Моделирование процессов возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в нелинейных системах на основе нелинейного уравнения Шредингера, его обобщений и модификации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Болочагин, Владимир Юрьевич

• Болочагин, Владимир Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Болочагин, Владимир Юрьевич

Введение.

Глава 1. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В РАДИОФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ.

1.1. Возникновение уединенных волн в приближении классической теории дисперсии.

1.2. Секулярная теория возмущений и волновые уравнения.

1.3. Самофокусировка волновых пучков в нелинейных средах.

1.4. Строгая теория экранированной волноведущей линии передачи с компланарными токопроводящими полосками.

1.5. Анализ солитонных процессов в волноведущих структурах с нелинейными слоями.

1.6. Выводы.

Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА.

2.1. Основные положения метода обратной задачи рассеяния.

2.2. Алгоритм нахождения приближенных солитонных решений

2.3 Возбуждение солитонов в волноведущей структуре прямоугольным импульсом.

2.4 Алгоритм вычисления дискретного спектра для произвольного потенциала.

2.5. Выводы.

Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВОЗБУЖДЕНИЯ, РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

СОЛИТОНОВ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА.

3.1. Численное решение НУШ конечно-разностным методом.

3.2. Численное решение НУШ спектральным методом Галеркина.

3.3. Численное моделирование возбуждения солитонов в нелинейной системе на основе НУШ.

3.4. Численное моделирование взаимодействия солитонов НУШ.

3.5. Возбуждение солитонов прямоугольным импульсом.

3.6. Выводы.

Глава 4. ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ВОЗБУЖДЕНИЯ, РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СОЛИТОНОВ НА

ОСНОВЕ ОБОБЩЕНИЙ И МОДИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА.

4.1. Обобщенное нелинейное уравнение Шредингера с членами линейной дисперсии третьего порядка и нелинейной дисперсии.

4.2. Обобщение классического солитона нелинейного уравнения Шредингера в присутствии членов нелинейной дисперсии.

4.3. Численное исследование процессов распространения и взаимодействия солитонных импульсов обобщенного нелинейного уравнения Шредингера.

4.4. Модифицированное нелинейное уравнение Шредингера с логарифмической нелинейностью.

4.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процессов возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в нелинейных системах на основе нелинейного уравнения Шредингера, его обобщений и модификации»

О существовании солитонных процессов известно с середины XIX века, когда они впервые наблюдались в механической (гидравлической) системе. Тем не менее, на протяжении более чем столетия успехи исследователей в изучении процессов распространения уединенных волновых импульсов ограничились получением нескольких нелинейных уравнений (наиболее известным из которых является уравнение Кортевега - де Фриза (КдФ)) и нахождением их частных решений подобного рода. Здесь могут быть названы работы Буссинеска, Рэлея, Кортевега и де Фриза [1,2]. Интенсивное развитие нелинейной физики, характерное для XX столетия продемонстрировало необычайную распространенность в природе уединенных волновых возмущений. Так, обнаружилось, что возникающее в теории дисперсии так называемое нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) допускает решения в виде высокочастотной волны с огибающей в форме уединенного импульса [3-5]. Исследования в области нелинейной оптики привели к открытию явлений самофокусировки волнового пучка.

Качественно новая эпоха в исследовании уединенных волновых импульсов началась с 60-х годов, когда в работе Гарднера, Грин, Крускала и Миуры 1967 года [6] был предложен новый метод, позволивший проинтегрировать уравнение КдФ, вскрыть структуру его решений, проанализировать математическую природу и условия существования их солитонной части. Данный метод, получивший в русскоязычной литературе наименование "метод обратной задачи рассеяния" (МОЗР) был основан на оригинальной идее нелинейной замены переменных с использованием терминологии и аппарата квантовомеханической теории рассеяния. Рассматривая искомую функцию как потенциал в задаче рассеяния, авторы отыскивали по ней совокупность данных рассеяния, и, полагая, что потенциал подчиняется уравнению КдФ, отыскивали соответствующий закон временной эволюции данных рассеяния. Последний оказался чрезвычайно простым и, проведя тривиальное интегрирование, затем авторы решали обратную задачу рассеяния - восстановление потенциала (т.е. искомого решения КдФ) в произвольный момент времени. В 1971 году Захаров и Шабат в работе [7] обобщили предложенный метод на уравнение НУШ, в 1972 году Вадати нашел постановку, в рамках которой оказалось возможным проинтегрировать модифицированное уравнение КдФ [8], а Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегур нашли решения уравнения эт-Гордон [9,10]. В 1974 году с помощью МОЗР были найдены решения уравнения для решетки Тоды [11,12].

Последовавшие два десятилетия в исторических экскурсах обычно характеризуются как период "солитонного бума". В эти годы интерес к солитонной проблематике достиг максимума. Было найдено и исследовано методом ОЗР немало новых уравнений, допускающих еолитонные решения (уравнения Тоды, модифицированное уравнение КдФ, уравнение ф4 и др.).Был чрезвычайно успешно развит аппарат самого метода ОЗР (гамильтонов подход, преобразование Хироты, метод "одевания" и т.д.). К этому периоду относится и появление в отечественной печати первых монографий по солитонной проблематике, к числу которых относятся работы [13-20].

Неоспоримые успехи в аналитическом исследовании солитонов, появление целого направления в физике, стимулировали всплеск активности исследователей и в традиционных направлениях, связанных с солитонами: численном моделировании процессов распространения и взаимодействия уединенных волн, экспериментальной работе, построению приближенных решений уравнений, описывающих эволюцию локализованных импульсов (методами теории возмущений, в рамках вариационного подхода и т.п.).

Интерес к солитонной проблематике усиливается также в связи с продолжающимся обнаружением новых примеров, в которых проявляются еолитонные процессы. Так, интенсивное развитие волоконной оптики вызвало всплеск исследований солитонов в оптических волокнах, обзор проблемы можно найти в [21]. Особенно большой интерес представляет исследование солитонных процессов в полосково-щелевых линиях передачи различной геометрии с нелинейными включениями. Это связано с перспективностью использования подобного рода структур в качестве элементной базы объемных интегральных схем в СВЧ диапазоне. В работах [22-24] был предложен метод исследования волноводных экранированных полосково-щелевых структур с тонкими нелинейными слоями, сводящий краевую задачу для электромагнитных волн к векторному нелинейному сингулярному интегродифференциальному уравнению относительно функции распределения поля в области щели с нелинейными параметрами. Проведенный анализ показал возможность существования солитонных решений на примере волноводно-щелевой линии передачи.

В настоящее время исследование' солитонной проблематики также продолжается весьма интенсивно в самых различных направлениях. Во-первых, многие авторы плодотворно работают в области теоретического анализа солитоноподобных волновых процессов на математическом уровне абстракции: поиск точно интегрируемых уравнений, допускающих решения в виде уединенных волн, исследование их структуры и свойств, строгий аналитический подход к задачам о существовании и устойчивости солитонных решений, зависимости их параметров от условий задачи. Основным инструментом этих авторов остается, как и прежде, метод ОЗР в его развитии. Среди работ, появившихся в этой области за последние годы следует упомянуть, в частности, работу Захарова В.Е. и Кузнецова Е.А. [25]. В ней выведен аналитический критерий существования оптических солитонов и квазисолитонов (знакоопределенность линейного оператора, описывающего их асимптотику на бесконечности). Применение этого критерия позволило авторам определить несущую частоту оптических солитонов, при которой наблюдается равенство их фазовых и групповых скоростей, доказать отсутствие таких импульсов с учетом дисперсии 3 порядка и существование и устойчивость солитонов для дисперсии 4 порядка.

В работе [26] рассматривается проблема интегрируемости высокопорядкового НУШ модели Кодама-Хосегавы, описывающего распространение ультракоротких импульсов в оптических волокнах. С помощью теста Пенлеве показано, что лишь 4 из известных случаев этого уравнения удовлетворяет стандартным требованиям данного критерия интегрируемости.

В работе [27] с помощью анализа Пенлеве структуры сингулярных многообразий устанавливается, при каких значениях коэффициентов является интегрируемой система двух связанных НУШ, с членами, описывающими дисперсию групповой скорости, дисперсию 3 порядка и керровскую нелинейность. Для системы найдено билинейное представление Хироты, а с его помощью - N -солитонные решения.

Сходной является работа [28], в которой для системы 4 связанных НУШ с кубической нелинейностью в рамках гамильтонова подхода получено представление Хироты и найдено специальное соотношение между коэффициентами, при котором построено солитонное решение.

В работе [29] также для уравнения с дисперсией высокого порядка билинейным методом изучены условия существования и распространения солитоноподобных импульсов, получены солитонные решения.

Следует особо упомянуть работу Журавлева В.М. [30]. В ней сформулирован общий метод выделения из общих классов моделей нелинейных волновых процессов таких, которые допускают солитонные решения, основанный на использовании обобщенного тождества Лагранжа для сопряженных уравнений и обладающий универсальностью по отношению к типу дисперсии исходного класса уравнений и векторной их размерности. Данный метод позволяет строить обобщенные версии как уже известных, так и новых точно интегрируемых уравнений типа НУШ, КдФ и других и, более того, указывать для них конкретный вид Ъ - А пар, что сразу позволяет применять для анализа этих уравнений метод ОЗР.

