Модули топологической сопряженности Ω-устойчивых потоков на поверхностях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Круглов Владислав Евгеньевич

• Круглов Владислав Евгеньевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Круглов Владислав Евгеньевич

2.4.4 Граф Вонга

2.4.5 Круговая схема Флейтас

2.4.6 Трёхцветный граф Ошемкова-Шарко

3 Модули топологической сопряжённости потоков Морса-Смейла на поверхностях

3.1 Динамика потоков Морса-Смейла

3.1.1 Динамика потока в окрестности гиперболической периодической орбиты

3.1.2 Глобальная динамика потоков Морса-Смейла

3.2 Топологическая эквивалентность потоков Морса-Смейла

3.3 Критерий конечности модулей у потока Морса-Смейла на поверхности

3.3.1 Существование единственного инвариантного слоения в окрестности периодической орбиты

3.3.2 Потоки Морса-Смейла с бесконечным числом модулей топологической сопряжённости

3.4 Топологическая сопряжённость потоков Морса-Смейла без траекторий, идущих с одного предельного цикла на другой

4 Модули топологической сопряженности П-устойчивых потоков на по-

верхностях

4.1 Динамика П-устойчивых потоков

4.2 Топологическая эквивалентность П-устойчивых потоков без предельных циклов

4.2.1 Разбиение поверхности на ячейки

4.2.2 Необходимые и достаточные условия эквивалентности

4.2.3 Реализация П-устойчивого потока по абстрактному четырёхцветному графу

4.2.4 Алгоритмы различения четырёхцветных графов

4.3 Топологическая эквивалентность П-устойчивых потоков: общий случай

4.3.1 Реализация инвариантов

4.3.2 Алгоритмы различения инвариантов

4.4 Модули топологической сопряжённости, связанные со связками

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модули топологической сопряженности Ω-устойчивых потоков на поверхностях»

Введение

Топологическая классификация структурно устойчивых диффеоморфизмов на замкнутых многообразиях достигла огромного прогресса за последние 50 лет. Топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла в предположениях различной общности на двумерных многообразиях посвящена целая серия работ таких авторских коллективов, как С.Х. Арансон, А. Н. Безденежных, В. З. Гринес [5, 7, 9, 8, 19], Е. А. Боревич [10]; Х. Бонатти, Р. Ланжевен [44]; И.Ю. Власенко [12]; В.З. Гринес, С.Х. Зинина, Т.М. Митрякова, О.В. Починка [38, 20]. Классификация произвольных диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях1 потребовала привлечения аппарата топологических цепей Маркова и следует из работы Х. Бонатти и Р. Ланжевена [44] (см. также [43]), где найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряжённости структурно устойчивых диффеоморфизмов с нульмерными базисными множествами.

Согласно работе Ш. Ньюхауса и Ж. Палиса [58], существует открытое множество дуг, которые начинаются в диффеоморфизме Морса-Смейла и имеют первую бифуркационную точку в диффеоморфизме с гетероклиническим касанием. В обзоре [6] описаны бифуркации систем, принадлежащих границе множества систем Морса-Смейла, которую можно разбить на две части: 1) системы с конечным множеством неблуждающих траекторий, содержащие либо негиперболические неподвижные точки или циклы, либо траектории нетрансверсального пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий неподвижных точек или (и) циклов, либо и те, и другие одновременно; 2) системы с бесконечным множеством неблуждающих траекторий.

Очевидно, что нарушение условия трансверсальности гетероклинических пересечений инварианттных многообразий седловых точек диффеоморфизма приводит к его негрубости. Более того, это приводит к возникновению непрерывных топологических инвариантов — модулей топологической сопряжённости и, следовательно, к существованию континуума несопряжённых диффеоморфизмов с одинаковой геометрией ге-тероклинического пересечения. Термин "модуль топологической сопряжённости" был предложен в работах Л.П. Шильникова, С.В. Гонченко и Д.В. Тураева [16], [18] и соответствует термину "moduli of stability" (модули устойчивости), который употребляется в западной литературе. Модули устойчивости, в частности, возникают для систем, лежащих на границе множества систем Морса-Смейла, имеющих конечное множество неблуждающих траекторий и содержащих траектории нетрансверсального пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий неподвижных точек или (и) циклов (см. [6]).

Строгое определение модулей было дано в работах Л.П. Шильникова, С.В. Гонченко и Д.В. Тураева [16], [18]. Именно, пусть X — топологическое пространство, х G X и на некоторой окрестности Ux С X точки х задано отношение эквивалентности R.

1 Под поверхностью в настоящей работе всегда понимается двумерная поверхность.

Предположим, что на их определена непрерывная локально непостоянная функция к: их ^ К, то есть в любой окрестности иу С их любой точки у Е их существует точка г такая, что к(г) = к(у). Будем называть функцию к — модулем К-эквивалентности, если из неравенства к(у) = к(г) для у, г Е их следует, что у и г не Д-эквивалентны. В этом случае говорят, что х Е X имеет модуль к. Будем говорить, что х имеет (по крайней мере) т модулей, если на X определены т независимых модулей, где независимость системы модулей к\,..., кт понимается в следующем смысле: для любого г Е {1,... ,т} в любой окрестности Ух С их точки х существует точка у такая, что (х) = (у) для всех I = г и кг(х) = кг(у). Говорят, что х имеет бесконечно много модулей, если х имеет т модулей для любого заданного т. В противном случае, х имеет конечное число модулей.

