Мозаики из выпуклых пятиугольников тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Багина, Ольга Георгиевна

• Багина, Ольга Георгиевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Багина, Ольга Георгиевна

Содержание

Введение

Глава 1. Определения и обозначения

1.1. Центральные плитки мозаики

1.2. Метки

Глава 2. Мозаики из равносторонних пятиугольников

2.1. Соображения Ханта-Хиршхорна

2.2. Новое доказательство полноты списка равносторонних пятиугольников

Глава 3. Мозаики из пятиугольников с четырьмя равными сторонами

3.1. Основные формулы и вспомогательные утверждения

3.2. Случай г>з = г>4 = 3

3.3. Случай vq = vi = V2 = 3

3.4. Случай v\ = г>2 = щ = 3, vq — г>4 = 4

3.5. Случай vq = v2 = = 3, v\ = V4 = 4

3.6. Случай vq = vi = = 3, v2 = V4 = 4

3.7. Продолжение корон до мозаик

Глава 4. Мозаики из пятиугольников типа 11122

4.1. Основные формулы и вспомогательные утверждения

4.2. Случай V2 = = V4 = 3

4.3. Случай i>i = г>2 = г»з = 3

4.4. Случай vq = v2 = v3 — 3

4.5. Случай vq = vi = = 3

4.6. Случай vq = v\ — V2 = = 3

4.7. Случай vi — г>з = 4

4.8. Случай v2 — v3 = 4

4.9. Продолжение корон до мозаик

Глава 5. Мозаики из пятиугольников общего вида

5.1. Пятиугольники первых семи типов

5.2. Пятиугольники типа 6(Р) = 11223

5.3. Пятиугольники типа Ö(P) = 11123

5.4. Продолжение корон до мозаик

Заключение

Литература

Приложение А. Графики функции S(t) для пятиугольников типа Ö(P) = 11112

Приложение Б. Графики функции S(t) для пятиугольников типа 6(Р) = 11122

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мозаики из выпуклых пятиугольников»

Введение

Актуальность работы.

Одна из областей комбинаторной геометрии — теория замощений пространства интенсивно развивается на протяжении последних ста лет. Однако она имеет древнюю историю. Пожалуй, впервые интерес к замощению плоскости возник в связи с построением орнаментов и узоров. Известно много древних и средневековых орнаментов в Европе, Африке и Азии, составленных из повторяющихся мотивов [21], [23], [27]. Одним из первых в мировой науке примеров решенной классификационной задачи из теории правильных замощений является полный список Платоновых тел, а затем и список Архимедовых тел.

Остановимся на замощениях евклидовой плоскости. Совокупность замкнутых ограниченных фигур Т = {Рь Р2,..., Рк, ■ ■ •} называется замощением плоскости, если фигуры расположены так, что они не имеют общих внутренних точек, и их объединение есть вся плоскость. Плоскость, выложенную фигурами, называют мозаикой, а фигуры замощения часто называют плитками.

Конечно, плитки, которыми выкладывают мозаику, могут иметь бесконечно много форм. Кроме того, мозаики бывают периодическими и непериодическими. Периодической мозаикой называется такая мозаика, в которой можно выделить область, заполняющую всю плоскость без пробелов и наложений при параллельных переносах. Голландский художник М.К. Эшер известен тем, что многие его рисунки и гравюры представляют собой периодические мозаики, составленные из областей, напоминающих очертаниями живых существ [20], [37]. Существует бесконечно много фигур, из которых можно сложить только периодическую мозаику. Существует бесконечно много фигур, из которых можно сложить и периодические, и непериодические

мозаики. В середине XX в. возник вопрос о существовании набора фигур, из которых можно построить только непериодическую мозаику. Здесь предполагается, что ни из одной фигуры, ни из какого-то подмножества фигур, ни из всего набора нельзя построить периодическую мозаику. В 1973 г. Р. Пен-роуз обнаружил такой набор из двух фигур [24], [27], [32]. В 2010 году Дж. Соколар и Дж. Тэйлор [39] предложили вариант непериодической мозаики, которая использует плитки одной формы — правильного шестиугольника. Однако плитки в этой мозаике должны прилегать друг к другу по определенным правилам, учитывая раскраску сторон.

Если наложить на конфигурацию плиток ограничения, то задача классификации мозаик становится обозримой. Рассмотрим задачу замощения плоскости конгруэнтными многоугольниками. Будем говорить, что многоугольник замощает плоскость, если существует замощение плоскости многоугольниками, конгруэнтными данному. Такой многоугольник будем называть мозаичным, а мозаики из конгруэнтных многоугольников называют моноэдраль-ными [27].

Многие мозаики обладают симметриями, то есть они совмещаются с собой под действием некоторого движения плоскости. Если среди симметрии мозаики есть две неколлинеарные трансляции, то мозаика является периодической. Можно построить периодические и непериодические моноэдральные мозаики, используя одну и ту же плитку. Существуют мозаики, в которых одна единственная плитка может оставаться неподвижной при действии группы симметрий мозаики, а остальные плитки переводятся при этом в какие-либо другие плитки [27].

