Моделирование нелинейных колебаний в микроэлектромеханических резонаторах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Пиманов Даниил Олегович

• Пиманов Даниил Олегович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Пиманов Даниил Олегович

Введение

Глава 1. Колебания в МЭМС резонаторе с подвижным электродом

типа платформа

1.1 Принцип работы резонатора

1.2 Математические модели резонатора с различными типами пружин

1.3 Резонатор с пренебрижимо малой массой пружины

1.4 Численное исследование колебаний с учётом массы пружины

1.5 Характеристики резонатора, учитывающие массу пружины

1.6 Частота собственных колебаний. Сопоставление с частотами, определяемыми методом Фурье

1.7 Колебания в резонаторе с более сложной системой пружин

1.8 Резонатор, включенный в цепь

1.9 Выводы по главе

Глава 2. Колебания в МЭМС резонаторе с различными упругими

элементами в качестве подвижного электрода

2.1 Математические модели резонатора с подвижными электродами различного типа

2.2 Численное исследование колебаний в резонаторе

2.3 Характеристики резонаторов

2.4 Частота собственных колебаний. Сопоставление с частотами определяемыми методом Фурье

2.5 Выводы по главе

Глава 3. Колебания в МЭМС резонаторе при периодическом

импульсном воздействии

3.1 Математическая модель устройства «платформа»

3.2 Колебания платформы с периодом внешнего воздействия

3.3 Устойчивость периодических решений

3.4 Колебания платформы в отсутствии сопротивления

Стр.

3.5 Математические модели резонатора с подвижными электродами различного типа

3.6 Исследование решений задачи Коши в методе прямых

3.7 Периодические решения

3.8 О методе продолжения по параметру

3.9 Множественность решений нелинейной системы. Области ограниченных решений

3.10 Выводы по главе

Глава 4. Колебания платформы в МЭМС резонаторе при

гармоническом воздействии

4.1 Закон движения платформы в качестве подвижного электрода

4.2 Периодические колебания платформы

4.3 Численное исследование нелинейной краевой задачи методом продолжения решения по параметру

4.4 Периодическое решение задачи Коши, определяемое из решения краевой задачи с условиями периодичности

4.5 Множественность решений и устойчивость при отсутствии сопротивления

4.6 О проблеме выбора стартового решения

4.7 Колебания платформы с учётом сопротивления среды

4.8 Резонансные кривые, удвоение периода и хаос

4.9 Периодические решения с периодами различной кратности

4.10 Зависимость решений от начальных данных

4.11 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование нелинейных колебаний в микроэлектромеханических резонаторах»

Введение

С начала первых исследований, направленных на создание основ технологии микроэлектромеханических систем (МЭМС), проводимых с середины 50-х до начала 60-х годов прошлого столетия, направление МЭМС устройств переросло в быстроразвивающуюся отрасль современной электронной промышленности.

На сегодняшний день технологии МЭМС нашли свое применение во многих крупных практических задачах, а некоторые МЭМС-устройства широко используются в нашей повседневной жизни, в частности, МЭМС акселерометры, гироскопы и датчики давления в автомобилях, микро-зеркала в плазменных телевизорах, частотные переключатели и микрофоны в сотовых телефонах. При этом, можно говорить не только о значительном улучшении параметров используемых устройств, но и о создании на основе МЭМС принципиально новых приборов с уникальными свойствами [1—4].

Диссертация посвящена исследованию математических моделей микроэлектромеханических резонаторов, которые, благодаря использованию современной технологии МЭМС, способны воспроизводить гигагерцевые частоты колебаний. Характерными элементами устройств рассматриваемых приборов являются подвижный и неподвижный электроды, разделённые микрозазором. В качестве подвижного электрода с малой массой используются микромембраны, микроконсоли, микробалки различной геометрии, обладающие упругими свойствами. Неподвижный электрод покрыт слоем диэлектрика. Высокочастотные колебания подвижного электрода возникают при запуске резонатора в результате взаимодействия электростатического притяжения, обусловленного разностью потенциалов между электродами, упругих сил, сил инерции и сопротивления среды, действующих на подвижный электрод. По завершению запуска подвижный электрод продолжает совершать незатухающие колебания в условиях вакуума. При микронных размерах зазора возникающие силы электростатического притяжения становятся достаточными для возбуждения высокочастотных колебаний подвижного электрода. Существенно, что геометрия зазора позволяет использовать теорию плоского конденсатора для оценки сил электростатического притяжения электродов

[5; 6].

