Модифицированный метод регуляризации решения интегральных уравнений I рода в задачах математического моделирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Ершова Анна Александровна

• Ершова Анна Александровна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Ершова Анна Александровна

1.2 Метод невязки

1.3 Решение вариационной задачи (1.2)

1.4 Конечномерная аппроксимация вариационной задачи (1.6)

Глава 2. Задача, основанная на интегральном уравнении I рода с ядром, которое является рациональной функцией от

экспоненты

2.1 Модификация метода регуляризации и получение гарантиро-

ванной оценки для задачи на основе интегрального уравнения I рода с ядром, являющимся рациональной функцией

2.1.1 Введение в задачу

2.1.2 Постановка задачи

2.1.3 Модификация метода регуляризации

2.1.4 Гарантированная оценка уклонения приближенного решения

от точного решения

2.1.5 Численный алгоритм восстановления фононного спектра

2.2 Интегральные уравнения первого рода и их полудискретиза-

ция. Оценка погрешности полудискретизации

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Переход к конечномерному оператору

2.2.3 Регуляризуюгций алгоритм

2.2.4 Сведение вариационной задачи к системе линейных алгебраических уравнений

2.2.5 Приложение общей схемы к задаче определения спектра

2.3 Интегральные уравнения первого рода и их дискретизация

2.3.1 Постановка задачи

2.3.2 Конечномерная аппроксимация интегрального уравнения

2.3.3 Модификация конечномерного метода регуляризации

А.И. Тихонова

2.4 Выводы к главе

Глава 3. Прямая и обратная задача для параболического оператора с разрывными коэффициентами

3.1 Постановка задачи и исследование прямой задачи

3.2 Сведение задачи (3.1)—(3.7) к задаче, для которой применимо

преобразование Фурье по t

3.3 Теорема единственности решения задачи (3.1)—(3.7)

3.4 Решение операторного уравнения

3.5 Решение основной обратной задачи

3.6 Программная реализация алгоритмов решения обратной гра-

ничной задачи для композитных материалов

3.7 Выводы к главе

Глава 4. Программный комплекс для восстановления фонон-

ных спектров кристаллов

4.1 Описание программного комплекса

4.2 Выводы к главе

Заключение

Список литературы

90

Основные обозначения и соглашения

[У, V, Г — гильбертовы пространства;

А — инъективный линейный ограниченный оператор, отображающий II

В — линейный ограниченный оператор, отображающий пространство V

Операторное уравнение Аи = /; и Е II, / Е

Мг = ВЕГ, где = {V : V <Е V, |Н| ^ г} , = АМГ;

Модуль непрерывности обратного оператора А~1 на множестве Мг определяется формулой

6о»1(г, г) = вир {11^1 —14211 : Е Мг, — Л142II ^ т} ,

где г > 0 п г >

Модуль непрерывности обратного оператора А~1 в точке 0 на множестве Мг определяется следующим образом

бо(т,г) = вирЩмЦ : 14 Е Мг, ЦА14Ц ^ г} ,

где г > 0 и г >

Н — действительное пространство измеримых на [0, оо) функций /(ж) с нормой, определяемой формулой

в

в и;

00

О

Ядро интегрального оператора называется замкнутым, если интегральный оператор невырожденный;

Хп — конечномерное подпространство пространства £2[а, 6], состоящее из функций, постоянных на промежутках

[$¿,$¿+1), г = 0,1, ...,п

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модифицированный метод регуляризации решения интегральных уравнений I рода в задачах математического моделирования»

Актуальность темы

Математическое моделирование на основе интегральных уравнений I рода широко применяется в физике (квантовая механика, акустика, электродинамика), геофизике (сейсморазведка, гравиразведка), медицине (рентгеновская томография, ЯМР-томография), экологии и других областях науки и техники. При всех различиях перечисленных областей решение таких уравнений зачастую характеризуется неустойчивостью к малым ошибкам представления начальных данных, что обуславливает необходимость его регуляризации. Впервые практическую ценность таких задач заметил академик А.Н. Тихонов в известной работе [135]. Кроме того, в данной работе была дана постановка неустойчивой задачи, сыгравшая значительную роль в развитии теории и приложений этих задач.

В 1963 г. А.Н. Тихоновым был сформулирован метод регуляризации, основанный на переходе от интегрального уравнения I рода к вариационной задаче с параметром. В цикле работ В.В. Васина и В.П. Тананы (19782006 г.) с использованием принципа невязки В.А. Морозова (1966 г.) и на основе исследования равномерной регуляризации сформулирована методика оценки погрешности различных методов регуляризации, в том числе тихоновских. Существенное развитие теория регуляризации решения интегральных уравнений I рода получила (2009, 2011 г.) в работах М.А. Короткого, где обратная задача для гиперболических систем решается с помощью умножения параметра регуляризации на негладкий стабилизатор.

