающих из основных организационных взаимоотношений иправил управления предприятием, оптовой и розничной торговлей» [10], тоесть модель не предназначена для прогнозирования развития предприятия иразработки его производственной программы. В это модели не учитываетсявлияние основных производственных фондов предприятия. Кроме того,несмотря на моделирования финансовых потоков предприятия, цены как напродукцию, так и на сырье считаются постоянными, что мало приемлемо припостроении реалистичных прогнозов.Интерес представляет модель хозяйственной деятельностипредприятия, существуюш,его в экономическим симбиозе с крупнымпромышленным объектом, рассмотренная в работе Н.Е. Егоровой.[12]Деятельность такого предприятия включает две основных составляющих:• производственная деятельность (собственно производствопродукции);• коммерческая деятельность (сбыт продукции, произведеннойкрупным предприятием).Производство в этой модели описывается с помощью модифицированотрехфакторной функции Стоуна. При этом нормы затрат пересчитваются всоответствии с уровнем инфляции. В данной модели применятсястоимостное выражение всех факторов входящих в модель, то есть не18учитываются материальные потоки и, как следствие, не учитываютсявременные лаги между материальными и финансовыми потоками. Также вмодели не рассматриваются вопросы снабжения предприятия сырьём ивлияние динамики основных фондов.Дискретная динамическая модель намеченная Ждановым А. [15] иполучившая дальнейшей развитие в работах Краснова А.Е. и Краснули О.Н.[24,25] Описывает хозяйственную деятельность предприятия используядискретную динамическую модель «затраты-выпуск», при этом в качествеосновного инструмента описания предприятия используются системырегресионно-авторегресионных уравнений. Данный тип моделипредставляется очень перспективным поскольку позволяет моделироватьвременные лаги, отделяющий потоки ресурсов и произведенного товара отпотока денежных средств. Однако у этой модели есть ряд серьезныхнедостатков не позволяющих использовать эту модель для описанияреальных процессов на предприятии. К этим недостаткам относятся:• некорректное поведение модели (бесконечный ростпроизводства) при определенных комбинациях параметров производства;• отсутствие четко выработанных критериев оценки деятельностипредприятия;• недостаточная обоснованность применения данной модели кпредприятия конкретной отрасли;• независимость переменных издержек от объема производства;• отсутствие взаимосвязи между стоимостью продукции и спросомна него.Данная работа посвящена устранению указанных недостатков идальнейшему развитию данной модели.192, Построение модели деятельности предприятия2.1. Базовая модель предприятия2.1.1. Базовые предпосылкиДля построения любой модели необходимо сделать определенныепредположения о моделируемом объекте, в нашем случае о предприятии и обалгоритме его деятельности. Очевидно, что любая модель являетсяупрош,ением реальной жизни, и задача автора модели заключается в подборетаких ограничений, которые, с одной стороны, позволят создать наглядную иреализуемую на практике модель, а с другой, позволят получать результаты,по которым можно строить предположения о поведении объектамоделирования. В нашем случае объектом моделирования являетсяпромышленное предприятие. Рассмотрим вводимые ограничения:1. Предприятие производит один вид продукции, однородной покачеству, покупательской привлекательности и себестоимости. Этоусловие накладывает ограничение однородности напроизводственную базу предприятия, а именно: модельнеприменима, например, для производства с различными типамистанков или с несколькими заводами, имеюш;ими различнуюэффективность. Более того, предполагается, что производственнаябаза остается однородной в течение всего моделируемого периода,т.е. средства производства не выходят из строя, и ихэффективность меняется во времени синхронно.2. Продукция предприятия в каждый момент времени реализуется поединой цене, то есть средства, поступающие предприятию отреализации каждой единицы товара, одинаковы. Это условиеоднородности базы реализации предприятия, накладываетограничение на маркетинговую политику предприятия. Так, мы не20можем продавать товары в различных сегментах рынка поразличной цене и не можем, например, выйти на некоторыйудаленный рынок с другой ценой товара.3. Все свободные денежные средства предприятия используются дляпроизводства товара. Предполагается, что предприятие неиспользует финансовый рынок для размещения средств и нехранит определенный стабилизационный запас ликвидных активовв качестве страховки конъюнктурных изменений на рынке.4. Количество товаров, хранящихся на складе, не влияет на издержкипредприятия.5. Все налоги, выплачиваемые предприятием, представляются в видесуммы оборотного налога (налога, уплачиваемого с оборотапредприятия в течение одного периода) и налога с доходов(налога, уплачиваемого с разницы между выручкой предприятия иего затратами на производство). Кроме того, предполагается, чтоналоговый период совпадает с шагом моделирования. Это оченьсерьезное ограничение, поскольку, как правило, налоговоезаконодательство крайне сложно и очевидно не представимо внастолько упрощенной форме. В случае России это соответствуетупрощенной системе налогообложения, когда налогоплательщикплатит единый налог на оборот и фиксированные отчисления вфедеральные фонды. Но даже в случае упрощенной системыналогообложения налоговый период (квартал) не будет совпадать сшагом моделирования.По сути, эти ограничения позволяют использовать модель лишь длямелких или, возможно, средних предприятий, производящих единственныйвид продукции, в то время как для крупных, диверсифицированныхпредприятий эта модель без серьезных изменений малоприменима. В этомслучае модель можно использовать для отдельных секций производства,21удовлетворяющих условиям 1-4, но при этом необходимо, во-первых,потребовать отсутствие перекрестного субсидирования между различнымисекциями производства, а во-вторых, уделить особое внимание расчетуналогов, уплачиваемых с данного производства.2.1.2. Описание алгоритма деятельности предприятия.В рамках данной модели предполагается, что деятельностьпредприятия состоит из идентичных повторяющихся циклов, каждый изкоторых делится на три фазы:1. Формирование фииаисовых ресурсов.Финансовые ресурсы предприятия формируются за счет двух источников:• внешний поток денежных средств, не связанный с хозяйственнойдеятельностью предприятия (инвестиции, кредиты, изъятие прибыли,погашение кредитов и т.д.);• реализация (выручка) предприятия, получаемая от продажипродукции предприятия, произведенной за прошлые периоды.2. Осуществление выплат, не связанных неносредственно спроизводством продукции, формирование оборотиых средств.На втором шаге предприятие осуществляет фиксированные выплаты, несвязанные с объемом производства (арендная плата, заработная плата,фиксированные платежи в бюджет и т.д.), и осуществляет уплату налогов(с оборота и с прибыли), начисленных по результатам деятельности запредыдущий период. Оставшиеся денежные ресурсы составляютоборотные средства предприятия, которые будут использоваться дляпроизводства продукции.223. Производство продукции.