Моделирование процессов циклического упругопластического неизотермического деформирования конструкционных сплавов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Худякова Анастасия Дмитриевна

• Худякова Анастасия Дмитриевна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Худякова Анастасия Дмитриевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ПОДХОДОВ К МОДЕЛИРОВАНИЮ НЕУПРУГОГО ПОВЕДЕНИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

1.1. Обзор основных эффектов неупругости, наблюдаемых в испытаниях тонкостенных трубчатых и цилиндрических образцов из металлических поликристаллических материалов

1.2. Феноменологические модели неупругости и пластичности для металлических поликристаллических материалов

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАНТА ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ НА ОСНОВЕ СООТНОШЕНИЙ ИНВАРИАНТНОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

2.1. Определяющие соотношения двухпараметрической модели пластического течения

2.2. Модели инвариантной теории пластичности

2.3. Принципы определения параметров моделей пластического течения на основе инвариантной теории пластичности

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ БАЗОВОГО ЭКСПЕРИМЕНТА И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ИНВАРИАНТНОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ПОЛЗУЧЕСТИ

3.1. Особенности обработки результатов испытаний образцов при одноосном циклическом симметричном деформировании

3.2. Алгоритм определения параметров пластичности

3.3. Алгоритм определения параметров ползучести по кривым ползучести

3.4. Параметры пластичности и ползучести некоторых конструкционных сплавов

3.4.1. Никелевый сплав IN738LC

3.4.2. Сталь

3.4.3. Сталь 40Х16Н9Г2С

3.4.4. Сталь

3.4.5. Сплав 12Х18Н10Т

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБРАЗЦОВ ИЗ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ

4.1. Самокорректирующийся шаговый алгоритм реализации соотношений инвариантной теории пластичности с учетом ползучести

4.2. Программный комплекс «PlastШ»

ГЛАВА 5. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ИСПЫТАНИЙ ТРУБЧАТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБРАЗЦОВ В УСЛОВИЯХ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО И НЕПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО, ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО И НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

5.1. Пропорциональное изотермическое деформирование

5.2. Непропорциональное изотермическое деформирование

5.2.1. Двухзвенные ломаные траектории

5.2.2. Многозвенные ломаные траектории

5.2.3. Траектории, содержащие криволинейные участки

5.2.4. Ломаные и криволинейные траектории при повышенной температуре

5.3. Пропорциональное неизотермическое деформирование

5.4. Непропорциональное неизотермическое деформирование

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ А (обязательное). Соотношения некоторых современных моделей пластического течения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процессов циклического упругопластического неизотермического деформирования конструкционных сплавов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Совершенствование газотурбинных двигателей идет по пути снижения массы деталей при одновременном росте рабочих температур и требовании обеспечения заданного ресурса. Циклический характер воспринимаемых деталями роторов и корпусов двигателя высоких механических и температурных нагрузок может приводить к возникновению знакопеременных упругопластических деформаций в зонах концентрации напряжений, что становится причиной зарождения и развития трещин малоцикловой усталости (МЦУ).

Проблеме создания и уточнения моделей и методов оценки ресурса термомеханической МЦУ деталей, изготавливаемых из поликристаллических сплавов, посвящено большое количество работ. Эта проблема является комплексной и требует вы-полнения специальных экспериментальных исследований свойств пластичности, создания методов обработки результатов испытаний и математических моделей, описывающих поведение конструкционных материалов при высокотемпературном изотермическом и неизотермическом циклическом нагружении.

Математические модели для описания поведения материалов обычно содержат наборы коэффициентов, для определения которых требуются эксперименты специального вида. Проведение этих экспериментов является дорогостоящей и трудной задачей. При этом могут отсутствовать методики определения параметров и верификации моделей. Реализованные в коммерческих конечно-элементных комплексах программ модели пластичности не всегда способны описывать особенности поведения материалов. Некоторые из них применимы только для качественного анализа процессов деформирования.

Таким образом, создание эффективной математической модели для

дальнейшего применения в расчетах напряженно-деформированного

состояния (НДС) высоконагруженных деталей энергетического

машиностроения и программ ее верификации является актуальной

5

проблемой. Одним из подходов к построению неизотермических моделей пластичности является инвариантная теория пластического течения, предложенная И.В. Демьянушко и Ю.М. Темисом.

Целью работы является разработка на основе инвариантной теории пластического течения варианта математической модели конструкционного материала, алгоритмов и комплекса программ, позволяющих осуществлять моделирование процессов деформирования и верификацию модели на основе результатов испытаний сплошных и трубчатых цилиндрических образцов из поликристаллических сплавов по различным программам циклического термомеханического нагружения.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. На основе соотношений инвариантной теории пластического течения разработка эффективного и с ограниченным числом параметров варианта модели, позволяющего достоверно описывать поведение материала в условиях упругопластического деформирования по программам пропорциональных и непропорциональных термомеханических нагружений.

2. Создание алгоритмов и программ обработки результатов базового эксперимента и определения на их основе параметров пластичности модели.

3. Разработка шагового алгоритма, предназначенного для реализации соотношений инвариантной теории пластического течения с учетом ползучести.

4. Верификация модели на основе сравнения результатов расчетов с экспериментальными результатами по испытанию образцов по программам пропорциональных и непропорциональных изотермических и неизотермических нагружений.

Методы исследования. Основой для построения модели служили

представления инвариантной теории пластического течения. При работе с

экспериментальными данными были применены методы непараметрического

выравнивания, методы регуляризации и аппроксимации. Для обеспечения

6

точности счета при моделировании процессов сложного деформирования использованы самокорректирующиеся шаговые алгоритмы и метод Хаусхолдера при решении систем алгебраических линейных уравнений (СЛАУ).

Достоверность научных результатов подтверждается корректным использованием методов исследования, построением обоснованных математических моделей, описывающих упругопластическое поведение материала, и удовлетворительным соответствием результатов моделирования с результатами расчетов других авторов и экспериментальными данными, опубликованными в научно-технических изданиях.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан частный вариант модели пластического течения с одним скалярным и одним тензорным структурными параметрами, не зависящими от температуры и отражающими влияние истории механического деформирования, для материалов, свойства которых изотропно изменяются под воздействием температур. Обоснована применимость разработанной модели к описанию неизотермического упругопластического поведения ряда конструкционных материалов.

2. Показано, что выбор полной системы инвариантов при построении соотношений класса моделей с одним скалярным и с одним тензорным структурными параметрами не изменяет общий вид определяющих соотношений инвариантной теории пластического течения.

3. Показано, что из соотношений модели при изотермическом деформировании для определенных комбинаций параметров можно получить ряд известных изотермических вариантов моделей теории пластического течения с анизотропным упрочнением.

4. Предложены методы определения параметров пластичности для ряда конструкционных сталей, никелевых и титановых сплавов.

5. Разработан самокорректирующийся алгоритм для реализации

соотношений модели с учетом ползучести, позволяющий на каждом шаге

7

расчета возвращать точку, изображающую процесс в пространстве напряжений, на поверхность нагружения.

6. Разработан комплекс программ, позволяющий на основе экспериментальных петель «жесткого» циклического деформирования и кривых ползучести определять параметры математической модели и производить моделирование процессов испытаний сплошных и трубчатых цилиндрических образцов по различным программам пропорционального и непропорционального термомеханического нагружения.

Теоретическая значимость работы заключается:

- в детализации универсальной структуры соотношений инвариантной теории пластического течения при построении варианта модели неизотермического упругопластического деформирования материалов; сформулированы ограничения на параметры модели;

- в разработке самокорректирующегося шагового алгоритма для реализации соотношений инвариантной теории неизотермического пластического течения с учетом ползучести для моделирования неизотермического деформирования по сложным программам нагружения;

- в выявлении особенностей описания упругопластического поведения материалов с использованием предложенной модели пластического течения.

Практическая значимость работы заключается:

- в создании комплекса программ, позволяющего осуществлять обработку экспериментальных результатов, определять параметры и производить моделирование процессов испытания сплошных и трубчатых цилиндрических образцов по программам пропорционального и непропорционального термомеханического нагружения;

- в получении параметров пластичности для ряда конструкционных материалов, применяемых в авиадвигателестроении и аэрокосмической технике.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Вариант неизотермической модели пластического течения и методы определения ее параметров.

2. Алгоритм и комплекс программ для численной реализации соотношений разработанной модели с учетом ползучести при расчете напряжений и деформаций сплошных и трубчатых образцов при программном термомеханическом деформировании.