Для иллюстрации проблемы на рис.1А представлены реальные образцы микрорезонаторов (вид сверху) с различной геометрией подвижного электрода

А

Рисунок 0.1 — Конструкции микрорезонаторов типа платформа с различной геометрией пружин. Изготовлены на НЗПП, г. Новосибирск. На рисунке 0.1, В изображена одна из конструкций, представленных на рисунке 0.1, А.

в виде недеформируемой платформы, прикреплённой к пружине типа «упругая балка». Одна из конструкций выделена для указания обозначений (рис.1В), где 1 — подвижный электрод-платформа, 2 — пружина типа «упругая балка», 3 — площадки, на которых закреплены концы балки.

Очевидно, что изготовление такого рода микроэлектромеханических приборов требует решения целого ряда технологических и физических проблем. Например, для возбуждения высокочастотных колебаний определённой массы подвижного электрода необходимы достаточно большие электростатические силы, что достигается уменьшением величины зазора. Но с другой стороны, это увеличивает вероятность пробоя. Чтобы этого не произошло, для покрытия неподвижного электрода используется диэлектрик с высоким значением диэлектрической проницаемости и с высокой электрической прочностью. Перечисление проблем, решаемых на современном уровне технологии МЭМС, можно продолжить.

В связи с этим важное значение имеет математическое моделирование и анализ математических моделей микроэлектромеханических резонаторов, имеющий целью изучение колебательных режимов в зависимости от параметров прибора. Математические модели представлены нелинейными начально-краевыми задачами для уравнений математической физики.

Отметим, что рассматриваемые достаточно простые схемы приборов получили широкое применение при математическом моделировании в МЭМС. За последние десятилетия в зарубежных и российских научных журналах опубликовано большое количество работ, в которых приводятся экспериментальные ре-

зультаты исследования МЭМС-резонаторов и численный анализ соответствующих математических моделей. Приведём в качестве примеров обзоры в [2] (244 ссылки) и в [7] (601 ссылка).

Тем не менее, в известных нам работах отсутствует детальный анализ нелинейных эффектов, описываемых начально-краевыми задачами, представляющими математические модели, нелинейность которых обусловлена электростатической природой сил. В диссертации, благодаря использованию современных численных методов, адаптированных к исследованию рассматриваемых нелинейных проблем, сформулированы условия на параметры, обеспечивающие работоспособность микрорезонатора, а также получены другие важные для практики характеристики возникающих колебаний подвижного электрода.

В публикациях по МЭМС-резонаторам, можно выделить два варианта возбуждения колебаний подвижного электрода во время запуска. А именно, колебания возникают при постоянной разности потенциалов, прикладываемой к электродам, и колебания, когда разность потенциалов периодически зависит от времени. По окончанию запуска разность потенциалов равна нулю. В каждом из вариантов колебания характеризуются свойствами, для анализа которых предлагается своя организация численного эксперимента.

В конструкции микрорезонатора с условным названием «платформа» подвижным электродом является недеформируемая платформа, прикреплённая к пружине, функции которой выполняют различные упругие элементы: упругая балка с жёстко закреплёнными концами, упругая балка консольного типа, натянутая плёнка с закреплёнными концами. В диссертации формулируются начально-краевые задачи, в которых для описания цилиндрической формы прогиба пружины в зависимости от её типа используются известные уравнения математической физики в частных производных. По отношению к пружине недеформируе-мая платформа рассматривается как материальная точка, находящаяся под воздействием электростатической силы при постоянной разности потенциалов между электродами, упругой силы пружины и силы инерции.

