Моделирование течений разреженных газовых смесей на основе прямого решения кинетического уравнения Больцмана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ситников Сергей Сергеевич

• Ситников Сергей Сергеевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Ситников Сергей Сергеевич

Введение

Глава 1. Численные методы

1.1. Введение

1.2. Математическая модель

1.3. Переход от математической модели к численному моделированию

1.4. Основной двухточечный консервативный проекционный метод

1.5. Схема «непрерывного счета»

1.6. Симметричный двухточечный консервативный проекционный метод

1.7. Пятиточечный консервативный проекционный метод

Глава 2. Программный комплекс для численного моделирования течений разреженных газовых смесей

2.1. Введение

2.2. Структура программного комплекса

2.3. Оптимизация решения задачи релаксации на кластерной архитектуре

2.4. Ускорение решения задачи релаксации путем отбрасывания столкновений, дающих пренебрежимо малый вклад в интеграл столкновений

2.5. Тестирование предложенных подходов к ускорению решения задачи релаксации

2.6. Влияние разрывности функции распределения на результаты моделирования

Глава 3. Моделирование свободного истечения разреженной аргон-неоновой смеси через тонкую щель в вакуум

3.1. Введение

3.2. Постановка задачи

3.3. Параметры численного моделирования

3.4. Полученные результаты

3.4.1. Распределения концентрации и температуры компонентов в стационарном режиме течения

3.4.2. Исследование разделения компонентов газовой смеси в процессе установления течения

3.5. Точность расчетов

3.5.1. Оценка влияния параметров дискретизации на величину численной ошибки

3.5.2. Верификационный расчет для истечения однокомпонентного газа

3.6. Выводы

Глава 4. Исследование структуры ударной волны в газовой смеси

4.1. Введение

4.2. Постановка задачи

4.3. Параметры численного моделирования

4.4. Распределения макроскопических величин компонентов смеси вдоль фронта ударной волны

4.5. Точность расчетов

4.5.1. Оценка влияния параметров дискретизации на величину численной ошибки

4.5.2. Влияние используемой схемы проецирования на полученные результаты

4.5.3. Верификация полученных структур ударного фронта

4.5.4. Влияние отбрасывания столкновений на численные результаты

4.6. Влияние потенциала межмолекулярного взаимодействия на результаты моделирования

4.7. Выводы

Глава 5. Моделирование распространения плоской ударной волны в газовой смеси через периодически перфорированную поверхность

5.1. Введение

5.2. Постановка задачи

5.3. Получение фронта падающей ударной волны

5.3.1. Описание процедуры

5.3.2. Верификация полученных ударных фронтов

5.4. Параметры численного моделирования

5.5. Полученные результаты

5.5.1. Распределения концентрации и температуры газовой смеси вблизи перфорированной поверхности

5.5.2. Исследование разделения компонентов газовой смеси при прохождении ударной волны через перфорированную поверхность

5.6. Точность расчетов

5.6.1. Оценка влияния параметров дискретизации на величину численной ошибки

5.6.2. Влияние отбрасывания столкновений на численные результаты

5.7. Выводы

Глава 6. Моделирование распространения плоской ударной волны в газовой смеси в канале

6.1. Введение

6.2. Постановка задачи

6.3. Получение фронта падающей ударной волны

6.4. Параметры численного моделирования

6.5. Полученные результаты

6.5.1. Распределения концентрации и температуры газовой смеси

6.5.2. Образование области повышенной концентрации на оси симметрии

6.5.3. Образование отраженной ударной волны

6.5.4. Исследование разделения компонентов газовой смеси

6.5.5. Исследование влияния температуры стенок канала

6.6. Выводы

Глава 7. Моделирование сверхзвукового течения разреженной газовой смеси через периодически перфорированную поверхность

7.1. Введение

7.2. Постановка задачи

7.3. Параметры численного моделирования

7.4. Полученные результаты

7.4.1. Распределения концентрации и температуры газовой смеси, а также локального числа Маха

7.4.2. Образование отраженной ударной волны

7.4.3. Исследование разделения компонентов газовой смеси

7.5. Точность расчетов

7.5.1. Оценка влияния параметров дискретизации на величину численной ошибки

7.5.2. Влияние отбрасывания столкновений на численные результаты

7.6. Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Распределения макроскопических величин вдоль фронта ударной волны

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование течений разреженных газовых смесей на основе прямого решения кинетического уравнения Больцмана»

Введение

Исследование течений разреженных газов имеет большое значение для высотной аэродинамики [1], разработки микропоточных устройств [2, 3], микро- и наноэлектромеханических систем [4], спутников и космических аппаратов [5-7], микрогидродинамики [8], метрологии газовых течений [9, 10], электронной микроскопии [11] и других областей науки и техники [12]. При этом во многих практических приложениях требуется исследовать течение не однокомпонентного газа, а газовых смесей, моделирование которых представляет значительно более сложную задачу [13].

По степени разрежения газа различают гидродинамический, переходный и свободномолекулярный режимы течения. В переходном режиме для моделирования течения газовых смесей широко применяется метод прямого моделирования Монте-Карло (DSMC) [14, 15], а также модельные кинетические уравнения [16-18], представляющие собой упрощенное кинетическое уравнение Больцмана. Однако оба подхода имеют определенные ограничения по применимости и точности моделирования [19]. Модельные уравнения вычислительно проще уравнения Больцмана, но не имеют оценки точности. ББМС представляет собой эффективный инструмент для решения широкого спектра задач динамики разреженного газа, однако этот метод подвержен стохастическим флуктуациям в низкоскоростных течениях и менее эффективен для нестационарных течений, а также для течений с малыми числами Кнудсена ввиду высоких вычислительных затрат [20]. Кинетическое уравнение Больцмана (УБ) описывает течение газовой смеси во всех режимах [21] и может быть использовано для изучения процессов, происходящих в газе на масштабах порядка длины свободного пробега молекул. Сравнение решений УБ, модельных уравнений и DSMC для однокомпонентных газовых течений приведено в [22]. Стоит отметить, что большинство методов генерации пространственной сетки и аппроксимации оператора адвекции, разработанных для решения модельных уравнений, применимы также к УБ. В данной работе предлагается универсальный подход к моделированию течений разреженных газовых смесей [23, 24] с точностью, контролируемой параметрами расчетов, основанный на прямом решении уравнения Больцмана. Предлагаемый подход позволяет моделировать как стационарные, так и нестационарные течения в переходном режиме [24], обеспечивая при этом высокую точность результатов.

Численное решение уравнения Больцмана представляет собой сложную задачу из-за наличия многомерного нелинейного интеграла столкновений в его правой части, вычисление которого требует значительных вычислительных ресурсов. В случае газовой смеси возникает необходимость в решении системы кинетических уравнений, включающей в себя несколько

интегралов столкновений, которые описывают внутрикомпонентные и межкомпонентные столкновения молекул. В данной работе интегралы столкновений вычисляются с использованием двухточечного консервативного проекционного метода (CPM), предложенного в [25], его пятиточечного варианта, представленного в [26], а также симметричного консервативного проекционного метода (SPM), предложенного в [27]. Все варианты консервативного проекционного метода сохраняют энергию, импульс и массу. Кроме того, CPM обеспечивает точное равенство нулю интеграла столкновений от максвелловской функции распределения [28]. Последнее свойство значительно повышает эффективность метода для моделирования течений при малых числах Кнудсена, где основной частью решения является функция распределения Максвелла. Консервативный проекционный метод был реализован в прикладном программном обеспечении [29, 26, 30] и применялся для решения различных задач динамики разреженного газа [24, 29, 31-33]. Комбинация различных вариантов консервативного проекционного метода используется в данной работе для увеличения точности и скорости расчетов. Для ускорения вычислений также применяется отбрасывание столкновений, дающих пренебрежимо малый вклад в интеграл столкновений и оказывающих не существенное влияние на результаты моделирования [34].

На основе предложенного подхода разработан универсальный программный комплекс для моделирования течений разреженных газовых смесей. Разработанный программный комплекс позволяет моделировать течение газовых смесей через структуры заданной геометрии для различных режимов течения и произвольных начальных и граничных условий. Расчеты проводятся на системе кластерной архитектуры. Применяется гибридный подход для распараллеливания кода на основе технологий MPI и OpenMP [35]. Предложена оптимизация решения задачи релаксации на системах кластерной архитектуры. Комбинированное использование различных методов для уменьшения вычислительной сложности расчетов в совокупности с применением технологий распараллеливания кода позволяет достичь высокой точности и скорости моделирования при высоких параметрах дискретизации, существенно расширяя применимость и повышая эффективность метода для решения различных задач динамики разреженного газа.

