Моделирование одно- и двухфазных неизотермических течений термовязких жидкостей в каналах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Галеева Дилара Рустэмовна

• Галеева Дилара Рустэмовна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Галеева Дилара Рустэмовна

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Виды температурной зависимости вязкости жидких сред

1.2. Течение жидкости в диффузоре

1.3. Метод фазового поля

Глава 2. Течение термовязкой жидкости в коническом диффузоре

2.1. Постановка задачи

2.2. Численная схема

2.3. Численные результаты

Глава 3. Моделирование динамики двухфазных систем методом

фазового поля

3.1. Постановка задачи

3.2. Численная схема

3.2.1. Линеаризация уравнения Кана-Хилларда

3.2.2. Численный алгоритм для линеаризованной системы уравнений

Кана-Хилларда

3.3. Результаты моделирования

Глава 4. Моделирование деформации капли методом фазового поля

4.1. Постановка задачи

4.2. Результаты моделирования

4.2.1. Моделирование без температурного поля

4.2.2. Моделирование с температурным полем

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования

В различных технологических процессах жидкости часто подвергаются температурному воздействию, поэтому исследование термовязких сред является актуальной задачей.

Учет зависимости вязкости от температуры имеет критически важное значение для точного и физически корректного моделирования задач гидродинамики, особенно при больших температурных перепадах.

Вязкость большинства жидкостей имеет монотонную зависимость от температуры, то есть повышается при снижении температуры. Такие жидкости достаточно хорошо исследованы, и их характеристики известны.

Однако существуют жидкости, у которых в определённом температурном диапазоне происходят процессы полимеризации или деполимеризации, то есть вязкость жидкости резко возрастает или, наоборот, убывает. Такие жидкости с аномальной температурной зависимостью вязкости представляют интерес для исследователей, так как встречаются в самых разных областях: от нефтяной промышленности до медицины и косметологии.

В медицине актуальной является задача разработки термочувствительных систем доставки лекарств в организме, которые высвобождают действующее вещество в ответ на изменение температуры. Например, разработка термочувствительного геля или нанокапсул с лекарственным препаратом. Гель вводится в организм в жидком состоянии, при нагреве до температуры тела он переходит в гелеобразное состояние, высвобождая лекарство в течение длительного времени. Современные исследования направлены на создание систем, которые могут доставлять лекарство непосредственно к опухолевым клеткам или другим пораженным тканям.

Исследованием свойств термовязких жидкостей активно занимаются отечественные ученые (Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю., Урманчеев С.Ф, Киреев В.Н., Низамова А.Д., и др.) и зарубежные исследователи (Rakotomanana L. R., Kim W., Chair T.S., Khanum, S., Tiwari, N. и др.).

Изучение особенностей поведения отдельных капель в потоке с неоднородным температурным полем является актуальной задачей в самых разных областях науки и промышленности.

В химическом катализе представляет интерес синтез полимерных наночастиц методом эмульсионной полимеризации в микрореакторе. Контроль температуры позволяет регулировать размер и структуру полимерных частиц, что важно для создания материалов с определенными заданными свойствами.

Эмульсии и микроэмульсии широко используются в косметической и пищевой промышленности, фармацевтике, в химическом производстве и т.д. Температура играет важную роль в формировании и стабильности этих систем. Для разработки методов стабилизации эмульсий при повышенных температурах, необходимо изучать влияние температуры на коалесценцию (слияние) капель и седиментацию (осаждение) в эмульсиях.

В нефтяной промышленности по-прежнему актуальна задача эффективного разрушения асфальтенов, окружающих капли воды в нефти.

В настоящее время разработано множество подходов для моделирования двухфазных сред. Течение дисперсных систем активно изучают как зарубежные (Kim J., Lac E., Sherwood J.D., Badalassi V.E., Guido S., Nath B. и др.), так и отечественные исследователи (Нигматулин Р.И., Любимова Т.П., Прокопьев С.А., Губайдуллин Д.А., Ковалева Л.А., Чашечкин Ю.Д. и др.). Однако все подходы обладают теми или иными недостатками, например, требуют явного отслеживания границы раздела между фазами на каждом временном шаге, что приводит к значительному увеличению времени расчета, и т.д. Поэтому актуальной задачей является не только совершенствование существующих моделей, но разработка новых. Более того, разработка моделей гетерогенных сред с температурным воздействием с учетом аномальной вязкости является слабо изученной задачей.

Актуальность темы исследований обусловлена необходимостью развития математических моделей, описывающих гидродинамику течений с аномальной зависимостью вязкости от температуры в каналах, а также диффузорах различной геометрии. Практическое применение полученных результатов поможет в решении задач, связанных с транспортировкой дисперсных систем.

Соответствие содержания диссертации специальности

Соответствует пунктам раздела паспорта данной специальности:

3. Гидравлические модели и методы расчета течений в водоемах, технологических устройствах и энергетических установках.

4. Ламинарные и турбулентные течения.

7. Течения многофазных сред (газожидкостные потоки, пузырьковые среды, газовзвеси, аэрозоли, суспензии и эмульсии).

Цель диссертационной работы

Исследование гидродинамических характеристик однофазных и двухфазных неизотермических течений термовязких жидкостей с учетом температурной зависимости вязкости в каналах различной геометрии.

Задачи исследования

1. Исследование гидродинамических особенностей и расходных характеристик течения термовязкой жидкости в коническом диффузоре, а также гидравлического сопротивления диффузора при различных углах раскрытия и условиях теплообмена на стенках.

2. Разработка консервативной численной схемы для решения уравнения Кана-Хилларда на основе метода контрольного объема.

3. Построение математической модели течения двухфазной жидкости с использованием метода фазового поля.

4. Разработка программного продукта для численного моделирования течения двухфазных термовязких жидкостей в каналах различной геометрии с теплообменом.

5. Изучение деформации и скорости капли вязкой жидкости в потоке термовязкой жидкости с аномальной зависимостью вязкости от температуры в плоском канале.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Результаты численного моделирования динамики жидкости с монотонной и аномальной зависимостями вязкости от температуры в конических диффузорах. Зависимости гидравлического сопротивления и расхода диффузора от угла раскрытия при различных параметрах теплообмена.

2. Консервативная численная схема для решения уравнения Кана-Хилларда на основе метода контрольного объема.

3. Результаты численного моделирования динамики капли в потоке термовязкой жидкости с немонотонной температурной зависимостью вязкости в плоском канале с помощью метода фазового поля.

Научная новизна работы

Научная новизна работы заключается в развитии динамики дисперсных систем с неоднородным распределением температуры.

1. Выполнено численное моделирование течения термовязкой жидкости в коническом диффузоре с учетом зависимости вязкости от температуры, в том числе с аномальной вязкостью.

2. Исследованы зависимости расхода и гидравлического сопротивления диффузоров при течении термовязкой жидкости от угла раскрытия диффузора и параметров теплообмена.

3. Разработан численный алгоритм для решения задачи разделения фаз методом фазового поля на основе метода контрольного объема.

4. Численно реализована модель двухфазного течения жидкости с температурным воздействием в плоском канале и коническом диффузоре с учетом температурной зависимости вязкости.

5. Установлен характер деформации капель в потоке аномально термовязкой жидкости в зависимости от поверхностных свойств капли; проанализировано влияние вязкого барьера на скорость движения капли.

Научная и практическая значимость

Результаты диссертационной работы способствуют развитию теоретических представлений об особенностях однофазных и двухфазных течений жидкости с аномальной температурной зависимостью вязкости в каналах различной геометрии.

Полученные результаты могут быть применены при разработке различных технологических аппаратов, элементами которых могут быть диффузоры и конфузоры (теплообменники, гидравлические насосы и трубопроводы, климатические системы, конвекторы, радиаторы и т.д.).

Исследуемые нами процессы позволяют изучать явления, происходящие в технических устройствах, применяемых в различных сферах промышленности. Например, результаты моделирования двухфазных систем методом фазового поля помогут разработке новых технологий разделения водонефтяных эмульсий.

Обоснованность и достоверность полученных результатов основывается на строгом применении фундаментальных уравнений механики многофазных сред при математическом моделировании рассматриваемых процессов, что обеспечивает физическую и математическую непротиворечивость в рамках физических законов. Также проведено согласование численных расчетов в предельных случаях с аналитическими формулами и с данными физических экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование одно- и двухфазных неизотермических течений термовязких жидкостей в каналах»

Апробация работы

Основные результаты диссертации, были представлены на следующих конференциях:

• Международная научная конференция «бУЬУМ JANE В1Ь1М» (г. Астана, Казахстан, 2025);

• II Всероссийская весенняя школа-семинар молодых ученых «Актуальные проблемы науки и техники» (г. Уфа, 2025);

• Межрегиональная школа-конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Теоретические и экспериментальные исследования нелинейных процессов в конденсированных средах» (Уфа, 2022, 2025);

• Международная конференция «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения» (Уфа, 2024);

• 14-я международная конференция-школа молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах» (Москва, 2023);

• Международная летняя конференция «Физико-химическая гидродинамика: модели и приложения» (г. Уфа, 2023);

• International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (St. Petersburg, 2022);

• Всероссийская конференция с международным участием, посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (с. Кабардинка, 2022);

• XII Международная молодежная научно-практическая конференция «Математическое моделирование процессов и систем» (Стерлитамак, 2022);

Помимо перечисленных выше конференций результаты исследований также докладывались на научных семинарах Института механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского федерального исследовательского центра РАН (г. Уфа), кафедры прикладной физики Физико-технического института Уфимского университета науки и технологий (г. Уфа).

