Моделирование турбулентных течений с применением пенализированных пристеночных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Клюев Никита Андреевич

• Клюев Никита Андреевич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Клюев Никита Андреевич

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1 Методы пристеночного моделирования

1.2 Пристеночные функции

Глава 2. Математическая модель турбулентного обтекания твёрдых тел с применением метода

пенализированных пристеночных функций

2.1 Система осреднённых уравнений Навье-Стокса

2.2 Модель турбулентности Спаларта-Аллмараса

2.3 Метод пенализированных пристеночных функций

2.3.1 Описание метода

2.3.2 Адаптация положения точки сшивки

Глава 3. Методика численного решения уравнений

математической модели

3.1 Процедура расчета с применением методов пристеночных функций

3.1.1 Общая процедура расчёта

3.1.2 Особенности расчёта с использованием метода пенализированных пристеночных функций

3.1.3 Особенности расчёта с использованием традиционного метода пристеночных функций

3.2 Численное решение осреднённых уравнений Навье-Стокса

3.3 Метод решения уравнения для скорости трения

3.4 Метод стабилизации численного решения

3.4.1 Анизотропная искусственная вязкость

3.4.2 Аппроксимация искусственной вязкости

3.5 Вспомогательные компоненты методики численного решения ... 47 3.5.1 Устранение непостоянства положения точки сшивки

вдоль нормалей

Стр.

3.5.2 Распространение величины пристеночного шага

Глава 4. Параллельная реализация в программном комплексе

NOISEtte

Глава 5. Решение задач турбулентного обтекания твёрдых тел

5.1 Обтекание пластины без градиента давления

5.1.1 Постановка

5.1.2 Сравнение с традиционным методом пристеночных функций

5.1.3 Исследование метода стабилизации численного решения

на основе искусственной вязкости

5.2 Обтекание пластины с неблагоприятным градиентом давления

5.2.1 Постановка

5.2.2 Сравнение методов адаптации положения точки сшивки

5.2.3 Сравнение с традиционным методом пристеночных функций

5.3 Обтекание трёхмерной выпуклости в канале

5.3.1 Постановка

5.3.2 Результаты

5.4 Обтекание аэродинамического профиля NACA

5.4.1 Постановка

5.4.2 Результаты

5.5 Обтекание модели самолёта с посадочной механизацией

5.5.1 Постановка

5.5.2 Результаты

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование турбулентных течений с применением пенализированных пристеночных функций»

Актуальность темы исследования.

Численное моделирование прочно утвердилось в качестве одного из ключевых методов аэродинамических исследований, став незаменимым инструментом для решения как фундаментальных, так и прикладных задач. В частности, при проектировании летательных аппаратов вычислительный эксперимент позволяет существенно сократить число дорогостоящих испытаний как в аэродинамических трубах, так и в ходе лётных экспериментов. Развитие вычислительной техники не только сокращает время моделирования, но и открывает возможность исследовать более сложные объекты с применением высокоточных моделей. В практических приложениях численное моделирование турбулентных течений остаётся затратным с точки зрения вычислительных ресурсов, что особенно критично проявляется при параметрических исследованиях и в процедурах оптимизации. В связи с этим остаётся актуальной разработка экономичных, но обеспечивающих требуемую точность методов математического моделирования.

Наибольшее распространение в численном решении прикладных задач аэродинамики получили математические модели на основе уравнений На-вье-Стокса, осреднённых по Рейнольдсу (RANS) или по Фавру, с использованием моделей турбулентности [27; 31; 33; 81; 97]. Однако моделирование некоторых типов турбулентных течений, например, течений с отрывом пограничного слоя, с применением моделей на основе уравнений RANS может быть недостаточно точным. Для более точного моделирования таких течений можно использовать либо прямое численное моделирование (DNS) [17; 60; 100], либо методы моделирования крупных вихрей (LES) [23; 24; 54; 55; 58; 61].

В методе DNS уравнения Навье-Стокса напрямую дискретизируются во всей расчётной области, поэтому можно получить наиболее точное описание газодинамического течения в рамках приближения сплошной среды. В подходе DNS разрешаются все масштабы турбулентного течения вплоть до мельчайших диссипирующих структур, размер которых оценивается масштабом Колмогорова. При этом количество узлов расчётной сетки для трёхмерного по пространству прямого численного моделирования зависит от числа Рейнольд-са Re и пропорционально Re9/4, а количество шагов по времени оценивается

величинои Re3/4 [69]. Всё это приводит к большим затратам вычислительных мощностей и времени расчёта и ограничивает область применимости подхода DNS только течениями с относительно малыми числами Рейнольдса.

В альтернативном подходе, методе LES, численно разрешаются только относительно большие масштабы турбулентности, в то время как влияние мельчайших вихрей на отфильтрованные по пространству величины описывается различными подсеточными моделями. Тем не менее метод LES является также достаточно дорогим для расчёта турбулентных пристеночных течений. Согласно оценкам, при применении LES в расчётах с разрешённым пограничным слоем (wall-resolved LES) требования к числу узлов сетки и вычислительным затратам, измеряемым произведением размера расчётной сетки и числа шагов по времени, пропорциональны Re1'8 и Re2'4 соответственно [18; 68]. В работе [19] приводится более строгая оценка размера расчётной сетки — Re13/7 . В практических приложениях чаще всего имеют место пристенные турбулентные течения, характеризуемые числами Рейнольдса Re ~ 106 — 108, поэтому применение методов LES с разрешением пограничного слоя в практических инженерных расчётах не получило широкого распространения.

В подходе RANS влияние всех масштабов турбулентности моделируется, что существенно снижает требования к расчётной сетке. В отличие от подходов DNS и LES, которые из-за нестационарной природы турбулентности требуют решения нестационарных уравнений, RANS допускает и стационарную постановку, что также значительно сокращает требования к вычислительным ресурсам. Таким образом, методы на основе уравнений RANS являются компромиссом между точностью моделирования и вычислительными затратами, что и объясняет их статус основного инструмента для решения практических задач аэродинамики.

Особенностью течений с большими числами Рейнольдса является пограничный слой — тонкий слой жидкости или газа, формирующийся вблизи твёрдых границ, в котором доминируют эффекты вязкости и турбулентного смешения. Именно в пограничном слое происходят ключевые процессы, которые влияют на силы и тепловые потоки, действующие на обтекаемые тела. Толщина пограничного слоя уменьшается с ростом числа Рейнольдса, и, следовательно, уменьшаются как характерные масштабы осреднённого течения, так и масштабы турбулентных пульсаций. Требования к разрешению расчётной сетки в пристеночной области зависят от подхода к моделированию турбулентности.