Если в этом определении заменить К на пространство некоторых функций, а равенства значений отображения к заменить на некоторое отношение эквивалентности значений отображения к, то к будем называть функциональным модулем К-эквивалентности.

Первым, кто обратил внимание на существование модулей топологической сопряжённости, был Ж. Палис [59]. Он обнаружил существование модулей топологической сопряженности у систем с простой динамикой. Такими модулями обладают уже двумерные диффеоморфизмы и потоки с негрубой гетероклинической траекторией, в точках которой инвариантные многообразия двух разных седловых неподвижных точек имеют одностороннее касание. А именно, если £ - такой диффеоморфизм (класса Сг ,г > 2), имеющий две гиперболические седловые неподвижные точки а1 и а2 с собственными значениями д^, ^ такими, что < 1 < г = 1, 2; кроме того имеет одностороннее касание с в точках некоторой гетероклинической траектории (см. Рис. 1), то параметр

= 1п | | 1п

является модулем топологической сопряженности в том смысле, что диффеоморфизмы £ и £' с гетероклиническими касаниями могут быть сопряжены только в том случае, когда

1п | ^21 1п |е'2|

1п |^1| 1п

Весьма интересно отметить тот факт, что П-модули, то есть модули топологической сопряженности на неблуждающем множестве, были открыты раньше, чем само понятие модуля вошло в динамику. Так, в работах Н. К. Гаврилова и Л. П. Шильникова [13], [14] был введён параметр

в = 1п |Д|

1п |71

для двумерных диффеоморфизмов с (квадратичным) гомоклиническим касанием к

седловой неподвижной точке а с мультипликаторами А и 7, где 0 < |А| < 1 < |7| (см.

4

Рис. 1: Касание седловых инвариантных многообразий

Рис. 2). При этом, в [13] было показано, что при изменении значений 9 в классе систем, где касание сохраняется, могут быть плотны значения в, отвечающие бифуркациям периодических траекторий (то есть "непрерывно" меняется структура неблуждающего множества). Систематическое изучение П-модулей было начато в работах [15], [17], [18], где их существование было явно доказано для случая многомерных систем с го-моклиническими касаниями.

Рис. 2: Гомоклиническое касание седловых инвариантных многообразий

Из выше сказанного, в частности, следует, что любой диффеоморфизм поверхности, допускающий гетероклиническое касание, имеет хотя бы один модуль топологической сопряжённости. Существенным продвижением в описании модулей поверхностных диффеоморфизмов явилась работа В. ди Мелу, С. ван Стрина [55], в которой были найдены необходимые и достаточные условия того, что П-устойчивый диффеоморфизм £ ориентируемой поверхности имеет конечное число модулей топологической сопряжённости. Именно, критерий конечности описывается следующим образом:

1) если неблуждающие точки х, у таковы, что Ш™ касается тогда базисные

множества, содержащие х и у, тривиальны (т.е. состоят из периодических орбит);

5

2) существует только конечное число орбит касания устойчивых и неустойчивых многообразий, и касание между этими многообразиями вдоль каждой такой орбиты имеет конечный порядок;

3) если р, д - периодические точки такие, что Ш™ содержит орбиту касания с , тогда число орбит в ЭДр (соотв. Wq), принадлежащих некоторым неустойчивым (соотв. устойчивым) многообразиям периодических седловых точек - конечно;

4) если х - точка касания Ш™ и ЭД*, тогда существует дуга Е, трансверсальная Шр в точке х такая, что не существует компоненты связности множества Е\{ж}, содержащей точки одновременно устойчивых и неустойчивых седловых многообразий;

5) если Шр имеет точку касания с ЭД*, и Ш™ имеет точку касания с Ж/, тогда не существует седловой точки диффеоморфизма £, чьё неустойчивое многообразие (соотв. устойчивое многообразие) пересекается с Шр (соотв. Ж")).

Топологической классификации диффеоморфизмов с конечным числом модулей на ориентируемых замкнутых поверхностях в предположениях различной общности посвящены работы [4], [38], [49].

Настоящее исследование посвящено описанию модулей топологической сопряжённости П-устойчивых потоков на поверхностях, выделению класса потоков Морса-Смейла с конечным числом модулей и их классификации с точностью до топологической сопряжённости. Также в диссертационной работе получена классификация П-устойчивых потоков с точностью до топологической эквивалентности.

Напомним, что потоки /*, /п: М ^ М на многообразии М называются топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм к: М ^ М, отображающий траектории потока £1 в траектории потока £' с сохранением направления движения по траекториям. Два потока называются топологически сопряжёнными, если выполняется условие г = f пк, Ь € К, это означает, что к отображает траектории в траектории, сохраняя не только направление, но и время движения по траекториям.