На третьем шаге предприятие использует все свои оборотные средствадля производства продукции, стоимость производства единицы товараопределяется переменными издержками предприятия.Крайне важным вопросом является выбор размера цикламоделирования предприятия, ведь практически любое производствопредставляет собой непрерывный процесс, то есть выбор длины цикламоделирования лежит на совести составителя модели. Длина цикла моделивлияет на модель двумя основными способами:• Уплата налогов и постоянных издержек. Расходы по уплатеналогов и постоянных издержек происходят на каждом цикле модели.Поэтому, если взять слишком маленький шаг моделирования, например,один день, то денежные средства, идущие на уплату налогов, оплатуаренды, заработной платы и т.д., будут изыматься из производства не вконце соответствующего периода, а ежедневно. Конечно, можнорассчитать соответствующую долю издержек (например, ежедневнаязарплата равна одной тридцатой месячной зарплаты), однако это приводитк неточности моделирования, связанной с тем, что деньги, потраченные науплату расходов с первого по предпоследнее число месяца, не участвуют впроизводстве товара. В этом случае приходится рассматривать векторпостоянных издержек, различные элементы которого будут отличатьсядруг от друга (так, в элементах соответствующих последним дням месяцабудет присутствовать член, отвечающий за выплату зарплаты, а вэлементах, соответствующим другим дням месяца, - нет). К сожалению,,подобный метод не подходит для налогов, поскольку их абсолютнаявеличина априори не известна.• Скорость оборота средств. Как будет подробно показано далее,необходимым условием экономической непротиворечивости моделиявляется отсутствие продаж товара, произведенного в текущем периоде.23Это означает, что при слишком большой длине шага моделированияденежные средства окажутся «замороженными» в виде неоконченногопроизводства. Так, если производственный цикл составляет пять дней, аразмер шага модели - десять, то в рамках модели произведенный товарбудет лежать на складе дополнительные пять дней, прежде чем поступитна реализацию.В целом вопрос подбора оптимального шага модели остаетсяоткрытым. В случае отсутствия налогов представляется целесообразнымвыбирать как можно меньшую длину и применять вектор постоянныхиздержек. В случае, когда налоги существенно влияют на хозяйственнуюдеятельность предприятия, необходимо подбирать размер цикла, стремясь кминимизации искажений, вносимых в модель.Управление предприятием осуществляется изменением следующихпараметров:• внешний поток денежных средств на шаге t - ' - потокденежных средств, не связанный с хозяйственной деятельностьюпредприятия (инвестиции, кредиты, изъятие прибыли, погашениекредитов и т.д.);• цена единицы продукции Р - денежные средства, получаемыепредприятием от реализации одной единицы продукции.Внутреннее состояние предприятия определяется следующими двумяпеременными:• объем производства продукции на шаге t ^ ' - количество единицпродукции, произведенной на шаге t• оборотные средства на шаге t ' - объем средств, используемыхдля производства товаров на шаге t.2, Нормированность единицейСумма элементов вектора реинвестирования не может быть большеединицы, так как невозможно продать товара больше, чем его былопроизведено. При сумме элементов, равной единице в течение т периодов,реализуется весть товар, при сумме меньше единицы - часть произведенноготовара не реализуется.3. Нулевой первый элементНервый элемент вектора реинвестирования должен быть равным нулю.Таким образом, не можем использовать авторегрессионые уравнения. Этосвойство, с экономической точки зрения означает, что товары,произведенные на данном шаге, не могут быть проданы на этом же шаге.Рассмотрим, к чему приводит несоблюдение данного свойства. Запишемуравнение 2.4 с ненулевым первым элементом вектора реинвестирования(2.6)Тогда, решая это уравнение относительно объема производства на каждомшаге, получаемEV-Pxa,x(l-q-r) ^ ' ^30Как мы видим, в знаменателе появляется дополнительный член сотрицательным знаком (цена товара и первый элемент векторареинвестирования неотрицательны, сумма налогов предполагается меньшейединицы) и что гораздо более критично, появляется неопределенность2,->оопри EV = PxagX{\-q-r), лишенная с экономической точки зрениякакого-либо смысла. Данная проблема присутствовала в ряде предыдущихмоделей [15,24,25], На самом деле происходит следующее: если средства отреализации товара, произведенного на данном шаге, возвращаютсяпредприятию на этом же шаге, то они используются для производства новоготовара. Если средств, поступивших от реализации единицы товара,произведенного на данном шаге, достаточно для производства новойединицы товара (без учета налогов EV = Pxao), то производство возрастаетдо бесконечности.Поскольку государство возмещает все расходы (хотя и забирает всювыручку), мы можем произвести бесконечное количество товара.2,2,3, Экономический смысл применения вектора реинвестированияДля большинства моделей, используемых при описании деятельностипредприятия, характерно описание зависимости состояния предприятия накаждом шаге от состояния на предыдущем шаге и внещних параметров, Вкачестве параметров состояния модели обычно используются общий остатоктовара и объем денежных средств. Такой подход не только приводит к31значительному упрощению уравнения состояния, но и требует на порядокменьше вычислительных ресурсов при практическом применении. В чем жепреимущество регрессионного подхода? К сожалению, в предыдущихработах по данной теме этот вопрос не получил должного рассмотрения.Главной особенностью регрессионных моделей является возможностьотслеживания остатков товара, произведенного за каждый отдельныйпредыдущий период. Таким образом, в отличие от моделей, предполагающихналичие склада с общими остатками продукции, в данной модели точноизвестен остаток продукции, произведенной на прошлом, позапрошлом и т.д.шагах. Однако сама по себе эта возможность не дает каких-либодополнительных преимуществ. Для того, чтобы ей воспользоваться,необходимо принципиально изменить подход к формированию векторареинвестирования a = (aQ,a^,...,a^)2.2.4. Простейшие вектора реинвестированияКомпонент вектора реинвестирования с индексом / а, характеризуетдолю товара, произведенного / периодов назад, которая будет реализована наданном шаге.• Максимальная скорость оборачивания денежных средств.Ограничение ^ а , <1 выполняется автоматически, посколькут 1^ 1 при р, <1 ДЛЯ i = \,m33Рассмотренные случаи позволяют более обосновано подходить кпостроению вектора рефинансирования, однако, осталось объяснить сэкономической точки зрения, почему продается доля от товара,произведенного на каком-то периоде, а не доля от общего остатка товара наскладе. Кроме того, для слз^^аев с фиксированной скоростью илификсированным объемом продаж более целесообразным представляетсямоделирование с отслеживанием общих остатков на складе, а не остатковкаждой конкретной партии.2.2.5. Товар с потребительскими качествами, существенно зависящими от еговозрастаУчет остатков каждой партии товара имеет смысл только в случае, еслисвойства товара (для нас главным является спрос на товар) существеннозависят от его возраста. Это свойство характерно, в первую очередь, дляпродукции пищевых предприятий и иных скоропортящихся производств,либо товаров, подвергающихся крайне быстрому моральному устареванию.