Моделирование стоксовых течений и динамики деформируемых капель масштабируемым методом граничных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Абрамова, Ольга Александровна

• Абрамова, Ольга Александровна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Абрамова, Ольга Александровна

Содержание

Введение

1. Обзор литературы и математическая модель

1.1. Теоретические и экспериментальные исследования течений в стоксовом режиме

1.2. Численное моделирование динамики дисперсных систем при малых числах Рейнольдса

1.3. Применение эффективных методов и высокопроизводительных вычислений для моделировании стоксовых течений

1.4. Изучение реологических свойств эмульсий

1.5. Математическая модель

2. Методы решения

2.1. Метод граничных элементов

2.2. Гранично-интегральная формулировка

2.3. Дискретизация поверхностей и вычисление геометрических характеристик

2.4. Вычисление граничных интегралов

2.4.1. Представление граничных интегралов в задаче о динамике капель эмульсии в неограниченной области

2.4.2. Представление граничных интегралов в задаче о периодическом течении вязкой жидкости в канале произвольной формы

2.5. Интегрирование по времени и стабилизация сетки

3. Алгоритмическое и аппаратное ускорение методов решения

3.1. Быстрый метод мультиполей

3.1.1. Основы быстрого метода мультиполей

3.1.2. Быстрый метод мультиполей для уравнений Стокса

3.2. Использование высокопроизводительных вычислительных систем

3.2.1. Разработка модуля умножения матрицы на вектор на графических процессорах

3.2.2. Реализация быстрого метода мультиполей на гетерогенных вычислительных системах

3.2.3. Исследование производительности модуля гетерогенного быстрого метода мультиполей

3.3. Разработка эффективного итерационного метода решения системы линейных алгебраических уравнений

4. Исследование динамики капель эмульсии в неограниченной области

4.1. Валидация результатов моделирования динамики деформируемых капель

4.2. Моделирование движения разбавленной эмульсии под действием сдвигового потока

4.3. Расчет реологических характеристик для различных типов эмульсий

4.3.1. Валидация метода определения реологических характеристик

4.3.2. Результаты расчетов для упорядоченной эмульсии

4.3.3. Результаты расчетов для полидисперсной эмульсии

5. Течение деформируемых капель эмульсии и вязкой жидкости в каналах различных форм

5.1. Результаты расчетов движения деформируемых капель в цилиндрическом канале. Сравнение с экспериментальными данными

5.2. Исследование образования вихрей при течении вязкой жидкости

в канале переменного кругового сечения

5.3. Результаты моделирования движения деформируемых капель в канале переменного кругового сечения

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование стоксовых течений и динамики деформируемых капель масштабируемым методом граничных элементов»

Введение

Исследование динамики дисперсных систем в различных областях является актуальной проблемой современной науки и техники. Пример таких систем представляют эмульсии, которые встречаются во многих отраслях промышленности: нефтегазовой, строительной, автомобильной, пищевой, биотехнологии, медицине, а также в микро и нанотехнологиях. В нефтяной области эмульсии возникают практически на каждом этапе добычи, переработки и транспортировки нефтяного сырья, например, в потокоотклоняющих технологиях, при глушении скважин и для выравнивания профиля приемистости скважин.

Изучение взаимодействия большого количества деформируемых капель особенно важно для прогнозирования реологических свойств систем "жидкость-жидкость" и выявления различных эффектов при их движении например, в микроканалах, моделирующих пористый пласт. Кроме того, можно отметить, что многие пищевые продукты также представляют собой дисперсные системы [8]. Переработка высококонцентрированных пищевых эмульсий сопровождается различными физико-химическими и механическими процессами, изучение которых позволяет лучше контролировать свойства системы и эффективно управлять технологическим циклом производства. В медицине и биофизике задача о течении капель в микроканалах произвольной формы является моделью процессов, происходящих при движении клеток крови по разветвленным сетям капилляров. Моделирование стоксовых течений в различных областях имеет значение также для микрогидродинамики при создании лабораторий-на-чипе.

В то же время, существует весьма ограниченное количество решений подобных задач. Проведение лабораторных исследований по изучению динамики капель эмульсий в микроканалах в широком диапазоне значений различных параметров, влияющих на физические свойства всей системы в целом, дорогостояще и трудновыполнимо. Компьютерное моделирование позволяет планировать, частично заменять и существенно дополнять эксперименты.

Актуальность численных экспериментов по прямому моделированию дисперсных систем также обусловлена необходимостью более подробного описания некоторых явлений, возникающих при движении эмульсий. Например, к ним относится эффект, возникающий при движении водонефтяных эмульсий в микроканалах, который заключается в том, что течение эмульсий со временем прекращается, несмотря на постоянно действующий перепад давления [2,3]. Для практики нефтедобычи этот эффект имеет как положительные, так и отрицательные стороны, которые влияют на величину дебита скважин, но его механизм до сих пор не изучен.

Применяемые в настоящее время подходы к компьютерному моделированию движения деформируемых капель одной жидкости в объеме другой жидкости в стоксовом режиме, в большинстве своем имеют ряд ограничений, связанных с размером изучаемых процессов, скоростью проведения расчетов, а также с геометрией рассматриваемых областей. Задачи большой вычислительной сложности возникают, когда для описания динамики системы требуется малый шаг по времени и большое количество дискретных элементов. Они типичны для трехмерного моделирования таких явлений, как

• взаимодействие двух или более близкорасположенных капель;

• течение большого числа капель;

• течение в каналах произвольной формы;

Все это делает важным разработку и развитие новых подходов к вычислительным методам гидродинамики на основе современных технологий и комбинации высокопроизводительных методов, которые позволят преодолеть указанные выше ограничения.

Цели и задачи исследования. Целью настоящей работы является выявление закономерностей динамики трехмерных стоксовых течений двух вязких несме-шивающихся жидкостей в случае, когда одна из жидкостей присутствует в другой в виде деформируемых капель, как в неограниченной области, так и в микроканалах произвольной формы.

В соответствии с поставленной целью в рамках данной работы решены следующие задачи

1) разработка алгоритмической базы и программного комплекса, реализующего прямое численное моделирование трехмерных течений эмульсий в стоксо-вом режиме в различных областях, на основе метода граничных элементов, ускоренного иерархическим быстрым методом мультиполей на гетерогенных вычислительных архитектурах;

2) проведение валидации и исследование производительности реализованного подхода к численному моделированию капельных течений Стокса;

3) изучение динамики деформируемых капель в сдвиговом потоке, расчет компонент тензора напряжений и относительной вязкости различных типов эмульсий, а также анализ их зависимости от параметров рассматриваемой дисперсной системы;

4) моделирование движения деформируемых капель в различных каналах, исследование влияния стенок каналов на форму капель;

5) изучение особенностей образования вихрей при медленном течении вязкой жидкости в микроканалах переменного кругового сечения.