3. Результаты верификации предложенной модели с использованием разработанного комплекса программ при численном моделировании процессов испытаний сплошных и трубчатых образцов в условиях пропорционального и непропорционального, изотермического и неизотермического деформирования.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и специалистов «Новые решения и технологии в газотурбостроении» (Москва, 2015), 2-ой Всероссийской научно-технической конференции «Механика и математическое моделирование в технике» (Москва, 2017), XXIV Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Москва, Вятичи, 2018), XI Всероссийской школе-семинаре современные проблемы механики в Московском политехническом университете (Москва, 2018), Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и специалистов «Авиационные двигатели и силовые установки» (Москва, 2019), XII Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Уфа, 2019) и на Международной инновационной конференции молодых ученых и студентов по современным проблемам машиноведения МИКМУС-2019 (Москва, 2019).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 10

научных работах, в том числе в 4 статьях в журналах, входящих в Перечень

9

российских рецензируемых научных изданий, и 1 научной публикации в изданиях, индексируемых в базах данных Scopus и Web of Science.

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, получены лично соискателем в процессе научной деятельности. Заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованных источников и приложения. Диссертационная работа изложена на 184 страницах, содержит 88 рисунков, 8 таблиц и 1 приложение. Список использованных источников включает в себя 201 наименование.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ПОДХОДОВ К МОДЕЛИРОВАНИЮ НЕУПРУГОГО ПОВЕДЕНИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

С момента выхода в свет работы Анри Эдуарда Треска [193], которую принято считать стартовой точкой в становлении теории пластичности, и до конца ХХ века был разработан ряд классических подходов к моделированию неупругого поведения металлических материалов. В этот же период было проведено множество исследований по экспериментальному изучению пластических свойств металлических материалов.

Подробный обзор ранних экспериментальных исследований приведен в работах [5, 102]. Также следует отметить исследования W. Lode [154], G. Taylor и H. Quinney [191], М. Роша и А. Эйхингера [88], Е. Девиса [35, 126], Н.Н. Давиденкова [30], А. Надаи [78], В.С. Ленского [66-68], А.М. Жукова [37], И.М. Коровина [61, 62]. Дальнейшие экспериментальные исследования неупругого поведения материала проводились Р.Н. Сизовой [90], О.А. Шишмаревым [108, 109], В.П. Дягтеревым [36], A. Phillips [169-171], Р.А. Васиным [19-22], И. Охаши [80, 162], А.А. Лебедевым [65], В.Г. Зубчаниновым и Н.Л. Охлопковым [42-45].

Основы подходов к построению теории пластичности были заложены в работах А. Сен-Венана, М. Леви, Р. Мизеса, Г. Генки [25], Л. Прандтля,

A. Рейса [87], А.А. Ильюшина [54, 55]. Разработке теоретических соотношений неупругости и обзору существующих подходов к их построению посвящены работы Н.Н. Малинина [70], Л.М. Качанова [59],

B.В. Соколовского [91], Д.Д. Ивлева [53], И.В. Кнетса [60], R. Hill [139],

A.Ю. Ишлинского [56], W. Prager [173], Ю.И. Кадашевича [57, 58],

B.В. Новожилова [79], А.А. Вакуленко [18], Ю.Н. Шевченко [107], В.С. Бондаря [8-16], Р.А. Васина [23], А.А. Маркина [71], В.Г. Зубчанинова [46-51], J.L. Chaboche [120-122], В.С. Зарубина [38-40],

И.А. Биргера и Б.Ф. Шорра [7], И.В. Демьянушко и Ю.М. Темиса [32, 98] и их соавторов.

Совершенствование вычислительной техники и развитие метода конечных элементов (МКЭ), позволившие проводить более подробный анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций, привели к резкому повышению интереса к моделированию процессов неупругости в середине 1980-х годов. Началось активное, продолжающееся по сей день, развитие специальных моделей поведения материалов, численных алгоритмов, основанных на различных вариантах классических моделей неупругости (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 - Количество работ, проиндексированных базой Scopus, посвященных разработке моделей неупругости (синие ромбы) и специальных численных алгоритмов (красные ромбы) (на октябрь 2018 г.)

Среди многообразия современных подходов к построению моделей неупругого поведения металлических материалов можно выделить два основных направления: микромеханическое (модели микроуровня) и феноменологическое (модели макроуровня).

Микромеханический подход основан на подробном изучении и описании всех процессов, протекающих на микро- (изменения на уровне дислокаций) и мезо- (развороты кристаллических решеток зерен, их

Количество работ

1970 1980 1990 2000 2010 г.

фрагментация) уровнях и приводящих к накоплению необратимых деформаций и разрушению. Это направление развивалось и развивается в работах G.L. Taylor [190], R. Hill и J. Bishop [118, 139], В.С. Зарубина [38-40], Б.Е. Мельникова [72], П.В. Трусова [106] и их соавторов. Соотношения моделей микроуровня достаточно сложны и потому плохо пригодны для реализации в универсальных комплексах программ конечно-элементного анализа и, как правило, требуют значительного объема экспериментальных исследований мезо- и микро- структуры материала.

В настоящей работе рассматриваются феноменологические модели, которые описывают проявления процессов микроуровня, наблюдаемые на макроуровне при экспериментальном исследовании процессов деформирования образцов по различным программам деформирования. Такие модели эффективны при использовании в инженерной практике, построении численных моделей и алгоритмов и их реализации в комплексах вычислительных программ расчета конструкций.

В диссертационной работе соотношения моделей неупругого поведения материала рассмотрены с точки зрения возможности их практического инженерного применения, в том числе, в комплексах конечно-элементного анализа. При этом важна оценка существующего многообразия моделей неупругости с точки зрения их способности отражать множество «тонких» эффектов, наблюдаемых при испытаниях образцов, а так же и возможности их применения при расчете НДС реальных конструкций.

Для достижения этой цели в первую очередь необходимо выявить эффекты, наблюдаемые при экспериментальных исследованиях образцов из различных конструкционных сплавов, определить, насколько проявление этих эффектов существенно при работе конструкции в реальных условиях эксплуатации, и, выделив, таким образом, важные эффекты, подобрать класс моделей неупругого поведения материала, способных описывать их.

1.1. Обзор основных эффектов неупругости, наблюдаемых в испытаниях тонкостенных трубчатых и цилиндрических образцов из металлических поликристаллических материалов

Рассмотрим основные эффекты неупругости, наблюдаемые при экспериментальном исследовании деформирования образцов из никелевых, титановых, алюминиевых, бронзовых и медных сплавов, а также конструкционных сталей по программам, близким к рабочим программам деформирования изготавливаемых из них деталей.

В первую очередь речь идет о циклическом неизотермическом нагружении, актуальном для авиационных двигателей, ядерных энергетических установок, паровых турбин и других сложных конструкций, работающих в условиях переменных режимов, в том числе и при многократных запусках и остановках. Необходимость подробного исследования процессов упругопластического деформирования для материалов этих конструкций связана в первую очередь с проблемами оценки ресурса МЦУ. Именно в концентраторах напряжений, при общем упругом деформировании основной части детали, высокий уровень напряжений, превосходящих предел текучести в локальной зоне, приводит к зарождению трещины МЦУ. Поэтому важным является изучение и моделирование поведения конструкционных материалов при деформировании по программам, соответствующим режимам работы зон концентрации напряжений в деталях конструкций.

Испытания образцов в условиях циклического деформирования обычно проводят по программам с контролируемым размахом деформаций («жесткое» деформирование) или напряжений («мягкое» деформирование).

Наиболее известным эффектом знакопеременного нагружения является эффект Баушингера, который можно определить как изменение предела текучести материала в ходе циклического упругопластического деформирования. Проявление эффекта Баушингера можно наблюдать,

например, на диаграммах одноосного сжатия после предварительного растяжения (рисунок 1.2).

сг,МПа

1000

750

500

250

0

-250

-500

-750

-1000

о

2

3

4 8,%

Рисунок 1.2 - Экспериментальные диаграммы деформирования [1, 6, 149, 168, 184] конструкционных материалов, полученные в результате одноосного растяжении и

последующего одноосного сжатия

Величина напряжений при сжатии, необходимая для развития пластических деформаций (напряжения в условной точке начала нелинейного участка кривой на полуцикле сжатия), как правило, меньше первоначального предела текучести. Отношение предела текучести при

_сж

сжатии после предварительного растяжения отек к первоначальному пределу

текучести в°тек может различаться для одного материала в зависимости от выбранного значения предварительной деформаций в точке смены направления нагружения, температуры и скорости процесса деформирования для материалов, проявляющих ползучесть. При этом следует учитывать, что влияние на определяемые по диаграмме деформирования значения пределов текучести оказывает допуск на остаточные пластические деформации,

выбранный для обработки диаграммы. Для диаграмм деформирования различных конструкционных материалов [1, 6, 149, 168, 184] (рисунок 1.2) и стандартного допуска на пластические деформации 0,2 % величина

^ТЖк ! ®°тек принимает значения от 0,05 (для медного сплава CuZn27 [184]) до 0,84 (для алюминиевого сплава 01570 [1]).