Для каких товаров наблюдается это свойство? Рассмотрим, например,,продукцию предприятия, производящего автомобили, и продукциюкомбината, выпекающего мучные изделия. Продукция автокомбинатапрактически не теряет потребительских свойств в зависимости от возраста(конечно, в разумных пределах), в то время как продукция хлебокомбинатаначинает терять свою потребительскую привлекательность уже наследующий день после производства (хлеб, выпеченный вчера, менеепривлекателен для покупателя по сравнению с хлебом, выпеченным сегодня).Для описания зависимости привлекательности товара от его возраста введемвектор g = (gi,g2'->§m)- На вектор ^наложим только условиенеотрицательности gi>O;i = \,m. Это связано с тем, что в рамках данной34модели товар не покупается и отрицательный спрос на товар эквивалентеннулевому.Рассмотрим четыре типа вектора возрастной привлекательности товарадля четырех классов товаров1. Товар с потребительскими качествами, не зависящими от возраста. Длябольшинства товаров промышленного производства (автомобили,бытовая техника и т.д.) характерна независимость привлекательностидля покупателя от возраста, в этом случае вектор возрастнойпривлекательности имеет вид g = (l,l,.",l). Необходимо отметить, чтопри достаточно больших значениях т привлекательность даже такихтоваров будет падать.3. Товары с потребительскими качествами, убывающими с возрастомтовара. К этой категории относятся относительно скоропортящиесятовары, для которых с течением времени постепенно ухудшаютсяпотребительские качества (хлебобулочные изделия,неконсервированые бакалейные продукты, свежие овощи, фрукты ит.д.). Для них вектор возрастной привлекательности имеет видg = igi,g2>-'Sm), где g, >gjupn i<j. Например вектор может иметь видg = (l,0.8,0.6,0.4,0.2,0...,0)4. Товары с потребительскими качествами, возрастающими с возрастомтовара. Для этой достаточно редкой категории потребительскиекачества возрастают со сроком жизни товара (например, вино), и35вектор g имеет вид g = igi,g2,-,gj, где g, >^^.при i>j. Например,вектор может иметь вид g = (0.2,0.4,0.6,0.8,1,1...,!)2.2.6. Комбинированный вектор реинвестированияРассмотренный вектор возрастной привлекательности невозможноиспользовать напрямую в качестве вектора реинвестирования, но его можноиспользовать для построения такого вектора а = (ао,а,,...,а„), который быучитывал информацию о зависимости качества товара от его возраста.Управление с помощью внешнего потока денежных средств нозволяетрассмотреть поведение модели в условиях различных схем финансирования:как за счет собственных средств, так и используя заемные источникифинансирования. В случае заемных средств в векторе F появляютсяотрицательные элементы, соответствующие периоду погашения кредита.В отличие от управления потоком денежных средств, управление ценойединицы продукции не так однозначно. Хотя вектор рефинансированияникак не зависит от вектора F, он существенно зависит от цены напродукцию неявно в исходной модели 2.5 и явно через нараметр ценовойпривлекательности товара S^B модели 2.9. Очевидно, что некорректноварьировать цену на продукцию без внесения соответствующих корректив ввектор рефинансирования, то есть, появляется необходимость использоватьвместо фиксированного параметра ценовой привлекательности функциювида Sp=SpiP). Вместе с тем, характер этих изменений и алгоритм ихвнесения ранее подробно нигде не рассматривался.В дальнейшем рассмотрении мы будем использоватьмодифицированную модель 2.9, очевидно, что все построения такжеприменимы для оригинальной модели с использованием соответствующеговектора реинвестирования392.3.2. Взаимосвязь между спросом и ценойЗависимость между спросом на товар и его ценой - одна изцентральных концепций современной экономической теории. Дляабсолютного большинства товаров спрос на товар убывает при росте цены(обратное наблюдается в совсем уж в экзотических случаях). Предложениена рынке, наоборот, возрастает с увеличением цен, так как продавцы готовыреализовать большее количество товара. Зависимость спроса от ценыпринято обозначать функцией S(P), первая производная этой функцииS'{P) = —^называется эластичностью спроса по цене и характеризуетчувствительность спроса к изменениям цены, эластичность для большинстватоваров меньше нуля. Близкие к нулю значения эластичности означают, чтоспрос на данный товар неэластичен, то есть мало зависит от изменений цены.Например, для предметов первой необходимости (хлеб, макароны, недорогиелекарства) характерна низкая эластичность. Действительно, если стоимостьхлеба возрастет даже на 50%, продажи его упадут не слишком сильно, так,как он останется одной из основ рациона питания российского потребителя.2.3.3.Построение функции спросаДля построения функции спроса нам будет необходимо сначалаопределить вид искомой функции, а затем подобрать параметры,определяющие конкретное значение функции спроса.Таким образом, новая модель может быть использована для определенияоптимальной цены на товар в условиях той или иной рыночной ситуации.Необходимо особо отметить, что введенная переменная - ценовойагрегат Р'- не является управлением. Мы исходим из предпосылки, чтопредприятие действует в условиях, близких к совершенной конкуренции, ине способно влиять на состояние рынка. Таким образом, Р', являетсяаприорно заданным параметром модели.2.4. Случай убывающей производительности капитала2.4.1. Поведение модели в случае неограниченных ресурсовОдним из основных недостатков модели, задаваемой уравнением 2.10,является то, что при достаточных исходных ресурсах объем производстварастет экспоненциально. Этот недостаток присущ всем моделям подобногорода [15,24,25]. В случае экспоненциального роста оказывается, что черездостаточно небольшое количество шагов моделирования объем производствавырастает на несколько порядков и продолжает бурно расти. Очевидно, что43такое поведение нехарактерно для абсолютного большинства предприятий,более того, такое поведение ставит под вопрос возможность моделированияхозяйственной деятельности на сколь угодно длительном интервале.Слишком бурный рост также приводит к очевидной переоценкеэффективности использования заемных ресурсов, так как оптимальнойстратегией оказывается привлечение максимально возможного количествакредитов практически на любых условиях.Необходимо отметить, что при рассмотрении зависимости объемапроизводства от времени на первом шаге, объем производства существеннобольше, чем на втором-третьем. Это связано с тем, что в начальный моментвремени все ресурсы предприятия представлены в денежной форме и могутбыть использованы для производства продукции, в то время как напоследующих шагах значительная доля ресурсов «заморожена» в видеостатков продукции на складе и не может использоваться для производствапродукции.2.4.2. Вариант разоренияПри недостижении критического объема оборотных средств прибыль,получаемая на каждом шаге, недостаточна для оплаты постоянных издержеки налогов, в этом случае объем производства начинает падать, при этом с45течением времени ситуация только усугубляется. На рисунке 1 изображеназависимость объема нроизводства от времени для случаев F = 4765 и F = 4770.