В разделе 2.1 исчерпывающим образом описана динамика П-устойчивых потоков на поверхностях. Базисные множества таких потоков, как и грубых потоков, являются тривиальными, то есть каждое такое множество является либо гиперболической неподвижной точкой, либо гиперболической периодической траекторией. От структурно устойчивых потоков П-устойчивые потоки отличает возможное наличие связок - траекторий, идущих из седла в седло (см. Рис. 3). Как было замечено еще Ж. Палисом [59], при наличии хотя бы одной связки поток становится обладателем хотя бы одного модуля топологической сопряжённости. При этом, связки не образуют циклов, но могут организовывать цепочки любой длины и формировать контуры (см. Рис. 4).

Поскольку эквивалентность потоков является необходимым условием их топологической сопряжённости, то естественно сначала описать известные на сегодняшний

6

Рис. 3: Связка Рис 4: КонтУР из связок

день результаты по топологической эквивалентности П-устойчивых потоков на поверхностях.

Первые результаты в этой области восходят к классической работе А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина [3] 1937 года. Они рассмотрели систему дифференциальных уравнений, заданных в компактной части плоскости, ограниченной кривой без контакта. Для таких систем ими было введено понятие грубости, получен критерий грубости и доказана всюду плотность грубых систем среди всех систем в компактной части плоскости. Согласно критерию Андронова-Понтрягина, система является грубой тогда и только тогда, когда её неблуждающее множество состоит из конечного числа гиперболических неподвижных точек, конечного числа гиперболических периодических траекторий и не имеет связок.

Основной трудностью в обобщении этого результата на случай произвольных ориентируемых поверхностей положительного рода является возможность нового типа движения - незамкнутая рекуррентная траектория. Отсутствие таких траекторий для грубых потоков без особенностей на 2-торе было доказано А.Г. Майером [37] в 1939 году. В работах [61], [62] М. Пейшото ввёл эквивалентное грубости понятие структурной устойчивости, снимающее требование близости к тождественному с гомеоморфизма, осуществляющего эквивалентность близких систем. Он доказал, что критерий грубости Андронова-Понтрягина дословно переносится на потоки, заданные на произвольных поверхностях. Выделенный класс векторных полей был назван классом векторных полей Морса-Смейла после того, как в 1967 году С. Смейл [65] обобщил свойства грубых систем Андронова-Понтрягина на случай произвольной размерности.

Напомним, что градиентно-подобным называется поток Морса-Смейла, у которого неблуждающее множество не содержит периодических траекторий. Такие потоки имеют наиболее простую динамику, что вдохновляло многих математиков на поиски инвариантов их топологической эквивалентности. В предположениях различной

общности на рассматриваемый класс градиентно-подобных потоков были получены следующие инварианты: граф Пейшото (М. Пейшото) [60], модифицированный граф Пейшото (В.З. Гринес, О.В. Починка) [48], двуцветный граф (К. Вонг) [66], трёхцветный граф (А.А. Ошемков, В.В. Шарко) [39], круговая схема (Г. Флейтас) [46].

Таким образом, проблема классификации градиентно-подобных потоков на поверхностях с точки зрения топологической эквивалентности решена исчерпывающим образом. В главе 2 настоящей работы доказано, что для градиентно-подобных потоков классы топологической эквивалентности совпадают с классами топологической сопряжённости. Полученный результат позволяет использовать для проверки топологической сопряжённости градиентно-подобных потоков любые инварианты их топологической эквивалентности. Кроме того, для каждого из приведенных выше инвариантов строится эффективный алгоритм (время его работы полиномиально зависит от входных данных, определение восходит к А. Кобхэму [45]) различения эквивалентности градиентно-подобных потоков.

Традиционный подход к качественному изучению динамики потоков с конечным числом неподвижных точек и периодических орбит на поверхностях состоит в выделении на несущем многообразии областей с одинаковым асимптотическим поведением траекторий — ячеек. Классическими комбинаторными инвариантами таких потоков, основанными на выделении ячеек, являются схема Леонтович-Майера [35], [34] для потоков в ограниченной части плоскости, ориентированный граф Пейшото [60] и молекула Ошемкова-Шарко [39] для потоков Морса-Смейла на произвольных замкнутых поверхностях, орбитальный комплекс Неймана-О'Брайена [57] для класса потоков на произвольных замкнутых поверхностях, содержащего П-устойчивые потоки.

Очевидно, что каждый предельный цикл порождает модуль топологической сопряжённости, равный периоду цикла. Поэтому для топологической сопряжённости потоков Морса-Смейла имеющихся инвариантов топологической эквивалентности явно не достаточно. Кроме того, в главе 3 настоящей работы установлен удивительный факт наличия бесконечного числа классов топологической сопряжённости в одном классе топологической эквивалентности потока Морса-Смейла. Этот эффект связан с единственностью инвариантного слоения в окрестности любой периодической орбиты. Доказано, что критерием конечности числа модулей топологической сопряжённости потока Морса-Смейла на поверхности является отсутствие пересечения инвариантных многообразий двух предельных циклов. Для класса потоков Морса-Смейла на поверхностях с конечным числом модулей в той же главе получена их топологическая классификация с точностью до топологической сопряжённости, основанная на молекуле Ошемкова-Шарко.

