Моделирование систем с распределенными параметрами с помощью сетей радиальных базисных функций, обучаемых методом доверительных областей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Жуков, Максим Валерьевич

• Жуков, Максим Валерьевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Жуков, Максим Валерьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1.1 Анализ численных методов решения краевых задач

1.2 Анализ процесса решения краевых задач с помощью РБФ-сетей

1.2.1 РБФ-сеть, виды РБФ-сетей

1.2.2 Процесс решения краевых задач с помощью РБФ-сетей, выбор начальных параметров РБФ-сетей

1.2.3 Методы минимизации функционала ошибки РБФ-сети

1.2.4 Решение нелинейных и нестационарных краевых задач с помощью РБФ-сетей

1.3 Анализ методов решения обратных краевых задач с помощью РБФ-сетей

1.3.1 Граничные обратные задачи

1.3.2. Эволюционные обратные задачи

1.3.3. Коэффициентные обратные задачи

Выводы к главе 1

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ РБФ-СЕТЕЙ, ОБУЧАЕМЫХ МЕТОДОМ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ

2.1 Минимизация функционала ошибки РБФ-сети с помощью метода доверительных областей

2.1.1 Метод доверительных областей

2.1.2. Адаптация метода доверительных областей к задаче обучения РБФ-сетей

2.2 Решение краевых задач с помощью РБФ-сетей, обучаемых методом доверительных областей

2.2.1 Решение стационарных краевых задач

2.2.2. Сравнение метода доверительных областей с другими методами обучения РБФ-сетей при решении линейных стационарных

краевых задач

2.2.3. Сравнение метода доверительных областей с другими методами обучения РБФ-сетей при решении нелинейных стационарных

краевых задач

2.2.4. Решение нестационарных краевых задач с помощью РБФ-сетей,

обучаемых методом доверительных областей

2.2.5 Выбор начальных значений параметров РБФ-сетей, обучаемых методом доверительных областей

2.3. Решение обратных краевых задач с помощью РБФ-сетей, обучаемых методом доверительных областей

2.3.1. Решение эволюционных и граничных обратных задач с помощью РБФ-сетей, обучаемых методом доверительных областей

2.3.2. Метод решения коэффициентных обратных задач с помощью РБФ-сетей, обучаемых методом доверительных областей

2.3.3. Решение коэффициентных обратных задач для стационарных уравнений

2.3.4. Решение коэффициентных обратных задач для нестационарных уравнений

Выводы к главе 2

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ НЕЙРОСЕТЕВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3.1 Проектирование комплекса программ

3.2 Разработка комплекса программ

3.3 Использование комплекса программ

Выводы к главе 3

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОИМПЕДАНСНОЙ ТОМОГРАФИИ

С ПОМОЩЬЮ РБФ-СЕТЕЙ

4.1 Электроимпедансная томография: понятие, принципы

4.2 Постановка задачи ЭИТ

4.3 Анализ способов решения задачи ЭИТ

4.4 Решение задачи ЭИТ с помощью РБФ-сетей

Выводы к главе 4

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

СПИСОК ПРИНЯТЫХ СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ. Акты внедрения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование систем с распределенными параметрами с помощью сетей радиальных базисных функций, обучаемых методом доверительных областей»

ВВЕДЕНИЕ

Многие технические системы являются системами с распределенными параметрами (СРП) [5, 43]. В отличие от систем с сосредоточенными параметрами, состояние которых в заданный момент времени описывается конечным набором чисел, состояние СРП описывается бесконечным набором чисел, например функцией, зависящей от пространственных координат. Примером СРП являются сплошные среды, в которых протекают процессы массо-и/или энергопереноса [43].

Типичная форма представления СРП [9, 43] — представление в виде краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных (ДУЧП). В этом случае одним из этапов математического моделирования СРП является решение краевых задач [9, 49]. Среди методов их решения наибольшее распространение получили метод конечных разностей [13, 39, 47] и метод конечных элементов (МКЭ) [1, 31]. Оба метода требуют построения расчетных сеток, что для двумерных и трехмерных областей со сложной конфигурацией является сложной и трудоемкой задачей [51, 105]. Альтернатива сеточным методам — бессеточные методы, т.е. методы, которые не требуют построения связанной сетки, по крайней мере, для построения функции формы [115]. Большинство бессеточных методов относится к классу проекционных методов. При их применении аппроксимация решения представляется в виде взвешенной суммы базисных функций, веса которых выбираются таким образом, чтобы приближенное решение удовлетворяло краевой задаче в выбранных по определённому правилу узлах.

Среди бессеточных методов наибольший интерес вызывают методы на основе радиальных базисных функций (РБФ-методы), обладающие рядом достоинств: они позволяют работать со сложной геометрией расчетных областей, применимы для решения задач любой размерности, используют дифференциальную постановку задачи, универсальны [7, 9, 105]. В роли базиса в РБФ-методах выступают радиальные базисные функции (РБ-функции), т.е.

/

функции, значение которых зависит от расстояния между аргументом и некоторой фиксированной точкой пространства, называемой центром функции. Первый РБФ-метод решения краевых задач был разработан KansaE. J [106] и получил дальнейшее развитие в работах Chen С. S. и Golberg М. А. [73], Fasshauer G. Е. [85], Wu Z. М. [141], А. И. Толстых и Д. А. Широбокова [51] и др. Вопросами выбора параметров и настройки весов РБ-функций занимались Hardy R. L. [97], Franke R. [91], Galperin E. A., Rippa S [132].

В работах Mai-Duy N. и Tran-Cong Т. [117], Д. А. Тархова и А. Н. Васильева [7, 10], В. И. Горбаченко [3] и др. для решения краевых задач используются сети радиальных базисных функций (РБФ-сети) [55]. РБФ-сеть — это искусственная нейронная сеть, которая может рассматриваться как основа одного из РБФ-методов. В отличие от других РБФ-методов, данный метод позволяет унифицированно подходить к решению различных краевых задач математической физики [7, 34]. Его главной особенностью является то, что при аппроксимации решения настраиваются не только веса РБ-функций, но и, в общем случае, их параметры. Настройка весов и параметров происходит в процессе обучения сети и сводится к минимизации нелинейного квадратичного функционала ошибки. Применяемые в работах Д. А. Тархова и А. Н. Васильева [7], В. И. Горбаченко [3], Д. JI. Ревизникова и И. С. Колбина [34, 35], Jianyu L., Siwei L., Yingjiana Q. и Yapinga H. [104] методы минимизации являются методами нулевого либо первого порядка и требуют больших временных затрат. В работах Mai-Duy N. и Tran-Cong Т. [117] и ряда других авторов обучение РБФ-сетей осуществляется с помощью метода на основе SVD-разложения (Singular Value Decomposition) [53], однако, для использования данного метода при решении нелинейных задач, необходимо проводить линеаризацию исходной задачи, что приводит к резкому росту временной сложности метода. Таким образом, актуальной научной задачей является разработка метода обучения РБФ-сетей, позволяющего сократить время их обучения без увеличения погрешности модели.