Методы исследования

Для исследования течения термовязкой жидкости сформулирована математическая модель на основе законов сохранения механики многофазных сред. Изучение двухфазных сред проводилось методом фазового поля. Для решения задач гидродинамики применялся метод контрольного объема с использованием алгоритма SIMPLE и метод конечных разностей. Верификация математической модели и метода численной реализации проведена путем сравнительного анализа с известными аналитическими и численными решениями, а также с результатами экспериментов других авторов.

Личный вклад соискателя

Постановка задач, обсуждение и анализ результатов осуществлены совместно с научным руководителем. Численная реализация моделей, компьютерные программы, расчеты, оформление результатов проведены соискателем самостоятельно.

Публикации

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 12 научных работах, в том числе 1 научная статья в журнале, входящем в базу данных RSCI [1], 2 научные статьи в рецензируемых научных изданиях, входящих в перечень ВАК [2,3], 9 - в изданиях, входящих в РИНЦ [4-12]. Получено 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ [13, 14].

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 125 страниц, 66 рисунков и список литературы из 135 наименований.

Во введении показана актуальность темы, выполняемой в диссертационной работе, поставлены цели, сформулированы научная новизна, обоснованность и достоверность результатов, значимость работы в различных областях науки и практики и представлена краткая структура работы.

В первой главе приведен литературный обзор теоретических и экспериментальных работ, посвященных исследованию динамики течения дисперсных систем.

Во второй главе проведено численное исследование динамики термовязкой жидкости в коническом диффузоре. Рассмотрено два вида зависимости вязкости от температуры: монотонная и аномальная.

В третьей главе разработана численная схема для моделирования динамики гетерогенных двухфазных систем методом фазового поля. Проведена верификация алгоритма путем сравнения с одномерным точным решением.

В четвертой главе численно исследуется движение и деформация капли в плоском канале с термовязкой жидкостью. Изучено влияние переменной вязкости на скорость и деформацию капли. Исследовано два случая: когда в канал помещается горячая капля и холодная.

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю к.ф.-м.н. Кирееву В.Н. за помощь при постановке задач, ценные советы и поддержку, д.ф.-м.н. Урманчееву С.Ф. за полезные замечания по вопросам интерпретации полученных результатов, д.т.н. Ковалевой Л.А., к.ф.-м.н. Мусину А.А. за полезное обсуждение результатов работы, ценные советы и оказанную поддержку.

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Виды температурной зависимости вязкости жидких сред

При исследовании течений жидкостей важно учитывать зависимость вязкости от температуры, так как она напрямую влияет на характер течения (ламинарное, турбулентное) и теплопередачу. В большинстве технологических процессов, например, таких как нефтедобыча и нефтепереработка, температурное воздействие является ключевым фактором, который необходимо учитывать при моделировании.

Понятие вязкости одним из первых ввел Исаак Ньютон [15]. В своей работе «Математические начала натуральной философии» (Principia Mathematica, 1687) он предложил закон, описывающий связь между напряжением сдвига и скоростью деформации в жидкости. Этот закон, известный как закон вязкого трения Ньютона, заложил основу для понимания вязкости как свойства, определяющего сопротивление жидкости деформации.

Жан-Леонар-Мари Пуазейль [16] провел тщательные экспериментальные исследования течения жидкостей через капиллярные трубки и установил количественную связь между расходом, давлением, размерами трубки и свойствами жидкости. Хотя Пуазейль больше известен своими работами по гидродинамике и законом ламинарного течения жидкостей [17], его точные измерения вязкости различных жидких сред, включая воду и кровь, при разных температурах, предоставили важные эмпирические данные, которые позже помогли другим ученым разрабатывать теоретические модели на их основе. Именем Пуазейля названа также единица динамической вязкости - Пуаз.

Работы советского физика Я. И. Френкеля внесли существенный вклад в понимание природы вязкости жидкостей на молекулярном уровне [18,19]. Его теория «активированных прыжков» дала объяснение, почему вязкость зависит от температуры, а также связала вязкость с другими свойствами жидкости, например

с диффузией. На основании молекулярно-кинетической теории Я. И. Френкель вывел формулу зависимости динамической вязкости от температуры:

где Ж - энергия активации, Т - температура, 5 - атомарное расстояние, т0 -периодичность колебаний вблизи точки равновесия, а - радиус частиц, к -постоянная Больцмана. Его идеи до сих пор используются в современных исследованиях жидкостей и аморфных материалов.

Г. Тамман занимался изучением стеклообразного состояния и вязкости переохлажденных жидкостей [20,21]. Он ввел понятие «температуры стеклования» и показал, что вязкость жидкости резко возрастает при приближении к этой температуре. Эта зависимость в дальнейшем была эмпирически описана несколькими способами. В 1921 году Фогель [22] предложил для нее простое поведение Аррениуса, позже использованное Тамманном и, независимо, Фулчером

[23]. Сейчас эта зависимость известна как уравнение Фогеля-Фулчера-Таммана

[24] и является важным инструментом для описания и анализа температурной зависимости вязкости в стеклообразующих жидкостях, хотя и имеет эмпирическую природу:

где ^о - вязкость, которую имела бы жидкость при бесконечно высокой температуре (в некоторых литературных источниках называется «высокотемпературным пределом вязкости»), В - псевдоэнергия активации, характеризующая чувствительность вязкости к изменению температуры, То -

в

ДСП = До • еТ-То,

температура Фогеля, называемая идеальной температурой стеклования. Все три параметра являются эмпирическими.

С. Уилсон и Б. Даффи изучали скорость и другие физические свойства стекающей под действием силы тяжести термовязкой жидкости [25]. По результатам исследований ученые выделили 3 вида температурной зависимости вязкости:

линейная: = + Л(Т — Т0), экспоненциальная: д(Г) = д0 ехр [— То)],

модель Эйринга: д(Г) = д0 ехр (- — —)].

Все вышеприведенные формулы описывают монотонную зависимость вязкости от температуры: при увеличении температуры вязкость падает. Однако существует определенное количество жидкостей, вязкость которых изменяется немонотонно или аномально. В противовес обычному поведению жидкостей, у сред с аномальной температурной зависимостью вязкость при увеличении температуры также увеличивается в некотором температурном диапазоне. К таким жидкостям можно отнести растворы полимеров, мицеллярные растворы и микроэмульсии, наножидкости, жидкую серу, аномально вязкие нефти, а также термочувствительные гели, которые используются в медицине.

На рисунке 1.1 показана температурная зависимость вязкости для жидкой серы [26]. Видно, что при изменении температуры от 0 °С до 150 °С вязкость падает, однако затем резко повышается, достигает пика при 180 °С, а потом начинает снижаться.

На рисунке 1.2 показана температурная зависимость вязкостей мицеллярных гидрогелей разновидности СНР407, синтезированных на основе Ро1охатег 407 авторами в работе [27]. Картина изменения вязкости примерно такая же: от 0 °С до 20 °С вязкость падает, а затем начинает резко повышаться, достигая определенного пика при -35 °С, после чего происходит уменьшение вязкости.

Температура, С

Рисунок 1.1. Вязкость серы при различной температуре

100000

ОД ^-п-н

0 10 20 30 40

Temperature (°С)

Рисунок 1.2. Температурная зависимость для чистого CHP407 (синяя линия) и для гибридных систем CHP407_IBU и CHP407_IBUSS [27]

В работе [28] изучаются водные растворы блок-сополимеров этилен- и пропиленоксида (полоксамеров). Авторами выделен новый, не описанный ранее для этих объектов тип термообратимого поведения, заключающийся в экстремальном изменении динамической вязкости с увеличением температуры. На рисунке 1.3 показаны зависимости вязкости от температуры для растворов различной концентрации. Авторами показано, что при низких содержаниях полоксамера (кривая 1) вязкость растворов монотонно уменьшается при повышении температуры. Однако при более высоких концентрациях, начиная с некоторой температуры, вязкость заметно возрастает, причем зависимость представляет собой кривую с максимумом (Рисунок 3, кривые 2-6). Кривая 7 соответствует раствору с наибольшей концентрацией, который при увеличении температуры преобразуется в нетекучий гель.

т|, мПа с

О 10 20 30 40 50 60 70

Т, °С

Рисунок 1.3. Зависимость вязкости от температуры полоксамеров различной

концентрации [28]

Численное исследование жидкостей с аномальной вязкостью активно развивалось С.Ф. Урманчеевым и др. [29-36]. Для описания аномального поведения зависимости вязкости от температуры была предложена формула:

КТ)

1 + Ае

Т-Тг

ср '

д т

2

где Тср = (Ттах + Тшт) / 2 - средняя температура; ДТ = Ттах - Тшт; А = (^шах/^шт)-1 -параметр аномалии жидкости; В - параметр аномалии жидкости, характеризующий степень заполненности заданного температурного интервала, при его увеличении происходит сужение диапазона температур, на котором происходит немонотонное изменение вязкости.

При моделировании течений с аномальной вязкостью основной особенностью становится возникновение «вязкого барьера» - локализованной области с повышенной вязкостью, которая значительно влияет на течение жидкости. В мицеллярных растворах поверхностно-активных веществ (ПАВ) повышение температуры может привести к образованию более крупных мицелл или к изменению их формы. Эти процессы требуют преодоления энергетического барьера, что приводит к увеличению вязкости. В растворах полимеров, повышение температуры может вызывать разворачивание полимерных цепей и образование более запутанной сети, что также увеличивает вязкий барьер.

