Моделирование задач газовой динамики с химическими процессами на многопроцессорных вычислительных системах с распределительной памятью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Корнилина, Марина Андреевна

• Корнилина, Марина Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Корнилина, Марина Андреевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАГИРУЮЩИХ

ГАЗОВЫХ ТЕЧЕНИЙ

1.1. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕАГИРУЮЩИХ ТЕЧЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНЫХ ГАЗОВ

1.2. УРАВНЕНИЯ КИНЕТИКИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

1.3. ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ РЕАГИРУЮЩИМ ВОЗДУШНЫМ ПОТОКОМ

1.3.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОКОМПОНЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ

1.3.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАГИРУЮЩЕГО ТЕЧЕНИЯ

1.4 МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОРЕНИЯ ДОЗВУКОВОЙ СТРУИ ПРИ

АВАРИЙНОМ ВЫБРОСЕ МЕТАНА

ГЛАВА 2 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА

МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИХ ТЕЧЕНИЙ НА

МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ СИСТЕМАХ

2.1. ЭФФЕКТИВНОСТЬ И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ

2.2. СПЕЦИФИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С УЧЕТОМ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

2.3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЯ

2.3.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПАРАЛЛЕЛИЗМ

2.3.2. ПАРАЛЛЕЛИЗМ ТИПА «КОЛЛЕКТИВНОЕ РЕШЕНИЕ»

2.4. АЛГОРИТМ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ БАЛАНСИРОВКИ ЗАГРУЗКИ ПРОЦЕССОРОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ

2.4.1 ТРЕБОВАНИЯ К АЛГОРИТМУ

2.4.2 СТРУКТУРА ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ

2.4.3. УПРАВЛЯЮЩИЙ АЛГОРИТМ БАЛАНСИРОВКИ ЗАГРУЗКИ

2.4.4. УПРАВЛЯЮЩИЙ АЛГОРИТМ БАЛАНСИРОВКИ ЗАГРУЗКИ ДЛЯ ГЕТЕРОГЕННЫХ СЕТЕЙ МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ СИСТЕМ

ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

3.1. ХАРАКТЕРИСТИКА ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

3.2. ЗАДАЧА ОБТЕКАНИЯ ПЛОСКОЙ НАГРЕТОЙ ПЛАСТИНЫ МНОГОКОМПОНЕНТНЫМ ГАЗОМ

3.3. ЗАДАЧА ГОРЕНИЯ МЕТАНОВОГО ФАКЕЛА В АТМОСФЕРЕ

3.3.1. ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕТОДОВ РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ ГОРЕНИЯ

3.3.2. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование задач газовой динамики с химическими процессами на многопроцессорных вычислительных системах с распределительной памятью»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена разработке математических методов, параллельных алгоритмов и программ моделирования сложных нелинейных задач газовой динамики с химическими процессами на многопроцессорных вычислительных системах.

Движения химически реагирующих сред исследуются в целом ряде областей науки и техники: аэродинамике, астрофизике, теории горения и других. Такие течения описываются сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений, учитывающей диффузию, перенос, теплопроводность и химические процессы. Эффективным методом исследования течений химически реагирующих сред является численное моделирование.

Моделирование химически реагирующих потоков, в частности процессов горения, является задачей большой вычислительной сложности. Для ее решения необходим подробный расчет полей скорости, температуры, давления и концентраций химических компонент с мелкими шагами временными и пространственными шагами. Несложные оценки показывают, что для решения подобных задач необходима производительность в сотни и тысячи миллиардов операций в секунду. Задачи такого сорта получили название задач большого вызова (grand challenges). К ним относятся задачи детального моделирования режимов обтекания летательных аппаратов сложной формы, процессов горения топлива в котлах тепловых электростанций и горения газа при аварийных выбросах на скважинах и трубопроводах, предсказания погоды в планетарных масштабах а также другие. Для решения подобных задач требуются эффективные численные методы и мощная вычислительная техника с высокой производительностью и большим объемом памяти.

Разработанные в последние годы многопроцессорные системы с распределенной архитектурой (первоначально на базе транспьютеров, а затем

на более мощных процессорах IBM, Motorola и др.) являются перспективным направлением в развитии высокопроизводительной вычислительной техники. Системы с распределенной памятью обладают тем безусловным преимуществом, что позволяют практически неограниченно наращивать число процессоров, и получать, таким образом, требуемую мощность. Это дает возможность построения компьютеров с производительностью достаточной для моделирования задач большой вычислительной сложности, таких как задачи горения, на подробных сетках, содержащих большое число узлов по пространству. При этом первостепенное значение приобретает разработка численных алгоритмов и программ, учитывающих специфические особенности архитектуры многопроцессорных систем.

Диссертация посвящена с одной стороны изучению особенностей численного моделирования течений многокомпонентных химически реагирующих газовых смесей, развитию алгоритмов совместного решения уравнений, описывающих газодинамические процессы, и уравнений, описывающих химическую кинетику горения, а с другой - построению эффективных параллельных алгоритмов, позволяющих в полной мере использовать ресурсы относительно недорогих высокопроизводительных многопроцессорных систем с распределенной памятью.

В области численного моделирования задач газовой динамики российскими и зарубежными учеными накоплен значительный опыт. Так же известен ряд методов решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих химическую кинетику горения. Однако попытки использования стандартных методов построения параллельных алгоритмов, успешно применяемых при решении задач газовой динамики, при совместном решении уравнений газовой динамики и химической кинетики, приводят к резкому (в десятки раз) падению эффективности использования процессоров системы. На первый план выдвигаются вопросы обеспечения хорошей балансировки загрузки процессоров. Необходимо подчеркнуть, что использование стандартных, общепринятых параллельных

алгоритмов не позволяет решать практические задачи сколько-нибудь значительного размера.

Актуальность темы.

Развитие техники и технологии, а также рост внимания к проблемам атмосферного загрязнения токсичными продуктами горения и промышленными выбросами обуславливает большой и устойчивый интерес к проблемам движения вязкого многокомпонентного химически реагирующего газа. Для создания и внедрения высокоэффективных технологий необходим предварительный детальный анализ газодинамических процессов переноса и химических процессов, возникающих при применении данной технологии.

Задачи моделирования химически реагирующих течений представляют интерес для многих областей науки и техники, таких как газовая промышленность, аэродинамика и космическая техника, для расчетов режимов обтекания летательных аппаратов сложной формы, процессов горения топлива в котлах тепловых электростанций и горения газа при аварийных выбросах на скважинах и трубопроводах и т.д.

Поскольку исследование экспериментальных моделей приводит к неоправданным затратам времени и ресурсов и не всегда технически осуществимо, а аналитическое исследование конкретных задач часто оказывается слишком сложным, перспективным подходом является численное моделирование задач газовой динамики на ЭВМ.

В задачах обтекания, описывающих движение авиационной и космической техники, наличие больших скоростей и, как следствие, повышение температуры в скачках уплотнения и в пограничных слоях приводит к возникновению процессов диссоциации — расщепления молекул газа на более простые частицы, ионизации — распада молекул и атомов на ионы и электроны, образованию окислов и других химических соединений. Для широкого класса задач (горения, движения газовых сред в химических реакто-

pax, соплах и других устройствах) химические процессы, протекающие при высокой температуре, являются неотъемлемой составляющей изучаемых явлений. Таким образом, многокомпонентность среды и наличие химических реакций в этих задачах существенны для описания газодинамических процессов и их необходимо учитывать при моделировании. Процессы теплопроводности, диффузии и переноса импульса в свою очередь оказывают влияние на ход химических процессов и определяют энерговыделение и состав газовой смеси. В связи с этим при моделировании реагирующих газовых течений необходимо учитывать взаимное влияние газодинамических и химических процессов.

Изучение реагирующих газовых потоков активно ведется как в нашей стране, так и за рубежом. Однако имеющиеся исследования опираются преимущественно на упрощенные химические, либо газодинамические модели. В данной диссертации, напротив, развивается подход, использующий достаточно полные модели для описания газодинамических и химических процессов.

Потребности детального описания полей скоростей, температур, давлений и концентраций отдельных компонент смеси при численном моделировании газодинамических и физико-химических процессов приводят к необходимости использования современной высокопроизводительной техники, обладающей большими ресурсами быстродействия и памяти. Возрастают также требования к математическим моделям таких процессов и к способам их реализации на ЭВМ.

Перспективным направлением в развитии численного моделирования является использование высокопроизводительных многопроцессорных машин и создание параллельных алгоритмов, ориентированных на распределенную архитектуру. К числу преимуществ многопроцессорной техники относятся ее относительная дешевизна (высокое отношение производительности к стоимости), масштабируемость и отсутствие принципиальных

и технологических ограничений на число процессоров. Бурно развивающиеся в настоящее время глобальные компьютерные сети (Internet, FIDO и т.д.) фактически представляют собой вычислительные системы с распределенной памятью, включающие в себя десятки и сотни тысяч взаимодействующих компьютеров, и также могут рассматриваться как многопроцессорные.

