Моделирование влияния гармонических и случайных пульсаций давления на трансзвуковые течения в каналах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Тонков, Леонид Евгеньевич

• Тонков, Леонид Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тонков, Леонид Евгеньевич

Введение

Список обозначений

I. Квазистационарные колебания прямого скачка уплотнения

1. Основные соотношения.

2. Уравнение движения скачка.

3. Доказательство существования периодических решений

4. Построение функции Пуанкаре и исследование устойчивости периодических решений.

II. Моделирование колебаний скачка уплотнения в одномерном приближении

5. Постановка задачи.

6. Поведение ударной волны при детерминированном возмущении

6.1. Выбор разностной схемы. Реализация граничных условий.

6.2. Задача об определении акустической проводимости дозвукового сопла.

6.3. Отклик ударной волны на гармоническое возмущение

7. Поведение ударной волны при стохастическом возмущении

7.1. Выбор модели стационарного случайного возмущения

7.2. Вычисление спектральной плотности

7.3. Случайные колебания скачка уплотнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование влияния гармонических и случайных пульсаций давления на трансзвуковые течения в каналах»

Проектирований современных силовых установок летательных аппаратов (сверхзвуковых авиационных [1, 2, 3] и прямоточных воздушно-реактивных ракетных двигателей [4, 5]) требует проведения с высокой точностью предварительных оценок внутренней аэродинамики создаваемой конструкции. Важным элементом таких оценок является определение характеристик течения в канале системы воздухозаборник-диффузор. В частности существенным является определение положения и формы замыкающего скачка, так как он оказывает сильное влияние на устойчивость и характер течения в целом. Этот факт отмечается в экспериментальных исследованиях трансзвуковых течений в диффузорах [6, 7, 8, 9, 10, 11]. Исследования в основном были направлены на изучение структуры и свойств системы скачков уплотнения, возникающей при торможении сверхзвукового потока в канале, а также на выяснение особенностей вязкого взаимодействия ударной волны с пограничным слоем.

В связи с актуальностью данной задачи Дж. К. Кроутилом, М. Сей-беном, К. П. Ченом и Т. Дж. Богаром был выполнен значительный объем экспериментальных исследований [12, 13, 14] которые охватывали определение как осредненных, так и нестационарных параметров течений при наличии умеренно сильных скачков уплотнения в модели диффузора, представляющей из себя сужающийся-расширяющийся канал. Интересно отметить, что указанные исследования были направлены в первую очередь на получение материала, необходимого для отработки и проверки численных методов расчета течений в воздухозаборниках.

Результаты экспериментальных исследований показали, что течение в окрестности скачка имеет достаточно сложную структуру: оно включает области отрыва, обусловленные взаимодействием скачка и пограничного слоя. При этом положение скачка очень чувствительно к характеру изменения площади попереченого сечения канала.

Одной из первых работ, где построена и изучается аналитическими методами модель взаимодействия прямого скачка уплотнения в расширяющемся канале и синусоидального возмущения давления была работа Ф.Э.К. Кулика и Т. Роджерса [48]. Ими рассматривалось одномерное квазистационарное приближение и задача описания процессов в воздухозаборнике сводилась к задаче взаимодействия скачка и акустических волн давления. Предположение о квазистационарности означает, что в каждый момент времени течение в окрестности скачка удовлетворяет соотношениям, справедливым, строго говоря, лишь для стационарного случая с теми же условиями разрыва.

Результаты исследований, приведенные в [48], могут быть применены для определения отражающей способности скачка при оценке характерных частот канала со средним потоком, тестирования численных методов и в качестве источника информации при анализе экспериментальных данных. Однако, нелинейный анализ течения выполнен только для канала постоянного сечения и обобщение результатов данной работы на случай расширяющегося канала представляет практи-чесий интерес.