Однако, проблема построения регуляризующей процедуры, достаточно помехоустойчивой и вместе с тем сохраняющей важные для конкретной предметной области особенности решения, остается открытой, не получив ясного и окончательного решения. В 1954 г. И.М. Лифшицем была построена модель, основанная на интегральном уравнении I рода, связанная с

задачей восстановления фононного спектра кристалла. Им же было показано, что в естественных пространствах эта задача является неустойчивой. В 1964 г. в работе В.И. Ивероновой, А.И. Тихонова, П.И. Заикина и А.П. Звягиной было представлено решение задачи, полученное классическим методом регуляризации А.И. Тихонова, которое согласуется с начальными данными. Однако тонкая структура фононного спектра не была восстановлена. С середины 1970-х годов профессор В.П. Танана и его ученики занимались исследованием задачи восстановления фононного спектра кристалла. С использованием классических методов регуляризации они получили приближенные решения, нашли оценки уклонения приближенных решений от точных. Но предложенные ими алгоритмы сглаживали «тонкую» структуру спектра, что можно связать с неподходящем подбором регуляризую-щего алгоритма, функционального пространства, выбором параметра регуляризации [основные результаты: 1978 г. — В.А. Коршунов, В.П. Танана, «Определение энергетического спектра бозе-системы по термодинамическим функциям»; 2006 г. — В. П. Танана, Н.М. Япарова, «Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач»]. Так, несмотря на длительную историю, задача восстановления фононного спектра кристалла с учетом его «тонкой структуры» не нашла удовлетворительного решения, несмотря на свою безусловную актуальность.

Аналогичное замечание можно сделать и в отношении обратной задачи теплопроводности композитных материалов. На практике важное место занимает задача теплопроводности для композитного материала. Ранее проводились исследования, связанные с подобной задачей [2006 г. — В.П. Танана «Об оптимальном по порядку методе решения одной обратной задачи для параболического уравнения»; 2010 г. —А.И. Сидикова «О гарантированной оценке точности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики»], но для исследуемой модели использовался однородный материал. Усложнение математической модели задачи теплопро-

водности для композитных материалов по сравнению с ранее исследованными моделями подобных задач характеризуется разрывом коэффициента теплопроводности в области сопряжения материалов. Такие задачи часто встречаются в приборостроении и решаются эвристически, путем установки дополнительных датчиков, что приводит к финансовым, трудовым и временным затратам. Отметим, что полученное решение математическими методами позволит облегчить и удешевить решения аналогичных задач в реальных процессах. В частности, не будет требоваться встраивание дополнительных датчиков неразрушительного контроля.

К настоящему моменту теория неустойчивых задач стала одним из основных направлений современной прикладной математики, которое, бурно развиваясь, находит все новые и новые приложения в естествознании и технике. Но каждая прикладная задача требует уникального подхода как в модификации общего метода регуляризации для получения приближенного решения, так и в выборе конечномерной аппроксимаций. Тем самым, доказательство теорем существования, единственности, сходимости решения и получения оценок погрешности метода становится самостоятельной актуальной задачей.

Степень разработанности

Основы теории решения неустойчивых задач были заложены в трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и члена-корреспондента РАН В.К. Иванова. В них были сформулированы основные принципы регуляризации (метод регуляризации А.Н. Тихонова, метод регуляризации М.М. Лаврентьева, метод квазирешения В.К. Иванова), исследования которых продолжаются и в настоящее время. Вариационный способ построения приближенных решений для линейных интегральных уравнений I рода, устойчивых к малым изменениям правой части, введен А.Н. Тихоновым в работах [136], [137]. Основной проблемой при таком способе нахождения приближенного решения являлось правило выбора параметра регуляриза-

ции. В работе [89] В.А. Морозова впервые вводится принцип невязки для выбора параметра регуляризации и дополняется В.К. Ивановым в [58]. Исследования, связанные с принципом невязки, продолжаются в работах A.B. Гончарского, A.C. Леонова, А.Г. Яголы [44], [45], [47]. В дальнейшем эта группа математиков расширяет принцип невязки до обобщенного принципа невязки [46].

В работе В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [59] появились исследования равномерной регуляризации на некоторых классах решений, которые дали возможность оценить погрешность различных методов регуляризации. В.В. Васину [36], В.И. Страхову [103], В.П. Танане [115], [117], [107] и А. Melkman, С. Micchelli [151] принадлежат результаты, которые связаны с получением оценок погрешности метода регуляризации в общем случае. Это направление теории неустойчивых задач получило название «Построение эффективных методов решения неустойчивых задач».

Практическая реализация основных методов решения некорректных задач, таких как метод регуляризации А.Н. Тихонова, метод М.М. Лаврентьева и метод квазирешения В.К. Иванова невозможны без использования ЭВМ. Для этого требуется замена исходной (бесконечномерной) задачи некоторой конечномерной. При этом указанная замена не должна нарушить сходимость регуляризованных решений к точному. Направление теории неустойчивых задач связанным с вышеописанной проблематикой получило название «Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов». Исследованию этого направления посвящено большое число работ. Среди этих работ отметим работы А.Л. Агеева [1]-[4], Г.М. Вайникко [25]-[28], В.В. Васина [33]-[35], М.Ю. Кокурина [70]-[71], А.Р. Данилина [48]-[49], В.П. Тананы [86], [106], [118], [154].

Общие подходы не всегда дают адекватные результаты, которые могут быть применены на практике. Использование предложенных методов при решении прикладных неустойчивых задач невозможно без известной адап-

тации к особенностям последних.

