Модернизация полустатистического метода численного решения интегральных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Берковский, Николай Андреевич

• Берковский, Николай Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Берковский, Николай Андреевич

Введение

1. Исходная схема полустатистического метода и доказательство сходимости в пространстве непрерывных функций.

1.1 .Краткая схема полустатистического метода.

1.2.Некоторые соглашения и обозначения.

1.3. Доказательство сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций (основные теоремы).

1.3.1. Вспомогательные рассуждения и леммы.

1.3.2. Основные теоремы о сходимости полустатистического

Ф метода и следствия из них.

1.4. Основные итоги главы 1.

2. Модернизация полу статистического метода.

2.1. Наводящие соображения и мотивировка модернизации.

2.2.Теоремы сходимости для модернизированного полу статистического метода.

2.3. Описание модернизированного полустатистического метода.

2.3.1. Методика расчета. Формула для приближенного решения.

2.3.2. Способы оценивания дисперсии в процессе вычислений.

2.3.3. Оптимизация расстановки узлов случайной сетки

• интегрирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модернизация полустатистического метода численного решения интегральных уравнений»

3.2.Формулировка задачи обтекания лопатки.79

3.4.0сновные соотношения модернизированного полустатистического метода для задачи обтекания.82

3.5.Аналитическое задание контура лопатки.83

3.6.Алгоритм применения модернизированного полустатистического метода к задаче обтекания решетки профилей.87

Результаты численного моделирования.89

3.6.1. Расчет скорости на лопаточных профилях.89

3.6.2. Анализ эффективности адаптации плотности.95

3.6.3. Расчеты на тестовых решетках.97

3.7. О выводе обобщенной формулы Коши для обтекания решетки профилей.102

3.8. Исследование непрерывности ядра интегрального уравнения задачи обтекания.107

3.9. Основные итоги главы 3.111

4. Применение модернизированного полустатистического метода к решению внутренней задачи Дирихле в трехмерном пространстве.113

4.1. Введение.113

4.2. Формулировка задачи и переход к интегральному уравнению.114

4.3. Регуляризация интегрального уравнения и формулы для приближенного решения.115

4.4. Оценка точности решения и алгоритм численного расчета.118

4.5. Оптимизация алгоритма.120

4.6. Примеры численного моделирования.122

4.7. Основные итоги главы 4.129

Заключение.130

Список литературы.132

Введение.

Целью настоящего диссертационного исследования является совершенствование численных методов решения интегральных уравнений. В качестве «готового» метода, подлежащего изучению и совершенствованию, выбран сравнительно новый полустатистический (адаптивно-стохастический) метод решения интегральных уравнений, разработанный в 80-90 годах прошлого века в основном Д.Г Арсеньевым, В.М. Ивановым, и О.Ю. Кульчицким. [1,7,8,37] Следует отметить, что к интегральным уравнениям сводятся многие задачи математической физики [34,31,46] поэтому развитие приближенных методов решения этих уравнений имеет прикладной интерес. Приближенным методам решения интегральных уравнений, разработанным ранее полустатистического, уделено много места в физико-математической литературе [13,17,25]. Дадим краткий обзор основных приближенных методов решения интегральных уравнений:

1) Метод замены ядра уравнения вырожденным ядром, хорошо аппроксимирующем исходное ядро. [17,49,34] Достоинством этого метода является простота, с которой (по крайней мере, при малом ранге вырожденного ядра) оценивается погрешность [17]. Однако, этот метод трудно поддается постановке на машину, так как удачный выбор вырожденного ядра требует большого искусства от вычислителя. Кроме того, чтобы найти элементы системы алгебраических уравнений, нужно вычислить большое число интегралов. [17]

2) Метод механических квадратур. [17,13 ] Суть этого метода заключается в замене интеграла конечной суммой по какой-либо квадратурной формуле. [9] Этот метод значительно более прост в машинной реализации, чем предыдущий. При достаточно гладких ядре и решении интегрального уравнения он имеет высокую скорость сходимости. К недостаткам метода можно отнести сильное усложнение квадратурных формул при переходе к многомерному случаю [12,23,42] и тот факт, что узлы интегрирования задаются заранее самим вычислителем (невозможность автоматической адаптации сетки интегрирования).

