Моделирование процессов тепломассопереноса, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных на одно- и двумерных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Кутузов, Антон Сергеевич

• Кутузов, Антон Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кутузов, Антон Сергеевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Вспомогательные сведения, используемые в работе

1.1. Актуальность обратных задач теплообмена

1.2. Основные понятия и методы, используемые в работе

Глава 2. Одномерные математические модели

2.1. Одна граничная обратная задача и ее решение методом квазиобращения

2.2. Численное моделирование на ЭВМ решения обратной задачи тепловой диагностики ракетных двигателей методом квазиобращения

2.3. Граничная обратная задача для уравнения с переменным коэффициентом

Глава 3. Двумерные математические модели

3.1. Оценка решения двумерной граничной обратной задачи методом проекционной регуляризации

3.2. Решение двумерной граничной обратной задачи методом квазиобращения

3.3. Реализация на ЭВМ алгоритма численного решения обратной задачи на кольце методом квазиобращения

3.4. Двумерная граничная обратная задача непрерывной разливки стали

3.5. Двумерная граничная обратная задача на кольце с подвижной границей

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процессов тепломассопереноса, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных на одно- и двумерных областях»

Введение

Многие прикладные задачи математической физики не удовлетворяют трем требованиям корректности постановки по Адамару:

1. существование решения;

2. единственность решения;

3. непрерывная зависимость решения от исходных данных.

Следствием этого является непригодность для решения таких задач традиционных методов, связанных с обращением оператора задачи.

Такие задачи стали называть некорректно поставленными. Долгое время такие задачи считались непригодными для практических нужд, а потому мало интересовали математиков.

Впервые практическую ценность таких задач отметил академик А.Н. Тихонов в своем докладе [80]. Также в этом докладе А.Н. Тихонов впервые дал постановку так называемой условно-корректной задачи. Указанная постановка в дальнейшем сыграла огромную роль в становлении и развитии теории и практических применений подобных задач.

В вопросах постановки и разработки специальных методов решения некорректных задач основополагающее место занимают работы Тихонова А.Н. [80, 81], Лаврентьева М.М. [45, 47] и Иванова В.К. [26, 27].

Дальнейшее развитие этой теории было связано с работами А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, а также их учеников и последователей В.Я. Ар-сенина, А.Л. Агеева, А.Б. Бакушинского, А.Л. Бухгейма, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, A.B. Гончарского, В.Б. Гласко, A.M. Денисова, Е.В. Захарова, В.И. Дмитриева, С.И. Кабанихина, М.Ю. Кокурина,

A.C. Леонова, O.A. Лисковца, И.В. Мельниковой, В.А. Морозова, А.И. Прилепко,

B.Г. Романова, В.Н. Страхова, В.П. Тананы, A.M. Федотова, Г.В. Хромовой,

A.B. Чечкина, А.Г. Яголы и многих других математиков [1-16, 18-22, 26-37, 39-48, 50-52, 55, 57, 58, 60, 63-84, 85, 87, 88, 90-101].

В настоящее время теория некорректно поставленных задач является одним из основных направлений прикладной математики, которое, развиваясь, находит новые приложения в естествознании, физике, металлургии и технике.

Состояние теории некорректных задач на сегодняшний день отражено в монографиях М. М. Лаврентьева [45, 46], А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [82], Р. Латтеса и Ж.Л. Лионса [50], В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Тананы [28],

B.А. Морозова [58], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, С.П. Шишатского [48], O.A. Лисковца [52], В.В. Васина, А.Л. Агеева [15], Г.М. Вайникко [12], A.M. Федотова [85], А.Н. Тихонова, A.B. Гончарского, В.В. Степанова и А.Г. Яголы [83], В.К. Иванова, И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [30], В.П. Тананы и А.И. Си-диковой [76] и многих других.

За рубежом значительный вклад в данную теорию сделан следующими математиками: Franklin J.N. [92], Cullum J. [93], Miller К. [100], Phillips D.L. [101], Melkman A., Micchelli C. [99], Langford D. [98].

При решении обратных и некорректно поставленных задач важное место занимает математическое моделирование, более адекватно отражающее суть изучаемого процесса или явления. Это приводит к использованию более сложных моделей, учитывающих неоднородные среды, сложное строение искомого решения (например, его разрывность), нелинейность, или - чему по большей части и посвящена данная работа - многомерность рассматриваемых сред, а также многие другие моменты.

Для дальнейшего численного решения обратных некорректных задач требуется разработка специальных методов, демонстрирующих высокую точность. Таким образом, особое место занимает разработка оптимальных и оптимальных по порядку методов решения некорректно поставленных задач, а также оценка погрешности этих методов.

Для окончательного решения той или иной некорректно поставленной задачи необходимо разработать и апробировать на достаточном числе модельных приме-

ров комплексы программ, работающих на основе предложенных численных методов. Этот комплекс должен быть достаточно простым для использования. Стандартные программы, используемые в нем, не должны портить точность методов.

В теории некорректно поставленных задач можно выделить три основных направления.

1. Теория регуляризуемости, связанная с проблемой существования метода решения той или иной задачи. Решение этой проблемы позволяет отсеять тот класс задач - "абсолютно некорректных" - за решение которых бесполезно браться.

В работе В.А. Винокурова [18] было замечено, что далеко не все задачи регу-ляризуемы, то есть решаемы. Общая же постановка проблем, связанных с этим направлением, и их решение принадлежат В.А. Винокурову и Л.Д. Менихесу [18, 19].

Отметим, что исследования в данной области позволяют для некоторых "трудных" задач предложить новые, нетрадиционные методы их решения и тем самым еще глубже проникнуть в тайны явления, называемого некорректностью.

2. Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов. Основными методами решения некорректных задач на данный момент являются метод регуляризации А.Н. Тихонова [81], метод М.М. Лаврентьева [45], метод квазирешений В.К. Иванова [26] и метод невязки [2]. Практическая реализация этих методов невозможна без использования ЭВМ.

При этом требуется замена исходной бесконечномерной задачи некоторой конечномерной. Указанная замена не должна испортить сходимость регуляризо-ванного решения к точному. Исследованию этого вопроса посвящено большое число работ, среди которых отметим [1], [14-16], [28], [55], [57], [58], [67], [81-84] и многие другие.

3. Построение эффективных методов решения некорректных задач. Основополагающие работы в данном направлении принадлежат Тихонову А.Н. [81], Лаврентьеву М.М. [45] и Иванову В.К. [26], [27]. В них были сформулированы

основные принципы регуляризации и предложены некоторые методы, которые исследуются до сих пор.

Затем А.Б. Бакушинский в работе [9] предложил общий прием построения регуляризующих алгоритмов. Начиная с этой работы, в теории некорректных задач появилась неопределенность, заключающаяся в том, что для решения одной и той же задачи в арсенале имелось много методов.

Таким образом, дальнейшие исследования в теории некорректных задач были связаны с созданием объективных количественных характеристик точности для методов регуляризации и на их основе сравнения методов. Здесь одним из основных являлся вопрос о выборе параметра регуляризации, решение которого В.К. Ивановым [27] и В.А. Морозовым [57] привело к созданию принципа невязки, сыгравшего большую роль в развитии теории некорректных задач.

Затем в работе В.К. Иванова [28] и других появились исследования равномерной регуляризации на некоторых классах решений, которые дали возможность оценить погрешность различных методов регуляризации. Это позволило сформулировать определение оптимального метода, как самого точного среди всех возможных методов. Первые исследования, связанные с построением оптимального метода и оценки его погрешности в общем случае принадлежат В.М. Страхову [65], А. Ме1ктап и С. МюсИеШ [99].

С этого момента начались исследования, связанные с построением оптимальных и оптимальных по порядку методов, в которых приняли участие очень многие математики.

Конкретная зависимость решения некорректно поставленной задачи от погрешности задания входных данных впервые была получена в работах В.П. Тана-ны [67, 68]. Эти исследования продолжены в настоящей работе.

Данная работа относится к третьему направлению. В ней рассмотрены математические модели некоторых обратных задач тепловой диагностики ракетных двигателей, термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов и задача непрерывной разливки стали. Указанные модели рассматриваются на одно- и двумерных областях. Для приближенных реше-

ний указанных задач разработаны численные методы и получены оценки погрешностей этих методов.

Подробнее об актуальности настоящей работы мы скажем в параграфе 1.1.

Целью нашей работы является исследование широкого класса математических моделей и связанных с ними обратных задач, возникающих в теплофизике.

Перед нами стоят следующие задачи:

- построить математические модели процессов, происходящих внутри камеры сгорания ракетного двигателя в случаях, когда выгоранием внутренней стенки можно или нельзя пренебречь;

- построить математические модели процессов термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов в случаях, когда уносом материала с поверхности покрытия можно или нельзя пренебречь;

- построить математическую модель процесса непрерывной разливки стали;

- для каждой из построенных моделей разработать эффективные численные алгоритмы, позволяющие находить и оценивать приближенные решения получаемых задач в случае, если исходные данные известны приближенно с некоторой заданной погрешностью;

- реализовать на ЭВМ комплекс программ, работающих на основе разработанных численных методов. Работоспособность комплекса проверить на модельных примерах.

Для решения указанных задач мы будем использовать такие численные методы теории некорректных задач, как метод проекционной регуляризации и метод квазиобращения. Кроме этого, при решении задач будет задействован аппарат интегральных преобразований для приведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Возможность применения интегральных преобразований в работе строго и полностью обоснована. Для реализации на ЭВМ мы используем разностную аппроксимацию и сеточные методы.

Новизна данной работы состоит в том, что большинство рассматриваемых в ней моделей ранее нигде не исследовалось. Для тех же моделей, которые исследовались ранее, предложены более эффективные численные методы. К результатам

теоретической значимости следует отнести оценки решений некорректно поставленных смешанных краевых задач для различных уравнений параболического типа с разного рода граничными условиями. Указанные оценки получены впервые. Кроме этого, для двумерных задач с подвижными и неподвижными границами получены достаточные условия разрешимости.

Практическую значимость имеет обоснование эффективности метода квазиобращения при решении обратных задач тепловой диагностики по сравнению с некоторыми другими методами.

Достоверность всех полученных результатов обеспечена полными доказательствами всех утверждений, выдвигаемых на защиту, причем математическая строгость доказательств соответствует современному уровню. Все теоретические результаты подтверждены экспериментально путем их сравнения с некоторыми известными.

На защиту выносятся:

1. Результаты исследования математических моделей процессов, происходящих внутри камеры сгорания ракетного двигателя, процессов непрерывной разливки стали и процессов термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов.

2. Оценки приближенных решений поставленных обратных задач методами квазиобращения и проекционной регуляризации, полученные для таких моделей впервые.

3. Достаточные условия разрешимости двумерных обратных задач с подвижными и неподвижными границами.

4. Вывод о более эффективном использовании метода квазиобращения при моделировании решений рассматриваемых задач на ЭВМ.

5. Использование полученных результатов и предложенного метода квазиобращения для реализации программного комплекса "Тепловая диагностика".

Работа состоит из введения, трех глав, двадцати двух рисунков и библиографии, насчитывающей сто одно наименование.

