Моделирование метрических характеристик информационного пространства на основе римановой геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Агранович, Юрий Яковлевич

• Агранович, Юрий Яковлевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Агранович, Юрий Яковлевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОБЪЕКТОВ.

1.1. Обзор основных проблем ГИС - технологий.

1.2. Обзор основных проблем и методов пространственного анализа.

1.3. Цель исследования и постановка задач.

2. ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССА ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ.

2.1. Доказательство, ход рассуждений и передача информации.

2.2. Конструкция: наложение и стирание смыслов, рекурсия.

2.3. Метод амплификации как способ обращения к предкаузальной конструкции.

2.4. Представление энтропии конечных схем интегралами рациональных функций.

2.5. Определение геометрической информации и энтропии.

2.5.1. Двойное отношение четырёх прямых.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование метрических характеристик информационного пространства на основе римановой геометрии»

Актуальность проблемы. В середине прошлого века была разработана и внедрена технология, позволяющая устанавливать кабельную связь между компьютерами, находящимися на большом географическом удалении друг от друга. Это обусловило начало интенсивного формирования информационного пространства. Исторические особенности указанного процесса привели к первоначальному развитию алгоритмического, а более общо- формально алгебраического подхода к решению возникающих здесь задач. Однако уже в середине 80-х годов стало понятно, что обмен информацией на компьютерном уровне приобретает широкомасштабный, всеохватывающий характер, что приводит к необходимости решать не только логические задачи компьютерного взаимодействия, но также проблемы, связанные с выбором места расположения крупных информационных узлов. Уровень развитости информационных технологий данного региона определяет, наряду с другими факторами, степень управляемости при решении широкого спектра жизненно важных социальных, экономических и геополитических проблем, с другой стороны, многие принципиальные административные решения с необходимостью должны подкрепляться соответствующим развитием информационной инфраструктуры данного региона. Выполнение такого сравнительного анализа требует разработки специальных методик, в основе которых лежит, прежде всего, решение проблемы построения модели информационного пространства.

На эмпирическом уровне с проблемой отсутствия общего подхода к описанию процессов геоинформационного взаимодействия сталкиваются при разработке геоинформационных систем - ГИС-технологий, а также при создании базовых технологий перспективных средств радиоэлектронной борьбы. Таким образом, назрела необходимость создания абстрактной геометрической модели информационного пространства, направленной на увеличение эффективности взаимодействия информационных объектов в зависимости от их географического положения. Пространственный анализ компьютерных сетей важен не только с практической точки зрения, но также и с теоретичес-кой, так как геометрическое рассмотрение логических устройств естественно приводит к появлению геометрической теории логических структур. В дальнейшем такая теория сможет классифицировать утверждения по количеству различных доказательств, которыми они могут быть установлены. В этом смысле теорема К. Гёделя о неполноте арифметики будет на одном краю спектра, как теорема о существовании истинных утверждений с нулевым числом доказательств, а на другом краю будет теорема о существовании утверждений с континуальным количеством различных доказательств. Эта ситуация аналогична существованию бесконечного числа замкнутых геодезических на многообразии неотрицательной кривизны.

Таким образом, актуальность рассматриваемой в диссертации проблемы определяется необходимостью решения широкой совокупности задач по оптимальному расположению географически удаленных объектов в пространстве, с целью увеличения эффективности информационного взаимодействия.

Работа выполнена в соответствии с межвузовской комплексной научно-технической программой ИТ-601 «Перспективные информационные технологии высшей школы», Межведомственной программой «Создание национальной сети компьютерных телекоммуникаций для науки и высшей школы» Российского фонда фундаментальных исследований и Министерства науки и технологии России.

Цель исследования: разработать теорию математического моделирования информационного пространства как риманового многообразия ограниченной гауссовой кривизны, направленную на повышение эффективности информационного взаимодействия географически удалённых объектов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи: провести системный анализ методов моделирования информационного взаимодействия географически удаленных объектов; развить методы пространственного анализа применительно к решению проблемы моделирования метрических характеристик информационного пространства; построить функциональное представление элементов информационного пространства; сконструировать геодезическую модель информационного пространства, адаптированную к основным положениям римановой геометрии; разработать и внедрить численный метод, позволяющий эффективно решать задачи геометрического моделирования информационного взаимодействия объектов.

Методы исследования. В диссертации используется теория математического моделирования, методы римановой геометрии, алгебраическая геометрия, теория вещественных алгебраических многообразий, элементы функционального анализа и теории функций комплексного переменного.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной: математическая модель информационного пространства как двумерного риманова многообразия с метрическим тензором, определяемым уравнением Монжа - Ампера с гауссовой кривизной, зависящей от взаимного расположения источников информации, позволяющая формировать базовые элементы теории информационного поля; интегральный оператор, обеспечивающий решение оптимизационных задач взаимного расположения объектов, имеющих информационную природу за счет матричного представления структуры информационного пространства; метод конструирования геодезической модели информационного пространства как риманова многообразия с ограниченной гауссовой кривизной, обеспечивающий построение метрического тензора и определение кратчайшего расстояния между двумя заданными точками на построенной поверхности; метод амплификации, позволяющий создавать качественно новые предметные области, за счет усиления наименее значимых признаков рассматриваемых объектов; метод энтропийной замены, отличающийся использованием энтропии в качестве параметра группы сдвигов по траекториям решений дифференциальных уравнений и позволяющий исследовать поведение динамических систем в пространственно-энтропийном континууме; обоснование корректности предиката равенства геометрической информации, основанное на полных решениях прямой и обратной задач определения эквиинформационных кривых на плоскости и позволяющее представить математическую модель информационного пространства в форме алгебраического многообразия; численный метод факторизации матричного представления структуры информационного пространства, основанный на установленной взаимосвязи между смешанными дискриминантами и совместным спектром семейства коммутирующих операторов, обеспечивающий увеличение скорости вычисления собственных значений полиномиального матричного пучка.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод конструирования геодезической модели информационного пространства как риманова многообразия с ограниченной гауссовой кривизной.