В процессе циклического упругопластического деформирования у металлических материалов возрастает или же напротив уменьшается сопротивление пластическому деформированию. Такие материалы называют циклически упрочняющимися или циклически разупрочняющимися, соответственно. Может наблюдаться и смешанное поведение. На рисунке 1.3 изображены петли деформирования в координатах а(в) при постоянной температуре для упрочняющейся 304SS [168] и разупрочняющейся 42CrMo4 [151] конструкционных сталей при «жестком» симметричном цикле одноосных испытаний.

ст,МПа 500

-500

a)

30485 [Раи1, 2 011]

1 ЦИЮЬ г

И ,Е==== Д100 цикл

-2 1 0

б)

Рисунок 1.3 - Петли «жесткого» циклического симметричного одноосного деформирования для: а) циклически упрочняющейся стали 3048Б [168]; б) циклически

разупрочняющейся стали 42CrMo4 [151]

Упрочнение и разупрочнение наблюдается на протяжении некоторого числа циклов, которое зависит от материала, размаха деформаций и

характера температурных воздействий, после чего, как правило, происходит стабилизация свойств материала. При «жестком» циклическом деформировании для упрочняющегося материала наблюдается увеличение размаха напряжений с номером цикла, для разупрочняющегося -уменьшение. Напротив, при «мягком» циклическом деформировании для упрочняющегося материала наблюдается уменьшение размаха деформаций, для разупрочняющегося - увеличение.

При несимметричных режимах нагружения для некоторых материалов наблюдаются так называемые эффекты «посадки» и «вышагивания» петли циклического деформирования [12]. Эффект «посадки» петли проявляющийся при «жестком» несимметричном деформировании, демонстрирует смещение петли вдоль оси напряжений к оси деформаций и за счет релаксации среднего значения напряжений. Эффект «вышагивания» петли (ratcheting) проявляется при «мягком» несимметричном нагружении, его демонстрирует смещение петли вдоль оси деформаций от оси напряжений, что приводит к одностороннему накоплению необратимых деформаций. Демонстрация этих эффектов для сталей 12X18H10T [1] и 316L [184] приведена на рисунке 1.4.

Явление одностороннего накопления деформаций было отмечено ещё в работах L.F. Coffin [122], T. Dolan [126], D. Pilo [171]. В дальнейшем явления «вышагивания» петли более подробно экспериментально и теоретически исследовалось в работах T. Hassan [136, 137], Y. Dong и G. Kang [128, 143], C.-H. Lee [153], G. Facheris [132, 133], В.С. Бондаря [12, 16] и их соавторов.

Наиболее обширное исследование влияния параметров нагружения (размаха напряжений Да и их среднего значения amean), скорости деформирования, характера упрочнения и особенностей пересчета диаграммы деформирования на проявление и интенсивность «вышагивания» петли было проведено L. Taleb и соавторами [119, 133, 138, 182-187]. Ими

было показано, что учет различий реальной и инженерной диаграмм

17

деформирования и использование программ нагружения «creep+ratcheting», включающих в себя длительную выборку ползучести перед циклированием [133], могут снижать темпы «вышагивания», но не устраняют эффект полностью [184, 187]. В работе [133] было показано влияние числа выдержек и скоростей деформирования на темпы одностороннего накопления деформаций. В работах [183, 185, 186] для стали 304SS, как при комнатной температуре, так и при повышенной (350 °С), в тестах «creep+ratcheting» и «ratcheting», соответственно, показано влияние Да и amean на одностороннее накопление деформаций: чем больше Да (при одинаковых amean) или amean (при одинаковых Да), тем выше темпы накопления деформаций. При этом в [186] показан интересный эффект в тестах «creep+ratcheting»: сначала петля на протяжении нескольких первых десятков циклов (это число тем больше, чем меньше Да ) незначительно смещается влево, после - существенно смещается вправо, демонстрируя «вышагивание», до разрушения образца.

Рисунок 1.4 - Эффекты несимметричного циклического нагружения, эксперимент: «посадка» петли стали 12Х18Н10Т [1], «вышагивание» петли стали 316L [184]

Не всегда напряженное состояние деталей высоконагруженных конструкций можно считать одноосным. Сложное напряженное состояние является характерным, например, для зон концентраторов напряжений ответственных деталей ГТД [17, 84].

При определении простого и сложного процессов нагружения и деформирования в точке тела будем придерживаться терминологии, введенной А.А. Ильюшиным [54, 55]. Процесс механического деформирования (нагружения) называется простым или пропорциональным, в том случае, если все компоненты тензора полных механических деформаций smech (тензора напряжений <зу) изменяются пропорционально

одному параметру. В противном случае процесс механического деформирования (нагружения) называется сложным или непропорциональным. Процессы механического деформирования (нагружения) принято изображать графически в виде траекторий деформаций (напряжений).

В зарубежной литературе [110, 115-117, 124, 132, 135-138, 143, 147, 156, 157, 161, 163, 164, 168, 182-189, 198] для изображения плоских траекторий деформирования и нагружения, как правило, используют

координатные плоскости в - у / >/3 и а - л/3т, где в = вЦ^, у = 28^, а = и

т = а12. В отечественной литературе [3, 8-10, 13, 19-23, 24, 27, 42-52, 63, 7476, 81, 82] принято использовать пятимерные девиаторные векторные пространства деформаций и напряжений А.А. Ильюшина [54, 55]. В этих пространствах заданы пятимерные вектора Э (вектор деформаций) и S (вектор напряжений), концы которых в процессе нагружения описывают в своих пространствах траектории деформирования или нагружения соответственно. Для изображения плоских траекторий деформирования и нагружения используют координатные плоскости Э3 - и S3 - Sx, где

Э1 =yj3/2en, Э3 =yfle12, S1 = yJ3'2s11 и S3 = V2s12, ey - компоненты девиатора

тензора деформаций, siy = о& -1/3 okk8tJ - компоненты девиатора тензора напряжений.

Рассмотренные выше на примерах простых процессов эффекты циклического деформирования имеют место и для сложных циклических процессов. Например, эффект «вышагивания» петли бывает более выраженным [133, 183]. Кроме того, следует рассмотреть несколько специальных эффектов, характерных для сложных процессов.

Один из таких эффектов - явление запаздывания векторных и скалярных свойств [10, 44, 48, 54, 55]. Суть явления запаздывания векторных свойств материала состоит в том, что ориентация вектора напряжений относительно вектора деформаций определяется некоторым конечным участком длины траектории, пройденной до рассматриваемого момента времени. После излома траектории деформирования вектор напряжений (по А.А. Ильюшину) совпадет с касательной к траектории деформаций не сразу, а только по исчерпании некоторой длины траектории деформирования, называемой следом запаздывания. Угол между вектором напряжений и касательной к траектории деформирования называют углом запаздывания. Запаздывание скалярных свойств проявляется (при углах излома траектории больших либо равных 90 °) в «нырке» кривой деформирования сразу после излома траектории деформаций и приближении к значению напряжений, достигнутому до «нырка» по исчерпании скалярного следа запаздывания [10, 48]. Исследования явления проводились в ряде работ отечественных экспериментаторов Р.А. Васина [20, 21], В.П. Дегтярева [36], В.С. Ленского [66-68], В.Г. Зубчанинова и Н.Л. Охлопкова [42-45, 47, 49, 51] и др. Обзор результатов экспериментальных исследований приведен в работе [48].

В качестве иллюстрации эффектов запаздывания на рисунке 1.5,а) приведены зависимости угла запаздывания 0 от длины траектории деформирования l для двух ломаных двухзвенных траекторий, а на рисунке 1.5,6) соответствующие им кривые деформирования с «нырками» для стали

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Худякова Анастасия Дмитриевна, 2021 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абашев Д.Р. Развитие модели упругопластического деформирования, критериев усталости и методик идентификации материальных параметров конструкционных сплавов: Дисс. : канд. физ.-мат. н. - Королёв, 2016. -157 с.

2. Азметов Х.Х., Темис Ю.М., Худякова А.Д. Модели пластичности при неизотермическом циклическом нагружении деталей ГТД // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4 томах. Т. 3: Механика деформируемого твердого тела. - Уфа, 2019. - С. 242-244.

3. Алексеева Е.Г. Процессы сложного деформирования материалов в плоских задачах теории пластичности. Автореф. Дисс. : канд. т. н. - Тверь, 2011 - 20 с.

4. Арутюнян Р.А., Вакуленко А.А. О многократном нагружении упруго-пластической среды // Изв. АН СССР. Сер. Механика. 1965. № 4. С. 53-61.

5. Белл Дж. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел: в 2-х ч. / Пер. с англ. - Наука, 1984.

