Моделирование нестационарных термоупругодиффузионных колебаний балки Бернулли-Эйлера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ле Ван Хао

• Ле Ван Хао
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Ле Ван Хао

Введение

Глава 1. Математическая постановка нестационарных задач тер-

моупругодиффузионных колебаний балки Бернулли-Эйлера

1.1. Современное состояние исследований

1.2. Модель термоупругодиффузионных процессов в сплошых средах

1.3. Граничные и начальные условия

1.4. Модель нестационарных колебаний балки Бернулли-Эйлера с учетом тепломассопереноса

1.5. Переход к безразмерным величинам

1.6. Общее описание методов решения

1.7. Выводы первой главы

Глава 2. Нестационарные тер моу пру годиффу зионн ы е колебания

шарнирно опёртой балки Бернулли-Эйлера

2.1. Постановка задачи

2.2. Интегральное представление решения

2.3. Алгоритм построения функций Грина

2.4. Переход к бесконечным скоростям распространения тепловых и диффузионных возмущений, к классическим задачам упругости

и к статическим моделям

2.5. Примеры расчетов

2.6. Выводы второй главы

Глава 3. Нестационарные тер моу пру годиффу зионн ы е колебания

балки Бернулли-Эйлера на упругом основании

3.1. Постановка задачи

3.2. Алгоритм построения функций Грина

3.3. Переход к бесконечным скоростям распространения тепловых и диффузионных возмущений, к классическим задачам упругости

и к статическим моделям

3.4. Примеры расчетов

3.5. Выводы третьей главы

Глава 4. Нестационарные тер моу пру годиффу зионн ы е колебания

консольно закрепленной балки

4.1. Постановка основной задачи

4.2. Постановка и решение вспомогательной задачи

4.3. Решение основной задачи методом эквивалентных граничных условий

4.4. Предельные переходы к упругим и статическим моделям

4.5. Примеры расчетов

4.6. Выводы четвёртой главы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование нестационарных термоупругодиффузионных колебаний балки Бернулли-Эйлера»

Введение

В связи развитием современных технологий производства конструкционных материалов, работающих в условиях взаимодействия полей различной физической природы, интерес ученых все больше привлекает вопрос о моделировании связанных физико-механических процессов в сплошных средах. Взаимодействие физических полей проявляется в форме механодиффузии, термомеха-нодиффузии и т. д., и часто наблюдается в технических системах. Важно отметить, что подавляющее большинство тонкостенных конструкций (авиационная, ракетно-космическая техника, судостроение и т. д.) представляют собой оболо-чечно-стержневые системы, состоящие из элементов в виде тонких пластин и оболочек, соединенных или усиленных стержнями. Эффекты, обусловленные взаимодействием физических полей, могут оказывать отрицательное влияние на напряженно-деформированное состояние указанных конструкций и их отдельных элементов.

Современные высокоинтенсивные технологические процессы (например, взрывное сваривание, электроискровая и лазерная обработка материалов, нанесение покрытий и т. д.) связаны не только с большими тепловыми потоками и скоростями нагрева. В большинстве таких процессов происходит быстрое внедрение или перемещение поверхностного материала или его отдельных компонентов, сопровождаемое изменением напряженно-деформированного состояния. Поэтому актуальной задачей является разработка математических моделей, способных адекватно описывать эти явления в различных механических системах как с научной, так и с практической точек зрения.

На сегодняшний день на основе известных уравнений механики сплошных сред, уравнений тепло и массопереноса, а также законов термодинамики построены модели, учитывающие взаимное влияние механических, температурных, диффузионных и пр. полей. Данная теория, представляющая собой ключевой

инструмент для описания сложных физических процессов в твердых телах, является очень востребованной в настоящее время. Об этом свидетельствует большое количество современных исследований, выполненных как российскими, так и зарубежными учеными. Среди наиболее значимых для тематики данного диссертационного исследования работ следует выделить труды ряда зарубежных авторов, включая: М. Aouadi, Copetti M.I.M, Miranville A., Kumar R., Kansal Т., Sherief H.H., Saleh H., Bhattacharya D., Kanoria M. и др. В отечественной научной литературе значительный вклад в данную область внесли такие исследователи, как: Еремеев B.C., Земсков A.B., Индейцев Д.А., Келлер И.Э., Князева А.Г., Ломовской В.А., Морозов Н.Ф., Тарлаковский Д.В., Флячок В.М., Фрейдин A.B., Швец Р.Н. и др.

В настоящей работе представлена уточненная модель расчёта балок по теории Бернулли-Эйлера с учетом того, что напряженно-деформированное состояние связано с термодиффузионными процессами. Рассматриваются шарнирно опертые и консольно закрепленные балки, находящиеся под действием сосредоточенных и распределенных по длине изгибающих моментов и перерезывающих сил. Одновременно с этим задаются граничные и распределенные по длине балки термодиффузионные возмущения.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы из 114 наименований. Общий объем диссертации - 112 страниц, включая 43 рисунка.

В первой главе диссертации представлен обзор современного состояния исследований, выявлены существующие актуальные проблемы в области моделирования связанных процессов термомеханодиффузии. Дана общая постановка задачи. На основе общих уравнений термомеханодиффузии для сплошных сред и обобщённого принципа Даламбера сформулирована математическая модель нестационарных термоупругодиффузионных колебаний балки Бернулли-Эйлера.

Также дано краткое описание методов решения задач о нестационарных колебаниях балок с учетом тепломассопереноса, основанных на использовании преобразования Лапласа, разложения в ряды Фурье и метода эквивалентных граничных условий.