Отдельный класс мозаик составляют изоэдральные мозаики или мозаики, транзитивные на плитках [27]. Изоэдральная мозаика — это мозаика, чья группа симметрий действует транзитивно на плитках, т. е. каждая плитка мозаики может быть переведена в любую другую плитку мозаики с помощью

симметрии этой мозаики.

Кроме того, часто рассматриваются мозаики, называемые нормальными (или мозаиками "ребро к ребру"). Мозаика называется нормальной, если пересечение любых двух смежных ее плиток является ребром или вершиной каждой из них.

Если плитка изоэдральной нормальной мозаики — это выпуклый многоугольник, то такую мозаику часто называют правильной. Впервые понятие правильного замощения плоскости и пространства дал Е.С. Федоров в своих работах еще в конце XIX - начале XX вв. Его труды, касающиеся этой темы, переизданы в [14], [15]. Плитку в случае правильного замощения плоскости он называл планигоном. Расположение плиток вокруг каждой плитки в правильной мозаике всегда одинаковое, то есть все плитки имеют один и тот же набор степеней вершин.

В [10] Б.Н. Делоне предложил идею нахождения всех типов правильных мозаик на плоскости. В своих исследованиях он использовал теорему Шубникова-Лавеса о существовании И топологически различных типах правильных сеток на плоскости, эти сетки часто называют сетками Лавеса. Его исследования продолжил в 1968 г. Хеш [28]. Окончательно в 1978 г. Делоне в [11] перечислил 93 сорта правильных замощений плоскости.

Грюнбаум и Шеппард изучали изоэдральные мозаики, в которых плитка не обязательно является выпуклым многоугольником. В 1977 г. в работе [25] независимо от Делоне, но, используя схожие методы, они перечислили 81 тип изоэдральных замощений плоскости. В 1978 г. в работе [26] они перечислили 91 тип изогональных замощений плоскости, здесь под изогональным замощением понимается замощение плоскости, чья группа симметрий действует транзитивно на вершинах разбиения. В работе [22] Долбилин и Шаттшнейдер также описывают многоугольники, допускающие изоэдральные мозаики.

Если группа симметрий мозаики действует транзитивно на блоке из к

плиток мозаики при к > 1, то мозаика называется к-блок транзитивной или /с-изоэдральной.

Остается до сих пор нерешенной задача нахождения и классификации многоугольников, которыми можно замостить плоскость. Такие мозаики включают в себя как к-блок транзитивные (к ^ 1), так и непериодические мозаики. Любой треугольник и четырехугольник замощает плоскость, при этом мозаики могут быть как изоэдральные, так и непериодические [27].

Многие авторы исследуют невыпуклые многоугольники, замощающие плоскость. Мозаики из таких многоугольников могут быть /с-блок транзитивными, непериодическими и спиральными.

Остановимся на задаче нахождения выпуклых многоугольников, которыми можно замостить плоскость. Известно, что выпуклым многоугольником, имеющим более 6 сторон, замостить плоскость невозможно, доказательство этого утверждения приведено в [31], [34]. Мозаики из шестиугольников были полностью исследованы в 1918 г. Рейнхардом [33]. Он перечислил все выпуклые шестиугольники, которыми можно замостить плоскость, и доказал, что все мозаики из выпуклых шестиугольников изоэдральные. Таких шестиугольников оказалось 3 различных типа.

Проблема построения исчерпывающей классификации выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить плоскость, остается до сих пор нерешенной. Было найдено 14 типов таких пятиугольников. Но до сих пор нет доказательства полноты имеющегося перечня.

Некоторые мозаики из выпуклых пятиугольников были известны еще в древности [35]. Первая попытка классифицировать пятиугольники, которые замощают плоскость была сделана в 1918 г. Рейнхардом в его докторской диссертации [33]. Он перечислил пять различных типов таких пятиугольников (типы 1 — 5 из списка, приведенного ниже). Каждый тип пятиугольника определяется множеством условий на углы и стороны пятиугольника, и каждое та-

кое множество гарантирует, что выпуклый пятиугольник, удовлетворяющий этим условиям, существует. Рейнхард показал, что существует, по крайней мере, одно замощение плоскости пятиугольником каждого типа. Каждый из пяти типов, описанных Рейнхардом, может порождать изоэдральную мозаику, и мозаики могут быть нормальными и не являться таковыми. В 1968 г. Кершнер нашел еще три типа пятиугольников, замощающих плоскость [30] (типы 6, 7, 8). Эти пятиугольники допускают только нормальные мозаики, не транзитивные на плитках. Один тип пятиугольников был найден Джеймсом в 1975 г (тип 10). Такой тип допускает только мозаики, не транзитивные на плитках и не являющиеся нормальными. Еще четыре типа пятиугольников найдены Райе в 1976 — 1977 гг (типы 9, И, 12, 13). Пятиугольники девятого типа допускают только нормальные мозаики, не транзитивные на плитках, пятиугольники типов И, 12, 13 допускают только мозаики, не транзитивные на плитках и не являющиеся нормальными. Последний 14 тип в 1985 г. открыл Штейн. Мозаики из таких пятиугольников всегда не транзитивные на плитках и не являются нормальными.