Отдельно рассматривается случай, когда в качестве подвижного электрода в микрорезонаторе используются перечисленные выше упругие элементы: упругая балка с жёстко закреплёнными концами, упругая балка консольного типа, натянутая плёнка с закреплёнными концами. Как и ранее, колебания подвижного электрода возникают при постоянной разности потенциалов. В этом случае фор-

мулируются начально-краевые задачи для уравнения математической физики в соответствии с типом упругого элемента.

Ко второму варианту относятся начально-краевые задачи, которые описывают колебания подвижного электрода, возникающие при заданном периодическом импульсном воздействии с амплитудой, зависящей от разности потенциалов между подвижным и неподвижным электродами. В качестве подвижного электрода используются те же типы упругих элементов. При этом ищется периодическое решение начально-краевой задачи, период которого совпадает с периодом импульсного воздействия.

Методическое значение имеет детальное исследование свойств нелинейных колебаний в модели микрорезонатора, в котором недеформируемая платформа, прикреплённая к условной пружине с известным коэффициентом жёсткости, используется в качестве подвижного электрода. При этом электростатическая сила притяжения определяется разностью потенциалов, меняющейся во времени как косинус. К нелинейным эффектам в определённых областях значений параметров относятся множественность периодических решений, явления резонанса и хаотическое поведение колебаний.

Замечание. В дальнейшем для удобства мы будем использовать такие сокращения как «модель балка», «модель консоль» и «модель плёнка», если в моделях микрорезонаторов используются описанные выше упругие элементы. Аналогичный смысл имеют сокращения «пружина балка», «пружина консоль», «пружина плёнка».

Цели диссертационной работы.

1. Для МЕМС резонатора типа платформа получить условия работоспособности резонатора и его основные характеристики с учётом массы упругого элемента, играющего роль пружины.

2. Для МЭМС резонатора, в котором роль подвижного электрода играют различные упругие элементы (микробалка, микроконсоль или микромембрана) получить характеристики аналогичные характеристикам резонатора типа платформа.

3. Для МЭМС резонатора с подвижными электродами различного типа, колебания которых в среде с сопротивлением поддерживаются периодическим импульсным электростатическим воздействием получить ограничения на параметры модели, при выполнении которых реализуется заданный режим работы прибора.

4. Исследовать нелинейные колебания в МЭМС резонаторе типа платформа с электростатическим воздействием, обусловленным меняющейся по гармоническому закону разностью потенциалов. Получить качественную картину колебаний в микрозазоре в зависимости от соотношения параметров. Выявить ограничения на параметры модели, при которых реализуется заданный режим работы устройства.

В соответствии с этими целями поставлены и решены следующие задачи:.

1. Формулировка математических моделей для каждого из рассматриваемых типов устройств, описывающих колебания в макрозазоре.

2. Создание эффективных численных методов моделирования нелинейных колебаний в микрозазоре, описываемых соответствующими дифференциальными уравнениями.

3. Получение соотношений между параметрами запуска и параметрами собственных колебаний в моделях резонаторов при двухэтапном принципе работы.

4. Проведение исследования явлений нелинейного резонанса в математических моделях резонатора при периодическом внешнем воздействии.

5. Создание прогаммного обеспечения на основе разработанных методов, адаптированного под моделирование МЭМС приборов.

Mетодология и методы исследования. Каждая из рассматриваемых в диссертационной работе начально-краевых задач как нелинейная проблема требует индивидуального подхода к выбору способа её численного исследования.

В случае моделирования работы микрорезонатора типа платформа начально-краевая задача описывает нелинейные колебания, возникающие при электростатическом притяжении платформы, воздействующей на пружину как сосредоточенная сила. Поэтому первый шаг исследования состоит в преобразовании формулировки задачи, определяющей обобщённое решение, к виду, когда решение преобразованной задачи понимается в обычном смысле. На втором шаге формулировка начально-краевой задачи записывается в безразмерном виде и включает только два параметра д и 6, среди которых параметр д представляет безразмерную комбинацию, пропорциональную квадрату разности потенциалов, а параметр 6 — отношение масс платформы и пружины. На третьем шаге применение метода прямых [8] на заданной сетке по линейной координате позволяет приближённо преобразовать проблему к автономной системе обыкновенных

дифференциальных уравнений второго порядка, включая уравнение движение платформы.