Во второй главе рассмотрены нестационарные термоупругодпффузнон-ные колебания шарнирно опертой балки Бернулли-Эйлера, находящейся под действием сосредоточенных нагрузок (в том числе тепловых и диффузионных возмущений), приложенных к концам балки. Получено интегральное представление решения и разработан алгоритм построения функций Грина, основанный на использовании интегрального преобразования Лапласа и разложения в тригонометрические ряды Фурье. Приведены примеры расчетов, демонстрирующие корректность и практическую применимость модели.

Третья глава расширяет исследования на случай балки, расположенной на упругом основании, с учетом влияния термодиффузионных процессов на её напряженно-деформированное состояние. Математическая постановка задачи включает уравнения и начально-краевые условия, полученные в Главе 1. Подход к решению также, как и в Главе 2 основан на использовании метода разделения переменных посредством применения преобразования Лапласа и разложенния искомых функций в ряды Фурье. Приведены численные примеры, иллюстрирующие влияние упругого основания на процесс колебаний, а также влияние конечной скорости распространения тепловых и диффузионных потоков на поле перемещений и на кинетику тепломассопереноса.

В четвертой главе рассмотрены нестационарные термомеханодиффузи-онные колебания консольно-закрепленной ортотропной балки Бернулли-Эйлера, находящейся под действием распределённых поперечных нагрузок и поперечной силы, приложенной к свободному концу балки. Для решения поставленной задачи был разработан алгоритм, основанный на использовании преобразования Лапласа, разложений в тригонометрические ряды Фурье и метода

эквивалентных граничных условий.

С целью верификации полученных результатов, для всех рассмотренных задач изучены переходы от термомеханодиффузионной модели к классическим моделям теории упругости, что позволило оценить степень взаимодействия физических полей в изгибаемой балке. Кроме того, выполнены предельные переходы к статическим задачам, решения которых хорошо известны.

Результаты моделирования в каждой главе представлены в аналитической и графической формах, что позволило дать наглядное представление о характере, качественных и количественных оценках взаимодействия физических полей в изгибаемых балках. В конце каждой главы приведены основные выводы, полученные на основе выполненных расчетов.

В заключении приведены общие выводы по диссертационной работе.

Целью диссертационной работы является исследование взаимодействия нестационарных механических, диффузионных и температурных полей в изгибаемых балках, рассматриваемых в рамках теории Берну. 1.1 и Эи. пери. Исследование включает в себя формулировку общей постановки задачи о нестационарных термоупругодиффузионных колебаниях балки и разработку методов решения начально-краевых задач, соответствующих заданным условиям нагру-жения и закрепления балки.

Актуальность работы связана с тем, что за последние годы значительно возрос интерес ученых к проблеме исследования связанных термомеханодиф-фузионных процессов в сплошных средах и тонкостенных элементах конструкций (балки, пластины, втулки, валы, трубопроводы и т.п.), что подтверждается большим количеством научных публикаций, как российских, так и зарубежных ученых.

С другой стороны, надо отметить, что подавляющее большинство публикаций связано с моделированием как стационарных, так и нестационарных процессов в телах канонической формы: слой или полупространство. В то же время,

реальные тела имеют конечный размер. Поэтому весьма важными и актуальными являются вопросы, связанные с разработкой моделей термомеханодиффузии для балок, пластин и оболочек, которые являются основными элементами конструкций, используемых в технике.

Методы исследования. Для построения замкнутой модели термомеха-нодиффузионных колебаний балки используется математический аппарат линейной теории упругости, законы тепломассопереноса, гипотезы балочной теории Бернулли-Эйлера и обобщённый принци Даламбера, позволяющий перейти от общих уравнений термоупругой диффузии для сплошных сред к уравнениям, описывающим поперечные колебания балки с учётом тепломассопереноса. Метод решения основан на применении аппарата обобщенных функций, теории интегральных преобразований и рядов Фурье. Также применяется метод эквивалентных граничных условий, который позволяет выразить решение одной начально-краевой задачи через известное решение другой задачи, отличающейся от исходной только набором краевых условий.

Научная новизна работы заключается в постановке и разработке численно-аналитических методов решений нового класса нестационарных задач термоупругодиффузионных колебаний балки Бернулли-Эйлера при различных сочетаниях внешних нагрузок и способов закрепления балки. В частности, были решены задачи для шарнирно опертых и консольно закреплённых балок, а также для балок на упругом основании Винклера.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется применением устоявшихся в научной практике методов построения моделей механики деформируемого твердого тела и термодинамики, а также апробированных подходов для решения начально-краевых задач. В дополнение к этому, проведено сравнение полученных решений с известными результатами для упругих балок, а также исследованы предельные переходы к известным решениям статических задач, что подтверждает корректность предложенных в

работе моделей и методов решения соответствующих начально-краевых задач.

Практическая значимость работы обусловлена тем, что при проектировании конструкций и их отдельных элементов, функционирующих в условиях многокофакторных внешних воздействий, важнейшим вопросом при оценке прочности материалов является учет влияния теплового и диффузионного движения частиц в твердом теле на процессы деформирования.

Термомеханодиффузия с одной стороны может приводить к нежелательным структурным изменениям в конструкциях авиационной, ракетно-космической и транспортной техники, подвергающихся механическим и термодиффузионным нагрузкам. С другой стороны, она играет ключевую роль в технологических процессах, связанных с изготовлением новых сплавов или с обработкой уже изготовленных сплавов с целью изменения их свойств. Примерами таких технологических процессов являются: диффузионная пайка и диффузионная сварка, которые с конца XX века активно внедряются в производство летательных аппаратов. Необходимо отметить, что явление термомеханодиффузии характерно для процесса поверхностной модификации металлов, в том числе и для таких широко распространённых процессов как: цементации стали, электроискровая и лазерная обработка материалов.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

- разработка математической модели нестационарных термоупругодиффу-зионных колебаний балки Бернулли-Эйлера с учётом конечной скорости распространения тепловых и диффузионных потоков;

- разработка методов решения начально-краевых задач для шарнирно опёртых и консольно закреплённых балок, а также балок на упругом основании;

- расчёт нестационарных термоупругодиффузионных колебаний шарнирно опёртой балки, находящейся под действием сосредоточенных механических нагрузок и термодиффузионных возмущений, приложенных к концам балки;

- расчёт нестационарных термоупругодиффузионных колебаний балки на упругом основании, находящейся под действием распределённых поперечных сил и термодиффузионных возмущений.