Перечислим 14 типов пятиугольников, которыми можно замостить плоскость. Обозначим последовательные вершины пятиугольника Xq, Х2, Х3, Х4, его углы — соответственно хо, х\, Х2, хз, х4. Длины сторон пятиугольника Ci = \Xi-\Xi\, i = 0,1,2,3,4, индексы в последнем равенстве берутся по модулю 5. Известны следующие типы пятиугольников, замощающих плоскость:

1. x0 + xi = 180°;

2. XQ + Х2 = 180°, С\ — Сз;

3. х0 = х2 = х3 = 120°, С0 = Си Сз = С2 + С4;

4. xq — х2 = 90°, Со — Ci, С2 — С3;

5. х2 = 2х0 = 120°, С0 = Ci, С2 - С3;

6. xi + х3 = 180°, х0 = 2х3, С0 = Ci = С2, Сз = С4;

7. хо + 2х3 = 360°, х2 + 2xi = 360°, С0 = Сх = С2 = С3;

8

8. xi + 2x0 = 360°, + 2z3 = 360°, C0 = Cx = C2 = C3;

9. X\ + 2x4 = 360°,+ 2x3 = 360°, C0 = Cx = C2 = C3;

10. = 90°, x0 + x3 = 180°, 2xi - ж3 = 180°, 2;r2 + z3 = 360°, C0 = C4 = Ci + C3;

11. xQ = 90°, x2 + x4 = 180°, 2xi + x2 = 360°, C3 = C4 = 2C0 + C2;

12. x0 = 90°, + x4 = 180°, 2rri + = 360°, 2C0 = C3 = C2 + C4;

13. = = 90°, 2хг = 2x4 = 360° - я3, C2 = C3, 2C2 = C4;

14. x3 = 90°, x0 + x2 = 180°, + 2x4 = 360°, C0 = 2C2 = 2C4.

В работах [27], [35], [38] перечислены все эти типы пятиугольников, и примеры мозаик из таких пятиугольников. Кроме того, многие авторы исследуют и описывают сами мозаики из пятиугольников, известных типов. В [25], [27] Грюнбаум и Шепард перечислили 24 изоэдральных мозаики из пятиугольников.

В 1982 г. Шаттшнейдер [36] представила списки выпуклых и невыпуклых равносторонних пятиугольников, замощающих плоскость. В 1985 г. Хант и Хиршхорн [29] доказали полноту списка Шаттшнейдер выпуклых равносторонних пятиугольников, замощающих плоскость. В 2001 г. в [1] и в 2004 г. в [18] приведено новое доказательство полноты этого списка.

Одной из задач проблемы нахождения выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость является задача нахождения выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально. Остановимся на этой задаче.

С 1999 года вышел ряд публикаций японских авторов Сугимото и Ога-ва в японском журнале Forma с результатами их исследований нормальных мозаик. В работах [40], [41] авторы попытались классифицировать известные пятиугольники с четырьмя равными сторонами, замощающих плоскость нормально. В [12] рассматриваются пятиугольники, замощающие плоскость регулярно.

Многие авторы разделяют пятиугольники по типам в соответствии с ра-

венствами длин сторон пятиугольника. С учетом этого имеется ровно 12 различных типов пятиугольников.

В работах многих авторов [22], [40], [41] и в моих работах используется понятие короны для плитки мозаики. Некоторое множество плиток, конгруэнтных Р, называется короной для плитки Р, если выполняются условия:

1) плитки этого множества замощают часть V плоскости;

2) плитка Р содержится внутри V;

3) это множество минимально с условиями 1 и 2.

Для того, чтобы существовала мозаика из выпуклого пятиугольника, необходимо, чтобы существовала корона для каждой плитки мозаики.

В 2005 г. в [4], а затем в 2009 г. в [5] приведена идея нахождения пятиугольников, замощающих плоскость нормально. Эта идея включает в себя полный перебор, который был проведен с помощью пакета математических вычислений "Maple". Результаты этих исследований докладывались автором на конференциях. В дальнейшем компьютерный перебор был полностью исключен [7] - [9], [19].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Кабенюку Михаилу Ивановичу за постановку задач, ценные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Цели работы.

— Перечисление всех выпуклых пятиугольников, которые замощают плоскость нормально.

— Доказательство, что полученный список выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально, полный.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

— доказать утверждение, что в любой нормальной пятиугольной мозаике найдется хотя бы один пятиугольник, для которого набор степеней вершин один из следующих: (3,3,3,3,3), (3,3,3,3,4), (3,3,3,3,5), (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4);

— привести новое доказательство полноты списка выпуклых равносторонних пятиугольников, замощающих плоскость;

— найти все новые выпуклые неравносторонние пятиугольники, имеющие короны;

— исследовать вопрос о том, можно ли продолжить короны из найденных пятиугольников до мозаики;

— доказать, что полученный список выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально, полный.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Описаны все типы выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально. Доказано, что этот список полный.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях разбиений плоскости и пространства.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения.