Однако в настоящее время преимущества многопроцессорной техники используются недостаточно в связи с отставанием в области разработки численных методов и математического обеспечения, пригодных для параллельной реализации на машинах с распределенной архитектурой. Потребности проведения расчетов на высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных системах вызывают необходимость развивать новые физико-математические модели, адаптировать и разрабатывать эффективные численные методы и алгоритмы для параллельных машин, создавать специализированное программное обеспечение и вспомогательные библиотеки, например, для балансировки загрузки, осуществления коммуникаций и обменов между процессорами, управления параллельными вычислительными процессами.

В диссертации предлагается подход, позволяющий, с одной стороны построить алгоритм совместного решения уравнений, описывающих газодинамические и химические процессы, а с другой - построить эффективную параллельную реализацию этого алгоритма, позволяющую в полной мере использовать ресурсы относительно недорогих высокопроизводительных многопроцессорных систем с распределенной памятью.

Основная часть затрат при моделировании реагирующих течений приходится на решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), описывающих химическую кинетику - до 90% процессорного времени. При этом главной проблемой при решении системы ОДУ

является получение равномерной загрузки процессоров. Специфика заключается в том, что область интенсивного течения химических реакций существенно зависит от параметров потока, особенно от температуры. Существуют сравнительно небольшие области повышенной температуры, где реакции идут наиболее активно, и концентрации веществ значительно меняются. Время решения для одной точки в такой области может превышать среднее время решения в остальных точках на несколько порядков. Следовательно, требуется равномерное распределение по процессорам - в первую очередь «горячих» точек, на обработку которых требуется наибольшее время. Отметим, что расположение «горячих» точек изменяется во времени. Поэтому для увеличения эффективности параллельной программы необходимо на каждом временном шаге заново перераспределять расчетные точки по процессорам, то есть решать задачу динамической балансировки загрузки на основе априорных оценок и текущего состояния процессорной сети.

Помимо использования эффективных методов численного моделирования газодинамических процессов, особое внимание должно уделяться корректному отбору веществ, участвующих в реакциях, и соответствующей схемы химических процессов. Отметим, что для адекватного описания времени индукции, времени горения, температуры горения и скорости распространения пламени достаточно учитывать сравнительно небольшое число веществ. В то время как для получения реалистичных оценок экологических последствий сжигания метана в модель должны быть включены сотни реакций для десятков веществ. В целом, детальное моделирование движения многокомпонентного реагирующего газа очень сложно как с точки зрения построения физико-математических моделей и разработки экономичных численных методов, требующих больших научных затрат, так и с точки зрения проведения длительных численных экспериментов, невозможных без использования новейших достижения в области высокопроизводительных ЭВМ.

В области разработки параллельных методов для решения различных задач математической физики российскими и зарубежными учеными уже накоплен значительный опыт. Однако известные методы построения параллельных алгоритмов, успешно используемые при решении задач газовой динамики, при совместном решении уравнений химической кинетики и газовой динамики, приводят к резкому (в десятки раз) падению эффективности использования процессоров системы. На первый план выдвигаются вопросы обеспечения хорошей балансировки загрузки процессоров. Необходимо подчеркнуть, что применение стандартных, общепринятых параллельных алгоритмов не позволяет эффективно использовать для решения рассматриваемых задач большое число процессоров.

Газодинамические уравнения многокомпонентных химически реагирующих газовых смесей.

Для описания реального физического процесса обычно строится физико-математическая модель, позволяющая качественно и количественно анализировать исследуемое физическое явление. Для изучения течения многокомпонентных химически реагирующих газов разработано значительное число моделей, опирающихся как на молекулярно-кинетический подход, так и на принципы сплошной среды.

Методы молекулярной динамики и Монте-Карло полезны при моделировании многофазных процессов, которые имеют место при коагуляции или на границах раздела между фазами. В случае задач горения эти методы могут использоваться для изучения коагуляции частиц, поверхностных реакций или детонации в кристаллических решетках. Эти многочастичные подходы дают ценную информацию, необходимую в более макроскопических моделях, но их применение - дело весьма трудное и требующее больших вычислительных затрат. Для численного моделирования течений газовых смесей наиболее приемлемы методы, опирающиеся на приближение сплошной среды (на основе системы уравнений Навье-Стокса), т.к. реали-

зация соответствующих разностных методов требует меньше вычислительных затрат.

Приближение сплошной среды справедливо для описания течений жидкости и газа в широком диапазоне изменения параметров потока. Учет различных физических эффектов приводит к цепочке газодинамических моделей, наиболее полная из которых описывается уравнениями Навье-Стокса, позволяющими учесть эффекты сжимаемости, вязкости и теплопроводности. При различных допущениях о характере течения на основе этих уравнений можно получить другие упрощенные модели. В рамках указанных уравнений удается с достаточной точностью исследовать практически важные классы задач, такие, как задачи обтекания до- и сверхзвуковым потоком газа, течения в каналах и соплах, движение жидкости и газа со свободными границами и многие другие.

Решение уравнений Навье-Стокса даже в случае несжимаемой жидкости (р=сопз1:) представляет собой очень сложную задачу. До сих пор получены точные решения этих уравнений лишь в некоторых простейших случаях, например, для течения вязкой жидкости по прямой трубе - задача Пуазейля; для течения между двумя параллельными плоскими стенками, одна из которых неподвижна, а другая движется, - задача Куэтта и др. Для уравнений Навье-Стокса отсутствуют достаточно широкие классы аналитических (точных) решений. Теоремы существования доказаны не во всей области изменения параметров даже в одномерном случае. Структура классических и обобщенных решений уравнений недостаточно изучена. Нелинейность уравнений Навье-Стокса и наличие малых параметров при старших производных в них создают серьезные трудности как при аналитическом исследовании, так и при численном решении этих уравнений при помощи вычислительных машин. Не существует достаточно хороших алгоритмов для решения трехмерных и двухмерных нестационарных уравнений с учетом всех особенностей. Несмотря на это, уравнения Навье-Стокса широко используются на практике и представляют собой "основной полигон

для испытания современных численных методов". В настоящее время разработка вычислительных методов для решения полной системы уравнений Навье-Стокса является перспективным и активно развивающимся направлением численного моделирования.

В наиболее общей форме движение сплошной среды с учетом эффектов вязкости и теплопроводности описывается интегральными законами сохранения ([1]-[5]). Однако при построении разностных схем удобнее использовать уравнения в дифференциальной форме в предположении непрерывности газодинамических функций. Это допущение сужает классы решений, однако, правильная аппроксимация уравнений приводит к тем же разностным схемам, что и непосредственная аппроксимация интегральных законов.

При описании движения сплошной среды будем использовать неподвижные эйлеровы координаты, т.к. задачи, которые мы будем рассматривать, требуют учета вязких эффектов, пограничных слоев, контактных разрывов и других особенностей потока и, следовательно, не отвечают условию взаимной однозначности и гладкости неподвижных при отображении неподвижной сетки эйлеровых координат на подвижную лагранжеву систему координат, связанную с течением.

Процедура получения газодинамичских уравнений, выраженных через векторы плотности потоков подробно в работах [6]-[8] и др. Полная система уравнений Навье-Стокса сжимаемого теплопроводного химически реагирующего нейтрального газа в декартовых координатах в векторной форме может быть представлена в следующем виде ([6], [9], [5]):

уравнение неразрывности для смеси

(0.1)

уравнение неразрывности /-й компоненты

1 >

(0.2)

уравнение переноса количества движения

—рч + й\у(рум+ Р) = Г, уравнение переноса энергии

д

(0.3)

д1

—Е + (Ну(У (Е + Р) + ц) = у • Г.

(0.4)

Здесь р - плотность, V - вектор среднемассовой скорости, Р - тензор давления, Е - плотность полной энергии, q - вектор плотности теплового потока, - вектор плотности диффузионного потока, с,. - массовая доля (или массовая концентрация) /-го вещества в единице массы смеси, К - вектор внешних сил.

Тензор давления Р и векторы плотности теплового потока д и диффузионного потока входящие в эти уравнения, определяются из обобщенных законов Ньютона, Фурье и системы соотношений Стефана-Максвелла соответственно. Массовая скорость образования ¿-го компонента в результате протекания химических реакций определяется из закона действующих масс. Коэффициенты вязкости и теплопроводности ц и X, бинарные коэффициенты диффузии Ду и коэффициенты термодиффузии Б] с

точностью до интегралов столкновения могут быть определены из молеку-лярно-кинетической теории газовых смесей [6].

Для замыкания системы уравнений к ней необходимо присоединить уравнения состояния определяющее зависимость давления и внутренней энергии е от плотности и температуры Т

р = р(р,Т),е = е(р,Т) (0.5)

Поскольку в общем случае уравнения реагирующих течений не имеют аналитических решений, для изучения характерных свойств системы чрезвычайно полезным является переход к безразмерной форме уравнений и анализ на основе теории размерностей и подобия [10]. Этот поход позволяет выявить качественные, а иногда и количественные закономерности процессов. Так, в работах [11],[12] с помощью автомодельных решений авторами проводился анализ качественного характера влияния объемных потерь массы на течение газа для задачи о тета-пинче.