Кроме того, моделирование СРП часто сопряжено с необходимостью идентификации неизвестных свойств среды (коэффициентная обратная задача) по

результатам дискретных измерений [48]. Для решения такого' рода задач с помощью РБФ-сетей в известных нейросетевых методах требуется построение и решение сопряженных задач [14]. Это нетривиальная задача, поэтому актуальной является разработка такого нейросетевого метода решения коэффициентных обратных задач, который не требует построения и решения сопряженных задач.

Целью диссертационной работы является развитие математического метода моделирования СРП на основе РБФ-сетей с настраиваемым функциональным базисом за счёт разработки метода обучения сетей, позволяющего сократить время их обучения без увеличения погрешности модели, а также за счёт разработки нейросетевого метода решения коэффициентных обратных задач, не требующего построения и решения сопряженных задач.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать такой метод обучения РБФ-сетей, используемых для моделирования СРП, который позволит сократить время их обучения без увеличения погрешности модели.

2. Адаптировать разработанный метод обучения РБФ-сетей к решению нелинейных и нестационарных краевых задач математической физики.

3. Разработать нейросетевой метод решения коэффициентных обратных задач, не требующий построения и решения сопряженных задач.

4. Реализовать разработанные методы в виде комплекса программ, предназначенного для нейросетевого моделирования СРП.

5. Решить с помощью разработанного комплекса программ задачу электроимпедансной томографии (ЭИТ), которая является коэффициентной обратной задачей.

Объектом исследования диссертационной работы являются численные методы решения краевых задач, используемые для математического

моделирования СРП.

Предмет исследования— численный метод решения краевых задач на основе РБФ-сетей с настраиваемым функциональным базисом.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались численные методы, теория оптимизации, теория искусственных нейронных сетей.

Соответствие паспорту специальности. Результаты исследования соответствуют пунктам 3, 4, 5 паспорта научной специальности 05.13.18.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Разработан новый метод обучения РБФ-сетей с настраиваемым функциональным базисом, используемых для математического моделирования СРП. Отличительной чертой метода является то, что минимизация функционала ошибки таких сетей осуществляется с помощью метода доверительных областей (МДО), причем для повышения его быстродействия используются приближенные значения матрицы Гессе и модифицированный предобуславливатель Якоби. Метод позволяет сократить время обучения сетей и уменьшить погрешность нейросетевых моделей.

2. Предложен способ сокращения временных затрат на обучение РБФ-сетей, используемых для численного решения нелинейных нестационарных краевых задач. Особенность способа заключается в поиске решения при помощи РБФ-сети с асимметричными базисными функциями. Это даёт возможность уменьшить размерность нейросетевого базиса, а, следовательно, сократить время обучения сети.

3. На основе метода параметрической оптимизации разработан итерационный нейросетевой метод идентификации свойств среды по результатам дискретных измерений (коэффициентная обратная задача). В отличие от известных нейросетевых методов, предложенный метод не требует построения и решения сопряженных задач, что существенно упрощает процесс решения исходной задачи. Ещё одной особенностью метода является применение условия Морозова для регуляризации решения, что позволяет избежать переобучения сети при использовании результатов измерений, заданных с погрешностью.

4. Разработан способ численного решения задачи ЭИТ, особенностью которого является использование предложенного в работе нейросетевого метода решения коэффициентных обратных задач, что при наличии априорной

информации о структуре объекта даёт возможность сократить количество измерений и, как следствие, время диагностики объекта. Кроме того, особенность способа заключается в использовании метода декомпозиции и специальной процедуры выбора начальных положений центров РБ-функций для уменьшения временных затрат на обучение комплекса РБФ-сетей, используемых для аппроксимации распределений потенциала и импеданса.

Практическая ценность работы. Разработанные метод обучения РБФ-сетей с настраиваемым функциональным базисом, способ сокращения временных затрат на обучение при численном решении нелинейных нестационарных краевых задач, нейросетевой метод идентификации свойств среды по результатам дискретных измерений, а также комплекс программ нейросетевого моделирования СРП могут быть использованы специалистами в области математического моделирования. Созданный комплекс программ позволяет проводить численные исследования математических моделей СРП, а также дальнейшие исследовательские работы, связанных с развитием нейросетевого метода моделирования СРП. Кроме того, практическую ценность имеет предложенный в работе способ численного решения задачи ЭИТ, позволяющий при наличии априорной информации сократить время диагностики объекта. Результаты диссертационного исследования могут быть использованы при составлении образовательных курсов по математическому моделированию и численным методам.

На защиту выносятся

1. Метод обучения РБФ-сетей с настраиваемым функциональным базисом, используемых для моделирования СРП, в основу которого положен модифицированный МДО.

2. Способ сокращения временных затрат при численном решении нелинейных нестационарных краевых задач с помощью РБФ-сетей за счёт использования асимметричных базисных функций.

' > 1 1 , , 1 • <

3. Нейросетевой метод идентификации свойств среды по результатам дискретных измерений, не требующий построения и решения сопряженных задач и использующий условие Морозова для регуляризации решения.

4. Комплекс программ нейросетевого моделирования СРП, предназначенный для численного решения краевых задач, описывающих СРП, с помощью РБФ-сетей.

5. Способ численного решения задачи ЭИТ на основе разработанного метода решения коэффициентных обратных задач.

Внедрение результатов работы и связь с научными программами.

Диссертационные исследования проводились на кафедре «Компьютерные технологии» ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет».

Результаты работы используются в ООО Научно-производственная компания «Надёжные системы», в учебном процессе при чтении курса «Нейронные сети и нечёткие системы» на кафедре «Компьютерные технологии» ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет», а также применялись при выполнении фундаментальных НИР по грантам РФФИ 14-01-00660 «Методы построения нейросетевых и гибридных моделей процессов и явлений в сложных технических системах» и 14-01-00733 «Информационные модели на основе иерархических гетерогенных нейронных сетей в исследовании влияния объектов транспортной инфраструктуры на окружающую среду», что подтверждено актами о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях: Вторая Международная научно-техническая конференция «Computational Intelligence» (Черкассы, Украина, 2013); XI Всероссийская научная конференция «Нейрокомпьютеры и их применение» (Москва, 2013); XXI Всероссийский семинар «Нейроинформатика, её приложения и анализ данных» (Красноярск, 2013); XIII Международная научно-техническая конференция «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» (Пенза, 2013); VIII Международная научно-техническая конференция посвященная 70-летию