Метод ОЗР успешно применен в работе [31] для нахождения однофазных периодических решений модели, описывающей эволюцию поля в двухуровневой среде при точном двухфотонном резонансе.

В работе [32] изучена динамика термомагнитных возмущений в существенно диссипативной системе - сверхпроводнике второго рода с нетривиальным взаимодействием электрической и тепловой подсистем. С использованием преобразования Бэклунда показана возможность распространения стационарной структуры типа уединенной волны.

Серьезный обзорный характер современного состояния проблем носит работа [33], в которой на строгом теоретическом уровне рассматриваются эффекты нелинейности для неинтегрируемых систем: рассеяние и связанные состояния солитонов, рассеяние кинков на неоднородностях. Рассмотрены модели размерности (1+1) (одно пространственное измерение плюс время) и больших размерностей для уравнений эт-Гордон и ф4.

Наряду с направлением, основанным на использовании метода ОЗР, значительное число авторов использует иные аналитические подходы для исследования солитонных решений нелинейных уравнений, проблем возникновения, временной эволюции, взаимодействия и устойчивости солитонов. Так, Леблонд [34], сводя дифференциальное уравнение в частных производных к полностью интегрируемой системе, рассматривает распространение двумерных солитонов в среде при условии баланса между эффектами Керра 3 порядка и квадратичной нелинейностью. В [35] решаются линейная и нелинейная динамическая задача модуляции почти идентичных солитонных импульсов НУШ, в простейшем случае сводимая к комплексному расширению интегрируемого уравнения Тоды. Аналитическое исследование и детальный обзор темных солитонов (локализованных нелинейных волн, распространяющихся на фоне стабильной непрерывной волны) дефокусирующего НУШ дан в работе [36].

Исследованию условий возникновения солитонных решений уравнения для огибающей Кодема - Насегавы с дисперсией и диссипацией высокого порядка для одномодового диэлектрического волновода посвящена работа [37]. В ней представлены также Ы-солитонные решения.

Взаимодействие пространственных солитонов аналитически изучается в работе [38]. В ней представлены данные о специфике сильного и слабого взаимодействия пространственных солитонов, построена теория, позволяющая вычислять параметры рассеяния солитонов при слабых взаимодействиях.

Распространение солитонов в линии с чередующимися сегментами с противоположными значениями дисперсии изучено в [39]. Аналитически показано, что такая конструкция линии сильно подавляет флуктуации солитонных параметров.

В [40] конструируется обобщенное 6-параметрическое яркое двухсолитонное решение интегрируемого связанного НУШ (модель Манакова) с использованием метода Хироты обнаружены некоторые новые свойства солитонов, не наблюдавшиеся в других пространственно одномерных моделях, в частности, возможность переключения солитонов между модами путем изменения фазы.

Задача о распространении пространственного солитона в системе туннельно-связанных оптических волноводах аналитически рассмотрена в [41]. Вычислен эффективный потенциал в модели эквивалентной частицы для центра пучка, получены условия для резонансного излучения волнового солитона.

В работах [42, 43] получен новый класс пространственно-локализованных решений солитонного типа с ограниченной энергией в задаче нелинейного распространения светового пучка по фоторефрактивному кристаллу с дрейфовым механизмом нелинейного отклика.

Система линейно связанных уравнений КдФ, допускающая широкие солитоны огибающей, возникающие за счет двойного резонанса по фазовой и групповой скорости между основной и второй гармониками для определенного волнового числа, рассмотрена в [44]. Получены асимптотические уравнения для амплитуд гармоник.

В [45] теоретически объясняются особенности временной эволюции фоторефрактивных пространственных солитонов, получено выражение для определения времени их образования.

Точные аналитические выражение для темных солитонов НУШ 5-го порядка, включающего первый высший порядок нелинейной насыщаемости, получены в [46]. Показано, что солитоны устойчивы к слабым возмущениям, изучено взаимодействие солитонов при параллельном (отталкиваются с расстоянием) и встречном распространении.

В [47] теоретически исследовано распространение нелинейной поверхностной магнитостатической волны (ПМСВ) в планарной феррит-полупроводниковой структуре в зависимости от концентрации носителей тока в полупроводниковом слое. Показано, что при определенных концентрациях ПМСВ неустойчива относительно продольных возмущений и может распространяться перпендикулярно магнитному полю в виде солитонов.

В работе [48] исследованы особенности без дифракционного распространения световых пучков в фоторефрактивных полупроводниках в условиях проявления эффекта Франца-Келдыша. Показано, что в таких материалах совместное влияние электрорефракции и электропоглощения приводит к формированию неоднородных пространственных солитонов, для которых направления распространения энергии и фазовой скорости различны. Установлена зависимость формы солитона от параметров фоторефрактивного полупроводника и величины внешнего электрического поля.

Брыксин В.В. изучает [49] векторные солитоны в динамике ангармонических моноатомных решеток в модели, основанной на системе трех НУШ. Рассматривается их взаимодействие.

Киндяком A.C. на основе анализа нелинейного уравнения Шредингера проведено [50] теоретическое исследование нелинейных поверхностных магнитостатических спиновых волн в планарной структуре феррит—диэлектрик—металл. Показано, что при определенных значениях расстояния от металлического экрана до ферромагнитной пленки импульсы поверхностных магнитостатических спиновых волн могут распространяться в виде солитонов огибающей.

Зайко Ю.Н. в [51] исследует поведение n-й гармоники периодического решения уравнения Кортевега—де Вриза в зависимости от номера п в промежуточной области, которая обычно не исследовалась методами теории солитонов. Полученные асимптотики позволяют уточнить поведение гармоник.

На основе НУШ с возмущениями из приближенного двухсолитонного решения авторами работы [52] получены формулы для описания взаимодействия солитонов в оптоволоконной линии связи. Процесс взаимодействия, по этим данным, определяется не только относительным сдвигом начальных фаз солитонов, но и изменением разности энергий и скоростей солитонов по мере их распространения.

Авторы работы [53] рассматривали возмущенное НУШ, описывающее распространение фемтосекундных импульсов в осевом неоднородном оптоволокне, решив его аналитически в допущении слабой нелинейности. Ими получены точные решения для светлых и темных солитонов, изучен сдвиг времен в солитонной волне под воздействием неодкородностей.

В [54] исследовались проблемы поддержания формы солитоноподобного импульса при его распространении на большие расстояния в оптически активной среде, выведены уравнения, описывающие связанную временную эволюцию двух поляризационных компонент. Установлено, что, хотя одна из них и испытывает сильную дифракцию, но может быть в значительной степени восстановлена с расстоянием.

В работе [55] в приближении геометрической оптики получены уравнения для амплитуды вектора Пойнтинга с учетом временной дисперсии в керровски нелинейной среде, представляющие собой уравнение КдФ, описывающие эволюцию сверхпороговых солитонов.

Турицын С.К. [56], рассматривая НУШ с дополнительным параболическим потенциалом, получил выражение для усредненного импульса в системах передачи с сильным управлением дисперсией. Она является промежуточной между солитоном типа гиперболического секанса и гауссовским импульсом. Аналитическое решение для солитонов огибающей приводится также в работе Громова Е.М. [57]. В частном случае оно сводится к солитонам Чена.

Возникновение солитонов при комбинационном рассеянии является предметом работы Ахмедиева Н. и др. [58]. Они показали, что в присутствии комбинационного рассеяния в оптоволокне солитоны могут формировать квазистационарные асимметричные импульсы, либо связанные состояния двух солитонов. Последние, хотя и являются неустойчивыми, с точки зрения теоретического анализа, однако могут распространяться не меняя профиля на достаточно значительные расстояния.

В [59] рассмотрено взаимодействие электромагнитной волны с цилиндром из нелинейного диэлектрического материала. Найдены асимптотические решения, являющиеся модификацией решений НУШ, в частности, солитонные.

В работе [60] рассмотрены две ортогонально поляризованные волны в нелинейном двулучепреломляющем волокне, подчиняющиеся связанным уравнениям типа НУШ, с помощью преобразования Бэклунда построено односолитонное решение.

Пушкаров Д. и Танев С. предприняли [61] анализ всех существующих уединенных волновых решений НУШ 3-го и 5-го порядков. Исследовано распространение и свойство бистабильности таких импульсов в области аномальной дисперсии. Сходной темы касается работа [62], в которой получено точное аналитическое выражение для светлых солитонов на фоне постоянного послесвечения в оптоволокне в режиме постоянной дисперсии, описываемом НУШ. Также получено двухсолитонное решение.

Громов Е.М., Таланов В.Н. анализируют [63] комбинированное нелинейное уравнение, отвечающее третьему приближению теории нелинейной дисперсии, описывающее распространение волновых пакетов и солитонов огибающей малой протяженности. Авторами найдены новые классы точных решений в виде фазомодулированных солитонов.