С помощью разработанного программного комплекса выполнено численное решение ряда задач динамики разреженного газа:

1. Моделирование свободного истечения разреженной аргон-неоновой смеси через тонкую щель в вакуум;

2. Исследование структуры ударной волны в газовой смеси с контролем точности;

3. Моделирование распространения плоской ударной волны в газовой смеси через периодически перфорированную поверхность;

4. Моделирование распространения плоской ударной волны в газовой смеси в канале квадратного сечения;

5. Моделирование сверхзвукового течения разреженной газовой смеси через периодически перфорированную поверхность.

Полученные в работе результаты демонстрируют эффективность разработанного программного комплекса для моделирования различных задач динамики разреженного газа, а также показывают хорошее соответствие верификационных расчетов с результатами, представленными другими авторами.

Целью данной работы является разработка эффективного алгоритма численного моделирования течений разреженных газовых смесей на системах кластерной архитектуры, основанного на прямом решении системы кинетических уравнений Больцмана.

Для достижения поставленной цели требовалось решить следующие задачи:

1. Исследование существующих вариантов консервативного проекционного метода: двухточечного проекционного метода, симметричного проекционного метода и многоточечного проекционного метода. Систематизация результатов исследования, анализ вычислительной сложности, особенностей и актуальной области применения различных вариантов консервативного проекционного метода. Сравнение результатов, полученных разными методами.

2. Реализация программного модуля для численного моделирования однородной релаксации в газовой смеси на основе комбинированного использования различных вариантов консервативного проекционного метода.

3. Расширение для газовой смеси алгоритма ускорения вычислений путем отбрасывания столкновений, дающих пренебрежимо малый вклад в интеграл столкновений и оказывающих не существенное влияние на результаты моделирования, и внедрение указанного алгоритма в разработанный программный модуль.

4. Разработка универсального программного комплекса, предназначенного для моделирования течений разреженных газовых смесей на системах кластерной архитектуры, с использованием программного модуля для численного моделирования однородной релаксации в газовой смеси. Применение методов расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям.

5. Разработка эффективного гибридного алгоритма распараллеливания кода на кластерной архитектуре.

6. Оптимизация решения задачи релаксации на кластерной архитектуре.

7. Исследование эффективности разработанного программного комплекса для моделирования различных задач динамики разреженного газа.

8. Тестирование и верификация разработанных методов, алгоритмов и их программной реализации путем сопоставления полученных результатов вычислительных экспериментов с данными других авторов.

Методология и методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы динамики разреженного газа, методы теории алгоритмов, методы параллельной обработки данных, методы анализа и исследования конечно-разностных схем, методы исследования эффективности параллельных алгоритмов, методы верификации численных алгоритмов и моделей.

Научная новизна:

1. Представлено расширение для газовой смеси алгоритма ускорения вычислений путем отбрасывания столкновений, дающих пренебрежимо малый вклад в интеграл столкновений и оказывающих не существенное влияние на результаты моделирования.

2. Разработан универсальный подход к моделированию течений разреженных газовых смесей путем прямого решения системы кинетических уравнений Больцмана на основе комбинированного применения различных вариантов консервативного проекционного метода, оптимизации решения задачи релаксации, а также алгоритма ускорения вычислений путем отбрасывания столкновений, дающих пренебрежимо малый вклад в интеграл столкновений. Представленный подход полностью консервативен по энергии, импульсу и массе и позволяет моделировать как стационарные, так и нестационарные течения в переходном режиме с точностью, контролируемой параметрами расчетов. Все лежащие в основе методы распространены на газовую смесь и сформулированы для функций распределения компонентов в импульсном пространстве.

3. Разработан универсальный программный комплекс, позволяющий проводить на системах кластерной архитектуры моделирование течений разреженных газовых смесей для произвольной геометрии задачи.

4. Предложен и реализован гибридный алгоритм распараллеливания кода на кластерной архитектуре, позволяющий многократно ускорить вычисления на системах кластерной архитектуры.

5. Предложен и реализован алгоритм оптимизации решения задачи релаксации на кластерной архитектуре.

6. Комбинированное использование различных методов для уменьшения вычислительной сложности расчетов в совокупности с применением технологий распараллеливания кода позволило достичь высокой точности и скорости моделирования при высоких параметрах дискретизации, существенно расширяя применимость и повышая

эффективность предложенного подхода для решения различных задач динамики разреженного газа.

7. Проведено численное моделирование ряда задач динамики разреженного газа с помощью разработанного в рамках данной работы программного комплекса. Задачи включали вычислительно сложные сверхзвуковые течения и ударные волны в газовых смесях в трехмерных постановках.

Практическая значимость. Работа носит как теоретический, так и практический характер. Разработанный в ходе ее выполнения подход позволяет эффективно выполнять моделирование течений разреженных газовых смесей на системах кластерной архитектуры. Представленный в данной работе программный комплекс может применяться для решения сложных практических задач динамики разреженного газа. В ходе выполнения работы было проведено моделирование рядя задач динамики разреженного газа и получены численные результаты, которые имеют важное теоретическое и практическое значение.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработан универсальный подход к моделированию течений разреженных газовых смесей путем прямого решения системы кинетических уравнений Больцмана на основе комбинированного применения различных вариантов консервативного проекционного метода, оптимизации решения задачи релаксации, а также алгоритма ускорения вычислений путем отбрасывания столкновений, дающих пренебрежимо малый вклад в интеграл столкновений. Представленный подход полностью консервативен по энергии, импульсу и массе и позволяет моделировать как стационарные, так и нестационарные течения в переходном режиме с точностью, контролируемой параметрами расчетов.

2. Разработан программный комплекс, позволяющий проводить на системах кластерной архитектуры моделирование течений разреженных газовых смесей для произвольной геометрии задачи.

3. Предложен и реализован гибридный алгоритм распараллеливания кода на кластерной архитектуре, позволяющий многократно ускорить вычисления на системах кластерной архитектуры.

4. Проведены тестирование и верификация разработанных методов, алгоритмов и их программной реализации путем сопоставления полученных результатов вычислительных экспериментов с представленными другими авторами.

5. Проведено численное моделирование ряда задач динамики разреженного газа с помощью разработанного в рамках данной работы программного комплекса.

Достоверность полученных результатов была проверена путем проведения верификационных расчетов. Показано соответствие полученных в данной работе результатов

вычислительных экспериментов с результатами других авторов. Кроме того, достоверность полученных результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием всех используемых в работе методов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

1. 63-я Всероссийская научная конференция МФТИ (г. Долгопрудный, 2020);

2. 65-я Всероссийская научная конференция МФТИ (г. Долгопрудный, 2023);

3. 66-я Всероссийская научная конференция МФТИ (г. Долгопрудный, 2024);

4. XIII Международная конференция по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (г. Алушта, 2020);

5. XXII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2021).

Зарегистрированы программные продукты:

1. «Программно-моделирующая среда для вычисления интеграла столкновений Больцмана консервативным проекционно-интерполяционным методом на кластерной архитектуре», свидетельство о регистрации № 2020617612;

2. «Программно-моделирующая среда для анализа двумерного щелевого истечения бинарной газовой смеси в вакууме», свидетельство о регистрации № 2021661480;

3. «Программно-моделирующая среда для моделирования сил, действующих на частицы аэрозоля при наличии градиента температуры в верхних слоях атмосферы», свидетельство о регистрации № 2021661514;

4. «Программно-моделирующая среда для моделирования работы двумерного диффузионного насоса на персональном компьютере», свидетельство о регистрации № 2021661692.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 научных работах в периодических научных журналах, входящих в международные реферативные базы данных и индексируемых Scopus и/или Web of Science:

1. Sitnikov, S. S. A method for numerical simulation of shock waves in rarefied gas mixtures based on direct solution of the Boltzmann kinetic equation [текст] / S. S. Sitnikov, F. G. Tcheremissine // Journal of Computational Physics. - 2025. - т. 520. - с. 113463. - URL: https://doi.org/10.1016/jjcp.2024.113463.

2. Sitnikov, S. S. Simulation of mixture components separation in a rarefied argon-neon jet on the basis of direct solution of the Boltzmann kinetic equation [текст] / S. S. Sitnikov, F. G. Tcheremissine // Journal of Computational Science. - 2021. - т. 55. - с. 101467. - URL: https://doi.org/10.1016/jjocs.2021.101467.

3. Ситников, С. С. Расчет структуры ударной волны в газовой смеси на основе уравнения Больцмана с контролем точности | Computation of a shock wave structure in a gas mixture based on the Boltzmann equation with accuracy control [текст] / С. С. Ситников, Ф. Г. Черемисин // Компьютерные исследования и моделирование | Computer Research and Modeling. - 2024. - т. 16, № 5. - с. 1107-1123. - URL: https://doi.org/10.20537/2076-7633-2024-16-5-1107-1123.

4. Ситников, С. С. Моделирование начальной стадии истечения двухкомпонентной разреженной газовой смеси через тонкую щель в вакуум | Simulation of the initial stage of a two-component rarefied gas mixture outflow through a thin slit into vacuum [текст] / С. С. Ситников, Ф. Г. Черемисин, Т. А. Сазыкина // Компьютерные исследования и моделирование | Computer Research and Modeling. - 2021. - т. 13, №4. - с. 747-759. - URL: https://doi.org/10.20537/2076-7633-2021-13-4-747-759.