Основные положения, выносимые на защиту

1) вычислительная технология определения и результаты исследования относительной вязкости и разностей нормальных напряжений различных типов слабо концентрированных эмульсий и изучения поведения деформируемых капель в сдвиговом потоке;

2) результаты моделирования динамики смеси двух жидкостей капельной структуры в микроканалах переменного сечения в стоксовом режиме;

3) результаты изучения закономерностей медленного течения вязкой жидкости в микроканалах переменного кругового сечения;

4) подход к численному моделированию трехмерных медленных течений деформируемых капель эмульсий на основе метода граничных элементов, объединенного с гетерогенным иерархическим быстрым методом мультиполей;

5) алгоритм ускорения сходимости итерационного метода решения системы линейных алгебраических уравнений, возникающей при моделировании течений Стокса в микроканалах произвольной формы.

Научная новизна работы состоит в

1) расчете относительной вязкости и компонент тензора напряжений и исследовании их зависимости от изменения капиллярного числа для различных типов слабо концентрированных эмульсий;

2) исследовании особенностей образования вихрей при течении вязкой жидкости, а также изучении динамики деформируемых капель в микроканалах переменного сечения;

3) разработке алгоритма и проведении трехмерного моделирования движения большого количества деформируемых капель эмульсии в стоксовом режиме. Для решения такой задачи метод граничных элементов объединен с иерархическим быстрым методом мультиполей, реализованном на гетерогенных вычислительных архитектурах;

4) модификации метода граничных элементов для трехмерного моделирования стоксовых течений в микроканалах произвольной формы;

5) создании методики ускорения сходимости итеративного метода решения системы линейных уравнений при моделировании капельных течений и течения вязких жидкостей в стоксовом режиме в микроканалах произвольной формы.

Достоверность результатов, полученных в рамках настоящей диссертации, обеспечивается корректностью применяемой математической модели, основанной на законах сохранения механики сплошных сред. Проведение ряда различных сравнительных расчетов показало,лто результаты находятся в соответствии с аналитическими решениями, экспериментальными данными, а также численными результатами, полученными другими авторами. Научная и практическая значимость работы.

Разработанный эффективный подход к решению класса задач гидродинамики, описывающих поведение смеси двух вязких жидкостей капельной структуры в стоксовом режиме, позволяет детально исследовать поведение эмульсий в различных областях, включая взаимодействие капель, изучать различные эффекты при течении в каналах произвольных несимметричных форм, а также предсказывать микроструктуру и реологические свойства различных типов эмульсий.

Реализованный вычислительный аппарат может быть применен для решения широкого класса задач, связанных с течениями эмульсий в микро и наномас-штабах. Он также может быть использован для установления замыкающих соотношений при моделировании течений систем "жидкость-жидкость" на основе континуального подхода в макромасштабах.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 148 страниц с 65 рисунками и 5 таблицами. Список литературы содержит 136 наименований.

Во введении показана актуальность выбранной темы диссертации, сформулированы цели исследования, обоснована научная новизна, достоверность полученных результатов и их практическая значимость, перечислены положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлен обзор существующих на данный момент теоретических, экспериментальных и численных исследований, посвященных изучению медленных течений деформируемых капель одной вязкой жидкости в другой в различных областях. Обозначены две задачи, рассматриваемые в рамках данной работы, и представлена используемая математическая модель на основе уравнений Стокса с соответствующими граничными условиями.

Вторая глава посвящена описанию применяемой численной методики, в основе которой лежит метод граничных элементов. Представлена гранично-интегральная формулировка для исследуемых задач о течении капель эмульсии в неограниченной области и периодическом течении в канале произвольной формы. Приведено краткое изложение используемых методов дискретизации поверхностей моделируемых областей и вычисления их геометрических характеристик, а также особенностей нахождения~сингулярных частей граничных интегралов и интегрирования по времени.

В третьей главе описываются способы ускорения расчетов и увеличения масштаба моделируемых задач. Кратко изложены основные идеи реализации иерархического быстрого метода мультиполей (FMM) для уравнений Стокса, показаны возможности и результаты использования гетерогенных вычислительных архитектур, состоящих из многоядерных CPU и графических процессоров, как при распараллеливании прямого матрично-векторного произведения, так и применение такого подхода к ускорению FMM. Представлена оригинальная раз-

работка эффективного итерационного метода решения системы линейных алгебраических уравнений для задачи о течении в каналах произвольной формы на основе использования гетерогенного БММ пониженной точности в предобуслав-ливателе.

В четвертой главе рассматривается задача о динамике деформируемых капель эмульсии под действием однородного течения. Представлено сравнение результатов моделирования обтекания неподвижной сферической капли внешним потоком с аналитическим решением. Также получено хорошее согласование при сопоставлении рассчитанных значений деформации и положения капли в сдвиговом потоке при различных параметрах с аналитическим решением в рамках теории малых деформаций, известными экспериментальными данными и расчетами других авторов.

Приведены результаты моделирования относительного движения двух близко расположенных капель в сдвиговом потоке с очень большим количеством треугольных элементов на поверхности каждой капли, а также динамики более чем десяти тысяч деформируемых капель в сдвиговом потоке. Описан способ расчета компонент тензора напряжений систем "жидкость-жидкость", исследована зависимость относительной вязкости и разностей нормальных напряжений различных типов слабо концентрированных эмульсий от изменения различных параметров жидкостей.

В пятой главе рассматриваются результаты моделирования задачи о периодическом течении вязкой жидкости и смеси двух жидкостей капельной структуры в каналах произвольной формы. Сопоставление расчетов течения жидкости в цилиндрическом канале с аналитическим решением для течения Пуазейля показало хорошее совпадение результатов. Также представлено сравнение рассчитанной стабильной деформированной формы и относительной скорости капли в потоке с экспериментальными данными для случая движения капли в цилиндрическом канале. Исследована деформация капель различного начального радиуса при движении в цилиндрическом канале и в канале переменного кругового сечения. Представлены результаты изучения особенностей образования вихрей при медленном течении вязкой жидкости в расширяющейся части каналов переменного кругового сечения.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в ходе исследования и выносимые на защиту.