Исследования неустойчивых задач геофизики, акустики, электродинамики связано с именами членов - корреспондентов РАН В.Г. Романовым и С.И. Кабанихиным [63]-[67], [95]-[97] и их учениками [93], [146]. Схожими задачами гравиметрии занимается E.H. Акимова [5]-[6] и многие другие.

Модификация метода регуляризации, его конечномерная аппроксимация и получение гарантированных оценок уклонения приближенного решения от точного для задач восстановления фононного спектра кристалла и теплопроводности композитного материала является продолжением исследований по двум важным направлениям теории неустойчивых задач.

Для задачи восстановления фононного спектра кристалла, следуя [85], связь энергетического спектра бозе-системы с ее теплоемкостью, зависящей от температуры, описывается интегральным уравнение I рода. Дополнительная трудность данной задачи заключается в том, что фононный спектр имеет несколько локальных максимумов, которые определяют многие физические свойства кристалла. При решении они должны быть восстановлены. Исследования В.И Ивероновой, А.Н. Тихонова, П.Н. Заикиной и А.П. Звягиной [62], В.П. Тананы и В.А. Коршунова [60], [72]-[76], [123], с использованием классических методов регуляризации, не предоставляли возможность восстанавливать локальные максимумы фононного спектра кристалла.

Прямая задача теплопроводности в общей постановке появилась в книге А.Н. Тихонова и A.A. Самарского [140]. Задачи тепловой диагностики рассматривались ранее в работах [116], [119], [120], [121], [125] и [127], где были найдены приближенные решения и гарантированные оценки уклонения приближенного решения от точного. Однако это были модели для однородного материала (с постоянным или непрерывным коэффициентами теплопроводности). Но в технических приложениях часто встречаются теплонагруженные узлы. Так как технические конструкции могут под-

вергаться тепловой нагрузке, то необходимо учитывать возможность воздействия тепла на конструкцию. Тепловая нагрузка может привести к изменению ряда свойств материала, что приведет к выводу устройства из строя, его повреждению или утрате важных эксплуатационных свойств. Чтобы уменьшить тепловую нагрузку, можно наносить на узлы, подверженные тепловому воздействию, защитные покрытия. Таким образом, мы сталкиваемся с задачей о теплопроводности уже композитных материалов, свойства теплопроводности которых меняются скачком. Подобные условия приводят к формулировки задачи теплопроводности для композитных материалов. Прикладная значимость таких задач описана в книгах О.М. Алифанова, Е.А. Артюкина, C.B. Румянцева [7], Г. Карслоу, Д. Егер [68] и А.Ф. Чудновский [145]. Как известно [24], обобщенное решение для такой задачи не подходит, так как в нем производная от решения по пространственной координате принадлежит пространству ^[0,1] х [0, оо). Следовательно, значение производной в точке 0 не определено. Прямая задача требует нетрадиционного понятия решения и доказательств теорем существования, единственности и сходимости приближенного решения к точному. И только после полного исследования прямой задачи появляется возможность постановки, решения и получения гарантированных оценок для обратной задачи, которая как раз имеет огромное практическое значение.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационного исследования является разработка модифицированного метода регуляризации решения интегральных уравнений I рода, который характеризуется по сравнению с известным меньшей зависимостью решения от погрешности начальных данных, и его применение для моделей, основанных на интегральных уравнениях I рода: с ядром, являющимся рациональной функцией от экспоненты, и рационально тригонометрическим ядром.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Модифицировать общий метод регуляризации решения интегральных уравнений I рода, уменьшив при решении задач математического моделирования зависимость регуляризованного решения от погрешности начальных данных.

2. Разработать частные аналитические и численные методы регуляризации при реализации упомянутого модифицированного метода для решения интегральных уравнений I рода: с ядром, являющимся рациональной функцией от экспоненты, и рационально тригонометрическим ядром. Сформулировать и доказать теоремы о гарантированных оценках уклонения регуляризованного решения.

3. Создать комплексы программ, позволяющие в отличие от известных разработок восстанавливать «тонкую» структуру фононного спектра кристалла и варьировать параметр регуляризации при решении задачи теплопроводности.

Методы исследования

В работе использовались аналитические методы, такие как метод преобразования Фурье, метод регуляризации А.Н. Тихонова, метод проекционной регуляризации, посредством которых были доказаны теоремы существования и единственности решения и получены гарантированные оценки уклонения приближенных решений от точных.

Также в работе использовались численные методы для решения систем линейных уравнений, интерполяции и приближённого вычисления функций, численного решения уравнений в частных производных, решения задач оптимизации, посредством которых были получены приближенные решения интегральных уравнений I рода: с ядром, которое является рациональной функцией от экспоненты, и рационально тригонометрическим ядром.

Научная новизна

1. На основе введения функционального пространства с весом модифицирован метод регуляризации для решения интегральных уравнений I рода с целью уменьшения зависимости решения от погрешности начальных данных. Доказаны теоремы, связанные с получением гарантированных оценок уклонения регуляризованного решения.