Обозначим вершины, углы, стороны пятиугольника, как сказано выше. Нумерация может начинаться с любой вершины и менять свое направление. Понятно, что обсуждаемые утверждения не зависят от способа нумерации вершин.

Основной результат содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Выпуклый пятиугольник тогда и только тогда замощает плоскость нормально, когда он относится к одному из следующих типов:

1. xq + Х\ — 180°, С0 = С2 или С3 = С4;

2. х0 + х2 = Ж°,С1 = С3,Со = С2;

3. х0 — х2 = 90°, Со = Ci, С2 = С3;

4. £2 - 2жо = 120°, Со = Сь С2 = С3;

5. xi + х3 = 180°, = 2а;з, С0 = Ci = С2, С3 = С4;

11

6. х0 + 2х3 = 360°, х2 + 2xi = 360°; С0 = Сг = С2 = С3;

7. X! + 2х0 = 360°, х2 + 2х3 = 360°, С0 = Сг = С2 = С3;

8. xi + 2х4 = 360°, х2 + 2х3 = 360°, С0 = Сх = С2 = С3.

Доказательство теоремы 1 использует следующие теоремы.

Теорема 2. В любой нормальной пятиугольной мозаике найдется хотя бы один пятиугольник, для которого набор степеней вершин один из следующих: (3,3,3,3,3), (3,3,3,3,4), (3,3,3,3,5), (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4).

Приведено новое доказательство следующей теоремы.

Теорема 3. Равносторонний выпуклый пятиугольник замощает плоскость тогда и только тогда, когда сумма каких-нибудь двух углов равна 180°, или углы этого равностороннего выпуклого пятиугольника xq, х\, х2, х3, Х4 удовлетворяют следующей линейной системе уравнений

x0 + 2xi = 360°, х2 + 2х4 = 360°

Обозначим Т{ — множество пятиугольников, углы и стороны которых удовлетворяют соотношениям, перечисленным в г-м пункте теоремы 1, г = 1,...,8.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 4. Если Р — центральная плитка, и 5(Р) = 11112, то Р £ Т\ U Т2 U Т3 U Т4 U Tq U Т-? U Т8 либо Р имеет один из четырнадцати наборов углов (для некоторой допустимой нумерации вершин):

1. х0 ~ 93,06°, xi = 120°, х2 « 133,47°,х3 « 73,47°,х4 = 120°;

2. хо ~ 94,56°, xi « 113,64°, х2 « 132, 72°, х3 w 75, 9°, х4 « 123,18°;

3. х0 ~ 88,71°, xi « 135,65°, х2 « 74, 78°, х3 « 135, 65°, х4 « 105, 21°;

4. х0 « 81, 2°, xi « 139,4°, х2 « 69, 7°, х3 « 139,4°, х4 « 110,3°;

5. х0 = xi = х3 = 120°, х2 ~ 94,34°, х4 « 85,66°;

6. х0 « 108,28°, xi « 125,86°, х2 « 78,05°, х3 w 140,98°, х4 « 86, 83°;

7. х0 « 129,13°, xi = 90°, х2 « 101, 74°, х3 = 135°, х4 « 84,13°;

8. х0 ~ 126,42°, xi w 77,86°, х2 « 107,16°, х3 « 141, 07°, х4 « 87,49°;

9. х0 ~ 83,32°, X! - 120°, х2 « 78,34°, х3 « 138,34°, х4 = 120°;

10. х0 « 124,23°, xi « 82,82°, х2 « 111, 54°, х3 « 124,23°, х4 « 97,18°;

11. х0 « 75,96°, xi и 142,02°, х2 « 66,05°, х3 « 142,02°, х4 « 113,95°;

12. хо ~ 85,88°, xi « 137,06°, х2 « 68,53°, х3 « 145, 74°, х4 « 102, 79°;

13. х0 « 128, 22°, Х\ — х4 ~ 85,48°, х2 « 103,56°, х3 « 137,26°;

14. х0 = 360° - 2х3, х\ — х3, х2 = 180° - х4, PgT1UT2.

Теорема 5. Пятиугольники, имеющие один из четырнадцати наборов углов, перечисленных в теореме 4, имеют короны, но ни одна из таких корон не может быть продолжена до мозаики.

Теорема 6. Если Р — центральная плитка, и 6(Р) = 11122, то Р G Т\ U Т3 U Т4 U Т5 либо Р имеет один из следующих наборов углов (для некоторой допустимой нумерации вершин):

1. х0 = XI = х3 = 120°, Х2 = х4 = 90°;

2. Хд = 140°, XI = 80°, х2 « 117,88°, х3 = 120°, х4 « 82,12°;

3. xq = 120°, Х\ w 84, 74°, х2 = 120°, х3 = 120°, х4 « 95, 26°;

4. х0 « 141,33°, xi « 77,34°, х2 « 102,66°, х3 « 154,67°, х4 « 64°;

5. х0 « 141,33°, xi « 77,34°, х2 « 122°, х3 « 116°, х4 « 83,33°;

6. х0 = 150°, xi = 90°, х2 = 105°, х3 = 120°, х4 = 75°.

