Моделирование волн и гидродинамических течений в биологических жидкостях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Газиа Мохамед Сорор Абдельлатиф Махмуд

• Газиа Мохамед Сорор Абдельлатиф Махмуд
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Газиа Мохамед Сорор Абдельлатиф Махмуд

Введение. Общая характеристика работы

Глава 1. Математическое моделирование в области артериальной механики.

1.1. Введение.

1.2. Уединенные волны

1.3. Волны в заполненных жидкостью упругих трубках

1.4. Уединенные волны в заполненных жидкостью упругих трубках.

Глава 2. Численное и аналитическое исследование распространения волн в заполненных жидкостью упругих трубках

2.1. Введение.

2.2. Классическая симметрия

2.3. Обобщенный метод разложения по эллиптическим функциям Якоби.

2.4. Точные решения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование волн и гидродинамических течений в биологических жидкостях»

3.2. Расширенный метод отображения [103].77

3.3. Приложение к обобщенному уравнению Кортевегаде Фриза с переменными коэффициентами.79

3.4. Приложения к артериальной механике.83

3.5. Обсуждение и заключение.85

Глава 4. Индуцированное испарением течение внутри цилиндрической ячейки.87

4.1. Введение.87

4.2. Течение внутри капли.89

4.2.1. Определение усредненной по высоте скорости с использованием закона сохранения вещества (уравнения неразрывности).89

4.2.2. Определение поля скоростей с использованием уравнения Лапласа .95

4.2.3. Заключение.101

Заключение .102

Литература. 105

Приложение 1. Некоторые частные решения уравнения (2.31).119

Приложение 2. Пример одной из программ в пакете

Mathematica.120

Приложение 3. Пример одной из программ в пакете Maple 122

Приложение 4. Пример одной из программ в пакете

Mathematica.123

Введение. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Отличительным свойством артериального кровотока является его пульсирующий характер. Периодические выбросы крови из левого желудочка сердца создают давление, и поток пульсирует в артериальной системе. Экспериментальные исследования обнаружили, что скорость потока в кровеносных сосудах сильно зависит от упругости стенок сосудов, и волны давления распространяются в направлении периферии характерным образом [3]. Макдональд [4] измерил одновременные изменения амплитуды и формы потока и волны давления на пяти участках от восходящей части дуги аорты в подкожной артерии у собаки, как показано на рис. 1. Передача импульса давления сопровождается увеличением амплитуды и уменьшением длительности импульса, которые были отмечены в качестве «обострения» и «укру-чения», соответственно. Уменьшение амплитуды в соответствии с увеличением импульса скорости и в сочетании с развитием дикротической волны.

Из-за его применения в артериальной механике распространение импульсов давления в заполненных жидкостью упругих трубках было изучено рядом исследователей [3]. В большинстве работ, посвященных распространению волн в эластичных трубках, рассматриваются волны малой амплитуды и игнорируются нелинейные эффекты; основное внима

Нрыпшая аор га

Рис. 1. Одновременная регистрация а) давления Р и б) средней скорости и на разных участках артерий собаки (по данным работы [4]) ние концентрируется на дисперсионных свойствах волн (см. [5]). Однако, когда вводятся нелинейные слагаемые, возникающие из основных уравнений и кинематических соотношений, следует рассматривать либо волны конечных амплитуд, либо волны малых, но конечных амплитуд, в зависимости от порядка нелинейности.

Распространение волн конечной амплитуды в заполненных жидкостью упругих или вязкоупругих трубках было рассмотрено, например, в [6-9] с помощью метода характеристик при изучении формирования удара. С другой стороны, распространение волн малых, но конечных амплитуд в упругих трубках исследовалось в [10, 22, 23, 25, 52] с использованием различных асимптотических методов. Во всех этих работах [10,22,23,25,52] в зависимости от соотношения между нелинейностью, дисперсией и диссипацией уравнения Кортсвега—де Фриза, Бюр-герса или Кортевега-де Фриза-Бюргерса получаются как эволюционные уравнения. Для получения таких уравнений эволюции артерии рассматривались как цилиндрические, длинные, тонкие, однородные и изотропные упругие трубки с постоянным радиусом. Следует подчеркнуть, что реальные артерии являются неоднородными, с переменными радиусами вдоль оси трубки.

Математическое моделирование потока крови через стенозирован-ные артерии становится важным, поскольку основной причиной более чем половины всех смертей в промышленно развитых странах является склерозированием артерий, или атеросклерозом. В ходе кровотока отложения жировых веществ, холестерина, клеточных отходов, кальция и других веществ нарастают во внутренней оболочке артерий. Такое отложение называется бляшкой. Бляшки могут достигать достаточно больших размеров (стеноз), чтобы значительно уменьшить поток крови через артерии. Именно по этой причине изучение последствий стеноза на кровоток в артериях становится чрезвычайно важным.

Изучение нелинейных волновых процессов в вязкоэластичных трубках представляет интерес, поскольку такие трубки отражают некоторые особенности сосудов кровеносной системы, и понимание волновых процессов в них может способствовать прогнозированию развития некоторых заболеваний [11,50,102].