Критерии для оценки размера пристеночной ячейки расчётной сетки формулируются в автомодельных координатах, нормированных на масштаб длины вязкого подслоя и обозначаемых верхним индексом «+». В то время как для методов DNS и LES характерный размер пристеночных ячеек в нормальном направлении должен составлять Ah+ < 1, а в тангенциальном — Ah+z ~ 7... 15 и Ah+z ~ 10... 40 соответственно, требования для RANS существенно ниже. Для метода RANS характерный размер пристеночных ячеек в направлении нормали к стенке должен составлять Ah+ ~ 1, а в тангенциальных направлениях может достигать десятков тысяч [1]. В работе [83] необходимый размер расчётной сетки для численного моделирования обтекания гражданского самолёта на основе подходов RANS, LES и DNS оценивается в 107, 10115 и 1016 узлов соответственно. Несмотря на то, что требования к размеру расчётной сетки при использовании RANS существенно ниже по сравнению с другими подходами к моделированию турбулентности, они всё ещё остаются значительными.

Таким образом, актуальность темы исследования обусловлена потребностью в разработке методики численного моделирования турбулентных течений, позволяющей снизить требования к вычислительным ресурсам и при этом обеспечить приемлемую для инженерных приложений точность.

Степень разработанности темы исследования. На сегодняшний день разработан ряд подходов для сокращения размера расчётной сетки, необходимой для получения корректного численного решения задач аэродинамики. Поскольку основная часть узлов расчётной сетки сосредоточена вблизи твёрдой поверхности, эти подходы нацелены на снижение требований к сеточному разрешению в этой области. Для этого численное разрешение тех или иных структур течения в пристеночной области заменяется менее затратной с вычислительной точки зрения математической моделью (например, [9; 20; 67; 79; 86; 87]).

В методологии LES такие подходы представлены гибридными RANS-LES методами [52; 79; 80; 82], где в пристеночной области течения решаются осред-нённые уравнения Навье-Стокса, а во внешней области — LES. Гибридные методы занимают промежуточное положение по точности и вычислительным затратам между методами RANS и LES. При этом переход между областями может быть непрерывным, как, например, в методах моделирования отсоединённых вихрей (DES) [35; 52; 73], так и строгим, как в зональных подходах [79; 80; 82].

Широкое распространение получили методы пристеночных функций [2; 3; 11; 20; 41; 56; 64; 67; 89; 102], при использовании которых пристеночная часть течения моделируется с помощью одномерных соотношений (пристеночных функций), в качестве которых часто используются аналитические выражения. Такой подход получил распространение как в методологии RANS [20; 41; 56; 67; 89], так и в методологии LES под названием LES с моделированием стенки (WMLES)[9; 15; 46; 66].

Методы пристеночных функций различаются не только формой и способом задания самой функции, но и подходом к согласованию этой функции с внешним решением. Здесь и далее процесс согласования пристеночной функции и решения системы газодинамических уравнений будет называться сшивкой, а место согласования — точкой сшивки. Зачастую способ сшивки с внешним решением формулируется для дискретизованной модели, что приводит к зависимости точности численного решения как от способа дискретизации уравнений, так и от характеристик расчётной сетки, в особенности от величины пристенного шага по нормали к стенке. Подобная сложная зависимость обуславливает повышенную сеточную чувствительность решения, которая может проявиться в немонотонном характере ошибок, в частности, в их росте при использовании более детальных сеток. Дополнительным источником неопределённости служит зависимость метода от программной реализации, часто представляющей собой «чёрный ящик» с неоднозначными настройками.

Среди недавних разработок выделяется метод пенализированных пристеночных функций (метод ППФ) [89; 102], формулировка которого определена на уровне математической модели, а не её дискретного аналога, как в большинстве известных методов пристеночных функций. Метод ППФ сформулирован для преодоления недостатков традиционных подходов и обладает рядом преимуществ. В отличие от традиционных методов, в методе ППФ значительно снижено влияние сеточного разрешения на решение. Кроме того, в методе ППФ устранена необходимость явной интерполяции решения в точку сшивки, что исключает неопределённость, связанную с этой процедурой, и повышает точность расчётов. В основе метода лежит дифференциальная формулировка условия сшивки внешнего решения с пристеночной функцией с последующим переносом касательного напряжения из области сшивки на поверхность тела. Описанная процедура реализуется через решение вспомогательного дифференциального уравнения в частных производных для скорости трения (масштаба скорости

в пограничном слое), которое основано на идеях метода характеристических штрафных функций. Гибкость формулировки метода ППФ позволяет применять его с различными пристеночными функциями, включая неравновесные. Кроме того, метод ППФ позволяет динамически настраивать положение точки сшивки. Данная особенность позволяет смещать точку сшивки в областях неравновесного пограничного слоя, в том числе в областях отрыва и присоединения потока, ближе к стенке, в сторону вязкого подслоя, где пристеночная функция, выведенная в предположении равновесного пограничного слоя, точнее описывает физику течения, чем на логарифмическом участке.

К моменту начала настоящего исследования метод ППФ был реализован и протестирован лишь для узкого класса двумерных течений на структурированных расчётных сетках. Результаты исследований, представленные в работах [89; 90; 102], с одной стороны, продемонстрировали перспективность метода ППФ, с другой — обозначили круг проблем, требующих решения для расширения области практического применения метода.

Таким образом, несмотря на то, что к настоящему времени разработано и широко используется множество методов пристеночного моделирования, вопрос повышения их эффективности и универсальности до сих пор остаётся открытым.

Целью диссертации является разработка методики численного моделирования турбулентных течений, позволяющей в рамках подхода ИЛ^ снизить требования к разрешению расчётной сетки в пристеночной области, и демонстрация применимости разработанной методики для решения широкого класса задач внешней аэродинамики, в том числе отрывных течений.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1. Обобщение метода ППФ для численного моделирования пристеночных областей течений в присутствии продольного градиента давления.

2. Повышение устойчивости разрабатываемой методики численного моделирования пристеночных турбулентных течений.

3. Программная реализация методики численного моделирования турбулентных течений на основе метода ППФ для проведения расчётов задач с применением параллельных вычислительных систем.

4. Тестирование методики численного моделирования турбулентных течений на основе метода ППФ при численном решении модельных задач.

5. Проведение сравнительного анализа эффективности традиционных методов пристеночных функций и метода ППФ.

6. Исследование применимости методики численного моделирования турбулентных течений на основе метода ППФ для расчёта задачи внешнего обтекания самолёта с посадочной механизацией.

Научная новизна:

В диссертации представлена методика численного моделирования турбулентного пограничного слоя в рамках подхода ИЛ^. Основная особенность методики — применение метода пенализированных пристеночных функций, который является новым перспективным подходом, относящимся к классу методов пристеночных функций. Метод ППФ основан на математических принципах, не используемых ни в одном из известных автору методов пристеночных функций. Основополагающее уравнение метода ППФ, связывающее скорость трения на поверхности тела с параметрами течения во внешней области турбулентного пограничного слоя, получено с использованием метода характеристических штрафных функций. Дифференциальная формулировка метода ППФ полностью устраняет плохо определённое условие сшивки решения и необходимость явной интерполяции решения в точку сшивки по соседним узлам, что влечёт за собой сниженную сеточную зависимость и повышенную точность метода ППФ по сравнению с традиционными методами пристеночных функций. Кроме того, гибкость формулировки метода ППФ обеспечивает возможность использования различных, аналитических и численных, вариантов пристеночных функций, а также адаптации положения точки сшивки к особенностям течения для повышения точности моделирования. В диссертационной работе предложен новый метод адаптации положения точки сшивки, основанный на учёте локального сеточного разрешения и характеристик течения, который позволяет смещать точку сшивки в областях повышенного градиента давления. При использовании нового метода адаптации точка сшивки располагается наиболее близко к стенке в окрестности точек отрыва и присоединения потока, что не достигалось в более простом варианте из работы [89].