5. Sitnikov, S. S. Simulation of a two-dimensional binary gas mixture outflow into vacuum through a thin slit on the basis of direct solution of the Boltzmann kinetic equation [текст] / S. S. Sitnikov, F. G. Tcheremissine, T. A. Sazykina // Journal of Physics: Conference Series. - 2021. - т. 2056, №1. - с. 012007. - URL: https://doi.org/10.1088/1742-6596/2056/1/012007.

Личный вклад соискателя. Представленные в диссертации результаты являются оригинальными и получены лично автором. Автор лично разработал программный комплекс для моделирования течений разреженных газовых смесей, с помощью которого были получены основные результаты работы. Автор непосредственно провел численные исследования, получил, обработал и проанализировал результаты, представленные в совместных работах с соавторами. Автор лично обобщил метод ускорения решения задачи релаксации путем отбрасывания столкновений, дающих пренебрежимо малый вклад в интеграл столкновений, на случай газовой смеси. Текст диссертации написан автором самостоятельно.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения и 1 приложения. Полный объем диссертации составляет 154 страницы, включая 60 рисунков и 13 таблиц. Список литературы содержит 67 наименований.

Глава 1. Численные методы

1.1. Введение

В данной главе приведены основные положения кинетической теории газов. Вводятся безразмерные переменные, используемые в работе. Представлено детальное описание применяемых в работе методов расщепления, двухточечного, симметричного и пятиточечного консервативного проекционного метода, а также схемы «непрерывного счета».

1.2. Математическая модель

Газовая смесь состоит из N компонентов с функциями распределения (г, г, р), г = 1, N.

Макроскопические величины /-го компонента выражаются через его функцию распределения: концентрация

п1(ит)=\Г1<Рр, (1.1)

шъ

гидродинамическая (объемная) скорость

Пг (г, г) = — Г рЛ<Рр, (1.2)

¿3

температура

Т (г, г ) = I (р- - ти У^ <?Р (1.3)

где р и т - соответственно, импульс и масса молекул /-го компонента, кв - постоянная

Больцмана. Концентрация, объемная скорость и температура смеси выражаются через макроскопические величины компонентов

N ^ N ^ N

П = Е П , " = " Е Пи , Т = " Е ПгТг (14)

г=1 П г =1 П г=1

Временная эволюция функций распределения компонентов определяется системой N уравнений Больцмана [36]

£+= Е'>, г,) = ^ (1.5)

дг т дг "

где = /^ (г, г, р.) - интегралы столкновений Больцмана, записанные для взаимодействия /-го и у'-го компонентов,

2 л (Ьтах )у

/у(^,г,р)=\ёср / ьёь\ёзр]\/;/;-щ§1] (1.6)

0 0 ж3 У '

Здесь £ — £ (г, г, рг), £ — £ (г, г, р,), £ — £ (г, г, р;), — £ (г, г, р;,), р г и р, -

Рг р,

начальные импульсы сталкивающихся молекул, =

т. т,

- ]

- их относительная скорость, Ь

- прицельный параметр, (Ьшах ) - радиус действия потенциала взаимодействия, р -азимутальный угол, р и р - импульсы молекул непосредственно после столкновения, определяемые по начальным импульсам р и р. и параметрам столкновения Ь,р с

использованием заданного потенциала межмолекулярного взаимодействия и (г).

Предлагаемый подход к моделированию течений разреженных газовых смесей справедлив для произвольного центрально-симметричного потенциала взаимодействия молекул. В данной работе в качестве потенциала межмолекулярного взаимодействия, в основном, используется модель твердых сфер

г < й]

и ( г ) = ■

0, г > й

(1.7)

где йу =(й + й) /2, и - диаметр молекул /-го компонента газовой смеси. Угол разлета

молекул для данного потенциала межмолекулярного взаимодействия зависит только от прицельного параметра

0( Ь ) = 2 агеео8 (Ь / йу) (1.8)

Также в работе применяется потенциал Леннарда-Джонса

(г у2 / \бЛ и (г) — 4е[Г*) - I (.V г ) V г ) )

(1.9)

Параметры потенциала Леннарда-Джонса е1, * для каждого компонента смеси приведены в [37], параметры взаимодействия молекул разных компонентов е1}, * находятся из комбинационных соотношений [38]

* + * 6 а —--, е а

] 2 ] ]

еа-е,*]6

(1.10)

В этом случае, как и в случае произвольного центрально-симметричного потенциала межмолекулярного взаимодействия, угол рассеяния вычисляется по методу, предложенному в [39] для решения интегрального уравнения [21] для угла рассеяния со сферически симметричным потенциалом взаимодействия молекул

Т

ъ) = п- 2/¡1 - у2 - V, у =ъ ,и\у) = и (ъ) (1.11)

0I т8 ) г \г у

Здесь и (г) - потенциал межмолекулярного взаимодействия, у0 - наименьший действительный

mimi

корень трехчлена под интегралом, т =-—, где т и т. - массы сталкивающихся молекул,

т + т.

г ]

g =

Рг Р.

m mi J

- их относительная скорость. Для нахождения 9(g,b) интеграл в (1.11)

вычисляется с малым шагом от 0 до у0. Стоит отметить, что сингулярность в интеграле

интегрируемая. Мы табулируем зависимость угла рассеяния сталкивающихся молекул от величины их относительной скорости и значений прицельного параметра. Полученная таблица g, b) используется для нахождения импульсов после столкновения p' и p' для каждой пары

сталкивающихся молекул по их начальным импульсам Р и Р при вычислении интегралов столкновений. Предварительное табулирование функции в( g, b) сокращает объем арифметических операций, требуемых для расчета интеграла столкновений. При вычислении 9(g, b) осуществляется декомпозиция по дискретным значениям g, определяемым импульсными сетками компонентов и массами сталкивающихся молекул, и расчеты выполняется параллельно с использованием технологий распараллеливания кода.

Другим способом определения угла рассеяния является решение задачи о столкновении двух точечных масс при заданной относительной скорости и прицельном параметре. Этот метод был использован в [37] для расчета таблицы углов рассеяния для потенциала Леннарда-Джонса. Аналогичный способ табулирования угла рассеяния был предложен в [40, 41] для ab initio потенциалов. Ab initio потенциалы могут быть реализованы также в прямом решении уравнения Больцмана [42]. Данная работа направлена в первую очередь на исследование и демонстрацию возможностей предлагаемого подхода к моделированию различных задач динамики разреженного газа. По этой причине в качестве потенциала взаимодействия молекул применяются только модель твердых сфер и потенциал Леннарда-Джонса, как наиболее простые модели межмолекулярного взаимодействия.

При использовании дальнодействующих потенциалов взаимодействия молекул для исключения малых углов рассеяния, которые не разрешаются дискретными импульсными

сетками, применяется обрезание прицельного параметра. Для потенциала Леннарда-Джонса максимальное значение прицельного параметра обычно принимается равным примерно ^ = 2.6а, где а - соответствующий параметр потенциала Леннарда-Джонса. Использовать значения ¿шах, существенно превышающие указанное, нежелательно, поскольку это приводит к увеличению области интегрирования и, как следствие, снижению точности вычислений.

Здесь и далее в работе используются безразмерные переменные. Пронумеруем компоненты в порядке убывания молекулярных масс. Положим характеристические параметры т0 и (а,£0 - в случае использования потенциала Леннарда-Джонса в качестве потенциала взаимодействия молекул) равными соответствующим параметрам первого компонента, п0 = ^щ, I = 1, N, и Г0 - равным какой-то начальной температуре. Определим

I

характеристическую скорость, время и длину свободного пробега молекул, как соответствующие значения для первого компонента, если бы он был единственным компонентом с концентрацией п0 и температурой Г0

V0 =

— ' Т = 1= К 1 1 2 (112)

m0 v0 Ы2лн0 d0

Введем безразмерные переменные

* f * t * p * m * г * d

f =—-71?, t =-, P =-, m =—, r = "T, d =-T (113)

n0(m0V0) T m0v0 m0 d0

В безразмерных переменных система уравнений (1.5) примет вид

f+= -jL21,, j = IN (1.14)

St mt Or у/2л '

'j -

j

где интеграл столкновений

2л dij . .

/у = J J<?\ bdb\ </>,. I/:/;-ffh (1.15)

о 0 Ж3

В случае использования потенциала Леннарда-Джонса в качестве потенциала взаимодействия молекул переход к безразмерным переменным осуществляется полностью аналогично. Определим характеристическую скорость, время и длину свободного пробега молекул, как соответствующие значения для первого компонента, если бы он был единственным компонентом с концентрацией n и температурой T

v0 =.