1.2. Течение жидкости в диффузоре

При резком расширении трубы (например, при соединении двух труб разного диаметра) вблизи стенок возникает интенсивное вращательное движение жидкости, которое может привести к существенным потерям энергии (см. рисунок 1.4). Для того чтобы этого избежать, часто используют диффузоры - плавно расширяющиеся участки труб. Они преобразуют динамическое давление в статическое за счет замедления скорости основного потока. Эффективность этого преобразования зависит от геометрии канала (угла раскрытия диффузора), а также от характеристик жидкости и режима течения.

_ — _

-У] = "2

— — — - _

" —7—~ '___- _ _ _ ;

- — -

Рисунок 1.4. Вихри при внезапном расширении трубы

Исследование течения жидкости в диффузоре - это классическая задача гидродинамики, и ею занималось множество ученых на протяжении столетий. Одним из первых, кто исследовал течение жидкости в диффузорах был итальянский ученый Джованни Баттиста Вентури, который известен своими работами по измерению расхода жидкости с помощью сужающихся и расширяющихся труб (трубка Вентури).

Самое известное открытие ученого - это эффект Вентури. Он экспериментально обнаружил ускорение потока и снижение статического давления при протекании жидкости через сужение в трубе. Благодаря этому открытию Вентури изобрел устройство, измеряющее скорость потока газа или жидкости, которое теперь называется трубка Вентури (см. рисунок 1.5). Трубка Вентури состоит из сужающегося участка, горловины (самого узкого участка) и расширяющегося участка. Измеряя разность давлений между широким участком трубы и горловиной, можно определить скорость потока.

Рисунок 1.5. Трубка Вентури

Трубки Вентури широко используются в качестве расходомеров для измерения расхода жидкостей и газов в различных промышленных и инженерных приложениях. Эффект Вентури лежит в основе работы инжекторов и эжекторов, которые используются для смешивания жидкостей и газов.

Фундаментальный вклад в изучение течений в плоских диффузорах внесли Дж. Джеффри и Г. Гамель. В 1917 году Г. Гамель опубликовал статью, в которой представил аналитическое решение уравнений Навье-Стокса для ламинарного течения в клиновидном канале [37]. Независимо от Гамеля Дж. Джеффри получил аналогичное решение в 1915 году [38]. Это решение известно, как течение Джеффри-Гамеля.

Они получили автомодельное решение задачи о стационарном радиальном течении вязкой жидкости в расходящемся и сходящемся каналах с однородным источником или стоком, которые располагаются на пересечении двух твёрдых стенок, наклонённых друг к другу под углом а. Решение Джеффри-Гамеля является одним из немногих точных решений уравнений Навье-Стокса для течений с криволинейными границами. Это решение дает ценное понимание особенностей течения в диффузорах и конфузорах, включая влияние вязкости, угла расширения и числа Рейнольдса.

Исследователи доказали, что сходящееся (конфузорное) течение существует при всех числах Рейнольдса [39]. Они также показали, что в случае расходящегося (диффузорного) течения решение существует только при небольших углах раскрытия плоского диффузора и числах Рейнольдса, которые удовлетворяют неравенству:

где фо - половина угла раствора диффузора.

Если число Рейнольдса не удовлетворит неравенству, то будет происходить отрыв жидкости от стенок. В некоторых случаях решение предсказывает образование вихревых структур в углах канала.

Впервые установленное Гамелем точное решение дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости для простейшего случая плоского радиального течения в дальнейшем было обобщено Озееном [40] и Розенблаттом [41]. Работа Джеффри-Гамеля стала отправной точкой для многих дальнейших исследований течений в расширяющихся и сужающихся каналах [42-44].

Исследованием ламинарных осесимметричных течений в конических диффузорах занимался Н.А. Слёзкин [39,45]. Он разрабатывал аналитические методы решения уравнений Навье-Стокса для малых углов раскрытия конического диффузора и впервые показал, что в случае осесимметрических конических течений систему Навье-Стокса можно свести к одному обыкновенному дифференциальному уравнению. При этом предполагается, что жидкость несжимаема, течение установившееся и осесимметричное, движение частиц строго радиально, действием массовых сил пренебрегается

Также Слезкин решил задачу о течении жидкости между двумя коническими диффузорами [45]. Яцеевым [46] было найдено общее решение уравнения Слёзкина в виде гипергеометрических функций.

В своей классической работе «Viscous and resistive eddies near sharp corners» Моффатт исследовал стационарное ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в области, ограниченной двумя плоскими поверхностями, сходящимися под углом а [47]. Он показал, что вблизи достаточно острого угла образуется бесконечная последовательность вложенных вихрей (вихри Моффатта), вращающихся в противоположных направлениях. Размеры этих вихрей экспоненциально уменьшаются по мере приближения к угловой точке. Существует критический угол, ниже которого вихри не образуются. Моффат рассчитал скорость затухания вихрей по мере приближения к угловой точке и доказал, что скорость затухания зависит от угла а.

А.В. Шапеев рассматривал задачу о нестационарном течении вязкой несжимаемой жидкости в секторообразной области [48]. При задании строго радиального течения в качестве начального условия, авторы смогли найти решения в классе автомодельных течений. В случае задания нулевого расхода наблюдалось несимметричное течение и образование вихрей Моффата.

Существование несимметричных решений изучалось Л.Д. Акуленко [49-52]. Исследователем были выведены обобщения решения задачи Джеффри-Гамеля, а также одно-, двух- и трех-модовые бифуркационные решения. Было показано, что при определенных диапазонах чисел Рейнольса и углах раскрытия диффузора, существуют стационарные несимметричные и многомодовые решения.

Ванг и др. [53] изучал потери потока и эффективности выпрямления потока микродиффузорных клапанов с плоскими стенками. Было показано, что коэффициент полной потери давления диффузора уменьшается с ростом числа Рейнольдса. Также было показано, что максимальная эффективность диффузора находится при некотором определенном угле диффузора, который варьируется от 40° при Яв = 100 до 20° для Яв > 500.

Большое количество работ посвящено экспериментальным исследованиям. Ф. Дарст [54,55] с помощью лазер-доплеровского метода измерил течение в симметричном диффузоре, а также привел картины течений и профили скоростей. Он экспериментально показал, что в симметричном канале с внезапным расширением течение может быть несимметричным для малых чисел Рейнольдса. В работе [55] показано, что при малых числах Рейнольдса флуктуации энергии в канале могут быть выше, чем флуктуации энергии, которые соответствуют состоянию турбулентности.

Пракаш произвел вычислительный анализ для различных геометрий диффузоров [56]. Было обнаружено, что диффузор с углом раскрытия 7° обеспечивает максимальное восстановление статического давления, поэтому оказался наиболее эффективным. Диффузор с такой геометрией был изготовлен и испытан. С использованием собранных данных было рассчитано

экспериментальное значение коэффициента восстановления давления. Значения коэффициента восстановления давления были сравнены, и было обнаружено, что экспериментальное значение близко соответствует теоретическому значению.

А.И. Федюшкин изучал ламинарные режимы течения в плоских диффузорах с небольшими углами раскрытия [57]. Автор установил при каком диапазоне чисел Рейнольдса будет происходить смена стационарного симметричного режима течения на несимметричный, а затем и на нестационарный режим.

С.Н. Аристов исследовал общий случай неосесимметричных конических течений [58,59]. Он показал, что в одном из частных случаев решение можно выразить через произвольные гармонические функции. Это означает, что в классе конических течений можно получать сколь угодно много точных решений трёхмерных уравнений гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости.

Интерес исследователей вызывает течение вязкой жидкости в диффузорах с воздействием различных физических полей (магнитное поле, температурное, электрическое воздействие и т.д.)

А.Б. Ватажин исследовал задачу об установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в присутствии магнитного поля между двумя плоскими стенками (диффузоре) [60]. Он показал, что магнитное поле тормозит протекающую в нем жидкость и делает профиль скорости более плоским по сравнению с течением без магнитного воздействия. Также автор установил, что взаимодействие проводящей жидкости с магнитным полем приводит к увеличению критического числа Рейнольдса, после которого нарушается осесимметричность потока.

Также проводились исследования течения термовязкой жидкости в плоском диффузоре. Миллсапс и др. [61] исследовали тепловое распределение для потока Джеффри-Гамеля между непараллельными плоскими стенками, поддерживаемыми при постоянной температуре в предположениях постоянной плотности жидкости. Они показали, что уравнение энергии, дающее температурные профили, можно свести к обычному линейному дифференциальному уравнению с переменными

коэффициентами. После введения безразмерных параметров были представлены численные решения для расходящихся и сходящихся каналов с углом раскрытия 10°.

А.И. Леонтьев [62] провел численное моделирование теплообмена в конических диффузорах с различной геометрией. В работе было показано, что для течения в диффузоре число Нуссельта оказывается значительно выше, чем в трубе постоянного сечения при том же числе Рейнольдса. При увеличении угла раскрытия диффузора число Нуссельта возрастает. Изменение геометрии потока и формирование положительного градиента давления в диффузоре приводят к турбулентности, значительно усиливающей теплообмен. Это подтверждается существенным увеличением турбулентного трения и турбулентного потока тепла.

Несмотря на многочисленность работ, посвященных исследованию гидродинамики в диффузорах, существует много задач, которые привлекают внимание исследователей. Например, особый интерес представляют задачи о течении термовязкой жидкости в коническом диффузоре с аномальной зависимостью вязкости от температуры.