2. Метод амплификации, позволяющий создавать качественно новые предметные области, за счет усиления наименее значимых признаков рассматриваемых объектов;

3. Метод энтропийной замены, позволяющий исследовать поведение динамических систем в пространственно-энтропийном континууме;

4. Доказательство корректности предиката равенства геометрической информации, основанное на полных решениях прямой и обратной задач определения эквиинформационных кривых на плоскости.

5. Численный метод факторизации матричного представления структуры информационного пространства, основанный на свойствах совместного спектра семейства коммутирующих операторов.

Практическая значимость результатов исследований. Полученные в диссертации результаты являются основой для разработки новых геоинформационных систем - ГИС-технологий, направленных на решение задач картографирования в сфере здравоохранения, а также для решения задач управления в социальных и экономических системах. Результаты могут быть использованы для решения задач пространственной локализации источников информации, в частности, для учета влияния рельефа местности на распространение УКВ радиоволн, а также для решения прямых и обратных задач конструирования в кузнечно-прессовом машиностроении.

Реализация работы. Результаты диссертации внедрены в проектные разработки архитектурной мастерской «Фонте Гайя» (г. Москва), а также используются в учебном процессе для студентов Воронежского института высоких технологий, обучающихся по специальности 071900 «Информационные системы», и для студентов Воронежского государственного технического университета, обучающихся по специальности 060800 «Экономика и управление на предприятии».

Апробация работы. Основные положения и научные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на III Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах в г. Куйбышеве, 1988 г.; на Всесоюзной конференции "Нелинейные задачи математической физики" в г. Черновцы, 1989 г.; на IX Всесоюзном симпозиуме «Эффективность: качество и надежность систем "человек - техника"» в г. Воронеже, 1990 г.; на Всесоюзном совещании - семинаре "Интерактивное проектирование устройств и автоматизированных систем на персональных ЭВМ" в г. Воронеже, 1991 г.: на семинарах в Воронежском лесотехническом институте; на семинаре в Воронежском госуниверситете (руководитель; на конференции профессорско-преподавательского состава Воронежского политехнического института, 1991 г.; Всероссийском совещании - семинаре "Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине" (Воронеж, 1994,1997); научно-методической конференции "Проблемы качества образования" (Уфа, 1996); Республиканской электронной научной конференции "Современные проблемы информатизации" (Воронеж, 1997); Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000); IV Международной научно-практической конференции "Экономика, экология и общество России в 21-м столетии" (Санкт-Петербург, 2002); IV Workshop of Partial Differential Equations: Theory, Computations and Applications. Rio de Janeiro, 1995(Brazil); Gesellschaft fur Ange-wandte Mathematik und Mechanik, Regensburg, 1997(Germany): International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the Centenary Anniversary of Ivan G. Petrovskii, Moscow, 2001 (Russia), Международной конференции "Современные сложные системы управления (Воронеж, 2003), XVI международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (Ростов-на-Дону, 2003), 35-43 ежегодных научных сессиях профессорско-преподавательского состава ВГТУ (Воронеж, 19952003), а также на научных семинарах кафедры автоматизированных и вычислительных систем ВГТУ.

Публикации. Автором по теме диссертации опубликовано более 60 работ, в том числе монография. 9 статей опубликовано в журналах указанных в перечне ВАК. Основные публикации представлены в конце автореферата. 14 работ опубликовано без соавторов. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателем предложены: в [1, 2, 10, 12, 16] - получение неравенств выражающих априорные оценки; в [3] — алгебраическая модель системы; в [4] - разработка численного метода факторизации полиномов; в [6] - приложение теории полугрупп операторов к анализу динамики нелинейных механических систем; в [9] - исследование некорректной динамической системы; в [39] - вычисление асимптотических разложений; в [18, 24, 26, 29, 32] - качественный анализ дифференциальных уравнений; в [5, 33, 34, 35, 36, 37, 41] - постановка задачи моделирования информационного пространства и метод её решения; в [25] - метод энтропийной замены; в [17, 20, 22, 28] - постановка задачи разработки численного метода для операторов с доминирующей диагональю.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 124 наименований и трёх приложений. Работа изложена на 310 страницах и содержит 35 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Агранович, Юрий Яковлевич

6.6. Основные результаты и выводы

1. Для случая отрезков одинаковой длины и осевой симметрии расположения доказана лемма 6.1. утверждающая приводимость определяющего полинома шестой степени к произведению полиномов первой, второй и третьей степеней. В декартовой системе координат с центром в точке пересечения прямых, на которых лежат отрезки и осью абсцисс, совпадающей с осью симметрии расположения, указанная факторизация имеет вид:

2 2 а + 2е / \ у- у ---х + е[е + а) cos — у2 cos— 2 v

2е + а) cos У jt(jt2 -{а + 2e)cos ■ х + е(е + я)], где а - длина отрезков, е — расстояние от левых концов отрезков до начала координат, у - угол между прямыми, на которых лежат отрезки.

2. Для рассмотренного выше случая найдены углы, под которыми из точек кубической кривой видны отрезки: cos 2а 1 J q2)cos2 (р

2\ 2 q jcos (p a sinr где a - угол, под которым виден один отрезок, q =---— =

2d 1-cos/ а 1 т-г- - расстояние от точки пересечения серединных

2е + а) 1 - cos у перпендикуляров к отрезкам до центра отрезка.

3. Дана конструкция специальной системы окружностей , точки пересечения которых, если они существуют, определяют искомое множество, задача, таким образом, эквивалентно сформулирована в терминах указанной конструкции. Эквивалентность доказана в леммах 6.2-6.4.