Апробация работы.

Основные результаты, представленные в работе, докладывались в Центре "Микро- и наномасштабная динамика дисперсных систем" Башкирского Государственного Университета на семинарах, проводимых под руководством академика РАН Р. И. Нигматулина, д.ф-м.н. Н. А. Гумерова и д.ф-м.н., проф. И. Ш. Ахатова (г. Уфа, 2012-2014), на семинаре лаборатории "Механика многофазных сред" Института механики МГУ им. М. В. Ломоносова, проводимом под руководством д.ф-м.н., проф. А. Н. Осипцова (г. Москва, июнь 2014), на семинаре "Вычислительные методы и математическое моделирование" Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН под руководством чл.-корр. РАН Ю. П. Попова и профессора М. П. Галанина (г. Москва, июнь 2014), на семинаре в Институте механики им. Р. Р Мавлютова УНЦ РАН под руководством д.ф-м.н., проф. С. Ф. Урманчеева (г. Уфа, сентябрь 2014), на семинаре кафедры прикладной информатики и численных методов БашГУ под руководством д.ф.-м.н., проф. Н. Д. Морозкина (г. Уфа, 2012), рабочих семинарах в Институте передовых компьютерных исследований Университета Штата Мэриленд (США, г. Колледж Парк, 2012, 2013), на XIV Всероссийской молодежной школе-конференци с международым участием "Современные проблемы математического моделирования" (п. Абрау-Дюрсо, 2011), на Международной школе-конференции "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (г. Уфа, 2011, 2012), на Международной научной конференции "Параллельные вычисления и технологии" (г. Новосибирск, 2012), на Международной конференции по численным методам в многофазных течениях (ICNMMF'2012) (США, г. Стейт-Колледж, 2012), на V Российской конференции с международным участием "Многофазные системы: теория и приложения", посвященной 20-летию со дня основания Института Механики УНЦ РАН (г. Уфа, 2012), на Всероссийской молодежной научно-практической конференции "Актуальные вопросы науки и образования" (г. Уфа, 2013), на международном конгрессе ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition (США, г. Хьюстон, 2012, США, г. Сан-Диего, 2013), на конкурсе молодых ученых в Институте механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН (г. Уфа, апрель 2014), на Международной школе-конференции "Динамика дисперсных систем" (г. Уфа, июнь 2014).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 26 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 2 -

в изданиях, приравненных к публикациям в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, 10 - в тезисах докладов конференций.

По результатам работы получено два свидетельства о регистрации программы для ЭВМ

• Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013612089 "8302Р - программный модуль для трехмерного исследования динамики двухфазной жидкости";

• Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2014611740 "83Б2С11 - трехмерное исследование динамики эмульсий в каналах различных форм".

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д. ф.-м. н. Н. А. Гумерову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, д. ф.-м. н., проф. И. Ш. Ахатову за ценные замечания, Ю. А. Иткуловой за помощь в разработке некоторых программных модулей, сотрудникам Центра "Микро-и наномасштабная динамика дисперсных систем", БашГУ и д. ф.-м. н., проф. С. Ф. Урманчееву за оказанную поддержку при подготовке диссертации.

Глава 1.

Обзор литературы и математическая модель

В последние десятилетия все большее внимание уделяется изучению поведения и свойств дисперсных систем, что является актуальной проблемой современной науки и техники. Под дисперсными системами понимаются гетерогенные системы, состоящие из двух или более несмешивающихся веществ с четкой границей раздела между ними, причем не реагирующих химически друг с другом. Такие смеси состоят из сплошной непрерывной дисперсионной среды и распределенных в ней частиц (дисперсной среды). Многообразие дисперсных систем обусловлено тем, что образующие их компоненты могут находиться в любом из трех агрегатных состояний [6]. Пример таких систем представляют эмульсии (взвесь капель одной жидкости в объеме другой жидкости) или суспензии (твердые частицы, распределенные в жидкости), которые встречаются в медицине и во многих отраслях промышленности: нефтяной, пищевой, строительной, автомобильной, биотехнологии, фармацевтической, агрохимической, а также в микро и нанотехнологиях. Возможность предсказания свойств водоне-фтяных эмульсий имеет неоценимое значение при ускорении процесса добычи нефти из пористого пласта, сепарации нефти от воды и прочих примесей, обработке и транспортировке сырья. С точки зрения медицины и биофизики необходимость изучения движения систем "жидкость-жидкость" в каналах различных форм обусловлена схожестью происходящих процессов с движением клеток крови по разветвленным сетям капилляров [49]. В ряде работ, содержащих достаточно подробный обзор литературы, можно найти описание применения численного моделирования динамики эмульсий в микроканалах. Например, при изучении механики биологических жидкостей в гибких трубках [44], течения

полимерных растворов в различных областях с сужениями [42], а также при разработке "лабораторий на чипе" (lab-on-chip) [111], применяющихся, к примеру, для изучения многостадийных био-химических процессов. В то же время, в этих статьях показано, что количество решений подобных задач очень ограничено, а численное моделирование трехмерных течений Стокса в каналах произвольной геометрии достаточно сложно.

1.1. Теоретические и экспериментальные исследования течений в стоксовом режиме

Изучение особенностей и свойств смесей жидкостей капельной структуры под действием различных внешних сил продолжительное время вызывает интерес широкого круга исследователей. Первое аналитическое решение для течений Стокса около сферической капли, по-видимому, было получено Адамаром и Рыб-чинским [16]. Теоретическому изучению поведения жидких капель в сдвиговом потоке посвящено немало работ [19,26,27,114,115]. Тейлор в [114] впервые обсуждает деформацию и ориентацию в пространстве вязких капель в сдвиговом потоке с учетом соотношения вязкостей жидкостей, а также сил поверхностного натяжения. Рассматривалось влияние вязких сил при преобладании их над эффектами поверхностных сил и наоборот. Полученная модель была успешно сопоставлена с соответствующими экспериментальными данными для небольших деформаций [115], но не описывала деформацию капель в сдвиговом потоке когда оба этих эффекта принимаются во внимание в равной степени. Теоретический анализ в работе [27] представляет улучшенную, по сравнению с результатами Тейлора, аппроксимацию формы капли в стационарном сдвиговом потоке. В [26] получены аналитические формулы для определения формы и ориентации относительно потока жидких капель, применимые для различных вязкостей при небольших конечных деформациях. В [19] представлен теоретический способ предсказания деформации и условий разрыва капель, свободно распределенных в сдвиговом потоке.