1.3. Метод фазового поля

Вопрос моделирования границы между двумя жидкостями является предметом обширных исследований на протяжении более двух столетий. В начале 1800-х годов Юнг, Лаплас и Гаусс представляли границу раздела фаз как поверхность нулевой толщины (бесконечно тонкой), наделенной поверхностным натяжением. При этом предполагалось, что на границе происходит разрыв физических свойств жидкостей, таких как плотность, давление и т.д.

Идея о том, что межфазная граница имеет ненулевую толщину (т. е. является диффузной), была подробно разработана лордом Рэлеем (1892) и Ван дер Ваальсом (1893), которые предложили теории для описания границ, основанные на

термодинамических принципах [63,64]. В частности, Ван дер Ваальс предложил модель, основанную на его уравнении состояния, в которой существует непрерывный переход от одной фазы к другой, а межфазная граница имеет конечную толщину.

Кортевег (1901) развил эти идеи и предложил добавить в уравнение движения жидкости дополнительный тензор напряжений, который учитывает влияние капиллярных сил на границе раздела фаз [65]. При этом предполагалось, что капиллярные силы зависят не только от плотности в данной точке, но и от градиентов плотности в окрестности этой точки. А значит капиллярные явления могут быть описаны без явного отслеживания положения границы раздела фаз.

Эти идеи активно развивались и уточнялись в XX веке. В 1950 году Лев Ландау и Виталий Гинзбург разработали общую теорию фазовых переходов второго рода [66]. Авторы ввели понятие «параметра порядка» (например, концентрация одного из компонентов сплава), характеризующего состояние системы, и использовали функционал свободной энергии для описания фазовых переходов. Теория Гинзбурга-Ландау стала одним из важных предшественников теории фазового поля.

В 1958 году Кан и Хиллард использовали принципы термодинамики необратимых процессов для описания эволюции системы, находящейся в неравновесном состоянии [67]. Они вывели общее уравнение, описывающее процесс спинодального распада, регулирующее фазовое поле, известное теперь как уравнение Кана-Хилларда. Оно является одним из наиболее важных уравнений в теории фазового поля и широко используется в моделировании физических процессов. Благодаря этому появилась модель фазового поля (Phase-field model), которая описывает движение многофазных смесей.

Моделирование многофазных сред можно разделить на две большие группы в зависимости от способа задания границы между фазами (см. рисунок 1.6). К первой группе относятся методы «резкой границы» (sharp interface methods), в которых на межфазной границе происходит разрыв характеристической функции.

К таким методам относятся метод функций уровня (Level-set method) [68], метод маркеров [69], метод объёма жидкости (Volume of fluid) [70]. К недостаткам этой группы относится сложность численных расчетов, потому что необходимо вычислять местоположение границы на каждом временном шаге; еще одним недостатком является размывание физических параметров на границе (например, плотности и вязкости).

Во вторую группу входят методы «диффузной границы» (diffuse-interface model) [71], в которых граница раздела фаз моделируется как узкая область, на которой межфазные силы и все физические величины меняются непрерывно и плавно. Основным преимуществом данных моделей является то, что межфазную границу не нужно отслеживать явно [72]. К методам «диффузной границы» относится модель фазового поля (Phase-field model) [73].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Галеева Дилара Рустэмовна, 2025 год

/ // //

// // // —•—lid

1/ ----Ur

0.01

0.1

1

Са

10

Рисунок 4.10. Сравнение скорости капель, рассчитанных численно и

аналитически

4.2.2. Моделирование с температурным полем

В этом разделе исследуется влияние переменной вязкости на скорость движения капли в плоском канале с температурным воздействием. Сначала моделируется течение жидкости без капли: в канал втекает горячая жидкость с аномальной зависимостью вязкости от температуры, которая постепенно охлаждается, при этом в середине канала образуется вязкий барьер. После установления постоянного температурного поля и развитого ламинарного течения в начало канала помещается круглая капля. Рассмотрено три варианта начальных условий. В канал с горячей жидкостью помещается:

1) горячая капля Td = Tin,

2) холодная капля Td = Tout,

3) холодная капля Td = Tout с низкой температуропроводностью Pe=200.

Вязкий барьер может оказывать значительное влияние на скорость и форму капли. В работе исследовано три значения параметра аномалии жидкости: А=0, А=5, А=10.

Горячая капля

Горячая капля имеет температуру окружающей жидкости и потому не влияет на месторасположение и толщину вязкого барьера. На рисунке 4.11 показаны графики относительной скорости капли ийп с разыми капиллярными числами во времени для трех параметров А.

При Са = 0.1 в случае отсутствия вязкого барьера (А=0) относительная скорость капли выходит на постоянное значение достаточно быстро и монотонно, при этом капля сохраняет круглую установившуюся форму. Однако в случаях, когда в канале присутстсвует вязкий барьер (А=5, А=10), скорость капли ийп не монотонна: в некоторый момент времени она локально возрастает, а затем снижается до установившегося значения. Это связано с пересечением каплей вязкого барьера и ее деформацией в нем. При входе в высоковязкую область капля начинает сужаться и немного вытягивается (см. Рисунок 4.12), вязкий барьер как будто «сплющивает» каплю, за счет чего капля приобретает более аэродинамическую форму и ее скорость возрастает. После выхода из барьера капля снова становится круглой, так как силы поверхностного натяжения достаточно велики, ее сопротивление потоку возрастает, и скорость падает до значения, которое было до входа в высоковязкую область.

На рисунке 4.11 б) показано изменение скорости капли при Са = 1. Видно, что для всех случав к моменту выхода из канала капля имеет установившуюся скорость. Причем в случаях с вязким барьером (А=5, А=10) скорость капли выходит на некоторое установившееся значение, а после прохождения каплей вязкого барьера скорость увеличивается. Когда капля проходит через вязкий барьер, то она испытывает максимальное сопротивление и деформацию. После прохождения

барьера капля ускоряется. Такая же картина ускорения капли после выхода из вязкого барьера происходит и в случае, когда Са = 10 (см. Рисунок 4.11 в).

а)

б)

в)

Рисунок 4.11. Относительная скорость иап во времени для горячей капли с капиллярным числом а) Са=0.1, б) Са=1, в) Са=10

Ите=50

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ите=150

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ите=250

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Рисунок 4.12. Положение вязкого барьера при А=10 и форма горячей капли с Са=0.1 в разные моменты времени

Ускорение капли после выхода из вязкого барьера связано с несколькими причинами. Во-первых, это уменьшение сопротивления. Внутри вязкого барьера капля испытывает максимальное сопротивление движению. После выхода из

барьера, когда капля попадает в среду с меньшей вязкостью, сопротивление резко уменьшается. Во-вторых, капля движется в канале под действием перепада давления. После выхода из вязкого барьера и уменьшения сопротивления, действие внешней силы заставляет каплю ускориться. В-третьих, капля, двигавшаяся в вязком барьере, в момент выхода из барьера обладает инерцией, которая может способствовать увеличению ее скорости после выхода. Если вязкий барьер деформировал каплю (сделал ее несферической), то после выхода из барьера силы поверхностного натяжения стремятся вернуть капле сферическую форму, а в случае Са > 1 - эллиптическую форму, которая более аэродинамична (см. Рисунок 4.13). Это также может приводить к небольшому ускорению.

При Са = 10 капля сильно деформируется. Сначала на задней стенке возникает прогиб, который потом замыкается и внутри капли может образоваться замкнутая область, состоящая из жидкости окружающей среды. На рисунке 4.14 показана эволюция формы капли в канале с вязким барьером при А = 10. Вначале капля вытягивается, ее границы отдаляются от стенок. Затем капля попадает в вязкий барьер, который «сплющивает» каплю до такой степени, что ее задние концы сливаются, внутри капли образуется замкнутая область несущей жидкости. По мере прохождения каплей вязкого барьера, эта замкнутая область диффундирует и пропадает. И к моменту выхода капля содержит в себе только жидкость капли.

Таким образом, вязкий барьер влияет на форму капли, сплющивая края капли и не позволяя образоваться в капле замкнутой области из другой жидкости. На рисунке 4.15 показаны формы капли на выходе из канала для случая без вязкого барьера, с небольшим вязким барьером и с большим. Видно, что при А=10 вязкий барьер заставляет сужаться задние «хвостики» капли: чем выше вязкий барьер, тем быстрее и сильнее сужаются хвостики, тем самым не позволяя образоваться в капле замкнутой области с другой жидкостью.

На рисунке 4.16 показана общая нормированная масса системы по времени для капиллярного числа Са = 0.1 при А = 0. Видно, что для выбранной расчетной

сетки 1020^51 погрешность не превышает 3%. Также были проведены расчеты для всех остальных параметров Са и А, максимальная погрешность не превышает 5%.

Рисунок 4.13. Положение вязкого барьера при А=10 и форма горячей капли с Са=1 в разные моменты времени.

Рисунок 4.14. Положение вязкого барьера при А=10 и форма горячей капли с Са=10 в разные моменты времени

Рисунок 4.15. Формы капли c Са=10 на выходе из канала без вязкого барьера при

А=0 и с вязкими барьерами А=5, А=10

На рисунке 4.17 показан график относительной скорости иап капли на выходе из канала для разных капиллярных чисел и разных вязких барьеров. Видно, что чем больше вязкий барьер, тем выше относительная скорость капли для всех Са. В канале с изотермически горячей жидкостью (без вязкого барьера) относительная скорость самая низкая для всех Са. Самая высокая скорость - в канале с самым большим вязким барьером (А=10). По графикам видно, что чем больше вязкий барьер, тем более сильное ускорение он придает капле. Можно сказать, что вязкий барьер выступает в роли своеобразной «вязкой пушки», которая придает капле дополнительное ускорение. При Са>1 относительная скорость капли ийп начинает превышать максимальную осевую скорость потока для всех случаев (с барьером и без него). Это интересное наблюдение отмечалось ранее в расчетах без температурного поля.