6. Беляев М.С., Терентьев В.Ф., Горбовец М.А., Бакрадзе М.М., Антонова О.С. Малоцикловая усталость при заданной деформации жаропрочного никелевого сплава ВЖ175 // Труды ВИАМ. 2015. № 9. С. 3-12.

7. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Демьянушко И.В. и др. Термопрочность деталей машин. - М.: Машиностроение, 1975. - 455 с.

8. Бондарь В.С., Горлов В.Б., Фролов А.Н. Моделирование процессов неупругого поведения и разрушения конструкций при сложном нагружении / В кн.: Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник. Под общ. ред. В.И. Мяченкова. - М.: Машиностроение, 1989 - 520 с.

9. Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории. - М.: Физматлит, 2004. -144 с.

10. Бондарь В.С., Даншин В.В. Пластичность. Пропорциональные и непропорциональные нагружения. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 176 с.

11. Бондарь В.С., Абашев Д.Р., Петров В.К. Сравнительный анализ вариантов теорий пластичности при циклических нагружениях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2007. № 2. С. 23-44.

12. Бондарь В.С., Бурчаков С.В., Даншин В.В. Математическое моделирование процессов упругопластического деформирования и разрушения материалов при циклических нагружениях // Проблемы прочности и пластичности. 2010. Вып. 72. C. 18-27.

13. Бондарь В.С., Даншин В.В., Семенов П.В. Прикладной вариант теории упругопластических процессов // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 46-56.

14. Бондарь В.С., Даншин В.В., Макаров Д.А. Математическое моделирование процессов деформирования и накопления повреждений при циклических нагружениях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2014. № 2. С. 125-152.

15. Бондарь В.С., Даншин В.В., Кондратенко А.А. Вариант теории термовязкопластичности // Вестник ПНИПУ. Механика. 2015. № 2. С. 21-35.

16. Бондарь В.С., Абашев Д.Р. Некоторые особенности процессов монотонных и циклических нагружений. Эксперимент и моделирование // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2019. № 2. C. 25-34.

17. Букатый С.А., Пахоменков А.В., Солнцев Г.А., Букатый А.С. Прогнозирование малоцикловой долговечности деталей газотурбинного двигателя методом эквивалентных испытаний образцов с концентратором напряжений при растяжении-сжатии // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. 2018. Т. 17. № 2. С. 37-46.

18. Вакуленко А.А. О связях между напряжениями и деформациями в изотропных и первоначально изотропных неупругих средах. / В сб. Исследования по упругости и пластичности. Под ред. Л.М. Качанова. - Изд-во Ленингр. унив.,1963. - 348 с.

19. Васин Р.А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении // Упругость и неупругость. Вып. 1. - М.: Изд-во МГУ, 1971. - С. 59-126.

20. Васин Р.А., Широв Р.И. Исследование векторных свойств определяющих соотношений для металлов при плоском напряженном состоянии // Деп. ВИНИТИ 5.10.85. № 7541. 80 с.

21. Васин Р.А., Широв Р.И. Об исследовании векторных и скалярных свойств металлов в экспериментах на сложное нагружение // Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии. - Киев: Наук. думка, 1986. - С. 57-61.

22. Васин Р.А. Об экспериментальном исследовании функционалов пластичности в теории упругопластических процессов. Пластичность и разрушение твердых тел. - М.: Наука, 1988. - C. 40-57.

23. Васин Р.А. Определяющие соотношения теории пластичности // Итоги науки и техники. МДТТ. Т. 21. - М.: ВНИТИ, 1990. - С. 3-75.

24. Волков И.А., Игумнов Л.А. Введение в континуальную механику поврежденной среды. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017. - 304 с.

25. Генки Г. К теории пластических деформаций и вызываемых ими в материале остаточных напряжений. Теория пластичности. - М.: Изд-во иностр. лит-ры., 1948. - C. 114-135.

26. Гецов Л.Б. Материалы и прочность деталей газовых турбин. - М: Недра, 1996. - 591 с.

27. Гультяев В.И. Закономерности пластического деформирования конструкционных материалов при сложном нагружении. Автореф. Дисс. : д-ра т. н. - Тверь, 2012. - 43 с.

28. Гусенков А. П. Сопротивление деформированию в связи с условиями малоциклового нагружения. / В кн.: Прочность при малом числе циклов нагружения. - М.: Наука, 1969. - С. 50-67.

29. Гусенков А. П., Котов П. И. Малоцикловая усталость при неизотермическом нагружении. - М.: Машиностроение, 1983. - 240 с.

30. Давиденков Н.Н. Усталость металлов. - Киев: изд-во АН УССР, 1949. - 63 с.

31. Данилов В.Л. Об изменениях поверхноси пластичности в процессе деформирования // Изв. Вузов, машиностроение. 1972. №4.

32. Демьянушко И.В., Темис Ю.М. К построению теорий пластического течения с анизотропным упрочнением для материалов, находящихся под воздействием физических полей // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 5. С. 111-119.

33. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление: Учеб. Пособие для вузов. -М.: Высш. шк., 2001. - 575 с.

34. Дубникова У.Д. Программный комплекс обработки и анализа характеристик экспериментальных кривых циклического деформирования // Авиационные двигатели и силовые установки. Сборник тезисов докладов, 2019. С. 221-223.

35. Дэвис Е. Текучесть и разрушение стали со средним содержанием углерода при сложном напряженном состоянии. Теория пластичности. - М.: Иностранная лит-ра, 1948. - С. 364-374.

36. Дягтерев В.П. Пластичность и ползучесть машиностроительных конструкций. - М.: Машиностроение, 1967. - 133 с.

37. Жуков А.М. Некоторые особенности поведения металлов при упругопластическом деформировании. Вопросы теории пластичности. - М.: Изд-во АН СССР, 1961. - С. 30-57.

38. Зарубин В.С. Модели неизотермической пластичности и ползучести. Сб. Тепловые напряжения в элементах конструкций. Вып. 10. - Киев, «Наукова Думка», 1970. - С. 179-189.

39. Зарубин B.C., Кадашевич Ю.И., Кузьмин М.А. Описание ползучести металлов при помощи структурной модели // Прикладная механика. 1979. Т. 13. № 9. С. 10-13.

40. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - 511 с.

41. Зотеев В.Е. Численный метод определения параметров первой стадии деформации ползучести/ В.Е. Зотеев, Р.Ю. Макаров // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2017. Т. 56, № 4, стр. 40-48.

42. Зубчанинов В.Г. Экспериментальное исследование упругопластического деформирования сталей 40, 40Х при сложном нагружении по плоским траекториям. В.Г. Зубчанинов, Д.Е. Иванов, А.В. Акимов // Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела: материалы 3-го Международного научного симпозиума. -Тверь: Изд-во ТвеПИ, 1993. - Ч. 3. С. 44-93.

43. Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л. Экспериментальное исследование закономерностей пластического деформирования металлов по плоским криволинейным траекториям // Прикл. механ. 1997. Т. 33. № 7. С. 65-71.

44. Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л., Гараников В.В. Экспериментальная пластичность: Монография. Книга 1. Процессы сложного деформирования. -Тверь: ТГТУ, 2003. - 172 с.

45. Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л., Гараников В.В. Экспериментальная пластичность: Монография. Книга 2. Процессы сложного нагружения. -Тверь: ТГТУ, 2004. - 184 с.

46. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т.2. Пластичность. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 336 с.

47. Зубчанинов В.Г., Алексеев А.А., Гультяев В.И. Численное моделирование процессов сложного упругопластического деформирования стали по двухзвенным ломаным траекториям // Проблемы прочности и пластичности. Вып. 76(1). 2014. С. 18-25.

48. Зубчанинов В.Г., Алексеева Е.Г. О запаздывании скалярных и векторных свойств материалов в теории пластичности при сложном нагружении // Вестник ТвГТУ. 2014. 132 (25, №1). С. 26-35.

49. Зубчанинов В.Г., Алексеев А.А., Гультяев В.И. Моделирование процессов сложного упругопластического деформирования материалов по плоским криволинейным траекториям // Проблемы прочности и пластичности. 2015. Вып. 77(2). Стр. 113-124.

50. Зубчанинов В.Г., Алексеев А.А., Алексеева Е.Г. Проверка постулата изотропии и численное моделирование процессов деформирования материалов на сложных гладких траекториях // Materials Physics and Mechanics. 2016. № 29. С. 150-157.

51. Зубчанинов В.Г., Алексеев А.А., Гультяев В.И. Моделирование процессов упругопластического деформирования материалов по многозвенным кусочно-ломаным прямолинейным траекториям // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2017. № 3. С. 203-215

52. Зубчанинов Д.В. Моделирование процессов сложного упругопластического деформирования материалов. Автореф. Дисс. : канд. т. н. - Тверь, 2010. - 27 с.

53. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. - М.: Наука, 1966. - 231с.

54. Ильюшин А.А. Вопросы общей теории пластичности // Прикладная мат. и мех. 1960. 24. № 3. С. 399-411.

55. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории -М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.

56. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Украинский математический журнал. 1954. Т. 6. № 3. С. 314-325.

57. Кадашевич Ю.И. О различных вариантах тензорно-линейных соотношений в теории пластичности // Исследования по упругости и пластичности. Вып.6. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. - С. 39-45

58. Кадашевич Ю.И., Крачун В.Н., Луценко А.М. Теория пластического течения, учитывающая накопление повреждений // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвузовский тематический сборник трудов. - Л.: ЛИСИ, 1986. - 113 с.

59. Качанов Л.М. Основы теории пластичности: 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука, 1969. - 420 с.

60. Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности. - Рига: Зинатне, 1971. - 147 с.

61. Коровин И.М. Экспериментальное определение зависимости напряжение-деформация при сложном нагружении по траектории с одной точкой излома // Инж. журнал АН СССР. 1964. Т. 4. № 3. С. 592-600.

62. Коровин И.М. Некоторые вопросы пластичности материала при нагружении с точкой излома // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. № 3. С. 152-158.

63. Коротких Ю.Г., Волков И.А., Тарасов И.С. Исследование процессов сложного пластического деформирования материалов по плоским траекториям переменной кривизны // Проблемы прочности и пластичности. 2007. вып. 69. 11 с.

64. Кукинов А.М. Применение порядковых статистик и ранговых критериев для обработки наблюдений / В кн.: Поиск зависимости и оценка погрешности. - М.: Наука, 1985. - C. 97-110.

65. Лебедев А.А., Ковальчук Б.И., Гигняк Ф.Ф., Ламашевский В.П. Механические свойства конструкционных материалов при сложном напряженном состоянии: Справочник. - Киев: Наукова думка, 1983. - 366 с.

66. Ленский В.С. Экспериментальная проверка законов изотропии и запаздывания при сложном нагружении // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 11. С. 15-24.

67. Ленский В.С. Некоторые новые данные о пластичности металлов при сложном нагружении // Изв. АН СССР. ОТН. 1960. № 5. С. 93-100

68. Ленский В.С. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упругопластических деформаций // Вопросы теории пластичности. - М.: Изд-во АН СССР, 1961. - С. 58-82.

69. Макаров Р.Ю. Разработка и исследование численных методов определения параметров моделей реологического деформирования на основе разностных уравнений. Дисс. : канд. т. н. - Самара, 2018. - 260 с.

70. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. Учебник для студентов вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М. Машиностроение, 1975. -400 с.

71. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 320 с.

72. Мельников Б.Е., Бенин А.В., Гецов Л.Б. и др. Многомодельный анализ вязкоупругопластического деформирования на различных структурных уровнях с учетом накопления повреждений. Отчет о НИР/НИОКР. 2014. 28 с.

73. Мовчан А.А. О влиянии истории деформирования на скорость накопления повреждений при немонотонном упругопластическом нагружении // Журнал прикладной механики и технической физики. 1984. № 5. С. 125-131.

74. Малый В.И. Об упрощении функционалов теории упругопластических процессов // Прик. Мех. 1978. T. 14. № 1. С. 48-53.

75. Молодцов И.Н., Бабаева Д.О. Некоторые вопросы верификации теории упругопластических процессов при сложном нагружении // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2016. С. 98-105.

76. Молодцов И.Н., Бабаева Д.О. О роли функционалов пластичности в геометрическом истолковании диссипации и описании векторных свойств материала в процессах сложного нагружения // Упругость и неупругость. 2016. С. 209-2014.

77. Москвитин В.В. Пластичность при переменных нагружениях. - М.: МГУ, 1965. - 262 с.

78. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. - М.: Издательство иностранной литературы, 1954. - 648 с.

79. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. - Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1990. - 223 с.

80. Охаши И. Некоторые экспериментальные данные об общем законе пластичности Ильюшина / И. Охаши [и др.] // Изв. АН СССР. МДТТ. 1981. № 6. С. 53-64.

81. Пелешко В.А. Прикладной и инженерный варианты теории упругопластических процессов активного сложного нагружения. Часть 1: условия математической корректности и методы решения краевых задач // Изв. РАН. МТТ. 2015. № 6. С. 61-68.

82. Пелешко В.А. Прикладной и инженерных варианты теории упругопластических процессов активного сложного нагружения. Часть 2: идентификация и верификация // Изв. РАН. МТТ. 2016. № 1. С. 110-135.

83. Покровский В.В., Сидяченко В.Г., Ежов В.Н., Бялонович А.В. Научно-технические основы эксплуататции дисков ГТУ по техническому состоянию

- путь к увеличению их проектного ресурса. Материалы 4 технической конференции украинского отделения SAMPE. 2014. С. 58-65.

84. Портер А.М., Букатый С.А., Водолагин А.Л. Исследование влияния длительности действия максимальных напряжений в цикле нагружения на малоцикловую усталость и длительную прочность вала ГТД из материала ЭИ 961-Ш // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. Авиационная и ракетно-космическая техника. 2009. № 3(19). С. 55-63.

85. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука, 1966.

- 752 с.

86. Радченко В.П., Симонов А.В. Разработка автоматизированной системы

построения моделей неупругого деформирования металлов на основе

методов непараметрического выравнивания экспериментальных данных //

168

Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. Сер. Физ.-мат. науки. 1999. Вып. 7. С. 51-62.

87. Рейс А. Учет упругой деформации в теории пластичности. Теория пластичности. - М.: ИЛ, 1948. - С. 206-222.

88. Рош М., Эйхингер А. Опыты, связанные с выяснением вопроса об опасности разрушения. Теория пластичности. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. - С. 157-165.

89. Серенсен С. В., Махутов Н. А., Шнейдерович Р. М. К основам расчета на прочность при малоцикловом нагружении. - М.: Машиноведение, 1972. -№ 5. С. 56-67.

90. Сизова Р.Н. Сопротивление длительному статическому разрушению сплавов для лопаток турбин в условиях нестационарного нагрева и нагружения. - М.: ЦИАМ, 1965. - 158 с.

91. Соколовский В.В. Теория пластичности. - М.: «Высшая школа», 1969. - 608 с.

92. Стриклин Дж., Хейслер В., Риземанн В. Оценка методов решения задач строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала и (или) геометрией // Ракетная техника и космонавтика. 1973. Т. 11. № 3. С. 46-56.

93. Темис Ю.М., Пучков И.В. Модель упругопластического деформирования и повреждаемости конструкционных материалов // Материалы V Всесоюзного семинара «Малоцикловая усталость - критерий разрушения и структуры материалов». Тезисы докладов и сообщений. Волгоград. 1987. 2 с.

94. Темис Ю.М., Пучков И.В. Характеристики упругопластического деформирования и повреждаемости конструкционных материалов при циклическом нагружении. / Межвуз. сборник «Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения». - Изд-во Нижегородского университета, 1992. - С. 82-89.

95. Темис Ю.М. Самокорректирующийся шаговый метод решения нелинейных задач упругости и пластичности // Труды ЦИАМ. 1980. № 918. 24 с.

96. Темис Ю. М., Факеев А. И. Моделирование кривых деформирования и ресурса конструкционного материала при циклическом неизотермическом нагружении. Известия МГТУ «МАМИ». 2011. С. 202-208.

97. Темис Ю.М., Факеев А.И. Модель кривой неизотермического циклического деформирования. // Межвузовский сборник. "Проблемы прочности и пластичности" Т. 75. № 1. - Нижний Новгород, 2013. - С. 5-10.

98. Темис Ю.М. Теория неизотермического пластического течения с изотропным и анизотропным упрочнением. В кн.: Машиностроение. Энциклопедия / Ред. совет: К.В. Фролов (пред.) и др. Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин. Т. 1-3. В 2-х кн. Кн.1. Под общ. ред. К.С. Колесникова. - М.: Машиностроение, 1994. - С. 227-231.

99. Темис Ю.М., Худякова А.Д. Моделирование процессов изотермического упругопластического деформирования образцов при повышенной температуре // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 6. С. 49-67.

100. Темис Ю.М., Худякова А.Д. Модель неизотермического упругопла-стического деформирования конструкционных материалов при сложном нагружении // Математическое моделирование и численные методы. 2017. № 3. С. 22-41.

101. Темис Ю.М., Худякова А.Д. Численное моделирование процессов неизотермического упругопластического деформирования конструкционных материалов // Математическое моделирование и численные методы. 2018. № 2. С. 47-69.

102. Теория пластичности: Сб. перев. Под редакцией Ю.Н. Работнова. - М.: Иностранная лит-ра, 1948. - 452 с.

103. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности:

приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник

170

Тамбовского университета. Естественные и технические науки. 2010. Т. 15. Вып. 3. Ч. 1. C. 983-984.

104. Факеев А.И. Разработка моделей циклического деформирования и малоцикловой усталости конструкционных материалов при неизотермическом нагружении: Дисс. : к. физ.-мат. н. - Тула, 2013. - 137 с.

105. Христианович С.А. Деформация упрочняющегося пластического материала // Изв. АН СССР. МТТ. 1974. № 2. С. 148-174.

106. Худякова А.Д. О построении феноменологический моделей неизотермической пластичности для металлических материалов // Авиационные двигатели и силовые установки: Сборник тезисов докладов. 2019. С. 353-355.

107. Шевченко Ю.Н., Терехов Р.Г. Физические уравнения термовязкопластичности. - Киев: Наукова думка, 1982. - 238 с.

108. Шишмарев О.А. Влияние вида девиатора напряжений на пластическое деформирование стали // Инж. журн. МТТ. 1966. № 5. С. 112-118.

109. Шишмарев О.А. Вычисление пластических деформаций по теориям течения с учетом влияния вида девиатора напряжений // Изв. АН БССР. Сер. физ.-техн. наук. 1979. № 4. С. 16-22.

110. Abdel-Karim M., Ohno N. Kinematic hardening model suitable for ratcheting with steady-state // International Journal of Plasticity. 2000. V. 16. P. 225-240.

111. Armstrong P.J., Frederick C.O. A mathematical represention of the multiaxial bauscinger effect // CEGB Report No. RD/B/N/ 731. 1966.

112. Backhaus G. On the analysis of kinematic hardening at large plastic deformations. Acta mechanica. V. 75 (1-4). 1988. P. 133-151.

113. Baltov A., Sawezuk A., 1965. A rule of anisotropic hardening // Acta Mech. V. 1, P. 81-92.

114. Beghini M., Bertini L., Santus C. et. al. High temperature fatigue testing of gas turbine blades// 3rd Int. Symp. On Fatigue Design and Material Defects. FDMD. 2017. P. 19-22.

115. Benallal A., Marquis D. Constitutive equation for nonproportional cyclic elastic-viscoplasticity// J. Eng. Mater. Tachnol. 1987. V. 109, № 4, P. 326 - 336.

116. Benallal A., Gallo P., Marquis D. An experimental investigation of cyclic hardening of 316 stainless steel and of 2024 aluminum alloy under multiaxial loadings // Nuclear Engineering and Design. 1989. V. 114. P. 345-353.

117. Bertram A., Olschewski J., Sievert R. Experimental and numerical investigations of thermal-mechanical behaviour of poly- and single-crystalline nickel-base superalloys // Arch. Mech. 1994. V. 46. No. 4. P. 413-429.

118. Bishop J., Hill R. A theory of the plastic distortion of a polycrystalline aggregate under combined stresses // Phil. Mag. Ser. 7. 1951. V. 42. No. 327. P. 414-427.

119. Brik M., Taleb L. Experimental analyses about ratcheting of Extruded 2017A Aluminium Alloy subjected to proportional and non-proportional loadings // Key Engeneering Materils. 2016. V. 703. P. 160-164.

120. Chaboche J.-L., Dang-Van K., Cordier G. Modelization of the strain memory effect on the cyclic hardening of 316 stainless steel // Proceedings of the 5th International Conference on SMiRT. Div L, Berlin. 1979. L. 11/3. 10 p.

121. Chaboche J. L. On Some Modifications of Kinematic Hardening to Improve the Description of Ratcheting Effects // International Journal of Plasticity. 1991. V. 7. P. 661-678.

122. Chaboche J.L. A review of some plasticity and viscoplasticity constitutive theories// International Journal of Plasticity. 2008. P. 1642-1693.

123. Coffin L.F. The influence of mean stress on the mechanical hysteresis loop shift of 1100 Aluminum // Journal of basic engineering. 1964. V. 86. No. 4. P. 673-680.

124. Calloch S., Marquis D. Triaxial tension-compression tests for multiaxial cyclic plasticity// International Journal of Plasticity. 1999. V. 15. P. 521-549.

125. Dafalias Y.F., Popov E.P. Plastic internal variables formalism of cyclic plasticity // J. Appl. Mech. 1976. V. 43. No. 4. P. 645-651.

126. Davis E. Combined tension - torsion test with fixed principal directions // J. of Appl. Mech. 1955. V. 22. No. 3. P. 411-417.

127. Dolan T.J. Nonlinear response under cyclic loading conditions // Proceedings of the Ninth Midwestern Mechanics Conference. 1965. Madison. WI. P. 3-21.

128. Dong Y., Kang G., Liu Y., Jiang H. Multiaxial ratcheting of 20 carbon steel: macroscopic experiments and microscopic observation. 2013. V. 83. P. 1-12.

129. Drucker D.C. Some implications of work hardening and ideal plasticity // Q. Appl. Math. 1950. V. 7. No. 4. C. 411-418.

130. Eisenberg M.A., Phillips A. A theory of plasticity with noncoincident yield and loading surfaces // Acta Mechanica. 1971. V. 11(3-4). P. 247-260.

131. Ellis J.R., Robinson D.N., Pugh C.E. Time dependence in biaxial yield of type 316 stainless steel at room temperature // Journal of Engineering Materials and Technology. 1983. V. 105. P. 250-256.

132. Facheris G., Janssens K.G.F., Foletti S. Multiaxial fatigue behavior of AISI 316L subjected to strain-controlled and ratcheting paths// Int. J. of Fatigue. 2014. V. 68. P. 195-208.

133. Facheris G. Cyclic plastic material behaviour leading to crack initiation in stainless steel under complex fatigue loading conditions: PhD. Diss. ETH №21696, Zurich, Switherland. 326 p.

134. Francois M. A plasticity model with yield surface distortion for non proportional loading // Int. J. Plasticity. 2001. V. 17. No. 5. P. 703-718.

135. Frenz H., Meersmann J., Ziebs J. et al. High-temperature behaviour of IN738LC under isothermal and thermo-mechanical cyclic loading // Materials Science and Engeneering. 1997. V. 230. P. 49-57.

136. Hassan T., Kyriakides S. Ratcheting of cyclically hardening and softening materials: I. Uniaxial behaviour // International Journal of plasticity. 1994. V. 10. No. 2. P. 149-184.

137. Hassan T., Kyriakides S. Ratcheting of cyclically hardening and softening materials: II. Multiaxial behaviour // International Journal of plasticity. 1994. V. 10. № 2. P. 185-212.

138. Hassan T., Taleb L., Krishna S. Influence of non-proportional loading on racheting responses and simulations by two recent cyclic plasticity models // Int. J. of Plasticity. 2008. V. 24. P.1863-1889.

139. Hill R. The Mathematical Theory of Plasticity. Oxford. UK. Oxford University Press. 1950. 357 p.

140. Ikegami K., Niitsu Y. Effect of creep prestrain on subsequent plastic deformation // International Journal of Plasticity. 1985. V. 1. P. 331-345.

141. Inoue T., Imatani S. A unified inelastic constitutive equation in terma of anisotropic yield function. 1989. IASMIRT. 6 p.

142. Ishikawa H., Sasaki K. Yield surfaces of SUS304 under cyclic loading // Journal of Engineering Materials and Technology. 1988. V. 110. P. 364-371.

143. Kang G., Gao Q., Yang X. A visco-plastic constitutive model incorporated with cyclic hardening for uniaxial/multiaxial ratcheting of SS304 stainless steel at room temperature // Mechanics of Materials. 2002. V. 34. P. 521-531.

144. Kang G. et. al. Uniaxial cyclic ratcheting and plastic flow properties of SS304 stainless steel at room and elevated temperatures // Mechanics of Materials. 2002. № 34. P. 145-159.

145. Katori H., Arai M., Ito K. Comprehensive numerical simulation fo stress and damage fields under thermo-mechanical loading for TBC-Coated Ni-Based Superalloy. 2018. Key Engineering Materials. V. 774. P. 137-142.

146. Khudyakova A.D., Temis Y.M. Development of invariant plasticity theory approach to construction of non-isothermal plastic flow models // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 747 012020. 2020. 6 p.

147. Khutia N., Dey P.P., Hassan T. An improved nonproportional cyclic plasticity model fpr multiaxial low-cycle fatigue and ratcheting responses of 304 stainless steel. Mechanics of Materials. 2015. V. 91. P. 12-25.

148. Kojic M., Bathe K.-J. The «effective-stress-function» algorithm for thermo-elasto-plasticity and creep // Int. Journal for numerical methods in engineering. 1987. V. 24(8). P. 1509-1532.