Теорема 7. Пятиугольники, имеющие один из шести наборов углов, перечисленных в теореме 6, имеют короны, но ни одна из таких корон не может быть продолжена до мозаики.

Теорема 8. Если Р — плитка типа 6(Р) — 12345, то она не имеет пи одной короны. Если тип центральной плитки Р один из следующих: 11234, 11232, 12134, 12123, 11213, 11212, 11223, 11123, то он принадлежит одному из множеств Ti, г = 1,2,3,4, либо имеет один из четырех наборов углов:

1. х0 = 180° - х4, xi = 90° + х4/2, х2 = 180° - х4, х3 - 90° + х4/2;

2. ж0 = 90°,xi = 135°,х2 = х4 = 112,5°,х3 = 90°;

3. х0 = х2 = 120°, х\ = 150°, х3 = 45°, х4 = 105°;

4. х0 = х2 = 120°,xi = 160°,х3 = 40°,х4 = 100°.

Теорема 9. Пятиугольники, имеющие один из четырех наборов углов, перечисленных в теореме 8, имеют короны, но ни одна из таких корон не может быть продолжена до мозаики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях:

1. II Всесибирский конгресс женщин-математиков, КрасГУ, Красноярск, 2002.

2.III Всесибирский конгресс женщин-математиков, КрасГУ, Красноярск, 2004.

3. Международная конференция "Мальцевские чтения", Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2005.

4. Международная конференция "Мальцевские чтения", Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2009.

5. Общегородской алгебраический семинар, руководитель: проф., д.ф.-m.il В.Н. Ремесленников, Омский филиал Института математики им. C.JI. Соболева СО РАН, 2011.

6. Семинар "Геометрия, топология и их приложения", руководитель: академик, д.ф.-м.н, И.А. Тайманов, Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН, 2012.

7. Семинар "Инварианты трехмерных многообразий", руководитель: чл.-корр. д.ф.-м.н. А.Ю. Веснин, Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН, 2012.

8. Международная конференция "Дни геометрии в Новосибирске, 2012", Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН, 30 августа - 1 сентября

2012 г.

9. Семинар кафедры математического анализа КемГУ, руководитель: д.ф.-м.н., профессор Н.К. Смоленцев, Кемеровский государственный университет, 2013.

10. Семинар кафедры математического анализа АлтГУ, руководитель: к.ф.-м.н., А. Н. Саженков, Алтайский государственный университет, 2013.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах, в том числе 1 статья, входящая в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавтором, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из содержания, введения, 5 глав, заключения, списка литературы, содержащего 41 наименование, включая работы автора. Дополнительно представлено приложение на 15 страницах. Общий объем диссертации 149 страниц.

Глава 1

Определения и обозначения

1.1. Центральные плитки мозаики

Совокупность замкнутых ограниченных фигур Т — {Р\, Р2, ■ ■ ■, Рк, • • •} называется замощением плоскости, если фигуры расположены так, что они не имеют общих внутренних точек, и их объединение есть вся плоскость. Плоскость, выложенную фигурами, называют мозаикой, а фигуры называют плитками.

Рассматривается задача замощения плоскости конгруэнтными пятиугольниками. Будем называть пятиугольник мозаичным, если существует замощение плоскости пятиугольниками, конгруэнтными данному.

Мозаика называется нормальной (мозаикой "ребро к ребру"), если для любых двух плиток такой мозаики выполняется одно из следующих условий:

1) плитки не имеют общих точек;

2) плитки имеют ровно одну общую вершину;

3) плитки имеют ровно одно общее ребро.

Пусть Р — произвольная нормальная мозаика из пятиугольников, конгруэнтных пятиугольнику Р. Тем же символом будем обозначать какую-нибудь плитку мозаики.

Пусть Х0, Х\, Х2, Х4 — последовательные вершины пятиугольника Р , его углы — соответственно хо, х\, х2, х^, х4. Длины сторон пятиугольника Сг = % = 0,1,2,3,4, индексы в последнем равенстве берутся по

модулю 5. Основной результат работы содержится в следующей теореме.

Теорема 1.1. Выпуклый пятиугольник тогда и только тогда замощает плоскость нормально, когда он относится к одному из следующих типов:

1. х0 + хх = 180°, Со = С2 или С3 = С4;

2. х0 + х2 = 180°, Ci = С3, Со = С2;

3. xq — х2 = 90°, Со = С\, С2 — С3;

4. х2 = 2х0 - 120°, Со — С\, С2 = С3;

5. X! + х3 = 180°,х0 = 2х3,Со = Ci = С2,С3 = С4;

6. х0 4- 2х3 = 360°, х2 + 2xi = 360°; С0 = Сг = С2 = С3;

7. XI + 2х0 = 360°, х2 + 2х3 = 360°, С0 = Сх = С2 - С3;

8. xi + 2х4 = 360°, х2 + 2х3 = 360°, С0 = Ci = С2 = С3.