- расчёт нестационарных термоупругодиффузионных колебаний консольно закреплённой балки, находящейся под действием распределённых поперечных сил, а также поперечной силы приложенной к свободному концу;

- численное исследование взаимодействия механического, температурного и диффузионных полей в изгибаемых балках.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на всероссийских и международных научных конференциях, симпозиумах и семинарах:

- 11-я Всероссийская научная конференция с международным участием «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред» (г. Москва, ИПРИМ РАН, 23 - 25 ноября 2021 г);

- XI научно-практическая конференция «Проблемы безопасности на транспорте» (г. Гомель: БелГУТ, 2021);

- XVI Всероссийская школа «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 26-31 мая 2022 г);

- Научная конференция «Ломоносовские чтения» Секция механики (г. Москва, МГУ, 2022-2025);

- Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Калужская область, г. Кременки, 2022-2024);

- Конференция «Механика деформируемого твердого тела в проектировании конструкций» (Пермь, 2022);

- XXIII Зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, Россия, 2023);

- XXI Международная конференция «Современные проблемы механики

и

сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2023);

- V Международная научно-практическая конференция, посвященная 70-летию БИИЖТа-БелГУТа «Инновационное развитие транспортного и строительного комплексов» (г. Гомель, Беларусь, 2023);

_ шк0ла_к0нференция «Актуальные проблемы механики» памяти Д.А. Индейцева (Великий Новгород, 2024);

- 3rd International Conference on Advanced Smart Materials and Structures (ASMaS-2024) (Viet Nam, 2024)

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано: 5 статей в рецензируемых журналах, 4 статьи в сборниках трудов всероссийских и международных конференций и 12 тезисов докладов. Всего 21 публикация.

Глава 1

Математическая постановка нестационарных задач термоупругодиффузионных колебаний балки Бернулли-Эйлера

1.1. Современное состояние исследований

В настоящее время анализ связанных физико-механических процессов в сплошных средах приобретает особую актуальность, поскольку для безопасного и надёжного функционирования технических систем необходимо учитывать эффекты взаимодействия различных физических полей, таких как температурные возмущения и массоперенос. Изучение взаимодействия процессов диффузии, теплопереноса и напряжений представляет собой обширную область исследований, охватывающую как экспериментальные, так и теоретические подходы. При этом, наибольший практический интерес вызывают задачи термомеханодиффу-зии для балок, пластин и оболочек, которые являются основными элементами конструкций, используемых в технике.

Первые экспериментальные исследования, направленные на изучение взаимодействия механических и диффузионных полей, появились в 30-х годах XX века [7]. Последующий анализ экспериментальных и теоретических результатов показал, что упругие деформации сжатия лишь незначительно снижают коэффициент самодиффузии в некоторых металлах [97, 99]. Этот факт позволяет сделать вывод о том, что упругая деформация оказывает слабое влияние на процессы диффузии, и основные механодиффузионные эффекты наблюдаются только в области пластической деформации.

С другой стороны, эффект взаимодействия механического и диффузион-

ного полей усиливается при повышении температуры тел, что подтверждается результатами, полученными в работе [43]. Здесь исследовалось влияние деформаций на массоперенос в пластине из поликристаллического никеля, покрытой медью, к краям которой приложена растягивающая нагрузка при температуре 1073 К. В результате экспериментов было выявлено значительное различие (до 53%) средних концентраций по толщине пластины при наличии и в отсутствие нагрузок.

Современные исследования сосредоточены на разработке уточненных моделей тепломассообмена, способных учитывать конечную скорость распространения тепловых и диффузионных потоков, что имеет ключевое значение для анализа нестационарных процессов с высокой скоростью протекания. Экспериментальные данные и теоретические постановки, охватывающие механодиффу-зионные и термомеханодиффузионные эффекты, активно применяются в технике и находят отражение в трудах отечественных и зарубежных исследователей, подчеркивая значимость данной области исследований для современных динамических систем [35,63,91,102]

Содержательная теория температурных напряжений начала формироваться лишь ко второй половине XIX века [95]. На основе последующих фундаментальных исследований [97 99], выполненных в середине XX века, к 60 70-м годам была разработана математическая теория термомеханодиффузионных процессов, представленная в работах [10 12,51,53,101]. Среди более современных работ российских ученых следует отметить публикации [9,13,14,24 30,32 35,41, 44,46,47,49,56,79,80,85,86,96,100,108 112]. Различные модели и методы решения задач термомеханодиффузии (с возможным учетом других физических полей) за последние десятилетия рассматривались в исследованиях международных научных групп [60 70,74 78,81,87 92,102,105,113,114].

Применительно к тонкостенным элементам конструкций следует отметить работы [58,59], где исследуется влияние диффузионных процессов на несущую

способность пологой трансверсально-изотропной оболочки. Контактное взаимодействие стержня с упругим полупространством с учетом тепломассопереноса рассматривается в работах [67,78]. Публикации [64,68,69] посвящены исследованию механодиффузионных процессов в пластинах. Расчет сферических оболочек с учетом диффузии рассмотрен в [76]. Нелинейные модели термоупругих колебаний балки Тимошенко рассматривались в работах [65,70 72,82]. Эти исследования рассматривают различные подходы к построению математических моделей, что позволило существенно повысить точность расчетов и создать теоретическую базу для анализа сложных инженерных систем.

