Мультипликаторы Фурье-Хаара в симметричных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Уксусов, Сергей Николаевич

• Уксусов, Сергей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Уксусов, Сергей Николаевич

Введение.

Глава I. Основные обозначения и предварительные сведения.

§1.1. Пространства измеримых функций.

§1.2. Симметричные пространства.

§1.3. Ряды Фурье-Хаара.

§1.4. Дополнительные сведения.

Глава II. Мультипликаторы рядов Фурье - Хаара.

§2.1. Ограниченность мультипликаторов Фурье - Хаара в пространствах Ьх и

§2.2. Ограниченность мультипликаторов в пространствах Еу.

§2.3. Норма мультипликатора в паре пространств Ьд).

§2.4. Ограниченность мультипликатора в симметричных пространствах с нетривиальными индексами Бойда.

§2.5. Различие свойств мультипликаторов в пространствах Лоренца и

§2.6. О непрерывности мультипликатора из пространства Марцинкевича в пространство Лоренца.

Глава III. Базисные свойства системы Хаара.

§3.1. Ограниченность проектора в пространствах Лоренца.

§3.2. Условные базисы в симметричных пространствах.

§3.3. Ограниченно полные базисы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мультипликаторы Фурье-Хаара в симметричных пространствах»

Система Хаара была введена в анализ в докторской диссертации Хаара в 1910 году для построения базиса в пространстве С[0, 1]. Им же были найдены первые замечательные свойства этой системы. Позднее система Хаара стала изучаться и применяться во многих разделах анализа.

Среди банаховых пространств и, особенно банаховых решеток, важное место занимают симметричные (перестановочно-инвариантные) пространства. Значение теории симметричных пространств объясняется тем, что многие функциональные пространства, такие как Ьр, Лоренца, Мар-цинкевича, Орлича и многие другие, являются симметричными. Их изучению посвящена обширная литература.

Сходимость и безусловная сходимость рядов Фурье-Хаара в пространствах Ьр исследована в многих работах. Здесь можно указать монографии [4], [8], [21], [29], статьи [6], [12], [13], [14], [15], [30]. Безусловная сходимость таких рядов тесно связана с ограниченностью мультипликаторов по системе Хаара. Этой тематике посвящены работы [2], [9] и др.

Предлагаемая диссертационная работа продолжает исследование рядов Фурье-Хаара в симметричных пространствах. Рассмотрен вопрос об ограниченности мультипликаторов по системе Хаара в различных симметричных пространствах, изучены базисные свойства системы Хаара в симметричных пространствах. Обобщен ряд теорем, посвященных данной тематике.

Основное содержание диссертации изложено в главах II и III. В первой главе собраны необходимые предварительные сведения и стандартные обозначения, используемые в работе.

В предлагаемой работе перестановочно-инвариантные (симметричные) пространства сокращенно обозначаются r.i. пространствами, система функций Хаара сокращенно обозначается с.Х.

Во второй главе диссертации изучаются условия ограниченности мультипликаторов по с.Х. Доказаны теоремы 2.1-2.6.

Обозначим через Q множество индексов

0,0), (иД), и = ОД,., \<к<2п).

Пусть (иД)ей-с.Х. Всякая последовательность Я = порождает линейный оператор Л (называемый мультипликатором), который на полиномах по с.Х. определяется следующим образом: Л

V п,к J п,к

Хорошо известно, что с.Х. образует безусловный базис в L , 1 < р < со.

Отсюда вытекает, что Л

I « sup (п,к)еП А п,к

В L и с.Х. не является безусловной. Поэтому возникает вопрос о вычислении нормы мультипликатора в Ц и

Пусть (n,k)eQ и Д^ = — 1 к Л

2 л ' г\п

1 У Последовательность вложенных друг в друга диадических интервалов называется цепью. Множество цепей обозначим через А. Каждой цепи К = (1 ,кх,., кп) поставим в соответствие число т-1 т=1 которое естественно назвать вариацией Я по цепи К. Введем на пространстве последовательностей Я = {Лп к, \п,к) е О} полунорму

КеА,пеЦ т=\ Х

КеА т-1 и множество тех Я, для которых Я < со, будем обозначать через 1¥.

Из соображений двойственности вытекает, что мультипликатор Л ограничен в Ц, тогда и только тогда, когда Л ограничен в и Л к Л

Теорема 2.1. Для ограниченности А в I, необходимо и достаточно, чтобы Я < со. Более того, норма Л эквивалентна Л п,к)еО.

Л, п,к

Из теоремы 2.1 вытекает

Следствие 2.2. Для того чтобы мультипликатор Л был ограничен в любом гл. пространстве Е необходимо и достаточно, чтобы Я е УУ .