2. Для математических моделей, основанных на интегральных уравнений I рода: с ядром, являющимся рациональной функцией от экспоненты, и рационально тригонометрическим ядром, сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения.

3. Предложены аналитические методы решения: вариационной задачи, связанной с интегральным уравнением I рода, характеризующимся ядром, содержащим рациональную функцию от экспоненты, и проекционной задачи, характеризующейся рационально тригонометрическим ядром связанного с ней интегрального уравнения I рода. В обоих случаях параметр регуляризации выбирался из принципа невязки.

4. Для численной реализации авторского метода регуляризации разработаны сеточные методы решения тех же задач математического моделирования, дополняющие аналитические методы в случаях, когда применение последних невозможно в силу особенностей исследуемых моделей.

5. Созданные программные комплексы, в отличие от ранее известных в данной предметной области и основанных на других методах регуляризации, характеризуются автоматическим выбором параметров регуляризации и способностью восстанавливать «тонкую» структуру спектра кристалла, содержащую несколько локальных максимумов.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость диссертации заключается в модификации метода регуляризации путем введения функционального пространства с весом, доказательстве теорем существования и единственности решения, а также в получении гарантированных оценок уклонения регуляризованных решений от точных для широкого круга задач.

Непосредственной практической значимостью обладают разработанные программные комплексы для решения конкретных задач математического моделирования: задачи восстановления фононного спектра кристалла и граничной задачи теплопроводности для композитных материалов.

Результаты диссертационного исследования, в частности программные комплексы, внедрены в Институте математики и механики им. Н.Н. Кра-совского Уральского отделения Российской академии наук.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

Результаты исследования соответствуют следующим пунктам паспорта научной специальности 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей; разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий; реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Апробация работы

Основные результаты научного исследования прошли апробацию и докладывались на научно-практических конференциях: Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (г. Новосибирск, 2013 г., 2014 г., 2016 г.); Международная научная конференция «Актуальные пробле-

мы вычислительной математики» (г. Новосибирск, 2014 г., 2015 г.); Всероссийская конференция с международным участием «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (г. Челябинск, 2014 г.); 49-я международная молодежная школ а-конференция «Современные проблемы математики и ее приложений» (г. Екатеринбург, 2018 г.); Международная конференция «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения» (г. Уфа, 2018 г.); 50-я международная молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложений» (г. Екатеринбург, 2019 г.).

Диссертационная работа обсуждалась на научных семинарах лаборатории обратных и некорректных задач (руководитель — д.ф.-м.н., профессор В.П. Танана) и кафедре системного программирования (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Л.Б. Соколинский) Южно-Уральского государственного университета; на научных семинарах кафедры теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор В.И. Ухоботов); на научном семинаре отдела некорректных задач анализа и приложений Института математики и механики Уральского отделения Российской академии (руководитель — чл.-корр. РАН В.В. Васин).

Основные положения, выносимые на защиту

1. Метод регуляризации решения интегральных уравнений I рода, основанный на введении функционального пространства с весом и предназначенный для решения задач математического моделирования.

2. Теоремы существования и единственности решения конкретных задач математического моделирования, связанных с двумя типами интегральных уравнений первого рода, которые характеризуются: ядром, являющимся рациональной функцией от экспоненты, и рационально тригонометрическим ядром.

3. Аналитические методы регуляризации для решения задач, основанных на интегральных уравнениях I рода: с ядром, являющимся рациональной функцией от экспоненты, и рационально тригонометрическим ядром.

4. Теоремы о гарантированных оценках уклонения регуляризованных решений от точных.

5. Сеточные методы регуляризованного решения, применимые в случаях отсутствия аналитического решения.

6. Теорема об априорной оценке точности полученного устойчивого приближенного решения.

7. Программные комплексы по определению фононного спектра кристалла и распределению температур композитного материала, которые учитывают особенности рассматриваемых математических моделей и авторский метод регуляризации.

Перечисленные положения; выносимые на защиту и составляющие содержание диссертационного исследования, разработаны автором лично.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 27 работ, в том числе 8 статей — в журналах, рекомендованных ВАК РФ, 4 статьи — в индексируемых в международной наукометрической базе Scopus, 3 свидетельства о регистрации программы для ЭВМ, 16 работ — в материалах и трудах международных и всероссийских конференций.

Исследования по теме диссертации выполнены в период с 2014 по 2018 годы в Южно-Уральском государственном университете (национальный исследовательский университет) и с 2018 и 2019 годы в Институте математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук.

17

ГЛАВА 1

ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ

Основные определения, свойства и теоремы взяты из [59] и [109]. 1.1 Модуль непрерывности и его свойства

Пусть U, У и F — гильбертовы пространства, а А — инъективный линейный ограниченный оператор, отображающий U в F, а В — линейный ограниченный оператор, отображающий пространство V в U. Кроме того, предположим, что множество значений R(A) всюду плотно в F, множество значений R{B) всюду плотно в U, Mr = BSr, где Sr = {v : v G V, ||г>|| ^ rj , Nr = AMr.

Рассмотрим операторное уравнение

Au = f] ueUJeF. (1.1)

Определение 1.1. Множество Mr будем называть классом корректности для уравнения (1.1), если — сужение оператора А_1 на множество Nr равномерно непрерывно.