Точное аналитическое решение системы нелинейных векторных уравнений для описания параметров уединенных электромагнитных волн в нерастяжимом гибком спиралевидном волоконном световоде приведено в работе [64].

В [65] рассмотрена модель двухкомпонентного НУШ для эллиптически двулучепреломляющего оптоволокна. Аналитически показано, что два связанных солитона в такой линии формально всегда образуют строго связанное состояние с совпадающими центрами.

Бурлак Г.Н. и Ишнабулов К., исследуя акустооптическое взаимодействие в существенно нелинейном режиме, показали [66], что из-за переотражения волн, играющего роль задержанной обратной связи, в системе возникает солитонная динамика.

В [67] изучено взаимодействие большого числа солитонов в оптоволокне на основе квазичастичного подхода. При- этом оказалось, что при большом числе солитонов, их поведение может описываться цепочкой уравнений Тоды, хотя строго математически это некорректно.

В работе [68] показано, что при определенных условиях световой пучок в плоском волноводе с квадратичной нелинейностью и генерацией второй гармоники может распадаться на пространственные солитоны, распространяющиеся в различных направлениях.

В рамках метода Уизема Камчатновым A.M. в [69] развита теория рождения солитонов на фронте длинного импульса при комбинационном рассеянии света на основе полученного общего периодического решения уравнений.

В работе [70] авторами открыто существование солитонов в нелинейной диссипативной усиливающей среде, основанной на модели, не использующей приближения параболического усиления или скоростных уравнений. Уравнения Максвелла-Блоха, описывающие данную модель при этом не имеют точных аналитических решений. Показано, что уединенные волны могут существовать, если имеются широкополосные потери и суммарное усиление отрицательно вдали от пика усиления.

Кабанов В.В. [71] рассматривает условия самолокализации трехмерного солитона в однородной изотропной среде с кубической нелинейностью.

Распространение устойчивых солитонов непрерывной волны в дисперсных системах с каскадной нелинейностью проанализировано и описано в работе [72].

Анализ распространения фемтосекундного уединенного импульса в оптоволокне при кросс-модуляции дан в работе [73].

Докторов Е.В. и др. провели [74] теоретический анализ поляризационных эффектов при распространении солитона в нелинейном одномодовом оптоволокне с учетом распада солитона на два, отличающиеся направлением вектора поляризации. На основе модифицированных уравнений Манакова, являющихся интегрируемым вариантом уравнений Хисакадо-Йисука-Вадати, получены солитонные решения, описывающие распространение фемтосекундных импульсов в двулучепреломляющем оптоволокне.

Немало работ посвящено теоретическому анализу проблем устойчивости уединенных волновых возмущений. Так, критерий устойчивости солитонов в квадратично нелинейной среде выводится в работе [75]. Этот критерий в работе [76] применен авторами к солитонам связанных НУШ в изотропных нелинейных средах и двулучепреломляющих волокнах.

В [77] Буряком А.В. и др. исследуется семейство двухпараметрических уединенных волн в дифракционной квадратично нелинейной среде. При этом авторами выведен и численно проверен новый тип аналитического критерия устойчивости солитонов. В [78] те же авторы рассматривают модуляционные нестабильности и оптические солитоны в среде с конкуренцией квадратичной и кубичной нелинейности. При специальных соотношениях параметров задачи им удается получить строгое аналитическое решение для светлых солитонов. Показано, что даже малый вклад квадратичной нелинейности делает нестабильными некоторые из оптических солитонов.

Известно, что солитоны классического НУШ с пространственной размерностью 2 и более неустойчивы. В работе [79] показывается, что можно построить систему 2 НУШ, описывающую взаимодействие основной волны со второй гармоникой, солитоны которой будут устойчивы.

В [80] авторами анализируется устойчивость двух типов параметрически связанных солитонов огибающей, формирующихся в средах с интерференцией вкладов квадратичной и кубичной нелинейностей одного или противоположных знаков. Определены области устойчивости солитонов, возникающих в случаях компрессирующей и декомпрессирующей квадратичной нелинейностей.

Серниным В.И. и др. исследованы [81, 82] фемтосекундные солитоны уравнений Максвелла, к формированию которых приводят параметрическая электронно-ядерная керровская и рамановская нелинейности. Проведено сравнение этих солитонов с солитонами огибающей НУШ. Показана возможность нелинейного преобразования шредингеровских солитонов в максвелловские волновые солитоны, ключевой особенностью которых является движение не только в обычном, но и в спектральном пространстве.

В работе [83] рассмотрено распространение пары светлого, соответствующего основной частоте, и темного (вторая гармоника) солитонов. Определены условия существования такой пары и её устойчивости при наличии диссипации.

Среди методов аналитического исследования солитонов достаточно распространенными являются вариационные методы. Они успешно применяются многими авторами. Так, Лакоба Т.И. и др. с их помощью обнаружили 3 семейства солитонов в связанных нелинейных волокнах [84]. А в [85] при посредством вариационного подхода изучены точные солитонные решения для системы с каскадированной квадратичной нелинейностью, зависящие не менее, чем от одного параметра.

Махмуд М.Ф. и др. в [86] в рамках вариационного подхода проанализировали нелинейное распространение импульса в эллиптически двулучепреломляющем оптоволокне в модели двухкомпонентного НУШ. Рассмотрена стабильность солитонов с различными поляризациями, определен порог для амплитуды солитона, позволяющий обойти неустойчивость, связанную с фазовым несоответствием в положении солитонов.

Сравнительный анализ различных вариационных аппроксимаций для исследования солитонов проведен в работе [87]. Авторами предложен собственный, модифицированный подход.

Широко распространено также использование аппарата теории возмущений для анализа солитонных волн. В [88], исследуя одномодовые солитоны в квадратично нелинейной среде, авторы методами теории возмущений сводят полные уравнения динамики импульсов к системе связанных обыкновенных дифференциальных уравнений и получают простую качественную картину эволюции.

Прямыми методам теории возмущений в [89] изучены эффекты нелинейного усиления темных солитонов, обнаружен сдвиг центра солитона. Методами теории возмущений в [90] из НУШ проанализировано распространение оптических фемтосекундных импульсов в волоконной линии со спектрально-ограниченным распределенным усилением. Получены аналитические выражения для зависимости ширины импульса и частотного сдвига от пройденного расстояния.

Францескакис Д. Ж. и др. с помощью аппарата той же теории рассматривали [91] НУШ с переменными коэффициентами, описывающее распространение фемтосекундных импульсов в активном неоднородном оптоволокне вблизи точки нулевой нелинейности. Ими были получены приближенные аналитические результаты, касающиеся функции огибающей и несущей частоты и волнового числа солитонных волн, а также условие формирования солитонов, исследовано влияние неоднородностей на их распространение.

Ряд исследователей занимается статистическими аспектами исследования солитонов. В [92] решается задача о распространении солитонов в двудучепреломляющем волокне со случайным изменением направлений осей лучепреломления, что изменяет скорость солитонов. Спонтанное солитонообразование и распад солитонов в кубически нелинейных средах с возмущениями рассмотрены в [93].

Алешкевич В.А. и др. предприняли [94] теоретический анализ влияния шумов спонтанного комбинационного рассеяния на параметры оптических солитонов. на основе теории возмущений ими получены интегральные представления для дисперсии флуктуаций амплитуды и частоты солитонного импульса, прослежена динамика нарастания флуктуаций с расстоянием. Теми же авторами исследовано [95] когерентное усиление солитонов в активных световодах в присутствии шумов спонтанной люминесценции, проанализирована флуктуация солитонных параметров.

В работе [96] авторами исследовано влияние случайной модуляции начальной амплитуды и фазы солитона на его распространение в оптоволокне. Вычислены функция распределения для параметров солитона, показано, что для скорости она может иметь гауссовский характер.

Абдуллаев Ф.Х. и др. рассматривают [97] стохастическую динамику пространственного солитона на шероховатой границе раздела двух нелинейных сред. Данная работа особо примечательна акцентом на учет корпускулярных качеств солитона: авторы решают поставленную задачу, работая в модели поведения частицы единичной массы в поле случайного потенциала.

Другим направлением в исследовании солитонных волн является численное моделирование процессов их распространения и взаимодействия. Данной проблематике также посвящено значительное число работ. Вопросы численного моделирования процесса возбуждения солитонных волн в различных средах и направляющих структурах различными типами входных импульсов рассмотрены в работах [98-104]. Различные аспекты процессов распространения солитонов численно исследуются в работах [105-127]. Особо можно выделить работу Беланова A.C. [128], в которой реализована численная процедура нахождения параметров пикосекундных импульсов в дальнем поле в периодически неоднородных волоконных световодах с керровски нелинейным показателем преломления, базирующаяся на аппарате ОЗР. В работе [129] из нелинейного волнового уравнения с использованием приближения медленно меняющейся огибающей и усреднения по секциям волокна выведено уравнение эволюции импульса в стекле, активированном полупроводниковой примесью, а затем проведено численное исследование его светлых солитонов.