4. Полностью решена задача для двух параллельных центрированных отрезков, решения представлены в виде двух кубических кривых в декартовой системе координат с центром в середине большего отрезка, лежащего на оси Од;: х2[у{\ + р)-ph\ + {\ + р)уг-hy2{p + 2)-y[b2 + ра2 -h2]+ a2ph = О, х2[у(1 - р)+ ph] + (1 - р)у3 + h(p ~2)у2+ y[h2 + а\р - Ь2 ]- a2ph = О, где h - расстояние между прямыми, на которых лежат отрезки, а{ -половина длины большего отрезка, Ьх - половина длины меньшего отрезка, р = 0< р<\. а,

Исследованы все частные случаи, в которых возможна дальнейшая факторизация кубических многочленов на компоненты второй и первой степени.

5. Сформулировано определение общего взаимного расположения двух отрезков на плоскости:

- расположение отрезков общее, если две пары прямых, соединяющих концы отрезков и прямые, на которых лежат отрезки пересекаются в трех различных точках.

6. Дано полное решение задачи в случае общего расположения отрезков на плоскости. В полярной системе координат с центром в точке пересечения прямых, на которых лежат отрезки и поперечной осью преходящей через один из них получена факторизация на две кубические кривые вида: r2 -2r еj+ cos#>sin(^ - y)~ xxtgy ps\n{p — y)-smqy

2 A sin (p psm{<p - y)-sirup 2 2 + Cl\ Xq , r2 -2r ex cos (p sin($> - у) + л;, tgy psin((p - y) + sm(p

2 A sin (p p sm{(p - y) + sm (p 1

2 2 "h d-\ Xq у где x^ - расстояние от центра системы координат до центра второго отрезка, jc0 - расстояние от центра системы координат до центра первого отрезка, е\ =рх о +

A = \[a2-b2+^~xl cos у cos у

- метрические параметры задачи.

7. Доказано, что полученные кубики могут иметь не более 7 точек пересечения. Из них 5 точек - это концы отрезков и точки пересечения прямых, на которых эти отрезки лежат.

8. Исследовано асимптотическое поведение полученных кубических кривых. Доказано, что в случае общего расположения отрезков все асимптоты пересекаются в одной точке и эта точка совпадает с точкой пересечения прямых, на которых расположены отрезки.

9. Рассмотрена обратная задача восстановления положения отрезков и их длин по заданным кривым. Доказано, что на ориентированной плоскости обратная задача однозначно разрешима, для всех случаев расположения отрезков.

10. Таким образом полностью обоснована корректность определенного в гл. 1 предиката* «равенство». Это позволяет рассматривать «уравнения». На этом пути получено уравнение, позволяющее определять углы, под которыми видны оба отрезка из точек, найденных выше кривых. В случае, когда левый конец первого отрезка совпадает с началом координат, оно имеет вид: sin2 (р , sin2 (р , Р—;—г--я +

4 cos у sin(^> -/)■ sin2 (а±(р)-^ sin(a ± (р) sin 2 q> sin(<p -у) p + sm.(psm(a±(p), . , • \

-----— (cos q> ш\(р - a ) + sin у ) cos / q - sin (p sin2 (a ± <p) = 0.

11. Рассматривая предыдущее соотношение как квадратичную форму, мы получили необходимое и достаточное условие ее приводимости в виде следующего уравнения

FHa,(p)= sin3 (р- Sln ^cos2{у-(р) + sin2(^-/) / ч sin 2(р sin (а±(р)- 0

Это уравнение полностью свободно от всех метрических параметров задачи. Его форма определяется только геометрической конструкцией: предикатом инцидентности с геометрической областью определения. Поэтому полученное уравнение имманентно собственно конструкции. Изложенные соображения являются основанием для построения геофизической модели информационного пространства. Именно: при вариации угла у от 0 до к семейства кривых (а,(р) = 0 образуют градусную сетку на единичной сфере, задавая тем самым систему координат, внутренне присущую понятию доступности информации, как прямой связи между геометрическими объектами. Возможность установления такой связи моделируют указанные кривые. Собственно сам термин «информационное пространство» содержательно идентифицирует именно возможность или невозможность связи между объектами предметной области. Но это и есть предикат инцидентности. Здесь необходимо сказать несколько слов о нашем понимании моделей. Мы понимаем модель в сильном смысле, т.е. как уравнение или систему уравнений в том или ином смысле адекватно отражающих рассматриваемую предметную область. Такое понимание связано с основными чертами, присущими естественнонаучным моделям, в физике, например, это законы сохранения, в экономике - уравнения баланса или принцип минимакса в смешанных стратегиях. Можно приводить и другие примеры - все они связаны с глубоким проникновением в свойства предметной области, так как условия совместности системы уравнений или, что тоже самое, условия существования решений определяют принципиальные свойства предметной области. Однако, достичь такого понимания бывает весьма не просто, поэтому моделирование, как правило, начинается с более слабых моделей, т.е. моделей, выражаемых неравенствами или системой, состоящей из уравнений и неравенств. Здесь вопрос о разрешимости может оказаться тривиальным и необходимо подключать некоторый вариационный принцип или теорию оптимизации, для того, чтобы отобрать подходящие решения из огромного множества возможных решений, удовлетворяющих исходной системе неравенств. На этом пути, мы, в конечном счете, также получаем сильную модель в форме интегральных или дифференциальных уравнений, условие разрешимости которых определяют требуемые свойства предметной области.

12. Приведена конструкция геофизической модели в общем случае. Конструкция основана на введении в точках кубики гауссовой кривизны К , как преобладание суммы углов а,(р и у над я и построению локального куска поверхности с помощью решения уравнения Дарбу с построенной так функцией кривизны. Это дает возможность восстановить метрический тензор g. и, решая уравнение Якоби найти геофизическую и, следовательно, найти кратчайшее расстояние между двумя заданными точками на построенной выше поверхности.

Мы используем следующее определение предиката (см. [44]). Предикатом называется булевозначная функция на произвольной фиксированной области определения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Обоснована аналогия между процессом передачи информации и ходом рассуждения в логическом доказательстве математического утверждения. Логическому доказательству поставлен в соответствие геометрический объект с этальной топологией, где в качестве эталона выбран один шаг доказательства. Описана категория дополнительная к доказательству, это предкаузальная конструкция с основными операциями: наложение смысла, стирание смысла и рекурсией.