Теорема 1.1. Для того, чтобы множество Мг было классом корректности для уравнения (1.1), необходимо и достаточно, чтобы — сужение оператора А_1 на множестве Nr — было непрерывно в нуле.

Определение 1.2. Модуль непрерывности обратного оператора А_1 на множестве Мг определяется формулой

üüi(г, г) = sup{||iíi — U2¡\ : щ}и2 G Mr, ||Ai¿i — Au2Ц ^ r} ,

где r > 0 и r > 0.

Определение 1.3. Модуль непрерывности обратного оператора А_1 в точке 0 на множестве Мг определяется следующим образом

сo(r,r) = sup{||ií|| : и G Mr, \\Au\ \ ^ r} ,

где г > 0 и г > О.

Свойства модуля непрерывности:

1. 6о>1 (т, г) = 6о(т, 2г).

2. Пусть А; ^ 0, тогда и(кт,кг) = ки(т,г).

3. Функция о;(г, г) не убывает по г и г.

1.2 Метод невязки

Рассмотрим оператор С = АВ, который отображает У в В. Обозначим через г — положительное число, а через / элемент из В и рассмотрим вариационную задачу

т£ {|М|2 : V е У, ||С^-/||2 ^ г2} . (1.2)

Теорема 1.2. При любых значениях т > 0 и / € В вариационная задача (1.2) разрешима.

Наряду с задачей (1.2) рассмотрим задачу

Ы {\\у\\2 : V е У, ЦСг; - 7|| = г} . (1.3)

Теорема 1.3. Вели ||/|| > т, то задачи (1.2) и (1.3) эквивалентны.

Теорема 1.4. Решение вариационной задачи (1.2) при условии, что ||/|| > т; единственно.

В дальнейшем решение задачи (1.2) обозначим через у(т). Наряду с задачей (1.2) рассмотрим задачу

Ы {\\у\\2 : V е У,\\СУ -Уп\\ ^т}. (1.4)

где /п е В и ||/п|| > т.

Из теорем 1.1-1.3 будет следовать существование единственного решения Уп задачи (1.4) и выполнение условия

\\С^п-7п\\ =т. (1.5)

Теорема 1.5. Если | |/| | > т и | |/п| | > т для любого п, /п —>• / при п —>■ оо; то гТп —>■ гТ при п —>■ оо; г^е г) — решение задачи (1.2).

Теорема 1.6. Вели 11/| | ^ г и /п —>■ / при п —>■ оо; то %п —>■ г) при п —>• оо.

Из теорем 1.2-1.6 следует, что вариационная задача (1.2) корректна по Адамару.

1.3 Решение вариационной задачи (1.2)

Пусть / Е В и а > 0. Тогда рассмотрим вариационную задачу.

Ы{\\Су-У\\2 + а\\у\\2} (1.6)

Теорема 1.7. При любых значениях а > 0 и / Е В вариационная задача (1.6) разрешима.

Теорема 1.8. Решение вариационной задачи (1.6) единственно.

В дальнейшем обозначим решение задачи (1.6) через уа и введем в рассмотрение функцию ф(а), определяемую формулой

ф(а) = ||СгУа-7||2, ае(0,оо), (1.7)

где / Е В, а иа — решение задачи (1.6).

Лемма 1.1. Пусть а > 0 и {ап} С (0, оо); а Vй и уап соответствующие решения задачи (1.6). Тогда уап —>• Vй при ап —>• а.

Из леммы 1.1 следует непрерывность функции ф(а) при любом значении а > 0.

Лемма 1.2. Пусть R(Ä) = F. Тогда выполняюся соотношения

lim ф(а) = 0 и lim ф(а) = ||/||2.

а—»0 а—>оо

Из лемм 1.1 и 1.2 следует, что если R(A) = F, \ \f\ \ > т > 0, то существует значение а £ (0, оо), при котором решение Va задачи (1.6) удовлетворяет уравнению

\\Clf -J\\2 = т2. (1.8)

Лемма 1.3. Пусть R(A) = F, ||/|| > т. Тогда вариационая задача (1.3) эквивалентна задаче (1.6) с параметром а, удовлетворяющим уравнению (1.8).

Теорема 1.9. Пусть R{C) = Е, 0 < т < ||/||. Тогда существует единственное значение параметра а, удовлетворяющее уравнению (1.8).

Теорема 1.10. Пусть R{C) = Г, С* — оператор сопряженный С; Е — тождественный оператор в V, Иа — решение вариационной задачи (1.6). Тогда Vй = {С*С + аЕ)~1 С*].

Ввиду того что для любого V £ V и V ф 0

\\C\v + ау\\ ^ скЦг^Ц,

для любого д £ V из (1.9) следует, что

1

(1.9)

(Ci + aE)~lg

<

а

{С1 + аЕ){С1 + аЕ)-1д

- 1 II II а

(1.10)

Из (1.10) следует, что оператор [С\ + аЕ) 1С* ограничен и для его нормы справедлива оценка

{С\ + аЕ)"1С*

<

\С\

а

(1.11)

Из (1.11) следует теорема.