Значительное увеличение сложности формы воздухозаборника и подводящего тракта реактивного двигателя, появление новых конструктивных схем [15], произошедшие за последнее время, привели, с одной стороны, к невозможности использовать простые аналитические методы для оценки их характеристик, с другой — к возросшей трудоемкости проведения экспериментов [16, 17].

Сочетание указанных факторов делает весьма актуальной задачу разработки новых методов и алгоритмов расчета нестационарных течений в каналах с учетом взаимодействия ударных волн и пограничного слоя с образованием отрывных зон.

Одним из первых способов расчета вязких течений является разбиение исходной области на область невязкого ядра потока и пограничный слой. В каждой подобласти используются различные системы уравнений [18, 19, 20]. Принципиальным недостатком такого подхода является сложность адекватного учета в существенно нестационарном случае взаимодействия скачка уплотнения с пограничным слоем и отрыва потока [21, 22]. Следовательно, для моделирования должны применятся методы, основанные на интегрировании полной системы уравнений Навье-Стокса [23, 24].

Из-за наличия в изучаемых нестационарных течениях скачков уплотнения и развитого пограничного слоя к численным методам решения уравнений математической модели предъявляются строгие требования многие из которых противоречат друг другу [25]. Например, метод должен обеспечивать высокое разрешение фронта двигающейся ударной волны и в то же время являться методом сквозного счета, обладать одновременно высоким порядком аппроксимации решения и достаточным запасом устойчивости.

Указанным требованиям во многом удовлетворяют, появившиеся в последнее десятилетие монотонные разностные схемы [26, 27, 28, 29, 30], при построении которых использованы новые идеи и принципы: невозрастание полной вариации решения [32] (TVD-схемы), ограниченности полной вариации решения (TVB-схемы), неувеличение числа локальных экстремумов решения при ограниченном росте его полной вариации [33] (ENO-схемы). Численные схемы данного класса достаточно полно исследованы как теоретически, так и практически [29, 38, 39, 40, 41] и с успехом применялись для расчета сложных гидродинамических задач к которым относится и рассматриваемые в работе течения. В частности, с применением указанных разностных схем, A.M. Липа-новым, Ю.Ф. Кисаровым, С.Ю. Кисаровой [42, 43, 44] исследовались нестационарные течения в ракетных двигателях а А.Н. Гильмановым, H.A. Кулачковой, A.M. Пановой [45, 46, 47] торможение сверхзвукового потока в каналах.

Самостоятельной задачей является изучение влияния изменений параметров в камере сгорания двигательной установки на течение в подводящем канале. Описание результатов экспериментальных исследований в этом направлении можно найти в [12, 13]. В указанных работах отмечается, что пульсации давления в камере, имеющие большую амплитуду, приводят к существенному изменению положения и интенсивности скачка, возникновению и исчезновению отрывных зон, деформации профиля скорости в выходном сечении канала. Отмечается также и ряд принципиальных трудностей при проведении подобных экспериментальных исследований. В частности, невозможность воспроизвести колебания статического давления с большой амплитудой (порядка 20% от среднего значения), произвольно задавать закон изменения давления в выходном сечении. Кроме того, затруднительно определить, например, давление и скорость потока в произвольной точке области без внесения заметных искажений.

В работах [14, 49] отмечается также, что течение в диффузорах всегда в той или иной степени нестационарны. Наблюдаемые при проведении экспериментов пульсации газодинамических величин и, как следствие, колебания системы скачков уплотнения носят стохастический характер.

Таким образом, необходимо, чтобы математическая модель учитывала влияние на параметры течения как детерминированных так и случайных возмущений различного спектрального состава. В данной работе рассматриваются различные варианты задания случайных колебаний давления и способы анализа получаемых при этом результатов.

Итак, целями данной работы являются:

1) построение математических моделей движения ударной волны в канале переменного сечения при наличии детерминированных и случайных возмущений;

2) создание эффективных алгоритмов расчета параметров нестационарного течения, содержащего ударные волны и развитые отрывные зоны и методов статистической обработки получаемых результатов.