2. Сформулирована и доказана теорема 2.1. Пусть на поверхности неотрицательной кривизны задана выпуклая фигура и определены семейства параллельных секущих геодезических. Если граница фигуры имеет длину р , то для длин медиан т справедлива оценка 1 sup т < —р.

3. Сформулирован метод амплификации, как способ обращения к предкаузальной конструкции.

4. Установлена возможность представления энтропии конечных схем через определенные интегралы от рациональных функций, что позволяет выражать комбинаторные свойства конечной схемы в терминах взаимного расположения интервала интегрирования, нулей и полюсов рациональной функции. (Теорема 2.2). Установлена инвариантность относительно действия группы проективных преобразований (следствие 2.2).

5. Дано и обосновано геометрическое обобщение определения энтропии (информации): пусть (DX,D2,D3,D4) упорядоченная четверка векторных прямых, проходящих через одну точку, будем называть обобщенной энтропией четырех прямых величину логарифма двойного отношения этих прямых. hDV = In

A d2 Pa А

6. Дано и обосновано определение геометрической информации: пусть А - связное компактное множество на плоскости и р - это произвольная фиксированная точка этой плоскости, назовем геометрической информацией о множестве А, содержащейся в точке р величину угла ср, под которым из точки р видно множество А.

7. Сформулируем концепцию, в рамках которой определена цель исследования и проведена постановка задачи.

Под моделью мы понимаем уравнение или систему уравнений, решения которых, а также условия разрешимости определяют принципиальные свойства моделируемой предметной области. Также модели мы называем моделями в сильном смысле. Если формализация модельных соотношений содержит кроме уравнений также неравенства, то модели такого типа мы называем моделями в слабом смысле.

Однако записать уравнения становится возможным лишь после того, как корректно определен предикат "равенство" в данной предметной области. Основная цель настоящего исследования состоит в том, чтобы дать полное определение предмета "равенство" в геометрии взаимного расположения объектов плоскости. При этом "объект" формализован двумя своими основными свойствами: иметь "протяженность" и быть "ограниченным". Такая формализация позволяет представить простейший объект как произвольно расположенный отрезок из плоскости.

8. Задача проектирования оптимальной информационной сети рассмотрена как задача минимизации целевой функции - расстояния в весовом метрическом пространстве с метрикой, определяемой выражением где d(I13I2)- модификация метрики Хемминга, т - среднее время задержки при передаче одного символа, п - количество подключённых к провайдеру хостов, ш - количество правильно переданных символов (m n), X - нормированная мера, q(t,s) - расходы по установлению физического канала между точками t и s, g(t,s) - геодезическое расстояние между точками t и s. В этой главе предполагается, что атлас топологически склеен из карт, на каждой из которых метрика евклидова. Далее мы существенно изменим это положение, применяя геодезическую, длина которой будет зависеть от взаимного расположения источников информации, в данном случае - хостов.

9. Введен прием замены времени на информационную или термодинамическую энтропию. В силу законов термодинамики, в условиях отсутствия равновесия энтропия, строго возрастающая скалярная функция времени и может выполнять роль "внутреннего времени", присущего данной системе. Этот прием позволяет перевести рассмотрения из многообразия "пространство-время" в многообразие "пространство-энтропия". При этом удается успешно преодолеть проблему нелокальной по времени разрешимости дифференциальных уравнений, т. к. они оказываются разрешенными не локально, но не по времени, а по энтропии.

10. Получено решение задачи о двух отрезках с одним общим концом в параметрической форме.

11. Получено полное решение задачи указанной в п. 2. 3: доказана л

Теорема 3.1 Если у = О и а = b, то решениями задачи 3 являются все точки заданных отрезков.

Если у = 0 и <2 = 6, то решениями задачи 3 являются все точки плоскости.

Если у = л и а = b ,то решениями задачи 3 являются точки отрезков и прямая, проходящая через общее начало отрезков и ортогональная им.

Если у = л и аФ b, то решениями задачи 3 являются точки отрезков и окружность (3.3.17).

Если у Ф 0; л и <2 = 6, то решениями задачи 3 являются точки дуги ВС окружности, описанной вокруг треугольника ABC и биссектриса угла ВАС.

Если у фО; л и аФ b, то решениями задачи 3 являются точки неограниченных ветвей и часть кривой (3.3.25), попадающая внутрь треугольника ABC, а также основание высоты, опущенной на сторону ВС, в случае, если треугольник ABC остроугольный.

12. В случае, когда отрезки имеют один общий конец, рассматривается задача о том, под какими углами из точек кривой видны оба отрезка. В главе рассмотрены все частные случаи, которые соответствуют совпадению концов отрезков. Для случая у -— установлено, что cos 2 а = cos 2yt cos 2ср 1 - sin 2yx sin 2<p ' где yx - угол при основании прямоугольного треугольника со сторонами а и Ъ.

Для случая произвольного у установлено, что где р = — отношение длин отрезков. а

13. Доказана теорема 4.1 о базисах Рисса. Теорема 4.1. Семейство функций

F{<p) содержит базисы Рисса L г тс тс> пространства

2,± л

2' 2

14. Доказана теорема 4.2 о структуре оператора с ядром Fr(<p) = cos 2а. л 2

Оператор 0|/(^)] = с ^Fs((p)f(<p)d(p действует в пространстве L

К 7Г 2'2 ' является сжатием с нормой II 0 II< ——Матрица оператора 0 в ортонормированном базисе {cosH^,sin7z^}°°„=o имеет вид

0= О

-Р О

IV О о о о о о о о

Р(1-Р2) О о Р(1-Р2) о о

Р2(1-Р2)

Р2(1-Р2)

Рп(1-Р2)

15. Для случая отрезков одинаковой длины и осевой симметрии расположения доказана лемма 6.1. утверждающая приводимость определяющего полинома шестой степени к произведению полиномов первой, второй и третьей степеней. В декартовой системе координат с центром в точке пересечения прямых, на которых лежат отрезки и осью абсцисс, совпадающей с осью симметрии расположения, указанная факторизация имеет вид: У

2 г а+ 2е / \ у + х---х + е\е + а) cos У

2 7 у cos — 2 х - (2е+ a)cos^-j +

1/

- (а + 2e)cos — • х + е(е + а)], где а — длина отрезков, е - расстояние от левых концов отрезков до начала координат, у - угол между прямыми, на которых лежат отрезки.

