Моделирование технических систем на основе использования эквидистант тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Лыткина, Елена Михайловна

• Лыткина, Елена Михайловна
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Лыткина, Елена Михайловна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЙ.

1.1. Некоторые сведения из теории автоматического регулирования, используемой как основа моделирования технических систем.

1.2. Моделирование технических систем на основе типовых колебательных звеньев.

1.3. Динамические свойства колебательных систем, динамические связи.

1.4. Свойства и возможности эквидистант.

1.5. Постановка задачи исследования.

ГЛАВА 2. ЭКВИДИСТАНТЫ К НЕКОТОРЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ

КРИВЫМ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ

ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ.

2.1. Общие сведения.

2.2 Однопараметрические кривые.

2.3 Особенности эквидистант к кривым, уравнения которых зависят от двух параметров.

2.4 Частный случай гиперболы, функция у = ~.

2.5. Выводы по главе.

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ ЭКВИДИСТАНТНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ МОДЕЛЕЙ В ВИДЕ

КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ.

3.1. Уравнения эквидистанты в координатной форме.

3.2. Исследование возможностей применения эквидистанты к характеристикам колебательных систем с одной степенью свободы.

3.2.1. Случай недемпфированных колебаний (£>= 0).

3.2.2. Демпфированные колебания системы с одной степенью свободы.

3.2.3. Оценка величины условного «демпфирования», вносимого эквидистантой.

3.3. Учет дополнительных динамических связей.

3.3.1. Недемпфированные колебания с динамической связью.

3.3.2. Демпфированные колебания.

3.4. Моделирование в колебательных системах с двумя степенями свободы.

3.4.1. Недемпфированные вынужденные колебания, особенности построения эквидистант.

3.4.2. Учет демпфирования.

3.5. Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ЭКВИДИСТАНТА В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ

МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

4.1. Методические подходы в использовании эквидистанты для определения параметров систем.

4.2. Построение переходного процесса:.

4.3. Выводы по главе.

ГЛАВА 5. МЕТОДИКА ВЫБОРА ПАРАМЕТРА ЭКВИДИСТАНТЫ.

5.1. Зависимость параметра эквидистанты от ошибки вычислений.

5.2. Особенности применения эквидистант к частотным характеристикам.

5.3. Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование технических систем на основе использования эквидистант»

Современные технические системы являются достаточно сложными объектами для теоретического и экспериментального изучения. Это связано, в первую очередь, с необходимостью исследования и оценки динамических свойств систем, анализа влияния взаимозависимых и влияющих друг на друга возмущений и управляющих воздействий. Известные в специальной литературе методы позволяют во многих случаях реализовать достаточно формализованные процедуры составления математических моделей, чаще всего они бывают представлены различными дифференциальными уравнениями и их системами, с последующей реализацией на полученных моделях прямых и косвенных методов оценки решений. По вполне понятным причинам методы аппроксимации, упрощения моделей, понижения их порядка, линеаризация являются основными направлениями, позволяющими исследователю оценить возможные динамические свойства технических систем, эффективность управления состоянием, разработать специальные средства, позволяющие изменять в нужном направлении динамические характеристики.

Изучение достаточно сложной технической системы, как правило, сопровождается экспериментом, результаты которого важны для корректировки исходных положений при формировании математической модели, а также для определения достоверности полученной при анализе информации. Экспериментальные исследования предполагают подтверждение и качественных и количественных характеристик объекта и основаны на широком применении различного рода приборов. Заметим, что любые приборы, регистрирующие изменение наблюдаемых параметров, обладают избирательностью, для них характерны зоны нечувствительности, загрубление и определенный "размыв" результатов, что хорошо известно в теории измерений. В связи с этим неоднократно появлялись высказывания, направленные на необходимость понимания и учета того, что параметры реальных объектов по отношению к данным аналитического исследования, находятся в некоторой зоне 6 размыва", часто называемого "трубкой " -[44, 52]. Такие соображения не могли не привести к предложениям о введении эквидистанты как некоторого образа зависимости, полученной аналитически, но содержащей вполне определенную информацию, учитывающие реальную природу объекта. В свою очередь, построение для исходных зависимостей эквидистант можно рассматривать как один из приемов аппроксимации, упрощения моделей, сокращая тем самым объем последующих экспериментальных исследований, часто требующих больших материальных затрат.