Используя оригинальный способ интегрирование автономной системы, мы имеем возможность построения зависимости «безразмерной» амплитуды автоколебаний платформы а от параметра д при фиксированном значении параметра 6 и связать а с безразмерной амплитудой собственных колебаний ао, синхронизируя длительность запуска резонатора с достижением максимального отклонения платформы.

Тот же способ численного анализа используется в математических моделях резонаторов, в которых в качестве подвижного электрода в микрорезонаторе используются упругие элементы «балка», «консоль» и «плёнка». При этом начально-краевые задачи, преобразованные к безразмерному виду, содержат только один безразмерный параметр д.

На основе метода прямых предложен эффективный численный метод исследования начально-краевых задач для уравнений математической физики, описывающих вынужденные колебания в моделях «балка», «консоль» и «плёнка» при периодическом импульсном электростатическом воздействии. В результате применения метода получена система нелинейных уравнений, определяющая критерий существования решений краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

С использованием варианта метода продолжения по параметру для численного исследования этой системы найдена множественность решений (два решения) краевой задачи. Численно подтверждается, что одно из решений определяет устойчивые периодические колебания, а второе — неустойчивые.

При гармоническом внешнем воздействии для поиска периодических решений в рамках математической модели резонатора типа платформа формулируется нелинейная краевая задача с условиями периодичности. Для решения краевой задачи использовался вариант метода продолжения по параметру на основе дифференциальных прогонок метода множественной стрельбы [9; 10]. Применение этого метода позволило выявить области изменения параметров модели, в которых существуют ограниченные колебания.

Научная новизна.

1. Для математических моделей предложенных микроэлектромеханических устройств было выполнено оригинальное исследование и предложены эффективные методы численного решения нелинейных дифферен-

циальных уравнений и нелинейных начально-краевых задач для уравнений математической физики, описывающих колебания в микрозазоре.

2. Использование метода продолжения по параметру для решения системы нелинейных уравнений позволило в математической модели резонатора с импульсным электростатическим воздействием определить периодические колебания с учётом их множественности и устойчивости по начальным данным.

3. Для математической модели резонатора с гармоническим внешним воздействием было выполнено оригинальное исследование, которое позволило обнаружить области в плоскости параметров модели, в которых существуют периодические колебания с учётом их множественности и устойчивости. Была показана возможность существования колебаний с периодами различной кратности, а также приведены примеры возникновения хаотических колебаний по сценарию Фейгенбаума через каскад бифуркаций удвоения периода.

Теоретическая и практическая значимость. Рассматриваемые в данной работе начально-краевые задачи дают «идеализированное» описание колебаний в микрорезонаторе. Тем не менее, результаты исследования могут быть полезными при технологических разработках прибора. Кроме того, они дают возможность сравнивать «идеальные» характеристики микрорезонатора и характеристики микрорезонатора, математическая модель которого даёт более полное отображение физического процесса.

Предложенные численные методы исследования нелинейных краевых задач с параметрами могут быть эффективно использованы при исследовании колебаний в математических моделях МЭМС резонатора, где электростатические силы притяжения обусловлены различным характером внешнего воздействия.

Материалы научно-квалификационной работы использовались при выполнении Комплексной программы фундаментальных исследований СО РАН «Междисциплинарные фундаментальные исследования» на 2018-2020 гг., проект № 273. Кроме этого, работа была поддержана стипендией Правительства РФ на 2016-2017 гг.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Сформулированы нелинейные начально-краевые задачи, описывающие колебания в МЭМС резонаторе типа платформа с учетом массы упруго-

го элемента, используемого в качестве пружины, и колебания в МЭМС резонаторе с различными типами подвижного электрода.