Рисунок 4.16. Общая нормированная масса системы по времени при А=0, Са=0.1

1.15

0.85 '-1-

0 5 10

А

Рисунок 4.17. Относительная скорость горячей капли на выходе из канала для

разных Са и А

Холодная капля

Рассмотрим случай, когда в горячий канал помещена холодная капля, которая нагревается, двигаясь по каналу. Так как жидкость в канале имеет аномальную вязкость, то холодная капля постепенно охлаждает окружающую жидкость и образует дополнительный вязкий барьер вокруг себя, который также влияет на скорость и форму капли (см. Рисунок 4.18). При этом капля, изменяя свою температуру и температуру окружающей жидкости, меняет вязкость окружающей жидкости, «притягивая» вязкий барьер к себе. Видно, что вязкий барьер стал шире и сместился к началу канала. После прохождения каплей вязкого барьера, температура капли сравнивается с температурой несущей жидкости, и вязкость жидкости возвращается к исходным значениям, вязкий барьер также возвращается на середину канала и сужается до первоначальной ширины.

На рисунке 4.19 показано распределение температур в канале. Видно, что сначала холодная капля охлаждает несущую жидкость, но затем достаточно быстро нагревается, и ее температура становится равной температуре окружающей среды.

На рисунке 4.20 показаны графики зависимости относительнй скорости холодной капли иап от времени. В отличие от горячей капли, скорость холодной капли в вязком барьере замедляется. После прохождения каплей вязкого барьера, ее скорость возрастает. Такое отличие связано с тем, что холодная капля, остужая жидкость вокруг себя, увеличивает и «притягивает» вязкий барьер к себе. В результате холодной капле приходится проходить более широкий вязкий барьер, который, оказывая значительное сопротивление, замедляет каплю. После выхода из вязкого барьера капля успевает нагреться до температуры окружающей среды, ее сопротивление потоку резко ослабевает, поэтому капля начинает ускоряться. На рисунке 4.20 а) видно, что скорость капли дважды замедляется из-за прохождения каплей вязкого барьера - основного и созданного самой каплей. В результате относительная скорость капли на выходе из канала также самая высокая в случае с самым большим вязким барьером.

I

Рисунок 4.18. Положение вязкого барьера при А=10 и форма холодной капли с Са=0.1 в разные моменты времени

ите=э

«Ж

I

Н 0.5

® о

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

йте=100

В'

Н 0.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

йте=200

В'

Н 0.5

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Рисунок 4.19. Температура в разные моменты времени в канале с вязким

барьером А=10

а)

б)

в)

Рисунок 4.20. Относительная скорость иап во времени для холодной капли с капиллярным числом а) Са=0.1, б) Са=1, в) Са=10

На рисунке 4.21 показаны графики относительной скорости холодной капли на выходе из канала для разных Са и А. Видно, что для всех капиллярных чисел наибольшая скорость в канале с наибольшим вязким барьером А=10.

чг

-о- Са=0.1

-Са=1

•■Т"Са=10

«

___

9- - - ~ ~

0 5 10

А

Рисунок 4.21. Относительная скорость холодной капли на выходе из канала для

разных Са и А

Более наглядно эффект «притягивания» холодной каплей вязкого барьера можно увидеть для случаев Са = 1 и Са = 10 (см. Рисунок 4.22, 4.23).

Рисунок 4.22. Положение вязкого барьера и форма холодной капли в разные

моменты времени (Са = 1, А = 10)

йте=50

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ите=100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

йте=200

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Рисунок 4.23. Положение вязкого барьера и форма холодной капли в разные моменты времени (Са = 10, А = 10)

Холодная капля с низкой температуропроводностью

Произведен расчет для холодной капли, которая из-за большого внутреннего числа Пекле (Ре=200) медленно нагревается в канале с большим вязким барьером (А = 10). В этом случае влияние «вязкой пушки» выражено более явно и капля, после замедления, приобретает более сильное ускорение.

На рисунке 4.24 показана динамика холодной капли с низкой температуропроводностью для Са=0.1 в канале с вязким барьером при А=10. Такая капля нагревается гораздо медленнее и интенсивнее охлаждает окружающую жидкость, что приводит к еще более выраженному дополнительному вязкому барьеру, который образуется вокруг капли. Дополнительная высоковязкая область возле капли, постепенно расширяясь, затормаживает каплю. При этом она движется перед каплей со скоростью потока, поэтому капля в него не входит. Продвигаясь дальше по каналу, холодная капля уменьшает вязкость несущей жидкости и таким образом «ломает» вязкий барьер. В итоге вязкий барьер, образованный за каплей, «встает» на место исходного барьера, после того как капля нагреется до температуры окружающей среды или покинет канал. В этом случае капля не преодолевает вязкий барьер, а разрушает его.

На рисунке 4.25 показаны соответствующие этому случаю распределения температурного поля. Видно, что капля остужает жидкость, особенно интенсивно охлаждается жидкость перед каплей за счет переноса температуры несущим потоком. Только ко времени Т=200 устанавливается тепловой баланс и температуры капли и жидкости сравниваются.

I

Рисунок 4.24. Положение вязкого барьера и форма холодной капли с низкой температуропроводностью в разные моменты времени (Са = 0.1, А = 10)

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

йте=50

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ите=100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ите=200

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Рисунок 4.25. Температура в разные моменты времени в канале с вязким

барьером А=10

На рисунке 4.26 показаны относительные скорости капли для разных капиллярных чисел и параметров А. Видно, что вязкий барьер сначала затормаживает каплю, а потом капля приобретает ускорение. Причем оно интенсивнее, чем в предыдущих случаях. Капля с низкой температуропроводностью нагревается гораздо медленнее, она интенсивнее охлаждает окружающую жидкость, что приводит к еще более выраженному дополнительному вязкому барьеру. Дополнительная высоковязкая область возле капли, постепенно расширяясь, затормаживает каплю. Постепенно температура несущей жидкости снижается, ее вязкость уменьшается, и дополнительный вязкий барьер сливается с исходным (это минимальная скорость на графике), а затем капля охлаждает жидкость настолько, что вязкий барьер разрушается, и капля проходит вторую половину канала гораздо быстрее. Показано, что чем больше вязкий барьер, тем выше становится относительная скорость капли на выходе из канала.

а)

б)

в)

Рисунок 4.26. Относительная скорость иСп во времени для холодной капли с низкой температуропроводностью с капиллярным числом а) Са=0.1, б) Са=1, в)

Са=10

Аналогичная ситуация наблюдается и для капель с большими капиллярными числами (см. Рисунок 4.27, 4.28). Сначала вокруг капли образуется дополнительный вязкий барьер, который движется перед и после капли, затем дополнительный «передний» вязкий барьер сливается с основным и разрушается за счет изменения вязкости. А вязкий барьер, который следовал за каплей, «встает» на место основного вязкого барьера.

Рисунок 4.27. Положение вязкого барьера и форма холодной капли с низкой температуропроводностью в разные моменты времени (Са = 1, А = 10)

Рисунок 4.28. Положение вязкого барьера и форма холодной капли с низкой температуропроводностью в разные моменты времени (Са = 10, А = 10)

На рисунке 4.29 показаны графики относительной скорости холодной капли с низкой температуропроводностью на выходе из канала для разных Ca и A. Как и в предыдущих случаях, видно, что для всех капиллярных чисел наибольшая скорость в канале с наибольшим вязким барьером ^=10. Чем выше капиллярное число тем сильнее вытягивается капля и тем выше ее скорость.

Рисунок 4.29. Относительная скорость холодной капли с низкой температуропроводностью на выходе из канала для разных Са и А

На рисунке 4.30 показаны графики зависимости относительной скорости капли иап на выходе из плоского канала от А для разных капиллярных чисел. Цифрами на графиках обозначена температура капель в начальный момент времени, где 1 - горячая капля, 2 - холодная капля, 3 - холодная капля с низкой температуропроводностью. Видно, что для всех типов начальных условий относительная скорость капли в канале без вязкого барьера ниже, чем в канале с вязким барьером. Можно сказать, что вязкий барьер служит своеобразной «вязкой пушкой», которая ускоряет каплю. Причем, чем интенсивнее вязкий барьер (чем больше А), тем выше относительная скорость капли. При этом для всех случаев Са самый интенсивный прирост скорости - у холодной капли с низкой температуропроводностью (случай 3). При отсутствии в канале вязкого барьера

(А=0) относительные скорости капель 1)-3) примерно одинаковые, и можно говорить, что исходная температура капли не влияет на ее скорость. При небольшом вязком барьере (А=5) самая низкая скорость наблюдается у изначально холодной капли, а самая высокая - у холодной капли с низкой температуропроводностью, причем для всех капиллярных чисел наблюдается значительный прирост скорости. При А=10 прирост скорости продолжается, и самая высокая скорость также у холодной капли с низкой температуропроводностью. Таким образом можно регулировать скорости капель, движущихся в каналах с аномально вязкой жидкостью, задавая им определенную первоначальную температуру.