—, т = -' Я = ^Г~Г-ТТ (116)

m0 v0 У2лп0(аи, eff )l

Здесь =а1 -^Щ22 = ст0-у/о(2'2) - эффективное сечение рассеяния первого

О (2,2) гл(2,2)

- - 1 = Щ

кВТ0

\ 8о J

- табулированные в [37] функции, через которые выражаются

коэффициенты переноса и которые характеризуют отклонение используемой модели потенциала межмолекулярного взаимодействия от модели твердых сфер (подробности см. в [37]). Аналогично (1.13) введем безразмерные переменные

Г* ^ * ^ * Р * М * Г , * Ь ^^ —ч

I = , Л_э,* =-,Р = , т =—,Г =-,Ь =— (1.17)

по (моуо) Т m0v0 т0 ^

В безразмерных переменного система (1.5) примет вид

1 + -Р^ 1 =_1_у / 0- = Пу

д* + мг дг Щ(2 2) У ^, ^ 1 ^

(1.18)

где интеграл столкновений

2ж (Ьшах);

"у =

2ж (Ь™х )у

1ч = \й<р / ыь\<?р(1.19)

о о Ж3 ^ '

Физический смысл характерных параметров в (1.12) и (1.16) определяется выбором п0 и Т и зависит от моделируемого течения. Далее мы рассматриваем систему уравнений Больцмана, записанную в виде (1.14), с интегралом столкновений (1.15), подразумевая, что при использовании потенциала межмолекулярного взаимодействия, отличного от модели твердых сфер, вывод осуществляется аналогичным образом.

1.3. Переход от математической модели к численному моделированию

Численное решение системы уравнений Больцмана (1.14) осуществляется с использованием метода расщепления по физическим процессам [43]. На каждой итерации по времени выполняется решение системы уравнений адвекции

1 + 1 = о, I = ¡у (1.20)

д* т дг

после чего полученные функции распределения подставляются в качестве начальных условий для системы уравнений релаксации

I=:кУ/- и=^ (121)

Решение уравнений адвекции осуществляется с использованием метода расщепления по пространственным направлениям [44], который позволяет свести решение многомерного уравнения адвекции к последовательному решению одномерных уравнений переноса вдоль координатных осей

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ситников Сергей Сергеевич, 2025 год

Список литературы

1. Wu, Z. Review of shock wave detection method in CFD post-processing [текст] / Z. Wu, Y. Xu, W. Wang, R. Hu // Chinese Journal of Aeronautics. - 2013. - т. 26, № 3. - с. 501-513.

2. Sharipov, F. Ab initio simulation of planar shock waves [текст] / F. Sharipov, F. C. Dias // Computers & Fluids. - 2017. - т. 150. - с. 115-122.

3. Gospodinov, P. Thermoacoustic waves in a cylindrical Couette rarefied gas flow [текст] / P. Gospodinov, V. Roussinov, D. Dankov // AIP Conference Proceedings. - 2014. - т. 1629, № 1. - с. 296-302.

4. Wang, M. R. Numerical simulations on performance of MEMS-based nozzles at moderate or low temperatures [текст] / M. R. Wang, Z. X. Li // Microfluidics and Nanofluidics. - 2004. - т. 1. - с. 62-70.

5. Cao, Z. Numerical investigation of rarefied vortex loop formation due to shock wave diffraction with the use of rorticity [текст] / Z. Cao, C. White, K. Kontis // Physics of Fluids. -2021. - т. 33. - с. 067112.

6. Jamison, A. J. Gas dynamic calibration of a nano-Newton thrust stand [текст] / A. J. Jamison, A. D. Ketsdever, E. P. Muntz // Review of Scientific Instruments. - 2002. - т. 73, № 10. - с. 3629-3637.

7. Abramov, A. A. Rarefied gas flow past a flat plate at zero angle of attack [текст] / A. A. Abramov, A. V. Butkovskii, O. G. Buzykin // Physics of Fluids. - 2020. - т. 32, № 8. - с. 087108.

8. Aktas, O. Application of a parallel DSMC technique to predict flow characteristics in microfluidic filters [текст] / O. Aktas, N. R. Aluru, U. Ravaioli // Journal of Microelectromechanical Systems. - 2002. - т. 10, № 4. - с. 538-549.

9. Szwemin, P. Monte Carlo study of a new PTB primary standard for very low pressures [текст] / P. Szwemin, K. Szymanski, K. Jousten // Metrologia. - 1999. - т. 36, № 6. - с. 561-564.

10. Jitschin, W. Gas flow measurement by means of orifices and Venturi tubes [текст] / W. Jitschin, M. Ronzheimer, S. Khodabakhshi // Vacuum. - 1999. - т. 53, № 1-2. - с. 181-185.

11. Danilatos, G. Direct simulation Monte Carlo study of orifice flow [текст] / G. Danilatos // AIP Conference Proceedings. - 2001. - т. 585, № 1. - с. 924-932.

12. Kloss, Yu. Yu. Interaction of a shock wave with a boundary layer in a micro channel [текст] / Yu. Yu. Kloss, V. V. Ryabchenkov, F. G. Tcheremissine, P. V. Shuvalov // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2011. - т. 3, № 6. - с. 744-750.

13. Sharipov, F. Gaseous mixtures in vacuum systems and microfluidics [текст] / F. Sharipov // Journal of Vacuum Science & Technology A: Vacuum, Surfaces, and Films. - 2013. - т. 31, № 5. - с. 050806-17.

14. Bird, G. A. The DSMC Method [текст] / G. A. Bird. - CreateSpace Independent Publishing Platform, 2013. - 300 c.

15. Stefanov, S. K. On the basic concepts of the direct simulation Monte Carlo method [текст] / S. K. Stefanov // Physics of Fluids. - 2019. - т. 31, № 6. - с. 067104.

16. Xu, K. Unified Computational Fluid Dynamics Framework from Rarefied to Continuum Regimes [текст] / K. Xu. - University of Cambridge ESOL Examinations, 2021. - 75 c.

17. Titarev, V. A. Numerical methods for model kinetic equations and their application to external High-Speed flows [текст] / V. A. Titarev // Continuum Mechanics, Applied Mathematics and Scientific Computing: Godunov's Legacy. - Springer, 2020. - 411 c. - с. 353-358.

18. Frolova, A. A. Recent Progress on Supercomputer Modelling of High-Speed Rarefied Gas Flows Using Kinetic Equations [текст] / A. A. Frolova, V. A. Titarev // Supercomputing Frontiers and Innovations. - 2018. - т. 5, № 3. - с. 116-120.

19. Sharipov, F. Data on Internal Rarefied Gas Flows [текст] / F. Sharipov, V. Seleznev // Journal of Physical and Chemical Reference Data. - 1998. - т. 27, № 3. - с. 657-706.

20. He, Z. Analytical method of nonlinear coupled constitutive relations for rarefied non-equilibrium flows [текст] / Z. He, Z. Jiang, H. Zhang, W. Chen // Chinese Journal of Aeronautics. - 2020. - т. 34, № 12. - с. 136-153.

21. Chapman, S. The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases [текст] / S. Chapman, T. G. Cowling. - Cambridge University Press, 1990. - 423 c.

22. Aristov, V. V. Simulations of pressure-driven flows through channels and pipes with unified flow solver [текст] / V. V. Aristov, A. A. Frolova, S. A. Zabelok, R. R. Arslanbekov, V. I. Kolobov // Vacuum. - 2012. - т. 86, № 11. - с. 1717-1724.

23. Sitnikov, S. S. A method for numerical simulation of shock waves in rarefied gas mixtures based on direct solution of the Boltzmann kinetic equation [текст] / S. S. Sitnikov, F. G. Tcheremissine // Journal of Computational Physics. - 2025. - т. 520. - с. 113463.

24. Додулад, О. И. Моделирование течений разреженного газа на основе решения кинетического уравнения Больцмана консервативным проекционным методом [текст] / О. И. Додулад, Ю. Ю. Клосс, А. П. Потапов, Ф. Г. Черемисин, П. В. Шувалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2016. - т. 56, № 6. - с. 10081024.

25. Черемисин, Ф. Г. Консервативный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана [текст] / Ф. Г. Черемисин // Доклады РАН. - 1997. - т. 357, № 1. - с. 53-56.

26. Anikin, Yu. A. Method of calculating the collision integral and solution of the Boltzmann kinetic equation for simple gases, gas mixtures and gases with rotational degrees of freedom [текст] / Yu. A. Anikin, O. I. Dodulad, Yu. Yu. Kloss, F. G. Tcheremissine // International Journal of Computer Mathematics. - 2015. - т. 92, № 9. - с. 1775-1789.

27. Черемисин, Ф. Г. Решение кинетического уравнения Больцмана для высокоскоростных течений [текст] / Ф. Г. Черемисин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - т. 46, № 2. - с. 329-343.

28. Черемисин, Ф. Г. Решение уравнения Больцмана при переходе к гидродинамическому режиму течения [текст] / Ф. Г. Черемисин // Доклады РАН. - 2000. - т. 373, № 4. - с. 483486.