Степенью вершины плитки Р называется число сходящихся в ней пятиугольников. Степень любой вершины не может быть меньше трех.

Назовем строку (ао> • ■ •, о;4) набором степеней вершин плитки Р, где каждое из чисел oti является степенью одной из вершин Р\ oci и cxj при г j являются степенями разных вершин; ао ^ ... ^ а4.

Доказательство теоремы 1.1 основывается на следующей теореме.

Теорема 1.2. В любой нормальной пятиугольной мозаике найдется хотя бы один пятиугольник, для которого набор степеней вершин один из следующих: (3,3,3,3,3), (3,3,3,3,4), (3,3,3,3,5), (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4).

Для доказательства теоремы будем использовать общий факт, имеющий место для произвольных мозаик из многоугольников. Пусть Т — мозаика из равномерно ограниченных многоугольников, то есть из таких многоугольников, для которых существуют действительные числа s > 0 и г > 0 такие, что каждая плитка из Т содержит круг радиуса s и содержится в круге радиуса г. Пусть U — конечное объединение многоугольников из Т, и T(U): 7(U), х(Ю — число внутренних многоугольников в U, число граничных многоугольников в U, эйлерова характеристика U соответственно.

Лемма 1.1. Пусть Р — произвольная мозаика. Тогда в ней существует бесконечная последовательность множеств 11{ — объединение конечного числа многоугольников из Р, г = 1,2,... таких, что:

(1) Г(С/г) —> оо, при г —> оо;

(2) 7(^)/Г(С/г) 0, при г -)> оо;

(3) х(£/*) = 1 для всех г = 1,2,...,

где Г([/{) - число внутренних многоугольников в 7(^) число граничных многоугольников для их(^) — эйлерова характеристика 111.

Доказательство, (см. [10], [11])

Приводим эти рассуждения для полноты изложения.

Рассмотрим на плоскости замкнутый круг В радиуса Я, где Я > г. Пусть А — множество тех многоугольников, которые полностью лежат внутри круга, В — множество тех многоугольников, которые пересекаются с кругом, но не содержатся в нем. В замкнутой области, покрытой всеми плитками из А и В могут появиться "дыры". Это такие линейно замкнутые области, которые не покрыты плитками ни из множества А, ни из В. Пусть С — множество плиток, покрывающих эти "дыры". Пусть V — область, являющаяся объединением всех многоугольников, входящих в А, В и С. II — односвязная область. Многоугольники из А накрывают круг радиуса Я—г, следовательно,

тг(Я-г)2

Гд >

7ГГ2

где Гд — число многоугольников из А. Граничные многоугольники из В и С лежат внутри области между окружностями радиусов Я + г, Я —г. Следовательно,

47г яг 7д <-о~>

где 7л — число граничных многоугольников.

Если йи г фиксированные, имеем

'Уд АттИг т^

Гд^с», — ^-— —-^->0, при Я^оо.

1 д тгэ (К — гУ

Так как область, покрытая многоугольниками из и односвязна, то хя — этим завершается доказательство леммы 1.1.

Доказательство теоремы 1.2. Предположим, что в выбранной пятиугольной мозаике каждая плитка имеет набор степеней вершин, отличный от наборов, перечисленных в теореме.

Пусть \]{ — указанные в лемме множества, Г^ — число внутренних плиток, 7г —число граничных плиток. Подсчитаем эйлерову характеристику — Хг по "вкладам" отдельных плиток: если какая-нибудь вершина принадлежит а плиткам из то вклад в Хг каждой из этих плиток для этой вершины

равен Каждая внутренняя плитка для ^ имеет одного соседа для каждой

1

стороны, значит плитка "вносит" - часть каждой стороны. Для к-й плитки в ^'-ой вершине сходится а^ плиток из £/$. Вклад каждой внутренней плитки в Хг равен

„ 5 1 13 1 1

1 + — + ••• + — =+ — + ••• +

2 с*о щ 2 «о а\

где набор (ад,..., а|) может быть разным для разных плиток покрытия. Обозначим

3 1 1

Д(а0, ...,а4) = -- Н---I-... + —.

2 ао а4

Тогда вклад всех внутренних плиток равен

где сумма берется по всем внутренним плиткам. Вклад всех граничных плиток равен 7^(1 + 5^), < 1, где Ьд{ — это разность между вкладами вершин и ребер всех граничных плиток. Так как х* = 1> то

7£(1+ 500 = 1-

Поделим обе части на T¿:

1£д(а*,...,а{) = 1-^(1+ (1)

■М м м

Для перечисленных в теореме наборов степеней имеем

Д(3,3,3,3,3) > Д(3,3,3,3,4) > Д(3,3,3,3,5) >

> Д(3,3,3,3,6) = Д(3,3,3,4,4) ^ 0.