Еще один источник модулей для П-устойчивых систем на поверхностях - это наличие касающихся седловых инвариантных многообразий. Как следует из приведённых выше результатов С. ван Стрина и В. ди Мелу, одним из условий конечности числа модулей у диффеоморфизма является ограничение длины цепочки сёдел с касающи-

8

мися седловыми многообразиями, она не должна превышать трёх. В главе 4 настоящей работы доказано, что в случае потока не существует подобного ограничения на длину седловых цепочек потока. Также введён полный инвариант топологической эквивалентности П-устойчивых потоков - оснащённый граф, для которых построен полиномиальный алгоритм различения их изоморфности.

1 Формулировка основных результатов работы. Апробация результатов исследования

1.1 Формулировка основных результатов работы

В рамках исследования были получены следующие результаты.

В главе 2 рассмотрены градиентно-подобные потоки на поверхностях и доказано, что для таких потоков топологические классификации с точностью до топологической эквивалентности и топологической сопряжённости совпадают. Для основных топологических инвариантов потоков такого класса построены эффективные алгоритмы их различения.

А именно, рассмотрим градиентно-подобный поток , заданный на замкнутой поверхности в. Первый результат главы говорит о том, что топологические инварианты, описывающие классы топологической эквивалентности градиентно-подобных потоков на поверхностях, подходят и для классификации с точностью до топологической сопряжённости .

Теорема 1 ([25]*, теорема 1; [52]*, теорема 7; [33]*, теорема 2.1) Если два градиентно-подобных потока на замкнутой поверхности топологически эквивалентны, то они топологически сопряжены.

Таким образом, классы топологически эквивалентных и классы топологически сопряжённых градиентно-подобных потоков на поверхностях совпадают. В большинстве случаев инварианты, описывающие эти классы, это графы с различными оснащениями, поэтому введём обобщённое определение изоморфизма графов. Два графа называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие, переводящее вершины и рёбра одного графа в вершины и рёбра другого графа с сохранением цветов, направлений рёбер и оснащений при их наличии. Алгоритм различения изо-морфности графов в каком-либо классе графов называется эффективным, если время его выполнения ограничено полиномом от длины входной информации (количество вершин, рёбер и параметров оснащения графа). Такое определение эффективности алгоритма восходит к А. Кобхэму [45]. Стандартом труднорешаемости является ЫР-полнота задачи [22]. Алгоритмы такого рода также называются полиномиальными.

Остальные результаты данной главы посвящены построению эффективных алгоритмов различения некоторых известных инвариантов различных подклассов градиентно-подобных потоков на поверхностях. Поэтому далее приведём краткое описание этих инвариантов, первым из которых является граф Пейшото, построенный в работе [60].

2Звёздочками в ссылках утверждений отмечены работы, написанные с участием соискателя; при ссылке в одном утверждении на несколько работ подразумевается, что либо в каждой из работ доказана какая-то часть результата, либо что в более поздних работах приведена лучшая версия доказательства.

Рассмотрим множество

5=^\ и (с1(ш:) и с1(ш:)).

аеп^

Замыкание любой его компоненты связности называется ячейкой.

Пусть Г/( - ориентированный граф потока /1 такой, что вершины графа Г/« соответствуют неподвижным точкам потока /1, а рёбра соответствуют ориентированным седловым сепаратрисам. Оснастим граф Г/« различающими множествами - подграфами, соответствующими границам ячеек. В результате получим граф Пейшото Гр4. Такой граф является полным топологическим инвариантом для градиентно-подобных потоков на произвольных поверхностях.

Теорема 2 ([52]*, теорема 1; [33]*, теорема 3.1) Пусть /1 и /п - градиентно-подобные потоки, заданные на поверхности Б рода д, и Гр4, Гр4 - их п-вершинные графы Пейшото. Тогда изоморфность графов Гр4 и Гр4 можно проверить за время О (п°(я)) для д > 0 и за время О(п) для д = 0.

В 2011 году В.З. Гринес и О.В. Починка [48] модифицировали граф Пейшото. Именно, вместо различающих множеств они оснастили ориентированный граф Пейшото Г^« порядками рёбер (согласованными с вложениями седловых сепаратрис в несущую поверхность), инцидентных вершинам, соответствующим стокам. Класс изоморфности полученного таким образом модифицированного графа Пейшото Г^р также является полным инвариантом эквивалентности градиентно-подобных потоков на произвольных поверхностях.

Теорема 3 ([52]*, теорема 2; [33]*, теорема 3.2) Пусть - градиентно-

подобные потоки на поверхности Б рода д, и Г^р, Г^р - их модифицированные п-вершинные графы Пейшото. Тогда изоморфизм графов Г^р и Г^р может быть проверен за время О , если д > 0, и за время О(п), если д = 0.