Во введении дан краткий экскурс в историю вопроса, описаны постановки всех рассматриваемых в работе задач, приведены цель и задачи исследования, методология, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, а также положения, выносимые на защиту.

Глава 1 носит вспомогательный характер. В ней дается введение в теорию обратных задач теплообмена. Кроме того, определены основные понятия и методы, а также сформулированы факты, используемые при получении основных результатов в следующих главах.

Глава 2 посвящена постановке и решению обратных задач тепловой диагностики в одномерном случае.

В параграфе 2.1 рассматривается одномерная модель тепловой диагностики процессов, происходящих внутри камеры сгорания ракетного двигателя (в предположении, что стенка камеры не подвергается выгоранию), которая может быть математически описана следующей обратной граничной задачей восстановления поля температур = «(1,0? гДе е С[0,оо), «(х,/) удовлетворяет условиям:

^ = '>0> 0<х<1, и(х,0еС([0,1]х[0,оо));

гфс,0) = 0, 0 < х < 1;

м(0,0 = 0, / > 0;

и{х0,{) = (р{1), />0, 0<х0<1.

Здесь <р(7) е С[0,оо) - заданная функция, а также выполняются условия сопряжения и0(0) = 0 и <р(0) = 0. Задача поставлена некорректно.

Также мы полагаем, что —,—- е С((0,1)х (0,оо)) и существует число Т> 0

дt дх

такое, что для любого 1>Т «0(/) = 0. Это условие является естественным, поскольку всякий процесс рано или поздно прекращается.

Мы показываем, что

и(х,0 е С([0,1] х [0,сю)) П Ь2 ([0,1] х [0,оо)) П Ц ([0,1] х [0,«»)),

а поскольку задача поставлена некорректно, то предполагаем, что точное решение ьф)&Мг, где

Кроме этого, пусть вместо точного значения функции нам известно ее <5 -приближение (р5{/) и уровень погрешности 8 такие, что ¡«р-^Ц^

Требуется, используя исходные данные <р3, 3, и Мг построить приближенное

Полностью обоснована применимость метода интегральных преобразований для решения данной задачи.

Для нахождения решения поставленной задачи использован метод квазиобращения. Оценка приближенного решения задачи этим методом получена впервые. Кроме того, для малого параметра, играющего в данном случае роль параметра регуляризации, получена интервальная оценка.

Простота численной реализации метода квазиобращения по сравнению с другими методами теории некорректных задач позволила смоделировать решение поставленной задачи на ЭВМ. Этому посвящен параграф 2.2. Здесь рассмотрены модельные примеры. Все результаты тестирований показали, что разработанный алгоритм дает экспериментальные оценки не хуже теоретической. Все константы, участвующие в оценках, найдены явно.

В параграфе 2.3 ставится и решается задача, моделирующая процесс термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов в предположении, что материал покрытия не уносится с поверхности. Постановка задачи имеет вид:

решение и5 (?) и оценить его уклонение ||м0 от точного решения и0(¿).

ди(х^) _ д2и(х,/) & дх2

^^- + а(х)и(х,0, *е(0,1), />0, а(х) е С2 [0,11; Эх

и(х,0) = 0, хе[0,1]; «(0,/) = /(0. /(/)еС[0,оо);

u{xQ,t) = g{t)^ 0<Х0<Д, />0, я(/)еС[0,оо),

а граничное значение г/(1,г) е С[0,оо) функции ^(х,/1) е С([0,1] х [0,со)) подлежит определению.

Мы также полагаем, что выполняются условия сопряжения м(1,0) = 0,

ды З^ы

/(0) = 0 и £(0) = 0, а также —,—-еС((0,1)х(0,оо)) и существует число Г>0

дt дх

такое, что для любого / > Т и( 1,/) = 0. Мы показываем, что

и(х,0 е С([0,1] х [0,оо)) П Ь2 ([0,1] х [О,®)) П Ц ([0,1] х [0,оо)),

а поскольку задача является некорректно поставленной, то предполагаем, что при точных начальных данных /(0 = /О(0 и ¿Г(0 = &о(0 существует точное решение и0( поставленной задачи, которое принадлежит пространству

С[0,оо)П£2[0,оо)ПА[0,°°) и лежит в множестве

{со со

м(/) е С[0,оо):\\uitfdt + \\u\tfdt < г2 V

Однако точные значения /0(0> и £о(0 нам неизвестны, а вместо них даны некоторые приближения /ДОэ&ДО е С[0,оо)ПД[0,оо)ПЦ [0,со) и уровень погрешности 8 > 0 такие, что ||/0 - /5< 8, -g5\Ll<8.

Требуется, используя исходные данные и Мг построить прибли-

женное решение г/Д/) и оценить его уклонение ||м0 -м5||с от точного решения.

Поставленная задача решена методом проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации согласно схеме М.М. Лаврентьева. Для приближенного решения этой задачи впервые получена оценка сверху. Примечательным является то, что найденная оценка зависит от точки, в которой производится промежуточный замер температурного поля системы. Кроме того, все константы, фигурирующие в полученных в главе 2 оценках, вычислены явно, что позволяет при

рассмотрении модельных примеров на ЭВМ сравнивать оценки, найденные экспериментально, с теоретическими оценками.

Глава 3 посвящена постановке и решению обратных задач тепловой диагностики в случаях, когда рассматриваемые области являются двумерными областями с неподвижными или с подвижными границами.