16. Для рассмотренного выше случая найдены углы, под которыми из точек кубической кривой видны отрезки: cos 2 а = l-(l + #2)cos2 (р iqrvj

COS (р a sm у где а - угол, под которым виден один отрезок, q =

2d l-cos/ а 1 расстояние от точки пересечения серединных

2е + а) 1 - cos у перпендикуляров к отрезкам до центра отрезка.

17. Дана конструкция специальной системы окружностей , точки пересечения которых, если они существуют, определяют искомое множество, задача, таким образом, эквивалентно сформулирована в терминах указанной конструкции. Эквивалентность доказана в леммах 6.2-6.4.

18. Полностью решена задача для двух параллельных центрированных отрезков, решения представлены в виде двух кубических кривых в декартовой системе координат с центром в середине большего отрезка, лежащего на оси Ох: х2[y(l + р)~ph\ + (1 + Ру - hy2(р + 2)- у[ь2 + pa2 -h2] + a2ph = О, х2[у(1 - р)+ ph}+{ 1 - р)уъ + h{p - 2У + y[h2 + а2р - b2]- a2ph = О, где h - расстояние между прямыми, на которых лежат отрезки, ах -половина длины большего отрезка, Ъх - половина длины меньшего отрезка,

Р — ~> 0</?<1. ах

Исследованы все частные случаи, в которых возможна дальнейшая факторизация кубических многочленов на компоненты второй и первой степени.

19. Сформулировано определение общего взаимного расположения двух отрезков на плоскости:

- расположение отрезков общее, если две пары прямых, соединяющих концы отрезков и прямые, на которых лежат отрезки, пересекаются в трех различных точках.

20. Дано полное решение задачи в случае общего расположения отрезков на плоскости. В полярной системе координат с центром в точке пересечения прямых, на которых лежат отрезки и поперечной осью преходящей через один из них получена факторизация на две кубические кривые вида: r2 -2r ех cos (р sin(#> - у) ~ -«i tgY psin((p - y)-sirup

2 A sin (p psin((p - y)-sirup

2 2 + ax -x0, r2 -2r ex cos(psin((p-y) +xxtgy psin((p - y) + sin(p

2 A sin (p psin(<p - y)+sirup

2 2 + ax -x0, где jc, - расстояние от центра системы координат до центра второго отрезка, jc0 - расстояние от центра системы координат до центра первого отрезка,

-г 1 е,- =рх0 +cos у

А.12 а2 -Ы +

Х/1 V метрические параметры cos у задачи.

21. Доказано, что полученные кубики могут иметь не более 7 точек пересечения. Из них 5 точек — это концы отрезков и точки пересечения прямых, на которых эти отрезки лежат.

22. Исследовано асимптотическое поведение полученных кубических кривых. Доказано, что в случае общего расположения отрезков все асимптоты пересекаются в одной точке и эта точка совпадает с точкой пересечения прямых, на которых расположены отрезки.

23. Рассмотрена обратная задача восстановления положения отрезков и их длин по заданным кривым. Доказано, что на ориентированной плоскости обратная задача однозначно разрешима, для всех случаев расположения отрезков.

24. Таким образом полностью обоснована корректность определенного в гл. 1 предиката* «равенство». Это позволяет рассматривать «уравнения». На этом пути получено уравнение, позволяющее определять углы, под которыми видны оба отрезка из точек, найденных выше кривых. В случае, когда левый конец первого отрезка совпадает с началом координат, оно имеет вид: sin2 ф , sin2 (р 2 4 4cos у sin (р sin(a ± <р) sin(^> - /) • sin2 (а±(р)-^ sin(a ± ^»)sin2^»sin{^» - /)

Р + cos у cos (р sin(^) - Л) + sin /) q - sin (psin2 (a ± <p) = 0.

25. Рассматривая предыдущее соотношение как квадратичную форму, мы получили необходимое и достаточное условие ее приводимости в виде следующего уравнения

F*(a,<p) = sin3 (р - ^ cos2(у - <р) + sin

Xv-r) sin а±(р)sin 2(р 0

Это уравнение полностью свободно от всех метрических параметров задачи. Его форма определяется только геометрической конструкцией: предикатом инцидентности с геометрической областью определения. Поэтому полученное уравнение имманентно собственно конструкции. Изложенные соображения являются основанием для построения геодезической модели информационного пространства. Именно: при вариации угла у от 0 до тс семейства кривых F*(a,(p) = 0 образуют градусную сетку на единичной сфере, задавая тем самым систему координат, внутренне присущую понятию доступности информации, как прямой связи между геометрическими объектами. Возможность установления такой связи моделируют указанные кривые. Собственно сам термин «информационное пространство» содержательно идентифицирует именно возможность или невозможность связи между объектами предметной области. Но это и есть предикат инцидентности. Здесь необходимо сказать несколько слов о нашем понимании моделей. Мы понимаем модель в сильном смысле, т.е. как уравнение или систему уравнений в том или ином смысле адекватно отражающих рассматриваемую предметную область. Такое понимание связано с основными чертами, присущими естественнонаучным моделям, в физике, например, это законы сохранения, в экономике - уравнения баланса или принцип минимакса в смешанных стратегиях. Можно приводить и другие примеры - все они связаны с глубоким проникновением в свойства предметной области, так как условия совместности системы уравнений или, что тоже самое, условия существования решений определяют принципиальные свойства предметной области. Однако, достичь такого понимания бывает весьма не просто, поэтому моделирование, как правило, начинается с более слабых моделей, т.е. моделей, выражаемых неравенствами или системой, состоящей из уравнений и неравенств. Здесь вопрос о разрешимости может оказаться тривиальным и необходимо подключать некоторый вариационный принцип или теорию оптимизации, для того, чтобы отобрать подходящие решения из огромного множества возможных решений, удовлетворяющих исходной системе неравенств. На этом пути, мы, в конечном счете, также получаем сильную модель в форме интегральных или дифференциальных уравнений, условие разрешимости которых определяют требуемые свойства предметной области.