Пензенского государственного университета «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем» (Пенза, 2013); I Международная научно-практическая конференция, посвященная 70-летию образования Пензенского государственного университета «Современные проблемы компьютерных наук» (Пенза, 2013); VII, VIII Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем» (Пенза, 2013, 2014). Результаты работы также докладывались на XVI Всероссийской научно-технической конференции «Нейроинформатика 2014» (Москва, 2014), проходившей в рамках научной сессии в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ», где доклад «Применение метода параметрической идентификации и сетей радиальных базисных функций для решения коэффициентных обратных задач математической физики» занял первое место в конкурсе «Молодых специалистов».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ [1527, 29, 30], в том числе 3 [16, 17, 30] — в журналах, рекомендованных ВАК РФ для представления результатов диссертационных исследований. В ФГБУ «Федеральный институт промышленной собственности» направлен пакет документов на государственную регистрацию комплекса программ нейросетевого моделирования СРП «RBFDiffSolver 1.0».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка принятых сокращений, списка литературы из 141 наименования и одного приложения. Общий объем работы составляет 150 страниц, из которых 129 страниц занимает основной текст диссертации, включающий 42 рисунка и 6 таблиц.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Математическое моделирование СРП — это процесс, состоящий из 5 этапов [49]. На первом этапе создается качественная модель, т.е. выявляются физические закономерности процесса или явления. Результаты первого этапа используются для создания математической модели. При моделировании СРП математическая модель, как правило, формулируется в виде краевой задачи для ДУЧП [9, 43]. Третий этап — изучение математической модели. Он включает в себя математическое обоснование модели, качественно и численное исследование модели. После этого проводятся сопоставление и интерпретация полученных результатов, а на заключительном этапе выявляются новые явления и закономерности.

Как показано во введении, данная работа посвящена развитию третьего этапа математического моделирования СРП, а именно развитию численного метода исследования моделей СРП на основе РБФ-сетей.

В 1.1 анализируются численные методы решения краевых задач, показано, что метод на основе РБФ-сетей является одним из наиболее перспективных методов решения краевых задач, описывающих СРП. В 1.2 — процесс решения краевых задач с помощью РБФ-сетей. В 1.3 анализируются нейросетевые методы решения трех видов обратных краевых задач, возникающих при моделировании СРП.

1.1 Анализ численных методов решения краевых задач

Получить точное аналитическое решение краевых задач возможно лишь в весьма ограниченном количестве случаев при использовании целого ряда допущений, негативно отражающихся на адекватности полученных результатов

„ ( \

[46,' 48]." В общем же случае краевые задачи решаются с помощью численных

методов.

Идеальный численный метод решения краевых задач для ДУЧП должен иметь высокий порядок точности, быть гибким по отношению к геометрии объекта, легко реализуемым и быть эффективным с вычислительной точки зрения [110]. Большинство широко используемых на сегодняшний день методов обычно удовлетворяют одному или нескольким приведенным критериям. С помощью метода конечных разностей [13, 39, 47] можно в узлах расчётной сетки получить решение высокой точности, но круг задач, решаемых с помощью данного метода, ограничен случаями сравнительно простых по геометрии расчетных областей, либо сводимым к таковым за счет преобразования координат. Спектральные методы [13] позволяют получить ещё более точный результат, но они накладывают серьезные ограничения на геометрию объекта. Особенно широкое распространение получили МКЭ [1, 13, 31] и метод конечных объемов [45]. Данные методы позволяют решать сложные инженерные задачи в реальных областях, но они более сложны в реализации по сравнению с методом конечных разностей. Самым главным недостатком всех рассмотренных выше методов является необходимость построения сеток, что для двухмерных и трехмерных областей со сложной геометрией является нетривиальной задачей [51, 105].

В последнее время интерес исследователей всё больше привлекают бессеточные методы [67, 115]. Несмотря на употребляемый термин, следует, тем не менее, понимать, что далеко не все методы, относящиеся к классу бессеточных, вообще не используют сетку при расчетах. Поскольку строгого устоявшегося определения бессеточных методов нет, будем следовать терминологии, используемой в [115] и определять бессеточные методы как методы, не требующие использования связной сетки, по крайней мере, для построения функций формы.

Если придерживаться классификации методов дискретизации краевых задач принятой в [1, 44], то большинство бессеточных методов относится к классу проекционных методов, т.е. методов, в которых аппроксимация решения ищется в

виде взвешенной суммы базисных функций, а веса функций выбираются таким образом, чтобы приближенное решение удовлетворяло краевой задаче, заданной в вариационной или дифференциальной формах, в выбранных по определенному правилу узлах.

Классифицировать бесчисленное количество бессеточных методов можно по нескольким признакам, вот лишь некоторые из них [51]:

1. используемая форма (вариационная или дифференциальная) постановки краевой задачи;

2. вид базисной функции: полином, РБ-функция, РБ-функция с компактным носителем, сплайн и др.;

3. способ дискретизации исходной задачи (коллокационный метод, метод Галёркина, метод наименьших квадратов, метод граничных элементов и др.).

Среди бессеточных методов распространение получили методы Element Free Galerkin Method [66], Meshless Local Petrov-Galerkin Method [64], Moving Least Squares Method [113], Point Interpolation Method [114], целые семейства методов Smoothed Particle Hydrodynamics [92], Multilayer Perceptron методы [98, 136], РБФ-методы [84, 126] и ряд других методов, детальный обзор которых можно найти в [84, 114]. Более того, как и для многих численных методов, обладающих определенными преимуществами и недостатками, для приведенных выше методов появился целый ряд комбинированных методов Radial Point Interpolation Method [116], Radial Basis Function Finite Difference Method [51], Smoothed Particle Hydrodynamics Level Set Method [111] и другие.

Если обратиться к статистике публикаций по бессеточным методам, то можно заметить устойчивую тенденцию роста интереса к РБФ-методам. Это и понятно, ведь РБФ-методы обладают рядом неоспоримых достоинств. В частности, в работах [105, 126] отмечаются следующие из них: имеют высокую сходимость (в некоторых случаях экспоненциальную), позволяют работать со сложной геометрией расчетных областей, применимы для решения задач любой размерности, используют дифференциальную постановку задачи. Но, пожалуй,

* « i • ' 1 i 1 i ' ' 1 самое главное преимущество данной группы методов — их универсальность [8,

9].