Методологическая ценность введения такого специфического приема аппроксимации заключается и в том, что свойственные для аналитических моделей разрывные характеристики сглаживаются. Именно с такими реальными процессами, чаще всего, приходится сталкиваться в практике.

Динамические характеристики технических систем, возможности управления, целенаправленного изменения параметров и спектра возможных свойств чаще всего рассматриваются на моделях в виде колебательных систем, что предполагает соответствующее внимание к методам исследований и подходам в интерпретации результатов.

Теория автоматического управления (ТАУ), которая часто выступает основой для решения задач управления в технических системах, располагает достаточно развитым аналитическим аппаратом, позволяющим ввести в рассмотрение ряд частотных характеристик, отражающих динамические свойства объектов. Автор, в своей работе, в дальнейшем использует методы и приемы ТАУ, представление о структурных схемах и передаточных функциях, что не исключает, впрочем, использования других подходов, краткое описание которых дается в первой главе работы.

В главе 2 данной работы выводится векторное уравнение эквидистанты и исследуются некоторые свойства этой кривой, построенной для известных математических кривых, используемых в моделировании систем.

В главе 3 рассматриваются колебательные системы с 1 и 2МЯ степенями свободы и вводится понятие дополнительной динамической связи. Для ам7 плитудно - частотных характеристик систем разработаны процедуры построения эквидистант.

В главе 4 представлены методические материалы, связанные с обоснованием метода эквидистант, рассмотрены конкретные примеры, предложен оригинальный метод вычисления несобственных интегралов с помощью эквидистант.

В главе 5 исследованы зависимости параметра эквидистант от требуемой или допустимой ошибки вычисления, разработан ряд рекомендаций.

Для обеспечения численного эксперимента разработан программный комплекс.

В заключении представлены основные выводы по работе.

В приложениях приведены текст основной программы комплекса - ЕС УГОШТ и блок-схемы остальных программ, а также рисунки эквидистант для некоторых математических кривых при различных значениях параметра эк-видистанты р, описанные в главе 2.

По материалам диссертации опубликовано 12 научных работ.

Основные теоретические положения, результаты, выводы и рекомендации диссертации доложены, обсуждены и получили положительные отзывы:

1) на международной научно-технической конференции "Повышение эффективности производства и использование энергии в условиях Сибири", ИрГТУ, г. Иркутск, 1999 г.

2) на научно-технической конференции в г. Улан-Удэ, 1999 г.

3) на научно-технической конференции в г. Омске, 1999 г.

4) на ежегодных научно-технических конференциях АГТИ.

5) на ежегодных научно-технических конференциях ИрИИТ.

Основное содержание работы изложено в публикациях [24] - [28],

75]-[81]. 8

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Лыткина, Елена Михайловна

5.3. Выводы к главе 5

1. Исследована зависимость точности вычислений от параметра эквиди-станты р.

2. Получены зависимости точности вычислений от параметра эквиди-станты р для типовых математических кривых и АЧХ системы с одной степенью свободы.

3. Проведено сравнение двух методов вычисления ошибки 8 через исходное уравнение и через площадь фигуры, ограниченой исходной кривой.

4. Разработан алгоритм и составлена программа MISTAKE вычисления площади S с заданной точностью для различных значений р.

167

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обобщив результаты исследований можно сказать следующее:

1. Разработан системный подход в задачах моделирования технических систем на основе применения построения эквидистант как приема аппроксимации характеристик.

2. Предложены процедуры получения уравнений внутренней и внешней эквидистант в векторной и координатной формах, найдены необходимые соотношения для кривой произвольной формы.

3. Для ряда известных в моделировании одно и двухпараметрических математических кривых изучено поведение экв~ и экв+ при различных параметрах эквидистанты р.

4. Разработаны процедуры построения эквидистантных частотных характеристик в модельных задачах динамики для колебательных систем с одной и двумя степенями свободы. Предложен способ определения интегральных характеристик на основе оценки площадей в локальном частотном диапазоне.

5. Предложен аналитический метод построения переходных процессов в колебательной модели на основе эквидистанты, проведено сравнение с известными методиками.

6. Предложен и разработан метод вычисления несобственных интегралов с помощью эквидистанты и проведено сравнение точности этого метода с методом разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

7. Разработана концепция введения дополнительных динамических связей как фактора направленного изменения динамических свойств колебательных систем.