Известно, что сосуды кровеносной системы выполняют проводящую и демпфирующую функцию [3,11]. Проводящая функция отвечает за транспорт крови, обогащенной кислородом, а демпфирующая функция приводит к сглаживанию импульсов давления. Заболевания сердечнососудистой системы приводят к нарушению-как первой, так и второй функций. Нарушением демпфирующей функции является артериосклероз, когда импульсы давления плохо сглаживаются из-за структурных изменений стенок сосудов, что приводит к повышению кровяного давления (гипертонии) и дополнительным разрушениям сосудов. Поэтому представляет интерес построение и анализ модели, учитывающей механические свойства стенок сосуда.

При построении и анализе моделей гемодинамики возникает ряд трудностей. Первая особенность связана с необходимостью учета нелинейных эффектов, возникающих при течении крови. С точки зрения реологии, кровь — это суспензия частиц в водном растворе [11]. Другая сложность состоит в том, что необходимо учитывать многослойную структуру стенки сосуда и ее нелинейные вязкоупругие свойства. Третья трудность связана с тем, что в литературе представлено недостаточно данных по физическим параметрам, характеризующим модели гемодинамики, например вязкость стенки артерии и коэффициент нелинейной упругости.

Цели и задачи исследования. Цель диссертационного исследования — установление влияния вязкости жидкости, упругости стенок сосуда и его формы на амплитуду и скорость пульсовых волн; выявление влияния режима испарения на гидродинамические течения внутри жидкости, испаряющейся в открытой цилиндрической ячейке.

Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

1. Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь — как идеальная жидкость. Найдены и исследованы аналитические решения модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.

2. Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь — как идеальная жидкость. Найдены и исследованы аналитические решения уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.

3. Исследовано распространение пульсовой волны в рамках модели, в которой принимается во внимание как эластичность стенки, так и эффекты сужения, а кровь рассматривается как идеальная жидкость. Найдены и исследованы аналитические решения обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.

4. Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка, а кровь — как вязкая жидкость. Численно решено и исследовано возмущенное уравнение Кортевега—де Фриза, являющееся математическим представлением данной модели.

5. Проведены расчеты поля скоростей и усредненной по высоте скорости гидродинамических течений внутри жидкости, испаряющейся в открытой цилиндрической ячейке. Найдено аналитическое решение уравнения Лапласа в виде обобщенного ряда Фурье-Бесселя.

6. Реализованы в виде комплексов программ в пакетах Maple и Mathematica алгоритмы нахождения решения обыкновенных дифференциальных уравнении с использованием обобщенного метода разложения по эллиптическим функциям Якоби и нахождения численных решений дифференциальных уравнений в частных производных с использованием метода разложения Адомяна.

Объекты и методы исследования. Основным объектом исследования являются нелинейные волны, возникающие в кровеносных сосудах, в частности, пульсовые волны. Исследования проводились с использованием аналитических (классический метод анализа симметрии, метод-разложения по эллиптическим функциям Якоби, расширенный метод отображения) и численных (метод разложения Адомяна) методов математического моделирования.

Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссертации, являются оригинальными. Впервые получены следующие из них.

1. В рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь — как идеальная жидкость, найдены следующие режимы распространения волн: периодические волны, солитоноподобные и уединенные волны.

2. В рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка, а кровь — как вязкая жидкость, численно исследовано распространение уединенной волны в артерии и показано, что амплитуда этой уединенной волны медленно затухает во времени.

3. В рамках модели, в которой принимается во внимание как эластичность стенки сосуда, так и влияние сужения сосуда, а кровь рассматривается как идеальная жидкость, найдены периодические решения, солитоноподобные решения и решения в виде уединенных волн. Показано, что амплитуда и скорость уединенной волны, распространяющейся в таких наполненных жидкостью упругих трубках, зависят от того, как модуль упругости трубки Е(т) и ее радиус го(т) меняются с расстоянием.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в том, что был найден ряд новых решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Практическая значимость работы состоит в том, что найденные решения позволяют интерпретировать некоторые процессы, протекающие при распространении пульсовых волн в стенозированных сосудах, что представляет интерес для медицины. В частности, полученные результаты позволяют прогнозировать амплитуду и скорость пульсовых волн в зависимости от модуля упругости стенок сосуда и его формы.

Разработанные соискателем комплексы программ на Maple и Mathematica1 позволяют находить аналитические и численные решения уравнений, представляющих интерес для задач гемодинамики, при различных значениях механических характеристик сосудов, реологических свойств жидкости и формах стеноза.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях и иных научных мероприятиях. Основные из них:

• Шестнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 19-24 января 2009 г;

• Международная конференция «Геометрия в Астрахани», г. Астрахань, 10-16 сентябрь 2009 г;

• Международная конференция «Геометрия в Одессе», г. Одесса, 2430 мая 2010 г;

• Международная конференция «Геометрия в Кисловодске», г. Кисловодск, 13-20 сентябрь 2010 г;

• Неделя науки Астраханского государственного университета 2008 г, 2009 г, 2010 г, 2011 г.

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано в соавторстве и самостоятельно 8 работ, в том числе,

1 Примеры некоторых программ представлены в приложении к диссертации.

• статей в журналах, включенных в хотя бы одну из систем цитирования (библиографических баз) Web of Science, Scopus, Web of Knowledge, Astrophysics, PubMed, Mathematics, Chemical Abstracts, Springer, Agris, GeoRef) — 2.

• статей в журналах, входящих в список ВАК, — 2.

• тезисов докладов — 4.

Личный вклад автора и роль соавторов. Основные результаты работы, основные расчеты, положения и выводы, выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 122 наименования и четырех приложений. Объем диссертации — 123 страницы.