В публикациях [58,67,78] исследуются стационарные процессы термомеха-нодиффузии, что полезно для расчета стационарных режимов работы технических систем. Анализа кратковременных импульсных термомехпнодиффузнойных процессов в сплошных средах с учетом конечной скорости распространения тепла и массы представлен в работах [36,39,55,60,62,64,79,89,103,108,109,113]. Также представляют интерес исследования нестационарных процессов термо-механодиффузии с учетом электромагнитных полей [66,74,114].

Конечная скорость распространения тепловых, диффузионных потоков и учитывается дополнительными инерционными членами в уравнениях тепломассообмена. Известно, что инерционные члены впервые были введены в уравнения теплопроводности Максвеллом, а в 1948 году Каттанео предложил вариант закона Фурье с релаксационным членом. Эта идея была расширена на модели, описывающие диффузионные процессы. В настоящее время существуют различные обобщения законов Фурье и Фика, такие как модели Лорда-Шульмана, Грина-Линдси, Грина-Нагди и другие, которые описаны в работах 2-й половины 20-го века [55,60 62,79,83,84,113] и в более современных публикациях [67,68,76,81].

Одной из ключевых трудностей при решении связанных задач термоме-ханодиффузии является проблема обращения преобразования Лапласа, которое составляет основу аналитических методов для решения нестационарных

задач. Для выполнения обратного преобразования Лапласа в научной литературе предлагаются различные подходы, включая метод Дурбина и его модификации [60,66], квадратурные формулы на основе ортогональных полиномов Лежандра [76], а также методы, основанные на суммах Римана [89, 90]. Эти методы продемонстрировали свою эффективность при вычислении оригиналов для определенного класса функций, что подробно изложено, например, в работе [37].

Тем не менее, изображения, получаемые при решении конкретных задач термомеханодиффузии, зачастую оказываются столь громоздкими, что возможность их аналитической обработки либо численной аппроксимации остается под вопросом. Кроме того, указанные методы не подходят для нахождения функций Грина, поскольку последние принадлежат к классу обобщенных функций, что существенно усложняет использование стандартных численных методов интегрирования.

В связи с развитием вычислительной техники численные методы, такие как метод конечных разностей [44,49] и конечных элементов [67,77,104,105,114], широко применяются для решения начально-краевых задач. Однако их использование требует анализа на устойчивость, который влияет на сходимость полученного решения к исходной задаче. Это сложная задача, связанная с проверкой зависимости используемых схем от параметров модели, включая коэффициенты дифференциальных операторов, входящих в уравнения, а также в начальные и граничные условия. Таким образом, корректность численных методов требует отдельного изучения для каждого конкретного случая.

В заключение следует отметить, что все вышеупомянутые исследования рассматривают модели для бинарной среды, что связано с известными математическими трудностями, возникающими при решении многокомпонентных задач термомеханодиффузии. В доступных публикациях отсутствуют постановки задач, касающихся нестационарных термоупругодиффузионных колебаний

многокомпонентных балок и пластин, а также методов их решения. Таким образом, задачи, рассматриваемые в диссертации, обладают научной новизной и являются уникальной особенностью данной работы.

1.2. Модель термоупругодиффузионных процессов в сплошых средах

Исследование посвящено проблеме нестационарных колебаний балки Бер-нулли-Эйлера с учетом конечной скорости распространения температурных и диффузионных процессов. Балка в общем случае находится под воздействием продольных и поперечных сил, изгибающих моментов, а также температурных и диффузионных полей. Схема приложенных сил представлена на рисунке 1.1.

и

Рис. 1.1 Иллюстрация к постановке задачи.

Для математической постановки задачи используется модель термоупруго-диффузионных процессов в сплошных средах в прямоугольной декартовой системе координат, которая в случае однородной среды имеет вид [11,24,25,33,85] (здесь точки обозначают производную по времени):

рщ = —+ + дх^

р** + + + Ц = 4», (1Л)

4=1

д Т(д) М Г](<1) = —+ У^ (д = Т^ , = — V ^,

0 Х:

=1

где т^, дг и (д = Т, Ж) - компоненты тензора напряжений, векторов теплового и диффузионного потоков, которые определяются следующим образом

п дик ^ (Ч) („) ^ (п)к дкдг дв

ч = ^ — ^в - £ о(М £ -дпк = дХ,,

1 д=1 к=0 3

Л (т^ д^ = _ V -п^дЛ + ЛС) +

^ к! Ык ^ гз дх, + гзк1дх,дх1 + гз дх,, к=0 =1

(1.2)

1п (П(п")/у(<1)^ гМ)^

^ = Р*То ^ ; , = 1п (п^) ,

А(д) = т Пг3 0к1 П0 п(дг) = п(д)(дг) Лгзк1 = , = П>'Э 9 '

рВТо

хг

иг

- длина балки; г]((?) = п(ч) — п^ - приращение концентрации д-ой компоненты вещества в составе N + Т - компонентной среды; п(ч) и п0д) - актуальная и начальная концентрации д-го вещества; в = Т — Т0, Т - актуальная температура среды, Т() - начальная температура среды; С^и - компоненты тензора упругих постоянных; р - плотность; - компоненты тензор а теплопроводности; с0 -

г

грев среды за счет деформаций; - коэффициенты, характеризующие объёмное изменение среды за счёт диффузии; - коэффициенты диффузии;

- термодинамический множитель Даркена; Я - универсальная газовая постоянная; т(ч) - молярная масса д-го вещества; т(ч) - время релаксации диффузион-

ных потоков; т^ - время релаксации тепловых потоков; Уи ) - внешние массовые возмущения.