29. Anikin, Yu. A. Development of applied software for analysis of gas flows in vacuum devices [текст] / Yu. A. Anikin, O. I. Dodulad, Yu. Yu. Kloss, D. V. Martynov, P. V. Shuvalov, F. G. Tcheremissine // Vacuum. - 2012. - т. 86, № 11. - с. 1770-1777.

30. Kolobov, V. Unified solver for rarefied and continuum flows with adaptive mesh and algorithm refinement [текст] / V. Kolobov, R. Arslanbekov, V. Aristov, A. Frolova, S. Zabelok // Journal of Computational Physics. - 2007. - т. 223, № 2. - с. 589-608.

31. Dodulad, O. I. Study of gas separation in micro devices by solving the Boltzmann equation [текст] / O. I. Dodulad, I. D. Ivanova, Yu. Yu. Kloss, P. V. Shuvalov, F. G. Tchremissine // AIP Conference Proceedings. - 2012. - т. 1501, № 1. - с. 816-823.

32. Anikin, Yu. A. Simulation of gas flows in micro devices by solving the Boltzmann kinetic equation [текст] / Yu. A. Anikin, O. I. Dodulad, Yu. Yu. Kloss, D. V. Martynov, P. V. Shuvalov, F. G. Tchremissine // TechConnect Briefs. - 2012. - т. 2. - с. 617-620.

33. Kolobov, V. Unified Kinetic Approach for Simulation of Gas Flows in Rarefied and Continuum Regimes [текст] / V. Kolobov, R. Arslanbekov, S. Bayyuk, V. Aristov, A. Frolova, S. Zabelok, F. Tcheremissine // CFD Research. - 2007. - 83 с.

34. Черемисин, Ф. Г. Ускорение решения уравнения Больцмана с помощью контроля величины вкладов в интеграл столкновений [текст] / Ф. Г. Черемисин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2023. - т. 63, № 12. - с. 20352050.

35. Quinn, M. J. Parallel Programming in C with MPI and OpenMP [текст] / M. J. Quinn. -McGraw-Hill Higher Education, 2004. - 529 c.

36. Коган, М. Н. Динамика разреженного газа [текст] / М. Н. Коган. - Наука, 1967. - 440 c.

37. Hirschfelder, J. O. The Molecular Theory of Gases and Liquids [текст] / J. O. Hirschfelder, C. F. Curtiss, R. B. Bird. - John Wiley & Sons, 1964. - 1280 c.

38. Ferziger, J. H. Mathematical Theory of Transport Processes in Gases [текст] / J. H. Ferziger, H. G. Kaper. - North-Holland Publishing Company, 1972. - 579 c.

39. Попов, С. П. Консервативный метод решения уравнения Больцмана для центрально-симметричных потенциалов взаимодействия [текст] / С. П. Попов, Ф. Г. Черемисин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1999. - т. 39, № 1. - с. 163-176.

40. Sharipov, F. Ab initio simulation of rarefied gas flow through a thin orifice [текст] / F. Sharipov, J. L. Strapasson // Vacuum. - 2014. - т. 109. - с. 246-252.

41. Sharipov, F. Ab initio simulation of gaseous mixture flow through an orifice [текст] / F. Sharipov // Vacuum. - 2017. - т. 143. - с. 106-118.

42. Dodulad, O. I. Knudsen pumps modeling with Lennard-Jones and ab initio intermolecular potentials [текст] / O. I. Dodulad, Yu. Yu. Kloss, D. O. Savichkin, F. G. Tcheremissine // Vacuum. - 2014. - т. 109. - с. 360-367.

43. Аристов, В. В. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана [текст] / В. В. Аристов, Ф. Г. Черемисин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1980. - т. 20, № 1. - с. 191-207.

44. Самарский, А. А. Аддитивные схемы для задач математической физики [текст] / А. А. Самарский, П. Н. Вабишевич. - Наука, 2001. - 320 c.

45. Коробов, Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения [текст] / Н. М. Коробов. -Наука, 1989. - 240 c.

46. Черемисин, Ф. Г. Решение уравнения Больцмана в режиме сплошной среды [текст] / Ф. Г. Черемисин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2023.

- т. 63, № 2. - с. 336-348.

47. Josyula, E. Kinetic Solution of Shock Structure in a Non-Reactive Gas Mixture [текст] / E. Josyula, P. Vedula, W. F. Bailey // 48th AIAA Aerospace Sciences Meeting Including the New Horizons Forum and Aerospace Exposition. - 2010.

48. Raines, A. A. Numerical Solution Of One-Dimensional Problems In Binary Gas Mixture On The Basis Of The Boltzmann Equation [текст] / A. A. Raines // AIP Conference Proceedings.

- 2003. - т. 663, № 1. - с. 67-76.

49. Dodulad, O. I. Multipoint conservative projection method for computing the Boltzmann collision integral for gas mixtures [текст] / O. I. Dodulad, F. G. Tchremissine // AIP Conference Proceedings. - 2012. - т. 1501, № 1. - с. 302-309.

50. Morris, A. B. Improvement of a Discrete Velocity Boltzmann Equation Solver With Arbitrary Post-Collision Velocities [текст] / A. B. Morris, P. L. Varghese, D. B. Goldstein // AIP Conference Proceedings. - 2008. - т. 1084, № 1. - с. 458-463.

51. Clarke, P. A novel discrete velocity method for solving the Boltzmann equation including internal energy and non-uniform grids in velocity space [текст] / P. Clarke, P. Varghese, D. Goldstein, A. Morris, P. Bauman, D. Hegermiller // AIP Conference Proceedings. - 2012. - т. 1501, № 1. - с. 373-380.

52. Sharipov, F. Benchmark problems in rarefied gas dynamics [текст] / F. Sharipov // Vacuum. -2012. - т. 86, № 11. - с. 1697-1700.

53. Додулад, О. И. Расчеты структуры ударной волны в одноатомном газе с контролем точности [текст] / О. И. Додулад, Ф. Г. Черемисин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - т. 53, № 6. - с. 1008-1026.

54. Raines, A. Study of a shock wave structure in gas mixtures on the basis of the Boltzmann equation [текст] / A. Raines // European Journal of Mechanics - B/Fluids. - 2002. - т. 21, № 5. - с. 599-610.

55. Kosuge, S. Shock-wave structure for a binary gas mixture: finite-difference analysis of the Boltzmann equation for hard-sphere molecules [текст] / S. Kosuge, K. Aoki, S. Takata // European Journal of Mechanics - B/Fluids. - 2001. - т. 20, № 1. - с. 87-126.

56. Strang, G. On the Construction and Comparison of Difference Schemes [текст] / G. Strang // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1968. - т. 5, № 3. - с. 506-517.

57. Додулад, О. И. Расчеты структуры ударной волны в смеси газов на основе решения уравнения Больцмана [текст] / О. И. Додулад, Ю. Ю. Клосс, Ф. Г. Черемисин // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. - 2013. - т. 14, № 1.

58. Аникин, Ю. А. О точности проекционного счета интеграла столкновений [текст] / Ю. А. Аникин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - т. 52, № 4. - с. 697-719.

59. Sharipov, F. Structure of planar shock waves in gaseous mixtures based on ab initio direct simulation [текст] / F. Sharipov, F. C. Dias // European Journal of Mechanics - B/Fluids. -

2018. - т. 72. - с. 251-263.

60. Popov, S. P. A Method Of Joint Solution Of The Boltzmann And Navier-Stokes Equations [текст] / S. P. Popov, F. G. Tchremissine // AIP Conference Proceedings. - 2005. - т. 762, № 1. - с. 82-87.

61. Britan, A. Experimental and Numerical Study of Shock Wave Interaction with Perforated Plates [текст] / A. Britan, A. Karpov, E. Vasilev, O. Igra, G. Ben-Dor, E. Shapiro // Journal of Fluids Engineering. - 2004. - т. 126, № 3. - с. 399-409.

62. Pramod, B. V. N. Attenuation of shock waves by using porous media [текст] / B. V. N. Pramod, J. P. Raj, C. H. Parashar, A. Kartha, S. R. Nagaraja // AIP Conference Proceedings. -

2019. - т. 2080, № 1. - с. 030015.

63. Skews, B. W. Shock wave interaction with porous plates [текст] / B. W. Skews // Experiments in Fluids. - 2005. - т. 39, № 5. - с. 875-884.

64. Клосс, Ю. Ю. Решение уравнения Больцмана для нестационарных течений с ударными волнами в узких каналах [текст] / Ю. Ю. Клосс, Ф. Г. Черемисин, П. В. Шувалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - т. 50, № 6. - с. 1148-1158.

65. Popov, S. P. Rarefied Gas Flow around Flat Plates [текст] / S. P. Popov, F. G. Tchremissine // Journal of Machinery Manufacturing and Automation. - 2013. - т. 2, № 2. - с. 33-39.