3) численное исследование устойчивости ударных волн в сужающихся-расширяющихся каналах при различных условиях, механизмов, обеспечивающих эту устойчивость, а также связи детальной структуры течений с процессами колебаний ударных волн.

Работа состоит из введения, трех глав, двенадцати параграфов (нумерация параграфов сквозная), списка литературы и заключения.

В первой главе на основе, предложенного Ф. Э. К. Куликом [48], одномерного квазистадионарного приближения построена модель колебаний ударной волны в расширяющемся канале в приближении второго порядка точности относительно амплитуды смещений волны. Доказано (при определенных допущениях) существование устойчивого периодического режима колебаний ударной волны при гармоническом возмущении давления.

Во второй главе проведено практическое сравнение двух монотонных разностных схем повышенного порядка точности по пространственным переменным, основанные на методе Стегера-Уорминга [35]. При помощи численного интегрирования одномерных уравнений газодинамики решены тестовые задачи об определении акустического ад-митанса дозвукового сопла и о равномерном движении скачка уплотнения в канале постоянного сечения. Численно решены задачи о колебаниях ударной волны, вызванных синусоидальными и случайными возмущениями давления. Описаны методы спектрального и корреляционного анализа результатов. Полученные решения сопоставляются с результами первой главы и сравниваются с экспериментальными данными, представленными в [50, 52].

В третьей главе путем численного интегрирования системы уравнений Навье-Стокса в двумерном приближении решается задача о движении ударной волны по каналу переменного сечения при наличии гармонических и случайных возмущений давления. Рассмотрено влияние синусоидального возмущения давления при трех различных частотах и влияние случайных возмущений различного спектрального состава. Проведено сравнение с результатами [12, 13, 14, 50].

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [53, 54, 55, 56, 57, 58, 59] и докладывались на I, II конференциях «Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике» в г. Ижевске, 1996, 1998 гг.; на молодежной конференции по математическому моделированию в г.Казани, 1998 г.; на международной конференции по внутрикамерным процессам и горению (1СОС99) в г.Ижевске, 1999г.

Список основных обозначений р — плотность; и, V — проекции вектора скорости на оси 0£ и Оту; р — статическое давление;

Т — температура; период колебаний; интервал дискретизации процесса; Е — энергия; Н — энтальпия; а — скорость звука; 7 — показатель адиабаты Пуассона; М — число Маха; функция Пуанкаре; £ — время; — смещение (малое) скачка уплотнения от своего стационарного положения; г] — нормированный акустический адмитанс; координаты в исходной области (О,); х,у — координаты в преобразованой области (ГУ); «7 — определитель якобиана преобразования ^ —» П'; Е(х) — площадь поперечного сечения канала; и — круговая частота колебаний; Шгь — пространственно-временная сетка; / — нормированная циклическая частота колебаний (число Струхаля);

3 — фазовый сдвиг волны, отраженной прямым скачком уплотнения; ограничитель Вязникова; в(и>) — спектральная плотность; £(/п) — оценка спектральной плотности; С[т — нормированная оценка функции взаимной корреляции; случайный стационарный процесс;

Р, <5 — параметры, определяющие вид спектральной плотности процесса (-Р + Ф = 1);

Л — величина в (1.8),(1.9), характеризующая нелинейность колебаний; масштабирующий параметр процесса £(£, ?/>); г — шаг дискретизации по времени; кх,Ну — шаги разностной сетки по пространству вдоль осей Оя и О у соответственно.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Тонков, Леонид Евгеньевич

Заключение

1. По одномерной квазистационарной модели проведены теоретические исследования устойчивости колебаний прямого скачка уплотнения при наличии гармонических возмущений давления. Получены условия существования периодического решения, критерии его устойчивости и единственности.

2. Построены одномерная и двумерная математические модели внутренних течений при наличии детерминированных и случайных возмущений статического давления различного спектрального состава.