Следующий инвариант, для которого в работе построен алгоритм различения, это граф Вонга [66]. Пусть /1 - градиентно-подобный поток, заданный на ориентируемой поверхности в. Граф Вонга для такого потока - это граф, дуальный к графу Пейшото: вершины графа Вонга Г^ соответствуют ячейкам потока £ь, его рёбра соответствуют седловым сепаратрисам и соединяют вершины, соответствующие ячейкам, граничащим по соответствующим рёбрам сепаратрисам. Ребро окрашивается в цвет и, если соответствует неустойчивой седловой сепаратрисе, и в цвет з, если соответствует устойчивой седловой сепаратрисе. При этом, если какая-либо седловая сепаратриса лежит во внутренности замыкания некоторой ячейки, то этой ячейке и этой сепаратрисе соответствует вершина графа с петлёй. То есть, каждая вершина имеет валентность 4,

если считать петлю за два условных ребра. Набор этих четырех рёбер, включая условные, разбивается на пары, в каждую из которых входит одно ребро, соответствующее устойчивой сепаратрисе, и одно ребро, соответствующее неустойчивой сепаратрисе, примыкающие друг к другу на границе соответствующей вершине ячейки. Такие пары обозначаются дугой, пересекающей оба ребра пары.

Теорема 4 ([52]*, теорема 3; [33]*, теорема 3.3) Пусть ff, fn - градиентно-подобные потоки на ориентируемой поверхности S рода д, и Г^, Г^ - их п-вершинные графы Вонга. Тогда изоморфизм графов Г^ и Г^ проверяется за время О (п°(я)), если g = 0 и за время О(п), если g = 0.

Градиентно-подобный поток f*: S ^ S называется полярным, если в его неблуждающем множестве содержится ровно один источник и ровно один сток. Граф Флейтас или круговая схема Флейтас для такого потока f* строится следующим образом. Выберем вокруг источника (единственного, в силу полярности потоков) окружность S, трансверсальную траекториям потока f* в бассейне источника. Обозначим через D диск, который эта окружность ограничивает в бассейне (т.е. двумерном инвариантном многообразии) источника. Присвоим всем точкам пересечения окружности S с сед-ловыми сепаратрисами метки так, чтобы точки пересечения с сепаратрисами одного и того же седла были с одинаковыми метками. Каждой паре точек с одинаковыми метками присвоим спин, то есть знак + (—), если объединения диска D с трубчатой окрестностью устойчивого многообразия седловой точки, пересекающего окружность S по данной паре точек, является кольцом (плёнкой Мёбиуса). Собственно графом Флейтас будем называть окружность S с точками пересечения с седловыми сепаратрисами, оснащёнными присвоенными метками и спинами, при этом точки пересечения будут вершинами графа, а дуги окружности S, соединяющие эти вершины - рёбрами.

Теорема 5 ([52]*, теорема 5; [33]*, теорема 3.4) Пусть ff и fn - полярные потоки на поверхности S рода д, и Г^, Г^,t - их п-вершинные графы Флейтас. Тогда изоморфизм графов Г^ и проверяется за время 0(п°(я">), если g > 0, и за время О(п), если g = 0.

Последний рассмотренный инвариант предназначен вновь для произвольных

градиентно-подобных потоков на поверхностях. Обозначим через Jft множество всех

ячеек потока ff'. Выберем по одной траектории 9j (t-кривой) в каждой ячейке J G Jft.

Положим Г = U 9j, S = S\T. Назовём и-кривыми неустойчивые седловые сепара-j cs

трисы и s-кривыми - устойчивые седловые сепаратрисы. Из [60] следует, что каждая компонента связности А множества S является криволинейным треугольником, ограниченным одной s-, одной и- и одной i-кривой, поэтому мы будем называть А треугольной областью. Обозначим через А ft множество всех треугольных областей потока f*.

Трёхцветный граф ГрЯ Ошемкова-Шарко из работы [39], соответствующий градиентно-подобному потоку /1, строится следующим образом:

1) вершины графа Г^ взаимно однозначно соответствуют треугольным областям потока;

2) две вершины графа инцидентны ребру цвета в, ¿, и, если соответствующие этим вершинам многоугольные области имеют общую в-, ¿- или м-сторону, а между этим ребром и в, £ или м-кривой соответственно устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Теорема 6 ([52]*, теорема 4; [33]*, теорема 3.5) Пусть - градиентно-

подобные потоки, заданные на поверхности рода д, и Г^, Г^ - их п-вершинные трёхцветные графы. Тогда изоморфизм графов Г^ и Г^ проверяется за время О (п°(я)) при д = 0 и за время О(п) при д = 0.

В главе 3 установлен критерий конечности числа модулей для потоков Морса-Смейла на поверхностях и получена классификация таких потоков в смысле топологической сопряжённости.

Теорема 7 ([30]*, лемма 1; [54]*, теорема 5.1) Если у потока Морса-Смейла существует неустойчивый предельный цикл, у которого неустойчивое многообразие пересекается с устойчивым многообразием некоторого устойчивого предельного цикла, то поток имеет функциональный модуль топологической сопряжённости, порождающий бесконечное число числовых модулей топологической сопряжённости.