В параграфах 3.1 и 3.2 рассматривается задача тепловой диагностики процессов, происходящих внутри камеры сгорания ракетного двигателя (в предположении, что стенка камеры не подвергается выгоранию). Не секрет, что двумерные математические модели более адекватно описывают реальные процессы, потому ставится следующая задача для двумерного уравнения:

от

в котором х,у&К, где К - кольцо, ограниченное окружностями Г! и Г2 с радиусами гх и г2 соответственно, 1 < г, < г2, Г>0, и(х,у^) е С^К х [0,со)). Известны

следующие начальные и граничные условия:

и(х,у, 0) = 0, х,уеК, и\ =0, I > 0,

И Л

иг

п

= ДО; г0 = {х,у е К: + у2 = г0\ г} < г0 < г2}, I > 0, /(0 б С[0,со), а граничное значение г/|г бС[0,оо) функции и(х,у,р подлежит определению.

Мы полагаем, что выполняются условия сопряжения м(х,з;,0)|г =0 и

г/ач л ди д2и д2и , ч

/(0) = 0, а также — ,—,— еС(£х(0,ао)).

<3? дх ду

Решение этой задачи предполагаем осесимметричным, то есть таким, что

и(х,у^) = и\у]х2 + у2 ,А.

Тогда после замены переменной г = у]х2 + у2 задача сводится к виду: ди(г, 0 _ д2и(г, р 1 дф, р

— -1- , i и, 1 ^ А, ^ /-2,

от дг г дг

4=0

и\ = 0, I > 0,

2

«1= ДО, ^1<Г0<Г2'

'--'о

а определить требуется граничное значение и\__г= м0(7) е С[0,<ю) функции

ф,1)бС([/,1,ф[0,оо)). При этом считаем, что — ,—бС((грг2)х(0,<ю)) и существует число Т > 0 такое, что для любого 1>Т = 0. Мы показываем, что

а также обосновываем применимость метода интегральных преобразований для решения поставленной задачи.

Эта задача поставлена некорректно, потому предполагаем, что при достаточно большом г > 0 и точно заданном граничном условии

/о(0 6 с[0,оо) п Ь2 [0,сю) П Ц [о,сю)

существует точное решение £/0(гр/) = и0(?) ^ 0 такое, что

«0(0 е С[0,оо) П Ь2 [0,а)) П А [0,сю),

{со со

и(0 е С[0,оо): +^

о о

Однако точное значение /0(0 нам неизвестно, а вместо него даны некоторое приближение /¿(() е С[0,оо)П£2[0,оо)ПА [0,<ю), вызванное погрешностями измерения и уровень погрешности <5 > 0 такие, что ||/0 ^

Требуется, используя исходные данные и Мг построить приближенные

решения и8{г^) = иа{{)&Ьг\0,<ю) и и8с(г1^) = и8с(1)еС[0,со), а также оценить их укло-

нения и р0-мгс||с от точного решения г/0(?).

Впервые для такого класса двумерных задач с неподвижными границами получены оценки решений методами проекционной регуляризации и квазиобращения. Проведено сравнение этих оценок.

Достаточным условием существования приближенного решения поставлен-

V

ной задачи является выполнение неравенства — < 2л +1.

1

Все участвующие в полученных оценках константы и параметры посчитаны явно. Для малого параметра, определяемого в методе квазиобращения, получена интервальная оценка.

В параграфе 3.3 разработан и описан алгоритм для ЭВМ, являющийся модернизацией алгоритма, построенного в параграфе 2.2. Рассмотрен модельный пример.

Все рассмотренные выше задачи сводятся к задаче с подвижной границей, если не пренебрегать возможным перемещением одной или нескольких границ под действием тепловых процессов.

Потому последние из рассматриваемых в работе задач представляют собой задачи для областей с подвижными границами - задачи стефановского типа.

Параграф 3.4 посвящен постановке и решению двумерной граничной обратной задачи непрерывной разливки стали, возникающей в металлургии. Рассматривается дифференциальное уравнение

ди(х,у, О

---= Аи(х,у^),

от

в котором х,уеК, К - круг с центром в начале координат, ограниченный окружностью Г радиуса И^) > 0 (то есть окружность Г со временем перемещается), ?>0, /г(?) - непрерывная, ограниченная, строго убывающая функция, причем

а2 а2

/г(0) = /г0 > 0, А = —- н--- - оператор Лапласа.

дх ду~

Кроме того, и(х,у^) е с(^х[0,оо)), а также известны следующие начальные и граничные условия:

фс,.у,0) = 0, х,у&К, и\т = 0, />0,

|ёгас1г/||г=у/(0, t> О, (//(/) е С[0,оо),

а граничное значение «(0,0,/) е С[0,оо) функции и{х,у,г) подлежит определению.

Условимся обозначать кгаё и\

ГдиЛ2 Г я,Л2

+

ди

\дУJ

Функцию и(х,усчитаем априори ограниченной.

Кроме того, мы полагаем, что выполняется условие сопряжения м(0,0,0) = 0.

ди д2и д2и

а также

а?' бх2' ду2

Решение этой задачи полагаем осесимметричным, то есть таким, что

С(^х(0,оо)).

и(х,у^) = и[у1х2 + у2

Выполнив замену переменной 2 = у2, задачу сводим к следующей: ди(г^) д2и(г,1) 1 ди(г^)

дг

дгА г дг

4=0=0. 0<2</г0,

?>0, 0<к А(/),

ди

=¡//(0, ?>о,

а определить требуется

м(0,0 = "0(0еС[0,оо). Здесь и{2.,{) е С([0,/г0]х [0,оо)) - ограниченная действительнозначная функция, ^,^еС((ОА)х(О,«0). ¿я дг

Мы показываем, что

иСг.ОеС^ОЛЗх^оо^ПА^ОЛЗх^юЙПА^ОЛ]^^®)).

Рассматриваемую некорректно поставленную задачу серией замен переменных мы сводим к задаче с неподвижными границами и с переменным коэффициентом в уравнении.