Также в диссертации формулируется и тестируется новый подход для повышения устойчивости расчёта на неструктурированных сетках. Предложенный подход основан на введении искусственной анизотропной вязкости в определяющее уравнение метода ППФ. В диссертации для её аппроксимации предлагается использовать метод Галёркина с кусочно-линейными базисными

функциями. В ранних формулировках метода ППФ [89; 102] лишь обозначалась возможность добавления изотропной искусственной вязкости в уравнение для скорости трения, а её применение не исследовалось.

В рамках диссертации впервые проведено сравнение метода ППФ с другими методами пристеночных функций. На примере результатов численного решения тестовых задач продемонстрированы преимущества метода ППФ, которые ранее формулировались только теоретически.

В диссертационной работе впервые рассматривается применение метода ППФ с предложенными модификациями для широкого класса двумерных и трёхмерных задач, включающих как безотрывные, так и отрывные течения в условиях продольного градиента давления. Кроме того, впервые на основе метода ППФ выполнен промышленно-ориентированный расчёт обтекания самолёта с выпущенной посадочной механизацией, при этом для сокращения вычислительных затрат моделировалась лишь половина конфигурации с наложением условия симметрии.

Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в переносе идей метода характеристических штрафных функций на новую область — методы пристеночных функций. Дополнительно значимость исследования заключается в разработке метода адаптации положения точки сшивки, параметры которого не зависят от рассматриваемой задачи. В отличие от подхода из работы [89], требующего ручного подбора настроечных констант, предложенный метод использует локальные характеристики течения, что обеспечивает его универсальность. Идеи предложенного метода адаптации положения точки сшивки могут быть использованы для индикации отрывных течений в других приложениях, основанных на некотором масштабе скорости.

Практическая значимость диссертации заключается в разработке, реализации и верификации методики численного моделирования турбулентных течений на основе метода ППФ, которая позволяет проводить расчёты практически значимых задач с существенно меньшими вычислительными затратами без потери точности получаемого решения, что подтверждается решением широкого круга тестовых задач. При этом метод ППФ лишён недостатков, присущих традиционным методам пристеночных функций.

Методология и методы исследования. Основным методом исследования в диссертации является численное моделирование течений вязкого

совершенного газа в рамках подхода RANS. В качестве модели турбулентности используется модель Спаларта-Аллмараса [81].

Для аппроксимации конвективных слагаемых используется конечно-объёмный подход с использованием вершинно-центрированных контрольных объёмов. Для реконструкции на гранях применяются квазиодномерные реконструкции семейства EBR [7] (Edge-Based Reconstruction schemes, схемы, основанные на квазиодномерных рёберно-ориентированных реконструкциях) с приближённым решением задачи распада разрыва методом Роу [76]. Вязкие слагаемые аппроксимируются с применением метода локальных разбиений сеточных элементов [8]. В диссертации для моделирования стационарных задач применяется метод установления, где используется одношаговый неявный метод Эйлера первого порядка с одной итерацией по методу Ньютона для решения образующейся на каждом шаге по времени системы нелинейных алгебраических уравнений. Для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) , получаемой на каждой итерации метода Ньютона, применяется стабилизированный метод бисопряжённых градиентов BiCGStab [96] с симметричным предобуславливанием Гаусса-Зейделя SGS .

Для метода ППФ используется конечно-разностная аппроксимация конвективного и источникового слагаемых. Искусственная вязкость аппроксимируется с применением метода Галёркина с кусочно-линейными базисными функциями и диагонализацией матрицы масс. Аппроксимация по времени уравнения для скорости трения в методе ППФ аналогична аппроксимации системы уравнений RANS.

Метод ППФ реализован в виде модуля в программном комплексе NOISEtte [36; 37], с помощью которого были проведены все расчёты, представленные в диссертации, с применением технологий параллельного программирования MPI и OpenMP на языке C++.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработан метод адаптации положения точки сшивки решений, учитывающий локальные характеристики течения и пристеночное разрешение сетки, позволяющий обобщить метод пенализированных пристеночных функций на случай отрывных течений.

2. Предложен подход к стабилизации численного решения в рамках метода пенализированных пристеночных функций на неструктурированных

сетках, основанный на введении направленной искусственной вязкости в уравнение для расчёта скорости трения.

3. Создана программная реализация метода пенализированных пристеночных функций, включающая новый алгоритм адаптации точки сшивки и стабилизированное уравнение для скорости трения, с применением гибридного параллелизма (MPI + OpenMP).

4. Проведён сравнительный анализ метода пенализированных пристеночных функций и традиционного метода пристеночных функций, подтвердивший снижение сеточной зависимости и повышение точности расчётов при использовании метода пенализированных пристеночных функций.

5. Продемонстрирована эффективность методики численного моделирования турбулентного пограничного слоя на основе модифицированного метода пенализированных пристеночных функций для решения про-мышленно-ориентированных задач аэродинамики и показано снижение требований к пристеночному разрешению расчётной сетки без существенной потери точности решения.

Личный вклад автора. Автором диссертации были предложены: метод искусственной анизотропной вязкости для повышения устойчивости численного расчёта с применением метода ППФ; метод адаптации положения точки сшивки в методе ППФ, основывающийся на локальном пристенном разрешении расчётной сетки и учитывающий продольный градиент давления. Все предложенные модификации метода ППФ были реализованы в программном комплексе NOISEtte автором лично. Вклад автора также заключается в реализации метода ППФ для объёмных неструктурированных сеток. Автором лично были построены все используемые в диссертации неструктурированные и объёмные расчётные сетки и все сетки для расчёта обтекания профиля NACA 0012. Автором лично проведена основная часть представленных в работе расчётов и анализ их результатов. Вклад автора является определяющим при получении всех научных результатов, выносимых на защиту.

Достоверность полученных результатов обеспечивается сравнением результатов моделирования с применением метода ППФ с результатами расчётов, выполненных с помощью верифицированного на широком классе задач программного комплекса NOISEtte без применения методов пристеночных функций. Часть тестовых случаев основана на материалах ресурса NASA [63],

посвящённого верификации и валидации численных реализаций моделей турбулентности, с данными которого также проводится сравнение. Кроме того, результаты численного моделирования сопоставляются с экспериментальными данными. Полученные результаты демонстрируют хорошее согласование с имеющимися референсными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на 6 конференциях:

1. VI Всероссийская конференция молодых ученых-механиков, Сочи, 04.09.2023 - 14.09.2023;

2. XXXIV научно-техническая конференция по аэродинамике, п. Володарского, 29.02.2024 - 01.03.2024;

3. Новые горизонты прикладной математики, Москва, 18.04.2024-19.04.2024;

4. «Супервычисления и математическое моделирование», Саров, 20.05.2024-24.05.2024;

5. X российская конференция «Вычислительный эксперимент в аэроакустике и аэродинамике», Светлогорск, 16.09.2024-21.09.2024;

6. II Российская конференция «Новые горизонты прикладной математики», Москва, 17.04.2025-19.04.2025.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 печатных изданиях [103—105] , входящих в перечень ВАК, 2 из которых изданы в журналах индексируемых Web of Science и Scopus [104; 105].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 131 страницу, включая 59 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 105 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, кратко приводится степень её разработанности, описываются цели и задачи, поставленные перед автором работы. Также излагаются научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы и положения, выносимые на защиту. Кратко описываются методология работы, степень достоверности полученных результатов и их апробация. Приводится личный вклад автора.