В первом случае предприятие окончательно разоряется (объем денежныхсредств становится недостаточным для покрытия расходов) на 28 шаге, вовтором на 35 шаге.Г=4770F=47651200100080060040020000115111011151120номер шага•1\•*1251\\1301\135 40•Рис.12.4.3. Вариант стабилизацииПри объеме оборотных средств, близком к критическому значению,объема прибыли, получаемого на каждом шаге, хватает только для оплатыпостоянных издержек и налогов, объем производства остается практическинеизменным, при этом, в зависимости от соотношения между объемомоборотных средств и критического значения объем производства либо оченьмедленно растет, либо очень медленно падает. При этом скорость измененияобъема производства постоянно растет, и если взять достаточно большойсрок моделирования, то предприятие либо перейдет к экспоненциальномуросту, либо разорится. На рисунке 2 изображена зависимость объемапроизводства от времени для случаев F = 4771 и F = A111. В первом случае46объем оборотных средств чуть меньше критического значения, во втором чуть больше. Как видно, в течение первых 20 шагов объем производстваотносительно стабилен и практически не отличается для обоих случаев. Нашагах 20-30 различия проявляются более явно и, наконец, на шаге 39предприятие № 1 разоряется, а предприятие № 2 наращивает объемпроизводства.20001500 F=4771F=47721000 номер шагаРис.22.4.4. Вариант экспоненциального ростаПри значительном превышении критического объема оборотныхсредств прибыль, получаемая на каждом шаге, достаточно не только дляоплаты постоянных издержек и налогов, но и для наращивания объемапроизводства. Скорость роста объема производства при этом постояннонарастает. На рисунке 3 изображена зависимость объема производства отвремепи для случаев F = A115 и F = 4785. В первом случае предприятие засорок шагов наращивает объем почти до тысячи единиц продукции за шаг, вовтором почти до трех тысяч.473.5.103-10 F=4775Рис.3номер шага2.4.5. Общий вид зависимости объема производства от первоначальныхфинансовых вложенийДля более наглядного представления значения критической массыоборотных средств построим для моделируемого предприятия зависимостьпроизводства на 40 шаге в зависимости от объема первоначальныхфинансовых вложений. График этой зависимости представлен на рисунке 4.487-106-10 5-10 объемпроизводства4-10 3-10 2-10 МО 4770 4780 4790 4800 4810 4820 4830 4840 4850инвестицииРис.4Как нетрудно заметить, начиная с критического значения, каждаядополнительная единица финансовых вложений увеличивает объемпроизводства примерно на шестьсот единиц продукции. Более того,, отдачаот каждой дополнительной единицы продукции с увеличением глубинымоделирования возрастает экспоненциально. На рисунке 5 отображеназависимость изменения объема производства при увеличении F с 4779 до4780 в зависимости от глубины моделирования.4925002000 1500 измсиенипе объемапроизводства1000 10 15 20 25 30глубина моделирования35Рис.52.4.6. Закон убывающей нроизводительности каниталаЭкспоненциальный рост нроизводства связан с тем, что в данноймодели не учитывается закон возрастающих нредельных издержек, которыйутверждает, что с ростом объема нроизводства цена изготовления каждойпоследующей единицы продукции больше стоимости изготовленияпредыдущей. На первый взгляд, это противоречит принцину экономии отмасштаба, заключающемся в том, что масштабное производство продукциивыгоднее кустарного. Это кажущееся нротиворечие связано с тем, чтоиздержки делятся на два типа - постоянные и переменные. Постоянныеиздержки остаются неизменными и их величина на единицу нродукциинадает с увеличением объема нроизводства, однако неременные издержки наединицу растут и в какой-то момент эффект от роста неременных издержекначинает перекрывать эффект уменьшения удельных ностоянных издержек.На рисунке 6 изображена зависимость общих издержек от общего объема50производства, на рисунке 7 изображена зависимость удельных издержек отобъема производства.1.5-10постоянные I • 10издержкипеременныеиздержку! ^ ^5000 Рис. 6постоянныеиздержкипеременныеиздержкисуммарные1500 г1000 г500 Рис. 75 10 15объем прозводства20объем производстваВ классической экономической теории, эта особенность выраженазаконом убывающей производительности капитала.2.4.7, Производственная функция Кобба-ДугласаПроизводственная функция Кобба-Дугласа — самая известная из всехпроизводственных функций (то есть функций, устанавливающих51зависимость объема производства от используемых ресурсов)неоклассического типа — была открыта в 20-х годах нашего векаэкономистом Дугласом в сотрудничестве с математиком Коббом и получилаширокое применение в эмпирических исследованиях. В общем случае дляпроизводства, использующего «различных ресурсов, производственнаяфункция записывается в виде 2 = ^х][/г,"', где Q - объем производства,/?,количество i-того ресурса, а,- коэффициент производительности i-тогоресурса, причем выполняется условие Уа,. <1. Очевидно, что приа,. <1 выполняется закон убывающей производительности капитала,поскольку каждая новая единица любого ресурса, используемая впроизводстве, увеличивает выпуск товара на меньшую величину, чемпредыдущая единица того же самого ресурса. 2.4.8.Построение новой моделиРассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа дляпроизводства, использующего единственные ресурс Q = Ay.R"". Как можнозаметить, уравнениеМОЖНО представить в виде производственной функции Кобба-Дугласа соследующими значениями параметровEV52При этом в качестве ресурса выступает объем оборотных средств на шагеt.Необходимо отметь, что сопоставить параметры модели параметрампроизводственной функции можно не единственным образом, однакопримененное сопоставление является простейшим и достаточным в рамкахнастоящей работы.Теперь для видоизменения модели с учетом закона убывающейпроизводительности капитала достаточно ввести параметр скоростиубывания производительности капитала EVincw записать уравнение 2.5 ввиде.Q, =-!-*(((l-^-A-Ca-/X^xniin(5(P.p-) xa,xg,,l-xVy) ++ F,-EC + r(Q,,^ xEV + EQf"'"')Полученная модель обладает свойством убывания производительностикапитала (в нашем случае - оборотных средств предприятия) и, хотя она ирастет при неограниченном увеличении финансовых ресурсов, характерэтого роста принципиально иной.Необходимо отметить, что при переходе от уравнения 2.5 к уравнению2.11 нельзя оставлять неизменным значение переменных издержек EV,поскольку частично переменные издержки учитываются при вычислениизнаменателя уравнения. Таким образом, если мы будем использоватьзначение переменных издержек, полученное исходя исключительно изэмпирически полученных параметров хозяйственной деятельностипредприятия, модель 2.9 будет показывать заниженную эффективностьпроизводства.