а) б) в)

Рисунок 4.30. Зависимость относительной скорости капли на выходе из канала от А для капиллярных чисел а) Са=0.1, б) Са=1, в) Са=10 (1 - горячая капля, 2 - холодная капля, 3 - холодная капля с низкой температуропроводностью)

Заключение

Сформулированы основные результаты и выводы:

1. По результатам исследования термовязкого течения в коническом диффузоре показано, что коэффициент гидравлического сопротивления диффузора в случае течения охлаждающейся жидкости с учетом зависимости вязкости от температуры больше, чем в случае изотермического течения (горячая жидкость).

2. Показано, что расход охлаждающейся жидкости с учетом зависимости вязкости от температуры при увеличении угла раскрытия диффузора снижается более интенсивно, чем в случае изотермического течения.

3. Расход термовязкой жидкости в диффузоре уменьшается с увеличением числа Нуссельта, однако, при углах раскрытия больше 10° расход жидкости практически не зависит от числа Нуссельта.

4. В результате моделирования динамики капли в плоском канале получено, что соотношение вязкостей влияет на скорость движения капли: если капля менее вязкая, чем окружающая жидкость, то ее скорость возрастает при уменьшении X, причем при Х<0.01 средняя скорость капли достигает предельного значения.

5. Относительная скорость капли в потоке аномально термовязкой вязкой жидкости выше, чем в потоке жидкости с постоянной минимальной вязкостью. Образующийся в канале вязкий барьер сначала затормаживает каплю, а при выходе из него капля приобретает дополнительное ускорение. Чем больше параметр аномалии вязкости, тем сильнее ускорение капли и выше относительная скорость капли.

6. Обнаружено, что вокруг холодной капли в горячей жидкости с аномальной вязкостью образуется дополнительный вязкий барьер, который влияет на ее форму и скорость. Холодная капля с низкой температуропроводностью уменьшает вязкость окружающей жидкости, ломая вязкий барьер, в результате чего ее скорость оказывается выше, чем скорость горячей капли.

Список литературы

1. Галеева Д. Р., Киреев В. Н., Ковалева Л. А., Мусин А. А. Консервативная численная схема для решения уравнения Кана-Хилларда // Прикладная математика и механика. - 2025. - Т. 89. - № 1. - С. 136-148

2. Киреев В.Н., Галеева Д.Р., Шалабаева Б.С., Джайчибеков Н.Ж. Численное моделирование процесса деформации капель под действием электрического поля // Вестник Башкирского университета. - 2022. - Т. 27. - № 3. - С. 563-568.

3. Галеева Д.Р., Киреев В.Н., Урманчеев С.Ф. Влияние теплообмена на гидравлическое сопротивление при течении термовязкой жидкости в коническом диффузоре // Вестник Башкирского университета. - 2022. - Т. 27. - № 4. - С. 852857.

4. Галеева Д.Р. Консервативная численная схема для решения системы уравнений Кана-Хилларда-Навье-Стокса // Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения. Сборник материалов Международной научной конференции. - Уфа. - 2024. - С. 23-24.

5. Галеева Д.Р., Киреев В.Н. Моделирование движения капли с помощью уравнения Кана-Хилларда // Физико-химическая гидродинамика: модели и приложения. сборник тезисов. - 2023. - С. 33-34.

6. Галеева Д.Р., Киреев В.Н. Моделирование динамики капли на основе уравнений Навье-Стокса-Кана-Хилларда // Волны и вихри в сложных средах. Сборник материалов 14-ой международной конференции - школы молодых ученых. - Москва. - 2023. - С. 75-77.

7. Галеева Д.Р., Киреев В.Н. Влияние геометрии канала и параметров теплообмена на течение жидкости в коническом диффузоре // Волны и вихри в сложных средах. Сборник материалов 14-ой международной конференции - школы молодых ученых. - Москва. - 2023. - С. 77-80.

8. Галеева Д.Р., Киреев В.Н. Моделирование динамики капли на основе уравнений Навье-Стокса-Кана-Хилларда // Многофазные системы. - 2023. - Т. 18.

- № 3. - С. 216-217.

9. Галеева Д.Р., Киреев В.Н. Влияние геометрии канала и параметров теплообмена на течение жидкости в коническом диффузоре // Многофазные системы. - 2023. - Т. 18. - № 4. - С. 314-316.

10. Галеева Д.Р. Исследование течения термовязких жидкостей в коническом диффузоре // Теоретические и экспериментальные исследования нелинейных процессов в конденсированных средах. Материалы VIII Межрегиональной школы-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых.

- Уфа. - 2022. - С. 138-139.

11. Галеева Д.Р., Киреев С.Ф., Урманчеев С.Ф. Влияние теплообмена на гидравлическое сопротивление при течении термовязкой жидкости в диффузоре // Актуальные проблемы прикладной математики и механики. Тезисы докладов XI Всероссийской конференции с элементами школы молодых ученых, посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова. - Екатеринбург. - 2022. - С. 15-16.

12. Галеева Д.Р., Киреев В.Н., Урманчеев С.Ф., Галеева Г.Я. Исследование влияния геометрических параметров на течение термовязкой жидкости в коническом диффузоре // Математическое моделирование процессов и систем. Материалы XII Международной молодежной научно-практической конференции. Отв. редактор С.В. Викторов. - Стерлитамак. - 2022. - С. 115-120.

13. Галеева Д.Р., Киреев В.Н., Галеева Г.Я. - Программа для расчета скорости капли в плоском канале методом фазового поля. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2025614539 Российская Федерация.

14. Галеева Д.Р., Киреев В.Н. - Программа для расчета течения термовязкой жидкости в коническом диффузоре. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2025615196 Российская Федерация.

15. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. -М.:Наука. - 1985. - 680 с.

16. Poiseuille J.L. M., Mem. L'Acad. Sci. de l'Inst. de France, Sci. Math. Et Phys. - 1846. - Т.9 - С.433-545.

17. Poiseuille J. L. M. Experimental investigations on the flow of liquids in tubes of very small diameter //Ann. Chim. Phys. - 1847. - Т. 21. - С. 76.

18. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. - Ленинград: Наука, 1975. - 592 с.

19. Френкель Я. И. Собрание избранных трудов. том 2: Научные статьи. -1958. - 600 с.

20. Tammann G., Hesse W. Die Abhängigkeit der Viscosität von der Temperatur bie unterkühlten Flüssigkeiten // Zeitschrift für anorganische und allgemeine Chemie (in German). - 1926. - Т.156 (1). - С. 245-257.

21. Г. Тамман. Стеклообразное состояние / Пер. с нем. под ред. А. А. Лебедева, П. П. Кобеко. - Ленинград ; Москва : Онти. Глав. ред. общетехн. лит-ры.

- 1935. - 136 с.

22. Vogel D. H. Das Temperaturabhaengigkeitsgesetz der Viskositaet von Fluessigkeiten // Physikalische Zeitschrift. - 1921. - Vol. 22.- С. 645.

23. Fulcher G. S. Analysis of recent measurements of the viscosity of glasses // Journal of the American Ceramic Society. - 1925. - Т. 8(6). - С. 339 - 355.

24. Garca-Coln L. S., Castillo L. F., Goldstein, P. Theoretical basis for the Vogel-Fulcher-Tammann equation // Physical Review B. - 1989. - Т. 40(10). - С. 70407044.

25. Wilson S.K., Duffy B.R. On the gravity-driven draining of a rivulet of fluid with temperature-dependent viscosity down a uniformly heated or cooled substrate // Journal of Engineering Mathematics. - 2002. - Vol. 42. - № 3. - С. 359-372.

26. Амелин А.Г. Технология серной кислоты / Учебное пособие для вузов.

- М., Химия. - 1983. - С.46.

27. Laurano R., Boffito M. Thermosensitive micellar hydrogels as vehicles to deliver drugs with different wettability //Frontiers in Bioengineering and Biotechnology.

- 2020. - Т. 8. - С. 708.

28. Ю. М. Домнина, Е. С. Жаворонок, В. В. Суслов, Д. В. Решетняк, С. А. Кедик. Термообратимое повышение вязкости при нагревании водных растворов блок-сополимеров этилен- и пропиленоксида, не сопровождающееся образованием геля // Высокомолекулярные соединения (серия А). - 2022 - T. 64. - № 3.- С. 163170.

29. Урманчеев С.Ф., Киреев В.Н. Численное исследование течения жидкости с аномальной вязкостью // Нефтепереработка и нефтехимия. - 1997. - № 8. - С. 21-25.

30. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н. Установившееся течение жидкости с температурной аномалией вязкости // Доклады академии наук. - 2004. - Т. 396. -№ 2. - С. 204-207.

31. Ильясов А.М., Моисеев К.В., Урманчеев С.Ф. Численное моделирование термоконвекции жидкости с квадратичной зависимостью вязкости от температуры // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2005. - Т.8. -№4 (24). - С.51-59.

32. Киреев В.Н., Урманчеев С.Ф. Течение жидкостей с температурной аномалией вязкости // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. - Вып. 3. - 2003. - С. 232-245.

33. Киреев В.Н., Урманчеев С.Ф. О влиянии температурной зависимости вязкости на течение жидкости // Нефтегазовое дело. - 2004. - №2. - С. 287-295.

34. Низамова А.Д., Киреев В.Н., Урманчеев С.Ф. О влиянии зависимости вязкости от температуры на устойчивость течения жидкости // Известия УНЦ РАН.

- № 4. - 2014. - С. 12-16.