Дополнительно считаем, что при достаточно большом г > 0 и точно заданном граничном условии (//0(?)еС[0,оо)П£2|Аоо)П существует точное реше-

ние

{оо оо I

u(t) е С[0,оо): ||м(/)|2Л + \\u\tfdt < г21.

0 0 J

Однако точное значение y/0(t) нам неизвестно, а вместо него даны некоторое приближение y/s(t) е С[0,со)П^2[^оо)ПЦ [0,оо), вызванное погрешностями измерения, и сам уровень погрешности 8 > 0 такие, что ||t//0 - y/s || <8.

Требуется, используя исходные данные i//¿,8, и Мг, построить приближенные решения us(0,t) = us(t)eL2[0,cc) и u5c(0,t)-nSc{t)еС[0,со), а также оценить их уклонения Iи0 -ид\ и |м0 -иёс||с от точного решения u0(t) = u0(0,t).

Методом проекционной регуляризации впервые для подобного класса задач найдена оценка сверху для значения температурного поля в центре круга. Все константы, входящие в полученную оценку, могут быть посчитаны явно.

Наконец, в параграфе 3.5 решена двумерная обратная задача на кольце с подвижной границей, моделирующая процесс выгорания внутренней стенки камеры сгорания ракетного двигателя.

Рассматривается дифференциальное уравнение

ot

в котором х,у&К, К - кольцо, ограниченное окружностями Г, и Г2 с радиусами h(t) > 1 и г, > h{t) соответственно (то есть внутренняя граница кольца со временем перемещается), t > 0, hit) - непрерывная, ограниченная, строго возрастающая

а2 а2

функция, причем h(0) = h0 > 1, А = —- + —г- - оператор Лапласа.

дх' ду

Кроме того, и(х,у,0 е С(АТх[0,оо)), а также известны следующие начальные и граничные условия:

и(х,у, 0) = 0, х,уеК, и\ =0, />0,

II 2

t>0, у/(0 е С[0,оо), а граничные значения и\г ,^гаём||г еС[0,со) подлежат определению.

Мы полагаем, что выполняется условие сопряжения и(х,у,0) = 0, при

ч ^ ди д2и д2и т. . , ч

(х51у)еГ,, а также —,—г-,—-ёС(лх(0,оо)). Кроме того, функцию и(х,у,/) ес-

д1 дх ду

тественно искать ограниченной, потому будем считать это дополнительной априорной информацией.

Будем искать решение этой задачи, являющееся осесимметричным, то есть таким, что

и(х,у^) = и\^х2 + у2

Выполнив замену переменной г = у]х2 + у2, поставленную задачу можно свести к следующей:

дг~ г дх

4=о=0>

и\ =0, / > 0,

I--Г- у '

ди

а определить требуется

м(Л(/),0 = и,(0, и.(НО»0 = и2(0 ■

Здесь и(2,/)еС([Д,г2]х[0,оо)) - ограниченная функция —,—- еС((/^,г2)х(0,оо)).

д1 дх

Аналогично предыдущей задаче имеем

Рассматриваемую некорректно поставленную задачу серией замен переменных мы сводим к задаче с неподвижными границами и с переменным коэффициентом в уравнении. Кроме того, дополнительно считаем, что при г > 0 и точно заданном граничном условии у/0(/) е С[0,оо)П^2[0,оо)П^1[0,оо) существуют точные решения

Однако точное значение нам неизвестно, а вместо него даны некоторое приближение у/Д/) е С[0,оо) П Ь2 [0,оо) П [0,оо), вызванное погрешностями измерения, и сам уровень погрешности 8 > О такие, что |||//0 -у^Ц^ ^ 8.

Требуется, используя исходные данные ц/5,8ь и Мг, построить приближенные решения = е Ь2 [0,оо), мгДй(0,0 = е С[0,со), = и25^) € [О»00) и = а также оценить их уклонения ||м10, ||мю-М1&||С' и |Ко_"2<Лс °т точных решений

м1О(О = м0(Л(О»О и «2о(0 = «о.-(Л(0»0-

Методом проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации согласно принципу невязки впервые для подобного класса задач найдены оценки сверху значений температурного поля и теплового потока на внутренней границе рассматриваемой области. Получены достаточные условия разрешимости рассматриваемой задачи.

Отметим в заключение, что задачу непрерывной разливки стали можно также рассматривать на кольце, внешняя граница которого находится в движении. Принцип решения в этом случае будет мало отличаться от рассмотренного в работе для ракетного двигателя.

и,

Также к задаче с подвижной границей на кольце сводится задача, моделирующая термохимическое разложение теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов, если уносом материала с поверхности пренебречь нельзя. При этом получается постановка задачи на кольце, внешняя граница которого находится в движении (если рассматривать двумерную модель), либо на отрезке, любой из концов которого перемещается (если рассматривать одномерную модель).

Таким образом, можно сделать вывод, что во всех рассматриваемых в работе задачах наблюдается некоторая общность, и, изменяя те или иные граничные условия, мы получаем задачи, моделирующие различные тепловые процессы.

Глава 1. Вспомогательные сведения, используемые в работе

1.1. Актуальность обратных задач теплообмена

Материал параграфа взят, в основном, из источников [3-7].

Основными задачами в тепловом проектировании являются задачи составления тепловых моделей, экспериментальные исследования и обработка полученных данных, задачи оптимизации проектных параметров систем обеспечения теплового режима. При всем различии этих задач они имеют одно общее - информация о тепловых состояниях объекта исследования (она обычно имеет вид зависимостей температуры от времени в различных элементах и точках системы) должна быть заключена в исходных данных задачи.