В этой связи, имея данные о величине переменных издержек длянекоторого объема производства, необходимо осуществить пересчетэффективных переменных издержек в сторону их уменьшения. Пересчетпредставляется целесообразным производить таким образом, чтобы объем53производства на первом шаге был одинаков для первой и второй модели. Дляпримера, рассмотренного далее, такой пересчет осуществлялся путемподбора параметра, в дальнейшем мы будет использовать ужескорректированный размер переменных издержек.Таким образом, полученная модель имеет потенциально болееширокую область применения, поскольку может использоваться длямоделирования поведения предприятия не только на первом этапе взрывногороста, но и для построения оценок эффективности предприятия в средне- идолгосрочной перспективе. Кроме того, тот факт, что финансовые вложениясверх определенного предела приносят предприятию все меньше и меньше55пользы, позволяет более адекватно оценивать эффективность привлечениязаемных финансовых ресурсов.Еще одним значительным достоинством новой модели является то, чтос ее помощью можно попытаться ответь на вопрос, «Когда наступает времявыводить денежные средства из предприятия»? Поскольку эффективнаядоходность вложений в деятельность предприятия падает, то по достижениинекоторой критической отметки (например, доходности по банковскимдепозитам) владельцы предприятия могут принять рещение либо омодернизации/расширении производства, что изменит структурныепараметры предприятия и уменьшит эффективные издержки, либо обизъятии прибыли путем, например, выплаты дивидендов. Способностьоценить наступление такой точки - особенность новой модели, не присущаяболее ранним вариантам.2.5. Построение итоговой модели2.5.1.Моделирование в детерминированном и недетерминированном случаеПри моделировании реального предприятия, кроме проблемыидентификации параметров, остро встает и другая проблема моделирования в условиях неопределенности. Для большинства предприятийневозможно гарантировать, что ситуация на рынке останется неизменной втечение всего периода моделирования. Особенно резко эта проблема стоитдля моделирования в течение длительного времени. В том случае, если намизвестны некие прогнозы изменения тех или иных параметров конкурентнойсреды, мы можем учесть это в модели, используя вместо фиксированныхпеременных векторы, размерностью совпадающие с длительностьюмоделирования. То есть, записать модель 2.11 в виде56Q, = ^ Z" ' XИ задать в качестве условий вектораТакой способ позволяет моделировать деятельность предприятия вусловиях изменяющейся внешней среды, но лишь в том случае, когда намизвестны априори эти изменения. К сожалению, такое случается достаточноредко. В этой связи, как правило, делается предположение о том, чтоизменение некоторого параметра является случайным.Как правило, предполагается, что значение параметра на шаге tпредставляет собой случайную величину, распределенную либо равномерно,либо согласно нормальному закону распределения и имеющуюматематическое ожидание, равное либо базовому значению, либо значениюна предыдущее шаге. Этот способ можно комбинировать с имеющимисяпрогнозами изменения параметров, предполагая математическое ожидание,равное прогнозному значению. Воздействие случайности на результатымоделирования принято называть помехой, а использование случайныхзначений какой-либо величины - применением помех к этой величине. Какправило, помеха применяется к цене и переменным издержкам, реже - кпостоянным издержкам и крайне редко - к значениям налоговых ставок.2.5.2.Влияние помехи на результаты моделирования57Использование стохастического подхода к моделированию не толькопозволяет осуществлять моделирование в условиях неопределенныхпараметров, но и позволяет использовать модель для исследованияустойчивости предприятия к воздействиям рыночной среды. В отличие отдетерминированного подхода, когда для получения результатовмоделирования требовался один цикл вычислений, в недетерминированномслучае количество вычислений резко возрастает, так как для относительноточной оценки результатов требуется моделирования ста и более цикловвычисления. Полученные результаты усредняются для получения итоговойоценки. Для оценки достаточности количества циклов моделированиянеобходимо сравнивать результаты нескольких экспериментальных серий,различия между полученными результатами стремятся к нулю приувеличении количества испытаний в каждой серии. В том случае, еслиразличия между сериями с точки зрения организатора являются достаточномалыми, наращивание количества испытаний в каждой серии можнопрекратить.Степень разброса результатов моделирования существенно зависят отдисперсии случайных величин, задающих параметры модели. Чем большедисперсия, тем большее количество циклов моделирования потребуется дляполучения приемлемых результатов.Стохастический подход позволяет оценить вероятность наступлениятого или иного события (например, разорения или выхода на заданныйуровень производства). Для этого необходимо произвести сериюэкспериментов и усреднить значение функции критерия (функция,принимающая значение 1 в случае наступления исследуемого события и О иначе) по количеству испытаний в серии. Полученная величина будетявляться вероятностью наступления события. Принцип определениянеобходимого количества испытаний в каждой серии моделированияаналогичен случаю определения количества испытания для получениясредних значений.582.5.3.Недостатки существующих методов применения помехи.К сожалению, применение помехи к переменным модели имеет и рядсущественных недостатков. Во-первых, вызывает сомнение экономическоеобоснование применение помехи к ряду параметров, например, к налогам.Во-вторых, применение помехи к цене невозможно, если трактовать цену какуправление, кроме того, изменение цены должно вызывать соответствующееизменение в векторе рефинансирования предприятия. И, в-третьих, наиболеераспространенный метод применения помехи к переменным издержкамделает более рискованные предприятия (то есть предприятия, случайныепараметры которых имеют большую дисперсию) необоснованнопривлекательными. Третий недостаток является принципиальным для оценкивлияния риска на деятельность предприятия, поэтому рассмотрим его болееподробно.Как правило, помеха применяется к постоянным ЕС и переменным£F издержками предприятия. Влияние переменных издержек на объемпроизводства предприятия ограничено. Предположим, что постоянныеиздержки заданы случайной величиной, равномерно распределенной наотрезке [0;2£'С] и имеющей математическое ожидание ЕС. Рассмотримэкстремальные случаи (для простоты вычислений будем считать параметрпроизводительности оборотных средств £F/«c равным единице, в случаеEVinc<\ принципиальная картина остается той же, однако вычисленияотчасти теряют свою наглядность):1. Постоянные издержки равны нулю59в этом случае уравнение 2.9 записывается в видеTv,{r-\)ECИ объем производства возрастает на величину щ =EV,2. Постоянные издержки равны 2ЕС. В этом случае уравнение 2.9записывается в видеQ, =-^((^-Я, - 'F,- 2ЕС, + r{Q,,, X EV, + 2ЕС,)){r-\)ECИ объем производства падает на ту же величину AQ, = EV.