35. Nizamova A.D., Kireev V.N., Urmancheev S.F.The Influence Of The Annular Gap Thickness On The Critical Reynolds Number During The Flow Of Thermoviscous Liquids // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2024. - Т. 45. - № 5.

- С. 2119-2127.

36. Мухутдинова А.А., Низамова А.Д., Киреев В.Н., Урманчеев С.Ф. Экспериментальная установка для исследования устойчивости течения жидкости // Многофазные системы. - 2024. - Т. 19. - № 1. - С. 35-39.

37. Jeffery G.B. The two-dimensional steady motion of a viscous fluid // Phil. Mag. - 1915. - Ser.6. - V. 29. - № 172. - P. 455-465.

38. Hamel G. Spiralformige Bewegungen zaher Flussigkeiten // Jahres her. Deutsch. Math. Ver. - 1917. - Bd. 25. - С. 34-60.

39. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат. - 1955. - 520с.

40. Oseen C., Exakte Lösungen der hydrodyn. Differentialgleichugen // Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. - 1927. - Vol. 20. - №14.- P.27.

41. Rosenblatt A. Solutions exactes des equations du movement des liquids, visqueux. // Mem. Des Sciences Methem. - 1935.- 72.

42. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Н.: Наука. - 1989. - 336 с.

43. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир. - 1973. - 758 с.

44. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика / Физматгиз. - 1963. - ч. I, - 583 с.

45. Н. А. Слезкин, Движение вязкой жидкости в конусе и между двумя конусами. // Матем. сб., - 1935. - Т. 42. - № 1. - С. 43-64

46. Яцеев В.И. Об одном классе точных решений уравнений движения вязкой жидкости // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1953. -Т. 20. - № 11. - С. 1031-1034.

47. Moffatt H. K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // Journal of Fluid Mechanics. - 1964. - Т. 18(01). - P. 1.

48. Шапеев А.В. Нестационарное автомодельное течение вязкой несжимаемой жидкости в плоском диффузоре // Изв. РАН. МЖГ. - 2004. - № 1. -С. 41-46

49. Акуленко Л Д., Георгиевский Д.,В., Кумакшев С.А. Новые несимметричные и многомодовые решения задачи о течении вязкой жидкости в плоском конфузоре//Докл. РАН. - 2002. - Т. 383. - № 1. - С. 46-50.

50. Акуленко Л.Д., Георгиевский Д.В., Кумакшев С.А. Регулярно продолжаемые по числу Рейнольдса решения задачи Джеффри-Гамеля//Изв. РАН. МЖГ. - 2004. - № 1. - С. 15-32.

51. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А. Многомодовая бифуркация течения вязкой жидкости в плоском диффузоре// ДАН. - 2004. - т.399. - №5. - С.620-624.

52. L.D. Akulenko, S.A. Kumakshev. Bifurcation of multimode flows of a viscous fluid in a plane diverging channel. // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 2008. - Т. 72.- pp. 296-302.

53. Wang, Y.C., Hsu, J.C., Kuo, P.C., Lee, Y.C. Loss characteristics and flow rectification property of diffuser valves for micropump applications. // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2009. - Т. 52(1-2). - С.328-336.

54. F. Durst, A. Melling, J.H. Whitelaw, Low Reynolds number flow over a plane symmetric sudden expansion // Journal of Fluid Mechanics. - 1974. - V. 64. - I. 01. - С. 111-128.

55. W. Cherdron, F. Durst and J. H. Whitelaw. Asymmetric flows and instabilities in symmetric ducts with sudden expansions // Journal of Fluid Mechanics. -1978. - Vol.84. - I. 01. - С. 13 - 31

56. Prakash R. Cfd Analaysis Of Flow Through A Conical Exhaust Diffuser // International Journal of Research in Engineering and Technology. - 2014. - Т. 03. - С. 239-248.

57. Федюшкин А.И. Течение вязкой несжимаемой жидкости в плоском диффузоре: переход от симметричного к несимметричному и от стационарного к нестационарным режимам течения. / Препринт № 1075. М.: ИПМех РАН. - 2014. -42с.

58. Аристов С.Н. Точное решение задачи о точечном источнике // Доклады Академии наук. - 1995. - Т. 343. - №1 - С. 50-52.

59. Аристов С.Н. Трёхмерные конические течения вязкой несжимаемой жидкости // Известия АН. Механика жидкости и газа. - 1998. - Т. 6. - С. 144-148.

60. Ватажин А.Б. О течении в диффузоре в присутствии магнитного поля // Прикладная математика и механика. - 1960. - Т.24. - С. 524-629.

61. Millsaps K., Pohlhausen K. Thermal Distributions in Jeffery-Hamel Flows Between Nonparallel Plane Walls // Journal of the Aeronautical Sciences. - 1953. - Т. 20 (3). - p.187-196.

62. Леонтьев А.И., Лущик В.Г., Решмин А.И., Теплообмен в конических расширяющихся каналах // ТВТ - 2016. - Т.54. - №2 - С. 287-293.

63. Van der Waals J.D. The thermodynamic theory of capillarity under the hypothesis of a continuous variation of density. // J. Stat. Phys. - 1979. - Vol. 20. - Pp. 200-244.

64. Rowlinson J.S. Translation of J.D. van der Waals "The thermodynamik theory of capillarity under the hypothesis of a continuous variation of density" // J. Stat. Phys. - 1979. - Vol. 20. - Pp. 197-200.

65. Korteweg D.J. Sur la forme que prennent les équations du mouvement des fluides si l'on tient compte des forces capillaires causées par des variations de densité considérables mais connues et sur la théorie de la capillarité dans l'hypothèse d'une variation continue de la densité // Arch. Néerl. Sci. Exactes Nat. - 1901. - Vol. 6. - no. 2. - Pp. 1-24.

66. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. // ЖЭТФ. - 1950. - Т. 20. - С. 1064.

67. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free Energy // The Journal of Chemical Physics. - 1958. - Т. 28(2). - pp. 258-267.

68. Sussman M., Almgren A.S., Bell J.B., Colella P., Howell L.H., Welcome M.L. An adaptive level set approach for incompressible two-phase flows // Journal of Computational Physics. - 1998. - Vol. 148. - no. 1. - Pp. 81-124.

69. Glimm J., Grove J.W., Li X. L., et al. Three-dimensional front tracking // SIAM J. Sci. Comput. - 1998. - Т. 19. - С. 703-727.

70. Gueyffier D., Li J., Nadim A., et al. Volume-of-fluid interface tracking with smoothed surface stress methods for three-dimensional flows // J. Comput. Phys. - 1999. - Т.152. - С. 423-456.

71. Anderson D. M., McFadden G. B., Wheeler A. A. Diffuse-interface methods in fluid mechanics // Ann. Rev. Fluid Mech. -1998. - T. 30. - C. 139-165.

72. Du Q., Feng X.B. The phase field method for geometric moving interfaces and their numerical approximations / Chapter 5 in Handbook of Numerical Analysis. -2020. - Vol. 21. - C. 425-508.

73. Li J., Zheng D., Zhang W. Advances of phase-field model in the numerical simulation of multiphase flows: A review //Atmosphere. - 2023. - T. 14. - №. 8. - C. 1311.

74. Cahn J.W. On spinodal decomposition // Acta Metallurgica. - 1961. - Vol. 9. - №. 9. - C. 795-801.

75. Cahn J.W. On spinodal decomposition in cubic crystals // Acta Metallurgica. - 1962. - Vol. 10. - №. 3. - C. 179-183.

76. Cahn J.W. Phase separation by spinodal decomposition in isotropic systems // J. Chem. Phys. - 1965. - Vol. 42. - C. 93-99.

77. Cahn J.W. Coherent fluctuations and nucleation in isotropic solids // Acta Metallurgica. - 1962. - Vol. 10. - №. 10. - C. 907-913

78. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a nonuniform system. III. Nucleation in a two-component incompressible fluid // J. Chem. Phys. - 1959. - Vol. 31. - №.1. -C. 688-699.

79. Pietrus A., Carrive M., Miranville A. The Cahn-Hilliard equation for deformable elastic continua //Advances in Mathematical Sciences and Applications. -2000. - T. 10. - №. 2. - C. 539-569.

80. Boyer F. A theoretical and numerical model for the study of incompressible mixture flows. // Computers & Fluids. - 2002. - Vol. 31. - No. 1. - Pp. 41-68.

81. Novick-Cohen A. The Cahn-Hilliard equation // Handbook of differential equations: evolutionary equations. - 2008. - T. 4. - C. 201-228.

82. Hohenberg P. C., Halperin B. I. Theory of dynamic critical phenomena. // Reviews of Modern Physics. - 1977. - Vol. 49. - No. 3. - 435-479.

83. Simon J. Nonhomogeneous Viscous Incompressible Fluids: Existence of Velocity, Density, and Pressure. // SIAM Journal on Mathematical Analysis. - 1990. -Vol. 21. - No. 5. - Pp. 1093-1117.

84. Miranville A. The Cahn-Hilliard equation: recent advances and applications. // SIAM. - 2019.

85. Bray A. J. Theory of phase-ordering kinetics. // Advances in Physics. - 1994.

- T. 43(3). - C. 357-459.

86. Lovric A., Dettmer W., Peric D. Low Order Finite Element Methods for the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard Equations. // arXiv preprint arXiv:1911.06718. 2019.

87. Kim J., Kang K., Lowengrub J. Conservative multigrid methods for Cahn-Hilliard fluids. // Journal of Computational Physics. - 2004. - T. 193(2). - C. 511-543.