8. Предложена методика выбора параметра эквидистанты р в зависимости от допустимой ошибки вычислений 5, оценена величина условного «демпфирования», вносимого эквидистантой в модель. Разработана программа для вычислений на ЭВМ.

168

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Лыткина, Елена Михайловна, 2000 год

1. Алабужев П. М., Лаутин Ю. К., Остроменский П.И. и др. К расчету предельных возможностей противоударной амортизации // Механика и процессы управления упругих механических управляемых систем. -Иркутск: ИЛИ, 1976.-е. 102-108.

2. Ахназаров С. А., Кафаров В. В. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии. М.: Высшая школа, 1978. - 319 с.

3. Барабанов Н. Н., Митрофанов А, Д., Земскова В. Т., Ермолаева Е. В. Оптимальная автоматическая система регулирования тепловым режимом печи карбонизации // Химия и химическая технология, 1999 г., т.42, вып. 5.-е. 127-131

4. Беренблат Г. П. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометиздат, 1982 г. - 360с.

5. Бондарь А. Г. Математическое моделирования в химической технологии. Киев: Виша школа, 1978 г. - 279с.

6. Берже. Геометрия. М.: Мир, 1984, ч. 1-5.

7. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. -600с.

8. Брайсон А., Хо-Ю-Ши Прикладная теория оптимального управления. -М.: Мир, 1972. -544 с.

9. Брябрин В. М. Программное обеспечение ПЭВМ. М.: 1989.

10. Ю.Булгаков Б. В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954. - 891с.

11. Вайнштейн Э. Ф. Кинетика установления равновесия в обратимой реакции первого порядка // Химия и химическая технология, 1998 г., т. 41, вып. 5.-е. 30-31

12. Вибрации в технике / под редакцией Фролова К. В. М.: Машиностроение, 1988.- ч.1,2,5.

13. Виттенбург С. Т. Динамика систем твердых тел. М.: ,1980.169

14. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи. Принципы. Методология. -М.: Наука, 1990. 180с.

15. Волков Л. Н., Кадников А. А. Динамические гасители с дополнительными связями // Динамика механических управляемых систем. Иркутск: ИЛИ, 1982. - с.67 - 72.

16. Волков А. Н., Кадников А. А. Влияние диссипативных сил на эффективность применения динамического гасителя с устройством преобразования движения // Управляемые механические системы. Иркутск: ИЛИ, 1981.-е. 132-139.

17. Воронов А. А. Основы теории автоматического регулирования. 1966, ч.2, 1970, ч.З.

18. Вульфсон И. И., Коловский М. 3. Нелинейные задачи динамики машин. Л.: Машиностроение, 1968.- 283 с.

19. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наукд 1966,- 870 с.

20. Танеев Р. Ф., Фролов Н. В. Колебания твердых тел. М.: Наука, 1976.

21. Гарский В. Г., Адлер Ю. П. Планирование промышленных экспериментов. М.: Металлургия, 1974 г. - 264с.

22. Генкин Н. Д., Елисеев С. В., Мигиренко Г. С., Фролов К. В. Принципы современной виброзащиты // Науч. тр. / Новосиб. инс-т инженеров водного транспорта. Новосибирск, 1984. - с. 3-13.

23. Гордеева Е. Л., Нвоке Эдвин, Дирибе Икечукву Переходные процессы в емкостных реакторах с перемешиванием при возмущениях по объемной скорости потоков // Химия и химическая промышленность, 1998 г., т. 41, вып. 2.-е. 112- 115

24. Гозбенко В. Е., Лыткина Е. М. Уравнение эквидистанты для плоской кривой. В кн.: Тезисы докладов научно-технической конференции "Современные технологии и научно-технический прогресс". - Ангарск, 1996.-с. 49-50.

25. Гозбенко В. Е., Лыткина Е. М. Построение переходных характеристик системы автоматического управления, Автоматизация систем контроля и управления на транспорте. - Иркутск, ИрИИТ, 1999. - с. 14-19.

26. Гозбенко В. Е., Лыткина Е. М. Применение эквидистанты в системэу без демпфирования. Иркутск, ИрИИТ, 1999. - с. 160 - 166

27. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1980. - ч.1,2.