149. Koo G.-H., Lee J.-H. Inelastic constitutive models for the simulation of a cyclic softening behavior of modified 9Cr-1Mo steel at elevated temperatures// Journal of Mechanical Science and Technology. 2007. V. 21. P. 699-707.

150. Kreig R.D., Kreig D.B. Accuracies of numerical solution methods for the elastic-perfectly plastic model. Journal of Pressure Vessel Technology. 1977. P. 10-515.

151. Kunc R., Prebil I., Rodic T., Korelc J. Low cycle elastoplastic properties of normalized and tempered 42CrMo4 steel // Materials Science and Technology. 2002. V. 18. No. 11. P. 1336-1368.

152. Lancaster R.J., Whittaker M.T., Williams S.J. A review of thermo-mechanical fatigue behavior in polycrystalline nickel superalloys for turbine disc applications // Materials at high temperatures. 2013. 12 p.

153. Lee C.-H., Do V.N., Chang K.-H. Analysis if uniaxial ratcheting behavior and cyclic mean stress relaxation of a duplex stainless steel // International Journal of Plasticity. 2014. V. 62. P. 17-33.

154. Lode W. The influence of th intermediate principal stress on yielding and failure of iron, copper and nickel // Eng. Math. Mech. 1925. V. 5. p. 142.

155. McDowell D.L. Evaluation of intersection conditions for two-surface plasticity theory // Int. J. Plasticity. 1989. V. 5. P. 25-50.

156. Meersmann J., Frenz H., Ziebs J., Kuhn H.J., Forest S. Thermo-mechanical behaviour of IN738LC and SC16 // CP-569. Canada. 1995. 11 p.

157. Meersmann J., Ziebs J., Kuhn H.J., Sievert R., Olschewski J., Frenz H. The stress-strain behaviour of IN738LC under thermomechanical uni and multiaxial fatigue loading // Proc. Of the Symposium held at Petten. Nethelands. 22-24 May. 1995. P. 425-434.

158. Mroz Z. On the description of the work-hardening // J. Mech. Phys. Solids. 1967. V. 15. P. 163-175.

159. Neto E., Peric D., Owen D. A model for elastoplastic damage at finite strains: algorithmic issues and applications // Engeneering Computations. V. 11. No. 3. P. 257-281.

160. Neto E., Peric D., Owen D. Computational methods for plasticity: theory and applications. - John Wiley & Sons Ltd, 2008. - 816 p.

161. Ogata T., Yamamoto M. Biaxial thermomechanical fatigue life property of a Ni base DS Superalloy // In Proceedings of GT2006. ASME Turbo Expo. 2006. 6 p.

162. Ohashi Y., Kawai M., Kaito T. Inelastic behavior of type 316 stainless steel under multiaxial nonproportional cyclic stressing at evaluating temperature // Journal of Engineering Materials and Technology. 1985. V. 107. P. 101-109.

163. Ohno N., Kachi Y., A constitutive model of cyclic plasticity for nonlinear hardening materials // J. Appl. Mech. 1986. V. 53. P. 395-403.

164. Ohno N., Wang J.-D. Kinematic hardening rules with critical state of dynamic recovery, part 1: Formulation and basic features for ratcheting behavior // Int. Journal of Plasticity. 1993. V. 9. P. 375-390.

165. Okraji J. Thermomechanical fatigue conditions of power plant components// Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engeneering. 2009. V. 33. Iss. 1. P. 53-61.

166. Ortiz M., Popov E.P. Accuracy and stability of integration algorithms for elastoplastic constitutive relations // International Journal for Numerical Methods of Engineering. 1985. V. 21. P. 1561-1576.

167. Papadopoulos P., Taylor R.L. On the application of multi-step integration methods to infinitesimal elastoplasticity // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1994. V. 37. No. 18. P. 3169-3184.

168. Paul S.K., Sivaprasad S., Dhar S., Tarafder S. Key issues in cyclic plastic deformation: experimentation // Mechanics of Materials. 2011. V. 43. P. 705-720.

169. Phillips A. An experimental investigation of yield surfaces at elevated temperatures // Thermoelasticity. Acta Mechanica. 1972. V. 14. P. 119-146.

170. Phillips A. Fundamental experiments in plasticity and creep of aluminum-extension of previous results // International journal of solids and structures. 1976. P. 159-171.

171. Phillips A., Moon H. Experimental investigation concerning yield surfaces and loading surfaces// Acta Mechanica. 1977. V. 27. P. 91-102.

172. Pilo D., Reik W., Mayr P., Macherauch E. Cyclic induced creep of a plain carbon steel at room temperature // Fatigue of Engeneering Materials and Structures. 1979. V. 1. No. 3. P. 287-295.

173. Prager W. A new method of analyzing stresses and strains in work hardening plastic solids // ASME J. Appl. Mech. 1956. V. 23. P. 493-496.

174. Pretty C.J., Whitaker M.T., Williams S.J. Thermo-Mechanical Fatigue Crack Growth of RR1000 // Materials. 2007. V. 10. № 34. 20 p.

175. Radnovich D.C. Methods of extrapolating low cycle fatique data to high stress amplitudes // University of central Florida. 2007. P. 1-135.

176. Rokhgireh H., Nayebi A., Chaboche J.-L. Appliction of a new distorsional yield surface model in cyclic uniaxial and multiaxial loading // International Journal of Solids and Structures. 2017. 66 p.

177. Sakai T., Ogata T., Nomoto A. Elasto-plastic and creep analysis of a first stage blade in a land based gas turbine under steady state operating conditions // Proceedings of ASME Turbo Expo 2000. 2000-GT-049. Germany. 2000. 6 p.

178. Scalet G., Auricchio F. Computational methods for elastoplasticity: an overview of conventional and less-conventional approaches // Arch. Computat. Methods Eng. 2017. 44 p.

179. Shaw S.W. Nickel-base superalloys. Patent 4207098 USA. Publ. 10.06.1980.

180. Suh C.M., Hwang N.S., Nahm S.H., Lee H.M. Growth and coalescence behaviour of surface multi-cracks in type 304 stainless steel at elevated temperature // In Proceedings of the Symphosium held at Petten, Netherlands. 1995. P. 89-96.

181. Suprun A.N. A constitutive model with three plastic constants: The description of anisotropic workhardening // International Journal of Plasticity. 2006. V. 22. P. 1217-1233.

182. Taleb L., Hauet A. Multiscale experimental investigations about the cyclic behavior of the 304L SS // Int. J. of Plast. 2009. V. 25(7). P. 1359-1385.

183. Taleb L., Cailletaud G. Cyclic accumulation of the inelastic strain in the 304L SS under stress control at room temperature: ratcheting or creep? // International Journal of plasticity. 2011. V. 27. P. 1936-1958.

184. Taleb L. About the cyclic accumulation of the inelastic strain observed in metals subjected to cyclic stress control // International Journal of plasticity. 2013. V. 43. P. 1-19.

185. Taleb L., Cailletaud G., Sai. K. Experimental and numerical analysis about the cyclic behavior of the 304L and 316L stainless steels at 350 °C // International Journal of Plasticity. 2014. V. 61. P. 32-48.

186. Taleb L., Keller C. Towards a better understanding of the ratcheting phenomenon // Key Engeneering Materils. 2017. V. 725. P. 33-40.

187. Taleb L., Keller C. Experimental contribution for better understanding of racheting in 304L SS // International Journal of Mechanical Sciences. 2018. V. 146. P. 527-535.

188. Tanaka E., Murakami S., Ooka M. Effects of plastic strain amplitudes on non-proportional cyclic plasticity // Acta Mech. 1985. V. 57. P. 167-182.

189. Tanaka E. A non-proportionality parameter and a viscoplastic constitutive model taking into account amplitude dependences and memory effects of isotropic hardening // European Journal of Mechanics. 1994. V. 13. P. 155-173.

190. Taylor G.I., Elam C.F. The distortion of an aluminium crystal during a tensile test // Proc. Roy. Soc. (London). 1923. Ser. A 102. P. 643-647.

191. Taylor G., Quinney H. The latent energy remaining in a metal after cold working // Proc. of the Royal Society of London. 1934. V. 143(849). P. 307-326.

192. Temis Y. M., Fakeev A. I., Azmetov Kh. Kh. LCF simulation under nonisothermal loading // Proceedings of the 16th International colloquium «Mechanical fatigue of metals» Brno. 24-16 September 2012. P. 208-215.

193. Tresca H. Mémoire sur l'écoulement des corps solides. Mém Prés par Div Savants. 18. P. 733-799.

194. Wu H.C., Yeh W.C. On the experimental determination of yield surfaces and some results of annealed 304 stainless steel // International Journal of Plasticity. 1991. V.7. P. 803-826

195. Wu X. Life prediction of Gas Turbine Materials. Gas turbines. 2010. P. 215-282.

196. Zeigler H. A Modification of Prager's Hardening Rule // Quarterly of applied Mathematics. 1959. V.17. No. 1. P. 55-65.