Теорема 1.11. Пусть fn G F, vna — решение задачи (1.6) при f = f\

для любого п. Тогда если R(A) = F, fn f при п оо, то v

П'па Va при

п —>• оо.

Из теорем 1.7, 1.8 и 1.11 следует, что вариационная задача (1.6) корректна по Адамару.

1.4 Конечномерная аппроксимация вариационной задачи (1.6)

Метод конечномерной аппроксимации заключается в замене вариационной задачи (1.6) конечномерной

Ы {\\CnV - /Л2 + аЫ\2} ,а > 0, (1.12)

где /п —>• / при п —У оо, {Сп} — ограниченная подпоследовательность линейных операторов, отображающих У в В, {Уп\ — последовательность конечномерных подпространств пространств У.

Из теорем 1.6. и 1.7. следует существование и единственность решения уа(п) вариационной задачи (1.6), которое назовем конечномерной аппроксимацией регуляризованного решения Т>а.

Введем вспомогательную вариационную задачу

Ы{\\СпРпу-7п\\2 + аМ2}, (1.13)

где Рп — оператор ортогонального проектирования пространства У на Уп.

Лемма 1.4. Вариационные задачи (1.6) и (1.12) эквивалентны.

Лемма 1.5. Пусть {Ап} и {Вп} ограниченные последовательности операторов, отображающие банаховы пространства X в У и У в Z соот-вественно. Тогда если Ап —>• А поточечно, а Вп —>• В поточечно, то их суперпозиции АпВп —>• АВ поточечно при п —>• оо.

Относительно последовательности конечномерномерных подпространств {Уп\ предположим, что для любого V Е У выполняется

Рпу —>■ V при п —У оо, (1-14)

В дальнейшем через С* и С* будем обозначать операторы, сопряженные к С и Сп соответственно.

Теорема 1.12. Пусть /п —>• / при п —>■ оо; последовательности операторов {Сп} и {РпСп*} поточечно сходятся к операторам С и С* соотвест-венно. Тогда Иа(п) —>• Иа при п —>■ оо.

22

ГЛАВА 2

ЗАДАЧА, ОСНОВАННАЯ НА ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ I РОДА С ЯДРОМ, КОТОРОЕ ЯВЛЯЕТСЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ ОТ ЭКСПОНЕНТЫ

2.1 Модификация метода регуляризации и получение гарантированной оценки для задачи на основе интегрального уравнения I рода с ядром, являющимся рациональной функцией

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ершова Анна Александровна, 2020 год

- 71 с.

[82] Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. — М.: Наука, 1980. - 288 с.

[83] Латтес, Р., Лионе, Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения / Р. Латтес, Ж.Л. Лионе. - М.: Мир, 1970. - 224 с.

[84] Лисковец, O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач / O.A. Лисковец. — Минск: Наука и техника, 1981. — 343 с.

[85] Лифшиц, И.М. Об определении энергетического спектра бозе-спстемы по теплоемкости / И.М. Лифшиц // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1954. — Т. 26, № 5. — С. 551-556.

[86] Менихес, Л.Д. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева / Л.Д. Менихес, В.П. Танана // Сибирский журнал вычислительной математики. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 56-66.

[87] Морозов, В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи / В.А. Морозов // Математический анализ (Итоги науки и техники). — 1973.

- Т. 11. - С. 129-178.

[88] Морозов, В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач / В.А. Морозов. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 216 с.

[89] Морозов, В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации / В.А. Морозов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1966. — Т. 6, № 1.

- С. 170-175.

[90] Морозов, В.А. О регуляризации некоторых классов экстремальных задач / В.А. Морозов // Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1969. - Вып. 12. - С. 24-37.

[91] Морозов, В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В.А. Морозов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1966. — Т. 6, № 1. — С. 170-175.

[92] Осипов, Ю.С. Основы метода динамической регуляризации / Ю.С. Осипов, Ф.П. Васильев, М.М. Потапов. - М.: МГУ, 1999,- 238 с.

[93] Пененко, A.B. Согласованные численные схемы для решения нелинейных обратных задач идентификации источников градиентными алгоритмами и методами Ньютона-Канторовича / A.B. Пененко // Сибир-

ский журнал индустриальной математики. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 99-116.

[94] Рудин, У. Функциональный анализ / пер. с англ. В.Я. Лина. 2-е изд., испр. и доп. СПб.: Издательство "Лань 2005. — 448 с.

[95] Романов, В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений / В.Г. Романов. — Новосибирск: ИГУ, 1973. — 252 с.

[96] Романов, В.Г. Обратные задачи математической физики / В.Г. Романов. - М.: Наука, 1984. - 196 с.

[97] Романов, В.Г. Устойчивость в обратных задачах / В.Г. Романов. — М.: Научный мир, 2005. — 295 с.

[98] Сидикова, А.И. Об одном численном алгоритме решения интегральных уравнений первого рода в пространстве L2, основанного на обобщенном принципе невязки / А.И. Сидикова, A.A. Ершова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия "Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника". — 2015. — Т. 15, № 2. - С. 66-75.