3. Проведено построение и численное исследование свойств двух монотонных разностных схем повышенного порядка точности. На основе результатов решения тестовых задач показана возможность возникновения при определенных условиях колебаний решения имеющих численную природу.

4. Проведены численные исследования колебаний ударных волн и их влияние на параметры течения при различных частотах гармонического возмущения давления. Показано существенное влияние возмущений на характер течения, а именно: периодическое изменение интенсивности, количества и формы ударных волн, толщины пограничного слоя, количества и расположения зон отрывного течения.

5 . Разработаны алгоритмы анализа статистических характеристик (функция взаимной корреляции, спектральная плотность, стандартное отклонение, математическое ожидание) газодинамических параметров течений, подверженных случайным возмущениям.

6. Проведены численные исследования колебаний ударных волн и их влияние на параметры течения при наличии случайных возмущений давления разного спектрального состава (узкополосный процесс и «дискретный белый шум»). Показано, что предложенная математическая модель хорошо отражает такие, наблюдаемые в экспериментах, особенности рассматриваемых течений как распределение интенсивно

103 сти пульсаций (среднеквадратичного отклонения) давления по длине канала, «модуляция» (корреляционная связь) характеристик пограничного слоя и отрывных зон колебаниями скачка, количество и расположение максимумов на спектрах давления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тонков, Леонид Евгеньевич, 2000 год

1. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры. — М.: Физматгиз, 1960. 290 с.

2. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел.— М.:Наука, 1990. 364 с.

3. Воздухозаборники летательных аппаратов для сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростей. Обзор по материалам иностранной печати /М.: ОНТИ ЦАГИ. -№658. -250с.

4. Аэродинамика ракет: пер. с англ./ Под ред. А.Д. Хонькина. — М.: Мир, 1989. Кн.1. - 426 с.

5. Теория и расчет воздушно-реактивных двигателей. — М.: Машиностроение, 1989. 568 с.

6. Saiben M., Kroutil J.C., and Chen C.P. "A High-Speed Shlieren Investigation of Diffuser Flows with Dynamic Distorsion", AI A A Paper 77-875, July 1977.

7. Meier G.E.A., "Shock induced Flow Oscillations", AGARD Conference Procedings on Flow Separation, No. 168, 1974.

8. Березовский A.B., Панченко В.И., Владимиров А.Г. Торможение сверхзвукового потока в канале некруглого поперечного сечения //Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1989. - №2. - С. 23-26.

9. Зубков А.И., Соркин Л.И. Влияние вязкости на течение в области прямого скачка уплотнения //Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1961. - т. - С. 114-120.

10. Ударные волны в реальных газах /Баженова Т.В. и др. — М.: Наука, 1968. 198 с.

11. Новиков В.Н., Котельников A.M., Хомяков A.M. и др. Конструкция и расчет комбинированных ракетно-прямоточных двигателей твердого топлива. Учебное пособие. — М.: МАИ. 1984. - 69с.

12. Чен К. П., Сейбен М., Кроутил Дж. К. Колебания ударной волны в диффузоре в области трансзвукового течения //Ракетная техника и космонавтика. 1979. - ТЛ7. - №10. - С. 65-75.

13. Богар Т. Дж., Сейбен М., Кроутил Дж. К. Экспериментальное исследование параметров течения и характерных частот возмущений в сверхзвуковых диффузорах //Аэрокосмическая техника. 1984. -Т.2. - №5. - С. 3-14.

14. Богар Т. Дж., Сейбен М., Кроутил Дж. К. Экспериментальное исследование течений в плоских воздухозаборниках //Аэрокосмическая техника. 1985. - Т.З. - №10. - С. 3-13.

15. Курзинер Р.И. Реактивные двигатели для больших сверхзвуковых скоростей полета. — М.: Машиностроение, 1989. 264 с.

16. Гесснер Ф.Б., Фергюсон С.Д., Лоу К.Х. Экспериментальное исследование сверхзвукового турбулентного течения в канале квадратного сечения //Аэрокосмическая техника. 1987. - №12. - С. 40-50.