Если выбрать в качестве масштабов длины, времени, скорости, температуры, давления и молекулярного веса характерные значения этих величин, а в качестве масштабов для физических свойств смеси, ее коэффициентов переноса и констант скоростей химических реакций - значения соответствующих величин при характерном составе смеси, то при переходе к безразмерным переменным можно получить безразмерную форму уравнений Навье-Стокса для многокомпонентных химически реагирующих газовых смесей. В эту систему входит множество безразмерных чисел, которые являются отношениями характерных параметров системы. С их помощью можно оценить роль различных эффектов, определяющих течение многокомпонентных химически реагирующих газовых смесей. В случае, если безразмерные числа у двух различных течений равны, эти течения ведут себя как подобные, то есть обладают сходными свойствами. Таким образом, с помощью этих безразмерных чисел (таких как число Маха и другие) можно выделить различные классы течений.

Характеристика газовых течений

Режимы течения обычно классифицируются в соответствии с величиной числа Маха, которое представляет собой отношение скорости течения к скорости звука, т.е. скорости распространения малых возмущений давления в жидкости. Скорость звука равна

(0.6)

\др; ■ 5

где производная берется при постоянной энтропии. Для идеального газа скорость звука имеет вид

и, следовательно, число Маха М равно

(0.8)

С, УГР

Значение числа Маха определяет, какие физические явления являются существенными при моделировании течения газа или жидкости. При числе Маха М<0.3 течение является несжимаемым (плотность и давление течения постоянны). Для дозвуковых течений (0.3<М<1) сжатие становится существенным. Трансзвуковые течения (М~1) характеризуются наличием слабых скачков уплотнения. При числе Маха 1<М<3 течение является сверхзвуковым, а при М>3 - гиперзвуковым, в этих течениях существуют сильные ударные волны.

В данной работе рассматриваются медленные течения газа, в которых скорости дозвуковые и меньше.

Интерес для анализа течений представляют также следующие безразмерные комбинации: число Рейнольндса, Прандтля и Фруда.

Число Рейнольдса

Ке = ^ (0.9)

у"

определяется как отношение времени вязкого диффузионного распада некоторой структуры течения, имеющей характерный размер Ь, ко времени протекания жидкости через эту структуру. Число Рейнольдса позволяет сделать вывод, является ли действие вязких сил доминирующим или может возникнуть турбулентное течение.

Число Прандтля равно отношению кинематической вязкости к теплопроводности:

РГ = ^, (0.10)

где X - коэффициент теплопроводности.

Число Фруда характеризует отношение кинетической энергии и энергии тяготения

| (0.11) где g - ускорение силы тяжести, / - характерный масштаб длины.

Важной характеристикой химически реагирующего течения является число Дамкёллера в-ой реакции

и

(0.12)

определяющее отношение скорости химическои реакции к характерной скорости газодинамических процессов

Система уравнений (0.1-0.4) является наиболее общей математической моделью движения многокомпонентных химически реагирующих газовых смесей. Она в равной степени применима для описания как внутренних, так и внешних течений и служит основой для подавляющего большинства исследований в газовой динамике.

4* Численное моделирование течений многокомпонентных химически реагирующих газовых смесей на основе полной системы уравнений Навье-Стокса, даже в тех случаях, когда не вызывает принципиальных трудностей, тем не менее приводит к большому объему вычислений и предъявляет высокие требования к быстродействию и размеру оперативной памяти используемых ЭВМ. В случае многокомпонентных химически реагирующих газовых смесей возникает ряд дополнительных специфических трудностей

вычислительного характера, обусловленных разнообразием, сложностью и многоступенчатостью протекающих кинетических процессов. Это делает задачу численного моделирования течений многокомпонентных газовых смесей на основе полной системы уравнений Навье-Стокса исключительно сложной и трудоемкой. В связи с этим большое развитие получили различные приближенные математические модели.

В зависимости от характера допущений, используемых при построении приближенных моделей динамики вязких газовых смесей, эти модели можно разделить на две основные категории.

К первой из них относятся модели, в основе которых лежат фундаментальные уравнения переноса (0.1-0.4), а допущения касаются лишь уравнений для векторов плотности потоков импульса, энергии и массы компонентов и способов описания конкретных физико-химических процессов, характерных для определенных классов течений. Выражения для векторов плотности импульса, тепла и массы являются весьма сложными и их расчеты занимают существенную долю в общем объеме вычислений, поэтому упрощение этих выражений с учетом особенностей конкретных течений позволяет существенно снизить время при численном моделировании. Приближенные методы расчета процессов молекулярного переноса импульса , тепла и массы в многокомпонентных газовых смесях подробно рассмотрены в [13], [14], а также [8] и [15].

Ко второй категории относятся приближенные модели, основывающиеся на допущениях, приводящих к принципиальным изменениям формы уравнений переноса.

Модели существенно дозвуковых течений: 1. Кклассическая модель вязкой несжимаемой жидкости [16]. Эта модель используется для описания медленных течений однородного вязкого газа на основе системы уравнений Стокса (М«1, р^сог^, у^сои^, малы параметры, характеризующие неизотермичность течения, простран-

ственную неоднородность полей концентраций отдельных компонентов смеси, переносные и теплофизические свойства смеси) Система не обладает гиперболическими свойствами, присущими полной системе уравнений Навье-Стокса;

2. Приближение Буссинеска, которое служит для описания процессов естественной и смешанной конвекции газов и жидкостей и его различные модификации [17], [18], [19];

3. Модели, использующиеся при наличии в потоке произвольных конечных изменений плотности, обусловленных неизотермичностью потока и/или неоднородностью состава газа, разработанные рядом авторов в работах [20]-[26].

Параболизованные модели течений вязких газовых смесей:

1. приближение пограничного слоя, [8], [27];

2. приближение узкого канала [28]. В отличие от приближения пограничного слоя, для которого характерна система координат, связаная с обтекаемой поверхностью, в приближении узкого канала уравнения движения традиционно записываются в декартовой и цилиндрической системах координат. Трехмерное приближение узкого канала впервые было сформулировано Пантакаром и Сполдингом [29];

3. модель, основанная на использовании так называемых упрощенных или параболизованных уравнений Навье-Стокса. Эта модель [5] представляет собой развитие приближения вязкого ударного слоя [30], используемого при решении задач внешнего обтекания тел различной формы сверхзвуковыми газовыми потоками при умеренных числах Рейнольдса.

Выражения для векторов плотности импульса, тепла и массы являются весьма сложными, поэтому упрощение этих выражений с учетом конкретных особенностей конкретных течений позволяет существенно снизить объем вычислений при численном моделировании.

Модели химически замороженного газа и равновесного течения

В зависимости от соотношения между характерными временами конвекции, диффузии и физико-химических превращений в потоке используются различные приближенные модели. Среди методов описания физико-химических превращений в многокомпонентных газовых потоках важное место занимают так называемые модели химически замороженного газа и равновесного течения [15], [31], [8], [32], [33], широко используемые при численном моделировании.

Использование модели «замороженного» течения позволяет значительно сократить объем вычислений при расчете течений с медленными химическими реакциями (Das<< 1). В рамках этой модели движение химически реагирующей смеси ничем не отличается от течения инертных смесей.

Модель химически равновесного течения, наоборот, является чрезвычайно эффективной при анализе течений газовых смесей с быстропроте-кающими химическими реакциями (Das»l). Однако, во многих случаях анализ возможности применения модели химически .равновесного течения оказывается весьма затруднительным, так как характерные времена протекания различных химических реакций с участием одних и тех же компонентов смеси могут существенно различаться между собой (только часть реакций протекает равновесно) и значительно изменяться в пределах расчетной области (например, при течении газовой смеси в сопле Лаваля, или при горении). Более того, использование модели химически равновесного течения оказывается в ряде случаев неприемлемым даже при выполнении условия Das»l для каждой из элементарных реакций во всей расчетной области. Речь идет о тех ситуациях, когда целью исследования является определение степени неравновесности тех или иных физико-химических процессов в потоке. В то же время границы применимости модели зачастую оказываются существенно более широкими, чем можно было ожидать, исходя из анализа допущений, лежащих в основе приближенных моделей.

Поэтому источником достоверных данных о границах применимости таких моделей может быть только систематическое сопоставление полученных с их помощью результатов решения различных задач с аналогичными результатами, полученными на основе полной системы уравнений Навье-Стокса, и с соответствующими экспериментальными данными.

При численном моделировании движения вязкого многокомпонентного химически реагирующего газа широко используются как явные, так и неявные схемы различных порядков точности. Охарактеризуем эти методы.

1. Полностью явные конечно-разностные методы

Наиболее популярными среди разностных схем этого типа являются различные варианты явной схемы Мак-Кормака [34], [35].

Основными достоинствами явных конечно-разностных схем являются их простота и наглядность, отсутствие трудностей при реализации сложных граничных условий, часто встречающихся при расчете внутренних течений реагирующих смесей. Кроме того, явные схемы обладают неоспоримыми преимуществами по простоте реализации на параллельных машинах.