197. Zhang Sh., He H., Pan C., Liu C., Wolfgang R.U. Study on creep-fatigue combined damage of a GT superalloy blade. GPPS Montreal. 2018. 7 p.

198. Ziebs J., Meersmann J., Kuhn H.J., Hulsmann N., Olschewski J. Multiaxial Thermomechanical Behaviour of IN738LC Alloy. // Multiaxial Fatigue and Design, ESIS 21. Mechanical Engeneering Publications. London. 1996. P. 83-96.

199. Zubchaninov V.G., Alekseev A.A., Gul'tyaev V.I., Alekseeva E.G. The process of complex loading structural steel for a five-link piecewise broken strain path // Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh. 2019. № 61. P. 32-44.

200. Zubchaninov V.G., Alekseev A.A., Alekseeva E.G., Gul'tyaev V.I. Experimental verification of postulate of isotropy and mathematical modeling of elastoplastic deformation processes following the complex angled nonanalytic trajectories // Materials physics and mechanics. 2017. № 32. P. 298-304.

201. Ziebs J., Naseband K., Kuhn H.J. LCF-experiments on single- and poly-crystaline metals SRR99 and IN738LC - under uniaxial and multiaxial strain-controlled loading conditions // Low cycle fatigue and elasto-plastic behavior of materails. 1992. V. 3. P. 369-375.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. СООТНОШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СОВРЕМЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ

Таблица А.1 Примеры моделей с гиперповерхностью нагружения вида (1.4), способной к смещению, вращению и изменению размеров и формы

N.. и закон изменения р„ утп Г i] Авторы, источник

Nljnm=AplJpnm, А = const, р.,- = csp , c = const U У A. Baltov и A. Sawezuk [113]

Nijmn = (РРуРтп + Qsy Роти) / a*, P1 и Q - функции инвариантов тензоров р, и s-, 2 C = const > 0, i = 1,2,3 T. Inoue и S. Imatani [141]

~ -7 - (b/a)2 -1 Nymn = ApyPnm, A = y ' J , PyPy da = fa (a, P, 0)dx, db = fb (a,P, 0)dx, X - параметр Одквиста, 0 - угол между векторами пластических деформаций и их приращений, a, P = const, р, = Ksp, K = const A.N. Suprun [181]

N _ J f J 2 J (D - H) ^ iiimi tt л ' тг РиР»ги ' 2ххаТН ^zXjGj, H J J = ^, H = Pi-Pi/ , D = si,Pi/ , 1 я s, = a, - компоненты девиатора тензора напряжений, x1 - «предел кинематического упрочнения», эволюционное уравнение для р, Армстронга-Фредерика [110] M. Francois [134]

Таблица А.2 Эволюционные соотношения для компонент тензора

кинематического упрочнения

Эволюционное уравнение для смещения центра Авторы, источник поверхности нагружения

Изотермические соотношения

ру = ёц-(ё1р)руг; Р = Р (X), g = const P. Armstrong, С. Frederick [■■■]

P,d X + gdP, = gd zp, g = Xo +X; Xo = const А.А. Мовчан [73]

PtjdX + (mo + m4)dp, = m2zpdx + m (mo + m4)dzP; m, = const, i = 0..3, m4=m4(%) Ю. И. Кадашевич, В.Н. Крачун, А.М. Луценко [58]

p,=2/3g8j+(2/3g4 + gap,)x, g = £a+Paa,ge=P£a, g«=-p ; E«, P, a« =const В.С. Бондарь, В.В. Даншин [10]

K p, = 1 p(k) . k=i P(k) = 2/3Ck z p -y kP(k )X; C, y k = const J.-L. Chaboche, K. Dang-Van, G. Cordier [120]

K Р,=5>?\ P™ = 2/3g»^, p|,2' = 2/3g<2'c,? + gl2H2,X. k=\ pf = 2/3gmsj при * = З..Я\ g"'=e (x)=, e"0 «+■ , g<2>=, g«2'=-p ; ■ + KEX g(k) = 0, если (3/2p(k>p(k'f >a«k)np(f>(*, -p,)>0, иначе g<k) = p(k V/) ; E« 0, KE, n£, p, a«, p<k', a«k > = const В.С. Бондарь, В.В. Даншин, Д.А. Макаров [14]

K (2 /zpp(k>\ p, =1pf, Pk = C f-kzp -H(fkpf , fk = N2 - - , Nk = (3 / 2p(k'p,' y2, N. Ohno, J.-D. Wang [164]

. . Г0, X < 0 H(fk) - функция Хевисайда, (x) = < ; Ck, w [ x, x > 0

rk = const

Неизотермические соотношения

, . Го, X < 0 Vе' =[x, X > 0; Ю.Г. Коротких, И.А. Волков,

gt = gt(T), i = 1,2,3 И.С. Тарасов [63]

1 dC • p, = 2/3C ypj x+ ct PijT; J.-L. Chaboche [122]

C = C (T), y = const

K pj=z pi; k=i

Pf = |g<i,^+grt,pfr при А Л A ;

E g"' = E*(*'T) = 1+K> > В.С. Бондарь,

gT (i) 1 dEa 0 ^ Ea„ dT ' В.В. Даншин, А.А. Кондратенко

g<2) = ß0, gf =-P , г™ =1 d;, a dl a [15]

g(k) = 0, если (3/2p^pf )V2 >0k) npf (^ -Pj)>0,

иначе g(k) = ß(k)a(ak), gT(k) = 1k) ^' ; aa) dT

Ea 0 = Ea 0(T), KE = Ke (T),

«E = «E (T), ß = ß(T),

O = 0 (T), ß(k) =ß(k)(T), a(ak) = alk)(T)

Таблица А.3 Эволюционные соотношения для определения

изотропного упрочнения

Соотношение для определения ат

Авторы, источник

Без параметра непропорциональности

д% о1

В.С. Бондарь, В.В. Даншин, А.А. Кондратенко [15]

С параметром непропорциональности

Соотношения

Параметр непропорциональности

А

Авторы, источник

ё = П(А)[<2А,(А)-ф, П(А) = (Л-ЛА + /,

Р„Р

У' У

QAS ( А)

gAQ00+ (1 - A)Q0 ёА + (1 - А)

(р,А,)'2 (р„р„)'2

А. ВепаМ, D. Marquis [115]

П(А) = (Л-ЛА + /,

Q ( А) _ ёАОх+ (1 - А)0о + ^ (А) _ ёА + (1 - А) + Щ\_(А-\)Ап +(А-\)п А~\

1 -

РяР

УГУ

S. Calloch, D. Marquis [124]

ёАгЛ = ЯЛ + Ятт,

Я Е_

0ат 0ат

+ ЯеА , Ят ,

ах ат

Яа (СА - C),

&а _ (1 - А)&о + А^1, Са _(1 - А)Со + АС!, С1 _ ^Ср , Со _ ат при упрочнении ( яа > 0) и

Со _ат + 4)(сшах -ат) при разупрочнении (яа < о)

V*

1 я е.. _ в —8 а -

У У 3 У У

девиатор тензора полных деформаций

В.С. Бондарь, В.В. Даншин, А.А. Кондратенко [15]

2

2

2

-_д2Ац! + (1-А)д1

Я =

А у + (1 - А)

, 0<1

е.а..

У У

( ■ ■ \1/2( ■ ■ V (сил..) [е е ) V у у/ V У У/

а=^-р,

ч 1/2

У У

1 я е.. = г —г о -

У У 3 У У

девиатор тензора полных деформаций

Ю.Г. Коротких, И.А. Волков, И.С. Тарасов [63]

ёт(Ът) = Я1 + ЯъТ,

стт = стт +

I

1 -

Л2

Яу =

Я2У1 +(1 - А)Я1

А ^ + (1 - А)

(ху^уТ (ёуёуТ

Qs

^ + (1 - А)д Ау2 + (1 - А) , 0 1, г = 1,2, Г(^р) = 1 - Н(Fр), Н(Fр) функция Хевисайда

1

е.. = г —г о -

У У 3 У У

девиатор тензора полных деформаций

И.А. Волков, Л.А. Игумнов [24]

стг = Я + к,

0 = А[Ям (Я) - Яр (Я)] + Яр (Я), Я = >/(ег - Г, )(8г - Г),

Ям (я) = амЯ + ^^ (1 - е"с"Я),

ЯР (я) = аРя + Ьр (1 - е"СрЯ)

А = М. иуСук1СЦЫиу

1Г ( Сук1Сук1 )

Е. Тапака [189]

и,.

Л

г г г г

г