[99] Сидикова, А.И. Оценка погрешности приближенного решения интегрального уравнения методом невязки / А.И. Сидикова, Е.Ю. Вишняков, A.A. Ершова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия "Математика. Механика. Физика". — 2015. — Т. 7, № 3. - С. 39-47.

[100] Стечкин, C.B. Наилучшее приближение линейных операторов / C.B. Стечкин // Математические заметки. — 1967. — Т. 1, № 2. — С. 137-148.

[101] Стечкин, C.B., Субботин, Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. / C.B. Стечкин, Ю.Н. Субботин. - М.: Наука, 1976. - 248 с.

[102] Страхов, В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве / В.Н. Страхов // Дифференциальные уравнения.

- 1970. - Т. 6, № 8. - С. 1490-1495.

[103] Страхов, В.Н. Об алгоритмах приближенного решения линейных условно - корректных задач / В.Н. Страхов // Доклады академии наук СССР. - 1972,- Т. 207, № 5. - С. 1057-1059.

[104] Страхов, В.Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений линейных условно-корректных задач /В.Н. Страхов // Дифференциальные уравнения. — 1973. — Т. 9, № 10. — С. 1862-1874.

[105] Танана, В.П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения / В.П. Танана // Известия вузов. Математика. - 1977. - № 11. - С. 106-112.

[106] Танана, В.П. Об оптимальных алгоритмах для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором / В.П. Танана // Математический сборник. - 1977. - Т. 146, № 10. - С. 314-333.

[107] Танана, В.П. Об одном проекционно-итеративном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором / В.П. Танана // Доклады академии наук СССР. — 1975. — Т. 224, № 5. — С. 1028-1029.

[108] Танана, В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач / В.П. Танана // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2004,— Т. 7, № 2. — С. 117-132.

[109] Танана, В.П. Методы решения операторных уравнений / В.П. Танана.

- М.: Наука, 1981. - 156 с.

[110] Танана, В.П. Об оптимальности методов регуляризации линейных операторных уравнений с приближенно заданным оператором при

условии неединственности решения / В.П. Танана // Доклады академии наук СССР. - 1985. - Т. 238. № 5. - С. 1092-1095.

[111] Танана, В.П. О сходимости регуляризованных решений нелинейных операторных уравнений / В.П. Танана // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2003. Т. 6, № 3. — С. 119-133.

[112] Танана, В.П. О новом подходе к оценке погрешности методов решения некорректно поставленных задач / В.П. Танана // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 150-163.

[113] Танана, В.П. Об оптимальности методов решения нелинейных неустойчивых задач / В.П. Танана // Доклады академии наук СССР. - 1976. - Т. 220, № 5. - С. 1035-1037.

[114] Танана, В.П. О единственности решения обратной задачи определения фононных спектров кристалла / В.П. Танана, В.В. Бояршинов // Деп. в ВИНИТИ. - 1987. - № 892-В87.

[115] Танана, В.П. Об оценке погрешности и приближенного решения одной обратной задачи в классе кусочно-гладких функций / В.П. Танана, A.B. Бредихина, Т.С. Камалтдинова // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2012. - Т. 18, № 1. - С. 281-288.

[116] Танана, В.П. Оценка погрешности приближенного решения обратной задачи тепловой диагностики / В.П. Танана, М.Г. Булатова // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2010. — Т. 13, № 1. — С. 89-100.

[117] Танана, В.П. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач / В.П. Танана, А.Р. Данилин // Дифференциальные уравнения. — 1976. — Т. 12, № 7. — С. 1323-1326.

[118] Танана, В.П. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений / В.П. Танана, А.Р. Данилин // Доклады академии наук СССР. - 1982. - Т. 264, № 5. - С. 1094-1096.

[119] Танана, В.П. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики / В.П. Танана, Н.Ю. Колесникова // Вестник ЮУрГУ. Серия "Математика, физика, химия". — 2007. — Выпуск 9. № 19(91). - С. 48-54.

[120] Танана, В.П. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики / В.П. Танана, Н.Ю. Колесникова // Вестник Тамбовского университета. Материалы международной конференции "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики,—2007. — Т. 12, № 4. — С. 531.

[121] Танана, В.П. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики / В.П. Танана, Н.Ю. Колесникова // Известия Уральского государственного университета. Серия "Математика. Механика. Информатика.—2008. — № 58. — С. 155-162.

[122] Танана, В.П. Принцип минимальных невязок / В.П. Танана, В.А. Коршунов // Доклады академии наук СССР. — 1978. — Т. 239, № 4. — С. 845-848.

[123] Танана, В.П. Определение энергетического спектра бозе-системы по термодинамическим функциям / В.П. Танана, В.А. Коршунов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1978. — Т. 18, № 6. - С. 1500-1515.

[124] Танана, В.П. Оптимизация методов решения операторных уравнений / В.П. Танана, М.А. Рекант, С.И. Янченко. — Свердловск: Уральск, ун-т, 1987,- 198 с.

[125] Танана, В.П. О гарантированной оценке точности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики / В.П. Танана, А.И. Сидикова // Труды института математики и механики УрО РАН.

- 2010. - Т. 16, № 2,- С. 238-252.