Как несложно увидеть, помеха оказывает симметричное влияние наобъем производства, то есть, увеличение или уменьшение постоянныхиздержек на одинаковую величину приводит, соответственно, к одному итому же изменению объема производства в абсолютном выражении. Графикзависимости объема производства на 40 шаге от величины постоянныхиздержек изображен на рисунке 9.6050004000 3000объемпроизводства2000 h1000 200 400 600 800постоянные издержки1000 1200 1400Рис.9Рассмотрим теперь применение помехи к переменным издержкампредприятия EV. Как и в предыдущем случае, предположим, что издержкизаданы случайной величиной равномерно распределенной на отрезке [0;2£'Г]и имеющей математическое ожидание EV. Снова рассмотримэкстремальные случаи.Помеха в данном случае оказывает несимметричное влияние на объемпроизводства, то есть увеличение или уменьшение постоянных издержек наодинаковую величину приводит к различному изменению объемапроизводства в абсолютном выражении. График зависимости объемапроизводства на 10 шаге от величины переменных издержек изображен нарисунке 10.На рисунке 11 представлена зависимость вероятности разоренияпредприятия за первые 50 шагов от объема финансовых вложения, нарисунке 12 представлена зависимость среднего объема производства на 50шаге от объема финансовых вложений.Исходя из данных моделирования, предприниматели, имеющиедостаточный объем денежных средств, должны искать максимальнорисковые рынки и получать на них значительную прибыль практически безриска для своих вложений. Такие выводы, безусловно, лишеныэкономического смысла и требуют модификации недетерминированногоподхода к построению модели.2.5.4. Применение помехи к вектору рефинансированияВ условиях реальной экономики наиболее существенные риски, накоторое идет предприятие, это риски, связанные с реализацией продукции.Если гарантировать неизменность издержек можно заключениемдолгосрочных контрактов, изменения в налоговом законодательстве носят, вобщем случае, не случайный характер, то гарантировать реализациюфиксированных объемов потребительских товаров по фиксированной ценекрайне сложно как в случае самостоятельного распространения продукции,так и при сотрудничестве со специализированным ритэйлером.К сожалению, в рамках оригинальной модели, задаваемой уравнением2.5 моделировать помеху к скорости реализации продукции, то есть квектору рефинансирования, не представляется возможным в силу жесткихограничений, накладываемых на него. Однако в модели, задаваемойуравнением 2.9, методика построения вектора реинвестирования значительноослабляет требования к его компонентам. Наиболее перспективным инаглядным выглядит применение помехи к параметру ценовой65привлекательности S^. Увеличение ценовой привлекательности товараприводит к увеличению скорости продаж продукции, и наоборот.Параметр ценовой привлекательности в модели 2.11 задается функциейS{P,P') зависящей от цены на товар, установленной предприятием изначением ценового агрегата Р\ Цена на товар является управлением ипоэтому не может являться объектом применения помехи. Вместе с темценовой агрегат Р* является внешним параметром модели,характеризующим состояние конкурентной среды, и вполне может менятьсяслучайным образом. Предположение о случайном характере Р' такжеявляется оправданным с экономической точки зрения. Р' содержитагрегированную информацию о ценовой политике всех участников рынка,производящих товары, цена на которые связана со спросом на товармоделируемого предприятия (то есть, ?* содержит информацию о цене нетолько конкурирующих товаров, но, например, и товаров, дополняющихпродукцию предприятия). Поскольку мы исходим из предположения, чтомоделируемое предприятие действует в рыночных условиях, близких ксовершенной конкуренции, количество внутренних компонентов Р'достаточно велико. Исходя из этого предположение о том, что ценовойагрегат Р* является нормально распределенной случайной величиной,представляется обоснованным.Случайные изменение параметра .Р ' приводят к изменению значенияценовой привлекательности товара S^ и, соответственно, векторарефинансирования, а' ={а\,а'2,...,а'т). Необходимо отметить, что, как и вслучае с помехой, применяемой к переменным издержкам EV, помеха,применяемая к ценовому агрегату Р' , оказывает несимметричное влияние наобъем производства. Это связано с тем, что максимальный выигрыш дляпредприятия заключается в том, что вектор рефинансирования примет вида' ={1,0 ,...,0), то есть, весь производимый товар будет реализован уже наследующем шаге. В то время как при самом неблагоприятном развитии66событий вектор рефинансирования принимает вид а* =(0,0 ,...,0). То есть,продукция предприятия вообще не реализуется и списывается по окончаниюсрока хранения. Кстати, такое введение помехи обеспечивает логичное сэкономической точки зрения свойство, заключающееся в том, чтопредприятия, производящие продукцию с ограниченным сроком хранения,более рискованны по сравнению с предприятиями, производящиминепортящуюся продукцию.Вместе с тем, в отличие от применения помехи к переменным издержкамприменения помехи к ценовому агрегату сдвигает оценку деятельностипредприятий в сторону менее рискованных рынков, что соответствуетэкономической практике. Кроме того, применение помехи к спросупозволяет избежать наблюдавшейся ранее ситуации, когда достаточнобольшое количество вложенных средств практически гарантировалоприбыльность предприятия вне зависимости от степени рискованностирынка.2.5.5 Построение итоговой моделиНа протяжении этой главы модель, задаваемая уравнением 2.5претерпела значительные изменения как в наборе нараметров, так и ихвзаимосвязи между собой. Сформулируем окончательно итоговую модель.Внутреннее состояние предприятия определяется следующими двумяпеременными:• объем производства продукции на шаге t ^'• оборотные средства на шаге t 'Недетерминированность рыночной среды выражена в случайномизменении параметра Р' согласно закону Р" =max{N{P'o,S),a),rj\e• ^ - параметр, характеризующий минимально возможно значениеценового агрегата• ^ - уровень волатильности конкурентной среды (степень риска)68Основное уравнение модели, оиределяющее объем производства нашаге t, имеет следующий вид:(2.12)Модель, заданная уравнением 2.12, отличается от модели, заданнойуравнением 2.5, следующим образом:• вектор реинвестирования разделен на три компонента, имеющихопределенный экономический смысл;• введено понятие спроса на продукцию предприятия, спроссущественным образом зависит от цены на продукцию;• управление предприятием осуществляется путем установленияцены на продукции;• модифицированная модель учитывает закон убывающейпредельной полезности;• помеха применяется к спросу на продукцию предприятия.Предельный анализ модифицированной модели практически неотличается от предельного анализа исходной модели, за исключением случаястремящейся к бесконечности цены. Для рассмотрения этого случаяиспользуем рассмотренную ранее функцию спросаS(P, Р') = max(O, «о + а, Р + «2 Р')ПараметрЦепаЗначениеСтремится кбесконечностиОбъем ироизводства Q,_{F,-ECY'"'EVЭкоиомическийсмыслПри цене на продукциюбольшей некоторогопредельного значенияспрос на нродукциюпредприятия69обращается в 0 инроизводство ведетсятолько за счетвнешнегофинансированияТаблица. 2Вопросам, связанным с практической реализацией модели, тестовому