Для явных конечно-разностных схем характерно, что временной (или итерационный) шаг т сетки не может быть произвольным. На значение шага интегрирования по времени т из соображений устойчивости накладывается ряд ограничений вида ([36], [37], [9]):

■ для систем гиперболических уравнений - условие устойчивости Куран-

( И \

та-Фридрихса-Леви [38]: х < -г = О- , (1)

■ для уравнений параболического типа - «диффузионное» условие устойчивости: г < X диф = о[11е- И2), (2)

■ «химическое» условие устойчивости: х < (тхим)тт = 01ш 1 пх{^м). (3)

V 15 '

Здесь к - минимальный шаг по пространству, и - скорость звука в потоке.

Необходимость выполнения этих условий значительно снижает эффективность использования явных конечно-разностных схем, причем усло-

вие (1) становится особенно жестким при расчете дозвуковых течений, условие (2) - при расчете течений с умеренными и низкими значениями чисел Рейнольдса, а условие (3) - при расчете течений с быстропротекающими процессами.

Для неявных схем характерна либо полная независимость т от h в условии устойчивости, либо ограничения более слабые, чем в случае явных схем.

2. Частично неявные условно устойчивые разностные схемы

Наиболее известен ICE метод F.H.Harlow и A.A.Amsden'a [39] для расчета непрерывных течений. В рамках этого подхода используется частично неявная аппроксимация уравнения неразрывности и членов с градиентом давления в уравнениях движения. Обобщение этого метода на случай многокомпонентных смесей предложено Ривардом и др. [40]. Важной чертой этого алгоритма, названного RICE (Reacting ICE), является частично неявная аппроксимация источниковых членов в уравнениях переноса массы отдельных компонентов смеси, что позволяет несколько ослабить ограничение (3) на величину временного шага.

3. Полунеявные методы

Полунеявные методы, основанные на использовании полунеявной процедуры расчета уравнений, завязанных через давление (SIMPLE), разработали Пантакар и Сполдинг[29]. Эти методы аналогичны по структуре ICE методу. Однако между ними существует" различие, выражающееся в том, что в ICE методе давление на (п+1)-ом слое в уравнении неразрывности выражается через плотность с нового слоя, а скорость - со старого, тогда как в методе SIMPLE, наоборот, используется плотность со старой, а скорость с новой итерации. Поэтому ICE метод более эффективен при умеренных и высоких значениях числа Маха, а метод SIMPLE - при расчете существенно дозвуковых течений и течений несжимаемой жидкости.

4. Неявные методы

Неявные разностные схемы, основанные на линеаризации конечно-разностных аналогов исходных дифференциальных уравнений относительно приращений искомых функций и последующей приближенной факторизации (расщеплении) стабилизирующих конечно-разностных операторов. Разработка схем данного типа представляет собой развитие классических неявных схем метода переменных направлений [41], [42] и метода дробных шагов [36]. Схемы могут строиться на основе расщепления только по пространственным переменным [43], [44], либо с применением расщепления как по пространству, так и по физическим процессам [45], [46]. Такое расщепление позволяет без потери абсолютной устойчивости метода получать экономичные разностные схемы, реализуемые при помощи скалярных прогонок и вычислений по явным формулам, с числом операций О(N). Подробный анализ существующих алгоритмов данного типа содержится в работе [45].

В качестве справочного руководства по современным методам численного моделирования химически реагирующих потоков можно рекомендовать также монографию Орана и Бориса [47]. В книге приводится целый ряд конечно разностных алгоритмов явного и неявного вида в эйлеровых и лагранжевых переменных. Дано описание моделей, лежащих в основе пакетов программ, используемых для реагирующих течений. Отметим модели RSHOCK (для одномерных нестационарных, сжимаемых течений на основе явных методов в эйлеровых координатах); FAST2D и FAST3D (нестационарные сжимаемые эйлеровы модели в двумерном и трехмерном случае с упрощенными механизмами химических реакций и энерговыделения); FLAME 1D (одномерные нестационарные лагранжевы-модели для дозвуковых течений, подходящие для исследования инициирования, воспламенения и горения ламинарных пламен); SPLISH (двумерные лагранжевы модели хорошо применимые для описания динамики жидкостей с учетом поверхностного натяжения). Все эти модели реализованы в

виде программ с модульной структурой, использующих различные специализированные методы, такие как метод расщепления, метод корректировки потоков БСТ, методы построения сеток (адаптивных) и метод СНЕМЕС^ для решения ОДУ и другие.

Кинетически-согласованные разностные схемы

Для моделирования течений химически реагирующих газовых смесей в диссертации используются кинетически согласованные разностные схемы (КСРС). Кинетически-согласованные схемы для решения задач газовой динамики были предложены в работах Четверушкина, Елизаровой [48] -[51]. Эти схемы получаются непосредственно из разностной аппроксимации уравнения Больцмана с последующим использованием для вычисления ряда моментов функции распределения предположения о локально-максвелловском или Навье-Стоксовском ее характере. Отличие кинетически-согласованных разностных схем от других алгоритмов расчета уравнений газовой динамики заключается в следующем. Уравнения газовой динамики Эйлера или Навье-Стокса являются следствием уравнения Больцмана. Ранее существующие алгоритмы их расчета можно трактовать как последовательность действий, связанную вначале с осреднением уравнения Больцмана, а затем с построением разностной аппроксимации для осред-ненных уравнений. В кинетически-согласованных схемах этот порядок действий изменен: вначале строится разностная аппроксимация, а затем происходит осреднение разностной схемы. Соответствующие дифференциальные уравнения, исследованные в [52], [53], называются квазигазодинамическими уравнениями.

КСРС нашли широкое применение в численном моделировании различных газовых течений. В [54] излагается применение аналогичного подхода к описанию течений газовых смесей с химическими реакциями. В этом случае вместо одного кинетического уравнения записывается система уравнений для каждой компоненты смеси.

Классификация параллельных вычислительных систем

Поскольку при численном моделировании неизбежно должны учитываться особенности той элементной базы и архитектуры вычислительной системы, на которую оно ориентировано, охарактеризуем различные классы параллельных вычислительным систем.

К параллельным (или многопроцессорным) компьютерам относятся различные системы, использующие для обработки данных несколько функциональных устройств одновременно. Многопроцессорные вычислительные системы (МВС) классифицируют по различным признакам: по типу памяти, типу потока команд и типу потока данных, способу обработки данных, типу коммуникационной сети, степени однородности и т. д. [55],

[56]. В соответствии с классификацией Флинна по типу потока команд и типу потока данных многопроцессорные системы делятся на три класса

[57]:

SIMD (Single Instruction Multiple Data) - одиночный поток инструкций и множественный поток данных

MISD (Multiple Instruction Single Data) - множественный поток инструкций и одиночный поток данных;

MIMD (Multiple Instruction Multiple Data) - множественный поток инструкций и множественный поток данных.

К MISD системам принадлежат конвейерные МВС. Системы типа SIMD включают в себя такие МВС, как векторные, в которых синхронно выполняются одинаковые команды с разными данными. В MIMD системах процессоры работают асинхронно и в каждый момент выполняют разные операции над разными операндами.

По типу оперативной памяти параллельные вычислительные системы делятся на два класса:

s>

? • MBC с распределенной памятью (distributed memory system) - в случае, если процессоры системы имеют доступ только к локальной памяти.

• МВС с общей памятью (shared memory system), если процессоры наряду с локальной памятью имеют общую оперативную память.

В случае отсутствия общей памяти процессоры могут обмениваться информацией только через межпроцессорную коммуникационную сеть. МВС с распределенной памятью различают по способу конфигурирования межпроцессорной сети. Существуют вычислительные системы со статической и динамической топологиями коммуникационной сети. В последнем случае МВС называются реконфигурируемыми. Известны некоторые стандартные топологии коммуникационной сети: линейка, решетка, дерево, куб и другие. Топология сети оказывает существенное влияние на производительность системы.

Параллельные алгоритмы, разрабатываемые в диссертации, ориентированы на MIMD-системы. Они предназначены для расчетов на массивно-параллельных системах и сетях рабочих станций, реализуют модель передачи сообщений. Представленные в диссертации расчеты проводились на высокопроизводительных многопроцессорных системах с распределенной памятью PowerXplorer-8, Parsytec-CC-12 и Parsytec-CC-32 (ИММ), SUN-cluster, PowerMANNA (GMD FIRST, Germany). Коммуникационная сеть в системе PowerXplorer-8 представляет собой решетку. Топология системы Parsytec-CC-12 звездообразная (две шестиконечные звезды, соединенные между собой), а у Parsytec-CC-32 - сложная топология, приведенная на рис.21.

Машины с распределенной памятью имеют следующие достоинства:

• выгодны с экономической точки зрения (отношение производительность/стоимость)

• позволяют получить практически любую производительность путем наращивания числа процессоров (т.е. вычислительная система масштабируема), при использовании эффективных алгоритмов.