Первая глава посвящена обзору литературы по теме пристеночного моделирования с применением методов пристеночных функций. В первом разделе анализируются существующие методы пристеночных функций. Излагаются преимущества и недостатки существующих подходов как с точки зрения матема-

тической формулировки, так и с точки зрения прозрачности и эффективности программной реализации. Второй раздел посвящён обзору различных законов стенки, используемых в методах пристеночных функций. Рассматриваются как аналитические, так и численные законы стенки, при этом особое внимание уделяется специфике их применения в контексте численного моделирования.

Вторая глава посвящена описанию математической модели, применяемой в диссертационной работе. В начале главы приводится система осреднённых уравнений Навье-Стокса и её замыкание на основе модели турбулентности Спаларта-Аллмараса. Далее излагается метод ППФ, включая вывод основного уравнения для скорости трения и различные методы адаптации положения точки сшивки к локальным особенностям течения. В завершение главы представлена методика устранения неоднородности расстояния от точки сшивки до поверхности тела, направленная на повышение надёжности применения метода ППФ при расчёте сложных течений.

Третья глава содержит описание численного метода решения рассматриваемой математической модели. Вначале приводится общий алгоритм применения методов пристеночных функций с уточнениями для метода ППФ и традиционного метода пристеночных функций. Дфлее кратко излагается метод дискретизации системы осреднённых уравнений Навье-Стокса. Затем подробно рассматривается дискретизация уравнения для скорости трения, включая конвективного и источникового членов, а также метод повышения устойчивости расчёта на основе искусственной анизотропной вязкости и его дискретизацию.

В четвёртой главе излагаются детали программной реализации метода пе-нализированных пристеночных функций в программном комплексе NOISEtte на языке C++ с применением технологий гибридной параллелизации MPI и OpenMP. Также рассматривается эффективность параллельной реализации метода ППФ при расчётах на кластере с использованием до 896 процессорных ядер.

В пятой главе приводятся результаты расчётов модельных задач и их сравнение с различными референсными данными. Рассматриваются задачи об обтекании плоской пластины без градиента давления и с градиентом давления, формирующим область рециркуляционного течения. Также рассматривается течение в канале с объёмной выпуклостью на его поверхности стенки. Приводятся результаты расчётов обтекания аэродинамического профиля NACA 0012 с применением различных методов адаптации положения точки сшивки на широком

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Клюев Никита Андреевич, 2026 год

Список литературы

1. Гарбарук, А. Лекция 2. Особенности применения вихреразрешающих подходов для пристенных течений / А. Гарбарук. — URL: https://cfd.spb.ru/ agarbaruk/SRS_methods/Term10_Part2_Lec02_les_chan.pdf.

2. Дубень, А. П. О граничных условиях на твердых стенках в задачах вязкого обтекания / А. П. Дубень, И. В. Абалакин, В. О. Цветкова // Матем. моделирование. — 2021. — Т. 32, № 1. — С. 79—98.

3. Зайчик, Л. И. Пристеночные функции для моделирования турбулентного течения и теплообмена / Л. И. Зайчик // Теплофизика Высоких Температур. — 1997. — Т. 35, № 3. — С. 391—396.

4. Изаксон, А. О формуле распределения скоростей вблизи стенки / А. Изак-сон // ЖЭТФ. — 1937. — Т. 7. — С. 919.

5. Кадер, Б. Законы подобия для пристенных турбулентных течений / Б. Ка-дер, А. Яглом // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ. — 1980. — Т. 15. — С. 81—155.

6. Aupoix, B. Extensions of the Spalart-Allmaras turbulence model to account for wall roughness / B. Aupoix, P. Spalart // International Journal of Heat and Fluid Flow. — 2003. — Vol. 24, no. 4. — P. 454—462.

7. Bakhvalov, P. Edge-based reconstruction schemes for unstructured tetrahe-dral meshes / P. Bakhvalov, I. Abalakin, T. Kozubskaya // Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 2016. — Vol. 81, no. 6. — P. 331—356.

8. Bakhvalov, P. A. Method of averaged element splittings for diffusion terms discretization in vertex-centered framework / P. A. Bakhvalov, M. Surnachev // Journal of Computational Physics. — 2022. — Vol. 450. — P. 110819.

9. Balaras, E. Two-layer approximate boundary conditions for large-eddy simulations / E. Balaras, C. Benocci, U. Piomelli // AIAA journal. — 1996. — Vol. 34, no. 6. — P. 1111—1119.

10. Bardina, J. Turbulence modeling validation / J. Bardina, P. Huang, T. Coak-ley, J. Bardina, P. Huang, T. Coakley // 28th Fluid dynamics conference. — 1997. — P. 2121.

11. Beaugendre, H. Penalization of the Spalart-Allmaras turbulence model without and with a wall function: Methodology for a vortex in cell scheme / H. Beaugendre, F. Morency // Computers and Fluids. — 2018. — July. — Vol. 170. — P. 313—323. — URL: https://hal.inria.fr/hal-01963687.

12. Bin, J. Adaptive mesh redistribution method for domains with complex boundaries / J. Bin, A. Uzun, M. Y. Hussaini //J. Comp. Phys. — 2011. — Apr. — Vol. 230, no. 8. — P. 3178—3204.

13. Bodart, J. Wall-modeled large eddy simulation in complex geometries with application to high-lift devices / J. Bodart, J. Larsson // Annual Research Briefs, Center for Turbulence Research, Stanford University. — 2011. — P. 37—48.

14. Brown-Dymkoski, E. A Characteristic Based Volume Penalization Method for General Evolution Problems Applied to Compressible Viscous Flows / E. Brown-Dymkoski, N. Kasimov, O. V. Vasilyev //J. Comp. Phys. — 2014. — Vol. 262. — P. 344—357.

15. Cabot, W. Approximate wall boundary conditions in the large-eddy simulation of high Reynolds number flow / W. Cabot, P. Moin // Flow, Turbulence and Combustion. — 2000. — Vol. 63, no. 1—4. — P. 269—291.

16. Carlson, J.-R. Node-centered wall function models for the unstructured flow code FUN3D / J.-R. Carlson, V. Vatsa, j. A. White // 22nd AIAA Computational Fluid Dynamics Conference. — 2015. — P. 2758.