Аналитическое решение для движения сферы в присутствии твердой стенки при малых числах Рейнольдса впервые было получено Лоренцом [70], использовавшим метод отражений. Описание некоторых ранних решений задач о движении жидкой сферы между параллельными пластинами и в других областях

можно найти в [16]. Также существует ряд исследований динамики частиц в стоксовом режиме в присутствии одной или двух стенок, в которых представлены результаты при некоторых допущениях и ограничениях. Например, решения в биполярных координатах и асимптотические теории для случая движения твердых сфер вблизи бесконечной пластины и обтекания сферы сдвиговым потоком [38,39,85].

Наиболее естественным путем изучения поведения капель эмульсий является экспериментальный подход. Поэтому параллельно с развитием теории описания капель в различных потоках проводились лабораторные эксперименты, с которыми многие модели были успешно сопоставлены. В работе [96] изучалась деформация и дробление жидких капель под действием простого сдвигового потока. Исследование данных процессов проводилось экспериментально в [118]. При лабораторном изучении движения капель в различных ограниченных областях возникает немало интересных эффектов, которые требуют более глубокого изучения, как например миграция капель относительно осевой линии потока, деформация и разрушение капель. Миграция частиц при движении разбавленной суспензии в цилиндрическом канале при отсутствии влияния силы тяжести при малых числах Рейнольдса впервые была обнаружена в работах [104,105]. Экспериментально было показано, что частицы в потоке двигаются от стенок и осевой линии потока, стремятся занять стабильное положение на расстоянии 0.6 R от оси канала. Этот эффект Сегре-Зильберберга был подтвержден и изучен во многих последующих экспериментальных работах [53], моделировался численно для различных областей [25,36,80,81,130]. Причем, в стоксовом режиме миграция происходит за счет деформации капель, так как в случае сферических недеформируемых частиц этого явления не наблюдается. Например, в [28] показано, что направление миграции капель в смеси двух ньютоновских жидкостей при параболическом профиле скорости потока зависит от соотношения вязко-стей внутренней и внешней жидкостей А. Установлено, что при 0.5 < А < 10 капля мигрирует к стенке, а при А < 0.5 и А > 10 движется к осевой линии канала. Ряд экспериментальных работ посвящен изучению деформации капель при движении в цилиндрических [54,83] и прямоугольных [103] каналах, соответствующий обзор литературы можно найти в [45]. В [54,83] проводится исследование формы деформированной капли, скорость капли относительно потока в

зависимости от соотношений радиуса капель к радиусу канала, Л и капиллярного числа.

Движение жидкости в кавернах также представляет интерес для теоретических [75,112] и экспериментальных [113] исследований. Одной из основных в этой области является работа [75], в которой образование бесконечной последовательности вихрей в углах клинообразных областей исследовано аналитически. Подобные эффекты были рассмотрены в [112] для пластины с прямоугольной каверной бесконечной глубины, а в [63] рассмотрено течение над пластиной с выступом нулевой толщины. В перечисленных работах изучена минимальная глубина при которой возникают отрывные течения, а также показано, что этот эффект возникает не на углу каверны, а на конечном расстоянии вдоль стенки каверны. Несмотря на то, что аналитические исследования предоставляют описание некоторых общих закономерностей, для изучения эффекта отрывного потока в более сложных областях, включая течение над каверной конечной глубины, приходится применять прямое численное моделирование.

1.2. Численное моделирование динамики дисперсных систем при малых числах Рейнольдса

В течение многих лет прогресс в изучении свойств эмульсий был обусловлен в основном лабораторными экспериментами. Однако стремительное развитие численных методов и вычислительных ресурсов сделало доступным исследование таких процессов с помощью компьютерного моделирования. Численное моделирование течений Стокса около частиц с помощью граничных интегральных уравнений было впервые осуществлено в 70-х годах XX века для случая твердых частиц [127] и пузырей [128]. Метод граничных элементов (МГЭ) хорошо применим для изучения движения капель с произвольной деформацией. МГЭ для течений в стоксовом режиме изложен в [89] и успешно применялся для расчета динамики и взаимодействия капель, пузырей и твердых частиц в дисперсных течениях [93,94]. Некоторые результаты моделирования двумерной динамики систем "жидкость-жидкость" как в однородном сдвиговом потоке, так и вблизи пластины и в канале, представлены для относительно небольшого количества дисперсных частиц равного размера (12-50 капель) [31,66,130]. Существует ряд исследований, посвященных моделированию и расчету реоло-

гических характеристик для упорядоченной эмульсии под действием сдвигового потока [33,91,102]. В статье [62] достаточно подробно представлены результаты трехмерного моделирования разбавленной эмульсии в сдвиговом потоке. Изучены деформация и угол наклона одной капли при различных соотношениях вязкостей капель и окружающей жидкости и капиллярных числах, а также проведены некоторые реологические исследования: рассчитывались эффективная вязкость и вклад от каждой отдельной капли в тензор эффективных напряжений эмульсии в целом. Проведено сравнение результатов с теорией малых деформаций и некоторыми экспериментальными данными. Проанализированы особенности течений внутри и снаружи капель, миграции капель в сдвиговом потоке вблизи стенки. В [69] гранично-интегральная формулировка применялась для более реалистичного трехмерного моделирования концентрированной неупорядоченной эмульсии в сдвиговом потоке. Здесь исследовалась деформация близко расположенных друг к другу капель, рассчитаны некоторые реологические характеристики и представлены результаты для различных концентраций эмульсий, составленных из 12 капель равного размера в периодической ячейке. Варьировались значения капиллярного числа и соотношения вязкостей. В [131] представлен улучшенный гранично-интегральный алгоритм для изучения трехмерной динамики деформируемых капель в сдвиговом потоке и под действием силы тяжести. В упомянутых работах можно найти достаточно подробный обзор литературы. Моделирование движения эмульсий в сдвиговом потоке и под действием силы тяжести с помощью МГЭ и исследование реологических свойств для концентрированных эмульсий проводилось в [133,134]. Здесь рассчитывался тензор эффективных напряжений всей системы "жидкость-жидкость" и эффективная вязкость, изучалось поведение этих параметров во времени и их зависимость от капиллярного числа. Рассматривалась периодическая ячейка, состоящая из некоторого количества 10 < ./V < 1200 одинаковых по размеру капель, при различных объемных концентрациях (до 55%). В работе [68] достаточно подробно исследовано движение двух близко расположенных капель в сдвиговом потоке в широком диапазоне соотношений вязкостей и капиллярных чисел. В статье [135] также представлены результаты более детального изучения относительного движения двух капель в сдвиговом потоке и под действием силы тяжести при малых капиллярных числах методом граничных элементов, здесь максимальное количество треугольных элементов на поверхности каждой из капель не

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Абрамова, Ольга Александровна, 2014 год

Литература

1. Абрамова O.A., Иткулова Ю.А., Гумеров H.A. Моделирование трехмерного движения деформируемых капель в стоксовом режиме методом граничных элементов // Вычисл. мех. сплош. сред. - 2013. - Т. 6, № 2. - С. 214-223.