• доступны для работы (машины имеются в ряде Российских и зарубежных научных Институтов)

• накоплен значительный опыт использования

Вместе с тем использование техники с распределенной памятью налагает большие ограничения на используемые алгоритмы. Для построения эффективной параллельной программы необходимо решить ряд проблем:

• обеспечение равномерного распределения вычислительной нагрузки по процессорам;

• обеспечение ускорения программы при увеличении числа процессоров;

• необходимость синхронизации при остановке (завершении) итераций;

• снижение затрат времени на синхронизацию;

• периодический сбор данных для записи и анализа;

• обмен данными между процессорами для продолжения расчета;

• снижение объема передаваемой информации при обмене;

• снижение числа актов приема-передачи (т. е. числа обменов между процессорами);

• уменьшение влияния нелинейности задачи на балансировку загрузки (на расчет в разных пространственных областях требуется различное время, что связано, например, с влиянием температуры и состава веществ на течение химических реакций и энерговыделение);

• влияние размера задачи на ускорение;

• обеспечение масштабируемости и переносимости программы.

Таким образом, использование многопроцессорных машин с распределенной памятью имеет ряд преимуществ, но налагает значительные ограничения на алгоритмы и предъявляет серьезные требования к программам. Разработка параллельных алгоритмов, позволяющих решить перечисленные проблемы, и является предметом исследования в представленной диссертации. Предложенные алгоритмы ориентированы на класс задач газовой динамики с химическими процессами и предназначены для использования в системах с распределенной архитектурой.

Цель работы

Целью работы является разработка эффективных параллельных алгоритмов и программ для численного моделирования дозвуковых течений вязкого химически реагирующего газа на многопроцессорных вычислительных машинах с распределенной памятью и исследование повышения эффективности их распараллеливания при использовании предлагаемой методики балансировки загрузки.

Методы исследования

Рассматриваемые в работе методы разработки параллельных алгоритмов численного моделирования основаны на методе суммарной аппро-кисмации [58], следствием которого является используемый в работе метод расщепления по физическим процессам [46], и методе декомпозиции области решения. Для моделирования процессов переноса используются полунеявные кинетически-согласованные разностные схемы решения задач газовой динамики [59], распространенные на случай многокомпонентных газовых смесей [60],. Для решения системы жестких ОДУ химической кинетики применяется эффективный высокоустойчивый алгоритм, основанный на неявном многошаговом методе Гира. Указанные методы развиты, модифицированы, и адаптированы для многопроцессорных машин. Выбор

численных методов определяется возможностью их эффективной реализации на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью.

Для повышения эффективности использования многопроцессорных вычислительных систем применяются методы статической и динамической балансировки загрузки.

Научная новизна и практическая ценность работы

Сложные задачи численного моделирования газовых течений с химическими процессами являются одной из областей, где необходимо использование многопроцессорной вычислительной техники. Однако данное направление разработано недостаточно. Имеющиеся исследования опираются преимущественно на упрощенные химические, либо газодинамические мо-

т\ к.» чу

дели. В данной диссертации, напротив, развивается подход, использующии достаточно полные модели для описания газодинамических и химических процессов. Причем, разрабатывается физико-математическая модель и численные алгоритмы, изначально ориентированные на использование вычислительных машин с распределенной архитектурой.

Большой практический интерес представляют исследования эффективности многопроцессорной реализации построенных численных алгоритмов. К новым результатам следует отнести оригинальный алгоритм распределенной обработки данных (РОД), разработанный для обеспечения динамической балансировки загрузки процессоров при совместном решении задач газовой динамики и химической кинетики на регулярных сетках.

Разработанные численные алгоритмы и методы пригодны для расчета широкого класса задач, описывающих течения многокомпонентных химически реагирующих смесей. Построенные на основе предложенных методов параллельные программы являются эффективными, масштабируемыми и переносимыми, что позволяет использовать их на различных компьютерных платформах.

Результаты исследования задач горения метанового факела имеют самостоятельную практическую ценность. Проведенные вычислительные эксперименты позволяют изучить процесс образования продуктов горения и в дальнейшем могут быть использованы для оценки экологических последствий аварийного выброса газа на газопроводах и скважинах.

Разработанные параллельные алгоритмы решения задач газовой динамики с химическими процессами, будут полезны также для многопроцессорного моделирования других задач математической физики.

'С

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Диссертация содержит 213 страниц текста. Список использованной литературы содержит 99 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор литературы по тематике исследования, формулируются цели работы, и приводится краткое содержание глав диссертации.

В первой главе излагаются методы численного моделирования течений многокомпонентных химически реагирующих газовых смесей, дается постановка задачи о дозвуковом обтекании пластины химически реагирующим газом и задачи о горении метанового факела.

Численное моделирование основывалось на системе квазигазодинамических уравнений, состоящей из законов сохранения массы (по компонентам), импульса и энергии, и дополненной уравнением состояния идеального газа. Данная система уравнений позволяет описывать процессы диффузии и переноса в многокомпонентном газе с учетом химического взаимодействия. Рассматриваются дозвуковые течения. Многофазные течения и проблемы, связанные с турбулентностью, в работе не рассматривались.

Объемные силы, включая силу тяжести, в большинстве расчетов не учитываются.

Объемной вязкостью можно пренебречь. Учитывается сдвиговая вязкость. Наиболее важный эффект, к которому она приводит, состоит в образовании пограничного слоя вблизи поверхностей раздела сред или веществ.

л

Диффузионный поток определяется по закону Фика. Термодиффузией и бародиффузией пренебрегаем. Теплопроводность подчиняется закону Фурье. Влияние излучения на вещество в данной работе не учитывается.

Химическая кинетика представлена здесь членами производства и расхода вещества. Химические процессы представляют собой пример «локального» явления, которое не зависит от пространственных градиентов. Таким образом, в процессе химических реакций новые значения концентраций и температуры в каждом узле расчетной сетки определяются предыдущими значениями величин, взятых только в этом узле сетки, и, следовательно, могут вычисляться независимо от соседних узлов. В ходе химических реакций давление считается постоянным.

Моделирование реагирующих течений проводилось на примере двух задач: обтекания плоской нагретой пластины дозвуковым потоком газа и горения метанового факела в воздухе. Были сформулированы соответствующие граничные условия, позволяющие получить адекватную картину течений.

Поскольку моделирование изначально ориентировано на использование для расчетов многопроцессорной вычислительной техники с распределенной памятью, выбор численных методов определяется возможностью их адаптации и эффективной реализации на таких системах. Этому требованию отвечают алгоритмы, обладающие высоким уровнем внутреннего параллелизма, что облегчает их распараллеливание и позволяет получать высокоэффективные программы.

В работе построен алгоритм моделирования газовых течений, основанный на кинетически-согласованных разностных схемах (КСРС). Используется полунеявная КСРС для дозвукового течения с итерациями. Ука-

занный подход распространен на течения многокомпонентных газовых смесей с неравновесными химическими реакциями. Проведено моделирование однокомпонентного течения, в котором отсутствуют химические реакции, и нет внешних сил, и многокомпонентного химически реагирующего течения с помощью кинетически-согласованных разностных схем на примере задачи о дозвуковом обтекании плоской пластины. Поскольку задача естественным образом распадается на газодинамическую и химическую части, предложенный в работе численный алгоритм для моделирования реагирующего течения построен на основе метода расщепления.

С помощью метода суммарной аппроксимации система расщепляется по физическим процессам на блоки "газовой динамики" (ГД) и "химической кинетики" (ХК):

Уравнения газодинамического блока аппроксимируются с помощью полунеявной разностной схемы. Для реализации схемы применяется итерационный процесс, который представляет собой известную схему Кранка-Николсона, имеющую второй порядок точности по времени. Шаг по времени А? выбирается в соответствии с критерием устойчивости. Число итераций 5 определяется таким образом, чтобы невязка не превышала заданной величины. В работе исследовалась зависимость числа итераций от требуемой точности. В расчетах использовался алгоритм с фиксированным числом итераций (обычно 5=4), при этом невязка не превышает 10"4.

Система уравнений химической кинетики интегрируется с помощью неявного метода Эйлера, а также стандартных пакетов для решения ОДУ: БТШ, ЬБОБЕ, БУОБЕ, основанных на неявном многошаговом методе Гира.

Разработана и отлажена методика и программа совместного решения химической кинетики и газовой динамики на основе метода расщепления. Путем проведения пробных расчетов с различным соотношением «внутренних» и «внешних» временных шагов для газовой динамики и химиче-

ской кинетики, был разработан критерий для оптимального выбора шагов. Для нереагируюгцих газов полученное в расчетах установившееся решение задачи обтекания пластины близко к классическому автомодельному решению системы уравнений Прандтля для пограничного слоя в той части течения, где автомодельность справедлива.

Построена физико-математическая модель горения струи метана в воздухе, позволяющая правильно описать энергетические характеристики горения, образование конечных продуктов (водяного пара и углекислого газа) и отследить появление промежуточных продуктов окисления метана. Модель позволяет оценить влияние различных параметров на образование и распространение токсических продуктов горения, таких как окислы азота и углерода, и может использоваться для прогноза экологических последствий горения.