Рассмотрим поток Морса-Смейла ф1, заданный на замкнутой поверхности Б. Пусть П - периодическая траектория потока ф1, К^ = для неустойчивого цикла П и Кг = WQi для устойчивого цикла Пг, соответственно.

Лемма 3.2 ([54]*, лемма 4.1) Существует единственное фг-инвариантное одномерное слоение Е^ на Кчьи слои ^ являются секущими для траекторий потока фг\к1, и

фТ' (г) е ф\г) / & 0 <г <Тг, если г е &

Такое слоение, о единственности которого говорит лемма 3.2, возникает из работы Ляпунова [36] и использовалось при доказательстве теоремы Андронова-Витта об устойчивости по Ляпунову периодической траектории [2], однако, в упомянутых работах для подобного слоения требовалась С 1-гладкость, в отличие от слоения из леммы 3.2.

Далее, выделен класс потоков Морса-Смейла на поверхностях с конечным числом модулей топологической сопряжённости.

Теорема 8 ([30]*, теорема 1) Поток Морса-Смейла ф1 на поверхности Б имеет конечное число модулей тогда и только тогда, когда у ф1 не существует неустойчивого предельного цикла, у которого неустойчивое многообразие пересекается с устойчивым многообразием какого-либо устойчивого предельного цикла.

Далее устанавливается, что каждому классу топологической сопряжённости потока Морса-Смейла ф1 с конечным числом модулей взаимно однозначно соответствует класс изоморфности некоторого графа. Для построения такого графа около каждого предельного цикла выбирается окрестность с границей, компоненты связности которой трансверсальны траекториям - иногда мы будем называть компоненты связности границы граничными компонентами. Эти граничные компоненты делят поверхность на элементарные области. Каждой элементарной области ставится в соответствие вершина графа, а граничным компонентам ставятся в соответствие рёбра, направленные в соответствии с направлением траекторий, пересекающих граничную компоненту.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Круглов Владислав Евгеньевич, 2023 год

Список литературы

[1] Алексеев В. Е., Таланов В. А., Графы и алгоритмы. Структуры данных. Модели вычислений. - М.: Интернет-университет информационных технологий. - 2006. -320 с.

[2] Андронов А. А., Витт А. А., Об устойчивости по Ляпунову // ЖЭТФ. - 1933. - Т. 3. - № 5. - С. 372-374.

[3] Андронов А. А., Понтрягин Л. С., Грубые системы // Доклады Академии наук СССР. - 1937. - Т. 14. - № 5. - С. 247-250.

[4] Аносов Д. В., Солодов В. В. Гиперболические множества. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы - 9. ВИНИТИ РАН. - 1991.- Т. 66.- С. 12-99.

[5] Арансон С. Х., Гринес В. З., Топологическая классификация каскадов на замкнутых двумерных многообразиях // УМН. - 1990. - Т. 45. - № 1(271). - С. 3-32. [Английский перевод в Российской Мат. Серии - 1990. - № 4.]

[6] Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ РАН. - 1986. - Т. 5. - 283 с.

[7] Безденежных А. Н., Гринес В. З. Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях. Часть 1 // Методы качественной теории дифференц. уравнений. Межвуз. те-мат. сб. научн. тр. под ред. Е.А. Леонтович-Андроновой. - 1985. - ГГУ. - Горький.

- С. 22-38.

[8] Безденежных А. Н., Гринес В. З. Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях. Часть 2 // Методы качественной теории дифференц. уравнений. Межвуз. те-мат. сб. научн. тр. под ред. Е.А. Леонтович-Андроновой. - 1987. - ГГУ. - Горький.

- С. 24-32.

[9] Безденежных А. Н., Гринес В. З. Реализация градиентноподобных диффеоморфизмов двумерных многообразий // Дифференциальные и интегральные уравнения. Сб. науч. тр. под ред. Н.Ф. Отрокова. - 1985. - ГГУ. - Горький. - С. 33-37.

[10] Боревич Е. З. Условия топологической эквивалентности двумерных диффеоморфизмов Морса-Смейла // Дифференц. уравнения. - 1981. - Т. 17. - № 9. - С. 14811482.

[11] Борисович Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию. - М.: Высш. школа. - 1980. - 295 с.

[12] Власенко И. Ю. О полном инварианте диффеоморфизмов Морса-Смейла на неориентируемых поверхностях // УМН. - 1999. - Т. 54. - № 5(329). - С. 155-156.

[13] Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. О трёхмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой. I // Матем. сб. - 1972. - № 4. - С. 475-492.

[14] Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. О трёхмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой. II // Матем. сб. - 1973. - № 1. - С. 139-157.

[15] Гонченко С. В. Модули систем с негрубыми гомоклиническими траекториями (случаи диффеоморфизмов и векторных полей) // Методы качественной теории и теории бифуркаций. - 1989. - ГГУ. - Горький. - С. 34-49.

[16] Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Докл. АН СССР. - 1991. - Т. 320. - № 2. - С. 269-272.