17. Уэбстер Ф.Ф. Экспериментальная разработка прямоточных воздушно-реактивных двигателей //Аэрокосмическая техника. -1990. №6. - С. 9-25.

18. Адамсон Т.К. мл., Месситер А.Ф., Лиу М.С. Движения с большой амплитудой ударных волн в околозвуковых течениях в плоских каналах// Ракетная техника и космонавтика. 1978. - №12. - С. 32-41.

19. Наполитано М., Верле М. Дж., Дэвис Р.Т. Численный метод решения задач с использованием трехслойной схемы течения //Ракетная техника и космонавтика. 1979. - Т.17. - №7. - С. 35-44.

20. Тимошенко В.И. Сверхзвуковые течения вязкого газа — Киев: На-укова думка, 1987. 184 с.

21. Барнетт М., Девис Р. Расчет сверхзвуковых течений с сильным вязко-невязким взаимодействием //Аэрокосмическая техника. -1987. №5. - С. 96-103.

22. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Отрывные и кавитационные течения: основные свойства и расчетные модели. — М.: Наука, 1990. 310 с.

23. Kumar A., "Numerical Analysis of the Scramjet-Inlet Flow by Using Two-Dimensional Navier-Stokes Equations," TP-1940, Dec. 1981.

24. Найт Д.Д. Улучшенный метод расчета высокоскоростных течений в воздухозаборниках //Ракетная техника и космонавтика. 1981. -Т. 19. - №1. - С. 23-33.

25. Самарский A.A. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977. -656 с.

26. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидромеханики. — Матем. сб., 1959. Т.47, Вып.З. - С. 271306.

27. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976. 400 с.

28. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производных и построение конечно-разностных схем для расчета разрывных решений задач газовой динамики. — Уученые записки ЦАГИ, 1972. Т.З. - №6. - С. 68-77.

29. Ильин С.А., Тимофеев Е.В. Сравнение квазимонотонных разностных схем сквозного счета на задаче Коши для одномерного уравнения переноса //Матем. моделирование.— 1992.- Т.4.- №3 С. 62-74.

30. Андерсон Д., Тоннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. — М.: Мир, 1990. Т. 1-2.

31. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. — М.: Наука, 1989. 368 с.

32. Chakravathy S.R., Osher S. A New Class of High Accuracy TVD Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. — AIAA Paper. №850363. - New-York. - 1985.

33. Harten A. ENO Scheme with Subcell resolution //J. Comp. Phys., 1989. V.83, - №. - P. 148-184.

34. Бим P.M., Уорминг Р.Ф. Неявная факторизованная разностная схема для уравнений Навье-Стокса течения сжимаемого газа //Ракетная техника и космонавтика. 1978. - Т. 16. - №4. - С. 135-144.

35. Steger J.L., Warming R.F. Flux Vector Splitting of the Inviscid Gasdynamic Equations with Applications to Finite Difference Methods //J. Comp. Phys., 1981. V.40, - №2. - P. 263-293.

36. Chakravathy S.R., Oshér S. Computing with high-resolution upwind schemes for hyperbolic equations// Lect. Appl. Math.- 1985.- V.22, №1 P.57-86.

37. Вязников K.B., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа //Матем. моделирование.— 1989.- Т.1.- №5.- С. 95-180.

38. Шенг Дж. С. Обзор численных методов решения уравнений Навье-Стокса для течений сжимаемого газа //Аэрокосмическая техника. 1986. - №2. - С. 65-92.

39. Жмакин А.И., Фурсенко A.A. Об одной монотонной разностной схеме сквозного счета //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. - №4. - С. 1021-1030.

40. Крайко А.Н., Полянский А.Р., Тиляева Н.И. К сквозному счету течений с ударными волнами //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989. - №6. - С. 881-901.