17. Ceci, A. Direct numerical simulations of turbulent pipe flow at high Reynolds number / A. Ceci, S. Pirozzoli, J. Romero, M. Fatica, R. Verzicco, P. Or-landi // PHYSICAL REVIEW FLUIDS. — 2022. — Nov. — Vol. 7, no. 11.

18. Chapman, D. R. Computational aerodynamics development and outlook / D. R. Chapman // AIAA journal. — 1979. — Vol. 17, no. 12. — P. 1293—1313.

19. Choi, H. Grid-point requirements for large eddy simulation: Chapman's estimates revisited / H. Choi, P. Moin // Phys. Fluids. — 2012. — Vol. 24. — P. 011702.

20. Craft, T. Development and application of wall-function treatments for turbulent forced and mixed convection flows / T. Craft, S. Gant, A. Gerasimov, H. Iacovides, B. Launder // Fluid Dynamics Research. — 2006. — Vol. 38, no. 2. —P. 127—144. —URL: https://www.sciencedirect.com/science/ article/pii/S0169598305000778 ; Seiken Symposium.

21. Craft, T. Progress in the genralization of wl-function treatments / T. Craft, A. Gerasimov, H. Iacovides, B. Launder // International Journal of Heat and Fluid Flow. — 2002. — Vol. 23, no. 2. — P. 148—160.

22. CRM-HL NASA Common Research Model. — URL: https : / / commonresearchmodel.larc.nasa.gov/high-lift-crm/.

23. De Stefano, G. Wavelet-based adaptive large-eddy simulation of supersonic channel flow / G. De Stefano, E. Brown-Dymkoski, O. V. Vasilyev // Journal of Fluid Mechanics. — 2020. — Vol. 901. — A13.

24. De Stefano, G. Wall-resolved wavelet-based adaptive large-eddy simulation of bluff-body flows with variable thresholding / G. De Stefano, A. Nejad-malayeri, O. V. Vasilyev // Journal of Fluid Mechanics. — 2016. — Feb. — Vol.788. —P. 303—336. —URL: http://journals.cambridge.org/article_ S0022112015007089.

25. De Stefano, G. Hierarchical Adaptive Eddy-Capturing Approach for Modeling and Simulation of Turbulent Flows / G. De Stefano, O. V. Vasilyev // Fluids. — 2021. — Vol. 6, no. 2. — URL: https://www.mdpi.com/2311-5521/6/2/83.

26. Deissler, R. G. Analysis of turbulent heat transfer, mass transfer, and friction in smooth tubes at high Prandtl and Schmidt numbers. Vol. 3145 / R. G. Deissler. — National Advisory Committee for Aeronautics, 1954.

27. Durbin, P. A. Statistical Theory and Modeling for Turbulent Flows / P. A. Durbin, B. A. P. Reif. — Wiley, 2001.

28. Eça, L. A manufactured solution for a two-dimensional steady wall-bounded incompressible turbulent flow / L. Eça, M. Hoekstra, A. Hay, D. Pelletier // International Journal of Computational Fluid Dynamics. — 2007. —Vol. 21, no. 3/4. — P. 175—188.

29. Garanzha, V. A. Maximum norm optimization of quasi-isometric mappings / V. A. Garanzha // Numerical Linear Algebra with Applications. — 2002. — Sept. — Vol. 9, no. 6/7. — P. 493—510.

30. Garanzha, V. A. Variational principles in grid generation and geometric modelling: theoretical justifications and open problems / V. A. Garanzha // Numerical Linear Algebra with Applications. — 2004. — June. — Vol. 11, no. 5/6. — P. 535—563.

31. Gatski, T. B. Simulation and Modeling of Turbulent Flows / T. B. Gatski, M. Y. Hussaini, J. L. Lumley. — Oxford, 1996.

32. Ge, X. Wavelet-Based Adaptive Eddy-Resolving Methods for Modeling and Simulation of Complex Wall-Bounded Compressible Turbulent Flows / X. Ge, G. De Stefano, M. Y. Hussaini, O. V. Vasilyev // Fluids. — 2021. — Vol. 6, no. 9. — URL: https://www.mdpi.com/2311-5521/6/9/331.

33. Ge, X. Wavelet-Based Adaptive Unsteady Reynolds-Averaged Navier-Stokes Simulations of Wall-Bounded Compressible Turbulent Flows / X. Ge, O. V. Vasilyev, G. De Stefano, M. Y. Hussaini // AIAA Journal. — 2020. — Vol. 58, no. 4. — P. 1529—1549. — eprint: https://doi.org/10.2514/1. J058428. — URL: https://doi.org/10.2514/1.J058428.

34. Ge, X. Wavelet-based adaptive wall-modeled large eddy simulation method for compressible turbulent flows / X. Ge, O. V. Vasilyev, M. Y. Hussaini // Phys. Rev. Fluids. — 2021. — Sept. — Vol. 6, issue 9. — P. 094606. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevFluids.6.094606.

35. Georgiadis, N. J. Hybrid reynolds-averaged Navier-Stokes/large-Eddy simulations of supersonic turbulent mixing / N. J. Georgiadis, J. I. D. Alexander, E. Reshotko // AIAA Journal. — 2003. — Feb. — Vol. 41, no. 2. — P. 218—229.

36. Gorobets, A. Heterogeneous CPU+GPU parallelization for high-accuracy scale-resolving simulations of compressible turbulent flows on hybrid supercomputers / A. Gorobets, P. Bakhvalov // Computer Physics Communications. — 2022. — Vol. 271. — P. 108231. — URL: https://www. sciencedirect.com/science/article/pii/S001046552100343X.

37. Gorobets, A. Technology for Supercomputer Simulation of Turbulent Flows in the Good New Days of Exascale Computing / A. Gorobets, A. Duben // Supercomputing Frontiers and Innovations. — 2021. — Feb. — Vol. 8, no. 4. — P. 4—10. —URL: https://superfri.susu.ru/index.php/superfri/article/view/ 400.

38. Grotjans, H. Turbulenzmodelle höherer Ordnung für komplexe Anwendungen / H. Grotjans. — VDI-Verlag, 1999.

39. Grotjans, H. Wall functions for general application CFD codes / H. Grotjans, F. R. Menter // Computational fluid dynamics'98. — 1998. — P. 1112—1117.

40. High Lift Prediction Workshop. — URL: https://hiliftpw.larc.nasa.gov/.

41. Kalitzin, G. Near-wall behavior of RANS turbulence models and implications for wall functions / G. Kalitzin, G. Medic, G. Iaccarino, P. Durbin // Journal of Computational Physics. — 2005. — Vol. 204, no. 1. — P. 265—291. — URL: https: / / www. sciencedirect. com / science / article / pii/S0021999104004164.

42. Kania, L. Elliptic adaptive grid generation and area equidistribution / L. Ka-nia // Int. J. Num. Meth. Fluids. — 1999. — July. — Vol. 30, no. 5. — P. 481—491.

43. Karman, T. Mechanische änlichkeit und turbulenz / T. Kärmän [et al.] // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. — 1930. — Vol. 1930. — P. 58—76.