Отметим преимущества РБФ-методов перед другими сеточными и бессеточными методами. Результаты сравнения эффективности решения задач с простой геометрией с помощью МКЭ, метода конечных разностей и РБФ-методов можно найти в работах [34, 72, 86], где отмечается превосходство последних. При использовании методов Moving Least Squares Method, Point Interpolation Method, в которых в качестве базисных функций применяются полиномы, часто приходится сталкиваться с необходимостью обращения вырожденной матрицы. Это привело к появлению Radial Point Interpolation Method (один из РБФ-методов), в котором вместо полиномов используются РБ-функции. Методы Element Free Galerkin Method, Meshless Local Petrov-Galerkin Method требуют построения глобальных, либо локальных интеграционных схем и сложны в реализации, а методы семейства Smoothed Particle Hydrodynamics имеют специфичную область применения. Сравнительный анализ Multilayer Perceptron методов, т.е. методов, в которых аппроксимация решения находится с помощью многослойного персептрона, и РБФ-методов, проведенный в работах [78, 109] показал, что РБФ-методы позволяют получать более точное решение и требуют меньших вычислительных затрат на его поиск.

Как уже отмечалось выше, практически все численные методы помимо достоинств имеют и свои недостатки. РБФ-методы не исключение. Однако говорить о них нужно в контексте конкретного метода. Без притязаний на полноту рассмотрим основные из них.

Рассмотрение начнём с метода, предложенного Kansa (Kansa's method, Asymmetric Radial Basis Functions Collocation Method, Multiquadric Radial Basis Functions Method) в работе [107] и являющегося примером первого успешного применения РБ-функций для аппроксимации решений краевых задач. Дискретизация исходной задачи в Multiquadric Radial Basis Functions Method осуществляется с помощью метода коллокации, а в качестве базисных функций используются РБ-функции (несмотря на название метода, Multiquadric Radial

Basis Functions Method допускает использование любых РБ-функций, не только мультиквадриков). Использование РБ-функций позволило нивелировать главный недостаток метода коллокации: необходимость использования базисных функций порядка гладкости не меньше чем к, для ДУЧП порядка к [41].

Процесс решения краевых задач с помощью Multiquadric Radial Basis Functions Method рассмотрим на примере краевой задачи, заданной в операторной форме

Lu(x) = f(x), xeQ, (1.1)

Ви(х) = р(х), хедП, (1.2)

где и — искомое решение; L — дифференциальный оператор; оператор В задает граничные условия; Q — область решения; SQ — граница области;/и р — известные функции.

Из области решения выберем множество узлов коллокации ® = (х/ Luwiiс Ф u (х/ I^n-m+in^ 3Q} > гДе N — общее количество узлов, М — количество граничных узлов из дй,. Решение будем искать в виде

N _

uRBF(x) = YJwj(Pj(x) + wN+Р х е Q = Q u 8Q, (1.3)

7=1

где срj — РБ-функция; wA,.+1 — неизвестные коэффициенты (Wj — вес

N

функции ср j), причём ^ Wj = 0.

У=1

Как правило, каждая РБ-функция определяется центром с и шириной а.

Неизвестные коэффициенты в (1.3) находятся как решение системы

= (L4)

которая получается после подстановки (1.3) в (1.1), (1.2).

Заметим, что в общем случае узлы коллокации и центры РБ-функций могут не совпадать, а ширина быть различной для различных РБ-функций. Однако на практике, чтобы, во-первых, не получить вырожденную матрицу А, во-вторых, избавиться от трудоемкого процесса подбора параметров РБ-функций их центры размещают в узлах равномерной сетки с шагом h, покрывающей расчетную

область Q, а ширину выбирают одинаковую для всех РБ-функций в соответствие с h. При таком подходе в большинстве случаев матрица А окажется невырожденной и положительно определенной [101]. Обусловленность матрицы А зависит от количества используемых РБ-функций. С ростом их числа растёт точность решения, но обусловленность матрицы ухудшается, в результате возникает проблема выбора компромиссного решения [106]. Значение ширины

а = ¿zopt РБ-функций определяет точность решения. Оценки оптимальных

значений ширины можно найти в работах Hardy [97] — a°vi =0,815h, Franke [91]

— aopl =1,25DI y[Ñ ( D — диаметр окружности, в которую попадают все узлы коллокации). Однако, как показано в работе Rippa [132], все они справедливы

лишь для частных случаев. Там же предлагается алгоритм для вычисления aopt, тем не менее, его вычислительная сложность настолько высока, что в

большинстве работ aopt ищется методом подбора.

Сложности, связанные с доказательством разрешимости системы (1.4) привели к появлению альтернативного, симметричного подхода (Symmetric Radial Basis Functions Collocation Method, Hermite Radial Basis Functions Collocation Method) [85, 141]. В отличие от Multiquadric Radial Basis Functions Method, в котором используется интерполяция Ньютона, при симметричном подходе решение находится с помощью эрмитовой интерполяции, т.е. находится решение, которое удовлетворяет не только (1.1), (1.2), но и (1.1), (1.2) после действия на них некоторого линейного оператора К, например, оператора дифференцирования. Несмотря на то, что аппроксимируется не только решение задачи, размерность А остается неизменной за счет специальной процедуры расчета элементов матрицы. В результате получается положительная невырожденная матрица А.

С теоретической точки зрения симметричный подход более корректен, однако, на практике, его применение сопряжено с увеличением вычислительной сложности, более того в работе [85] показано, что точность симметричного подхода лишь незначительно превосходит точность ассиметричного.

' 1 ' J

, ¿ „ < ,, í » s \ i

Стремясь уменьшить вычислительную сложность симметричного подхода

Franke и Schaback [90] предложили использовать РБ-функции с компактным носителем. Это позволило перейти от коллокационной матрицы общего вида к ленточной. Franke и Schaback показали, что с уменьшением ленточной ширины, сходимость может быть увеличена только за счет увеличения N.

В работах [73] и [75] для решения краевых задач математической физики, которые описываются уравнением Гельмгольца или в которых оператор L является оператором Лапласа, по аналогии с методом граничных элементов для МКЭ, были предложены Method of Fundamental Solution и Boundary Knot Method. В обоих методах решение задачи (1.1), (1.2) определяется как u = up+ug, где ир

— частное решение задачи, удовлетворяющее (1.1), но не обязательно (1.2), a ug

— общее решение однородной задачи. Частное решение аппроксимируется с помощью РБ-функций, причем для определения весов и параметров функций используется Dual Reciprocity Method [73]. Общее решение ищется с помощью асимметричного либо симметричного метода коллокации. Различия между Method of Fundamental Solution и Boundary Knot Method проявляются при выборе точек расположения центров РБ-функций. В методе Method of Fundamental Solution, чтобы снизить вероятность получения вырожденной матрицы А, центры располагают за пределами области Q, причем, чем дальше они расположены от расчетной области, тем выше вероятность получить обратимую А, однако с ростом расстояния ухудшается обусловленность А. В Boundary Knot Method проблема вырожденности матрицы А решается за счет специальным образом выбранных базисных функций, центры которых расположены на границе области решения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Жуков, Максим Валерьевич, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

¡.Алексеев, Г. В. Численные методы математической физики. Введение в метод конечных элементов. Часть 1 / Г. В. Алексеев. - В.: Дальнаука, 1999. -130 с.