Модель, используемая в данном исследовании, учитывает конечную скорость распространения тепловых и диффузионных возмущений, что обусловлено релаксацией тепловых и диффузионных потоков. Верхние пределы суммирования К и М в уравнениях ( ) определяются исходя из заданной точности расчета. Однако, как показывают расчеты в [79], практически всегда возможно ограничиться значениями К, М = 2, а в большинстве случаев приемлемая точность достигается уже при К, М = 1 (модель Катанео). Случай К, М = 0 соответствует классической модели тепломассообмена с бесконечной скоростью распространения тепловых и диффузионных возмущений.

1.3. Граничные и начальные условия

Уравнения (1.1) и (1.2) дополняются начально-краевыми условиями, необходимыми для выделения частных решений указанных систем уравнений, соответствующих заданным условиям нагружения. Далее ограничимся основными типами дополнительных условий.

Начальные условия принимаем такими:

UÁt=0 = иг0, = Vt0,

д тв dtm

lí=0 — мм, _ 0 дк

'т,

ftfk

t=0 Ul

rik" (1.3)

=0

(q = T^Ñ, m = 1,M - 1, к = 1,K - 1) .

Здесь иг0, уг0, 0т, r^ - заданные функции пространственных координат. Далее в работе будем полагать иг0 = 0 уг0 = 0 вт = 0 ^ = 0-

Граничные условия (G - область, заполненная материалом балки, П = dG - поверхность балки, пг - компоненты единичного вектора внешней нормали к dG:

механические нагрузки (дС = Пи и Па, Пи П Па = 0)

=

°ИП3 к = р & > °) ,

температурные воздействия (дС = П и П# П Пч = 0)

Щп. = 0,

М (

£

к=0

(пГ

к! дтк

= Яг (г > °),

п„

диффузионные воздействия (дС = П71 и П^ П П ПJ = 0)

Ы)

= N(ч).

п

К

Е

к=0

!

= ^ ((> 0),

п.1

(1.4)

(1.5)

(1.6)

Величины, стоящие в правых частях граничных условий (1.4) (1.6) представляют собой поверхностные кинематические иг7 О, Nи поверхностные динамические PiJ возмущения.

1.4. Модель нестационарных колебаний балки

Бернулли-Эйлера с учетом тепломассопереноса

Решение задачи об изгибе балки на основе уравнений термомеханодиффу-зии для сплошной среды (1.1) вызывает большие математические трудности. Обычно, в этом случае переходят к упрощенным уравнениям балочной теории. В данном случае, для построения уравнений изгиба балки с учетом тепломассопереноса перейдем к вариационной формулировке задачи (1.1) (1.6). Согласно вариационному принципу Даламбера соотношения (1.1) (1.6) можно представить в виде следующего вариационного равенства [15,107]

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ле Ван Хао, 2025 год

/ / / /

/ / / / _ _ тг-0,02 с. тг =0,01с. тг=0

/ / / / X

0 104 2- • ю4 3 ■ 104 4- 104 5-1

Рис. 2.20 Линейная плотность приращения температуры $ (х, т)

Влияние релаксационных эффектов па механические и температурные поля показано па рисунках 2.19 и рисунках 2.20. Если влияние конечной скорости распространения тпловых потоков па поле перемещений сравнительно невелико 2.19. то па кинетику теплоперепоса это оказывет существенное влияние. На рисунке 2.20 хорошо видны фронты тепловых воли (пунктирная и сплошная линии). В классической модели таких фронтов пет, так как температурное поле возникает одновременно во всех точках балки.

2.6. Выводы второй главы

Основные результаты второй главы следующие:

1. Дана постановка пачальпо-краевой задачи об изгибе шарпирпо опертой балки Берпулли-Эйлера, находящейся под действием нестационарных тер-момехаподиффузиоппых возмущений, приложенных к концам балки;

2. Предложен аналитический метод решения сформулированной задачи, основанный на использовании преобразования Лапласа и разложении в тригонометрический ряд Фурье по синусам. Это решение было использовано для моделирования термомеханодиффузионных колебаний балки при различных режимах нагружения;

3. Исследованы предельные переходы к классическим моделям термомеха-нодиффузии с бесконечными скоростями распространения тепла и массы, к классической упругой балке Бернулли-Эйлера, а также к статической модели термомеханодиффузии.

4. Выполнен ряд расчётов, результаты которых демонстрируют эффекты взаимодействия механических, тепловых и диффузионных полей в изгибаемой балке. Эти расчеты подтверждают, что нестационарный изгиб вызывает нестационарный тепло- и массообмен, а релаксационные термодиффузионные эффекты уменьшаются с течением времени. С другой стороны, результаты показывают, что взаимосвязь упругих деформаций с температурными и диффузионными полями при воздействиях на концы балки является достаточно слабой. Это соответствует результатам экспериментальных исследований других авторов.

Результаты, полученные в Главе 2, опубликованы в работах [21,107].

Глава 3

Нестационарные термоупругодиффузионные колебания балки Бернулли-Эйлера на упругом

основании

3.1. Постановка задачи

Рассматривается задача о нестационарных колебаниях балки Бернулли-Эйлера на упругом основании Винклера, находящейся в поле действия температурного и диффузионного полей. На балку действует нестационарная механическая нагрузка в виде распределённой поперечной силы и распределённого момента (3.1). Изгибные деформации порождают нестационарный тепломассо-перенос, который, в свою очередь, влияет на напряженно-деформированное состояние балки.

Рис. 3.1 Банка па упругом основании

Физико-механические процессы описываются уравнениями (1.36), которые в случае идеального твёрдого раствора (д^ = 5дг) запишутся так [ ]:

N

и" - (IV = У1У + ''

+ Ь#' + ^ а^Н] +

С,,,V -

д + т

Л (^

к=о

- '' + ^ ^Я,^ = + Я

Лз '

(о)

Лз

2(<?)