Практически во всех названных случаях этот общий момент является принципиальным и приводит к постановкам задач единого класса - обратным задачам теплообмена (ОЗТ).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кутузов, Антон Сергеевич, 2013 год

Список литературы

1. Агеев, A.JI. Алгоритмы конечномерной аппроксимации стабилизирующих добавок / A.JI. Агеев // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 1991. -Т. 31. -№7.-С. 943-952.

2. Агеев, A.J1. Регуляризация нелинейных операторных уравнений на классе разрывных функций / A.JI. Агеев // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. -1980.-Т. 20.-№4.-С. 516-531.

3. Алифанов, О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов / О.М. Алифанов. - М.: Машиностроение, 1979. - 216 с.

4. Алифанов, О.М. Алгоритмы диагностики тепловых нагрузок летательных аппаратов / О.М. Алифанов, В.К. Зайцев, Б.М. Панкратов, под ред. акад. В.П. Мишина. -М.: Машиностроение, 1983. - 168 с.

5. Алифанов, О.М. Обратные задачи теплообмена / О.М. Алифанов. - М.: Машиностроение, 1988. - 279 с.

6. Алифанов, О.М. Определение граничных условий в процессе тепловых газодинамических испытаний / О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин // ТВТ. -1978. - Т. 16 - №4. - С. 819-825.

7. Алифанов, О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена / О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, C.B. Румянцев. - М.: Наука, 1988. - 285 с.

8. Арсенин, В.Я. О разрывных решениях уравнений первого рода / В.Я Арсе-нин // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 1965. - Т. 5 - №5 - С. 922926.

9. Бакушинский, А.Б. Один общий прием построения регуляризующих алгоритмов для линейных некорректных уравнений в гильбертовых пространствах / А.Б. Бакушинский // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. — 1967. —

Т.7.-№3-С. 672-677.

10. Булатова, М.Г. Решение задачи восстановления приближенно заданной функции / М.Г. Булатова // Математика. Механика. Информатика. Тез.докл. Всерос. науч. конф., Челябинск, 19-22 сент. 2006 г. Отв. ред.

A.M. Ильин. Челябинск: Челяб. Гос. Ун-т. - 2006. - С. 23.

11. Бургграф. Точное решение обратной задачи в теории теплопроводности и ее приложениях / Бургграф // Труды амер. о-ва инж.-мех. Сер. С, Теплопередача. - 1964. -№ 3. - С. 94-106.

12. Вайникко, Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах / Г.М. Вайникко. - Тарту: изд-во Тар-тус.ун-та, 1982. - 111 с.

13. Васин, В.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования /

B.В. Васин // Матем. зам. УрГУ. - 1969. - Т.7. - № 2, С. 29-33.

14. Васин, В.В. Общая схема дискретизации регуляризующих алгоритмов в банаховых пространствах / В.В. Васин // ДАН СССР. - 1981. - Т. 256. -№2.-С. 271-275.

15. Васин, В.В. Некорректные задачи с априорной информацией / В.В. Васин, A.JI. Агеев. - Екатеринбург: Наука, 1993. - 261 с.

16. Васин, В.В. Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов для линейных неустойчивых задач /В.В. Васин, В.П. Тана-на // ДАН СССР. - 1974. - Т. 215. - №5. - С. 1032-1034.

17. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть первая / Г.Н. Ватсон. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1949. - 748 с.

18. Винокуров, В.А. Об одном необходимом условии регуляризуемости по Тихонову / В.А. Винокуров // ДАН СССР. - 1981. - Т. 256 - №2. - С. 271275.

19. Винокуров, В.А. Необходимые и достаточные условия линейной регуляризуемости / В.А. Винокуров, Л.Д. Менихес // ДАН СССР. - 1976. - Т. 229. -№6.-С. 1292-1294.

20. Гольдман, H.JI. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения / Н.Л. Гольдман. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 294 с.

21. Гончарский, A.B. Об одном регуляризующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором / A.B. Гончарский, A.C. Леонов, А.Г. Ягола // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. -1972. - Т. 12. - №6. - С. 1592-1596.

22. Денисов, A.M. Введение в теорию обратных задач / A.M. Денисов. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 208 с.

23. Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление /

B.А. Диткин, А.П. Прудников. - М.: Наука, 1961. - 524 с.

24. Зорич, В.А. Математический анализ. Часть вторая / В.А. Зорич. - М.: Наука, 1984.-640 с.

25. Зубков, Б.В. Энциклопедический словарь юного техника / Б.В. Зубков,

C.B. Чумаков. - М.: Педагогика, 1987. - 464 с.

26. Иванов, В.К. О некорректно поставленных задачах / В.К. Иванов // Матем. сб. - 1963.-Т. 61,-№2.-С. 211-213.

27. Иванов, В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода / В.К. Иванов // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 1966. - Т. 6. -№6-С. 1089-1094.

28. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. - М.: Наука, 1978. - 208 с.

29. Иванов, В.К. Об оценке погрешностей при решении линейных некорректно поставленных задач / В.К. Иванов, Т.И. Королюк // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 1969. - Т. 9. -№1. - С. 30-41.

30. Иванов, В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков. - М.: Физматлит, 1995.- 176 с.

31. Имбер, М. Некоторые замечания по поводу двумерной обратной задачи теплопроводности / М. Имбер // Ракетная техника и космонавтика. - 1975.

- №1. - С. 149-150.

32. Имбер, M. Экстраполяционный метод расчета температуры полого цилиндра / М. Имбер // Ракетная техника и космонавтика. - 1973. - №1. -С. 137-138.

33. Имбер, М. Замечание к статье "Определение нестационарных тепловых потоков через поверхность полого цилиндра по измерению температуры на его внутренней поверхности" / М. Имбер // Ракетная техника и космонавтика. - 1976. - №4. - С. 152-153.