2. Арсенин, В. Я. Методы решения некорректных задач. Изд. 2-е / В. Я. Арсенин, А. Н. Тихонов. - М.: Наука, 1979. - 286 с.

3. Артюхина, Е. В. Бессеточные методы и их реализация на радиально-базисных нейронных сетях / Е. В. Артюхина, В. И. Горбаченко // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. - 2010. - № 11. - С. 4-10.

4. Беллман, Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи / Р. Беллман, Р. Калаба. - М.: Мир, 1968. - 184 с.

5. Бутковский, А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский - М.: Наука, 1975. - 568 с.

6. Буч, Г. Объектно-ориентированный анализ и проектирование с примерами приложений на С++. Второе издание / Г. Буч. - Бином, 1998. - 720 с.

7. Васильев, А. Н. Нейросетевое моделирование. Принципы, алгоритмы, приложения / А. Н. Васильев, Д. А. Тархов. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009. - 528 с.

8. Васильев, А. Н. 1ШР-сети и некоторые задачи математической физики / А. Н. Васильев, Д. А. Тархов // Сборник докладов Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям 8СМ'2004. - 2004. - Том 1. - С. 309-312.

9. Васильев, А. Н. Математическое моделирование систем с распределенными параметрами на основе нейросетевой технологии: дис. д-ра тех. наук: 05.13.18 / Васильев Александр Николаевич. - СПб, 2011. - 365 с.

Ю.Васильев, А. Н. Нейронные сети как новый универсальный подход к численному решению задач математической физики / А. Н. Васильев, Д. А. Тархов // «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. - М.: Радиотехника, 2004.-№7-8.-С. 111-118.

^

П.Васильев, А. Н. Нейросетевые подходы к решению краевых задач в многомерных составных областях / А. Н. Васильев, Д. А. Тархов // Известия ТРТУ. - 2004. - №9. - С. 80-89.

12. Васильев, А. Н. Расчет теплообмена в системе «сосуды-ткани» на основе нейронных сетей / А. Н. Васильев, Д. А. Тархов // «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. - 2006. - №7. - С. 48-53.

13. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов: Учебник для вузов. Изд. 3-е / В. М. Вержбицкий. - М.: Высшая школа, 2009. - 840 с.

14. Горбаченко, В. И. Нейрокомпьютерный алгоритм решения коэффициентных обратных задач / В. И. Горбаченко // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. Физико-математические науки. - 2011. - №26. - С. 366-373.

15. Горбаченко, В. И. Методы обучения сетей радиальных базисных функций, используемых для моделирования систем с распределенными параметрами / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Сборник статей IX Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем». — 2014. — С. 248-253.

16. Горбаченко, В. И. Обучение сетей радиальных базисных функций методом доверительных областей для решения уравнения Пуассона / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Информационные технологии. - 2013. - №9. - С. 6570.

17. Горбаченко, В. И. Подходы и методы обучения сетей радиальных базисных функций для решения задач математической физики / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. - 2013. - №9. - С. 12-19.

18. Горбаченко, В. И. Подходы к решению коэффициентных обратных задач на сетях радиальных базисных функций / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Сборник статей XIII Международной научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике». -2013.-С. 9-11.

19. Горбаченко, В. И. Применение метода параметрической идентификации для решения коэффициентных обратных задач математической физики / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков //Сборник материалов I Международной научно-практической конференции, посвященной 70-летию образования Пензенского государственного университета «Современные проблемы компьютерных наук». -2013.-С. 106-108.

20. Горбаченко, В. И. Применение метода параметрической идентификации и сетей радиальных базисных функций для решения коэффициентных обратных задач математической физики / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // XVI Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика 2014» с международным участием: сборник научных трудов. В 3-х частях. Часть 1. - 2014. - С. 70-78.

21. Горбаченко, В. И. Решение задачи электроимпедансной томографии с помощью сети радиальных базисных функций / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Сборник статей VIII Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем». - 2014. - С. 238243.

22. Горбаченко, В. И. Решение коэффициентной обратной задачи для нелинейного параболического уравнения с помощью сети радиальных базисных функций / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Сборник статей VIII Международной научно-технической конференции посвященной 70-летию Пензенского государственного университета «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем». - 2013. - С. 214220.

23. Горбаченко, В. И. Решение коэффициентной обратной задачи для эллиптического уравнения с помощью сети радиальных базисных функций / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Нейроинформатика, её приложения и анализ данных: Материалы XXI Всероссийского семинара. - 2013. - С. 75-79.

1 I

24. Горбаченко, В. И. Решение нелинейных задач математической физики с использованием сетей радиальных базисных функций / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Сборник статей VII Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем». -2013.-С. 250-256.

25. Горбаченко, В. И. Решение нелинейных нестационарных задач математической физики с использованием сетей радиальных базисных функций / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Нейроинформатика, её приложения и анализ данных: Материалы XXI Всероссийского семинара. - 2013. - С. 71-75.

26. Горбаченко, В. И. Численное решение полулинейных эллиптических уравнений с помощью сети радиальных базисных функций обученных методом доверительных областей / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // II М1жнародна науково-техшчна конференщя «Обчислювальний штеллект». - 2013. - С. 100— 101.

27. Горбаченко, В. И. Нейросетевой метод моделирования в электроимпедансной томографии / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сборник статей XIII Международной научно-технической конференции. - 2014. - С. 62-67.

28. Дэннис, Дж. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Дж. Дэннис, Р. Шнабель. - М.: Мир, 1988. - 440 с.

29. Жуков, М. В. Использование сетей радиальных базисных функций для решения эволюционных обратных задач математической физики / М. В. Жуков // Сборник статей XIII международной научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике». -2013.-С. 12-14.

30. Жуков, М. В. Решение коэффициентных обратных задач математической физики с помощью сетей радиальных базисных функций / М. В. Жуков // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. - 2014. - №2. - С. 32-39.

31.3инкевич, О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. / О. Зинкевич. - М.: Мир, 1975. - 542 с.

32. Измайлов, А. Ф. Численные методы оптимизации: Учебное пособие / А. Ф. Измайлов, М. В. Солодов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 304 с.

33. Колбин, И. С. Нейросетевой метод решения граничной обратной задачи для нестационарного уравнения теплопроводности / И. С. Колбин // Московская молодежная научно-практическая конференция «Инновации в авиации и космонавтике-2012». - М.: ООО «Принт-салон», 2012 - С. 239.

34. Колбин, И. С. Разработка методов математического моделирования на основе нормализованных радиально-базисных сетей: дис. к-та физ.-мат. наук: 05.13.18 / Колбин Илья Сергеевич. -М.: МАИ, 2013. - 105 с.