66. Tsuboi, N. Direct Simulation Monte Carlo Method on Rarefied Hypersonic Gas Flow Around Flat Plates [текст] / N. Tsuboi, H. Yamaguchi, Y. Matsumoto // Journal of Spacecraft and Rockets. - 2004. - т. 41, № 3. - с. 397-405.

67. Gijare, H. The effect of Knudsen layer on rarefied hypersonic gas flows [текст] / H. Gijare, A. Bhagat, N. Dongari // AIP Conference Proceedings. - 2019. - т. 2132, № 1. - с. 100015.

Список рисунков

Рисунок 1.1 - Схема пятиточечного проецирования........................................................................26

Рисунок 2.1 - Блок-схема программного комплекса........................................................................29

Рисунок 2.2 - Численные результаты и теоретическая оценка для относительного числа

столкновений с интерполяцией с разрывом......................................................................................42

Рисунок 3.1 - Постановка задачи.......................................................................................................44

Рисунок 3.2 - Иллюстрация изменения шага сетки в физическом пространстве в зависимости от

расстояния до щели..............................................................................................................................46

Рисунок 3.3 - Распределения концентрации и температуры компонентов аргон-неоновой

газовой смеси вблизи щели в стационарном режиме течения, Кп = 1.27 40"1...............................48

Рисунок 3.4 - Распределения концентрации и температуры компонентов аргон-неоновой

газовой смеси вблизи щели в стационарном режиме течения, Кп = 1.63......................................49

Рисунок 3.5 - Распределения концентрации и температуры компонентов аргон-неоновой

газовой смеси вблизи щели в стационарном режиме течения, Кп = 16.6......................................50

Рисунок 3.6 - Отношение концентраций компонентов смеси для Кп = 1.27• 10"1 в момент

времени: а) г = 36, б) г = 72, в) г = 108, г) г = 144............................................................................51

Рисунок 3.7 - Отношение концентраций компонентов смеси для Кп = 16.6 в момент времени:

а) г = 0.248, б) г = 0.496, в) г = 0.744, г) г = 0.992............................................................................ 52

Рисунок 4.1 - Распределения макроскопических величин вдоль фронта ударной волны для:

а) М = 3, та/тр = 12, п"/пр = 9/1, б) М = 2, т" /тр = 12, п"/пр = 1,

в) М = 2, та/тр = 14, п" /пр = 1, г) М = 3, та/тр = 110, п"¡пр = 1.............................................60

Рисунок 4.2 - Численные результаты, полученные для 8'(^) варьированием параметров

дискретизации: а) ах = Н(, б) а2 = Н2, в) а3 = Ь2р, г) а = Щ1............................................................63

Рисунок 4.3 - Сравнение полученных распределений концентрации смеси с расчетными данными, представленными в [55], для: а) М = 3, т"/тр = 1/2, п"Щ = 9/1,

б) М = 2, т"/тр = 14, п"/пр = 1........................................................................................................65

Рисунок 4.4 - Распределения Д2 (х), полученные при различных пороговых уровнях

отбрасывания столкновений...............................................................................................................67

Рисунок 4.5 - Сравнение полученных распределений концентрации компонентов гелий-

аргоновой смеси с расчетными данными, представленными в [59], для: а) Не, б) Аг..................69

Рисунок 5.1 - Периодически перфорированная поверхность..........................................................72

Рисунок 5.2 - Постановка задачи.......................................................................................................72

Рисунок 5.3 - Концентрация смеси для М = 3, т" /тР = 1/2, п"/«Р = 9/1 в момент времени:

а) г = 0.25, б) г = 0.47, в) г = 0.76, г) г = 0.98....................................................................................77

Рисунок 5.4 - Концентрация смеси для М = 2, т" /тР = 1/2, щ/нР = 1 в момент времени:

а) г = 0.24, б) г = 0.51, в) г = 0.75, г) г = 0.95....................................................................................78

Рисунок 5.5 - Концентрация смеси для М = 2, т"/тР = 1/4, п" /нР = 1 в момент времени:

а) г = 0.25, б) г = 0.51, в) г = 0.73, г) г = 0.95....................................................................................79

Рисунок 5.6 - Концентрация смеси для М = 3, т"/тР = 110, н"/нР = 1 в момент времени:

а) г = 0.25, б) г = 0.47, в) г = 0.76, г) г = 0.98....................................................................................80

Рисунок 5.7 - Температура смеси для М = 3, т" /тР = 1/2, п"/иР = 9/1 в момент времени:

а) г = 0.25, б) г = 0.47, в) г = 0.76, г) г = 0.98....................................................................................81

Рисунок 5.8 - Коэффициент разделения компонентов смеси х(х, у) для

М = 3, т"/тР = 12, п" /пР = в момент времени: а) г = 0.25, б) г = 0.47, в) г = 0.76,

г) г = 0.98...............................................................................................................................................82

Рисунок 5.9 - Коэффициент разделения компонентов смеси %(х, у) для

М = 2, та/тР = 12, п" / пр = 1 в момент времени: а) г = 0.24, б) г = 0.51, в) г = 0.75, г) г = 0.95. ................................................................................................................................................................83

Рисунок 5.10 - Коэффициент разделения компонентов смеси %(х, у) для

М = 2, т" тР = 14, п" / пР = 1 в момент времени: а) г = 0.25, б) г = 0.51, в) г = 0.73, г) г = 0.95.

................................................................................................................................................................ 84

Рисунок 5.11 - Коэффициент разделения компонентов смеси %(х, у) для

М = 3, т" / тР = 1/10, п" / пр = 1 в момент времени: а) г = 0.25, б) г = 0.47, в) г = 0.76, г) г = 0.98.

................................................................................................................................................................ 85

Рисунок 6.1 - Постановка задачи.......................................................................................................91

Рисунок 6.2 - Распределения концентрации смеси для т"/тР = 1/2, п"/пР = 1 в момент

времени: а) г = 8, б) г = 9.2, в) г = 10.4, г) г = 11.6...........................................................................95

Рисунок 6.3 - Распределения концентрации смеси для т"/тР = 1/4, п"/пР = 1 в момент

времени: а) г = 8, б) г = 9.2, в) г = 10.4, г) г = 11.6...........................................................................96

Рисунок 6.4 - Распределения концентрации смеси для т"тР= 1/4, п"/пР = 4/1 в момент времени: а) г = 8, б) г = 9.2, в) г = 10.4, г) г = 11.6...........................................................................97

Рисунок 6.5 - Распределения температуры смеси для т"/тр = 1/4, п" /пр = 1 в момент времени:

а) г = 8, б) г = 9.2, в) г = 10.4, г) г = 11.6...........................................................................................98

Рисунок 6.6 - Распределения температуры смеси для т"/тр = 1/4, п"/пр = 4/1 в момент

времени: а) г = 8, б) г = 9.2, в) г = 10.4, г) г = 11.6...........................................................................99

Рисунок 6.7 - Распределения концентрации смеси для т"/тр = 1/4, п" /пр = 1 в области

{(х,^) е К21—10 < х < 10, -10 < ^ < К)} в момент времени: а) Г = 7.6, б) Г = 9.2, в) Г = 10.8,

г) г = 12.4.............................................................................................................................................100

Рисунок 6.8 - Распределения температуры смеси для т"/тр = 1/4, п" /пр = 1 в области

еМ2|-10<х<10, -10<7<10| в момент времени: а) Г = 7.6, б) Г = 9.2, в) Г = 10.8,

г) г = 12.4.............................................................................................................................................101

Рисунок 6.9 - Распределения концентрации смеси для т"/тр = 1/4, п" /пр = 1 в области перед

каналом в момент времени: а) г = 10, б) г = 10.8, в) г = 11.6, г) г = 12.4......................................102

Рисунок 6.10 - Распределения температуры смеси для т"/тр = 1/4, п"/пр = 1 в области перед

каналом в момент времени: а) г = 10, б) г = 10.8, в) г = 11.6, г) г = 12.4......................................103

Рисунок 6.11 - Распределения коэффициента разделения компонентов смеси для

т"/тр = 1/2, п" /пр = 1 в момент времени: а) г = 8, б) г = 9.2, в) г = 10.4, г) г = 11.6...............104

Рисунок 6.12 - Распределения коэффициента разделения компонентов смеси для

т"/тр = 1/4, п" /пр = 1 в момент времени: а) г = 8, б) г = 9.2, в) г = 10.4, г) г = 11.6...............105

Рисунок 6.13 - Распределения коэффициента разделения компонентов смеси для

т"/тр = 14, п"/пр = 4/1 в момент времени: а) г = 8, б) г = 9.2, в) г = 10.4, г) г = 11.6............106

Рисунок 6.14 - Распределения концентрации смеси для т"/тр = 1/4, п"/пр = 1 при температуре

стенок канала Г0 = Г2 в момент времени: а) г = 8, б) г = 9.2, в) г = 10.4, г) г = 11.6...................107