2. Для математической модели резонатора типа платформа получены характеристики работы резонатора с учётом массы пружины. Показано, что при достаточно большом, но реалистичном отношении масс платформы и пружины характеристики резонатора с хорошей точностью описываются аналитическими выражениями, полученными для МЭМС резонатора с нулевой массой пружины.

3. Для математических моделей резонаторов с различными типами подвижного электрода (упругая балка, консоль и натянутая плёнка) численно получены характеристики работы резонатора, оказавшиеся качественно подобными характеристикам резонатора типа платформа.

4. Для математической модели резонатора с импульсным периодическим внешним воздействием получены ограничения на значения параметров, при которых колебания в резонаторе не сопровождаются соударением электрода с поверхностью диэлектрика.

5. Использование метода продолжения по параметру для численного исследования зависимости решения краевой задачи от параметра позволило выявить множественность периодических колебаний в резонаторе типа платформа с гармоническим электростатическим воздействием с бифуркацией устойчивости по начальным данным. Эти результаты представлены в виде соответствующих диаграмм в плоскости параметров модели, учитывающих влияние сопротивления среды. Показана возможность возникновения хаотических колебаний по сценарию Фейгенбаума через каскад бифуркаций удвоения периода.

Личный вклад автора. Содержание научно-квалификационной работы и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Автором самостоятельно было проведено численное моделирование нелинейных эффектов, возникающих в математических моделях микроэлектромеханики, и создана программная реализация численных алгоритмов. Кроме того, автор принимал активное участие в анализе и интерпретации полученных данных, оформлении публикаций в виде научных статей и докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографии. Полный объём диссертации составляет

128 страниц, включая 42 рисунка и 1 таблицу. Список литературы содержит 42 наименования.

Во введении диссертационной работы обоснована актуальность и научная новизна проведенного исследования, сформулированы основные цели исследования и положения выносимые на защиту.

Глава 1 настоящей работы посвящена исследованию нелинейных колебаний платформы в качестве подвижного электрода, закреплённой на пружины различного типа. В качестве пружины используется упругая балка с жёстко закреплёнными концами, упругая балка консольного типа закрепления и натянутая плёнка с закрепленными концами. Математическая модель, описывающая колебания в резонаторе, представлена нелинейным уравнением движения платформы, как материальной точки, рассматриваемым совместно с начально-краевыми задачами для уравнений математической физики, соответствующими типу пружины. При запуске резонатора под воздействием импульса напряжения в микрозазоре между платформой и неподвижным электродом, который покрыт слоем диэлектрика, возникают колебания платформы, переходящие после выключения импульса в собственные колебания. Численно определены условия возникновения колебаний, оказавшиеся, как показало исследование модели, близкими к случаю, когда масса платформы много больше массы пружины. Это дало возможность получить в аналитическом виде формулы, достаточно хорошо описывающие основные особенности работы микроэлектромеханического резонатора.

Другое уточнение модели заключатеся во введении в рассмотрения ненулевого электрического сопротивления в проводнике, соединяющем подвижный и неподвижный электроды с источником напряжения. В этом случае к уравнениям колебаний платформы, как материальной точки, добавляется еще одно дифференциально уравнение относительно разности потенциалов между электродами.

Во второй главе моделируется работа резонаторов, в которых роль подвижного электрода играют различные упругие элементы. Цилиндрическая форма прогиба упругого элемента описывается уравнениями математической физики с краевыми условиями закрепления. Применение метода прямых в этом случае позволило определить области изменения параметров модели, в которых возможны автоколебания при запуске. Также указано правило выбора длительности запуска, при котором колебания платформы после запуска будут иметь амплитуду, близкую к удвоенной амплитуде автоколебаний. Соответствующие результаты пред-

ставлены в виде графиков зависимости амплитуды автоколебаний от комбинации параметров модели.