[17] Гонченко С. В., Шильников Л. П. Инварианты П-сопряжённости диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией // Укр. мат. журн. - 1990. - Т. 42. -№ 2. - С. 153-159.

[18] Гонченко С. В., Шильников Л. П. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Изв. РАН. Сер. матем. - 1992. - Т. 56. - № 6. - С. 1165-1197.

[19] Гринес В.З. Топологическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических траекторий на поверхностях // Матем. заметки. - 1993. - Т. 54. - № 3. - С. 3-17.

[20] Гринес В. З., Капкаева С. Х., Починка О. В. Трехцветный граф как полный топологический инвариант для градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей // Матем. сб. - 2014. - Т. 205. - № 10. - С. 19-46.

[21] Гуревич Е. Я., Куренков Е. Д. Энергетическая функция и топологическая классификация потоков Морса-Смейла на поверхностях // Журнал СВМО. - 2015. -Т. 17. - № 2. - С. 15-26.

[22] Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. Пер. с англ. - М.: Мир. - 1982. - 416 с.; [Garey M. R., Johnson D. S. Сотри1еге and intractability. A guide to the theory of NP-completeness. - San Francisco, CA: A Series of Books in the Mathematical Sciences, W. H. Freeman and Co. - 1979. - x+338 р.]

[23] Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. Перевод с англ. Быкова В.М. - М.:Мир. - 1983. - 302 с. [Kosniowski Cz. A First Course in Algebraic Topology.

- Cambridge, New-Your: Cambridge University Press. - 1980.]

[24] Круглов В. Е. О числе модулей градиентных потоков функции высоты поверхности // Журнал Средневолжского математического общества. - 2018. - Т. 20. - № 4. - С. 419-428.

[25] Круглов, В. Е. Topological conjugacy of gradient-like flows on surfaces // Динамические системы. - 2018. - Т. 8(36). - № 1. - С. 15-21.

[26] Круглов В. Е., Малышев Д. С., Починка О. В. Графовый критерий топологической эквивалентности П-устойчивых потоков без периодических траекторий на поверхностях и эффективный алгоритм для его применения // Журнал Средне-волжского математического общества. - 2016. - Т. 18. - № 2. С. - 47-58.

[27] Круглов В. Е., Малышев Д. С., Починка О. В. Многоцветный граф как полный топологический инвариант для П-устойчивых потоков без периодических траекторий на поверхностях // Математический сборник. - 2018. - Т. 209. - № 1. - С. 100-126.

[28] Круглов В. Е., Митрякова Т. М., Починка О. В. О типах ячеек П-устойчивых потоков без периодических траекторий на поверхностях // Динамические системы.

- 2015. - Т. 5. - № 1-2. - С. 43-49.

[29] Круглов В. Е., Починка О. В. Графовый критерий топологической эквивалентности П-устойчивых потоков на поверхностях // Журнал Средневолжского математического общества. - 2016. - Т. 18. - № 3. - С. 41-48.

[30] Круглов В. Е., Починка О. В. Классификация с точностью до топологической сопряженности потоков Морса - Смейла с конечным числом модулей устойчивости на поверхностях // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2021. - Т. 29. - № 6. - С. 835-850.

[31] Круглов В. Е., Починка О. В. Многоцветный граф как полный топологический инвариант потоков с конечным числом особых траекторий на поверхностях // Журнал Средневолжского математического общества. - 2015. - Т. 17. - № 1. - С. 65-70.

[32] Круглов В. Е., Починка О. В. Реализация оснащённого двудольного графа Омега-устойчивым потоком на поверхности // Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании: материалы XIII Международной научной конференции (Саранск, 12-16 июля 2017 г.). - Саранск : Средневолжское математическое общество (СВМО). - 2017. - Гл. 59. - С. 418-427.

[33] Круглов В. Е., Починка О. В. Топологическая сопряженность градиентно-подобных потоков на поверхностях и эффективные алгоритмы ее различения // СМФН. - 2022. - Т. 68. - № 3. - С. 467-487.

[34] Леонтович Е. А., Майер А. Г. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории // Докл. Акад. АН СССР. - 1955. - Т. 103. - № 4. - С. 557-560.

[35] Леонтович Е. А., Майер А. Г. О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории // Докл. Акад. АН СССР. - 1937. - Т. 14. -№ 5. - С. 251-257.

[36] Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения. - Харьков. - 1892. - XII+251 с.

[37] Майер А. Г. Грубые преобразования окружности // Уч. Зап. ГГУ. Горький, публикации. ГГУ. - 1939. - Т. 12. - С. 215-229.

[38] Митрякова Т. М., Починка О. В. О необходимых и достаточных условиях топологической сопряженности диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом орбит гетероклинического касания // Труды МИАН. Дифференциальные уравнения и динамические системы. - М.: МАИК «Наука/Интерпериодика». - 2010. -Т. 270. - С. 155-156.

[39] Ошемков А. А., Шарко В. В. О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях // Математический сборник. - 1998. - Т. 189. - № 8. - С. 93-140.