34. Имбер, М. Обратная задача теплопроводности для сплошного цилиндра / М. Имбер // Ракетная техника и космонавтика. - 1979. - № 1. - С. 107-111.

35. Кабанихин, С.И. Обратные и некорректные задачи / С.И. Кабанихин. - Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2008. - 460 с.

/

36. Коверьянов, В.А. Обратная задача нестационарной теплопроводности/

B.А. Коверьянов // Теплофизика высоких температур. - 1967. - Т. 5. -№1. - С. 141-148.

37. Кокурин, М.Ю. Операторная регуляризация и исследование нелинейных монотонных задач / М.Ю. Кокурин. - Йошкар-Ола: Изд-во МарГУ, 1998. -292 с.

38. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. - М.: Наука, 1972. - 496 с.

39. Кутузов, A.C. Точная по порядку оценка приближенного решения обратной задачи для уравнения теплопроводности на кольце / A.C. Кутузов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математика, физика, химия. - 2007. - №19 (91). -

C. 30-36.

40. Кутузов, A.C. Определение и точные по порядку оценки приближённых значений температуры и теплового потока на внешней границе кольца / A.C. Кутузов // Системы управления и информационные технологии. — 2009. -№2.1 (36).-С. 153-157.

41. Кутузов, A.C. Оценка приближённого решения одной двумерной гранич-

ной обратной задачи тепловой диагностики методом квазиобращения / A.C. Кутузов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математика, физика, химия. - 2009. -№10 (143).-С. 14-21.

42. Кутузов, A.C. Точная по порядку оценка приближенного решения одной обратной задачи тепломассообмена на кольце / A.C. Кутузов // Информационные технологии моделирования и управления. - 2009. - №2 (54). -С. 207-215.

43. Кутузов, A.C. Определение граничного значения теплового потока на внешней границе кольца для обратной задачи теплопроводности / A.C. Кутузов // Троицкий вестник. - 2008. - №3. - С. 165-173.

44. Кутузов, A.C. О приближённом решении одной двумерной обратной задачи для уравнения теплопроводности / A.C. Кутузов // Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач: молодёжная международная научная школа-конференция, Новосибирск, 10-20 авг. 2009 г. - Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2009. - С. 60.

45. Лаврентьев, М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М.М. Лаврентьев. - Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - 92 с.

46. Лаврентьев, М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений / М.М. Лаврентьев. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973. - 71 с.

47. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. - М.: Наука, 1980. -288 с.

48. Лаврентьев, М.М. Теория операторов и некорректные задачи / М.М. Лаврентьев, Л .Я. Савельев. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. -702 с.

49. Ладыженская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / O.A. Ладыженская, В.А. Солонников, H.H. Уральцева. - М.: Наука, 1967.-736 с.

50. Латтес, Р. Метод квазиобращения и его приложения / Р. Латтес, Ж.Л. Ли-

онс. - М.: Мир, 1970. - 224 с.

51. Леонов, A.C. Кусочно-равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями / A.C. Леонов// Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 1982. - Т. 22. - №3. - С. 516-531.

52. Лисковец, O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач / O.A. Лисковец. - Минск: Наука и техника, 1981. - 343 с.

53. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. -М.: Наука, 1965. - 519 с.

54. Мартыненко, H.A. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами / H.A. Мартыненко, Л.М. Пустыльников. - М.: Наука, 1986. - 304 с.

55. Менихес, Л.Д. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева/ Л.Д. Менихес, В.П. Танана // Сиб. журнал вычисл. матем. - 1998. -Т. 1. -№1. - С. 59-66.

56. Михлин, С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1968.-576 с.

57. Морозов, В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации / В.А. Морозов // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 1966. - Т. 6. - №1. - С. 170-175.

58. Морозов, В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В .А. Морозов. - М.: Наука, 1987. - 239 с.

59. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. -М.: Наука, 1969.-529 с.

60. Осипов, Ю.С. Основы метода динамической регуляризации / Ю.С. Осипов, Ф.П. Васильев, М.М. Потапов. - М.: МГУ, 1999. - 238 с.

61. Панкратов, Б.М. Взаимодействие материалов с высокотемпературными газовыми потоками / Б.М. Панкратов, Ю.В. Полежаев, А.К. Рудько. - М.: Машиностроение, 1976. - 224 с.

62. Полежаев, Ю.В. Тепловая защита / Ю.В. Полежаев, Ф.Б. Юревич. - М.:

"Энергия", 1976.-391 с.

63. Самарский, A.A. Вычислительная теплопередача / A.A. Самарский, П.Н. Вабищевич. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

64. Сидикова, А.И. Разработка и обоснование методов для решения обратных граничных задач теплообмена: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.07 / Сидикова Анна Ивановна. - Челябинск, 2010. - 146 с.

65. Страхов, В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве / В.Н. Страхов // Дифференциальные уравнения. - 1970. -Т. 6.-№8.-С. 1490-1495.

66. Табаринцева, Е.В. Один численный метод решения обратной задачи тепловой диагностики / Е.В. Табаринцева, A.C. Кутузов // Наука ЮУрГУ: материалы 61-й научной конференции. Секции естественно-научных и гуманитарных наук. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2009. - Т. 2. -С. 161-164.

67. Танана, В.П. Методы решения операторных уравнений / В.П. Танана. - М.: Наука, 1981.- 160 с.

68. Танана, В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач / В.П. Танана // Сиб. журнал вычисл. матем. - 2004. - Т. 7. - №2. - С. 117-132.

69. Танана, В.П. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач / В.П. Танана, А.Р. Данилин // Дифференциальные уравнения.- 1976.-Т. 12.-№7.-С. 1323-1326.