41. Иванов М.Я., Нигматуллин Р.З. Неявная схема Годунова повышенной точности для численного интегрирования уравнений Эйлера //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1986. - Т.26. - №11. - С. 1679-1694.

42. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численное моделирование вязких дозвуковых потоков при числе Рейнольдса 104 //Матем. моделирование. 1997. - Т.9. - №3. - С. 3-12.

43. Кисаров Ю.Ф., Кисарова С.Ю., Мерзлякова Н.И. Разработка комплекса программ по исследованию теплообмена в силовых цилиндрах. Отчет по НИР /ИПМ-КБСМ; инв. №4 ИПМ. Ижевск, 1991. -119с.

44. Гильманов А.Н., Кулачкова H.A. Численное исследование двумерных течений газа со скачками методом TVD на физически адаптивных сетках //Матем. моделирование. 1995. - Т.7. - №3. - С. 97-106.

45. Гильманов А.Н., Кулачкова H.A. Численное моделирование торможения газа в сверхзвуковом воздухозаборнике //Изв. ВУЗов. Ава-ционная техника. 1996. - №4. - С. 26-32.

46. Гильманов А.Н., Панова А. М. Торможение сверхзвукового ламинарного потока газа в псевдоскачке //Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1999. - №3. - С. 164-171.

47. Кулик Ф. Э. К., Роджерс Т. Отклик прямого скачка уплотнения в диффузоре на волновое возмущение //Аэрокосмическая техника. -1984. Т.2. - №6. - С. 19-29.

48. Краузе 3. Экспериментальное исследование сверхзвуковых диффузоров с большим отношением сторон поперечного сечения и низкими числами Рейнольдса //Ракетная техника и космонавтика. -1981. Т.19. - №1. - С. 91-101.

49. Хси Т., Уордлоу А. В., Кроукли Т. Влияние пульсаций давления в камере ПВРД на течение во входном диффузоре // Аэрокосмическая техника. 1988. - №4. - С. 122-129.

50. Толкот-мл. Н. Э., Кумар Э. Численный расчет двумерных вязких течений с замыкающими скачками уплотнения в системе воздухозаборник-диффузор //Аэрокосмическая техника. 1986. -№1. - С. 12-19.

51. Устойчивость рабочего процесса в двигателях летательных аппаратов/ М.А. Ильченко, В.В. Крютченко, Ю.С. Мнацаканян и др. — М.: Машиностроение, 1995. 320 с.

52. Кисаров Ю.Ф., Тонков JI.E. Создание неявных псевдоспектральных методов для расчета трехмерных турбулентных течений./ Отчет по НИР ИПМ, инв. №02940002353 ВНТИЦ. — Ижевск, 1994. 52 с.

53. Тонков JI.E. Моделирование неустойчивости ударных волн в каналах //Матем. моделирование. 1997. - Т.9. - №2. - С. 102-105.

54. Кисаров Ю.Ф., Тонков JI.E. Создание програмных комплексов расчета двумерных нестационарных газодинамических процессов./ Отчет по НИР ИПМ, инв. №02940002410 ВНТИЦ. — Ижевск, 1997. -61 с.

55. Кисаров Ю.Ф., Тонков Л.Е. Колебания прямого скачка уплотнения в канале переменного сечения// Труды молодежной научной конференции по математическому моделированию (Казань, 10-15 февр. 1998 г.) — Казань, 1998. С.195-201.

56. Тонков Л.Е. Моделирование колебаний скачка уплотнения в канале переменного сечения //Известия Института математики и информатики — Ижевск, 1998. №1(12). - С. 3-28.

57. Кисаров Ю.Ф., Тонков Л.Е. Периодические колебания скачка уплотнения в канале переменного сечения //Вестник Удмуртского университета. — Ижевск, 2000. JVH. - С. 28-37.

58. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

59. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. 720 с.