35. Колбин, И. С. Решение задач математической физики с использованием нормализованных радиально-базисных нейроподобных сетей / И. С. Колбин, Д. JI. Ревизников // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. - 2012. - №2. - С. 12— 19.

36. Колбин, И. С. Решение источниковых обратных задач математической физики с использованием нормализованных радиально-базисных сетей / И. С. Колбин // Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач: материалы Международной молодежной научной школы. - Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2012. - С. 85-88.

37. Корженевский, А. В. Использование искусственных нейронных сетей для решения обратных задач электроимпедансной и магнитоиндукционной томографии / А. В. Корженевский // Журнал радиоэлектроника. - 2001. - №12. -http://jre.cplire.ru/jre/dec01/index_e.html (электронный журнал).

38. Мартин, Р. С. Принципы, паттерны и методики гибкой разработки на языке С# / Р. С. Мартин, М. Мартин. - СПб.: Символ-плюс, 2011. - 768 с.

39. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. - М.: Наука, 1977.-456 с.

40. Мейер, Б. Объектно-ориентированное конструирование программных систем / Б. Мейер. - М.: Изд-во «Русская редакция». - 2005. - 1204 с.

41. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. - М.: Мир, 1981. - 216 с.

42. Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В. А. Морозов. - М.: Наука, 1987. - 240 с.

43. Першин, И. М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами / И. М. Першин. - Пятигорск, 2007. - 244 с.

44. Пугачёв, B.C. Лекции по функциональному анализу /B.C. Пугачёв - М.: Издательство МАИ, 1996. - 744 с.

45. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. - М.: Мир, 1980. -

616 с.

46. Рындин, Е. А. Методы решения задач математической физики: Учебное пособие / Е. А. Рындин. - Таганрог: Изд. ТРТУ, 2003. - 119 с.

47. Самарский, А. А. Теория разностных схем. 3-е издание, исправленное / А. А. Самарский. - М.: Наука, 1989. - 616 с.

48. Самарский, А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики: Учебное пособий. Изд. 3-е / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. - М.: Издетельство ЛКИ. 2009. - 480 с.

49. Свешников, А. Г. Лекции по математической физике / А. Г. Свешников, А. Н. Боголюбов, Кравцов В. В. - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 352 с.

50. Тархов, Д. А. Нейросетевые модели и алгоритмы / Д. А. Тархов. - М.: Издательство «Радиотехника», 2014. - 352 с.

51. Толстых, А. И. Бессеточный метод на основе радиальных базисных функций / А. И. Толстых, Д. А. Широбоков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. - Том 45, №8. - С. 1498-1505.

52. Убиенных, Г. Ф. Нейросетевая аппроксимация решений нелинейных краевых задач теории поля на основе методов декомпозиции области решения и РБФ-коллокации / Г. Ф. Убиенных // Вычислительные системы и технологии обработки информации: межвуз. сб. науч. трудов. - 2010. - Вып. 9(32). - С. 89-95.

53. Уоткинс, Д. Основы матричных вычислений / Д. Уоткинс. - М.: Бином, 2012.-664 с.

54. Фаулер, М. Рефакторинг. Улучшение существующего кода / М. Фаулер, К. Бек, Д. Брант, У. Апдайк, Д. Роберте, Э. Гамма. - СПб.: Символ-плюс, 2008. -432 с.

55. Хайкин, С. Нейронные сети: полный курс / С. Хайкин. - М.: Вильяме, 2006.-1104 с.

56. Цей, Р. Математическое моделирование и обратные задачи / Р. Цей, М. М. Шумафов // Вестник Адыгейского государственного университета. Естественно-математические и технические науки. - 2008. - №4. - С. 18-24.

57. Электропроводность // Физиотерапия. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http ://www. fizioterapiya. info/?page_id=6 5 9

58. Ягола, А. Г. Обратные задачи и методы их решения. Приложения к геофизике / А. Г. Ягола, В. Янфей, И. Э. Степанова, В. Н. Титаренко. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2014. - 216 с.

59. Adler, A. A Neural Network Image Reconstruction Technique for Electrical Impedance Tomography / A. Adler, R. Guardo // IEEE Trans. Med. Imag.. - 1994. -Vol. 13.-p. 594-600.

60. Akbarzadeh, M. R. Multichannel Impedance Pneumography for Apnea Monitoring / M. R. Akbarzadeh, W. J. Tompkins, J. G. Webster // Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. - 1990. - Vol. 12.-p. 1048-1049.

61. Alessandrini, G. Stability in crack determination from electrostatic measurements at the boundary-a numerical investigation / G. Alessandrini, E. Beretta, F. Santosa, S. Vessella // Inverse Problems. -1995. - No. 11. - p. 17-24.

62. Altova: UML Tool. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.altova.com/umodel.html

63. Aster, R. A. Parameter estimation and inverse problems. 2nd ed. / R. C. Aster, B. Borchers, С. H. Thurber. - Elsevier, 2013. - 356 p.

64. Atluri, S. N. A New Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) Approach in Computational Mechanics / S. N. Atluri, T. Zhu // Comput. Mech. - 1998. - Vol. 22. -p. 117-127.

65. Barber, D. C. Errors in Reconstruction of Resistivity Images Using a Linear Reconstruction Technique / D. C. Barber, B. H. Brown // Clinical Physics and Physiological Measurement. - 1988. - No. 9. - p. 101-104.

66. Belytschko, T. Element-free Galerkin Methods / T. Belytschko, Y. Y. Lu, L. Gu // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1994. - 37(2). - p. 229-256.

67. Belytschko, T. Meshless Methods: An Overview and Recent Developments / T. Belytschko, Y. Krongauz, D. Organ, M. Fleming, P. Krysl // Computers Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1996. - Vol. 139, Issue 1-4. - p. 3^17.

68. Benaim, M. On the functional approximation with normalized Gaussian units / M. Benaim // Neural Computation. - 1994. - Vol. 6. - p. 314-333.

69. Borcea, L. Electrical Impedance Tomography. Topical Review / L. Borcea // Inverse Problems. - 2002. - No. 18. - p. 99-136.

70. Bugmann, G. Normalized Radial Basis Function Networks / G. Bugmann // Neurocomputing (Special Issue on Radial Basis Function Networks). - 1998. - Vol. 16. -p. 97-110.

71. Calderon, A. P. On an Inverse Boundary Value Problem / A. P. Calderon // Seminar on Numerical Analysis and Its Applications to Continuum Physics. - 1980. -p. 65-73.

72. Chen, C. S. Discrete Projection Methods for Integral Equations / C. S. Chen, M. A. Golberg. - WIT Press, 1996. - 436 p.