[40] Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. Перевод с англ. Колокольцова В. Н. - М.: Мир. - 1986. - 302 с. [Palis J., de Melo W. Geometric Theory of Dynamical Systems. An Introduction. - New-York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag. - 1982.]

[41] Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир. - 1965. — 342 с.

[42] Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Пер. с англ. Пашкиной С С. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. - 2003. - 442 с. [Shilnikov L. P., Shilnikov A. L., Turaev D. V., Chua L. O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. - Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific. - 2003.]

[43] Bonatti C., Grines V., Langevin R. Dynamical systems in dimension 2 and 3: Conjugacy invariants and classification // Comput. Appl. Math. - 2001. - V. 20. - No. 1-2. - P. 11-50.

[44] Bonatti Ch., Langevin R. Diffeomorphismes de Smale des surfaces. Asterisque. - V. 250. - Paris: Societe mathematique de France. - 1998. - 236 p.

[45] Cobham A. The intrinsic computational difficulty of functions // Logic, methodology, and philosophy of science. - North-Holland, Amsterdam: Proceedings of the 1964 international congress. - 1965. - P. 24-30.

[46] Fleitas G. Classification of gradient-like flows on dimensions two and three // Bol. Soc. Brasil. Mat. - 1975. - V. 6. - P. 155-183.

[47] Galil Z., Hoffmann C., Schnorr C., Weber A. An 0(n3logn) deterministic and an 0(n3) Las Vegas isomorphism test for trivalent graphs // Journal of the ACM. - 1987. - V. 34. - P. 513-531.

[48] Grines V. Z., Medvedev T. V., Pochinka O. V. Dynamical Systems on 2- and 3-Manifolds. Dev. Math. - V. 46. - Cham: Springer. - 2016. - xxvi+295 p.

[49] Grines V., Pochinka O., Van Strien S. On 2-diffeomorphisms with one-dimensional basic sets and a finite number of moduli // Moscow Mathematical Journal. - 2016. -V. 16. - No. 4. - P. 727-749.

[50] Hopcroft J. E., Wong J. K. Linear Time Algorithm for Isomorphism of Planar Graphs: Preliminary Report. - Seattle, Wash: Proc of the 6th Annual ACM Symposium on Theory of Computing. - 1974. - P. 172-184.

[51] Irwin M. C. A classification of elementary cycles // Topology. - 1970. - V. 9. - P. 35-47.

[52] Kruglov V., Malyshev D., Pochinka O. On Algorithms that Effectively Distinguish Gradient-Like Dynamics on Surfaces // Arnold Mathematical Journal. - 2018. - V. 4. - No. 3-4. - P. 483-504.

[53] Kruglov V. E., Malyshev D. S., Pochinka O. V. Topological classification of ^-stable flows on surfaces by means of effectively distinguishable multigraphs // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A. - 2018. - V. 38. - No. 9. - P. 4305-4327.

[54] Kruglov V., Pochinka O., Talanova G. On functional moduli of surface flows // Proceedings of the International Geometry Center. - 2020. - V. 13. - No. 1. - P. 49-60.

[55] De Melo W., van Strien S. J. Diffeomorphisms on surfaces with a finite number of moduli // Ergod. Th. and Dynam. Sys. - 1987. - V. 7. - P. 415-462.

[56] Miller G. Isomorphism testing for graphs of bounded genus // Proceedings of the 12th Annual ACM Symposium on Theory of Computing. - 1980. - P. 225-235.

[57] Neumann D., O'Brien T. Global structure of continuous flows on 2-manifolds //J. DifF. Eq.. - 1976. - V. 22. - No. 1. - P. 89-110.

[58] Newhouse S., Palis J. Hyperbolic nonwandering sets on two-dimensional manifolds. Dynamical Systems. Ed. M. M. Peixoto. - Academic Press. - 1973.

[59] Palis J. A differentiable invariant of topological conjugacies and moduli of stability // Asterisque. - 1978. - 51. - P. 335-346.

[60] Peixoto M. M., On the classification of flows on 2-manifolds. Dynamical systems. -Salvador: Univ. Bahia. - 1971. New-York: Academic Press. - 1973. - P. 389-419.

[61] Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. - 1962. - V. 1. - No. 2. - P. 101-120.

[62] Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds (a further remarks) // Topology. - 1963. - V. 2. - No. 2. - P. 179-180.

[63] Pugh C., Shub M. The ^-stability theorem for flows // Inven. Math. - 1970. - V. 11. -No. 2. - P. 150-158.

[64] Robinson C., Dynamical systems: stability, symbolic dynamics, and chaos. - Boca Raton, Ann Arbor, London: Tokyo CRC Press. - 1995. - xii+467 p.

[65] Smale S. Differentiable dynamical systems // Bulletin of the American Mathematical Society. - 1967. - V. 73. - No. 6. - P. 747-817.

[66] Wang X. The C*-algebras of Morse-Smale flows on two-manifolds // Ergodic Theory Dynam Sytems. - 1990. - V. 10. - No. 4. - P. 565-597.

[67] Konig D. Grafok es matrixok // Matematikai es Fizikai Lapok. - 1931. - V. 38. - P. 116-119.