3)Метод Галеркина [17,25,13,49], в котором приближенные решения ищутся в виде конечных разложений по какой-либо полной координатной системе функций. Недостатки метода-трудность получения системы алгебраических уравнений: надо взять большое количество интегралов. Преимущество метода Галеркина в сравнении с методом механических квадратур состоит в том, что скорость сходимости зависит от гладкости решения , но не от гладкости ядра. [17]

Заметим, что никакой из перечисленных методов не использует статистические операции, поэтому условимся называть их детерминированными [1,19], в противовес методам, использующим генерацию случайных чисел и статистические оценки для получения приближенных решений. Из приведенного беглого обзора видно, что основным детерминированным методам свойственны следующие недостатки:

1)болыпая трудоемкость при постановке на машину, особенно в многомерном случае (в случае уравнений на отрезке прост только метод квадратур).

2) невозможность автоматической оптимизации вычислений в силу жесткой фиксации узлов интегрирования или координатных функций.

Поэтому оправдано обращение к статистическим методам интегрирования, которые, хотя и проигрывают в скорости сходимости, но свободны от вышеозначенных недостатков. Разумеется, что речь не идет об абсолютной замене детерминированных методов статистическими, однако, по-видимому, существуют классы задач, при решении которых статистические методы, будучи усовершенствованными, будут более эффективны, чем детерминированные. Поэтому в диссертации проделана работа по сравнению эффективности полустатистического метода и метода квадратур при решении задач различного рода.

Помимо изучаемого в диссертации полустатистического метода, из разработок в области статистического решения интегральных уравнений следует отметить еще более молодой проекционно-статистический метод[6], теоретически разработанный В.М.Ивановым и М.Л. Кореневским. Кроме того, автору представляется плодотворным изучение вопроса об эффективности подхода к решению интегральных уравнений при помощи случайных квадратурных формул. [19,32] Однако, по этой теме серьезных исследований пока не осуществлялось и литературу по ней обнаружить не удалось, хотя, на первый взгляд, идея достаточно очевидная.

Что касается решения задач математической физики, решаемых при помощи интегральных уравнений, то следует отметить , что многие задачи (например, стационарная задача теплопроводности, задача обтекания решетки потенциальным потоком идеальной жидкости, задачи теории упругости) могут быть решены без использования интегральных уравнений, в частности методом конечных элементов [36], методом контрольных объемов [39], методом конформных отображений. [44] Вышеперечисленные методы также весьма трудоемки, поэтому нуждаются в конкуренции, которую и призваны составить хорошо разработанные численные методы решения интегральных уравнений.

Впервые метод решения интегральных уравнений, содержащий детерминированные и статистические операции, и поэтому названный полустатистическим, был предложен в [1,9,37] и использовался при решении стационарных задач вибропроводности и теории упругости, где его применение было достаточно успешным [1, 12, 37].

Полустатистический метод имеет ряд приятных особенностей сравнительно с детерминированными (методами, не использующими генерацию случайных чисел для расстановки узлов интегрирования), в частности:

1) оптимизация расстановки узлов сетки численного интегрирования с целью уменьшения погрешности вычислений производится автоматизировано, на основе адаптивного алгоритма.

2) для многомерных областей основные соотношения метода остаются почти неизменными по сравнению с одномерным случаем, тогда как в случае детерминированных методов формулы численного интегрирования усложняются при переходе к большим размерностям.

3) имеется возможность получения оценки точности приближенного решения в процессе вычислений, используя тот или иной выборочный показатель статистической вариации.

К недостаткам полустатистического метода относится сравнительно невысокая скорость сходимости, свойственная, впрочем, всем методам, основанным на законе больших чисел.

В ходе вычислительной практики, предшествовавшей написанию диссертации, выяснилось, что при численном решении стационарной задачи теплопроводности и задачи потенциального обтекания газотурбинных профилей потоком идеальной жидкости полустатистический метод, применяемый согласно «классической», первоначальной схеме, приведенной в основных источниках [1,7,37] работает недостаточно эффективно. Даже при использовании адаптивного алгоритма оптимальной расстановки узлов интегрирования, который традиционно считается одной из сильнейших сторон метода, при некоторых граничных условиях не удавалось получить приближенные решения удовлетворительной точности. Причины тому могло быть две: либо при данных параметрах интегрального уравнения сходимость полустатистического метода не имеет места, либо количество узлов случайной сетки интегрирования, ограниченное возможностями современной вычислительной техники, слишком мало для решения данных задач. Последнее рассуждение привело к идее модернизации полустатистического метода (с целью обойти проблему нехватки узлов сетки интегрирования), и к необходимости математически строго исследовать вопрос о том, при каких условиях имеет место сходимость метода. Решению этих проблем, а также применению полустатистического метода в усовершенствованном, «модернизированном» виде к двум задачам математической физики: задаче обтекания решетки газотурбинных профилей и стационарной задаче теплопроводности посвящено настоящее диссертационное исследование. Ввиду того, что, как выше указано, полустатистический метод имеет ряд неоспоримых достоинств по сравнению с другими методами, данное исследование представляется актуальным.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Берковский, Николай Андреевич