Обобщением в нескольких направлениях известной теоремы С. Яно об ограниченности мультипликатора Л в паре пространств (Ьр, Ьд), 1 < р < д < оо является

Теорема 2.2. Пусть Е- симметричное пространство на [0; 1], индексы Бойда которого удовлетворяют неравенству §<у<аЕ</3Е<\ и пусть Еу - пространство с нормой X

Еу х (t)t 7 . Для ограниченности мультипликатора Л = {ЛяА} из Е в Еу необходимо и достаточно. чтобы sup п.к)еП Л п.к

2"7<оо.

Более того, норма мультипликатора Л эквивалентна sup п.к)еП

Далее доказывается

Теорема 2.3. Пусть 1 < р, q < go. Тогда А п,к 2 пу со Л с

I I Р,Я sup к<2"

2 \Кк 2 р V п=1 Y где константа Спя зависит только от р к а. р,(] ± -I

Обозначим через £ множество мультипликаторов, удовлетворяющих условию Хпк~±\ для всех (и, Хорошо известно, что система Хаара образует безусловный базис в сепарабельном пространстве Е тогда и только тогда, когда || А || (А е равномерно ограничена.

Рассмотрим последовательность £ = {ёп}, где еп=±1, пеЩ .

Предположим, что данная последовательность содержит бесконечное число значений +1 и -1. Последовательность £ = {бп] порождает последовательность Хп к = £п для всех (п,к)еО. и соответствующий мультипликатор Л£. Обобщением теоремы 1 [14], доказанной О.В. Лелонд, является

Теорема 2.4. Пусть Е - гл. пространство. Следующие условия эквивалентны:

1) мультипликатор А£ ограничен в Е, 00 Е ii) всякий мультипликатор A (A е S) ограничен в Е и sup А

AeS iii) 0<аЕ< fiE <1.

Как отмечалось ранее (теорема 2.1 и следствие 2.2), из ограниченности мультипликатора А в Ьт вытекает ограниченность А в любом пространстве Лоренца. Оказывается, что это вложение всегда является строгим.

Теорема 2.5. Пусть (реФ и lim (pit) = lim—— = 0.

->о 4 ' /->о f(t)

Тогда существует такой мультипликатор М е £, что М ограничен в А[(р) и не ограничен в

Пусть дана ограниченная последовательность Я = |Япк, (пД)еО и соответствующий мультипликатор А. Предположим, что Яп к не зависят от к, т.е. лп,к=лп> (лД)еО (1) и

Л0 > ij 1 >•••

2)

Обозначим через Ф0 множество возрастающих, вогнутых на отрезке [0,1] функций (<^(0) = 0, ф(\) = \\ удовлетворяющих условию

1 + £<^)-<2-£ для некоторого £>0 и для любого ¿е[0,1]. Через обозначим функцию —тт-.

ПЧ

Теорема 2.6. Пусть мультипликатор удовлетворяет условиям (1) и (2) и пусть ср({) - произвольная функция, принадлежащая множеству

Ф0. Для непрерывности мультипликатора Л из М(^) в Л(^) необходимо и достаточно, чтобы Л = {Л09Л1,Л2,.} е1{. Более того || Л [Ц^д^ и от Я эквиваленты, причем константы эквивалентности зависят только

КО

В третьей главе изучаются базисные свойства системы Хаара. Доказаны теоремы 3.1-3.4.

Пусть Хп (0' е ^ ~ система Хаара, и Хп. (0' 7 е ^ ~ некоторая ее подсистема. Проектором на подсистему Хаара называется линейный оператор, который на полиномах Хаара определяется следующим образом: \ Р

I ММ я, к)еО. У г=1

Для заданного а> О обозначим через (pa(t) вогнутую на [0, 1] 2 функцию из Ф, эквивалентную функции log а —. Пусть пк, к g N возрастающая последовательность натуральных чисел. Обозначим через Р ортогональный проектор на подпространство, порожденное системой функций & = В силу безусловности системы Хаара в

L , 1<р<со оператор Р ограничен в L . В Лс.Х. не является безусловной.

Теорема 3.1. Пусть пк возрастающая последовательность натуральных чисел и пк+1 -пк> 2 для к е N. Для того, чтобы проектор Р был ограничен в пространстве Лоренца Л(<ра) необходимо и достаточно, чтобы

СО 2 keN j=k Ylj

Следствие 3.1. Если проектор Р ограничен в Л[(ра) для некоторого а > 0, то Р ограничен в Лдля всех а> 0.

27+1 2"

Следствие 3.2. Если sup ^ <00> то мультипликатор М//5 определяемый последовательностью |//и к J, ограничен в Л).

Пусть Х - банахово пространство над полем действительных чисел с базисом {еки je^j - система координатных функционалов. Гипероктантом j, соответствующим данному набору знаков вк=±\, будем называть множество элементов хеХ, пред ставимых в виде со x = ^aiOiei, где все щ неотрицательны.