26. Приведена конструкция геодезической модели в общем случае. Конструкция основана на введении в точках кубики гауссовой кривизны К , как преобладание суммы углов а,<р и у над п и построению локального куска поверхности с помощью решения уравнения Дарбу с построенной так функцией кривизны. Это дает возможность восстановить метрический тензор g. и, решая уравнение Якоби найти геодезическую и, следовательно, найти кратчайшее расстояние между двумя заданными точками на построенной выше поверхности.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Агранович, Юрий Яковлевич, 2003 год

1. Агранович, Ю.Я. Исследование математической модели вязкоуп-ругой жидкости / Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский // ДАН УССР, 1989,сер. А, №10, с. 3-6.

2. Агранович, Ю.Я. Движение нелинейной вязкоупругой жидкости / Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский // ДАН СССР, 1990, т. 314, №3, с. 521525.

3. Агранович, Ю.Я. Об определении технологических возможностей пресс-автоматов / Ю.Я. Агранович, И.К. Некрасов// Кузнечно-штампо-вочное производство, 1990, №9, с. 29-30.

4. Агранович, Ю.Я. О связи смешанных дискриминантов и совместного спектра семейства коммутирующих операторов в конечномерном пространстве/ Ю.Я. Агранович, О.Т. Азизова // «Математические заметки», том 62, вып. 1., 1997, с. 3-9.

5. Агранович, Ю.Я. Математическая модель информационного пространства в проблеме проектирования оптимальных информационных сетей / Ю.Я. Агранович, П.В. Юрасов // «Информационные технологии», Т.1,№ 5, Москва. 1998, с. 31-34.

6. Агранович, Ю.Я., Звягин, В.Г. Investigation of properties of attractors for a regularized model of the motion of a nonlinear-viscous fluid // Вестник ВГУ, Серия физика, математика, Воронеж 2001, N2, с. 50-58.

7. Агранович, Ю.Я. Геометрическая модель источников информации // Информация и безопасность, Воронеж 2003, N1, с. 84-90.

8. Агранович, Ю.Я. Факторизация полиномов в геометрическом методе маскировки метрических характеристик источников радиоизлучения // Информация и безопасность, Воронеж, 2003, N1, с. 99-103.

9. Агранович, Ю.Я., Моделирование и управление аппаратом искусственной вентиляции легких / Агранович, Ю.Я., Ёлкин, В.Г., //

10. Системный анализ и управление в биомедицинских системах, Москва, 2003, т.2, №2, стр 139-141.

11. Фролов, В.Н. Агранович, Ю.Я., Метод амплификации как способ обращения к предкаузальной конструкции // Машиностроитель, №7, Москва, 2003, с. 23-25.

12. Agranovich Yury Ya. Sobolevskii P. E Motion of nonlinear visco-elastic fluid // Nonlinear variational problems and partial differential equations. Longman Scientific of Technical. London, 1995, pp. 1-12.

13. Agranovich Yury Ya. The Theory of Operators with Dominant Main Diagonal. I.// Kluwer Academic Publisher, Printed in the Netherlands, Positiv-ity,Vol.2, N 2, 1998, pp. 153-164.

14. Agranovich Yury Ya. Sobolevskii P.E. Motion of nonlinear visco-elastic fluid // Nonlinear Analysis, Theory, Methods Applications, Vol. 32, № 6, Printed in the Great Britain, 1998, pp. 1724-1730.

15. Агранович, Ю.Я. Геометрическое моделирование структуры информационного пространства. Монография. Издательство ВГТУ, 2000, 147с.

16. Агранович, Ю.Я. Об одном условии появления солитонов на поверхности вертикально стекающей вязкоупругой пленки. Деп. в ВИНИТИ №6010-В87, Воронеж, 1987. 9с.

17. Агранович, Ю.Я. О повышении гладкости решений одной математической модели реальных жидкостей// Всесоюзное совещание-семинар «Интерактивное проектирование технических устройств и автоматизированных систем на ПЭВМ». Воронеж, 1991, с. 106-107.

18. Агранович, Ю.Я. Исследование слабых решений модели Олд-ройта вязкоупругой жидкости/ Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский// Качественные методы исследования операторных уравнений. Сборник научных трудов. Ярославль, 1991, с. 39-43.

19. Агранович, Ю.Я. О собственных значениях полиномиальных матричных пучков / Ю.Я. Агранович, Л.И. Сухочёва // Спектральные и эволюционные задачи. Сборник научных трудов. Киев: Наукова думка, 1991. С. 23.

20. Агранович, Ю.Я. Изучение математической модели функционирования аппарата искусственной вентиляции лёгких/ Ю.Я. Агранович, В.Г. Ёлкин, Л.И. Пожидаев, В.П. Праслов// Компьютеризация в медицине. Сборник научных трудов. Воронеж, 1992, с. 13-24.

21. Агранович, Ю.Я. О влиянии параметра инерционности на число определяющих мод и фрактальную размерность аттрактора для одной регуляризации уравнений Навье-Стокса// Компьютеризация в медицине. Сборник научных трудов. Воронеж, 1993, с. 192-197.

22. Агранович, Ю.Я. Некоторые свойства операторов с доминирующей главной диагональю/ Ю.Я. Агранович, Л.И. Сухочева, П.В. Юрасов // Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине. Воронеж, 1994, с. 152-153.