Рисунок 6.15 - Распределения температуры смеси для т"/тр = 1/4, п" /= 1 при температуре

стенок канала Г0 = Г2 в момент времени: а) г = 8, б) г = 9.2, в) г = 10.4, г) г = 11.6...................108

Рисунок 6.16 - Распределения коэффициента разделения компонентов для т"/тр = 1/4, </пр = 1 при температуре стенок канала Г0 = Г2 в момент времени: а) г = 8,

б) г = 9.2, в) г = 10.4, г) г = 11.6........................................................................................................110

Рисунок 6.17 - Распределения коэффициента разделения компонентов для та/тр = 14, п"/пр = 4/1 при температуре стенок канала Г0 = 5Т в момент времени: а) г = 8, б) г = 8.6, в) г = 9.2, г) г = 9.8...........................................................................................................111

Рисунок 6.18 - Распределения концентрации смеси для m" /mf = 1/4, n" /nf = 1 в области перед каналом при температуре стенок канала T = Г2 в момент времени: а) t = 9.4, б) t =10,

в) t = 10.6, г) t = 11.2..........................................................................................................................112

Рисунок 6.19 - Распределения температуры смеси для m" /mf = 1/4, n"/nf = 1 в области перед каналом при температуре стенок канала T = T в момент времени: а) t = 9.4, б) t = 10,

в) t = 10.6, г) t = 11.2..........................................................................................................................113

Рисунок 7.1 - Периодически перфорированная поверхность........................................................116

Рисунок 7.2 - Постановка задачи.....................................................................................................116

Рисунок 7.3 - Распределения концентрации смеси для M = 3, m2/m = 12, щ/щ = 9/1 в момент

времени: а) t = 1, б) t = 2, в) t = 3, г) t = 4......................................................................................119

Рисунок 7.4 - Распределения концентрации смеси для M = 3, m2/m = 110, щ/щ = 1 в момент

времени: а) t = 1, б) t = 2, в) t = 3, г) t = 4......................................................................................120

Рисунок 7.5 - Распределения концентрации смеси в стационарном режиме течения для: а) M = 3,m2/m = 1/2, щ/щ = 9/1, б) M = 2,m2/m = 12,щ/щ = 1, в) M = 2,m2/m = 14,щ/щ = 1,

г) M = 3, m2M = 110, щ/щ = 1........................................................................................................121

Рисунок 7.6 - Распределения температуры смеси в стационарном режиме течения для:

а) m=3, m2/m = 12, щ/щ = 9/1, б) m = 2, m/m = 12, щ/щ = 1, в) m = 2, m/m = 14, щ/щ = 1, г) m=3, m/m = 110, щ/щ = 1........................................................................................................122

Рисунок 7.7 - Распределение значений локального числа Маха в стационарном режиме течения для: а) M = 3, m2/m = 1/2, щ/щ = 9/1, б) M = 2, m/m = 12, щ/щ = 1,

в) M = 2, m/m = 14, щ/щ = 1, г) M = 3, m2/m = 110, щ/щ = 1..................................................123

Рисунок 7.8 - Распределения концентрации смеси в области перед перфорированной поверхностью для M = 3, m2/m = 1/2, щ/щ = 9/1 в момент времени: а) t = 5, б) t = 10, в) t = 15,

г) t = 20................................................................................................................................................124

Рисунок 7.9 - Распределения температуры смеси в области перед перфорированной поверхностью для M = 3, m2/m = 1/2, щ/щ = 9/1 в момент времени: а) t = 5, б) t = 10, в) t = 15,

г) t = 20................................................................................................................................................125

Рисунок 7.10 - Распределения локального числа Маха в области перед перфорированной поверхностью для M = 3, m2/m = 1/2, щ/щ = 9/1 в момент времени: а) t = 5, б) t = 10, в) t = 15, г) t = 20................................................................................................................................................126

Рисунок 7.11 - Распределения коэффициента разделения компонентов смеси для

M = 3, m/m = 12, щ/щ = 9/1 в момент времени: а) t = 0.5, б) t = 1, в) t = 1.5, г) t = 2...........128

Рисунок 7.12 - Распределения коэффициента разделения компонентов смеси для

M = 3, m2/m = 110, щ/щ = 1 в момент времени: а) t = 0.5, б) t = 1, в) t = 1.5, г) t = 2.............129

Рисунок 7.13 - Распределение коэффициента разделения компонентов для

M = 3, m/m = 110, щ/щ = 1 в момент времени t = 0.7................................................................130

Рисунок 7.14 - Графики зависимости максимального по координатам значения коэффициента разделения компонентов от времени для M = 3, m/m = 110, щ/щ = 1 на временном интервале:

а) 0 < t < 15, б) 2 < t < 15....................................................................................................................130

Рисунок 7.15 - Распределения коэффициента разделения компонентов смеси в стационарном режиме течения для: а) M = 3, m/m = 12, щ/щ = 9/1, б) M = 2, m/m = 1^, щ/щ = 1,

в) m=2, m/m = 14, щ/щ = 1, г) M=3, ml m = 110, щ/щ = 1..................................................131

Список таблиц

Таблица 2.1 - Время выполнения одной итерации вычислений по схеме «непрерывного счета»,

мс, двухточечная схема проецирования............................................................................................35

Таблица 2.2 - Ускорение вычислений с использованием схемы «непрерывного счета»,

двухточечная схема проецирования ................................................................................................... 35

Таблица 2.3 - Время выполнения одной итерации вычислений по схеме «непрерывного счета»,

мс, пятиточечная схема проецирования............................................................................................. 36

Таблица 2.4 - Ускорение вычислений с использованием схемы «непрерывного счета»,

пятиточечная схема проецирования ................................................................................................... 36

Таблица 2.5 - Время генерации сетки Коробова с учетом выполнения проецирования и размер

требуемой памяти, пятиточечная схема проецирования..................................................................37

Таблица 3.1 - Относительное отклонение выходного потока компонентов, полученное при

варьировании размера сетки Коробова и шага импульсной сетки.................................................. 53

Таблица 3.2 - Сравнение полученных значений приведенного линейного выходного потока однокомпонентного газа для различной величины параметра разрежения с результатами,

представленными в [22] ....................................................................................................................... 55

Таблица 4.1 - Зависимость достигнутого ускорения и погрешности вычислений от порогового

уровня отбрасывания столкновений................................................................................................... 67

Таблица 5.1 - Максимальные и минимальные значения коэффициента разделения, полученные

для различных чисел Маха и параметров компонентов...................................................................86

Таблица 5.2 - Значения е р, полученные для вариации различных параметров дискретизации

................................................................................................................................................................ 87

Таблица 7.1 - Максимальное и минимальное значения коэффициента разделения компонентов смеси в процессе установления течения при различных числах Маха и параметрах компонентов

..............................................................................................................................................................129

Таблица 7.2 - Максимальное и минимальное значения коэффициента разделения компонентов смеси в стационарном режиме течения при различных числах Маха и параметрах компонентов

..............................................................................................................................................................132

Таблица 7.3 - Значения е^, полученные для вариации различных параметров дискретизации

Приложение А. Распределения макроскопических величин вдоль фронта ударной волны

(справочное)

В приложении представлены численные результаты по структуре ударной волны для различных отношений молекулярных масс и концентраций компонентов смеси, а также различных чисел Маха. В таблице А.1 приведены распределения концентрации п и температуры Т смеси вдоль фронта ударной волны. В таблице А.2 представлены распределения концентраций компонентов па, П вдоль ударного фронта.

Таблица А.1 - Распределения концентрации п и температуры Т смеси вдоль фронта ударной волны для различных отношений молекулярных масс и концентраций компонентов и значений числа Маха: а) М = 3, та /тС = 1/2, < /п? = 9/1, б) М = 2, та /тС = 12, < /пС = 1,

в) M - 2, ma/mß - V4, < /nf =1, г) M - 3, ma/mß = 110, щ /nf -1

X Параметры (а) Параметры (б) Параметры (в) Параметры (г)

n T n T n T n T

-10.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-9.2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-8.4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01