28. Дворецкий С. И., Карпищев В. В. Математическое моделирование и исследование процесса синтеза азокрасителей в турбулентном трубчатом реакторе //Химия и химическая технология , 1999 г., т. 42, вып. 3-е. 101-106

29. Девятых Г. Г., Сенников П. Г., Набиев Ш. М. Колебательные спектры летучих неорганических гидридов в жидком состоянии // Изв. Академии наук, серия химическая, 1999 г., №4. с. 629 - 644

30. Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред. Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1990. - 624с.

31. Ден-Гартог Дж. Механические колебания. М.: Физматгиз, 1960. -580 с.171

32. Довгаль С. И., Литвинов Б. Ю., Сбитнев А. И. Персональные ЭВМ турбо Паскаль v7.0 Киев: Информсистема сервис, 1993 - 475 с.

33. Долинский А. А., Накорчевский А. И., Корчинский А. А. Математическое моделирование работы перфорированного пульсатора //Теоретические основы химической технологии, 1988, т. 22, №3. с. 375

34. Дильман В. В., Полянин А. Д. Методы модельных уравнений и аналогий в химической технологии. М.: Химия, 1988. - 320с.

35. Елисеев С. В. Структурная теория виброзащитных систем. Новосибирск: Наука, 1978. - 220 с.

36. Елисеев С. В. Структурная теория виброзащитных систем. Приложение и проблемы развития // Математическое и программное обеспечение технических систем. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ие, 1989.

37. Елисеев С. В., Волков JI. Н., Кухаренко В.П. Динамика механических систем с дополнительными связями. Новосибирск: Наука, сиб. отделение, 1990. - 215 с.

38. Елисеев С. В., Нерубенко Г. П. Динамические гасители колебаний. -Новосибирск: Наука, 1982. 144 с.

39. Епанешников А. М., Епанешников В. А. Программирование в среде. TURBO PASCAL 7.0. M.: Диалог - МИФИ, 1998. - 370с.

40. Ермаченко А. И., Юсупов Р. Н. Применение функций чувствительности в задачах синтеза линейных многосвязных систем управления // Изв. АН СССР. Машиноведение. - 1976. - № 2. - с. 170-178.

41. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. Москва: Наука, 1971. - 578 с.

42. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1974. - 545 с.

43. Заде А., Дезаер Ч. Теория линейных систем. Пер. с англ. М.: Наука 1970,- 703 с.

44. Закчейм А. Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов. М.: Химия, 1982 г. - 288с.

45. Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы системы. М.: Машиностроение, 1978. - 736с.

46. Ильинский В. С. Вопросы изоляции вибраций и ударов. М.: Сов. Радио, 1960.-320 с.

47. Ильинский В. С. Защита аппаратов от динамических воздействий. -М.: Энергия, 1970.

48. Ильинский В. С. Защита РЭА и прецизионного оборудования от динамических воздействий. М.: Радиосвязь, 1982. - 295с.

49. Иориш Ю. И. Виброметрия. М.: Машгиз, 1963. - 771с.

50. Кафаров В. В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. -М.: Химия, 1974г. -463 с.

51. Калмыков В. Р., Слободской А. М. Уточненное частотное описание нелинейных систем виброзащиты // Управляемые механические системы. Иркутск: ИЛИ, 1985. - с. 81 - 88.

52. Кафаров В. В., Глебов М. В. Математическое моделирование основных процессов химических производств. М.: Химия, 1988 г. - 350 с.

53. Калнинхем В. Введение в теорию нелинейных систем. М.: Госэнер-гоиздат, 1962.

54. Карпов А. И. Частотный метод оценки устойчивости упругих слабо-демпфированных колебательных систем по их приближенным моде173лям // Управляемые механические системы. Иркутск: ИЛИ, 1979. -с. 136- 146.

55. Колебательные явления в многофазных средах и их использование в химической технологии/ под ред. Ганиева Р. В. Киев: Техника, 1980 г.-305 с.

56. Кильчевский Н. А. Теория колебаний. М.: Наука, 1977,- ч.1.- 480 с.

57. Кисляков В. В., Лебедев С. А. Динамический гаситель радионаправленных колебаний // Машиностроитель, №8, 1998 г.

58. Коловский М. 3. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.: Наука, 1966.-317 с.

59. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988.-ч. 1 - 3.

60. Ландау Л. Д. и др. Курс общей физики. М.: Наука, 1969. - 399с.

61. Левицкий Н. И. Колебания в механизмах. М.: Наука, 1988.