к=о ' 3

N

#N+1 = - .

=1

Уравнения (3.1) дополняются начально-краевыми условиями, которые в соответствии с принятой схемой нагружения (рис. 3.1) имеют вид

+ м + Е^ч)

+ м + Е^Ч-)

= 0,

ж=0

= 0,

Ж=1

^\х=0 = 0, ^х=1 = 0, ^1х=о = 0, = 0,

Н,|ж=о = 0, Нч|ж=1 = 0. Начальные условия полагаются нулевыми.

г=0 = 0, ^

= 0,

=о

дтт

=о

= 0, дкНч

= 0,

=о

(ш = 0, М - 1, к = 0,К - 1, д = 1, Ж) . 3.2. Алгоритм построения функций Грина

Решение задачи (3.1), (3.2) ищется в интегральной форме

/■ \ V (X, т) N+3 1 ^ б 1к (х

< § (х, т) =е//! о (О й- ,£,т ) >Рк К, г)(И

Нд (х, Т) к=1 0 0 66 д+2,к Г-г)

(3.2)

где (х,т) - поверхностные возмущения, заданные в уравнениях ( ), и имеющие вид:

(¡ + т' ^ (___ч д1^ ^ (___ч х^^

(х,т) =

^ , (Х,Т) = —, (Х,Т) = ,

С ¡к - линейные функции Грина задачи ( )-( ), которые удовлетворяют урав-

нениям

N

С[1 + Ьд'^ + ^ а^С';^ + (51к + 51к5 (х - £) 5(т),

м , ,к

Е

(тоТ

к! дтк

3=1

N

к=0

к , лк Г1,

(5'к - В\С 1к + ^ Ч+Щ = К1&2к + ¿2 к5 (х - С) 5(т), (3.5)

4=1

) 9к^ч+2,к - г>1?)п" I Л/Г(я)пч

к=о

к!

^ = ^ + Лп ^-М^С'к + 6ч+2,к6(х - е) 6 (г)

и следующим граничным условиям

N

<51к + 2 к + ^2

=1

N

= 0,

х=0

<51к + Ь1& 2 к + ^2 =1

= 0, (51к

= 0,

х=1

а

с1к

С 2 к

Ч+2,к

х=о

(3.6)

х=1

= 0,

х=о

= 0, в2к

х=1

= 0,

х=о

= ° ^ 9+2,к

= 0.

х=1

Для построения функций Грина применяем к задаче (3.5) и (3.6) преобразование Лапласа по времени, получаем:

8 Сг^ — &8 С\к —

2 ЯтЬ

С

IV 1 к

Ь N

+ ъ^Ь ^2 а1)&+2,к + ^(5Ьк - б1кб (х - с),

=1

М 8к+1 (то)к к!

к=о

(т„) '

Е

N

О Ьк - В1 С'1Ь + ^ Ь+2,к =1

= «1СЬ + ^2 к6 (х - £) , (3.7)

К к+1 (_ )к

5 (тд) яь = л Ы

к! ид+2,к = л11

к=о

С

IV 1 к

Ь

м{ч)&% + В^д'+^к + ¿,+2,к5 (X - 0;

~ L ~L N (з) ~L \

3=1 )

3=1

N

iL , v^ Лз)kL

x=0

GiL + b\G L + G.

1 ^j+2,k

=1

= 0,

x=1

G

G L

x=0

x=0

G L

Gq+2,k

x=0

= 0, G

= 0, G = 0, G

x=1

= 0,

x=1

= 0,

L

q+2,k

= 0.

x=1

Затем домножаем каждое уравнение на sin Anx, Хп = ъп и интегрируем в промежутке [0,1]. Получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений

Здесь

п (s) GLkn , s) - biX¿nGLkn , s) -

2 к L

N

=1

®1)GJ+2M (£, s) = 2$1k sin An^,,

Biko (s) X2nGLkn к, s) + k2n (s) GLkn К,s) +

L

N

+ko (s)Y^ v{j)GL+2M К, s) = 2 ¿2k sin Xn^, 3=1

-ЛП XnGLkn (£, s) - MlqqX2nGLkn (£, s) +

(q)\2Gk L

n

+kq+2,n (S) GL+2,kn (Z, s) = 2Óq+2,k sin An£.

00

Gik i kn nxi An

= ъп,

n=1

GLkn (C, s) = 2 GLk (x,C, s)sin AnXdx,

(3.9)

(3.10)

k1n (s) — k1n (s) + Cw,

а величины k1n (s), k2n (s), kq+2,n (s) и k0 (s) находятся по формулам (2.15).

1

Решение системы (3.9) имеет вид

где

с Ькп (С,з) =

^Ь+2,кп (£, =

Дкп (8

Рп (5

Бт Хп^ (г = 1, 2),

2$д+2,к + Рд+2, кп (8)

К+2,п (5) <§ап (в

й1п Хп(,

Рп (8)

к1п («) к2п (в) + ко (в) Апв1^1 Пп (з) +

N N

+ко (8) хп £ сЩ? (в) м^пп м - лп £ ЫЦ (8) л^ п

3=1 3=1

N N

+ко (8) \п ££ ^ ^п ^п (8), =1 =1

Ядп (8) = Рп (8) кд+2,п (8) ,

11 п

(3.12)

Р11п (8) = 2&11п (8) , Р12п (8) = ^п^Уп (8) ,

Р1,д+2,п (8) = 2Х

N

С^ (8) Пп М - ко (8) хп^2 М^БЗдп (5

3=1

Р21п («) = -2ко (<§) Х2пБ21п (8) , Р).2.п (<§ ) = 2Е)2.2.п. (5

Р2,д+2,п (й) = -2ко (в

Сы (й) Пдп (5) - -п

N

лпЕ л^'ш п

=1

-3 чп

Рд+2М (8) = Л^ АпЛкп (5) + М^^Ы (8) ,

N

$22п Ы = кт (в) Пп (в) -

1 п

«1 'ЛЦ П^п (5

=1

(«) = к1п (8)у1з) + хпв1а1\

(3.13)

Остальные параметры определены в п. 2.3 (формулы (2.17)).