Заметим, для любого другого набора степеней (а0,..., а4) справедливо неравенство Д(ао,..., а4) ^ —

Действительно, если ао = а\ = а2 = аз = 3, а4 ^ 7, то

. 3 4 1 1111 1 Д а0, а4) = -- + - + — = - - + — ^ - д + - = - — • 2 3 а4 6 а4 6 7 42

Если «о = = o¿2 — 3, аз ^ 4, а4 ^ 5, то

,311 1 1 Если a¡o = ai = 3, а2 ^ 4, аз > 4, а4 ^ 4, то

Д(а0, «4) < + | + | = <

Поскольку по предположению в мозаике нет плиток с указанными в теореме наборами степеней вершин, то для левой части равенства (1) имеем

Следовательно,

Г,- ГУ lJ ^ 42

Ъ 1

Так как в силу леммы r¿ —сю, гг 0, то 0 ^ ~~противоречие.

i í 4Z

Теорема доказана.

Следствие. В любой нормальной мозаике из выпуклых пятиугольников найдется плитка, у которой, по крайней мере, три вершины имеют степень три.

Это утверждение получено автором совместно с научным руководителем Кабенюком М.И.

1.2. Метки

Пусть Р — произвольная плитка мозаики Р.

В дальнейшем мы будем обозначать вершины пятиугольника либо символом либо просто символом г, г = 0,..., 4. А стороны пятиугольника либо либо либо просто г, где г = 0,...,4, j = г + 1 и все индексы

берутся по модулю 5.

Пусть — степень г - ой вершины пятиугольника Р, у(Р) = у^у^у^уа — последовательность степеней вершин Р. Например, запись у(Р) = 33344 означает, что уо — = у2 = 3, г>з = г>4 = 4. Как доказано выше, если Р — центральная плитка, у(Р) может принимать с точностью до порядка цифр одно из пяти значений: 33333, 33334, 33335, 33336, 33344. С учетом всех возможных перестановок для у(Р) мы имеем 26 значений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Багина, Ольга Георгиевна, 2013 год

Литература

[1] Вагина О.Г. Покрытие плоскости равносторонними пятиугольниками / О.Г. Вагина, М.И. Кабенюк // Вестник Кемеровского государственного университета, серия Математика. - 2001. - № 3(7). - С. 162-166.

[2] Вагина О.Г. Мозаики из равносторонних выпуклых пятиугольников / О.Г. Вагина //И Всесибирский конгресс женщин-математиков: Тезисы докладов конгресса. - Красноярск, - 2002. - С. 14-16.

[3] Вагина О.Г. Разбиения плоскости выпуклыми пятиугольниками с четырьмя равными ребрами / О.Г. Вагина // III Всесибирский конгресс женщин-математиков (в день рождения Софьи Васильевны Ковалевской): Тезисы докладов конгресса. - Красноярск: ПФК "ТОРРА", - 2004. - С. 32-33.

[4] Вагина О.Г. Классификация выпуклых пятиугольников, покрывающих плоскость ребро к ребру / О.Г. Вагина // Международная конференция "Мальцевские чтения". Тезисы докладов. - Новосибирск, 2005. -URL: http://math.nsc.ru/conference/malmeet/05/BAGINA.PS. (дата обращения 01.10.2013 г.)

[5] Вагина О.Г. Мозаики из выпуклых пятиугольников / О.Г. Вагина // Международная конференция "Мальцевские чтения", посвященная 100-летию со дня рождения Анатолия Ивановича Мальцева, 24-28 августа 2009 г. Тезисы докладов. - Новосибирск, 2009. - С. 40.

[6] Вагина О.Г. Мозаики из выпуклых пятиугольников / О.Г. Вагина // Алгебра и математическая логика. Материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова. - Казань: КФУ, 2011. - С. 41-42.

[7] Вагина О.Г. Мозаики из выпуклых пятиугольников / О.Г. Вагина // Вестник Кемеровского государственного университета. - 2011. - № 4(48). - С. 63-73.

[8] Вагина О.Г. Выпуклые пятиугольники, замощающие плоскость / О.Г. Вагина // Тезисы международной конференции "Дни геометрии в Новосибирске, 2012", посвященной 100-летию со дня рождения академика Александра Даниловича Александрова. - Новосибирск, 2012. - С. 23-24.

[9] Вагина О.Г. Выпуклые пятиугольники, замощающие плоскость (типы: 11112, 11122) / О.Г. Вагина // Сибирские электронные математические известия. - 2012. - Т. 9. - С. 478-530.

[10] Делоне Б.Н. Теория планигонов / Б.Н. Делоне // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1959. - Т. 23. - С. 365-386.

[11] Делоне Б.Н. Комбинаторная и метрическая теория планигонов / Б.Н. Делоне, Н.П. Долбилин, М.И. Штогрин // Труды математического института. - 1978. - Т. 148. - С. 109-140.

[12] Никоноров Ю.Г. Регулярные замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками / Ю.Г. Никоноров, В.В. Чинаков // Вестник Алтайской государственной педагогической академии. - 2002. - № 2-3. - С. 21-28.

[13] Федоров Е.С. Симметрия и структура кристаллов / Е.С. Федоров. - АН СССР, 1949.