73. Chen, C. S. The method of fundamental solutions for potential, Helmholtz and diffusion problems / C. S. Chen, M. A. Golberg // Boundary Integral Methods Numerical and Mathematical Aspects . - 1998. - Volume 1. - p. 103-176.

74. Chen, J. S. Radial basis collocation method and quasi-newton iteration for nonlinear elliptic problems / J. S. Chen, H. Y. Hu // Numerical Methods for Partial Differential Equations. - 2007, vol. 24. - No. 3. - p. 991-1017.

75. Chen, W. Boundary knot method for 2D and 3D Helmholtz and convection-diffusion problems under complicated geometry / W. Chen, Y. C. Hon // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2003. - Volume 56, Issue 13. - p. 1931-1948.

76. Cheney, M. Electrical Impedance Tomography / M. Cheney, D. Isaacson, J. Newell // SIAM Review. - 1999. - Vol. 41, No. 1. - p. 85-101.

77. Cheng, K. S. Electrode Models for Electric Current Computed Tomography / K. S. Cheng, D. Isaacson, J. C. Newell, D. G. Gisser // IEEE Trans. Biomed. Engrg.. -1989. - Vol. 26, Issue 9. - p. 918-924.

78. Choi, B. Comparison of generalizing ability on solving differential equations using backpropagation and reformulated radial basis function network / B. Choi, J. Lee // Neurocomputing. - 2009. - 73. - p. 115-118.

79. Colli-Franzone, P. A mathematical procedure for solving the inverse potential problem of electrocardiography. Analysis of the time-space accuracy from in vitro experimental data / P. Colli-Franzone, L. Guerri, S. Tentonia, C. Viganotti, S. Baruffi, S. Spaggiari, B. Taccardi // Mathematical Biosciences. - 1985. - p. 353-396.

80. Conn, A. R. Trust regions methods / A. R. Conn, N. M. Gould, P. L. Toint. -MPS-SIAM series on optimization, 2000. - 959 p.

81. Davidon, W. C. Variable metric method for minimization / W. C. Davidon // SIAM Journal on Optimization. - 1991. - Vol. 1. - p. 1-17.

82. Dehghan, M. A Numerical solution of the nonlinear Klein-Gordon equation using radial basis functions / M. A. Dehghan, A. Shokri // Computational and Applied Mathematics. - 2009. - Vol. 230(3). - p. 400-410.

83. EIDORS: Electrical Impedance Tomography and Diffuse Optical Tomography Reconstruction Software. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http ://eidors3 d. sourceforge .net/

84. Fasshauer, G. E. Meshfree Approximation Methods with Matlab / G. E. Fasshauer. - World Scientific Publishing Company, 2007. - 520 p.

85. Fasshauer, G. E. Solving Differential Equations with Radial Basis Functions: Multilevel Methods and Smoothing / G. E. Fasshauer // Advances in Computational Mathematics. - 1999. - Volume 11, Issue 2-3. - p. 139-159.

86. Fedoseyev, A. I. Continuation for Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations Discretized by the Multiquadric Method / A. I. Fedoseyev, M. J. Friedman,

E. J. Kansa // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2000. - Vol. 10, No. 2. -p. 481^92.

87. Fletcher, R. A New Approach to Variable Metric Algorithms / R. Fletcher // The Computer Journal. - 1970. - Vol. 13. - p. 317-322.

88. Fletcher, R. Function minimization by conjugate gradients / R. Fletcher, C. Reeves // Computer Journal. - 1964. - Vol. 7. - p. 149-154.

89. Fletcher, R. Practical Methods of Optimization Vol. 1: Unconstrained Optimization / R. Fletcher. - John Wiley & Sons, New York, 1987.

90. Franke, C. Solving Partial Differential Equations by Collocation Using Radial Basis Functions / C. Franke, R. Schaback // Applied Mathematics and Computation. -1998. - Vol. 93, Issue 1. - p. 73-83.

91. Franke, R. Scattered data interpolation: tests of some methods / R. Franke // Mathematics of Computation. - 1982. - Vol. 38(157). - p. 181-200.

92. Gingold, R. A. Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars / R. A. Gingold, J. J. Monaghan // Mon. Not. R. Astr. Soc. - 1977. - 181. -p. 375-389.

93. Gnuplot documentation. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.gnuplot.info/documentation.html

94. Gnuplot homepage. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.gnuplot.info

95. Gobel, J. С. The Three-dimensional Inverse Problem in Electric Current Computed Tomography: Ph. D. thesis / J. C. Goble. - Rensselaer Polytechnic Institute, New York, 1990.

96. Granot, Y. Frequency-Division Multiplexing for Electrical Impedance Tomography in Biomedical Applications / Y. Granot, A. Ivorra, B. Rubinsky // International Journal of Biomedical Imaging. - 2007. - Vol. 2007. - p. 9.

97. Hardy, R. L. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces / R. L. Hardy // Journal of Geophysical Research. - 1971. - Vol. 76(8). - p. 1905-1915.

98. He, S. Multilayer neural networks for solving a class of partial differential equations / S. He, K. Reif, R. Unbehauen // Neural Networks. - 2000. - 13. - p. 385396

99. Holder, David S. Electrical Impedance Tomography: Methods, History and Applications / David S. Holder. - London: Institute of Physic Publishing Ltd., 2005. -456 p.

100. Hon, Y. C. Domain Decomposition for Radial Basis Meshless Methods / Y. C. Hon, J. Li // Numeric Methods for PDE. - 2004. - Vol. 20, Issue 3. - p. 450^162.

101. Hon, Y. C. On unsymmetric collocation by radial basis functions / Y.C. Hon and R. Schaback // Applied Mathematics and Computation. - 2001. - 119(2-3). - p. 117-186.

102. Isaacson, D. Current Topics in Impedance Imaging / D. Isaacson, D. G. Gisser, J. C. Newell // Clinical Physics and Physiological Measurement. - 1989. - Vol. 8.-p. 39-46.

103. Isakov, V. Uniqueness and Stability in Multi-dimensional Inverse Problems / V. Isakov // Inverse Problems. - 1993. - Vol. 9. - p. 579-621.

104. Jianyu, L. Numerical solution of elliptic partial differential equation using radial basis function neural networks / L. Jianyu, L. Siwei, Q. Yingjiana, H. Yapinga // Neural Networks. - 2003. - 16(5/6). - p. 729-734.

105. Kansa, E. J. Motivation for using Radial Basis Function to solve PDEs / E. J. Kansa // [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.cityu.edu.hk/rbf-pde/files/overview-html.html

106. Kansa, E. J. Multiquadrics — a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics. I. Surface approximations and partial derivatives / E. J. Kansa // Computers & Mathematics with Application. - 1990. - Vol. 19(8).-p. 127-145.