Во второй главе излагаются вопросы, связанные со спецификой построения параллельных алгоритмов для вычислительных машин с распределенной памятью, описываются параллельные алгоритмы для газодинамической и химической частей задачи. Исследуется повышение эффективности использования многопроцессорной техники при применении различных методов балансировки загрузки для решения задач газовой динамики и совместного решения задач газовой динамики с химической кинетикой.

Для многопроцессорной реализации численных алгоритмов использовались методы геометрического параллелизма и коллективного решения.

Метод геометрического параллелизма эффективен для задач газовой динамики без учета химических взаимодействий, либо с медленно развивающимися химическими процессами, так как обеспечивает равномерную загрузку процессоров и низкие потери на обмен данными между ними. Он позволяет также достичь удовлетворительной эффективности при распараллеливании задач газовой динамики с химической кинетикой при условии, что число химических реакций сравнительно небольшое и значения

констант скоростей этих реакций близки между собой в разных точках сетки (как в задаче обтекания нагретой пластины диссоциирующим газом). В этом случае время расчета пропорционально числу узлов расчетной сетки как для газодинамического, трс и для химического блока.

К принципиально иным результатам приводит применение метода геометрического параллелизма при распараллеливании задач, в которых газодинамические процессы оказывают существенное влияние на химические реакции (например, задач горения). Поскольку в этом случае константы скоростей реакций сильно зависят от температуры и величины концентраций участвующих в реакциях веществ, время решения ОДУ сильно меняется как от точки к точке в пространстве, так и на разных шагах по времени. В задачах горения время расчета химического блока резко возрастает, причем оно может значительно отличаться (на несколько порядков) даже в соседних точках пространственной области. Известные подходы приводят к неравномерной загрузке и простоям процессоров и не позволяют эффективно решить задачу. Метод геометрического параллелизма при таких расчетах не эффективен, поскольку практически вся вычислительная нагрузка оказывается сосредоточенной на процессорах, обрабатывающих области интенсивного горения. Как правило, это меньшая часть процессоров. Остальные в результате простаивают большую часть времени. Метод коллективного решения, позволяющий получить равномерное распределение загрузки процессоров, оказывается неэффективным в связи с большими потерями времени на обмены | управляющим процессором.

Для эффективного решения задач химической кинетики с большим количеством реакций и сильной зависимостью констант скоростей реакций от температуры и концентраций был разработан и успешно использован оригинальный метод распределенной обработки данных, позволяющий получить динамическую балансировку загрузки процессоров. Предложенный алгоритм ориентирован на использование в системах с распределенной архитектурой. Он основан на принципах коллективного решения, но в отли-

чие от последнего не требует наличия управляющего процессора, и, следовательно, устраняет потери при сборе и рассылке данных этим процессором. Алгоритм предусматривает вторичное перераспределение точек между свободными процессорами, обеспечивая динамическую балансировку загрузки. При этом, в отличие от диффузного алгоритма, перераспределение происходит не только между соседними процессорами, но и между любыми свободными процессорами сети. К достоинствам метода следует отнести то, что он сохраняет свою эффективность при использовании большого числа процессоров. Метод применим для различных вычислительных систем, в том числе локальных и глобальных компьютерных сетей, включая неоднородные. При этом обеспечивается высокий уровень балансировки загрузки процессоров.

Таким образом, при моделировании химически реагирующих течений на многопроцессорных системах с распределенной архитектурой для получения наибольшей эффективности целесообразно использовать алгоритм РОД для решения уравнений химической кинетики и метод геометрического параллелизма - для решения газодинамических уравнений.

В третьей главе описываются результаты численных экспериментов, подтверждающие эффективность обсуждаемых в работе методов.

Для моделирования динамики обтекания дозвуковым потоком нагретой пластины разработана параллельная программа, основанная на высокоэффективной библиотеке построения параллельных программ PARIX. Расчеты проводились на многопроцессорных комплексах PowerXplorer и Раг-sytec-CC. Для моделирования задачи горения метанового факела разработана параллельная программа, адаптированная к стандарту MPI, что позволило использовать для расчетов ряд различных вычислительных систем с распределенной памятью, таких как Parsytec-CC, SUN-cluster, PowerMANNA (GMD FIRST, Germany). Приведены сравнительные характеристики эффективности выполнения программы и ее частей на этих системах, подтвердившие преимущества специализированных систем с адаптирован-

ными под аппаратную часть библиотеками передачи данных по сравнению с системами общего назначения.

В диссертации приводятся результаты моделирования обтекания плоской нагретой пластины конечных размеров диссоциирующим газом, состоящим из кислорода и азота, подтверждающие эффективность предложенных численных алгоритмов. Показано, что для достижения приемлемой точности проведения расчетов, необходимо не менее четырех итераций.

Приводятся результаты моделирования течения, описывающего аварийный выброс метана в атмосферу, и процесса образования токсичных оксидов азота при горении метанового факела в воздухе. Численные эксперименты проведены для газовых смесей различного состава. Наиболее полная задача включает 19 веществ, участвующих в 64 реакциях. Изучается ряд режимов горения метанового факела в атмосфере и проводится их сравнение. Приводятся результаты, иллюстрирующие динамику образования и распространения токсических компонент, температурные поля, траектории распространения частиц-маркеров в моделируемой зоне.

Дан сравнительный анализ трех подходов к построению параллельной программы моделирования химической кинетики на основе методов геометрического параллелизма, коллективного решения и распределенной обработки данных. Показана неэффективность первых двух подходов к моделированию химически реагирующих течений с сильной зависимостью констант скоростей реакций от температуры и концентраций. В расчетах диффузионного горения метана в атмосфере продемонстрирована высокая эффективность третьего подхода.

Разработанная программа для численного моделирования загрязнения атмосферы окислами азота и углерода при горении метанового факела в воздухе позволяет оценить влияние различных параметров на образование и распространение этих окислов и может использоваться для получе-

ния количественных оценок экологических последствий сжигания метана в воздухе.

В заключении сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

Апробация работы

Основные положения диссертации докладывались на всероссийских и международных научных конференциях и научных семинарах, в том числе на 4-й конференции российской транспьютерной ассоциации "Транспьютерные системы и их применение" (г. Домодедово, октябрь, 1994 г.); 5-й конференции российской транспьютерной ассоциации "Транспьютерные системы и их применение" (г. Домодедово, октябрь, 1995 г.); 2-й российской научной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (г. Тверь, 2-5 июля 1996 г.); международной конференции Parallel CFD'96: Parallel Computer Fluid Dynamics. Algorithms and results using advanced computers: (Италия, о. Капри, 20-23 мая 1996 г.); 3-й международной научной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (г. Тверь, 29 июня-3 июля 1998 г.); 3-й международной конференции "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике" (ММНТ'98, г. Ижевск, 1998 г.); совместном семинаре ИММ РАН и кафедры математического моделирования МФТИ под руководством Е.И.Леванова (декабрь 1998 г.).

Публикации

Основные результаты опубликованы в научных журналах, сборниках и трудах конференций [11],[12] [60-73],

Благодарности

Выражаю искреннюю и глубокую благодарность своим научным руководителям Евгению Ивановичу Леванову и Борису Николаевичу Четве-

рушкину за помощь и поддержку в ходе работы над диссертацией, Михаилу Владимировичу Якобовскому за плодотворное сотрудничество и помощь в обработке и визуализации результатов расчетов, а также Петру Петровичу Волосевичу, общение с которым оказало значительное влияние на формирование моих взглядов. Выражаю свою Людвигу Вацлавовичу Дородницину, Максиму Витальевичу Бочкову и Наталье Юрьевне Романю-хе за тесное научное сотрудничество, Андрею Николаевичу Павлову и Виктору Ивановичу Похилко за ценные обсуждения и советы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Корнилина, Марина Андреевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем основные результаты диссертации:

1. Построена физико-математическая модель распространения струи метана в воздухе с учетом горения, допускающая использование высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных систем.

2. Развиты и адаптированы к параллельным системам с распределенной архитектурой численные методы моделирования задач газовой динамики с химическими процессами. Исследована эффективность их распараллеливания.

3. Разработаны алгоритмы и программные средства динамической балансировки загрузки процессоров при совместном решении задач газовой динамики и химической кинетики на регулярных сетках.

4. Разработана методика численного эксперимента, и проведено моделирование процессов распространения и горения дозвуковой струи метана в воздухе. Проведена серия расчетов, позволяющих изучить процесс образования продуктов горения. Построенная методика может быть использована дня оценки экологических последствий горения метанового факела в атмосфере. Разработанные параллельные программы являются эффективными, масштабируемыми и переносимыми.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Корнилина, Марина Андреевна, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. - М.: Наука,

1981.- 368 с.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1973. - Т.1. - 584 с.

3. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Годунов

С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. - М.: Наука, 1976.- 400 с.

í- '

4. Основы газовой динамики / Под ред. Эммонса,- М.: Изд-во иностр. лит., 1963.-702 с.