Предметом численного анализа у ряда исследователей выступает взаимодействие солитонов. Оно в различных аспектах моделируется в работах [130-133]. В [134] проведено численное исследование распространения связанной пары двухсолитонных импульсов и односолитонного импульса со славбовозмущеннми амплитудами в оптоволокне с периодически модулированным диаметром сердцевины, а также на его основе продемонстрирована теоретическая возможность получения последовательности солитонных импульсов с требуемыми спектральными, фазовыми и амплитудными характеристиками. Взаимодействие солитонов в [135] исследуется с точки зрения возможности его подавления, показано, что оно может быть полностью подавлено узкополосным фильтром Баттерворта.

Численно изучается и проблема устойчивости солитонов. Данной теме посвящены работы [136-139]. В частности, в работе Михалаче Д. и др. [140] рассмотрено распространение многогорбых светлых уединенных волн. Показано, что неустойчивость может привести к формированию одногорбого солитона в процессе типа слияния либо к распаду волны на несколько одногорбых фрагментов. В работе [141] проведено численное исследование рассеяния солитонов НУШ в разреженной среде (одномерная ангармоническая решетка). Исследована амплитуда отражения и прохождения солитонов, показано, что численные результаты совпадают с теоретическими, полученными по методу ОЗР.

Имеются сведения и о проводимых некоторыми исследователями экспериментальных работах с солитонами. Так, по утверждению авторов работы [142], ими проведено первое экспериментальное исследование взаимодействия черных и серых солитонов, показано, что оно носит отталкивающий характер. Изучены случаи различного фазового профиля серого солитона, соответствующие ситуациям, когда его групповая скорость больше либо меньше групповой скорости несущего импульса.

Движение вихревого солитона экспериментально наблюдалось авторами работы [143]. Ими же проводились численные расчеты процесса. В [144] сообщается о первом экспериментальном наблюдении некогерентно связанных пространственных солитонных пар в фоторефрактивных кристаллах. В [145] сообщается о первом экспериментальном наблюдении круглого волновода двумерными пространственными светлыми солитонами.

В завершении обзора следует упомянуть о проводимых рядом авторов качественных исследованиях солитонов. К таким работам относится [146], где методом фазовых портретов устанавливается существование решений в виде стационарных волн у обобщенного уравнения Кортевега - де Фриза - Бюргерса, содержащего неконсервативные члены линейной накачки, линейной высокочастотной и нелинейной диссипации. Авторы работы [147] вывели возмущенное НУШ, преобразовали его в обобщенное НУШ высшего порядка, справедливое для областей нормальной и аномальной дисперсии и затем свели его с целью поиска квазистационарных волн к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению. Последнее было проанализировано также посредством изучения фазовых портретов, обнаружены светлые и темные солитоны. В [148] как можно качественно оценить некоторые характеристики солитона, в частности, устойчивость из зависимости показателя преломления от интенсивности. Рассматривается связь физических характеристик солитонов со свойствами нелинейности среды.

Таким образом, солитонная тематика продолжает оставаться объектом пристального интереса исследователей. Для её разработки активно используются самые различные аналитические, численные, комбинированные и даже качественные методы. Однако круг проблем, открытых для изучения, достаточно широк.

В первую очередь, это обусловлено большим разнообразием физических ситуаций, в которых наблюдаются солитоноподобные волновые процессы. При всей их общности существует специфика распространения уединенных волн, накладываемая конкретным типом среды или линии передачи, в которой рассматривается процесс. В настоящее время основное внимание в научной литературе уделяется вопросам распространения солитонов по линиям передачи типа оптического волокна, что вполне объяснимо в свете распространенности и перспективности волоконных технологий. В то же время солитонные провесы в некоторых других структурах, также представляющих определенный практический интерес, систематически мало изучаются. Речь идет, например, о полосково-щелевых линиях передачи, о структурах с различными видами нелинейных (в частности, сегнетоэлектрических) пленок.

Кроме того, за исключением сравнительно небольшого числа работ, о которых упоминалось, наблюдается значительный разрыв между "фундаментальным" подходом к солитонной проблематике, опирающемся на мощные аналитические методы, строгие решения, но ориентированным скорее на формальный математический анализ уравнений, нежели на описание конкретных физических ситуаций, и "прикладным", связанным с моделированием, чаще всего численным, солитонных процессов в конкретных физических задачах. Сближение этих подходов, исследование прикладных задач с помощью мощных аналитических методов - без сомнения, перспективное направление исследований солитонов.

Целью работы является исследование процессов возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в системах с различными типами нелинейностей с учетом дисперсии второго и третьего порядков, а также нелинейной дисперсии.

Научная новизна заключается в том, что:

1. Разработан новый метод решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, допускающих операторное представление посредством пар Лакса, основанный на модификации алгоритма метода обратной задачи рассеяния с получением на основе метода последовательных приближений приближенных аналитических выражений для решений задач Коши. С помощью метода проведено исследование нелинейного уравнения Шредингера и уравнения Кортевега - де Фриза.

2. Определены условия возбуждения солитонов прямоугольным импульсом в нелинейной системе, описываемой НУШ.

3. Предложена и реализована модификация численных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, сходных с нелинейным уравнением Шредингера, основанная на предварительном преобразовании уравнения по пространственной переменной и последующем применении неявной конечно-разностной схемы или спектрального алгоритма Галеркина на полиномах Чебышева. Показано, что предложенная модификация позволяет более точно моделировать решение при малых значениях пространственной переменной и избежать искажений, вызываемых влиянием эффектов на границах отрезка, на котором проводится расчет.

4. Впервые проведен численный анализ процессов распространения, возбуждения и взаимодействия уединенных волн в нелинейных системах, описываемых обобщенным НУШ (оНУШ) -НУШ, дополненным членами линейной дисперсии третьего порядка и нелинейной дисперсии. Найдены новые классы солитонных решений.

5. Впервые осуществлено численное моделирование процессов распространения, возбуждения и взаимодействия солитонов в нелинейных системах на основе модифицированного НУШ (мНУШ)

НУШ с логарифмической нелинейностью. Показано, что основным солитоном данного уравнения является импульс гауссовской формы.

6. Впервые проведено сравнение возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в нелинейных системах, описываемых НУШ, о НУШ и мНУШ: влияние дисперсии третьего порядка приводит к увеличению скорости распространения импульса и постепенной деформации его профиля, а также к изменению амплитуды импульсов после взаимодействия импульсов различной амплитуды, а если параметры импульсов отличаются от стандартных - к расплыванию импульса меньшей амплитуды;

- нелинейная дисперсия обеспечивает увеличение скорости распространения импульса, а её совместное влияние с линейной дисперсией третьего порядка делает возможным распространение в системе солитонных импульсов нового класса;

- основным солитонным решением мНУШ является импульс гауссовской формы, при взаимодействии импульсы такого рода ведут себя частицеподобным образом.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается:

- достаточной строгостью разработанных физических и математических моделей изучаемых физических явлений; использованием математически обоснованных методов решения поставленных задач; соответствием численных результатов известным аналитическим результатам; сравнением тестовых расчетов с результатами, полученными другими авторами.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Разработан новый приближенный аналитический метод решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, допускающих операторное представление посредством пар Лакса, позволяющий более просто по сравнению с методом ОЗР проводить анализ солитонных решений.

2. Разработанный новый, модифицированный численно-аналитический метод решения задач Коши для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, применим к достаточно широкому кругу таких уравнений, в том числе и не имеющих солитоноподобных решений.

3. Результаты анализа и сравнения возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в нелинейных системах, описываемых НУШ, оНУШ, мНУШ, могут быть использованы при конструировании различного рода новых приборов (с нелинейными слоями и пленками) сверх-, крайневысоких частот и оптического диапазона.

4. Результаты аналитического и численного моделирования уединенных волновых процессов в различных нелинейных системах могут служить составной частью исходного материала при решении задачи создания систем передачи информации по волноведущим структурам с помощью солитонов.

5. Результаты диссертации могут быть использованы в различных областях науки. В частности, результаты моделирования возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в нелинейной системе, описываемой мНУШ, имеют большое значение в биофизике, в частности, при анализе распространения электрического импульса в нервно-синаптической системе и в гидродинамической задаче о движении жидкости по трубкам с эластичными стенками.

Апробация работы

Диссертация выполнена в рамках НИР "разработка электродинамических методов анализа полосково-щелевых структур СВЧ с учетом анизотропии и нелинейности параметров среды и создание новых принципов обработки и передачи информации в системах связи СВЧ и КВЧ диапазонов" (тема 35/93, шифр - "Аспект-ПИИРС", 1997-1999 гг.). Основные результаты диссертационной работы докладывались на IX Международной школе-семинаре "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ" (г.Самара, 1997), VI Международной научно-технической конференции "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ" (г.Самара, 1999), научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ПГАТИ (1997 - 1999 гг.). Результаты работы внедрены в учебный процесс Самарского государственного университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 4 статьи и 7 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях и школах-семинарах.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, допускающих операторное представление посредством пар Лакса, основанный на модификации алгоритма метода обратной задачи рассеяния с получением на основе метода последовательных приближений приближенных аналитических выражений для решений задач Коши для указанных уравнений.