70. Танана, В.П. Об оптимальных по порядку методах приближения кусочно-непрерывного решения одной обратной задачи / В.П. Танана, М.Г. Булатова // Известия вузов. Математика. - 2007. - №3. - С. 65-72.

71. Танана, В.П. О приближенном решении одной обратной задачи / В.П. Танана, М.Г. Булатова // Изв. Челяб. науч. центра. - 2007. - Вып 1. - С. 23-26.

72. Танана, В.П. Решение обратной задачи для уравнения параболического типа / В.П. Танана, М.Г. Булатова // Проблемы развития приграничных тер-

риторий: Сб. материалов международной конференции, под ред. д.пед.наук. Н.В.Лежневой. - Челябинск: Фрегат. - 2006. - С. 230-232.

73. Танана, В.П. Оптимизация методов решения операторных уравнений /

B.П. Танана, М.А. Рекант, С.И. Янченко. - Свердловск: изд-во Уральского ун-та, 1987.-200 с.

74. Танана, В.П. Об оптимальных по порядку методах решения условно-корректных задач / В.П. Танана, Н.М. Япарова // Сиб. журнал вычисл. ма-тем. - 2006. - Т. 9. - №4. - С. 353-368.

75. Танана, В.П. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи Стефана / В.П. Танана, Е.В. Худышкина // Сиб. журнал инд. матем. -

2005. - Т. 8. - №4. - С. 124-130.

76. Танана, В.П. Оптимальные методы решения некорректно поставленных задач / В.П. Танана, А.И. Сидикова. - Челябинск: ЮУрГу, 2012.-161 с.

77. Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения одной обратной задачи для параболического уравнения / В.П. Танана // Докл.РАН. -

2006. - Т. 407. - №3. - С. 316-318.

78. Танана, В.П. Об одном подходе к приближению разрывного решения некорректно поставленной задачи / В.П. Танана, Е.В. Табаринцева // Сиб. журнал индустр. математики. - 2005. - Т. 8. - №1. - С. 129-142.

79. Танана, В.П. Об оценке погрешности метода решения одной обратной задачи для параболического уравнения / В.П. Танана // Сиб. журн. вычисл. Математики / РАН. Сиб. отд-ие. - Новосибирск, 2010. - Т. 13, №4. -

C. 451-465.

80. Тихонов, А.Н. Об устойчивости обратных задач / А.Н.Тихонов // ДАН СССР. - 1943. - Т. 39. - №5. - С. 195-198.

81. Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А.Н. Тихонов // ДАН СССР. - 1963. - Т. 153. - №1. - С. 49-52.

82. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректно поставленных задач / А.Н. Тихонов, В .Я. Арсенин. - М.: Наука, 1974. - 223 с.

83. Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректно поставленных задач / А.Н. Тихонов, A.B. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. - М.: Наука, 1990.-232 с.

84. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. - М.: Гостехиздат, 1953. - 345 с.

85. Федотов, A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных / A.M. Федотов. - Новосибирск: Наука, 1982. - 190 с.

86. Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман. - М.: Мир, 1968. - 427 с.

87. Хромова, Г.В. О задаче восстановления функций, заданных с погрешностью / Г.В. Хромова // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 1977. -Т. 17. -№5. - С. 1161-1171.

88. Худышкина, Е.В. Метод установления и его применение для численного моделирования некоторых обратных задач теплообмена: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Худышкина Елена Вячеславовна. - Челябинск,

2006.- 103 с.

89. Янке, Е. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы) / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. - М.: Наука, 1964. - 344 с.

90. Япарова, Н.М. Принцип невязки и его применение к численному моделированию некоторых обратных задач математической физики: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Япарова Наталья Михайловна. - Челябинск,

2007.- 135 с.

91. Carslaw, H.S. Conduction of heat in solids, 2nd ed. / H.S. Carslaw, J.C. Jaeger. -London: Oxford Univ. Press, - 1959.

92. Franklin, J.N. On Tikhonov's method for ill-posed problems / J.N. Franklin // Math. Comput. - 1974. - V. 28. - № 128. - P. 899-907.

93. Cullum, J. Numerical differentiation and regularization / J. Gullum // SIAM J.Numer. anal. - 1971. - V. 8.-№2.-P. 254-265.

94. Hadamard, J. Le problème de Cauchy et les equations aux dirivees partielles Ii-

neaires hyperboliques / J. Hadamard. - Paris: Hermann, - 1932. - 542 p.

95. Ky Fun, Some geometric properties of the spheres in a normed linear space / Ky Fun, J. Gliksberg // Duke Math. - 1958. - V. 25. - №4. - P. 553-668.

96. Hardy, G.H. A convergence criterion for fourier series / G.H. Hardy // Math. Zeit. - 1928. - V. 28. - P. 122-147.

97. Johanson, B.Tomas. Determining the temperature from incomplete boundary data / B.Tomas Johanson // Math. Nachr. 280. - 2007. - №16. - P. 1765-1779.

98. Langford, D. New analytical solutions of the one-dimensional heat equation for temperature and heat flow rate both prescribed at the same fixed boundary (with applications to the phase change problem) / D. Langford // Q. Appl. Math. -1976.-№24.-P. 315-322.

99. Melkman, A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data / A. Melkman, C. Micchelli // SIAM J. Numer.Anal. - 1979. -V. 16. - №1. - P. 87-105.

100. Miller, K. Three circle therems in parcial differential equations and applications to improperly posed problems / K. Miller // Arch. Ration. Mech. Anal. - 1964. -V. 16-№2.-P. 126-154.

101. Phillips, D.L. A technique for the numerical solution of certain integral egua-tions of thé first kind / D.L. Phillips // J.Assoc. Comput. Mach. - 1962. - V. 9. -№1. - P. 84-97.