2. Ахметов А.Т., Мавлетов М. В., Валиев А. А. Динамическое запирание и реология дисперсий при фазовом переходе // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. - 2011. - № 8. - С.77-91.

3. Ахметов А. Т., Саметов С. П. Особенности течения дисперсии из микрокапель воды в микроканалах // Письма в ЖТФ. - 2010. - Т. 36, № 22. - С. 21-28.

4. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой размерности: учебное пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2000. - 70 с.

5. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Бином. - 2001. - С. 363-375.

6. Глинка Н.Л. Общая химия. Издательство Л. Химияб изд-е 24 исправленное. - 1985. - 731 с.

7. Гумеров H.A. Быстрый метод мультиполей // Вестник АН РБ. - 2013. - Т. 18, №4. -С. 11-18.

8. Деркач С.Р., Зотова К.В. Реология пищевых эмульсий // Вестник МГТУ. -2012. - Т. 15, № 1. - С. 84-95.

9. Иткулова Ю.А. Метод граничных элементов в численном исследовании трехмерных течений Стокса в каналах произвольной формы // Материалы V Всерос. конф. Многофазные системы: теория и приложения., Уфа, 2-5 июля 2012 г. - Уфа: Нефтегазовое дело. - 2012. - Ч. 1. - С. 94-97.

10. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Изд. Наука. М.: 1970. - 288 с.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Физматлит. - 2003. - 736 с.

12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учебник для ВУЗов, 7-е изд испр. М.: Дрофа. - 2003. - 840 с.

13. Марьин Д.Ф., Малышев В.Л., Моисеева Е.Ф., Гумеров H.A., Ахатов И.Ш., Михайленко К.И. Ускорение молекулярно-динамических расчетов с помощью быстрого метода мультиполей и графических процессоров // Выч. методы и программирование. - 2013. - Т. 14, № 4. - С. 483-495.

14. Масалова И., Малкин А.Я. Высококонцентрированные эмульсии. Особенности реологических свойств и течения - роль концентрации и размера капель // Коллоидный журнал. - 2007. - Т 69, № 2. - С. 206-219.

15. Солнышкина O.A., Иткулова Ю.А., Гумеров H.A. Ускорение расчетов на графических процессорах при исследовании течения Стокса методом граничных элементов // Вестник УГАТУ. - 2013. - Т. 17, № 2 (55). - С. 92-100.

16. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир. - 1976. - 623 с.

17. Пономарева М. А., Якутенок В. А. Моделирование растекания капли вязкой жидкости в плоской постановке при больших числах Бонда // Вестн. Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. - 2007. - № 1. - С. 79-83.

18. Якутенок В.А. Численное решение трехмерных задач о ползущем течении вязкой жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов // Мат. моделирование. - 1999. - Т. 11, № 10. - С. 92-99.

19. Barthes-Biesel D, Acrivos А. Deformation and burst of a liquid drop freely suspended in a linear shear flow // J. Fluid Mech. 1973. - V. 61, № 1. - P. 1-21.

20. Batchelor G. K. The stress in a suspension of force-free particles // J. Fluid Mech. - 1970. - V. 41. - P. 545-570.

21. Bayareh M., Mortazavi S. Three-dimensional numerical simulation of drops suspended in simple shear flow at finite Reynolds numbers // J. Multiphase Flow. - 2011. - V. 37. - P. 1315-1330.

22. Boger D.V. Viscoelastic flows through contractions //J. Fluid Mech. - 1987. - V. 19. - P. 157-182.

23. Biros G., Ying L., Zorin D. A fast solver for the Stokes equations with distributed forces in complex geometries // J. Comp. Phys. - 2003. - V. 193. - P. 317-348.

24. Rahimian A., Lashuk I., Veerapaneni S.K., Chandramowlishwaran A., Malhotra D., Moon L., Sampath R., Shringarpure A., Vetter J., Vuduc R., Zorin D. and Biros G. Petascale direct numerical simulation of blood flow on 200K cores and heterogeneous architectures // Proc. Supercomputing' 10, New Orleans, Louisiana, USA. - 2010.

25. Coulliette C., Pozrikidis C. Motion of an array of drops through a cylindrical tube // J. Fluid Mech. - 1998. - V. 358. - P. 1-28.

26. Cox R.G. The deformation of drop in general time-dependent fluid flow // J. Fluid Mech. - 1969. - V. 37, № 3. - P. 601-623.

27. Chaffey C.E., Brenner H. A second-order theory for shear deformation of drops// J. Colloid Sci. - 1967. - V. 24 - P.258-269.

28. Chan P.C., Leal L.G. The motion of a deformable drop in a second-order fluid // J. Fluid Mech. - 1992. - V. 92. - P. 131-170.

29. Chang D. H., Kazumori F. An experimental study of droplet deformation and breakup in pressure-driven flows through converging and uniform channels // J. Rheol. - 1978. - V. 22 - P. 113-133.

30. Chang C., Powell R.L. Hydrodynamic transport properties of concentrated suspensions // AIChE Journal. - 2002. - V. 48, № 11. - P. 2475-2480.

31. Charles R., Pozrikidis C. Significance of the dispersed-phase viscosity on the simple shear flow of suspensions of two-dimensional drops // J. Fluid Mech. -1998. - V. 365. - P. 205-234.

32. Cobos S., Carvalho M.S., Alvarado V. Flow of oil-water emulsions through a constricted capillary // J. Multiphase Flow. - 2009. - V. 35. - P. 507-515.

33. Cunha F. R., Almeida M. H. P., Loewenberg M., Direct numerical simulations of emulsion flows // J. Braz. Soc. Mech. Sci. Eng. - 2003. - V. 25, № 1.

34. Dimitrakopoulos P. Interfacial dynamics in Stokes flow via a three-dimensional fully-implicit interfacial spectral boundary element algorithm // J. Comp. Phys. - 2007. - V. 225. - P. 408-426.