2. Условия существования солитонных решений НУП1 при потенциале прямоугольной формы: уравнение для нахождения собственных значений оператора Захарова-Шабата и зависимости

20 собственных значений оператора от параметров возбуждающего импульса.

3. Численно-аналитический метод решения НУШ и сходных с ним нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на предварительном преобразовании пространственной координаты, определенной от -оо до +оо, в новую переменную, определенную на конечном интервале, и последующем применении неявного конечно-разностного метода или спектрального метода Галеркина.

4. Анализ процессов взаимодействия солитонов и их возбуждения солитонным начальным возмущением и прямоугольным импульсом в нелинейной системе, описываемой НУШ.

5. Анализ процессов взаимодействия солитонов и их возбуждения импульсом в виде солитона в нелинейной системе, описываемой оНУШ.

6. Анализ процессов взаимодействия солитонов и их возбуждения прямоугольным импульсом и начальным возмущением в виде солитона в нелинейной системе, описываемой мНУШ.

7. Результаты сравнения процессов возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в нелинейных системах, описываемых НУШ, оНУШ и мНУШ.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Она изложена на 159 страницах, содержит 41 рисунок, список литературы из 164 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Болочагин, Владимир Юрьевич

4.5. Выводы

1. Проведен анализ обобщенного уравнения НУШ, учитывающего влияние линейной дисперсии третьего порядка и нелинейной дисперсии на распространение огибающей высокочастотного сигнала в диспергирующей среде с кубической нелинейностью. Показано, что в данном уравнении существует новый класс солитонных решений, не сводимый к классическому солитону НУШ. В частности, он может распространяться лишь со скоростью, строго определяемой параметрами среды и имеет собственные условия существования.

2. Показано, что в присутствии только нелинейной дисперсии вышеописанное уравнение имеет солитонные решения, являющиеся обобщением солитона НУШ. Для них получены условия возникновения и ограничения на скорость распространения.

3. Проведено численное исследование процессов распространения, возбуждения и взаимодействия уединенных волн обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с членами нелинейной дисперсии и линейной дисперсии третьего порядка. Показана возможность упругого взаимодействия встречных солитонов, а также изменение амплитуды солитонов при взаимодействии. При столкновении встречных импульсов различной амплитуды с иными параметрами происходит деформация и разрушение малых импульсов.

146

4. Показано на основе численного моделирования, что при одинаковых начальных условиях в присутствии нелинейной дисперсии и линейной дисперсии третьего порядка импульсы в линии распространяются с более высокой скоростью.

5. Проведено численное моделирование процессов распространения, возбуждения и взаимодействия солитонов модифицированного нелинейного уравнения Шредингера с логарифмической нелинейностью. Показано, что основным солитоном данного уравнения является импульс гауссовской формы. Такие солитоны взаимодействуют между собой подобно солитонам НУШ, не меняя формы. Изучено распространение солитонов данного уравнения с иными параметрами и возбуждение солитонных решений прямоугольным импульсом.

Заключение

Исследование солитонных процессов в различных нелинейных системах остается чрезвычайно актуальной задачей; подобного рода процессы достаточно распространены. Задачи радиофизики очень часто приводят к изучению нелинейных систем, описываемых уравнением НУШ, его обобщениями и модификациями. Представляет значительный интерес моделирование распространения солитонных импульсов в полосково-щелевых структурах СВЧ и КВЧ диапазонов с нелинейными включениями, что связано с перспективностью использования таких структур в качестве элементной базы различных радиоэлектронных устройств в указанных диапазонах. В отличии от задач волоконной оптики, солитонные процессы в таких структурах на сегодняшний день слабо исследованы. Важной является также задача изучения солитонных процессов в нелинейных системах с учетом дисперсии третьего порядка, нелинейной дисперсии, средах с различными типами нелинейностей.

Настоящая работа представляет собой определенный вклад в исследование обозначенной проблематики. Уделено внимание как аналитическому, так и численному моделированию солитонных процессов. Предложен способ получения приближенных аналитических выражений для солитонных процессов в различных типах нелинейных систем. Строго получены условия возбуждения солитонов прямоугольным импульсом в линии, описываемой НУШ. Разработан новый, модифицированный численно-аналитический метод решения задач Коши для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, применимый к достаточно широкому кругу таких уравнений, в том числе и не имеющих солитоноподобных решений, и позволяющий во многих случаях более эффективно решать задачу численного моделирования процессов возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов. С его помощью, в частности, проведено моделирование возбуждения прямоугольным импульсом солитонов в линии, описываемой НУШ.

Новые, интересные результаты получены в ходе численного моделирования процессов возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов оНУШ, влияния нелинейной дисперсии и линейной дисперсии третьего порядка. В частности, обнаружено, что при одинаковых начальных условиях упомянутые слагаемые приводят к увеличению скорости распространения импульса. Исследование систем, описываемых мНУШ с логарифмической нелинейностью, показало, что в них могут распространяться

148 солитоны гауссовской формы, взаимодействующие подобно солитонам НУШ.

Результаты диссертации могут быть использованы в различных областях науки. В частности, результаты анализа и сравнения возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в нелинейных системах, описываемых НУШ, оНУШ, мНУШ, могут быть использованы при конструировании различного рода новых приборов (с нелинейными слоями и пленками) сверх-, крайневысоких частот и оптического диапазона. Результаты аналитического и численного моделирования уединенных волновых процессов в различных нелинейных системах могут служить составной частью исходного материала при решении задачи создания систем передачи информации по линиям связи с помощью солитонов. Результаты моделирования возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в нелинейной системе, описываемой мНУШ, имеют большое значение в биофизике, при анализе распространения электрического импульса в нервно-синаптической системе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Болочагин, Владимир Юрьевич, 1999 год

1. J. Boussinesq. Theorie des ondes et des qui se propagent . //J. Math. Pures Appl., 17 (2), 1872. Pp.55-108.

2. D.J. Korteweg, G. de Vries. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves. // Phil, mag., 39, 1895. Pp.422-443.

3. Беспалов В.И., Таланов В.И. // Письма в ЖЭТФ, 1966, 3. С.471.

4. Benney D.J., Newell А.С. // Journ. Math. Phys., 46, 1967. P.133.

5. Kelley R.L. // Phys. Rev. Lett., 15, 1965. P.1005.

6. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura K.M. Method for solving the Korteweg de Vries equation. // Phys. Rev. Lett., 19, 1967. Pp.1095-1097.

7. Захаров B.E., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. // Журнал экспериментальной и теоретической физики АН СССР, 1971, т.61, вып. 1. С.118-134.

8. Wadati М. The exact solution of the modified Korteweg de Vries equation. // J. Phys. Soc. Japan, 32, 1972. Pp.l681ff.

9. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell A.C., Segur H. Method for solving the Sine-Gordon equation. // Phys. Lett., 30, 1973. Pp.12621264.

10. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell A.C., Segur H. Nonlinear-evolution equations of physical significance. // Phys. Rev. Lett., 31, 1973. Pp.125-127.

11. Flashka H. The Toda Lattice. I. Existence of integrals. // Phys. Rev. В., 9, 1974. Pp.1924-1925.

12. Flashka H. The Toda Lattice. II. Inverse scattering solution. // Progr. Theor. Phys., 51, 1974. Pp.703-716.

13. Теория солитонов: метод обратной задачи. / Под ред. С.П. Новикова. М., 1980.

14. Солитоны в действии. / Под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта. М., 1981.

15. Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов. М., 1983.

16. Солитоны. / Под ред. Р. Буллафа, Ф.Кодри. М., 1983.

17. Тахтаджян М.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М., 1986.

18. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М., 1987.

19. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. / Додд. Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. М., 1988.

20. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М., 1989.

21. Ахманов С. А., Выслоух В. А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М., 1988.

22. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Полосково-щелевые структуры сверх- и крайневысоких частот. М., 1996.

23. Неганов В.А., Нефедов Ё.И., Уваров В.Г. Солитонные решения в теории волноводно-щелевой линии с нелинейной сегнетоэлектрической пленкой. // Доклады АН, 1995, 360, №6. С.772-774.

24. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Современные метода проектирования линий передачи и резонаторов сверх- и крайневысоких частот. М., 1998.

25. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Оптические солитоны и квазисолитоны. // ЖЭТФ, 1998, ИЗ, №5. С.1892-1914.

26. Sakovich Sergei Yu. Painleve analysis of a higher-order nonlinear Schrodinger equation.//J. Phys. Soc. Jap., 1997, 66, #9. P.2527-2529.

27. Radhakrishnan K., Lakshmanan M., Daniel M. Bright and dark optical solitons in coupled higher-order nonlinear Schrodinger equations through singularity structure analysis. //J. Phys. A., 1995, 28, #24. P.7299-7314.