23. Агранович, Ю.Я. О совместном спектре операторов и приложениях / Ю.Я. Агранович, О.Т. Азизова //Современные методы в теории краевых задач «Понтрягиские чтения-VII». Воронеж, 1996, с. 7.

24. Агранович, Ю.Я. О корректной управляемости систем// Всероссийское совещание-семинар «Математическое обеспечение информационных технологий в технике, образовании и медицине». Ч. II. Воронеж, 1996, с. 124125.

25. Агранович, Ю.Я. Моделирование процессов обмена данными в телекоммуникационных компьютерных сетях/ Ю.Я. Агранович, В.Г. Юрасов // Высокие технологии в технике, медицине и образовании. Сборник научных трудов. Ч. I. Воронеж. 1996, с. 125-129.

26. Агранович, Ю.Я. О некоторых приложениях теории операторов с доминирующей главной диагональю к методам вычислений// Высокие технологии в технике, медицине и образовании. Сборник научных трудов. Часть II. Воронеж, ВГТУ, 1997, с. 147-151.

27. Агранович, Ю.Я. Представление энтропии конечных схем интегралами рациональных функций// Высокие технологии в технике, медицине, экономике и образовании. Воронеж, ВГТУ, 2000, с. 112-118.

28. Агранович, Ю.Я. Аттракторы динамических систем и непрерывные дроби// Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения; Сборник научных трудов. Воронеж, ВГУ, 2000, с. 38-39.

29. Агранович, Ю.Я. Геометрическое определение количества информации и некоторые задачи на геометрические места точек/ Ю.Я. Агранович, П.В. Юрасов // Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Воронеж: ВГУ, 2000, с. 40-42.

30. Агранович, Ю.Я. К использованию рациональных функций для вычисления энтропии конечных схем/ Ю.Я. Агранович, С.А. Комарчук // Труды Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы», ч. 1, Воронеж, 2001, с. 56-57.

31. Агранович, Ю.Я. Свойства общего расположения двух отрезков на плоскости/ Ю.Я. Агранович, А.В. Головин // Труды Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы», ч. 2, Воронеж, 2001, с. 42-43.

32. Агранович, Ю.Я. Эквиинформационные кривые для двух вырожденных случаев расположения отрезков/ Ю.Я. Агранович, О.А. Бугакова // Труды Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы», ч. 2, Воронеж, 2001, с. 58-59.

33. Агранович, Ю.Я. Проективная инвариантность энтропии конечной схемы/ Ю.Я. Агранович, Т.В. Семынина // Труды Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы», ч. 2, Воронеж, 2001, с.8-9.

34. Агранович, Ю.Я. О вероятностном смысле геометрической информации/ Ю.Я. Агранович, Т.В. Семынина // Вестник ВГТУ, серия Радиоэлектроника и системы связи, вып. 4.1, Воронеж. 2001, с. 92-95.

35. Агранович, Ю.Я. Условный вариант 16-й проблемы Гильберта и свойства интегральных операторов// Труды Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы», ч.1,Воронеж,2001,с.46-48.

36. Agranovich Yury Ya. An entropy parameterization of the Navier-Stokes equation Spectral and evolution problems, Volume 5,6, 1996, Crimea, Ukraine, 1997, pp. 277-278.

37. Eisner L. On the Variation of the Spectra of Matrices // Linear Algebra Appl. 1982. Vol. 47. P. 127-138.

38. Epstein D.B.A., Cannon J.W., Holt D.F., Levy S.V.F., Paterson M.S., Thursfon W.P. Word Processing in Group. Boston - London.: Jones and Bartlett Publishers, 1994 - 330 стр.

39. Gromov M. Mefric Structures for Riemannian and Non Riemannian Spaces. - Boston - Basel - Berlin.: Birkhauser, 1992 - 585 стр.

40. Hardy G.H. (1916) The integration of functions of a single variable. Cambridg Univ. Press. Cambridg.

41. Hardy G.H. Ramanujan. Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Live and Work. Cambridge at the University Press. 1940. c. 236.

42. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Minimal Networks. The Steiner Problem and Its Generalizations. N.W., Boorsa Ration, Florida: CRC Press, 1994. P.245.

43. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Minimal Networks. The Steiner Problem and Its Generalizations. N.W., Boorsa Ration, Florida: CRC Press, 1994.

44. Lawvere F.W., Maurer C., Wraith G.C. Model Theory and Topoi, Berlin Heidelberg - New York.: Springer - Verlag. 1975. - c. 206.

45. Nash J C' isometric imbeddings // Ann. of Math. Go (1954) 383-396.

46. Ramanujan S. Collected Papers. New York. Chelsea Rublishing Company. 1962.-е. 355.

47. Shannon C.E. A mathematical theory of communication. Bell Syst. Techn. Tourn. (27). (1948). P. 379-423.

48. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975 г. - 336 стр.

49. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел // Матем. сб. 1938-Т- 3(45). № 2- С. 227-249.

50. Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М. - Д.: ОГИЗ, 1948 - 387 стр.

51. Александров А.Д. Одна теория о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения // Труды МИАН им. В.А. Стеклова 1951 - т. XXXVIII - стр. 5-23.

52. Александров А.Д., Берестовский В.Н., Николаев И.Г. Обобщенные римановы пространства // УМН. 1986 - т. 41, вып.З - стр. 344.

53. Банах С.С. Курс функционального анал1зу. Кшв. "Радянська школа", 1948. стр.216.

54. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. С. 97.

55. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. — М.: Мир, 1981 г.-325 стр.

56. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М., Наука, 1995.

57. Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: ГИФМЛ. 1962. стр.503.

58. Бураго Д.М., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Л.: Наука, 1980.-стр. 288.

59. Бураго Ю., Громов М., Перельман Г. Пространства А.Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами. // УМН. 1992 - т. 47, вып.2 - стр. 3-51.

60. Галуа Э. Сочинения. М. Л. ОНТИ. 1936. - стр. 336.

61. Гаусс К.Ф. Общие исследования о кривых поверхностях. Казань. 1895.-стр. 348.