2

п

Оригиналы в (3.11) находим с помощью вычетов и таблиц операционного исчисления (здесь штрих обозначает производную по параметру s) [ ]

Е

(5К, r) = Y,Ásin , 3=1

Е

(5q+2,kn К, г) = £ Á%Mes^ sin + (3.14)

3=1

ЩП = ЪМ Q = ITS, к = 1ТЖ+2, i = l, 2) ,

(Sjn)

= ^Г^ (г = IS, д = TW) ,

5qn ( Srn)

ж,=Pq+2M (xqin) (i=^m),

^^'цп (Хд1п)

Где ( \п) - нули полинома Рп (в), Хцп ~ нули многочлена кч+2,п (<§), которые в случае модели Максвелла-Каттанео-Вернотта-Лыкова (К =1) находятся по формулам (2.23).

3.3. Переход к бесконечным скоростям распространения тепловых и диффузионных возмущений, к классическим задачам упругости и к статическим моделям

При переходе к классическим моделям с бесконечной скоростью распространения тепловых и диффузионных потоков формулы (3.14) запишутся следующим образом [г = 1, 2, т = 1, N + 2) (см. п. ):

<тк (х, С, Т) = £ <5ткп (£, т) Sin ЛПЖ,

гтк

п=1

N+3

<<гкп К, = Sin Лп(,

3=1 (3.15)

<5q+2M к, Г) = (26д+2к + sin Лп^+

N+3

+ Е^кп^ Sin Лп^,

3=1

где коэффициенты ^¡г!кп находятся по формулам (3.14) с учетом (2.24).

Полагая далее в равенствах ( ) и ( ) af^ = 0 ^ = О, а также cw = О, получаем трансформанты функций Грина классической задачи для шарнирно опертой балки Бернулли-Эйлера, находящейся под действием распределённой

поперечной нагрузки

00

<5L(el) (Х,£, s) = £<5 Lin к, s) sin Л

п=1

Ж sin Лп(; sin ЛпХ

2

п=1 (Лп + a)s2 + Лп

Оригинал находим по таблицам операционного исчислений [8]

7п sin 7пт sin Лп^ sin Лпх

<<{е1) (х,С, т) = -2^

i лп

п 1 п

Лп

7п =

(3.16)

л/К + а

Наконец, для нагрузок, заданных в виде

^ (х, т) = Рк (х)Н (г) (к = 1,Ж + 3) ,

преобразуя свёртки (3.3) по методике, описанной в п. 2.4 (формулы (2.27)), получаем решение статической задачи об изгибе балки на упругом основании, находящейся под действием распределённых термоупругодиффузионных возмущений

N+3 „ i

v(st)(x) = W (5if (x,$Fkк)«, k=iJ° N+3 ,, i

$(st)(x) = E / ((2?(x,ohm, k=iJ° N+3 r i

H^ (x) = E i (^k (x,(ОС

k=r°

Здесь (5if (x, О _ статические функции Грина, определяемые по форму-

лам

(if(x, о = Е sin Anx sin ^ — 2Ф E siia4nx sin An£,

n=i (Q) n=1 An

r(st) (x Я-V pi2n (Q) sln A x smA P- 2Ф V sln Anx sinA P

(i2 (x, S ) — 5 in\ sin Anx sin AnS — --A4-sin ^ ,

n=i Pn (Q) Ki n=i An

(5i;:+2 (x, 0 — £ ^ sin Anx sin An£ — 2Ф,а?) £ sin An£,

n=i Pn (Q) n=i An

5( st) ( С\ ^p22n (Q) . л . л c 2 ^ sin Anx . w

(22 (x, 6) — > —^-sin Anx sin Ant — — > —77;—sin Ant,

22 (, ¿i Pn (Q) n n? n= An n?,

(5Й2д (x, 0 — £ PTn((Q) sin Anx sin An£ — 2ФЛЙ) £ sin An£,

(3.17)

Ц/n (Q) n=i An

q^^x 0 — EPg/52,2/n(Q) sin Anx sin Xni — ФEsin An£,

n=i (5n(Q) KiDi n=i An

00

5( si) / гЛ Pq+2,p+2,n (Q) • л • л л ,

,+2,^+2(x, О — * / (Q)—sin Anx sin An£+

n=i 4n (Q)

э . л г (pK (q) то . л

-л sin Anx dpq + фр«1 ЛЦ ^ sin Anx .

---- sin Ant — 2 —-^-t1-— > --si]

n=i W (Q) ^ Di" ^ An

В формулах (3.17) введены следующие обозвачения

N (

ф = >=

NN N

ПП" - £а«>ЛЙ> П <

.7=1 3=1 г=1,г=

N

\

П <

Ф, = ^-^-N-, (З-18)

- Е«(/'Лп' п П"

3=1 3=1 г=1,г=

N N N

Ь1 + ^'м^' П п(;'

ф _ 3=1 3=1 г=1, г=

N N N

ио(' - ЕаЮл«> П

3=1 3=1 г=1,г=]

При этом, очевидно, что

N

Ф - _ !. (3-19)

=1

3.4. Примеры расчетов

Возьмем для расчета балку длины I _ 0.01м и сечением Н х Ь _ 0,05 I х 0,05 /, выполненную из трехкомионентного (Ж _ 2) материала - дюралюминия (независимые компоненты цинк и медь диффундируют в алюминии), физические характеристики которой приведены в п. 2.5 (формулы (2.29)). Коэффициент постели берём равным

Н

_ 1010 —

м

Распределённую нагрузку задаем в виде:

^ (х, т) _ Н (т)Н (х) , Рд+2 (х, т) _ 0.