Заключение

Основными результатами работы, выносимыми на защиту, являются следующие:

1) Проведено теоретическое исследование сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций. Доказаны леммы и теоремы о сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций. Доказательство сходимости представляет собой синтез идей функционального анализа и теоретико-вероятностных рассуждений. Все результаты по сходимости метода в пространстве непрерывных функций получены впервые.

2) На основе теоретических исследований проведена модернизация метода, заключающаяся в развитии первоначальной схемы, доказаны соответствующие теоремы. Теоретически прояснен вопрос об источниках погрешности полустатистического метода (смещение и вариация) и о том, когда модернизированная версия метода должна быть эффективнее «классической» схемы. Модернизация, а также формулировка и доказательства связанных с ней теорем осуществлены впервые.

3) Вычислительными экспериментами подтверждена эффективность модернизации, найдены задачи, для которых с помощью модернизированного метода можно получить решения удовлетворительной точности, а по первоначальной схеме-нельзя, в силу ограниченных возможностей современной вычислительной техники. На конкретных вычислительных примерах показана роль основных теоретических положений модернизации. По результатам вычислительной практики выделен класс задач, в применении к которым полустатистический метод является более эффективным, чем детерминированные.

4) Рассмотрен новый, альтернативный основным источникам, подход к вопросу оптимизации метода. Численными экспериментами подтверждена эффективность этого подхода.

5) Осуществлено применение модернизированного полу статистического метода к задачам математической физики, на которых метод еще не апробировался (задача обтекания плоской решетки газотурбинных профилей и трехмерная задача Дирихле). В случае задачи обтекания решетки обсчитывались реальные профиля, данные по которым взяты из расчетно-конструкторской практики. Везде проведено сравнение результатов с точными решениями или решениями, полученными при помощи детерминированных методов. При численном решении задачи теплопроводности предложена эффективная формула для расчета температуры, хорошо работающая как вблизи, так и вдали от границы тела. Строго доказаны непрерывные свойства ядра в задаче обтекания решетки.

6) В процессе применения метода к задаче обтекания решетки строго исследована так называемая «обобщенная интегральная формула Коши», используемая во всех основных источниках, посвященных обтеканию гидродинамических решеток, но ни в каком из известных автору источников не доказанная строго. Рассмотрены математические вопросы, связанные с этой формулой, не поднимавшиеся, по-видимому, до настоящего диссертационного исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Берковский, Николай Андреевич, 2006 год

1. Арсеньев Д. Г., Иванов В. М., Кульчицкий О. Ю. Адаптивные методы вычислительной математики и механики. Стохастический вариант. СПб.: Наука.-1996.-c.366

2. Арсеньев Д. Г., Иванов В. М., Берковский Н. А. Применение полустатистического метода к решению внутренней задачи Дирихле в трехмерном пространстве.//Научно-технические ведомости СПбГТУ, № 4 (3 8).-2004.-с.52-59.

3. Арсеньев Д. Г., Иванов В. М., Берковский Н. А. Исследование сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций на компакте. // Вычислительная математика и механика. Труды СПбГТУ №498 СП6.-2006.-С. 17-29.

4. Арсеньев Д. Г., Иванов В. М., Берковский Н. А. Модернизация полустатистического метода // Вычислительная математика и механика. Труды СПбГТУ № 498 СПб.-2006.-с.29-57.

5. Арсеньев Д. Г., Иванов В. М., Берковский Н. А. Применение полустатистического метода к задаче обтекания плоской решетки профилей. // Вычислительная математика и механика. Труды СПбГТУ № 498 СПб.-2006.-с.57-73.