60. Крокко Л. Одномерное рассмотрение газовой динамики установившихся течений //Основы газовой динамики: пер. с англ. /Под ред. Эммонса Г., — М.: Изд-во иностр. лит., 1963. С. 64-324.

61. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1987. -840 с.

62. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977. 426 с.

63. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. — М.: Изд-во иностр. лит., 1950. 426с.

64. Гинзбург И.П. Аэрогазодинамика. — М.: Высшая школа, 1966. -404 с.

65. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. 584 с.

66. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1970. -720 с.

67. Антонов И.Л. Случайные колебания. Свойства траекторий. — М.: Изд-во мех.-матем. факультета МГУ, 1993. 176 с.

68. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. — М.: Наука, 1966. 404 с.

69. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1998. 479 с.

70. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. — М.: Наука, 1979. 336 с.

71. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. 472 с.

72. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. — М.: Физматгиз, 1962. 336 с.

73. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.: Мир, 1967. 310 с.

74. Джорджев М.П. Интегральный метод исследования вязко-невязких взаимодействий при произвольном охлаждении стенки //Ракетная техника и космонавтика. 1974. - Т.12. - №10. - С. 165-175.

75. Козлов A.M., Сабельников В.П. Расчет процесса торможения вязкого сверхзвукового потока в каналах //Изв. АН СССР. МЖГ. -1982. №2. - С. 162-166.

76. Киллендерис Я. Дж., Бэрон Дж. Р. Применение адаптивных методов для решения уравнений Навье-Стокса //Аэрокосмическая техника. 1989. - №10. - С. 122-132.

77. Липман Г.В., Рошко А.Р. Элементы газовой динамики. — М.: ИЛ, I960. 518с.

78. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2-х т. — М.: Наука, 1994. -Т.1 556 с.

79. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 200 с.

80. Эккерт Г. Расчет турбулентного пограничного слоя на пластине в сжимаемом потоке по измерениям в трубах //Вопросы ракетной техники. 1951. - Вып.З. - С. 104-111.

81. Головизнин В.П., Менде Н.П., Жмакин А.И. и др. О распространении ударных волн в плоских и осесимметричных каналах. — Л., 1981. 48с. (Препринт АН СССР, Ленингр. физ.-техн. ин-т: 709)

82. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Физматлит, 1994. 448 с.

83. Томас Дж., Уолтере Р.У. Релаксационные схемы с разностями против потока для уравнений Навье-Стокса. //Аэрокосмическая техника. 1988. - т. - С. 13-23.

84. Боровой В.Я. Течение газа и теплообмен в зонах взаимодействия ударных волн с пограничным слоем. — М.: Машиностроение, 1976. 260 с.

85. Войнович П.А., Евтюхин Н.В., Жмакин А.И. и др. Расслоение ударных волн в неоднородных средах //Физика горения и взрыва. -1987. т. - С. 77-80.

86. Шоссе Д.С., Пуллиам Т.Х. Численное моделирование работы плоского воздухозаборника с помощью диагональной неявной схемы //Ракетная техника и космонавтика. 1981. - Т.19. - №3. - С. 35-44.

87. Хэлоулейкос В.Э. Интенсивные ударные волны в воздушно-реактивных двигателях //Аэрокосмическая техника. 1984. - №7. -С. 160-168.

88. Гусев A.C. О распределении амплитуд в широкополосных случайных процессах при схематизации их по методу полных циклов //Изв. АН СССР. Машиноведение. 1974. - т. - С. 9-31.112

89. Зарембо Jl.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. — М.: Наука, 1976. 160 с.

90. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. — М.: Наука, 1967. 320 с.

91. Плахов Д.Д. Корреляционные соотношения в звуковом поле бесконечной пластины при воздействии случайных флуктуаций давления //Акустич. журнал. 1968. - Т.14. - №2. - С. 35-44.

92. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. — М.: Наука, 1978. 360 с.

93. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций. — М.: Наука, 1968. 280 с.

94. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательности событий. — М.: Мир, 1969. 321 с.