28. Erbay H.A., Erbay S. 4-wave interaction equations: Hamiltonian formulation, conservative laws and the Hirota method. // J. Phys. A., 1996, 29, #1. P.77-85.

29. Porsezian K. Solitons in semiconductor doped glass fibers with higher-order effects. // Pure and Appl. Opt., 1997, 6, #2. P.267-275.

30. Журавлев B.M. Модели нелинейных волновых процессов, допускающих солитонные решения. // ЖЭТФ, 1996, 110, №6. С.2243-2262.

31. Заболотский А.А. Периодические нелинейные волны при вырожденном двухфотонном взаимодействии в двухуровневой среде. // Оптика и спектроскопия, 1996, 81, №3. С.453-457.

32. Максимов И.Л., Шалаев И.Ю. Модифицированный метод Бэклунда в теории нелинейных волн в сверхпроводниках. // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1995, 38, №3-4. С.262-267.

33. Белова Т.И., Кудрявцев А.Е. Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля. // УФН, 1997, т.167, №4. С.377-406.

34. Leblond Н. Bidimensional optical solitons in a quadratic medium. // J. Phys. A., 1998, 31, #22. P.5129-5143.

35. Arnold J.M. Complex Toda lattice and its application to the theory of interacting optical solitons. //J. Opt. Soc. Amer. A., 1998, 15, #5. P.1450-1458.

36. Kivshar Yury S., Luther-Davies Havry. Dark optical solitons: Physics and applications. // Phys. Repts., 1998, 298, #2-3. P.81-197.

37. Porsezian K. Soliton propagation in non-linear optics with higher-order effects. // J. Mod. Opt., 1997, 44, #2. P.387-394.

38. Malomed Boris A. Suppression of soliton jitter and interactions by means of dispersion management. // Opt. Commun., 1998, 147, #1-3. P.157-167.

39. Radhakrishnan K., Lakshmanan M., Hietarinta J. Inelastic collision and switching of the coupled bright solitons in optical fibers. // Phys. Rev. E., 1997, 56, #2. P.2213-2216.

40. Абдуллаев Ф.Х. Распространение пространственного солитона в системе туннельно-евязанных оптических волноводов с переменным коэффициентом связи. // ЖТФ, 1998, 68, №6. С.1-4.

41. Выслоух В.А., Кутузов В., Петникова В.М., Шувалов В.В. Формирование устойчивых нелинейных световодов при кросс-модуляционном самозахвате некогерентных солитонных мод. // ЖЭТФ, 1998, 113, №4. С.1167-1180.

42. Выслоух В.А., Кутузов В., Петникова В.М., Шувалов В.В. Взаимно некогерентные волновые пакетыв многокомпонентных пространственных солитонах. // Квант, электрон. (Москва), 1997, 24, №10. С.923-928.

43. Gottwald Georg, Grimshaw Roger, Malomed Boris. Parametric envelope solitons in complex Korteweg de Vries equations. // Phys. Lett. A., 1997, 227, #1-2. P.47-54.

44. Fressengeas N., Wolfersberger D., Maufoy J., Kugel К. A theoretical study on temporal behavior of photorefractive solitons. // J. Korean Phys. Soc., 1998, 32, Febr., Pt2, Suppl. P. S414-S417.

45. Chen Yijiang. Dark solitons in weakly saturable non-linear media. // Phys. Rev. E., 1997, 55. #1, Pt8. P.1221-1224.

46. Киндяк A.C. Нелинейные поверхностные магнитостатические волны в феррит-полупроводниковой структуре. // ЖТФ, 1999, 69, №6.

47. В.Н.Белый, Н.А.Хило, П.А.Хило. Пространственные солитоны в фоторефрактивных полупроводниках с эффектом Франца-Келдыша. // ЖТФ, 1998, 68, №10.

48. Брыксин В.В. Векторные солитоны в динамике ангармонических моноатомных решеток. // ЖТФ, 1998, 68, №11.

49. Киндяк А.С. О солитонах поверхностной магнитостатической спиновой волны в структуре феррит-диэлектрик-металл. / / Письма в ЖТФ, 1999, 25, №4.

50. Зайко Ю.Н. Исследование гармонического состава периодического решения уравнения Кортевега де Вриза. // Письма в ЖТФ, 1995, 25. №4.

51. Dong Guangjiong, Liu Zhongzhu. Взаимодействие между возмущенными солитонами в оптоволокне. // Guangxue xuebao = Acta opt. sin., 1997, 17, #2. P.190-194.

52. Papaioannou E., Frantzeskakis D.J., Hizanidis K. An analytical treatment of the effect of axial inhomogeneity on femtosecond solitary waves near the zero dispersion point. // IEEE J. Quantum Electron., 1996, 32, #1. P.145-154.

53. Singh S.R., Christodoulides D.N. Effects of optical activity on photorefractive spatial solitons in a biased Bi12TiO20 crystal. //J. Opt. Soc. Amer. В., 1996, 13, #4. P.719-724.

54. Садыков H.P. Эволюционные уравнения типа уравнения КдВ для амплитуды вектора Пойнтинга. // Квант, электрон. (Москва), 1997, 24, №2. С.190-192.

55. Turitsyn S.K. Theory of an average pulse propagation in highbit-rate optical transmission systems with strong dispersion management. // Письма в ЖЭТФ, 1996, 65, №11-12. C.812-817.

56. Gromov E.M. Propagation of short non-linear wave packets and solitons in smoothly inhomogeneous media. // Phys. Lett. A., 1997, 227, #1-2. P.67-71.

57. Akhmediev Nail, Krôlikowsky Wieslav, Lowery A.J. Influence of the Raman-effect on solitons in optical fibers. // Opt. Commun., 1996, 131, #4-6. P.260-266.

58. Уварова JI.А., Федянин B.K. Асимптотические решения для электромагнитной волны в оптически нелинейном цилиндре. // Теоретическая и математическая физика, 1996, 106, №1. С.84-91.

59. Porsezian К., Nakkeeran К. Optical solitons in biréfringent fiber Bâcklund transformation approach. // Pure and Applied Optics A., 1997, 6, #1. P. L7-L11.

60. Pushkarov Dimitar, Tanev Stoyan. Bright and dark solitary wave propagation and bistability in the anomalous dispersion region of optical waveguides with 3 and 5 order nonlinearity. / / Opt. Commun., 1996, 124, #3-4. P.354-364.

61. Bélanger N., Bélanger P.-A. Bright solitons on a cw background. // Opt. Commun., 1996, 124, #3-4. P.301-308.

62. Громов B.E., Таланов B.H. Высшие приближения теории дисперсии нелинейных волн в однородной и неоднородной средах. // Изв. РАН. Серия физ., 1996, 60, №12. С.16-28.

63. Stepyan Leonid, Krylov Viacheslav, Parnes Raymond. Solitary waves in an inextensible, flexible, helicoidal fiber. // Phys. Rev. Lett., 1995, 74, #14. P.2725-2728.

64. Mahmood M.F., Zachary W.W., Gill T.L. Interactions of solitons in an elliptically birefringent optical fiber. // Optik, 1996, 101, #4. P.182-183.

65. Бурлак Г.Н., Ишнабулов К. Уединенные волны и управляемый динамический хаос при параметрическом взаимодействии. // ЖЭТФ, 1996, 109, №3. С.774-785.

66. Uzunov I.,M., Gerdjikov V.S., Golles M., Lederer F. On the description of N-soliton interaction in optical fibers. // Opt. Commun., 1996, 125, #4-6. P.237-242.

67. Torner Lluis, Tovres Juan P., Menyuk Curtis R. Fission and self-deflection of spatial solitons by cascading. // Opt. Lett., 1996, 21, #7. P.462-464.

68. Камчатнов A.M. Нелинейные периодические волны в вынужденном комбинационном рассеянии света и рождение солитонов на фронте импульса. // ЖЭТФ, 1996, 109, №3. С.786-804.

69. Liou L.W., Agrawal Govind P. Solitons in fiber amplifiers beyond the parabolic gain and rate-equation approximations. // Opt. Commun., 1996, 126, #4-6. P.500-504.

70. Кабанов B.B. Сферически симметричные структурные резонансы, самолокализация в нелинейной среде. // Квант, электрон. (Москва), 1996, 23, №9. С.841-842.

71. Не Нао, Drummond Peter D., Malomed Boris A. Modulational stability in dispersive optical systems with cascaded nonlinearity. // Opt. Commun., 1996, 123, #1-3. P.394-402.

72. Franco M.A., Alexandrov A., Boyer G.R. Dual wavelength cross-phase-modulation in optical fibers by femtosecond pulse shaping. // Pure and Appl. Opt. A., 1995, 4, #4. P.451-458.

73. Doktorov E.V., Sakovich S.Yu., Vlasov R.A. Polarized femtosecond optical solitons in cubic media. //J. Phys. Soc. Jap., 1996, 65,#4. P.876-878.

74. Chen Yijiang. Stability criterion of solitons in 3 wave mixing in X<2) nonlinear media. // Phys. Lett. A., 1997, 234, #6. P.443-452.