[14] Федоров Е.С. Начала учения о фигурах / Е.С. Федоров, 1953.

[15] Федоров Е.С. Правильное деление плоскости и пространства / Е.С. Федоров, 1979.

[16] Шубников А.В. К вопросу о строении кристаллов / А.В. Шубников // Изв. ими. Акад. наук. - 1916. - Т. 9. - С. 755-779.

[17] Шубников А.В. Симметрия в науке и искусстве / А.В. Шубников, 2004.

[18] Bagina О. Tiling the plane with congruent equilateral convex pentagons / O. Bagina // Journal of Combinatorial Theory, Series A. - 2004. - V. 105 -P. 221-232.

[19] Bagina O. Convex Pentagons Which Tile the Plane / O. Bagina // Yaroslavl International Conference "Discrete Geometry" dedicated to the centenary of A.D. Alexandrov. August 13-18, 2012. Abstracts. - Yaroslavl State University, 2012. - P. 8-12.

[20] Bool F.H. M.C. Escher, His Life and Complete Graphic Work. / F.H. Bool, J.R. Kist, J.L. Locher, F.Wierda. - Harry N. Abrams, 1982.

[21] Critchlow K., Islamic Patterns. An Analytical and Cosmological Approach / K. Critchlow. - New York: Schocken Books, 1976.

[22] Dolbilin N. One Corona is Enough for the Euclidean Plane / N. Dolbilin, D. Schattschneider // Quasicrystals and Discrete Geometry J. Patera. - 1998.

- V. 10. - P. 207-246.

[23] Field R. Geometric Patterns from Roman Mosaics and how to draw them / R. Field. - Stradbroke (England): Tarquin Publications, 1988

[24] Gardner M. Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers / M. Gardner // And the Return of Dr. Matrix, 2nd edition. - 1997. - P. 312.

[25] Griinbaum B. The eighty-one types of isohedral tilings in the plane / B. Griinbaum, G.C. Shephard // Math. Proc. Carnbr. Phil. Soc. - 1977.

- V. 82. - P. 177-196.

[26] Griinbaum B. The ninety-one types of isogonal tilings in the plane / B. Grünbaum, G.C. Shephard // Trans. Amer. Math. Soc. - 1978. - V. 242. - P. 335-353.

[27] Grünbaum B., Shephard G.C. Tilings and Patterns / B. Grünbaum, G.C. Shephard. - W.H. Freeman and Company, 1987.

[28] Heesch H. Reguläres Parkettierungsproblem / H. Heesch. - Köln—Opladen, 1968.

[29] Hirschhorn M.D. Equilateral Convex Pentagons Which Tile the Plane / M.D. Hirschhorn, D.C. Hunt // J. Combin. Theory. Ser. A. - 1985. - V. 39. - P. 1-18.

[30] Kershner R.B. On Paving the Plane / R.B. Kershner // American Mathematical Monthly. - 1968. - V. 75. - P. 839-844.

[31] Niven I. Convex polygons that cannot tile the plane / I. Niven // Amer. Math. Monthly. - 1978. - P. 785-792.

[32] Penrose R. The role of aesthetics in pure and applied mathematical research / R. Penrose. - Bull. Inst. Math. Appl, 1974. 10:266(271).

[33] Reinhardt K. Uber die Zerlegung der Ebene in Polygone: Dissertation / K. Reinhardt. - Universit ät Frankfurt, 1918.

[34] Reinhardt K. Zwei Beweise fur einen Satz über die Zerlegung der Ebene / K. Reinhardt // Tohoku Math. J. - 1927. - V. 28. - P. 221-225.

[35] Schattschneider D. Tiling the Plane with Congruent Pentagons / D. Schattschneider // Math. Magazine. - 1978. - V. 51. - P. 29-44.

[36] Schattschneider D. A (complete) catalogue of equilateral pentagons that tile / D. Schattschneider. - Mimeographed note. - 1982.

[37] Schattschneider D. The Mathematical Side of M. C. Escher / D. Schattschneider // Notices of the American Mathematical Society. - 2010. - V. 57, - № 6. - P. 706-718.

[38] Schattschneider D. A new pentagon tiler / D. Schattschneider // Mathematics Magazine. - 1985. - T. 58. - P. 308.

[39] Socolar J.E.S. An aperiodic hexagonal tile / J.E.S. Socolar, J.M. Taylor // J. Comb. Theory Ser. A. - 2011. - V. 118. - P. 2207-2231.

[40] Sugimoto T. Systematic Study of Convex Pentagonal Tilings, I: Case of Convex Pentagons with Four Equal-length Edges / T. Sugimoto, T. Ogawa // Forma. - 2005. - V. 20. - P. 1-18.

[41] Sugimoto T. Systematic Study of Convex Pentagonal Tilings, II: Tilings by Convex Pentagons with Four Equal-length Edges / T. Sugimoto, T. Ogawa // Forma. - 2009. - V. 24. - P. 93-109.

В работе [1] вклад авторов равноценный.