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Умеренков, Дмитрий Евгеньевич

4. Заключение

В работе рассмотрена математическая модель хозяйственной деятельности предприятия. Модель основывается на регрессионно-авторегрессионных моделях, представленных в [15,24,25]. По сравнению с предыдущими моделями такого типа ликвидированы неточности, приводившие к бесконечному росту производства предприятия при определенных комбинациях структурных параметров. В представленной модели сделаны следующие улучшения:

• Вектор реинвестирования разделен на компоненты, имеющие ясный экономический смысл. Это позволяет более обдуманно подходить к построению вектора реинвестирования и делать экономически обоснованные предположения о его виде.

• Введена зависимость привлекательности товара от цены, устанавливаемой на продукцию предприятия. Таким образом, в данной модели микроэкономические показатели хозяйственной деятельности предприятия увязываются с макроэкономическими показателями рынка продукции предприятия и параметрами конкурентной среды.

• Реализовано управление посредством изменения цены на продукцию предприятия. В отличие от предыдущих моделей, в которых оптимальные результаты хозяйственной деятельности соответствовали максимально возможной цене на продукцию предприятия, в описанной модели увеличение стоимости продукции ведет к снижению спроса на товар и, соответственно, ухудшению показателей деятельности предприятия. Таким образом, делается возможной постановка вопроса о нахождении оптимальной цены на продукцию.

• Введен закон убывающей производительности капитала. В отличие от предыдущих моделей, показывавших экспоненциальный рост при благоприятных условиях окружающей среды, представленная модель учитывает отрицательность предельной производительности капитала.

• Рассмотрено применение помехи, действующей на спрос на продукцию предприятия. Изменения вектора реинвестирования предприятия позволяют воздействовать помехой на состояние рынка продукции предприятия и, соответственно, на спрос на производимый товар.

• Разобраны возможные способы практической реализации модели, представлена оценка вычислительной сложности для рекурсивного и матричного способов реализации модели.

Значительное внимание уделено критериям оценки деятельности предприятия. Впервые для данного класса моделей в качестве оценки эффективности деятельности предприятия использовалась норма доходности инвестиций в предприятие. Впервые рассмотрено влияние инвестиций в основные средства на общую финансовую эффективность проекта. Рассмотрен вопрос определения оптимальной цены на продукцию предприятия, оптимального объема инвестиций в оборотные средства и порогового значения инвестиций в основные средства.

Изучено влияние помехи различной силы на финансовый и экономический результаты деятельности предприятия. Для оценки результатов деятельности использовались средние показатели по серии из ста испытаний с заданной силой помехи. Определены интервалы, в которых увеличение силы помехи приводит к улучшению средних показателей предприятия.

Результаты, полученные в диссертации, позволяют уже на «модельном» уровне выявить стратегические закономерности, которые необходимо учитывать предприятию в своей хозяйственной деятельности, а разработанная математическая модель позволяет не только оценить перспективы инвестиций в предприятие, но и позволяет определить значения параметров управления, на которых достигаются лучшие показатели хозяйственной деятельности предприятия.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Умеренков, Дмитрий Евгеньевич, 2006 год

1. Андреев С., Дьячков В., Мазур JL, Мячин В. Международные стандарты управления как инструмент контроля за инвестициями.// PC Week/RE № 36 (160), 1998. - с. 34.

2. Багриновский К. А, Модели и методы экономической кибернетики.-М.: Экономика, 1973.-206 с.

3. Багриновский К. А., Матюшок В. М. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика): Учеб. пособие. М.: Изд-во РУДН, 1999.-183 с.

4. Бенькович Е. С., Колесов Ю. Б., Сениченков Ю. Б. Практическое моделирование динамических систем. СПб.: БХВ -Петербург, 2002.-464 с.

5. Гальперин Д. М. Актуальные проблемы изучения и освоения методов компьютеризированного интегрированного производства в машиностроении // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2000. №1. с. 33-36.

6. Гарин А. Н. Модели текущего планирования производства. М.: Статистика, 1978. - 86 с.

7. Гранберг А. Г. Динамические модели народного хозяйства: Учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по спец. «экон. кибернетика». -М.: Экономика, 1985. 240с.

8. Данилин В. И. Экономико-математические модели годового планирования на предприятии. -М.: Наука, 1975. 149с.

9. Дж. Форрестер Основы кибернетики предприятия (индустриальная динамика), перевод с английского. М.: Прогресс, 1971.-340 с.

10. Добровольский Е.Ю., Карабинов Б.М., Боровков П.С., Глухое Е.В., Бреслав Е.П. Бюджетирование: шаг за шагом. — СПб.: Питер, 2005. -448с.

11. Егорова Н. Е. Моделирование деятельности малого предприятия, функционирующего в экономическом симбиозе с крупным промышленным объектом. // Экономика и математические методы. 1999, том 35, №2, с. 102115.

12. Ермоленко Б. В. Управленческое проектирование: оптимизация выборов инвестиционных стратегий с помощью математического моделирования // Менеджмент в России и за рубежом, № 5,2003, с. 124-143.

13. Ефимова М. Р. Статистические методы в управлении производством. -М.: Финансы и статистика, 1998. 151 с.

14. Жданов С.А. Экономические модели и методы управления. М.: Дело и Сервис, 1998. 176 с.

15. Зеваков А. М. Логистика материальных запасов и финансовых активов. СПб.: Питер, 2004. - 352 с.

16. Иваншов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. -М.: Наука, 1979.-304 с.

17. Канторович Л. В. и др. Экономика и оптимизация / Отв. Ред. В. Л. Макаров. М.: Наука, 1990 - 248 с.

18. Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: изд-во АН СССР, 1960, 348 с.

19. Канторович Л. В., Горстко Л. Б. Оптимальные решения в экономике. -М.: Наука, 1972.-232 с.

20. Кладка М. В. Применение ИТ в малом бизнесе // Успехи современного естествознания, № 7, 2004. с. 101-102.