-7.6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.01 0.01

-6.8 0.00 0.00 0.00 0.01 0.01 0.01 0.01 0.02

-6.0 0.00 0.00 0.00 0.01 0.01 0.02 0.02 0.03

-5.6 0.00 0.01 0.01 0.02 0.01 0.03 0.02 0.04

-5.2 0.00 0.01 0.01 0.02 0.02 0.04 0.03 0.06

-4.8 0.00 0.01 0.01 0.03 0.02 0.06 0.04 0.08

-4.4 0.00 0.02 0.02 0.05 0.03 0.08 0.05 0.10

-4.0 0.01 0.03 0.02 0.07 0.04 0.10 0.06 0.12

-3.8 0.01 0.04 0.03 0.08 0.05 0.12 0.07 0.14

-3.6 0.01 0.05 0.03 0.10 0.06 0.14 0.08 0.16

-3.4 0.01 0.06 0.04 0.12 0.07 0.16 0.09 0.18

-3.2 0.02 0.08 0.05 0.14 0.08 0.18 0.11 0.20

-3.0 0.02 0.10 0.06 0.17 0.09 0.20 0.12 0.22

-2.B 0.02 0.12 0.07 0.19 0.11 0.2З 0.1З 0.24

-2.б 0.0З 0.15 O.OB 0.2З 0.12 0.26 0.15 0.27

-2.4 0.04 0.1B 0.10 0.2б 0.14 0.З0 0.17 0.З0

-2.2 0.05 0.22 0.11 0.З0 0.16 0.ЗЗ 0.18 0.ЗЗ

-2.0 0.0б 0.27 0.1З 0.З4 0.1B 0.З7 0.20 0.З6

-l.B O.OB 0.З2 0.1б 0.З9 0.21 0.41 0.2З 0.40

-1.б 0.10 0.3B 0.1B 0.44 0.24 0.45 0.25 0.4З

-1.4 0.12 0.45 0.21 0.49 0.27 0.49 0.28 0.47

-1.2 0.15 0.52 0.25 0.54 0.З0 0.5З 0.З1 0.51

-1.0 0.19 0.59 0.2B 0.59 0.ЗЗ 0.57 0.З4 0.56

-O.B 0.2З 0.бб 0.З2 0.63 0.З7 0.61 0.З7 0.60

-0.б 0.2B 0.72 0.З7 0.6b 0.41 0.65 0.41 0.64

-0.4 0.З4 0.7B 0.41 0.72 0.45 0.69 0.44 0.68

-0.2 0.40 0.B3 0.4б 0.76 0.49 0.7З 0.48 0.72

0.0 0.47 0.B7 0.51 0.79 0.5З 0.76 0.52 0.76

0.2 0.54 0.91 0.55 0.B3 0.57 0.79 0.56 0.79

0.4 0.б0 0.9З 0.б0 0.B5 0.61 0.82 0.61 0.82

0.б 0.б7 0.95 0.б4 O.BB 0.65 0.84 0.65 0.85

O.B 0.7З 0.9б 0.б9 0.90 0.69 0.86 0.69 O.BB

1.0 0.7B 0.97 0.72 0.91 0.72 O.BB 0.7З 0.90

1.2 0.B2 0.9B 0.7б 0.9З 0.75 0.90 0.76 0.91

1.4 0.B6 0.99 0.79 0.94 0.7B 0.91 0.79 0.9З

1.б 0.B9 0.99 0.B2 0.95 0.B1 0.92 0.82 0.94

l.B 0.91 0.99 0.B5 0.96 0.B4 0.94 0.85 0.95

2.0 0.9З 1.00 0.B7 0.97 0.86 0.94 0.87 0.96

2.2 0.95 1.00 0.B9 0.97 O.BB 0.95 0.89 0.97

2.4 0.9б 1.00 0.91 0.9B 0.90 0.96 0.91 0.97

2.б 0.97 1.00 0.92 0.9B 0.91 0.97 0.9З 0.98

2.B 0.9B 1.00 0.9З 0.9B 0.92 0.97 0.94 0.98

З.0 0.9B 1.00 0.95 0.99 0.9З 0.97 0.95 0.99

З.2 0.99 1.00 0.95 0.99 0.94 0.98 0.96 0.99

3.4 0.99 1.00 0.96 0.99 0.95 0.98 0.97 0.99

3.6 0.99 1.00 0.97 0.99 0.96 0.98 0.97 0.99

3.8 0.99 1.00 0.97 0.99 0.97 0.99 0.98 0.99

4.0 1.00 1.00 0.98 0.99 0.97 0.99 0.98 0.99

4.4 1.00 1.00 0.99 1.00 0.98 0.99 0.99 1.00

4.8 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99 0.99 0.99 1.00

5.2 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99 1.00 0.99 1.00

5.6 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00

6.0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

6.8 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

7.6 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

8.4 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

9.2 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

10.0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

Таблица А.2 - Распределения концентраций компонентов смеси п", пр вдоль фронта ударной волны для различных отношений молекулярных масс и концентраций компонентов и значений числа Маха: а) М = 3, т"тр = 12, п"/п? = 9/1, б) М = 2, та/тр= 12, </< = 1, в) М = 2, т"тр = 14, п" /п3 = 1, г) М = 3, т"тр = 110, п"/пр = 1

X Параметры (а) Параметры (б) Параметры (в) Параметры (г)

na nß na nß na nß na nß

-10.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-9.2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-8.4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-7.6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00

-6.8 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.02 0.00

-6.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.03 0.00

-5.6 0.00 0.00 0.01 0.00 0.02 0.01 0.04 0.00

-5.2 0.00 0.00 0.01 0.01 0.03 0.01 0.05 0.01

-4.8 0.00 0.00 0.01 0.01 0.04 0.01 0.07 0.01

-4.4 0.00 0.00 0.02 0.01 0.05 0.02 0.09 0.01

-4.0 0.01 0.00 0.03 0.02 0.07 0.02 0.11 0.02

-3.8 0.01 0.00 0.04 0.02 0.08 0.03 0.13 0.02

-3.6 0.01 0.00 0.04 0.02 0.09 0.03 0.15 0.02

-3.4 0.01 0.01 0.05 0.03 0.10 0.04 0.16 0.02

-3.2 0.02 0.01 0.06 0.03 0.12 0.04 0.18 0.03

-3.0 0.02 0.01 0.07 0.04 0.14 0.05 0.20 0.03

-2.8 0.03 0.01 0.09 0.05 0.15 0.06 0.23 0.04

-2.6 0.03 0.02 0.10 0.06 0.18 0.07 0.25 0.04

-2.4 0.04 0.02 0.12 0.07 0.20 0.08 0.28 0.05

-2.2 0.05 0.03 0.14 0.09 0.23 0.10 0.31 0.06

-2.0 0.06 0.03 0.16 0.10 0.25 0.11 0.34 0.07

-1.8 0.08 0.04 0.19 0.12 0.29 0.13 0.37 0.08

-1.6 0.10 0.05 0.22 0.15 0.32 0.15 0.41 0.10

-1.4 0.13 0.07 0.25 0.17 0.35 0.18 0.44 0.11

-1.2 0.16 0.09 0.29 0.20 0.39 0.20 0.48 0.13

-1.0 0.20 0.11 0.33 0.24 0.43 0.24 0.52 0.16

-0.8 0.24 0.14 0.37 0.27 0.47 0.27 0.56 0.19

-0.6 0.29 0.18 0.42 0.31 0.51 0.31 0.59 0.22

-0.4 0.35 0.22 0.46 0.36 0.55 0.34 0.63 0.25

-0.2 0.41 0.27 0.51 0.40 0.59 0.39 0.67 0.29

0.0 0.48 0.34 0.56 0.45 0.63 0.43 0.71 0.34

0.2 0.55 0.40 0.60 0.50 0.67 0.47 0.74 0.39

0.4 0.62 0.47 0.65 0.55 0.71 0.52 0.78 0.44

0.6 0.68 0.54 0.69 0.60 0.74 0.56 0.81 0.49

0.8 0.74 0.61 0.73 0.64 0.77 0.60 0.83 0.54

1.0 0.79 0.68 0.76 0.69 0.80 0.65 0.86 0.59

1.2 0.83 0.73 0.80 0.73 0.83 0.68 0.88 0.64

1.4 0.87 0.78 0.82 0.76 0.85 0.72 0.90 0.69

1.6 0.90 0.83 0.85 0.79 0.87 0.75 0.92 0.73

1.8 0.92 0.86 0.87 0.82 0.89 0.79 0.93 0.77

2.0 0.94 0.89 0.89 0.85 0.90 0.81 0.94 0.81

2.2 0.95 0.92 0.91 0.87 0.92 0.84 0.95 0.84

2.4 0.96 0.94 0.92 0.89 0.93 0.86 0.96 0.86

2.6 0.97 0.95 0.93 0.91 0.94 0.88 0.97 0.89

2.8 0.98 0.96 0.95 0.92 0.95 0.90 0.97 0.90

3.0 0.98 0.97 0.95 0.94 0.96 0.91 0.98 0.92

3.2 0.99 0.98 0.96 0.95 0.97 0.92 0.98 0.93

3.4 0.99 0.98 0.97 0.96 0.97 0.94 0.99 0.95

3.6 0.99 0.99 0.97 0.96 0.98 0.95 0.99 0.95

3.8 0.99 0.99 0.98 0.97 0.98 0.95 0.99 0.96

4.0 1.00 0.99 0.98 0.98 0.98 0.96 0.99 0.97

4.4 1.00 1.00 0.99 0.98 0.99 0.97 0.99 0.98

4.8 1.00 1.00 0.99 0.99 0.99 0.98 1.00 0.99

5.2 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99 1.00 0.99

5.6 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99

6.0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00

6.8 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

7.6 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

8.4 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

9.2 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

10.0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00