62. Лекционные демонстрации по физике. / под редакцией Грабовского. -М.: Наука, 1972.-639 с.

63. Лобачевский Н. И. Геометрия. Казань: типография Имперского Университета, 1909.

64. Лобачевский Н. И. Геометрические исследования по теории параллельных прямых. Москва, Ленинград.: изд-во академии наук СССР, 1945.- 180 с.

65. Лобачевский Н. И. Избранные труды по геометрии. М.: изд-во Академии наук СССР, 1956.

66. Лобачевский Н. И. Три сочинения по геометрии М.: Гостехиздат, 1956.

67. Лойцянский Л. Г., Лурье А. П. Курс теоретической механики. М.: Гостехиздат, 1954.-ч. 1.2.

68. Лотош М. М. Основы автоматического управления. М.: Наука, 1979.-256 с.174

69. Лукьянов А. В. Управление колебаниями механических систем за счет введения дополнительных связей // Управление механическими системами. Иркутск: ИЛИ, 1986. - с. 78 - 86.

70. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Эквидистанта к АЧХ в общем случае.- В кн.: Тезисы докладов научно-технической конференции "Современные технологии и научно-технический прогресс". Ангарск, 1998.- с. 167.

71. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Эквидистанта к АЧХ при отсутствии сопротивления. В кн.: Тезисы докладов научно-технической конференции "Современные технологии и научно-технический прогресс". -Ангарск, 1998.- с. 169.

72. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Эквидистанта к АЧХ колебательной системы с двумя степенями свободы. В кн.: Тезисы докладов научно-технической конференции "Современные технологии и научно-технический прогресс". - Ангарск, 1999.

73. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Математический аппарат вычисления интегралов разрывных функций. Вестник. Серия «Кибернетика». Управление в системах. - Иркутск, ИГТИ, 1999. - с. 29-35

74. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е, Эквидистанта к некоторым математическим, параметрические уравнения которых зависят от одного параметра. В кн.: сборник трудов АГТИ, Ангарск, 2000. - с. 152 - 160

75. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е, Эквидистанта к некоторым математическим, параметрические уравнения которых зависят от двух параметров. В кн.: сборник трудов АГТИ, Ангарск, 2000. - с. 161 - 168

76. Магнус К. Колебания. -М.: Мир, 1982. -с.305.175

77. Маслов В. В., Данилов В. П., Волосов К. А. Математическое модели рование процессов массопереноса. Эволюция диссипативных структур. М.: Наука, 1987 г. - 390 с.

78. Математическая энциклопедия. М.: изд-во Советсткая энциклопедия, 1982. - ч.1 - 5.

79. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988.

80. Механика многокомпонентных сред в технологических процессах/ под ред. В. В. Струлинского. М.: Наука, 1978 г.- 316 с.

81. Менли Р. Анализ и обработка записи колебаний. М.: Машиностроение, 1972. - 220 с.

82. Накорчевский А. И., Гаскевич И. В. Математическое моделирование пульсационных перемешивающих устройств // Теоретические основы химической технологии. Москва, т. 28., №3. 1994 г.

83. Накорчевский А. И., Гаскевич И. В., Басок Б. И. Математическое моделирование работы пульсаторов для перемешивания металлических расплавов // Изв. Академии наук, серия математическая, 1989 г., №5-с. 40

84. Новак С. М. , Логвинец А. С. Защита от вибраций и шума в строительстве: справочник. Киев: Будивэльник, 1990. - 181 с.

85. Наугольный Е. Р., Смирнов Н. Н., Широков Ю. Г. Влияние интенсивности механического воздействия на процесс активации оксидных систем в восстановительной среде // Химия и химическая технология, 1999 г., т. 42, вып. 5.-е. 119-121

86. Никонов М. В., Фуджин Я., Панфилова С. Е., Илимов В. П. Колебательная реакция окисления восстановления Ее" - Ее'" в солянокислых растворах, инициируемая ультразвуковым полем.// Изв. Академии наук, серия химическая, 1999 г., №8. - 1614 - 1615176

87. Орлова М. А., Егоров В. А. Описание процессов активации ин активации в ферментах // Изв. Академии наук, серия химическая, 1999 г., №4. - с. 664 - 667

88. Островский Г. Н., Абиев Р. Ш. Пульсационная резонансная аппаратура для процессов в жидкофазных системах // Химическая промышленность, №8, 1998 г. с. 10 - 20

89. Павлов В. Н. Оптимизация управления состоянием сложных технических систем // Химическое и нефтегазовое машиностроение, 1999, №4.-с. 15-16

90. Пановко Я. Г., Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машиностроение, 1967. - 316 с.