5. Гершбейн Э.А., Пейгин C.B., Тирский Г.А. Сверхзвуковое обтекание тел при малых и умеренных числах Рейнольдса // Итоги науки и техники. МЖГ.-М.: ВИНИТИ АН СССР, 1978, —Т. 11, —С. 3-85.

6. Hirschfelder J.O., Curtiss Ch.F., Bird R.R.Molecular theory of gases and liquids. - New York; London: J.Wiley and Sons, 1954. - Перевод: Гирш-фельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. - М.: Изд. ин. лит., 1961. - 930 с.

7. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. - М.: Мир, 1976.

8. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. — М.: Наука, 1982. - 312с.

9. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 368 с.

10. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М.: Наука, 1987.

11. Волосевич П.П., Корнилина М.А., Леванов Е.И., Меладзе Г.В. Влияние торцевых потерь на сжатие и нагрев плазмы в тета-пинче. М.: Ин-т прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1988. - Препр. N 195. - 23 с.

12. Волосевич П.П., Корнилина М.А., Леванов Е.И., Эджибиа Г.В. Автомодельные и численные решения уравнений магнитной гидродинамики с учетом нелинейных объемных источников и стоков // Математическое моделирование. - 1993. - Т.5, N 2. - С.25-41.

13. Бретшнайдер С. Свойства газов и жидкостей. - M.-JL: Химия, 1966. -535 с.

14. Рид Р., Праусниц Дж, Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. - Л.: Химия, 1982.-591 с.

15. Dorrance W.H. Viscous hipersonic flow. Theory of reacting hypersonic boundary laers. - New York, e. a.: McGraw-Hill, 1962. - pp. 334. - Перевод: Дорренс У.Х. Гиперзвуковые течения вязкого газа. - М.: Мир, 1966.-440 с.

16. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1978. - 736 с.

17. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массопереноса. - М.: Наука, 1984. - 285 с.

18. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1972. - 392 с.

19. Джалурия И. Естественная конвекция. Тепло- и массообмен. - М.: Мир, 1983.-399с.

20. Oran E.S., Boris J.P. Detailed modelling of combustion systems // Progr. Energy and Combust. Sci. -1981. - Y.7, N 1. - pp.1-72.

21. O'Rourke P.J. Bracco F.V. Two scaling transformations for the numerical computations of multidimensional unsteady laminar flames // J. Comput. Phys. - 1979. - V. 33, N 2. - pp. 185-203.

22. Кузнецов A.E., Нехамкина О.А., Стрелец M.X. Численное исследование тепломассообмена при существенно дозвуковом химически неравновесном течении диссоциирующего газа в канале с внезапным изменением площади поперечного сечения. // Эксперим. и

теор. исслед. тепломассопереноса при течении диссоциирующ. газов в каналах. - Минск: Ин-т ядерной энергетики АН БССР, 1983. - С. 48-57.

23. Кузнецов А.Е., Нехамкина О.А., Стрелец М.Х. Расчет стационарных дозвуковых течений химически неравновесных газовых смесей в каналах переменного сечения при наличии произвольных конечных изменений плотности. // Теплофиз. высок, температур. - 1984. - т. 22, №6.-С. 1125-1133.

24. Ramshaw J.D., Trapp J.A. Numerical technique for low-speed homogeneous two phase flow sharp interfaces // J. Comput. Phys. - 1976. - V. 21, N 4, -pp. 438-543.

25. Стрелец М.Х. О численном моделировании существенно дозвуковых течений газов и газовых смесей при наличии значительных изменений плотности. // Динамика неоднородных и сжимаемых сред. - JI.: Изд-во ЛГУ, 1984.-С. 70-83.

26. Кузнецов А.Е., Стрелец М.Х. Численное моделирование существенно дозвуковых стационарных неизотермических течений однородного вязкого газа в каналах. // Численные методы механики сплошной среды. - 1983. - Т. 14, № 6. - С. 97-114.

27. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. - М.: Физматгиз, 1962-479 с.

28. Williams J.C.Viscous compressible and incompressible flow in slender channels. -AIAA Journal. - 1963. - V.l, N1. - pp.186-195.

29. Pantakar S.V., Spalding D.B. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimentional parabolic flows. - Int. J. Heat and mass Transfer. - 1972. - V.15, N10. - pp.1787-1806.

30. Davis R.T. Numerical solutions of the hypersonic viscous shock-layer equations. //AIAAJournal. - 1970. - V.8, №5. - pp.843-851.

31. Суслов О.Н., Тирский Г.А., Щенников В.В. Описание химически равновесных течений многокомпонентных ионизованных смесей в рамках уравнений Навье-Стокса и Прантля. // Ж. прикл. мех. и техн. физ. -1971. -№ 1. - С.73-89.

32. Тирский Г.А. Гидродинамическое описание химически равновесных течений частично ионизованных неидеальных смесей газов. - В сб.: Некотор. вопр. мех. сплош. среды, М.: 1978. - 114-143 с.

33. Тирский Г.А. Законы Фика для диффузии элементов в ионизационно равновесных течениях многокомпонентной плазмы. - В сб.: Пробл. соврем, мех. Ч. 2. - М., 1983. - с. 3-20.

34. MacCormack R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering // AIAA Pap. — 1969. — N 354. — 7 p.

35. MacCormack R.W. Baldwin B.S. A numerical method for solving the Navier — Stokes equations with application to shock-boundary layer interaction // AIAA Pap. — 1975. — N 1. — 8 p.

36. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск: Наука, 1967. - 196 с.

37. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.:Мир, 1972. -418 с.

38. Courant R., Friedrichs К.О., Lewy Н. Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. - Math. Ann. - 1928. -N100. - pp. 32-74. - See translation in IBM Journal. - 1967. - March. - pp. 215-234.

39. Harlow F.H. Amsden A.A. A numerical fluid dynamics calculation method for all flow speeds. // J. Comput. Phys. - 1971. - V. 8, N 2. - pp. 197-213.

40. Ривард У., Батлер Т., Фармер О. Нестационарные турбулентные течения химически реагирующих газовых смесей. // Численное решение задач гидромеханики. -М.: Мир, 1977. - С. 184-193.

41. Peaceman D.W., Rachford H.H., Jr. The numerical solution of parabolic and elliptic equations // J.Soc.Inustr. and Appl. Math. - 1955. - V. 3, N 1. - pp. 28-41.

42. Douglas J., Gunn J.E. A general generation of a alternating direction implicit methods. Part I. Parabolic and hyperbolic problems. // Numer. Math. -1964.-V. 6,N5.-pp. 428-453.

43. Beam R.M., Warming R.F. An implicit factored scheme for compressible Navier-Stokes equations. // AIAA J. - 1978. - V. 16, N 4. - pp. 393-402.

44. Briley W.R., McDonald H. Sollution of the multidimensional compressible Navier-Stokes equations by a generalized implicit method. // J. Comput. Phys. - 1977. - Y. 24, N 4. - pp. 372-397.

45. Ковеня B.M., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. - Новосибирск: Наука, 1981. - 304 с.

46. Ковеня В.Я., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. - 247 с.

47. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 660 с.

48. Елизарова Т.Г. О классе кинетически-согласованных разностных схем газовой динамики //ЖВМиМФ. - 1987. - Т.27, N11. - С. 1748-1751.

49. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы для моделирования течений вязкого теплопроводного газа //ЖВМ и МФ. - 1988. - Т.28, N11. - С. 1695-1710.

50. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений // ДАН СССР. - 1984. -Т.279, N 1. - С. 80-83.

51. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетические алгоритмы для расчета газодинамических течений // ЖВМ и МФ. - 1985. - Т.25, N 10. - С. 1526-1533.

52. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Инвариантный вид системы квазигазодинамических уравнений и ее связь с уравнениями Навье-Стокса. М.: Ин-т прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1987. -Препр. N 230.

53. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Инвариантный вид и ассимптотические свойства обобщенной квазигазодинамической системы // ЖВМ и МФ. - 1991. - Т.31, N 7. - С. 1042-1050.

54. Дородницын JI.B. Кинетически-согласованные разностные схемы для моделирования реагирующих течений // ЖВМ и МФ. - 1993. - Т.ЗЗ, N12. - С.1864-1878.

55. Хокни Р., Джессхоуп К. Параллельные ЭВМ. Архитектура, программирование и алгоритмы. - М.: Радио и связь, 1986. - 306 с.

56. Воеводин В.В., Капитонова А.П. Методы описания и классификация вычислительных систем. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 79 с.

57. Flinn M.J. Some computer organizations and their effectiveness // IEEE Trans. Comput. - 1972. - C-21, N 9. - pp. 948-960.

58. Самарский A.A. Теория разностных схем. - M.: Наука, 1989. - 616 с.