35. Einstein A. Eine neue Bestimmung der Molekuldimensionen (German) [A new determination of molecular dimensions] // Annalen der Physik. - 1906. - V. 19. -P. 289-306.

36. Feng J., Hu H.H.,Joseph D.D. Direct simulation of initial value problems for the motion of solid bodies in a Newtonian fluid. Part 2. Couette and Poiseuille flows // J. Fluid Mech. - 1994. - V. 277. - P. 271-301.

37. Frankel N.A., Acrivos A. The constitutive equation for a dilute emulsion // J. Fluid Mech. - 1970. - V. 44, № 1. - P. 65-78.

38. Goldman A.J., Cox R.G., Brenner H. Slow viscous motion of a sphere parallel to a plane wall -I. Motion through a quiescent fluid. // Chem. Engng. Sci. - 1967. -V. 22. - P. 637-651.

39. Goldman A J., Cox R.G., Brenner H. Slow viscous motion of a sphere parallel to a plane wall -I. Couette flow // Chem. Engng. Sci. - 1967. - V 22. - P. 653-660.

40. Greengard L., Rokhlin V. A fast algorithm for particle simulations // J. Comp. Phys. - 1987. - V. 73. - P. 325-348.

41. Greengard L. The rapid evaluation of potential fields in particle systems // Cambridge: MIT Press. - 1998 - 106 p.

42. Graham M.D. Fluid dynamics of dissolved polymer molecules in confined geometries // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2011. - V. 43. - P. 273-298.

43. Griggs A.J., Zinchenko A.Z., Davis R.H. Low-Reynolds-number motion of a deformable drop between two parallel plane walls // Int J Multiphase Flow. -2007. - V. 33. - P. 182-206.

44. Grotberg J.B., Jensen O.E. Biofluid mechanics in flexible tubes // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2004. - V. 36. - P. 121-147.

45. Guido S., Preziosi V. Droplet deformation under confined Poiseuille flow // Adv. Colloid Inter. Sei. - 2010. - V. 161. - P. 89-101.

46. Gumerov, N. A., Duraiswami R. A broadband fast multipole accelerated boundary element method for the 3D Helmholtz equation // J. Acoust. Soc. Am. - 2009. - V 125, № 1. - P. 191-205.

47. Gumerov N.A., Duraiswami R. Fast multipole methods on graphics processors // J. Comput. Phys. - 2008. - V. 227, № 18. - P. 8290-8313.

48. Gumerov N.A., Duraiswami R. Fast multipole methods for the Helmholtz equation in three dimensions. Oxford, UK: Elsevier. - 2005.

49. Halpern D., Secomb T. W. The squeezing of red blood cells through parallel-sided channels with near-minimal widths // J Fluid Mech. - 1992. - V. 244. - P. 307-322.

50. Happel J. Viscosity of suspensions of uniform spheres // J. Appl. Phys. - 1957. -V. 28, № 11. - P. 1288-1292.

51. Hetsroni G., Habel S., Wacholder E. The flow field in and around a droplet moving axially within a tube // J. Fluid Mech. - 1970. - V. 41, № 4. - P. 689-705.

52. Higdon J.L. Stokes flow in arbitrary two-dimensional domains: shear flow over ridges and cavities // J. Fluid Mech. - 1985. - V. 159. - P. 195-226.

53. Hiller W., Kowalewski T. A. An experimental study of the lateral migration of a droplet in a creeping flow // Experiments in Fluids. - 1987. - V. 5. - P. 43-48.

54. Ho B.P., Leal L.G. The creeping motion of liquid drops through a circular tube of comparable diameter // J. Fluid Mech. - 1975. - V. 71, № 2. - P. 361-383.

55. Hu Q., Gumerov N.A., and Duraiswami R. Scalable fast multipole methods on distributed heterogeneous architectures // Proc. Supercomputing'll, Seattle, Washington. - 2011.

56. Hu Q., Gumerov N.A., Duraiswami R. Scalable Distributed Fast Multipole Methods // Proc. 2012 IEEE 14th International Conference on High Performance Computing and Communications, UK, Liverpool. - 2012. - P. 270-279.

57. Itkulova Yu. A., Solnyshkina O. A., Gumerov N.A. Toward large scale simulations of emulsion flows in microchannels using fast multipole and graphics processor accelerated boundary element method // Proc. ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress Exposition IMECE2012, USA, Houston.

58. Itkulova Yu. A., Abramova O.A., Gumerov N. Boundary Element Simulations of Compressible Bubble Dynamics in Stokes Flows // Proc. ASME 2013 International Mechanical Engineering Congress Exposition IMECE2012, USA, San Diego.

59. Hsu R., Ganatos P. The motion of a rigid body in viscous fluid bounded by a plane wall // J. Fluid Mech. - 1989. - V. 207. - P. 29-72.

60. Jeffrey D.J., Acrivos A. The rheological properties of suspensions of rigid particles // AIChE Journal. - 1976. - V. 22, № 3. - P. 417-432.

61. Khayat R.E., Luciani A., Utracki L.A., Godbille F., Picot J. Influence of shear and elongation on drop deformation in convergent-divergent flows // Int. J. Multiphase Flow. - 2000. - V. 26. - P. 17-44.

62. Kennedy M.R., Pozrikidis C., Skalak R. Motion and deformation of liquid drops, and the rheology of dilute emulsions in simple shear flow // Computers and Fluids. - 1994. - V. 23, № 2. - P. 251-278.

63. Kim M. U. Slow viscous flow around a vertical fence on a plane // J. Phys. Soc. Japan. - 1980. - V. 49. - P. 2387-2391.

64. Krieger I.M., Dougherty T.J. A mechanism for non-newtonian flow in suspensions of rigid spheres // Journal of Rheology. - 1959. - V. 3, № 1. - P. 137-152.

65. Kucaba-Pietal A. Nonaxisymmetric Stokes flow past a torus in the presence of a wall // Arch. Mech. - 1986. - V 38. - P. 647-663.

66. Li X., Pozrikidis C. Wall-bounded shear flow and channel flow of suspensions of liquid drops // Int. J. Multiph. Flow. 2000. - V. 26. - P. 1247-1279.

67. Liu Y. Fast multipole boundary element method/ Theory and application in engineering // Cambridge University Press. - 2009.

68. Loewenberg M., Hinch E.J. Collision of two deformable drops in shear flow // J. Fluid Mech. - 1997. - V. 338. - P. 299-315.