Третья глава посвящена колебаниям подвижного электрода в среде с сопротивлением. Колебания поддерживаются за счет периодического по времени импульсного электростатического воздействия. Проблема определения периодических решений для уравнения колебаний сводиться к системе нелинейных уравнений. Решений этой системы методом продолжения по параметру позволяет определить области изменения параметров модели, в которых решения существуют, а также области, в которых оно будет неединственным.

В работе предложен метод численного исследования нелинейных начально-краевых задач, представляющих математические модели двух приборов МЭМС, в которых подвижный электрод в виде упругой балки с цилиндрическим прогибом колеблется под воздействием электростатического притяжения. Рассмотрены колебания с периодом, совпадающим с периодом импульсного воздействия.

Метод численного исследования включает следующие шаги. Применением метода прямых проблема приближенно преобразуется к краевой задаче для однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов и нелинейными условиями периодичности. Диаго-нализация положительно определенной матрицы однородной системы даёт возможность сформулировать условие разрешимости краевой задачи в виде системы нелинейных уравнений, число которых определяется числом узлов сетки в методе прямых. Использование варианта метода продолжения решения по параметру позволило в итоге определить область изменения параметров модели, в которой существует множественность решений краевой задачи, определяющих устойчивые и неустойчивые периодические решения. Отметим, что сходимость метода прямых проверялась численно на сравнении результатов, полученных при различном числе узлов сетки.

Полученные результаты дают описание нелинейных колебаний в рассматриваемых математических моделях приборов МЭМС при использовании их в качестве механических резонаторов.

В четвертой главе рассматриваются нелинейные колебания платформы под действием электростатического воздействия, которое меняется во времени по гармоническому закону, что соответствует присоединенному к электродам источнику переменного напряжения. В этом случае исследование основано на поиске периодических решений с периодом внешнего воздействия. В связи с этим

формулируется краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения с условиями периодичности. Решение нелинейной краевой задачи методом продолжения решения по параметру на основе дифференциальных прогонок метода множественной стрельбы позволило определить области изменения параметров модели, в которых существуют колебания с периодом внешнего воздействия, с учётом их множественности и устойчивости по начальным данным.

Зависимость решений от начальных данных исследована численно на примерах, которые иллюстрируют возможность реализации различных режимов устойчивых колебаний при близких значениях начальных данных.

Показана возможность существования периодических устойчивых решений с кратными периодами и возникновения хаотических колебаний по сценарию Фейгенбаума через каскад бифуркаций удвоения периода.

В заключении приводятся основные результаты проведенного исследования, и благодарности.

Апробация работы. Результаты проведённого исследования в разные годы были представлены и обсуждалась на научных семинарах Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН: «Математика в приложениях» под руководством академика РАН С. К. Годунова (2012 г.), «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа» под руководством д.ф.-м.н., проф. В. С. Белоносова и д.ф.-м.н. М. В. Фокина (2012 г., 2016 г.), «Избранные вопросы математического анализа» под руководством д.ф.-м.н., проф. Г. В. Демиденко (2017г.), Общеинститутском математическом семинаре (2013 г.), на семинаре, организованном д.ф.-м.н., проф. С.И. Фадеевым и д.ф.-м.н. Э.Г. Косцовым, с приглашением д.т.н., доцента НГТУ В.П. Драгунова (2015 г.); на объединённом научном семинаре Института вычислительных технологий СО РАН «Информационно-вычислительные технологии» под руководством академика РАН Ю. И. Шо-кина и д.ф.-м.н. В.М. Ковени (2013 г., 2015 г.); на научном семинаре Института вычислительного моделирования СО РАН «Проблемы математического и численного моделирования» под руководством чл.-корр. РАН В. В. Шауду-рова (2015 г.); на научном семинаре Омского филиала Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН «Математическое моделирование и вычислительные методы» под руководством д.ф.-м.н., проф. А. И. Задорина (2016 г.); а также на Международных научных студенческих конференциях МНСК-2012, МНСК-2013, МНСК-2014, МНСК-2015, МНСК-2017, на Международных конференциях «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики» (2014 и

2015 гг.), «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (2013 г.), «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование» (2015 г.), «Математика в современном мире» (2017 г.), «Вычислительная и прикладная математика 2017», на V Всероссийской конференции «Фундаментальные основы МЕМС- и нанотехнологий» (2015 г.), Международных школах-конференциях «Соболевские чтения» (2016 и 2017 гг.) и «Boundary Value Problems, Functional Equations and Applications» (2016 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пиманов Даниил Олегович, 2019 год

Список литературы

1. Косцов Э. Г. Состояние и перспективы микро- и наноэлектромеханики // Автометрия. — 2009. — Т. 45, № 3. — С. 3—52.