62. Генис A.JI. Метрические свойства эндоморфизмов п-мерного тора // ДАН СССР, Т. 138, №5, 1961г., стр. 991-993.

63. Генкин JI. О математической индукции. М.: ГИФМЛ. 1962. стр.35.

64. Гильберт Д. Избранные труды, т.1, 2, М.: "Факториал", 1998. -стр. 575, стр. 607.

65. Гис Э., де ля Арп П. Гиперболические группы по М.Громову. — М.: Мир, - 1992 - стр. 269.

66. Глазман И. М., Любич Ю. Л. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969.

67. Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики. М.: Мир, 1983.-стр. 486.

68. Громов Д., Клингерберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. -М.: Мир, 1971 343 стр.

69. Громов М.Л. Гиперболические группы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002, - 160 стр.

70. Громов М.Л. Знак и геометрический смысл кривизны. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000 - 128 стр.

71. Громов М.Л., Рохлин В.А. Вложения и погружения в римановой геометрии // УМН. 1970 - т. 25, вып.5. - стр. 3-62.

72. Гудстейн Р.Л. Рекурсивный математический анализ. М.: Наука, 1970.-стр. 472.

73. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральные операторы. М.: Мир, 1974.

74. Джонстон П. Теория топосов. М.: Мир. 1986. - стр. 438.

75. Дьёдонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. М. Наука, 1972 Г.-335 стр.

76. Звягин В.Г. О неразрешимости алгебраических уравнений в радикалах и теории групп. // Соросовский образовательный журнал. 2000. т.6, №6. стр. 117-122.

77. Золотарев Е.И. Полное собрание сочинений вып.1, Ленинград.1931

78. Итоги науки и техники // Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы 2. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 5-111.

79. Канторович Л.В. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. С. 299-315.

80. Канторович Л.В., Г.Ш. Рубинштейн Л.В. Об одном пространстве вполне аддитивных функций, Вестник ЛГУ, №7, 1958, 52-59.

81. Канторович Л.В., Рубинштейн Г.Ш. Об одном функциональном пространстве и некоторых экстремальных задачах. ДАН СССР. 115 № 6. 1957. С.1058-1061.

82. Карнап Р. Философские основания физики. Глава 26. Предложения Рамсея. стр. 327-339.

83. Клейн Ф. Неевклидова геометрия М. Л., ОНТИ, 1936г. - 355 стр.

84. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. М.: Мир. 1982.-стр. 414.

85. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. С. 551.

86. Линдон Р. Заметки по логике. М.: Мир. 1986. стр. 128.

87. Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах. М.: ГИТТЛ, 1953.-стр. 359.

88. Любич Ю. Л., Линейный функциональный анализ // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 19. С. 5-305.

89. Люстерник Л.А. Топология функциональных пространств и вариационное исчисление в целом. // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. т. 19. 1947.-стр. 100.

90. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. М.: Советское радио, 1980, - стр. 128.

91. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Советское радио, 1979,-стр. 168.

92. Марков А.А. Теория алгорифмов // Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 1951, т. XXXVIII, стр. 176-189.

93. Марков А.А. Теория алгорифмов // Труды МИАН им. В.А. Стеклова, т.ХЬИ. стр. 273.

94. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972.

95. Мартин Н., Ингленд Дж. Математическая теория энтропии, М.: Мир, 1988. С. 350.

96. Математическая Энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, т.1-5. 1977. 1979. 1982. 1984. 1985.

97. Нагель Э. Ньюмен Дж.Р. Вокруг теоремы Гёделя. М.: Знание. 1970.-стр. 62.

98. Научное наследие П.Л. Чебышова Вып.1. Из-во АНСССР М-Л., 1945 (сборник статей)

99. Новиков И .Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков // Фундаментальная и прикладная математика. 1997, т.З, №4. стр. 999-1028.

100. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // УМН, т.53, вып.6. 1998. стр. 54-128.

101. Новиков П.С. О недоказуемости некоторых положений дескриптивной теории множеств. // Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 1954, т. XXXVIII, стр. 279-316.

102. Нэш Дж. Аналитичность решений задачи о неявной функции с аналитическими исходными данными // УМН. т. 26, вып.4. — стр. 217-226.

103. Нэш Дж. Проблема вложений для римановых многообразий. // УМН. т. 26, вып.4, - стр. 173-216.

104. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения- М.: ИЛ, 1960. С. 155

105. Петровский И.Г. Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. М.: Наука, 1986. стр. 500.

106. Правиц Д. Натуральный вывод. Теоретика доказательственное исследование. - М.: "Лори", 1997. - стр. 107.

107. Риман Б. Сочинения. М. Л. ОГИЗ. 1948. стр. 543.

108. Рохлин В. А. Об энтропии автоморфизма компактной коммутативной группы // Теория вероятностей и её применение. М., Т.4, вып.З, 1961 г., стр. 351-352.

109. Синай Я.Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР, Т. 124, №4,1959 г., стр. 768-771.

110. Смальян Р. Теория формальных систем. М.: Наука. 1981. стр.382.

111. Справочная книга по математической логике. Ред. Дж. Барвайс, 4.I-IV. М.: Наука, 1982.

112. Успенский В.А. Машина Поста. М.: Наука. 1988. - стр. 96.

113. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека. Ред. С.Г. Крейн, М. Наука, 1972, С.544.

114. Хинчин А.Я. Понятие энтропии в теории вероятностей // УМН. 1953. Т.VIII, № 3(55). С. 3-20.

115. Хорн Р., Джонсон Ч. .Матричный анализ. М.: Мир. 1989.

116. Чеботарёв Н.Г. Теория алгебраических функций. М.-Л. ОГИЗ,1948

117. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т.2. Функции нескольких комплексных переменных. М.: Наука, 1976. С.400.

118. Шнирельман Л.Г. О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых. // Сборник работ математического раздела Ком. Академии, т. 1. 1927. стр. 73-87.