[126] Танана, В.П. Об оценке погрешности приближенного решения, вызванной дискретизацией интегрального уравнения I рода / В.П. Танана, А.И. Сидикова // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2016. - Т. 22, № 1. - С. 263-270.

[127] Танана, В.П. О решении некорректной задачи для полулинейного дифференциального уравнения // В.П. Танана, Е.В. Табаринцева // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2002. — Т. 5, № 2.

- С. 189-198.

[128] Танана, В.П. Об оптимальных по порядку методах решения условно-корректных задач // В.П. Танана, Н.М. Япарова // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 353-368.

[129] Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения одной обратной задачи для параболического уравнения / В.П. Танана // Доклады РАН. - 2006. - Т. 407, № 3,- С. 316-318.

[130] 1 Танана, В.П. Двухсторонняя оценка модуля непрерывности одного интегрального оператора типа свертки / В.П. Танана, A.A. Ерыги-на // Челябинский физико-математический журнал. — 2013. — Т. 28, № 319,- С. 88-93.

1 Фамилия автора изменена с Ерыгиной А. А. на Ершову А. А. в соответствии со свидетельством

о регистрации брака от 01.02.2014г. серия II-ИВ N® 663617

[131] 1 Танана, В.П. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи физики твердого тела / В.П. Танана, A.A. Ерыгина // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия "Математика. Механика. Физика". - 2013. - Т. 5, № 2. - С. 72-79.

[132] 1 Танана, В.П. Оценка погрешности метода регуляризации А.Н. Тихонова при решении одной обратной задачи физики твердого тела / В.П. Танана, A.A. Ерыгина // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2014. - Т.17, № 2. - С. 125-136.

[133] Танана, В.П. О решении обратной граничной задачи для композитных материалов / В.П. Танана, A.A. Ершова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2018. - Т. 28, № 4. - С. 474-488.

[134] Тихонов, А.Н. Теорема единственности для уравнения теплопроводности / А.Н. Тихонов // Матем. сб. - 1935. - Т.42, №2. - С. 153-216.

[135] Тихонов, А.Н. Об устойчивости обратных задач / А.Н. Тихонов // Доклады академии наук СССР. - 1943. - Т. 39, № 5,- С. 195-198.

[136] Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А.Н. Тихонов // Доклады академии наук СССР. — 1963. - Т. 151, № 3. - С. 501-504.

[137] Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А.Н. Тихонов // Доклады академии наук СССР. — 1963. — Т. 153, № 1. - С. 49-52.

[138] Тихонов, А.Н., Арсенин, В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. — М.: Наука, 1974. — 223 с.

[139] Тихонов, А.Н. Нелинейные некорректные задачи / А.Н. Тихонов, А.С. Леонов, А.Г. Ягола. — М.: Наука, 1995. — 311 с.

[140] Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский — М.: Наука, 1966.— 724 с.

[141] Уиттекер, Э.Т. Курс современного анализа Ч. 2 / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. - М.: Наука, 1978. - 444 с.

[142] Федотов, A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных / A.M. Федотов. — Новосибирск: Наука, 1982. — 190 с.

[143] Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - Т. 2. - 863 с.

[144] Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман. — М.: Мир, 1968. — 427 с.

[145] Чудновский, А.Ф. Теплофизика почв / А.Ф. Чудновский. — М.: Наука, 1976. - 352 с.

[146] Шишленин, М.А. Матричный метод в задачах определения источников колебаний / М.А. Шишленин // Сибирские электронные математические известия. — 2014. — Т. 11. — С. 161-171.

[147] Ershova, A.A. Error Estimate of Method Based on Generalized Residual Principle for Problem of Recovering Spectral Density of Crystals / A.A. Ershova, A.A. Ershov // 2018 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), Sochi, Russian Federation, September 16-23, 2018. Sochi, 2018. - P. 1-6

[148] Ershov, A.A. On bending of rod under strong longitudinal compression / A.A. Ershov, A.A. Ershova // Lecture Notes in Mechanical Engineering. - 2019. - P. 693-702.

[149] Franklin, J. N. On Tikhonov's method for ill-posed problems / J.N. Franklin // Math. Comput. - 1974. - Vol. 28, № 128. - P. 889-907.

[150] Phillips D.L. A technique for numerical solution of certain integral equations of the first kind / Phillips D.L. // J.Assoc. Comput. Mach. — 1962. - Vol. 9, № 1,- P. 84-97.

[151] Melkman, A. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbert Spaces from Inaccurate Data / A. Melkman, C. Miccelli // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1979. - Vol. 16, № 1. - P. 87-105.

[152] Miller, K. Three circle therems in parcial differential equations and applications to improperly posed problems / K. Miller // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1964. - Vol. 16, № 2. - P. 126-154.

[153] Tanana, V.P. A numerical solution to a problem of crystal energy spectrum determination by the heat capacity dependent on a temperature / V.P. Tanana, A.I. Sidikova, A.A. Ershova // Eurasian journal of mathematical and computer applications. — 2017. — Vol.5, № 1. —

P. 87-94.

[154] Tanana, V.P. The optimum of the M.M. Lavrent'ev method / V.P. Tanana, T.N. Rudakova // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. — 2011. - Vol. 18, № 8. - P. 935-944.