Подставляя (3.20) в формулы (3.3) получаем с учетом равенств (3.10) и (3.14)

00 £ а т -л

т) = ^ [1 - (-1Л -АnX,

п=1 = Лп'^п

то £

\п Я (Я

* (х, *-) = ££[! - (-1)"] А^,^^ ™ Апх,

п=1 ] = 1 и

00 £ с т -1 _ __.ч р^Jп^ _ I

н- (х, т) = ЕЕ [1 - (-1)п] А^м ™ Апх+

АпЬпп

п п

п=1 2=1 и

то К+1 X ' т 1

+ЕЕ [1 - (-1)п] А^£+лп ЦП--1 »¡п Ап.х.

т ■ 1 АпХ.апп

п=1 ]=1 ^

Результаты расчетов представлены на рисунках 3.2-3.9. Рисунок 3.2 иллюстрирует прогибы балки, в то время как рисунок 3.3 демонстрирует температурное поле, вызванное заданными механическими нагрузками. Рисунок 3.4 отображает пространственно-временное распределение приращения концентрации цинка, происходящих в изгибаемой балке.

На рисунках 3.5 и 3.6 приводится сравнение прогибов балки для моделей с релаксацией (сплошная линия), без релаксации (пунктирная линия) и упругого решения при ая = 0 и Ь1 = 0 (штриховая линия). Видно, что влияние диффузии и нагрева на прогибы балки увеличивается с течением времени. На рисунке 3.6 можно видеть, что упругие колебания (штриховая линия) в момент времени г ~ 106 имеют заметный фазовый сдвиг относительно термоуиругодиффузиои-ных кодебаний. Однако, на более ранних стадиях развития процесса (г ~ 101) графики практически совпадают (рисунок 3.5). При этом амплитуды упругих и термоупругодиффузионных колебаний на протяжении рассматриваемого промежутка времени остаются примерно равными. Тот же самый результат имеет место для балки, изгибаемой под действием моментов, приложенным к её концам (рис. 2.4 и 2.5).

На рисунке 3.7 продемонстрировано сравнение прогибов балки при наличии упругого основания и при его отсутствии. Расчеты показывают, что упругое

основание аналогичным образом влияет и на диффузионное поле.

Рис. 3.2 Прогибы балки V (х, т)

Рис. 3.3 Плотность приращение температуры $ (х, т)

Рис. 3.5 Прогибы балки с учетом релаксации при тг = 2 • 10 2 е., т(9) = 200 с. (сплошная линия), без релаксации (пунктирная линия), решение упругой задачи (штриховая линия)

2,0

1,5

1,0

0,5

-3 1

/ / / \ ( N \ \ \ \ \ \

/ / / / / / / / / / / \ \ \ \ \

у \ \ \ \ \ \

N \ / ч / 1 / V. / - т(1)=200с.\ .......... т«-0с. --упругая балк \ \ \ \ ч

10°

106 + 10 106 + 20 106+30 106 + 40 т

Рис. 3.6 Прогибы балки с учетом релаксации тг = 2 • 10 2 е., т= 200с. (сплошная линия), без релаксации (пунктирная линия), решение упругой задачи (штриховая линия)

" V, 10 \

\

/

\

- модель с упругим основанием \ - модель без упругого основания \ V ...у

0 10 20 3 0 40 т

2.5-

2.0-

1.5

1.0

0.5

Рис. 3.7 Прогибы балки при наличии упругого основания (сплошная линия) и без упругого основания (пунктирная линия)

Г / / / / / / Г

т(1' =200 с. т(1)=100 с. т(1)=0 >

/ / / / / / г

/ / / / / /

/ / / / / /

/ / / / / / z-— • 1,10^

Рис. 3.8 Плотность приращения концентрации первой компоненты (цинк) с учетом релаксации ъ = 2 • 10-2с., т= 200с. (сплошная линия), т^ = 10-2с., т= 100с. (пунктирная линия), без релаксации (штриховая линия)

Рис. 3.9 Плотность приращения концентрации первой компоненты (цинк) с учетом релаксации тг = 2 • 10-2с., т= 200с. (сплошная линия), = 10-2с., т= 100с. (пунктирная линия), без релаксации (штриховая линия)

Влияние релаксационных эффектов на кинетику массопереноса продемонстрировано на рисунках 3.8 и 3.9. Видно, что с течением времени релаксационные эффекты затухают. Решение задачи с конечной скоростью распространения тепловых и диффузионных потоков (сплошная и пунктирная линии на рис. 3.8 и 3.9) приближается к решению задачи с бесконечной скоростью распространения тепловых и диффузионных потоков (штриховая линия на рисунках 3.8 и 3.9).

Таким образом, учет конечной скорости распространения тепловых и диффузионных потоков важен при рассмотрении импульсных и быстроменяющихся во времени процессов. При моделировании установившихся процессов можно ограничиться использованием классических моделей тепломассопереноса с бесконечной скоростью распространения тепла и переноса массы.

3.5. Выводы третьей главы

Основные результаты третьей главы следующие:

1. Сформулирована начально-краевая задача об изгибе балки Бернулли-Эйле-ра на упругом основании Винклера, находящейся под действием распределённых по длине балки нестационарных термомеханодиффузионных возмущений;

2. Предложен аналитический метод решения сформулированной задачи, основанный на использовании преобразование Лапласа и разложение в ряд Фурье;