6. Арсеньев Д. Г. Адаптивное управление стохастическими вычислительными процессами // Вычислительная математика и механика. Труды СПбГТУ № 498 СП6.-2006.-С.З-17

7. Арсеньев Д.Г. Разработка статистических методов решения интегральных уравнений теории упругости. Диссертация на соискание уч. степ, к.т.н. СПбГТУ.-1994.-с. 163

8. Арсеньев Д.Г., Иванов В.М. Решение интегральных уравнений первой основной задачи теории упругости полустатистическим методом. Деп. в ВИНИТИ 05.04.86, № 6644-В86 Л.-1986.-С.52

9. Бахвалов Н.С. Численные методы. М:, Наука.-1973.-с.632

10. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.Наука.-1966-с.520

11. Боровков А. А. Курс теории вероятностей. М.: Наука.-1972.-с.287

12. Бусленко Н.П, Голенко Д.И., Соболь. И.М. Метод статистических испытаний, (метод Монте-Карло) Главное издательство физико-математической литературы. М:-1962.-с.331

13. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. М: «Наука»-1971 .-с.248

14. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М: «Наука»-1988.-е.448

15. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.:Высшая школа.-2002.-с.575

16. Вохмянин С.М. Роост Э.Г. Богов И.А. Расчет систем охлаждения лопаток газовых турбин. Программный комплекс COLD. СПб, Международная Академия Наук Высшей Школы. Санкт-Петербургское отделение. ВТУЗ-ЛМЗ.-1997.-е. 110

17. Даугавет И. К. Приближенное решение линейных функциональных уравнений. Ленинград: Издательство Ленинградского университета-1985.-c.252

18. Дьяконов В. Mathcad 2001 ¡специальный справочник. СПб.:Питер2002.-c.832

19. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. «Наука».-1975.-c.472

20. Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин Машгиз, Ленинград.-1960.-с.260

21. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. Интегральные уравнения. М:Наука.-1968.-с.448

22. Зорич В.А. Математический анализ. Часть2. М.:МЦНМО.-2002.-с.794

23. Иванов. В.М., Кореневский М.Л. Адаптивно-статистические методы численного интегрирования. Санкт-Петербург , издательство СПбГПУ2003.-е. 139.

24. Канторович JI.B. Функциональный анализ и прикладная математика //Успехи мат. наук. 1948. Т.З, вып 6(28).

25. Канторович Л. В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука-1977.-c.744

26. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:Наука.-1981.-с.544

27. Кочин Н.Е. Гидродинамическая теория решеток. М.,Л.: Гостехиздат-1949.-е. 125

28. Краснов М.П. Интегральные уравнения (введение в теорию). «Наука».-1975.-c.298

29. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы функций комплексного переменного. М:,Наука.-1965 -с.716

30. Математический энциклопедический словарь. М: «Советская энциклопедия».-1988.-с.847

31. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. «Наука», Сибирское отделение, Новосибирск.-1974.-е. 141

32. Михлин С. Г. Курс математической физики М.:Наука-1968.-е.576

33. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. Главное издательство физико-математической литературы. M-1959.-c.232

34. Михлин С.Г. Натансон Г.И., Риз П.М. Линейные уравнения математической физики. М:Наука.-1964.-с.368

35. Норри Д.,Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. Издательство «Мир» Москва.-1981.-с.304

36. Пальмов В.А., Кульчицкий О.Ю., Иванов В.М. Интегральные уравнения теории вибропроводности и полустатистический метод их численного решения. Деп. в ВИНИТИ 28.06.79, № 2369-79.Л.-1979.-С.64

37. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М:.Наука.-1977.-с.312

38. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (пер. с англ.).М.: Энергоатомиздат.-1984.-е. 150

39. Рудин У. Основы математического анализа. СПб.: «Лань».-2002.-с.320

40. А.Г.Свешников, А.Н. Тихонов. Теория функций комплексной переменной. М: Наука, Физматлит.-1999.-с.319

41. Соболь И. М. Метод Монте-Карло. М.:Наука.-1968.-с.64

42. Справочник по прикладной статистике, т2. М.: «Финансы и статистика»-1990.-с.525

43. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М., Физматгиз-1962.-c.512

44. Сухаревский И.В. Об эффективном вычислении скорости и циркуляции потока при потенциальном обтекании решетки.//Труды Харьковского Политехнического института 1955. Том 5. Инженерно-физическая серия, выпуск 1.-1955 .-с.5 7-56.

45. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М: Наука.-1972.-е.736

46. Товстик Т.М., Алексеева Н.П. Практикум по математической статистике. СпбГУ.-2002.-е. 119

47. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т2. «Лань».-1997.-с.800

48. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. Главное издательство физико-математической литературы. М.-1966.-е. 176

49. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ,М.: «Наука»-1969-с.576