44. Kasimov, N. Galilean-Invariant Characteristic-Based Volume Penalization Method for Supersonic Flows with Moving Boundaries / N. Kasimov, E. Dymkoski, G. De Stefano, O. V. Vasilyev // Fluids. — 2021. — Vol. 6, no. 8. — URL: https://www.mdpi.com/2311-5521/6/8/293.

45. Kawai, S. Wall-modeling in large eddy simulation: Length scales, grid resolution, and accuracy / S. Kawai, J. Larsson // Physics of Fluids. — 2012. — Vol. 24, no. 1. — P. 015105.

46. Kawai, S. Dynamic non-equilibrium wall-modeling for large eddy simulation at high Reynolds numbers / S. Kawai, J. Larsson // Physics of Fluids. — 2013. — Vol. 25, no. 1. — P. 015105.

47. Knopp, T. On grid-independence of RANS predictions for aerodynamic flows using model-consistent universal wall-functions / T. Knopp // Proceedings of the European Conference on Computational Fluid Dynamics. — 2006.

48. Knopp, T. A grid and flow adaptive wall-function method for RANS turbulence modelling / T. Knopp, T. Alrutz, D. Schwamborn //J. Comput. Phys. — 2006. — Vol. 220. — P. 19—40.

49. Knopp, T. Model-consistent universal wall-functions for RANS turbulence modelling / T. Knopp // International Conference on Boundary and Interior Layers, Göttingen, Germany. — 2006.

50. Ladson, C. L. Effects of independent variation of Mach and Reynolds numbers on the low-speed aerodynamic characteristics of the NACA 0012 airfoil section : тех. отч. / C. L. Ladson. — 1988.

51. Ladson, C. L. Pressure distributions from high Reynolds number transonic tests of an NACA 0012 airfoil in the Langley 0.3-meter transonic cryogenic tunnel : тех. отч. / C. L. Ladson, A. S. Hill, W. G. Johnson Jr. — 1987.

52. Larsson, J. Feedback-controlled forcing in hybrid LES/RANS / J. Larsson,

F. S. Lien, E. Yee // International Journal of Computational Fluid Dynamics. — 2006. — Vol. 20, no. 10. — P. 687—699.

53. Laufer, J. The structure of turbulence in fully developed pipe flow : tech. rep. / J. Laufer. — 1954.

54. Lesieur, M. New trends in large-eddy simulations of turbulence / M. Lesieur, O. Metais // Annu. Rev. Fluid Mech. — 1996. — Vol. 28. — P. 45—82.

55. Lesieur, M. Large-Eddy Simulations of Turbulence / M. Lesieur, O. Metais, P. Comte. — Cambridge University Press, 2005. — URL: https://books. google.it/books?id=FWmsrNv3BYoC.

56. Medic, G. Adaptive wall functions with applications / G. Medic, G. Kalitzin,

G. Iaccarino, E. Weide // Proceedings of the 36th AIAA Fluid Dynamics Conference and Exhibit. — 2006.

57. Mehta, Y. Computational Fluid Dynamics Using the Adaptive Wavelet-Collocation Method / Y. Mehta, A. Nejadmalayeri, J. D. Regele // Fluids. — 2021. — Vol. 6, no. 11.

58. Meneveau, C. Scale-invariance and turbulence models for large-eddy simulation / C. Meneveau, J. Katz // Annu. Rev. Fluid Mech. — 2000. — Vol. 32. — P. 1—32.

59. Millikan, C. A critical discussion of turbulent flow in channels and circular tubes / C. Millikan // Proc. 5th Int. Congress on Applied Mechanics, Cambridge. — 1938. — P. 386—392.

60. Moin, P. Direct numerical simulation: A tool in turbulence research / P. Moin, K. Mahesh // Annual Rev. Fluid Mech. — 1998. — Vol. 30. — P. 539—578.

61. Moin, P. Advances in Large Eddy Simulation Methodology of Complex Flows / P. Moin // Int. J. Heat Fluid Flow. — 2002. — T. 23. — C. 710—720.

62. Morgenweck, D. Investigation and validation of a hybrid wall boundary condition in turbulent flows : PhD thesis / Morgenweck D. — Master's thesis, TU Berlin, 2005.

63. NASA Langley Research Center Turbulence Modeling Resource. — URL: https://turbmodels.larc.nasa.gov.

64. Nichols, R. H. Wall Function Boundary Conditions Including Heat Transfer and Compressibility / R. H. Nichols, C. C. Nelson // AIAA Journal. — 2004. — Vol. 42, no. 6. — P. 1107—1114.

65. Palombo, C. L. Development and validation of an improved wall-function boundary condition for computational aerodynamics : Master's thesis / Palombo Carlo Loris. — Stockholm, Sweden : KTH, Engineering Mechanics, 2021.

66. Park, G. I. An improved dynamic non-equilibrium wall-model for large eddy simulation / G. I. Park, P. Moin // Physics of Fluids. — 2014. — Vol. 26, no. 1. — P. 37—48.

67. Patankar, S. V. Heat and Mass Transfer in Boundary Layers / S. V. Patankar, D. B. Spalding. — Morgan-Grampia, 1968.

68. Piomelli, U. Wall-modeled large-eddy simulations: Present status and prospects / U. Piomelli // Direct and Large-Eddy Simulation VII: Proceedings of the Seventh International ERCOFTAC Workshop on Direct and Large-Eddy Simulation, held at the University of Trieste, September 8-10, 2008. — Springer. 2010. — P. 1—10.

69. Pope, S. B. Turbulent Flows / S. B. Pope. — Cambridge University Press, 2000.

70. Popovac, M. Compound wall treatment for RANS computation of complex turbulent flows and heat transfer / M. Popovac, K. Hanjalic // Flow, turbulence and combustion. — 2007. — Vol. 78. — P. 177—202.

71. Prandtl, L. Eine beziehung zwischen warmeaustausch and stromungswiderstand der flussigkeiten / L. Prandtl // Phys. Z. — 1910. — Vol. 11. — P. 1072—1078.

72. Prandtl, L. Neuere ergebnisse der turbulenzforschung / L. Prandtl // Z. vdi. — 1933. — Vol. 77, no. 5. — P. 105—114.

73. Quemere, P. Zonal multi-domain RANS/LES simulations of turbulent flows / P. Quemere, P. Sagaut // Int. J. Num. Meth. Fluids. — 2002. — Nov. — Vol. 40, no. 7. — P. 903—925.

74. Rannie, W. D. Heat transfer in turbulent shear flow / W. D. Rannie // Journal of the Aeronautical Sciences. — 1956. — Vol. 23, no. 5. — P. 485—489.

75. Reichardt, H. Vollständige Darstellung der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung in glatten Leitungend / H. Reichardt // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. — 1951. — Vol. 31, no. 7. — P. 208—219.

76. Roe, P. L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes / P. L. Roe // Journal of computational physics. — 1981. — Vol. 43, no. 2. — P. 357—372.

77. Rumsey, C. 2DN00: 2D NACA 0012 Airfoil Validation Case / C. Rumsey. — 09/2022. —URL: https://turbmodels.larc.nasa.gov/naca0012_val.html ; Accessed on 08 10, 2024.