91. Перминов О. Н. Программирование на языке Паскаль. М.: Радио й связь, 1988,- 222 с.

92. Потоцкий М. В. Что изучает проективная геометрия? М.: Просвещение, 1982. - 80с.

93. Погорелов А. В. Основания геометрии. М.: Наука, 1979. - 150с.

94. Прикладные методы исследования управляемых механических систем / под ред. Г. Л. Мадатова, В. Н. Шичанина, В. В. Горбунцова и др. Киев: Наук. Думка, 1980. - 192 с.

95. Ратинер М. М. Синтез механизмов для воспроизведения эквидистантных кривых. Автореферат кандидатской диссертации, Новосибирск, НЭТИ, 1993 г.

96. Ружников А. А. Исследование статического преобразователя частоты методом логарифмических частотных характеристик. Иркутск: ИЛИ, 1986. - с. 110-114.

97. Семенова Н. С. О влиянии механических параметров двойной центрифуги на ее устойчивость. В. кн.: Управляемые механические системы. - Иркутск: ИЛИ, 1980. - с. 103 - 106.177

98. Современные методы проектирования систем автоматического управления: Анализ и синтез / под ред. Б. Н. Петрова, В. В. Солодов-никова, Ю. И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1967. - 704 с.

99. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1960. - 655 с.

100. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления. М.: Наука, 1977. - 340 с.

101. Солодовников В. В., Топчеев Ю. И., Крутикова И. А. Частотный метод построения переходных процессов с приложением таблиц и номограмм. М.: Гостехиздат, 1955. - 196 с.

102. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение: пер. с англ. М.: Машиностроение, 1972- 552 с.

103. Теория автоматического управления / под ред. Воронова А. А. -М.: Высшая школа, 1986. -4.1,2.

104. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования / под ред. Солодовникова В. В. М.: Наука, 1978.

105. Тимофеев В. А. Инженерные методы расчета и исследования динамических систем. Энергия, Ленинградское отделение ,1975. -320 с.

106. Топчеев Ю. И., Цыпляков А. П. Задачник по теории автоматического регулирования М.: Машиностроение, 1977. - 592 с.

107. Топчеев Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1989. - 750 с.

108. Трайнин Я. Л. Основания геометрии. Москва.: гос.уч. - пед. изд-во, 1965. - 325 с.

109. Трапезников В. А. Автоматизация проектирования: Сб. ст./ под общ. ред. В. А. Трапезникова. М.: Машиностроение, 1986.

110. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971 г.- 312 с.178

111. Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. изд-во Московского университета, 1961. - 160 с.

112. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969, 1970. - ч.1 - 3.

113. Фролов К. В., Фурман Ф. А. Прикладная теория виброзащитных систем. М.: Машиностроение, 1980. - 276 с.

114. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М.: Мир, 1989.

115. Чаки Ф. Современная теория управления. Нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: Мир, 1975. - 475 с.

116. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. - 384 с.

117. Шафаревич И. Р. Основы аналитической геометрии. М.: Наука, 1988.- 4.1,2.

118. Щербаков Р. Н., Пичурин Л. Ф. От проективной геометрии к неевклидовой. - М.: Просвещение, 1979. - 160 с.

119. Эрбс X. Э., Штольц О. Введение в программирование на языке Паскаль. М.: Мир, 1989. - 295 с.

120. Яблонский А. А., Норейко С. С. Курс теория колебаний. М.: Высшая школа, 1975. - 250 с.

121. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95./перевод с английского. М.: Информационно-издательский дом "Филин", 1996. - 712с.в), экв1. Рис.3. Кардиоида1. Рис.5. Декартов лист.1. Рис.7. Эвольвента.1. Рис. 1. Эллипс

122. Рис. 2. Улитка Паскаля (а>Ь)

123. Рис. 3. Улитка Паскаля (а<Ь)1. Рис. 5. Парабола

124. Возможные случаи равенства нулю членов уравнений гэ и гэ+ для кардиоиды:

125. Графики функций 8(д), 5(а), Я \д), 5 '{а)1. S(q)10