69. Loewenberg M., Hinch E.J. Numerical simulation of a concentrated emulsion in shear flow // J. Fluid Mech. - 1996. - V. 321. - P. 395-419.

70. Lorentz H.A. Ein allgemeiner Satz, die Bewegung einer reibenden Flüssigkeit betreffend, nebst einigen Andwendungen desselben (A general theorem concerning the motion of a viscous fluid and a few consequences derived from it) // Versl. Kon. Akad. Wetensch. Amsterdam. - 1896. - V. 5. - P. 168-175.

71. Lubansky A.S., Boger D.V., Servais C. Burbidge A.S. Cooper-White J.J. An approximate solution to flow through a contraction for high Trouton ratio fluids // Non-Newtonian Fluid Mech. - 2007. - V. 144. - P. 87-97.

72. Manga M. Dynamics of drops in cavity flows: Aggregation of high viscosity ratio drops // Phys. Fluids. - 1996. V. 8, № 7. - P. 1732-1737.

73. Martinez M. J., Udell K. S. "Axisymmetric creeping motion of drops through circular tubes // J. Fluid Mech. - 1990. - V. 210. - P. 569-591.

74. Meyer M., Desbrun M., Schroder P., Barr A.H. Discrete differential-geometry operators for triangulated 2-manifolds. Visualization and Mathematics III // Publisher Springer Berlin Heidelberg In Proc. VisMath. - 2002. - P. 35-57.

75. Moffatt H.K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // J. Fluid Mech. - 1964. - V. 18. - P. 1-18.

76. Mooney M. The viscosity of a concentrated suspension of spherical particles // Journal of Colloid Science. - 1951. - V. 6, № 2. - P. 162-170.

77. Mueller S., Llewellin E.W., Mader H.M. The rheology of suspensions of solid particles // Proceedings of the Royal society. - 2010. - V. 466, № 2116. - P. 1201-1228.

78. Nishimura N. Fast multipole accelerated boundary integral equation methods // Appl. Mech. Rev. - 2002. - V. 55, № 4. - P. 299-324.

79. Nitsche L.C., Brenner H. Eulerian kinematics of flow through spatially periodic models of porous media // Arch. Rat. Mech. - 1989. - V. 107. - P. 225-292.

80. Nourbakhsh A., Mortazavi S. A three-dimensional study of the motion of a drop in plane Poiseuille flow at finite Reynolds numbers // Iranian J. of Sci. and Technology. - 2010. - V. 34, № B2. - P. 179-196.

81. Nourbakhsh A., Mortazavi S. The lateral migration of a drop under gravity between two parallel plates at finite Reynolds numbers // J. Applied Fluid Mech. -2012. -V. 5, № 1. - p. 11-21.

82. O'Brien V. Flow in pressure holes // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1983. - V. 12. - P. 383-386.

83. Olbricht W.L., Kung D.M. The deformation and breakup of liquid drops in low Reynolds number flow through a capillary // Phys. Fluids. - 1992. - V. 4, № 7. -P. 1347-1354.

84. Oldroyd J. G. The elastic and viscous properties of emulsions and suspensions // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1953. - V. 218. - P. 122-132.

85. O'Neill M.E., Stewartson K. On the slow motion of a sphere parallel to a nearby plane wall // J. Fluid. Mech. - 1967. - V 27. - P. 705-724.

86. Pal R. Viscous behavior of concentrated emulsions of two immiscible Newtonian fluids with interfacial tension. // J Colloid Interface Sci. - 2003. - V. 263, № 1. P. 296-305.

87. Pal R. Shear viscosity behavior of emulsions of two immiscible liquids. // J Colloid Interface Sci. - 2000. - V. 225. - P. 359-366.

88. Pan F., Acrivos A. Steady flows in rectangular cavities // J. Fluid Mech. - 1967. - V. 28. - P. 643-655.

89. Pozrikidis C. Boundary Integral and Singularity Methods for Linearized Viscous Flow. Cambridge, MA: Cambridge University Press. - 1992. - 259 p.

90. Pozrikidis C. Creeping flow in two dimensional channels // J. Fluid Mech. -1987. - V. 180. - P. 495-514.

91. Pozrikidis C. On the transient motion of ordered suspensions of liquid drops // J. Fluid Mech. - 1993. - V. 246. - P. 301-320.

92. Pozrikidis C. The motion of particle in the Hele-Shaw cell // J. Fluid Mech. -1994. -V. 261. - P. 199-222.

93. Rallison J.M., Acrivos A. A numerical study of the deformation and burst of a viscous drop in an extensional flow // J. Fluid Mech. - 1978. - V. 89, № 1. - P. 191-200.

94. Rallison J.M. A numerical study of the deformation and burst of a viscous drop in general shear flows // J. Fluid Mech. - 1981. - V. 109. - P. 465-482.

95. Roca J.F., Carvalho M.S. Flow of a drop through a constricted microcapillary // Comput. Fluids. 2013. - V. 87. - P. 50-56.

96. Rumscheidt F.D., Mason S.G. Particle motions in sheared suspensions. XII. Deformation and bust of fluid drops in shear and hyperbolic flow // J. Colloid Interface Sci. - 1961. - V. 16. - P. 238-261.

97. Rutgers R.I. Relative viscosity of suspensions of rigid spheres in Newtonian liquids // Rheol. Acta. - 1962. - V. 2. - P. 202-210.

98. Ryskin G., Rallison J.M. The extensional viscosity of a dilute suspension of spherical particles at intermediate microscale Reynolds numbers // J. Fluid Mech. - 1980. -V. 99, № 3. - P. 513-529.

99. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear System. 2nd. ed. Philadelphia: SIAM. - 2000. 534 p.

100. Sangani A.S., Acrivos A. Slow flow through a periodic array of spheres // Int. J Multiphase Flow. - 1982. - V. 8. - P. 383-360.

101. Sangani A.S., Mo G. An 0(N) algorithm for Stokes and Laplace interactions of particles // Phys. Fluids. - 1996. - V. 8, № 8. - P. 1990-2010.

102. Sangani A.S., Lu W. Effective viscosity of an ordered suspension of small drops 11 Journal of applied mathematics and physics. - 1987. - V. 38. P. 557-572.

103. Sarrazin F., Loubiere K., Prat L., Gourdon C., Bonometti T., Magnaudet J. Experimental and numerical study of droplets hydrodynamics in microchannels // AIChE Journal. - 2006. - V. 52, № 12. - P. 4061-4070.