78. Ryskin, G. Orthogonal Mapping / G. Ryskin, L. G. Leal //J. Comp. Phys. — 1983. — Vol. 50, no. 1. — P. 71—100.

79. Shur, M. Detached-eddy simulation of an airfoil at high angle of attack / M. Shur, P. R. Spalart, M. Strelets, A. Travin // Engineering turbulence modelling and experiments. — 1999. — Vol. 4. — P. 669—678.

80. Shur, M. L. A hybrid RANS-LES approach with delayed-DES and wall-modelled LES capabilities / M. L. Shur, P. R. Spalart, M. K. Strelets, A. K. Travin // International Journal of Heat and Fluid Flow. — 2008. — Vol. 29, no. 6. — P. 1638—1649.

81. Spalart, P. R. A one equation turbulence model for aerodinamic flows / P. R. Spalart, S. R. Allmaras // AIAA journal. — 1992. — Vol. 94.

82. Spalart, P. R. A new version of detached-eddy simulation, resistant to ambiguous grid densities / P. R. Spalart, S. Deck, M. L. Shur, K. D. Squires, M. K. Strelets, A. Travin // Theoretical and computational fluid dynamics. — 2006. — Vol. 20, no. 3. — P. 181—195.

83. Spalart, P. Strategies for turbulence modelling and simulations / P. Spalart // Int. J. Heat and Fluid Flow. — 2000. — June. — Vol. 21, no. 3. — P. 252—263. — 4th International Symposium on Engineering Turbulence Modelling and Measurements, AJACCIO, FRANCE, MAY, 1999.

84. Spalding, D. B. A single formula for the law of the wall / D. B. Spalding [et al.] // Journal of Applied mechanics. — 1961. — Vol. 28, no. 3. — P. 455—458.

85. Thomas, P. D. Direct control of the grid point distribution in meshes generated by elliptic equations / P. D. Thomas, J. F. Middlecoff // AIAA Journal. — 1980.

86. Utyuzhnikov, S. The method of boundary condition transfer in application to modelling near-wall turbulent flows / S. Utyuzhnikov // Computers & fluids. — 2006. — Vol. 35, no. 10. — P. 1193—1204.

87. Utyuzhnikov, S. Robin-type wall functions and their numerical implementation / S. Utyuzhnikov // Applied Numerical Mathematics. — 2008. — Vol. 58, no. 10. — P. 1521—1533.

88. Van Driest, E. On turbulent flow near a wall / E. Van Driest // Journal of the aeronautical sciences. — 1956. —Vol. 23, no. 11. — P. 1007—1011.

89. Vasilyev, O. V. Characteristic-based volume penalization-imposed wall function method for turbulent boundary layer modeling / O. V. Vasilyev, N. S. Zhdanova // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2023. — T. 63, № 5. — C. 821—836.

90. Vasilyev, O. V. Generalisation of the Penalised Wall Function Method for the Simulation of Turbulent flows With Unfavourable Pressure Gradients / O. V. Vasilyev, N. S. Zhdanova // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2023. — T. 63, № 12. — C. 2384—2401.

91. VERIF/2DB: 2D Bump-in-channel Verification Case - Intro Page. — URL: https://turbmodels.larc.nasa.gov/bump.html.

92. VERIF/3DB: 3D Bump-in-channel Verification Case - Intro Page. — URL: https://turbmodels.larc.nasa.gov/bump3d.html.

93. Vieser, V. Heat transfer predictions using advanced two-equation turbulence models / V. Vieser, T. Esch, F. Menter // CFX Technical Memorandum (CFX-VAL10/0602). — 2002.

94. Vlasenko, V. Numerical simulation of non-stationary propagation of combustion along a duct with supersonic flow of a viscid gas / V. Vlasenko, A. Shiryaeva // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: Journal of Aerospace Engineering. — 2013. — Vol. 227, no. 3. — P. 480—492.

95. Von Karman, T. The analogy between fluid friction and heat transfer / T. Von Karman // Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. — 1939. — Vol. 61, no. 8. — P. 705—710.

96. Vorst, H. A. van der. BI-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of BI-CG for the solution of nonsymmetric linear systems / H. A. van der Vorst // SIAM J. Sci. Stat. Comput. — 1992. — Vol. 13, no. 2. — P. 631—644.

97. Wilcox, D. C. Formulation of the k — w Turbulence Model Revisited / D. C. Wilcox // AIAA Journal. — 2008. — Vol. 46, no. 11. — P. 2823—2838.

98. Winslow, A. Numerical solution of the quasilinear Poisson equation in a nonuniform triangle mesh (Reprinted from the Journal of Computational Physics, vol 1, pg 149-172, 1966) / A. Winslow //J. Comp. Phys. — 1997. — Aug. — Vol. 135, no. 2. — P. 128—138.

99. Wolfshtein, M. The velocity and temperature distribution in one-dimensional flow with turbulence augmentation and pressure gradient / M. Wolfshtein // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 1696. — Vol. 12, no. 3. — P. 301—318.

100. Yao, J. Direct numerical simulation of turbulent open channel flows at moderately high Reynolds numbers / J. Yao, X. Chen, F. Hussain // JOURNAL OF FLUID MECHANICS. — 2022. — Dec. — Vol. 953.

101. Yuan, L. Resolving the shock-induced combustion by an adaptive mesh redistribution method / L. Yuan, T. Tang //J. Comp. Phys. — 2007. — June. — Vol. 224, no. 2. — P. 587—600.

102. Zhdanova, N. S. Penalized Wall Function Method for Turbulent Flow Modeling / N. S. Zhdanova, O. V. Vasilyev // Supercomputing Frontiers and Innovations. — 2022. — Dec. — Vol. 9, no. 4. — P. 55—68. — URL: https://superfri.org/index.php/superfri/article/view/480.

Публикации автора по теме диссертации

103. Клюев, Н. А. Применение метода пенализированных пристеночных функций для численного моделирования обтекания аэродинамического профиля : Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша / Н. А. Клюев. — Москва, 2025. — eprint: https://keldysh.ru/papers/2025/prep2025_80.pdf. — URL: https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2025-80.

104. Vasilyev, O. V. Comparative Study of Conventional and Penalized Wall Function Methods in Turbulent Flow Modeling / O. V. Vasilyev, N. S. Zhdanova, N. A. Kluev // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2024. — Vol. 16, Suppl 1. — S139—S161.

105. Vasilyev, O. V. Penalized Wall Function Method with Dynamic Solution Matching in the Separation and Reattachment Regions / O. V. Vasilyev, N. S. Zhdanova, N. A. Kluev // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2024. — Vol. 45, no. 11. — P. 5932—5947.