2. Гринберг Я. С., Пашкин Ю. А., Ильичёв Е. В. Наномеханические резонаторы // УФН. - 2012. - Т. 182, № 4. - С. 407-436.

3. Косцов Э. Г., Фадеев С. И. Новые микроэлектромеханические резонаторы для гигагерцовых частот // Автометрия. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 115—122.

4. Косцов Э. Г., Фадеев С. И. О функционировании СВЧ микроэлектромеханического резонатора // Сиб. журн. индустр. матем. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 75-86.

5. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Т. 3. Электричество. — М. : ФМ, 2004. - 656 с.

6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М. : Наука, 1987. — 688 с.

7. Younis M. I. MEMS Linear and Nonlinear Statics and Dynamics. — Springer Science, Business Media, 2011. — 456 с.

8. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — Т. 2. — М. : ФМ, 1959. — 600 с.

9. Фадеев С. И., Когай В. В. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — Новосибирск : НГУ, 2012. — 278 с.

10. Когай В. В., Фадеев С. И. Применение продолжения по параметру на основе метода множественной стрельбы для численного исследования нелинейных краевых задач // Сиб. журн. индустр. матем. — 2001. — Т. 4, № 1. — С. 83—101.

11. Фадеев С. И., Пиманов Д. О. Исследование периодических решений в математических моделях микромеханики при импульсном периодическом воздействии // Вестн. НГУ Сер. матем., мех., информ. — 2013. — Т. 13, № 3. — С. 122-140.

12. Фадеев С. И., Пиманов Д. О. Численное исследование математических моделей микромеханики при периодическом импульсном воздействии // Сиб. журн. индустр. матем. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 133—145.

13. Фадеев С. И., Косцов Э. Г., Пиманов Д. О. Численное исследование математических моделей микроэлектромеханических резонаторов разного типа // Сиб. журн. индустр. матем. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 120—135.

14. Фадеев С. И., Косцов Э. Г., Пиманов Д. О. Исследование математической модели микроэлектромеханического резонатора типа платформа // Вычислительные технологии. — 2016. — Т. 21, № 2. — С. 63—87.

15. Пиманов Д. О. Исследование нелинейных колебаний в математической модели микрорезонатора // Вычислительные технологии. — 2018. — Т. 23, № 2. — С. 63—75.

16. Пиманов Д. О. Исследование периодических решений в математичеких моделях микромеханики при импульсном периодическом воздействии // Материалы Юбилейной 50-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — 2012. — С. 65.

17. Пиманов Д. О. Об исследовании математических моделей микромеханики при периодическом импульсном воздействии // Материалы 51-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — 2013. — С. 97.

18. Пиманов Д. О. Исследование математических моделей микроэлектромеханических резонаторов разного типа // Материалы 52-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». — 2014. — С. 90.

19. Пиманов Д. О. Моделирование собственных колебаний в микроэлектромеханических резонаторах разного типа // Материалы 53-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». — 2015. — С. 33.

20. Pimanov D. O., Fadeev S. I., Kostsov E. G. Mathematical model study of different types of microelectromechanical resonators // Abstracts of the International conference «Advenced mathematics, computations and applications — 2014». — 2014. —С. 82.

21. Косцов Э. Г., Фадеев С. И., Пиманов Д. О. Микроэлектромеханические СВЧ-приборы. Конструкции и математические модели // Доклады V Всероссийской конференции «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехно-логий». — 2015. — С. 241—244.