75. Chen Yijiang, Atai Javid. Stability of fundamental solitons of coupled nonlinear Schrodinger equations.

76. Buryak Alexander V., Kivshar Yuri S., Trillo Stefano. Stability of 3-wave parametric solitons in diffractive quadratic media. // Phys. Rev. Lett., 1996, 77, #26. P.5210-5213.

77. Trillo Stefano, Buryak Alexander V., Kivshar Yuri S. Modulational instabilities and optical solitons due to competition of and x(3) nonlinearities. // Opt. Commun., 1996, 122,#4-6. P.200-211.

78. Berge L., Mezentsew K., Rasmussen J. Juul, Wyller J. Formation of stable solitons in quadratic nonlinear media. // Phys. Rev. A., 1995, 52, #1. P. R28-R31.

79. Комиссарова M.B., Су хору ков А.П. Об устойчивости солитонов, формирующихся при интерференции квадратичной икубичной нелинейностей. // Изв. РАН. Сер. физ., 1996, 60, №12. С.58-63.

80. Сернин В.И., Шмидт Э.М., Беляева Т.Л., Хотяинцев С.И. Воновые фемтосекнудные солитоны нелинейных уравнений Максвелла. // Доклады РАН, 1998, 359, №6. С.760-764.

81. Сернин В.И., Шмидт Э.М., Беляева T.JL, Марти-Панамено Э., Салазар X. Фемтосекундные максвелловские солитоны. 2. Верифицированные модели НУШ в теории оптических солитонов. // Квант, электрон. (Москва), 1997, 24, №11. С.969-972.

82. Trillo Stefano. Bright and dark solitons in second harmonic generation. // Opt. Lett., 1996, 21, #15. P. 1111-1113.

83. Lakoba T.I., Каир D.J., Malomed B.A. Solitons in nonlinear fiber couples with 2 optical polarizations. // Phys. Rev. E., 1997, 55, #5B. P. 6/07-6/20.

84. Agranovich U.M., Darmanyan S.A., Kamchatnov A.M., Leskova T.A., Boardman A.D. Variational approach to solitons in systems with cascaded x(2) nonlinearity. // Phys. Rev. E., 1997, 55, #2. P.l894-1899.

85. Mahmood M.F., Zachary W.W., Gill T.L. Nonlinear pulse propagation in ellipticaly birefringent optical fibers. // Physica, 1996, 90, #3. P.271-279.

86. Afanasyev Vsevolod V., Malomed Boris A., Chu P.L., Islam Mohammad K. Generalized variational approximations for the optical solitons. // Opt. Commun., 1998, 147, #4-6. P.317-322.

87. Clausen C. Baslev, Christiansen P.L., Torner L. Perturbative approach to the interaction of solitons in quadratic nonlinear media. // Opt. Commun., 1997, 136, #1-2. P.185-192.

88. Chen Xiang-Lun, Chen Zhi-De. Effects of the nonlinear gain on dark solitons. // IEEE, J. Quantum Electron., 1998, 34, #7. P.l 3081311.

89. Huang Chao, Li Shichen. Анализ высокоскоростной системы передачи оптических солитонов с распределенным усилением. // Guangxue xuebao = Acta opt. sin., 1996, 16, #2. P.184-188.

90. Frantzeskakis D.J., Papaioannou E., Hizanidis K. Slowly varying femtosecond solitary waves in axially inhomogeneous optical fibers near the zero-dispersion point. //J. Opt. Soc. Amer. В., 1995, 12, #9. P.1671-1679.

91. Beker S.M., Elgin J.N. Solitons in randomly varying birefringent fiber. // Quantum and Semiclass. Opt., 1998, 10, #1. P.251-261.

92. Крейдун Ю.А. Эффекты распада и стохастизации солитонов в кубично-нелинейных средах с возмущениями. Дисс. на соиск. уч. степ. к.ф.-м.н. Томск, 1997.

93. Алешкевич В.А., Выслоух В.А., Скиртач К.Г. Динамика стохастизации амплитуды и скорости оптических солитоновшумами спонтанного комбинационного рассеяния. // Вестник МГУ. Сер.З, 1997, №6. С.40-43.

94. Алешкевич В.А., Жукарев А.С., Скиртач К.Г. Стохастизация оптических солитонов шумами спонтанной люминесценции в активных световодах. // Квант, электрон. (Москва), 1996, 23, №10. С.902-904.

95. Abdullaev F.Kh., Darmanyan S.A., Lederer F. // Opt. Commun.,1996, 126, #1-3. P.89-94.

96. Абдуллаев Ф.Х., Байзаков Б.Б., Умаров Б.А. Разрушение нелинейной поверхностной волны на шероховатой границе раздела двух сред. // Письма в ЖТФ, 1995, 21, №12. С.31-35.

97. J.Tomosuasu, K.Tatsuya, T.Noritaka, K.Takuro. Нелинейное распространение магнитостатических волн. // Tamagawa daigaku kogakubu kiyo = Mem. Fac. Eng. Tamagawa Univ., 1997, #32. P.83-88.

98. Boardman A.D., Xie K. Vector spatial solitons influenced by magnetooptic effects in cascadable nonlinear media. // Phys. Rev. E., 1997, 55, #2. P.1899-1909.

99. Torner Lluis, Wright Ewan M. Soliton excitation and mutual locking of light beams in bulk quadratic nonlinear crystals. //J. Opt. Soc. Amer. В., 1996, 13, #5. P.864-875.

100. Królikowsky Wieslav, Akhmediev Nail, Luther-Da vies Barry. Multimode structure of bright and dark vector solitons in photorefractive media. // Opt. Lett., 1996, 21, #4. P.782-784.

101. Jly Синь, Сухоруков А.П. Формирование трехмерных пространственных солитонов в среде с квадратичной нелинейностью. // Изв. РАН. Сер. физ., 1996, 60, №12. С.64-69.

102. Baluschev S., Dreischuh A., Velchev I., Dinev S., Marozov O. Odd and even two-dimensional dark spatial solitons. // Appl. Phys. В., 1995, 61, #1. P.121-124.

103. Vysloukh V.A., Torres-Cisneros M., Sánchez-Mondragón J.J., Martí-Panameño E., Torres-Cisneros G.E. Soliton solutions in optical fiber devices possessing periodical high gain profiles. // Rev. тех. fis., 1995, 41, #1. P.72-81.

104. Громов E.M., Таланов В.И. Высокочастотные пакеты волн в неоднородной плазме со строгой нелинейностью. / / Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1996, 39, №1. С.80-92.

105. Blashak J.G., Franzen J. Precursor propagation in dispersive media from short-rise-time pulses at oblique incidence. //J. Opt. Soc. Amer. A., 1995, 12, #7. P.1501-1512.

106. Hang Sin U., Hamilton C.J., Aitchison J.S., Stegeman G.I. Spatial soliton robustness against spatially anisotropic phase perturbations. // Appl. Phys. Lett., 1997, 70, #11. P.1363-1365.

107. Staliunas К, Taranenko V.B., Slekys G., Viselga R., Weiss

108. C.O. Moving spatial solitons in active nonlinear optical resonators. // Phys. Rev. A., 1998, 57, #1. P.599-604.

109. Mihalache D., Crasovan L.-C., Panoin N.-C. On a coupled system of equations describing pulse propagation in quadratic media. // J. Phys. A., 1997, 30, #16. P.5855-5867.

110. Chen Yijiang, Atai Javid. Dark solitons in periodically amplified fiber transmission systems with stepwise varying dispersion. // IEEE J. Quantum Electron., 1998, 34, #7. P.1302-1307.

111. Etrich C., Peschel U., Lederer F. Solitary waves in quadratically nonlinear resonators. // Phys. Rev. Lett., 1997, 79, #13. P.2454-2457.

112. Chen Zhigang, Segev Mordechai, Wilson Daniel W.,Muller Richard E., Maker Paul D. Self-trapping of an optical vortex by use of the bulk-photovoltaic effect. // Phys. Rev. Lett., 1997, 78, #15. P.2948-2951.

113. Kumar Ajit, Kumar Atul, Kurz Thomas, Lauterborn Werner. A comparative study of bright solitons in doped fibers with saturating nonlinearity. // Pure and Appl. Opt. A., 1996, 5, #3. P.283-292.

114. Майер А.А., Лозинский A.C. Самопереключение солитонов в квадратично-нелинейных туннельно-связанных оптических волноводах. // Докл. РАН, 1998, 360, №5. С.616-621.

115. Atai Javid, Chen Yijiang, De Ridder René. Propagation of (2+1) dimensional solitary waves in dissipative active saturable nonlinear media. // J. Mod. Opt., 1997, 44, #9. P.1683-1691.

116. Fressengeas N., Maufey J., Kugel G. Temporal behavior of bidimensional photorefractive bright spatial solitons. // Phys. Rev. E., 1996, 54, #6. P.6866-6975.

117. Mihalache D., Mazilu D., Panoiu N.-C., Crasovan L., Baboiu

118. D.-M. Subpicosecond optical soliton transmission over long distances using soliton trapping. // Rom. J. Phys., 1995, 20, #10. P.1003-1007.