Список рисунков

1.1 Иллюстрация способов определения положения точки сшивки в

традиционном методе пристеночных функций............. 18

2.1 Зависимость положения точки сшивки от значения скорости трения

ит...................................... 35

3.1 Иллюстрация процедуры интерполяции газодинамических переменных в точку пересечения нормали п и ребра сетки в двумерном случае;

— расстояние от узла на стенке до точки пересечения нормали и грани.................................... 41

3.2 Схема аппроксимации конвективного слагаемого в методе ППФ в двумерном случае ............................. 42

3.3 Демонстрация элементов ^ и расчётной сетки в двумерном случае, по которым производится суммирование для узлов % и у ... 46

4.1 Схема взаимодействия модуля шоёи1е_РУР, реализующего метод

ППФ, с ПК ШКЕШ........................... 50

4.2 Зависимость ускорения расчёта от количества используемых узлов кластера ................................... 53

5.1 Графики пристеночных функций: /(у+) — исходный вариант из работы [65], /(у+) опт. — оптимизированный вариант, СА — профиль скорости, полученный при решении задачи обтекания пластины из раздела 5.1 .......................... 55

5.2 Расчётная область и граничные условия для задачи обтекания плоской пластины ............................. 56

5.3 Расчетная сетка для численного решения задачи обтекания плоской пластины, пристеночный шаг — у\ ~ 100............... 57

5.4 Распределение коэффициента трения в расчётах на структурированных сетках ........................ 58

5.5 Безразмерный профиль продольной компоненты скорости в контрольном сечении х = 1 в расчётах на структурированных сетках 59

5.6 Распределение коэффициента трения в расчётах на анизотропных неструктурированных сетках....................... 60

5.7 Безразмерный профиль продольной компоненты скорости в контрольном сечении х = 1 в расчётах на анизотропных неструктурированных сетках ....................... 61

5.8 Распределение относительной величины пристеночного шага у+

вдоль пластины для неструктурированной расчётной сетки ..... 62

5.9 Фрагмент неструктурированной расчётной сетки вблизи стенки. Стенка расположена в нижней части рисунка............. 63

5.10 Распределения коэффициента трения на пластине при тестировании искусственной вязкости на неструктурированной расчётной сетке . . 64

5.11 Зависимость максимума невязки от времени.............. 65

5.12 Постановка задачи обтекания пластины с неблагоприятным градиентом давления ........................... 66

5.13 Расчётная сетка для случая с у+ ~ 100................. 67

5.14 Распределение вдоль пластины безразмерного пристеночного шага сетки у\ для трёх рассматриваемых расчётных сеток......... 68

5.15 Влияние параметра целевого положения точки сшивки 6+L и метода адаптации на распределение вдоль пластины эффективного положения точки сшивки 6EL+...................... 69

5.16 Влияние параметра 6+L и метода адаптации положения точки

сшивки на распределение коэффициента трения Cf.......... 70

5.17 Влияние на решение параметра Д^ш в методе адаптации

положения точки сшивки ППФд..................... 71

5.18 Влияние сеточного разрешения на решение в задаче отрывного обтекания пластины ............................ 72

5.19 Влияние сеточного разрешения на решение в задаче отрывного обтекания пластины: профили продольной компоненты скорости . . 73

5.20 Демонстрация сеточной независимости решения для стратегии ППФд адаптации положения точки сшивки с одинаковым

значением пристеночного положения Д ................. 74

5.21 Сравнение результатов методов ППФтах и ППФд адаптации положения точки сшивки для адаптированной расчётной сетки с переменным пристеночным шагом у\.................. 75

5.22 Влияние сеточного разрешения на распределение вдоль пластины коэффициента трения ........................... 77

5.23 Линии тока из расчёта на самой подробной сетке (у+ = 1) с использованием модели СА на фоне расчётной сетки с у+ = 100

при различных значениях числа Рейнольдса Яе............ 78

5.24 Распределение коэффициента трения при различных значениях

числа Рейнольдса Яе ........................... 79

5.25 Постановка задачи течения в канале с трёхмерной выпуклостью ... 81

5.26 Сеточная сходимость в задаче обтекания трёхмерной выпуклости в канале для модели СА без пристеночных функций и сравнение с результатами программного комплекса СРЬ30. Здесь N — количество узлов в расчётной сетке ................... 82

5.27 Влияние сеточного разрешения в задаче обтекания трёхмерной выпуклости в канале. Профили скорости в центре выпуклости в

точке х = 0 и у = -0.5 .......................... 83

5.28 Влияние пристеночного разрешения на распределение коэффициента трения на пластине в сечении плоскостью у = -0.5 . 84

5.29 Структурированная расчётная сетка для у\ = 5 х 10-5........ 86

5.30 Неструктурированная расчётная сетка в окрестности профиля .... 86

5.31 Распределение безразмерной высоты пристеночного шага у+ для рассматриваемых расчётных сеток при углах атаки: а = 0° и 18° . . 87

5.32 Распределение коэффициента давления Ср. Для а =0° приведены данные из эксперимента [51] ....................... 88

5.33 Распределение коэффициента трения Cf вдоль поверхности профиля 89

5.34 Распределение эффективного положения точки сшивки на верхней поверхности профиля ...................... 90

5.35 Среднеквадратичное отклонение от референсного решения по коэффициенту давления Ср на поверхности профиля......... 92

5.36 Среднеквадратичное отклонение от референсного решения по коэффициенту трения Cf на поверхности профиля .......... 92

5.37 Сравнение интегральных характеристик, полученных в расчётах, с экспериментальными данными [50].................... 93

5.38 Зависимость от угла атаки отклонения интегральных характеристик от референсного решения ................ 94

5.39 Зависимость от угла атаки ошибки определения координаты ж8ер точки отрыва при использовании метода ППФ. Чёрная линия соответствует шагу расчётной сетки АНТ вдоль профиля....... 95

5.40 Зависимость отклонения коэффициента сопротивления от

итогового значения от физического времени расчёта ......... 96

5.41 Геометрия половины модели ЫЬ-СЯМ с пятого Л1ЛЛ СРЭ HLPW в конфигурации ONERA_LRM-WBSHV с отклонённым предкрылком 99

5.42 Схема граничных условий. Модель самолёта показана увеличенной относительно внешних границ для наглядности. Границы со свободным потоком изображены прозрачными и обозначены только рёбрами...................................100

5.43 Распределение коэффициента давления на поверхности модели и линии тока.................................103

5.44 Распределение коэффициента трения на поверхности крыла. Вид сверху....................................104

5.45 Предельные линии тока на поверхности крыла. Вид сверху......104

5.46 Распределение положения точки сшивки в расчёте с применением метода ППФ на сетке С с увеличенным пристеночным шагом . . . . 105

5.47 Схема контрольных сечений на крыле для построения профилей коэффициентов давления и трения ................... 106

5.48 Схема разбиения на сегменты для сечения Р..............106

5.49 Распределения коэффициента трения на предкрылке в сечениях на семействе сеток С.............................107

5.50 Распределения коэффициента трения на крыле в сечениях на семействе сеток С.............................108

5.51 Распределения коэффициента давления на предкрылке в сечениях

на семействе сеток С............................109

5.52 Распределения коэффициента давления на крыле в сечениях на семействе сеток С.............................110

Список таблиц

1 Количество узлов в используемых расчётных сетках и безразмерный пристеночный шаг у+...................100

2 Коэффициенты сил и моментов, полученные в расчёте и эксперименте 101