22. Пиманов Д. О., Фадеев С. И., Косцов Э. Г. Численный метод исследования математических моделей микромеханики при периодическом импульсном воздействии // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвящённой 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева. — 2013. — С. 218.

23. Пиманов Д. О., Фадеев С. И., Косцов Э. Г. Исследование математических моделей микроэлектромеханических резонаторов разного типа // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование». — 2015. — С. 225.

24. Фадеев С. И., Косцов Э. Г., Пиманов Д. О. Моделирование собственных колебаний в микроэлектромеханических резонаторах разного типа // Труды международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики — 2015», посвящённой 90-летию со дня рождения академика Г. И. Марчука. — 2015. — С. 789—795.

25. Fadeev S. I., Kostsov E. G., Pimanov D. O. A mathematical modelling study of MEMS resonator of type Platform // Abstracts of The 3rd International Workshop "Boundary Value Problems, Functional Equations and Applications». — 2016. — С. 32.

26. Пиманов Д. О., Фадеев С. И., Косцов Э. Г. Численное исследование вынужденных нелинейных колебаний в одной математической модели микрорезонатора [Электрон. ресурс] // Труды международной конференции по вычислительной и прикладной математике «ВПМ'17» в рамках «Марчуковских научных чтений», Новосибирск. http://conf.nsc.ru/cam17/ru/proceedings. — 2017.-С. 684-690.

27. Пиманов Д. О., Фадеев С. И., Косцов Э. Г. Исследование нелинейных колебаний в математических моделях микроэлектромеханического резонатора // Соболевские чтения. Международная школа-конференция (Новосибирск, 20-23 августа 2017 г.): Тез. докладов. — 2017. — С. 85.

28. Пиманов Д. О. Численное исследование вынужденных нелинейных колебаний в одной математической модели микрорезонатора // Материалы 55-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2017. — 2017.-С. 29.

29. Пиманов Д. О., Фадеев С. И. Исследование нелинейных колебаний в математической модели микрорезонатора // Тезисы докладов международной конференции «Математика в современном мире», посвященной 60-летию Института математики им. С.Л. Соболева. — 2017. — С. 505.

30. Пиманов Д. О., Фадеев С. И., Косцов Э. Г. Исследование нелинейных колебаний в математических моделях микроэлектромеханического резонатора // Соболевские чтения. Международная школа-конференция (Новосибирск, 18-22 декабря 2016 г.) — 2016. — С. 130.

31. Фадеев С. И., Косцов Э. Г., Пиманов Д. О. Моделирование микроэлектромеханических СВЧ резонаторов типа платформа. — Новосибирск. : Препринта / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 296, 2015. — 38 с.

32. Fadeev S. I., Pimanov D. O. Numerical study of mathematical models of micromechanics with periodic impulse action // Journal of Applied and Industrial Mathematics. — 2013. — Т. 7, № 4. — С. 503—514.

33. Fadeev S. I., Kostsov E. G., Pimanov D. O. Numerical study of mathematical models of microelectromechanical resonators of various types // Journal of Applied and Industrial Mathematics. — 2015. — Т. 9, № 1. — С. 47—60.

34. Fadeev S. I., Pimanov D. O. Periodic solutions of mathematical models of micromechanics under periodic impulse action // Вычислительные технологии. — 2015. — Т. 205, № 3. — С. 473—489.

35. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1966. — 724 с.

36. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М. : ФМ, 1959.-916 с.

37. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М. : ФМ, 1984. — 320 с.

38. Методы анализа нелинейных динамических моделей / М. Холодниок [и др.]. — М. : Мир, 1991. — 368 с.

39. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М. : Наука, 1967. - 472 с.

40. Шильников Л. П., др. Методы качественной теории в нелинейной динамике. — М.-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — 428 с.

41. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения: Учеб. пособие для вузов. — М. : Наука, 1987. — 304 с.

42. Moon F. C. Chaotic Vibrations: An Introduction for Applied Scientists and Engineers. — N.Y. : Wiley-VCH, 2004. — 309 с.