104. Serge G., Silberberg A. Behaviour of macroscopic rigid spheres in Poiseuille flow. Part 1. Determination of local concentration by statical analysis of particle passages through crossed light beams // J Fluid Mech. - 1962. - V. 14. - P. 115-135.

105. Serge G., Silberberg A. Behaviour of macroscopic rigid spheres in Poiseuille flow. Part 1. Experimental results and interpretation // J Fluid Mech. - 1962. - V. 14. - P. 136-156.

106. W.R Schowalter, C.E Chaffey, H Brenner Rheological behavior of a dilute emulsion // J. Colloid Interf. Sci. - 1968. - V. 26, № 2. - P. 152-160.

107. Staben M.E., Zinchenko A.Z., Davis R.H. Motion of a particle between two parallel plane walls in low-Reynolds-number Poiseuille flow // Physics of Fluids. 2003. - V. 15, № 6. - P. 1711-1733.

108. Staben M.E., Galvin K. P., Davis R. H. Low-Reynolds-number motion of a heavy sphere between two parallel plane walls // Chem. Eng. Sci. -2006. - V. 61. - P. 1932-1945.

109. Stickel J., Powell R. L. Fluid mechanics and rheology of dense suspensions // Annu. Rev. Fluid. Mech. - 2005. - V. 37. - P. 129-149.

110. Stone H.A. Dynamics of drop deformation and breakup in viscous fluids // Ann. Rev. Fluid Mech. - 1994. - V. 26. - P. 65-102.

111. Stone H.A., Stroock A.D., Ajdari A. Engineering flows in small devices: microfluidics toward a Lab-on-a-Chip // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2004. - V. 36. - P. 381-411.

112. Takematsu M. Slow viscous flow past a cavity //J. Phys. Soc. Jpn. - 1966. - V. 21. - P. 1816-1821.

113. Taneda S. Visualization of separating Stokes flow // J. Phys. Soc. Jpn. - 1979. -V. 46, № 6. - P. 1935-1942.

114. Taylor G. I. The viscosity of a fluid containing small drops of another fluid // Proc. R. Soc. Lond. A.- 1932 - V.138, № 41. - P. 41-48.

115. Taylor G. I. The Formation of Emulsions in Definable Fields of Flow // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1934. - V. 146. - P. 501-523.

116. Toivakka M.O., Eklund D.E. Prediction of suspension rheology through particle motion simulation // Tappi Journal. - 1996. - V. 79, № 1. - P. 211-222.

117. Tornberg A.K., Greengard L. A fast multipole method for the three-dimensional Stokes equations // J. Comput. Phys. - 2008. - V. 227, № 3. - P. 1613-1619.

118. Torza C., Henry C.P., Cox R.G., Mason S.G. Particle motions in sheared suspensions. XXVI. Streamlines in and around liquid drops // J. Colloid Interface Sci. - 1971. - V. 35, N. 4. - P. 529-543.

119. Trogdon S.A., Joseph D.D. Matched eigenfunction expansion for slow flow over a slot // J. Non-Newtonian Fluid Mech. - 1982. - V. 10. - P. 185-213.

120. Tsai, T. M. and Miksis, M. J. Dynamics of a drop in a constricted capillary tube // J. Fluid Mech. -1994. - V. 274. - P. 197-217.

121. Unverdi S. O., Tryggvason G. A front-tracking method for viscous, incompressible, multi-fluid flows // J. Comput. Phys. - 1992. - V. 100, № 1.

- P. 25-37.

122. Wang H., Lei T., Li J., Huang J., Yao Z. A parallel fast multipole accelerated integral equation scheme for 3D Stokes equations // Int. J. Num. Meth. Engng. -2007. - V. 70. - P. 812-839.

123. Ward S.G., Whitmore R.L. Studies of the viscosity and sedimentation of suspensions Part 1. - The viscosity of suspension of spherical particles // Br. J. Appl. Phys. - 1950. - V. 1, № 11. - P. 286-290.

124. Wrobel L. C., Soares D., Bhaumik C. L. Drop deformation in Stokes flow through converging channels // Engineering analysis with boundary elements.

- 2009. - V. 33, № 7. - P. 993-1000.

125. Yiantsios S.G., Davis R.H. Close approach and deformation of two viscous drops due to gravity and van der Waals Forces // J. Colloid. Int Sci. - 1991. - V. 144, № 2. - P. 412-433.

126. Yin B., Luo H. Numerical simulation of drops inside an asymmetric microchannel with protrusions // Comput. Fluids. - 2013. - V. 82. - P. 14-28.

127. Youngren G.K., Acrivos A. Stokes flow past a particle of arbitrary shape: a numerical method of solution // J. Fluid Mech. - 1975. - V. 69. - P. 377-403.

128. Youngren G.K., Acrivos A. On the shape of a gas bubble in a viscous extensional flow // J Fluid Mech. - 1976. - V. 76. - P. 433-442.

129. Zhao H., Isfahani A.H.G., Olson L.N., Freund J.B. A spectral boundary integral method for flowing blood cells // J. Comp. Phys. - 2010. - V. 229. - P. 3726-3744.

130. Zhou H., Pozrikidis C. The flow of ordered and random suspensions of two-dimensional drops in a channel // J. Fluid Mech. - 1993. - V. 255. P. 103-127.

131. Zinchenko A.Z., Rother M.A., Davis R.H. A novel boundary-integral algorithm for viscous interaction of deformable drops // Phys. Fluids. - 1997. - V. 9, № 6. -P. 1493-1511.

132. Zinchenko A.Z., Davis R.H. An efficient algorithm for hydrodynamical interaction of many deformable drops // J. Comp. Phys. - 2000. - V. 157. -P. 539-587.

133. Zinchenko A.Z., Davis R.H. Shear flow of higly concentrated emulsions of deformable drops by numerical simulations // J. Comp. Phys. - 2000. - V. 455. -

134. Zinchenko A.Z., Davis R.H. Large-scale simulations of concentrated emulsion flows // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. - 2003. - V. 361. - P. 813-845.

135. Zinchenko A.Z., Davis R.H. A multipole-accelerated algorithm for close interaction of slightly deformable drops // J. Comp. Phys. - 2005. - V. 207. -P. 695-735.

136. Zinchenko A.Z., Davis R.H. Motion of deformable drops through granular media and other confined geometries // J . Colloid Scii - 2009. - V. 334. - P. 113-123.

P. 21-62.