88. Ceniceros H. D., Roma A. M. A nonstiff, adaptive mesh refinement-based method for the Cahn-Hilliard equation // Journal of Computational Physics. - 2007. - T. 225(2). - C. 1849-1862.

89. Malchiodi A., Mandel R., Rizzi M. Periodic Solutions to a Cahn-Hilliard-Willmore Equation in the Plane. // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 2017.

- T. 228(3). - C. 821-866.

90. Brochet D., Hilhorst D., Chen X. Finite dimensional exponential attractor for the phase field model. // Applicable Analysis. - 1993. - T. 49(3-4). - C. 197-212.

91. Eilbeck J.C., Furter J., Grinfeld M. On a stationary state characterization of transition from spinodal decomposition to nucleation behaviour in the Cahn-Hilliard model of phase separation. // Physics Letters A. - 1989. - T. 135. - C. 272-275.

92. D. Furihata. A stable and conservative finite difference scheme for the Cahn-Hilliard equation // Numer. Math. - 2001. - T. 87. - C. 675-699.

93. J. Shin, D. Jeong, J. Kim. A conservative numerical method for the Cahn-Hilliard equation in complex domains // J. Comput. Phys. - 2011. - T. 230. - C. 74417455.

94. L. Bannas, R. Nürnberg. Adaptive finite element methods for Cahn-Hilliard equations. // J. Comput. Appl. Math. - 2008. - T. 218. - C. 2-11.

95. H. Garcke, B. Nestler, B. Stoth, A multiphase field concept: numerical simulations of moving phase boundaries and multiple junctions // SIAM J. Appl. Math. -1999. - T. 60. - C. 295-315.

96. D. Kay, R. Welford. A multigrid finite element solver for the Cahn-Hilliard equation // J. Comput. Phys. - 2006. - T. 212. - C. 288-304.

97. G.N. Wells, E. Kuhl, K. Garikipati. A discontinuous Galerkin method for the Cahn-Hilliard equation // J. Comput. Phys. - 2006. - T. 218. - C. 860-877.

98. A.G. Lamorgese, R. Mauri. Diffuse-interface modeling of phase segregation in liquid mixtures // Int. J. Multiph. Flow. - 2008. - T. 3. - C. 987-995.

99. L. Bannas, R. Nürnberg. A posteriori estimates for the Cahn-Hilliard equation with obstacle free energy // M2AN, Math. Model. Numer. Anal. - 2009. - T. 43

- C. 1003-1026.

100. J. Shen, X. Yang. An efficient moving mesh spectral method for the phase-field model of two-phase flows // J. Comput. Phys. - 2009. - T. 228. - C. 2978-2992.

101. M. Dehghan, F. Fakhar-Izadi. The spectral collocation method with three different bases for solving a nonlinear partial differential equation arising in modeling of nonlinear waves // Math. Comput. Modelling. - 2011. - T.53. - C. 1865-1877.

102. L.Q. Chen, J. Shen. Applications of semi-implicit Fourier-spectral method to phase-field equations // Comput. Phys. Comm. - 1998. - T. 108. - C. 147-158.

103. H. Gómez, V. Calo, Y. Bazilevs, T. Hughes. Isogeometric analysis of the Cahn-Hilliard phase field model // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 2008. - T. 197.

- C. 4333-4352.

104. L. He. Error estimation of a class of stable spectral approximation to the Cahn-Hilliard equation // Journal of Scientific Computing. - 2009. - T. 41. - №. 3. - C. 461-482.

105. S. Aland, J. Lowengrub, A. Voigt. Two-phase flow in complex geometries: a diffuse domain approach // Computer modeling in engineering & sciences: CMES. -2010. - T. 57. - №. 1. - C. 77-108.

106. H. Ding, P. D. M. Spelt. Wetting condition in diffuse interface simulations of contact line motion // Physical Review E. —Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. - 2007. - T. 75. - №. 4. - C. 046708.

107. D. Jacqmin. Contact-line dynamics of a diffuse fluid interface // J. Fluid Mech. - 2000. -T. 402. - C. 57-88.

108. Q. Du, R. Nicolaides. Numerical analysis of a continuum model of phase transition //SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1991. - T. 28. - №. 5. - C. 13101322.

109. P. Bates, J. Han. The Dirichlet boundary problem for a nonlocal Cahn-Hilliard equation // J. Math. Anal. Appl. - 2005. - T. 311. - C. 289-312.

110. Y. Li, D. Jeong, J. Shin, J. Kim. A conservative numerical method for the Cahn-Hilliard equation with Dirichlet boundary conditions in complex domains // Computers and Mathematics with Applications. - 2013. - T. 65 (1). - C. 102-115.

111. Dhaouadi F., Dumbser M., Gavrilyuk S. A first-order hyperbolic reformulation of the Cahn-Hilliard equation // Proceedings A. The Royal Society. - 2025. - T. 481. - №. 2312. - C. 20240606.

112. Olbrich W.L., Kung D.M. The deformation and breakup of liquid drops in low Reynolds number flow through a capillary // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics. -1992. - Vol 4. - No. 7. - Pp. 1347-1354.

113. Olbricht W. L. Pore-Scale Prototypes of Multiphase Flow in Porous Media // Annual Review of Fluid Mechanics. - 1996. - Vol. 28. - No. 1. - Pp. 187-213.

114. Ho B.P., Leal L.G. The creeping motion of liquid drops through a circular tube of comparable diameter // Journal of Fluid Mechanics. - 1975. - Vol. 71. - No. 2. -Pp. 361.

115. Hiller W., Kowalewski T. A. An experimental study of the lateral migration of a droplet in a creeping flow // Experiments in Fluids. - 1986. - T. 5(1). - C.43-48.

116. Jacqmin D. Calculation of Two-Phase Navier-Stokes Flows Using Phase-Field Modeling // Journal of Computational Physics. - 1999. - T. 155. - №1. - C. 96127.

117. Badalassi V. E., Ceniceros H. D., Banerjee S. Computation of multiphase systems with phase field models //Journal of computational physics. - 2003. - Т. 190. -№. 2. - С. 371-397.

118. Kim J. A continuous surface tension force formulation for diffuse-interface models // Journal of Computational Physics. - 2005. - Т. 204(2). - С.784-804.

119. Bag M., Biswas T., Dharmatti S. Cahn-hilliard-navier-stokes Equations With Nonhomogeneous Boundary: Existence, Uniqueness, Regularity. - 2022.

120. Патанкар С.В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. / М.: Энергоатомиздат. - 1984. - 152 с.

121. Боков, А.В. Дискретизация дифференциального уравнения конвекции и диффузии на основе метода контрольного объема // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия: Математика. Физика. - 2016. - № 4. - С. 25-43.

122. НИОКР в машиностроении. Инновационное импортозамещение [Электронный ресурс] / Под ред. Шепелёв В.А. — Электрон. дан. — Справочно-информационный интернет-портал www.highexpert.ru, 2022. — Режим доступа: https://www.highexpert.ru/content/liquids/glw_solutions.html — Загл. с экрана.

123. А.С. Юрьев. Справочник по расчетам гидравлических и вентиляционных систем / Санкт-Петербург "Мир и семья". - 2001. - 1154 с.

124. Choo S. M., Chung S. K., Kim K. I. Conservative nonlinear difference scheme for the Cahn-Hilliard equation—ii //Computers & Mathematics with Applications. -2000. - Т. 39. - №. 1-2. - С. 229-243.

125. Choo S. M., Chung S. K. Conservative nonlinear difference scheme for the Cahn-Hilliard equation //Computers & Mathematics with Applications. - 1998. - Т. 36. - №. 7. - С. 31-39.

126. Elliott C. M. The Cahn-Hilliard Model for the Kinetics of Phase Separation // Mathematical Models for Phase Change Problems. - 1989. - С. 35-73.

127. Eyre D. J. An unconditionally stable one-step scheme for gradient systems // MRS Proceedings. - 1998.

128. Лифшиц И.М., Слезов В.В. Кинетика осаждения из пересыщенных твердых растворов // Журнал физики и химии твердых тел. - 1961. - Т. 19. - С. 3550.

129. Naraigh O L., Gloster A. A large-scale statistical study of the coarsening rate in models of Ostwald-Ripening // arXiv preprint arXiv: 1911.03386. 2019.

130. Guido S., Preziosi V. Droplet deformation under confined Poiseuille flow // Advances in Colloid and Interface Science. - 2010. - Vol. 161. - No. 1-2. - Pp. 89-101.

131. Nath B., Biswas G., Dalal A., Sahu, K.C. Migration of a droplet in a cylindrical tube in the creeping flow regime // Physical Review E. - 2017. - Vol. 95. -No. 3.

132. Lac E., Sherwood J.D. Motion of a drop along the centreline of a capillary in a pressure-driven flow // Journal of Fluid Mechanics. - 2009. - Vol. 640. - Pp. 27-54.

133. Братухин Ю.К. Термокапиллярный дрейф капельки вязкой жидкости // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1975. - № 5. - C. 156-161.

134. Jousse F., Lian G., Janes R., Melrose J. Compact model for multi-phase liquid-liquid flows in micro-fluidic devices // Lab on a Chip. - 2005. - Vol. 5. - No. 6. -Pp. 646.

135. К.И. Белоусов, А. А. Евстрапов, И.В. Кухтевич, Я.С. Посмитная. Основы нанотехнологий. Часть 1 / Санкт-Петербург: Университет ИТМО. - 2015.