59. Chetverushkin B.N. Kinetically Consistent Finite Difference Schemes and Their Applications to Transient Flow Prediction. In: Experimentations, Modelling and Computation in Flow, Turbulence and Combustion (Edited by J.A.Desideri, B.N.Chetverushkin, et al.) V.l, PP.211-220, John Wiley and Sons Ltd, Chichester, 1996. (in English)

60. Дородницын JI.B., Корнилина M.A., Четверушкин Б.Н., Якобовский M.B, Моделирование газовых течений при наличии химически актив-

ных компонентов. Журн. Физ. химии. - 1997. - Т.71, N 12. - С.2275-2281.

61. Dorodnitsyn L.W., Kornilina М.А., Chetverushkin B.N., Iakobovski M.V. Computer Modelling of Gas Flows Containing Chemically Active Components, Moscow // Russian Journal of Physical Chemistry. - 1997. - V.71, N.12.-pp. 2059-2065.

62. Корнилина M.A., Якобовский M.B. Моделирование эволюции сложных нелинейных систем на многопроцессорных вычислительных комплексах. //Журнал физ. химии. - 1995. - Т.69, N 8. - С.1545-1548.

63. Корнилина М.А., Самарская Е.А., Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г., Якобовский М.В. Моделирование разработки нефтяных месторождений на параллельных вычислительных системах. // Математическое моделирование. - 1995. - Т.7, N 2. - С.35-48.

64. Корнилина М.А., Четверушкин Б.Н., Якобовский М.В. Моделирование фильтрации двухфазной жидкости в водонапорном режиме на высокопроизводительном модуле POWER РС-601. - М.: Ин-т матем. моделирования РАН, 1995. - Препр. N 12. -17 с.

65. Kornilina М.А., Yakobovskii M.V. Modelling of Evolution of Complicated Nonlinear Systems on Multiprocessor Computational Complexes), Moscow // Russian Journal of Physical Chemistry. - 1995. - V.69, N.8. - pp.13901393.

66. Корнилина M.A., Трапезникова M.A., Чурбанова Н.Г., Якобовский М.В. Решение задачи нефтедобычи на параллельной вычислительной системе POWER XPLORER. // Тез. докл. 5-й Конференции РТА "Транспьютерные системы и их применение". М.: 1995.

67. Корнилина М.А., Афанасьев Ю.В., Канавин А.П., Леванов Е.И., Якобовский М.В. Решение задачи глубокого проплавления на параллель-

ных вычислительных системах. // Тез. док. 5-й Конференции РТА "Транспьютерные системы и их применение". М.: 1995.

68. Chetverushkin B.N., Iakobovski M.V., Kornilina М.А. Parallel Simulation of Oil Extraction. // Parallel CFD'96 Capri-Italy May 20-23. 1996. -Preprints. - 4 p.

69. Дородницын JI.B., Корнилина M.A., Четверушкин Б.Н., Якобовский М.В. Моделирование дозвукового течения газа на многопроцессорной системе. // Тез. докл. 2-й российской научной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах". Тверь. 2-5 июля. 1996. -С.19.

70. Chetverushkin B.N., Iakobovski M.V., Kornilina М.А. Parallel Simulation of Oil Extraction. In: Parallel Computational Fluid Dynamics: Algorithms and results using advanced computers. Proc. of the Int. Conf. Parallel CFD'96, May 20-23 1996, Capri, Italy, (Eds. P.Schiano, A. Ecer, J. Periaux, N. Satofuka), Elsevier, Amsterdam. - 1997. - pp. 282-288.

71. Корнилина M.A., Романюха Н.Ю., Четверушкин Б.Н., Якобовский М.В. Моделирование экологических последствий горения метанового факела в атмосфере. // Тез. докл. 3-й международной научной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах.", Тверь, 29 июня-3 июля 1998. - С.70.

72. Chetverushkin B.N., Iakobovski M.V., Kornilina М.А., Malikov K.Yu., Romanukha N.Yu. Ecological after-effects numerical modelling under methane combustion. In: Mathematical Models of Non-Linear Excitations, Transfer, Dynamics, and Control in Condensed Systems and Other Media. Proc. of a Symp., June 29 - July 3 1998, Tver, Russia (Ed. by L.A. Uvarova, A.E. Arinstein, and A.V. Latyshev), Kluwer Academic // Plenum

Publishers. - New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow. ISBN 0-30646133-1.- 1999.-pp.147-152.

73. Корнилина M.A., Леванов Е.И., Романюха Н.Ю., Четверушкин Б.Н., Якобовский M.B. Моделирование газового течения с химическими реакциями на многопроцессорной системе. В кн.: Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике. Сб. трудов междунар. конф. «Математическое моделирование в науке и технике» (ММНГ98). Отв. ред. М.Ю.Альес. Изд-во ИПМ УрО РАН. Ижевск. - 1999. -С.34-48.

74. Wilke C.R. Diffusional properties of multicomponent gases // Chem. Eng. Progr. - 1950. - V.46. N 2. - pp.95-104.

75. Тирский Г.А. Уравнения движения частично ионизованных многокомпонентных смесей газов в нормальной форме Коши с точными коэффициентами переноса // Науч. Тр. Ин-т мех. Моск. ун-та. - 1974. - № 32. -С. 6-22.

76. Колесников А.Ф., Тирский Г.А. Уравнения гидродинамики для частично ионизованных многокомпонентных смесей газов с коэффициентами переноса в высших приближениях // Молекулярная газодинамика. 5 Всес. конф. по динам, разреж. газов и молекул, газодинам., дек., 1978. -М., 1982.-С. 20-44.

77. Wilke C.R. A viscosity equation for gas mixtures // J. Chem. Phys. - 1950. -V. 18,N4.-pp. 517-522.

78. Годнев И.В. Вычисление термодинамических функций по молекулярным данным. - М.: ИЛ, 1956.

79. Глесстон С. Теоретическая химия. - М.: ИЛ, 1950.

80. Кондратьев В.Н. Кинетика химических газовых реакций. - М.: АН СССР, 1958.

81. Захарьевский М.С. Кинетика химических реакций. - Л.: ЛГУ, 1959.

82. Глесстон С., Лейдлер К., Эйринг Г. Теория абсолютных скоростей реакций. -М.: ИЛ, 1948.

83. Дородницын Л.В., Четверушкин Б.Н. Об одной неявной схеме для моделирования дозвукового течения газа. // Математическое моделирование. -Ш7.-Т.Э, N5, СМ08--Ц8.

84. Бочков М.В., Четверушкин Б.Н. Об одном алгоритме численного решения уравнений кинетики пробоя. М.: Ин-т прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1985. -Препр. N 123.

85. Бочков М.В. Об одном вычислительном алгоритме для систем неоднородных уравнений математической физики // Дифференц. ур-ния. -1988. - Т.24, N7. - СЛ150-1160.

86. Захаров А.Ю., Турчанинов В.И. STIFF - программа для решения жестких систем ОДУ. - М.: Ин-т прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР. - 1977.

87. Fujivara Т., Horie К., Masuda К. Two-dimensional hypersonic flows including chemical reaction // Nagoya: Nagoya Univ. - Nov. 1987. - V. 39, N 7.-pp. 263-305.

88. Агафонов В.П., Вертушкин B.K., Гладков A.A., Полянский Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М.:Машиностр. - 1972.

89. Красилов В.А. Охрана природы: принципы, проблемы, приоритеты. -М.: Ин-т охраны природы и заповедного дела, 1972. -174 с.

90. Даутов Н.Г., Старик A.M. К вопросу о выборе кинетической схемы при описании объемной реакции метана с воздухом. - Кинетика и катализ. -1997. -Т.38, N2. -с. 207-230.

91. Бочков М.В., Ловачев Л.А., Четверушкин Б.Н. Химическая кинетика образования NOx при горении метана в воздухе. // Математическое моделирование. - 1992. - Т.4, N9. - с. 3-36.

92. Бочков М.В., Ловачев Л.А., Хвисевич С.Н., Четверушкин Б.Н. Образование оксида азота NO при распространении ламинарного пламени по гомогенной метановоздушной смеси. М.: ИММ РАН, 1996. - 98 с.

93. Brown P. N., Byrne G. D., and Hindmarsh А. С. VODE: A Variable Coefficient ODE Solver // SIAM J. Sci. Stat. Comput. - 1989. - N 10. -pp. 1038-1051.

94. Miller A.J., Bowman C.T. Mechanism and modeling of nitrogen chemistry in combustion // Progress, in Energy and Combust Sci. - 1989,- V.15. -pp.287-338.

95. Транспьютеры. Архитектура и программное обеспечение: Пер. с англ. / Под ред. Г.Харпа. - М.: Радио и связь. - 1993. - 304 с.

96. Карцев М.А. Принципы организации параллельных вычислений. Структуры вычислительных систем и их реализация // Кибернетика. -1981.-N2.~c. 68-74.

97. Bowler К.С. Transputer mashines and applications // Phys. Reports (Review Section of Physics Letters). -1991. - V. 207, N 3-5. - pp. 261-289.

98. Domain decomposition method for partial differential equations. Proc. of the 1st Int. Symp. (Eds. R.Glowinsti et al.), SIAM, Philadelphia. - 1988.

99. PARIX 1.3 for Power PC: Software documentation and Reference manual/ -Parsytec Computer GmbH, 1994.