21. Ковалев В. В. Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 1998.-512с.

22. Козырев А. А. Информационные технологии в экономике и управлении: Учебник. Издание 3-е, перераб. и доп. СПб.: Изд-во Михайлова В. А., 2003. - 496 с.

23. Краснов А.Е., Краснуля О.Н., Большаков О.В., Шленская Т.В. Информационные технологии пищевых производств в условиях неопределенности. М.:ВНИИМП, 2001. 496 с.

24. Краснов А.Е., Умеренков Д.Е. Построение детерминированной дискретной динамической модели хозяйственной деятельности предприятия в краткосрочной перспективе // Хранение и переработка сельхозсырья. 2005. № 3 С.11-14.

25. Краснов А.Е., Умеренков Д.Е. Среднесрочная дискретная динамическая модель хозяйственной деятельности предприятия, производящего портящийся товар, в условиях нестабильности спроса// Проблемы управления. 2006 № 3 с.48-51.

26. Краснов А.Е., Умеренков Д.Е. Моделирование деятельности предприятия, производящего товар ограниченного срока хранения, в условиях нестабильности спроса. Журнал «Информационные технологии».

27. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин ИМ., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов. Учебник для ВУЗов. 2-е изд. М.: ЮНИТИ, 2004-471 стр.

28. Кузин Б., Юрьев Б., Шахдинаров Г. Методы и модели управления фирмой. СПб: Питер, 2001. - 432 с.

29. Леонтьев В. В. Экономические эссе. Теории, исследования, факты и политика: пер. с англ. М.: Политиздат, 1990. - 415 с.

30. Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование. -М.: Наука, 1984.-392 с.

31. Мазур Л. Системы управления для промышленных предприятий. Выдержки из досье. // PC Week/RE № 14 (188), 1999. с. 32.

32. Машшнас Е. 3. Процессы планирования в экономике: информационный аспект. Изд.' 2-е, доп и переработ. - М.: Экономика, 1971. - 390 с.

33. Макаров В. Л. Модели и компьютеры в экономике. М.: Знание, 1979.64 с.

34. Макаров В. Л., Маршак В. Д. Модели оптимального функционирования отраслевых систем. М.: Экономика, 1979. -160с.

35. Макаров В. Л„ Рубинов А. М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973. - 336 с.

36. Моисеев Н. Н. Простейшие математические модели экономического прогнозирования. М.: Знание, 1975. - 64 с.

37. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. 352 с.

38. Немчинов В. С. Экономико-математические методы и модели. Изд. 2-е, переработ, и доп. - М.: Мысль, 1965. — 478 с.

39. Первозванский А. Н. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975. - 616 с.

40. Питеркин С. В., Исаев Д. В, Оладов Н. А. Точно вовремя для России. Практика применения ERP-систем. М.: Альпина Паблишер, 2002. - 368 с.

41. Растригин JI. А. Системы экстремального управления. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1974.-632 с.

42. Сабитов Ш. Р. Динамическое моделирование функциональной структуры производственных процессов / Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н., КГТУ им. Туполева А. Н., Казань, 2004 г.

43. Сиразетдинов Т. К. Сорокин Е. В. Динамическое моделирование финансовых операций с использованием сложных процентов. Вестник КГТУ им. А. Н.Туполева. 1999. №1, с.31-34.

44. Сиразетдинов Т. К, Богомолов А. И.,Дегтярев Г. Л.Аналитическое проектирование динамических систем: Учебное пособие. Казань: КАИ, 1978. - 78 с.

45. Усиков Т. Н. 1С: Предприятие. Эффективное программирование. М.: Новое знание, 2004. - 448с.

46. Финансы предприятий. / Под ред. Колчиной Н. В. М.: ЮНИТИ, 1998.413 с.

47. Шеян И. От решений к платформе. / Computerworld Россия № 8, 2005 // издательство «Открытые системы». с. 12.

48. Шургин Ю. П. Прогнозирование потребности в продукции на основе динамической модели. Электронная техника, 1981, №1(38), с. 7-10.

49. Экономико-математические модели в системе управления предприятиями. // под ред. Н. П. Федоренко, Н. П. Шубкиной. М.: Наука, 1983.-393 с.

50. A. Bahrami, D. Sadowski, S. Beahrami, Enterprise architecture for business process simulation// Simulation Conference Proceedings, 1998. Winter. Volume 2, pp. 1409-1413

51. L. M. Benveniste, J. A. Scheinkman, On the Differentiability of the Value Function in Dynamic Models of Economics // Econometrica, Vol. 47, No. 3 (May, 1979), pp. 727-732

52. P.J. Billington, J.O. McClain, L.J. Thomas, Mathematical Programming Approaches to Capacity-Constrained MRP Systems: Review, Formulation and Problem Reduction // Management Science, Vol. 29, No. 10 (Oct., 1983), pp. 1126-1141

53. A.S. Caplin, D.F. Spulber Menu Costs and the Neutrality of Money // Quarterly Journal of Economics, Vol. 102, No. 4 (Nov., 1987), pp. 703-726

54. T. Cogley, J. Nason, Output Dynamics in Real-Business-Cycle Models // American Economic Review 1985 Volume 85, pp. 492-511

55. G. Fulford, P. Forrester, A. Jones, Modelling with Differential and Difference Equations, 1997-415p.

56. J.J. Glen, Mathematical Models in Farm Planning: A Survey // Operations Research, Vol. 35, No. 5 (Sep. Oct., 1987), pp. 641-666

57. W.H. Ip, K.Y. Chau, S.F. Chan, Implementing ERP through continuous improvement // International Journal of Manufacturing Technology and Management. Volume 4, Number 6 / 2002, pp. 465 478

58. W.H. Ip, B. Chen, An enterprise model and the organisation of ERP // International Journal of Computer Applications in Technology. Volume 21, Number 3 / 2004, pp. 79 86

59. Shtub, Enterprise Resource Planning (Erp). Springer, 1999 -168p.

60. A. Takayama, Mathematical Economics. Cambridge University Press, 1985-768p.

61. Tinham, B. The MRP/ERP user satisfaction survey 1999. // Manufacturing Computer Solutions. Vol. 5, no. 7, July-Aug. 1999 pp. 19-22

62. D.J. Pannella, B. Malcolmb, R.S. Kingwella, Are we risking too much? Perspectives on risk in farm modeling // Agricultural Economics

63. Volume 23 June 2000, p. 69

64. H. Varian, A Model of Sales // American Economic Review, 1980. Volume 70, pp. 651-659

65. D.A. Zinnes, A Consumer's Guide to Texts on Mathematical Modeling // World Politics, Vol. 31, No. 3 (Apr, 1979), pp. 434-456