107. Kansa, E. J. Multiquadrics — a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid dynamics-II. Solutions to hyperbolic, parabolic, and elliptic partial differential equations / E. J. Kansa // Computers and Mathematics with Applications. - 1990. - Vol. 9, No. 8 & 9. - p. 147-161.

108. Kansa, E. J. Preconditioning for Radial Basis Functions with Domain Decomposition Methods / E. J. Kansa, L. Ling // Mathematical and Computer Modelling. - 2004. - Volume 40, Issue 13. - p. 1413-1427.

109. Kumar, K. Multilayer perceptrons and radial basis function neural network methods for the solution of differential equations: A survey / M. Kumar, N. Yadav // Computers and mathematics with applications. -2011. - Vol. 62, Issue 10. - p. 37963811.

110. Larsson, E. A Numerical Study of some Radial Basis Function based Solution Methods for Elliptic PDEs / E. Larson // Computers and Mathematics with Application. - 2003. - Vol. 45, Issues 5-6. - p. 891-902.

111. Lee, E. S. Comparisons of weakly compressible and truly incompressible algorithms for the SPH mesh free particle method / E. S. Lee // J. Comput. Phys. -2008.-227.-p. 8417-8436.

112. Li, Z. Least-square-based radial basis collocation method for solving inverse problems of Laplace equation from noisy data / Z. Li, X.-Z. Mao // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2010. - Volume 84, Issue 1. - p. 1-26.

113.Liew, K. M. Complex variable moving least-squares method: a meshless approximation technique / K. M. Liew // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 2007. - Vol. 70. -p. 46-70.

114. Liu, G. R. A local point interpolation method for stress analysis of two-dimensional solids / G. R. Liu, Y. T. Gu // Struct. Eng Mech. -2001. - 11 (2). -p. 221236.

115. Liu, G. R. Mesh free methods: moving beyond the finite element method / G. R. Liu. - CRC Press, 2003. - 712 p.

116. Liu, G. R. Point interpolation method based on local residual formulation using radial basis functions / G. R. Liu, L. Yan, J. G. Wang, Y. T. Gu // Struct. Eng Mech. - 2002. - 14(6). - p. 713-732.

117. Mai-Duy, N. Numerical solution of differential equations using multiquadric radial basis function networks / N. Mai-Duy, T. Tran-Cong // Neural Networks 14 (2001).-2001.-p. 185-199.

118. Malmivuo, J. Bioelectromagnetism: Principles and Applications of Bioelectric and Biomagnetic Fields / J. Malmivuo, R. Plonsey. - New York, Oxford: Oxford University Press, 1995. - 512 p.

119. Math.Net Project. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.mathdotnet.com/

120. Math Works - MATLAB and Simulink for Technical Computing. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.mathworks.com

121. MATLAB Builder NE. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.mathworks.com/products/netbuilder/

122. Mindjet MindManager - Mind Map Software. [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http://www.mindjet.com/mindmanager/

123. Murai, Т. Electrical Impedance Computed Tomography Based on a Finite Element Model / T. Murai, Y. Kagawa // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 1995. - No. 3, Vol. 32. - p. 177-184.

124. Optimization Software - Optimization Toolbox. [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http://www.mathworks.com/products/optimization/

125. Parker, R. L. The inverse problem of resistivity sounding / R. L. Parker // Geophysics. - 1984. - Vol. 49, No. 12. - p. 2143-2158.

126. Platte, R. B. Accuracy and Stability of Global Radial Basis Function Methods for the Numerical Solution of Partial Differential Equations for Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations Discretized by the Multiquadric Method: Ph.D. thesis / R. B. Platte. - University of Delaware, 2005. - 144 p.

127. Polak, E. Note sur la convergence de methodes de directions conjuguées / E. Polak, G. Ribiere // Rev. Française Informat. Recherche Opérationnelle. - 1969. - Vol. 3.-p. 35-43.

128. Polydorides, N. Image Reconstruction Algorithms for Soft-Field Tomography: Ph.D. thesis / N. Polydorides. - Manchester, United Kingdom: UMIST, 2002.-250 p.

129. Powell, M. J. D. How bad are the BFGS and DFP Methods When the Objective Function is Quadratic / M. J. D. Powell // Mathematical Programming. -1986.-Vol. 34.-p. 34-47.

130. Ramirez, A. Detection of leaks in underground storage tanks using electrical resistance methods / A. Ramirez, W. Daily, B. Binley, D. LaBreque, D. Roelant // Journal of Environmental & Engineering Geophysics. - 1996. -No. 3, Vol. 1. - p. 189203.

131. Ramirez, A. Monitoring an underground steam injection process using electrical resistance tomography / A. Ramirez, W. Daily, D. LaBreque, E. Owen, D. Chesnut // Water Resources Research. - 1993. - Vol. 29, Issue 1. - p. 73-87.

132. Rippa S. An algorithm for selecting a good value for the parameter c in radial basis function interpolation / S. Rippa // Advances in Computational Mathematics. - 1999. - Vol. 11(2-3). - p. 193-210.

133. Santosa, F. A method for imaging corrosion damage in thin plates from electrostatic data / F. Santosa, P. Kaup, M. Vogelius // Inverse Problems. - 1996. - No. 12.-p. 279-293.

134. Savitha, R. A Fully Complex-valued Radial Basis Function Network and Its Learning Algorithm / R. Savitha, S. Suresh, N. Sundarajan // International journal of neural systems. - 2009. - Vol. 19, Issue 4. - p. 253-267.

135. Seo, J. K. Nonlinear Inverse Problems in Imaging / J. K. Seo, E.J. Woo. -Willey, 2012.-376 p.

136. Smaoui, N. Modelling the dynamics of nonlinear partial differential equations using neural networks / N. Smaouil, S. Al-Enezi // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2004. - 170. - p. 27-58.

137. Somersalo, E. Existence and Uniqueness for Electrode Models for Electric Current Computed Tomography / E. Somersalo, M. Cheney, D. Isaacson // SIAM Journal of Applied Methematics. - 1992. - Vol. 52. - p. 1023-1040.

138. Staihaug, T. The conjugate gradient method and trust region in large scale optimization / T. Staihaug // Society for industrial and applied mathematics. - 1983. - p. 34-41.

139. Vauhkonen, M. Electrical impedance tomography and prior information: Ph.D. thesis / M. Vauhkonen. - Kuopio University Publications, 1997. - 110 p.

140. Visual Studio Professional. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.visualstudio.com/products/visual-studio-professional-with-msdn-vs

141. Wu, Z. M. Hermite-Birkhoff Interpolation of Scattered Data by Radial Basis Functions / Z. M. Wu // Approximation Theory with Application. - 1992. - Vol. 8, No 2.-p. 1-10.