119. Aicklen Gregory H., Tamil Lakshman S. Soliton transmission in optical fibers with loss and saturable nonlinearity. //J. Opt. Soc. Amer. В., 1996, 13, #9. P.1999-2005.

120. Singh S.R., Carvalho N.I., Christodoulides D.N. Higher-order space charge field effects in the evolution of spatial solitons in biased photorefractive crystals. // Opt. Commun., 1996, 130, #4-6. P.288-294.

121. Essiambre René-Jean, Agrawal Gowind P. Timing jitter analysis for optical communication systems using ultra-short solitons and dispersion decreasing fibers. // Opt. Commun., 1996, 131, #4-6. P.274-278.

122. Bradley Piero J., De Augelis Constantino. Soliton dynamics and surface waves at the interface between saturable nonlinear dielectrics. // Opt. Commun., 1996, 130, #1-3. P.205-218.

123. Midrio Michele, Romagnolo Marco, Wabnitz Stefan, Franco Pierluigi. Relaxation of guiding center solitons in optical fibers. // Opt. Lett., 1996, 21, #17. P.1351-1355.

124. Hile Cheryl V., Kath William L. Numerical solutions of Maxwell equations for nonlinear-optics propagation. //J. Opt. Soc. Amer. В., 1996, 13, #6. P.1135-1145.

125. Segev Mordechai, Shih Ming-feng, Valley George C. Photorefractive screening soliti\ons of high and low intensity. //J. Opt. Soc. Amer. В., 1996, 13, #4. P.706-708.

126. Taya Minoru, Bashaw Matthew S., Fejer M.M., Segev Mordechai, Valley George C. Y junctions arising from dark solitons propagation in photovoltaic media. // Opt. Lett., 1996, 21, #13. P.943-945.

127. Сернин В.И., Шмидт Э.М., Беляева Т.JI., Марти-Панамено Э., Салазар X. Фемтосекундные максвелловские солитоны. 1. Моделирование динамики максвелловских солитонов на персональном компьютере. // Квант, электрон. (Москва), 1997, 24, №10. С.923-928.

128. Liu Hwei-Yuan, Wang Way-Seen. Novel power switch using oblique incidence to a nonlinear slab. // Appl. Phys. Lett., 1995, 66, #22. P.2955-2957.

129. Беланов A.C., Выслоух В.А., Коломейцева E.A., Кривенков В.И. Анализ динамики формирования тирринговских солитонов в периодически неоднородных волоконных световодах. // Изв. РАН. Сер. физ., 1996, 60, №12. С.39-45.

130. Kumar Ajit, Kumar Atul. Properties of bright solitons in averaged and unaveraged models for SDG fibers. // Opt. Commun., 1996, 125, #4-6. P.377-384.

131. Peng G.D., Malomed Boris A. Soliton collisions in a model of dual-core nonlinear optical fiber. // Phys. ser., 1998, 58, #2. P.149-158.

132. Chi Seen, Chen Chi-Feng, Dung Jeng-Cheng. Multiple soliton interactions in a polarization-division multiplexing system. // Opt. Commun., 1998, 147, #1-3. P.42-46.

133. Velchev I., Dreischuh A., Neshev D., Dinev S. Interaction of optical vortex solitons superimposed on a different background beams. // Opt. Commun., 1996, 130, #4-6. P. 385-392.

134. Akhmediev Nail, Buryak Alexander V. Interactions of solitons with oscillating tails. // Opt. Commun., 1995, 121, #4-6. P.109-114.

135. Bauer R.G., Melnikov L.A. Characteristics of soliton pulses in an optical fiber with a periodically modulated core diameter. // Laser Phys., 1995, 5, #4. P.892-898.

136. Wablitz S., Westin E. Optical fiber-soliton bound states and interaction suppression with high-order filtering. // Opt. Lett., 1996, 21, P.1235-1237.

137. Kumar Ajit, Kurz Thomas, Lauterborn Werner. Bistable solitons in triply doped fibers. // Phys. Lett. A., 1997, 235, #4. P.367-374.

138. Aparna C.S., Kumar Shiva, Sel vara jan A. Suppression of the soliton frequency shifts by nonlinear pairing of pulses. // Opt. Commun, 1996, 131, #4-6. P.267-273.

139. Borovskiy A.U., Zhileikin Ya.M., Osypik Yu.I., Makarova E.A. Filamentation instability of a plateaulike beam in a medium with a relativistic and charge-displacement nonlinearity. // Laser. Phys., 1997, 7, #2. P.485-487.

140. Turitsyn Sergey. Stability of an optical soliton with Gaussian tails. // Phys. Rev. E., 1997, 56, #4. P. R3784-R3787.

141. Mihalache Dumitru, Lederer Falk, Mozilu Dumitru. Multiple-humped bright solitary waves in 2-order nonlinear media. // Opt. Eng., 1996, 35, #6. P.1616-1623.

142. Itzuka Taeshi, Amie Hiroshi, Hasegawa Takahi, Matsuoka Chihiro. Simulation of envelope soliton scattering in discontinuous media. // J. Opt. Soc. Amer. Jap., 1996, 65, #10. P.3237-3241.

143. Fourso Dmitri, Emplit Philippe. Investigation of black-gray soliton interaction. // Phys. Rev. Lett., 1996, 77, #19. P.4011-4014.

144. Christou Jasou, Tikhonenko Vladimir, Kivshar Yuri S., Luther-Davies Barry. Vortex soliton motion and steering. / / Opt. Lett., 1996, 21, #20. P.1649-1651.

145. Chen Zhigang, Segev Mordechai, Coskun Tamer H., Christodoulides Demetrios N. Observation of incoherently coupled photorefractive spatial soliton pairs. // Opt. Lett., 1996, 21, #18. P.1436-1438.

146. Shik Ming-feng, Segev Mordechai, Salamo Greg. Circular waveguides induced by two-dimensional bright steady-state photorefractive spatial screening solitons. // Opt. Lett., 1996, 21, #13. P.931-933.

147. Громов E.M., Тюрин B.B. Стационарные волны, описываемые обобщенным уравнением Кортевега-де Вриза -Бюргерса. // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1997, 40, №10. С.1241-1248.

148. Frantzeskakis D.J., Hizanidis К., Polymilis С. Ultrashot solitary-wave propagation in dielectric media with resonance-dominated chromatic dispersion. //J. Opt. Soc. Amer. В., 1995, 12, #4. P.687-697.

149. Snyder A.W., Mitchell D.J., Buryak A. Qualitative theory of solitons: The soliton sketch. /'/ J. Opt. Soc. Amer. В., 1996, 13, #6. P.1146-1150.

150. David Yevick, Björn Hermansson. Soliton Analysis With The Propagating Beam Method. // Opt. Comm., 1983, 41, #2. P.101-105.

151. Колесников П.М. Введение в нелинейную электродинамику. Минск, 1971.

152. Ma J.C. Propagation Properties Of TE-Mode Soliton In Rectangular Waveguides With Nonlinear Dielectric. // Int. Infrared and MM waves, 1990, 11, #9. P.1033-1045.

153. Громов E.M., Таланов Е.И. Волны, описываемые высшими приближениями нелинейного уравнения Шредингера. / / Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1998, XLI, №2. С.222-241.

154. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М., 1974.

155. Неганов В.А., Болочагин В.Ю. Модифицированный метод обратной задачи рассеяния в теории нелинейных уравнений в частных производных. / / Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 1998, т.1, №2-3. С.51-54.

156. Болочагин В.Ю. О дискретном спектре обобщенного оператора рассеяния Захарова-Шабата для нелинейного уравнения Шредингера с потенциалом в виде прямоугольного импульса. // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 1998, т.1, №4. С.46-49.

157. Матвеев И.В., Неганов В.А., Болочагин В.Ю. Исследование нелинейного уравнения Шредингера методом Галеркина. // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 1998, т.1, №4. С.41-46.

158. Громов Е.М., Таланов В.И. Волны, описываемые высшими приближениями нелинейного уравнения Шредингера. / / Изв. ВУЗов. Радиофизика, t.XLI, №2. С.222-241.

159. Wadati М. // J. Phys. Soc. Jap., 1972, V.32. Р.1681.

160. Hirota R. // J. Phys. Soc. Jap., 1972, V.33. P.1456.

161. Каир D.J., Na well A.C. An exact solution for a derivative nonlinear Schrödinger equation. // J. Math. Phys., 1978, 19. P.798-801.

162. Chen H.H., Lee Y.C., Liu C.S. // Physica Scripta, 1979, V.20. P.490.

163. Anderson D., Lisak M. // Phys. Rev. A, 1983, V.27. P.1393.

164. Громов E.M., Таланов В.И. Нелинейная динамика коротких цугов волн в диспергирующих средах. // ЖЭТФ, 1996, т. 110, вып.1 (7). С.137-149.

165. Волобуев А.Н. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками. // Успехи физических наук, 1995, т.165, №2. С.177-186.