Напомним, что ряд ^хк элементов банахова пространства сходитк=\ ся безусловно, если для любой последовательности ак=± 1 (1<£<со) со сходится ряд ^Гакхк. к=1

Гипероктант будем называть безусловным для базиса

ОО / 00 \ 00 е*}", если для любого х еГцб^ | ряд х = (разложение х по базису {ек}™) сходится безусловно. Гипероктант, не являющийся безусловным для данного базиса, называется условным.

Базис в банаховом пространстве называется усиленно условным, если для этого базиса все гипероктаны условны. По определению всякий усиленно условный базис является условным. Известны примеры условных, но не усиленно условных базисов. В [6] В.М. Кадец и М.М. Попов доказали, что с.Х. образует усиленно условный базис в пространстве Ь\.

В предлагаемой работе доказано, что в любом сепарабельном гл. пространстве с.Х. является либо безусловным, либо усиленно условным базисом.

Теорема 3.2. Если с.Х. образует условный базис в сепарабельном гл. пространстве Е, то с.Х. есть усиленно условный базис в Е. Из теоремы 3.2 как следствие вытекает

Теорема 3.3. Для того чтобы с.Х. была усиленно условным базисом в сепарабельном гл. пространстве Е необходимо и достаточно, чтобы аЕ- 0 или ¡3Е = 1.

Следующая теорема описывает еще одно базисное свойство с.Х. в пространствах Лоренца.

Теорема 3.4. Пусть ере Ф. Для того, чтобы

Нт т-> <х> т I

Ж

I 00 равномерно по 1 <пх<пг<. <пт необходимо и достаточно, чтобы

1- ■ г<р(2*) <Р(2 О шшш —> 1, птзир—< 2. ср^) (р[г)

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: [14], [16]—[19]. Из совместных работ [14] и [16] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие автору.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, старшему научному сотруднику И .Я. Новикову, а также доктору физико-математических наук, профессору Е.М. Семенову, оказавшим существенную помощь и поддержку в работе над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Уксусов, Сергей Николаевич, 2006 год

1. Берг И. Интерполяционные пространства. Введение / И. Берг, И. Леф-стрем. -М.: Мир, 1980.-264 с.

2. Брыскин И.Б. Мультипликаторы рядов Фурье - Хаара / И.Б. Брыскин, О.В. Лелонд, Е.М. Семенов // Сиб. мат. журн. - 2000. - Т.41, №4. - С. 758-766.

3. Бирман М.Ш. Функциональный анализ / М.Ш. Бирман и др.; под общ. ред. С.Г. Крейна. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1972. -544 с.

4. Голубов Б.И. Ряды Фурье по системе Хаара / Б.И. Голубов // Математический анализ. - М.: ВИНИТИ, 1971. - С. 109-146. (Итоги науки).

5. Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2-х т. / А. Зигмунд; пер. с англ. - М.: Мир, 1965. - Т.2. - 537 с.

6. Кадец В.М. О базисах Шаудера, условных в каждом гипероктанте / В.М. Кадец, М.М. Попов // Сиб. мат. журн. - 1987. - Т.ХХУШ, №1. - С. 115-118.

7. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Аки-лов. - 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1977. - 742 с.

8. Кашин Б.С. Ортогональные ряды / Б.С. Кашин, А.Л. Саакян. - М.: Наука, 1984.-496 с.

9. Ким Ю.Е. Об одном типе мультипликаторов в симметричных пространствах / Ю.Е. Ким // Мера и интеграл : межвуз. сб. научн. ст. - Самара, 1995.-С. 35-42.

10. Красносельский М.А. Выпуклые функции и пространства Орлича / М.А. Красносельский, Я.Б. Рутицкий. - М.: Физматгиз, 1958. - 271 с.П.Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунии, Е.М. Семенов. - М.: Наука, 1978. - 400 с.

11. Кротов В.Г. О безусловной сходимости рядов Хаара в Арю / В.Г. Кротов// Мат. заметки. - 1978. - т.5, №23. - С. 685-695.

12. Лелонд О.В. Мультипликаторы рядов Фурье - Хаара в пространствах Лоренца / О.В. Лелонд // Проблемы математического образования и культуры : сб. тез. международн. научн. конф. - Тольятти, 2003. - С. 18-19.

13. Лелонд О.В. Пространство мультипликаторов Фурье - Хаара / О.В. Лелонд, Е.М. Семенов, С.Н. Уксусов // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т.46, №1. -С. 130-138.

14. Новиков И.Я. Последовательности характеристических функций в симметричных пространствах / И.Я. Новиков // Сиб. мат. журн. - 1983. - Т.24, №2. - С. 193-196.

15. Семенов Е.М. Мультипликаторы Фурье - Хаара / Е.М. Семенов, С.Н. Уксусов // Ряды Фурье и их приложения : сб. тез. III междунар. симп. -Ростов-на-Дону, 2005. - С. 32-33.

16. Уксусов С.Н. Мультипликаторы Фурье - Хаара в пространствах Лоренца / С.Н. Уксусов // Ряды Фурье и их приложения : сб. тез. IV междунар. симп. - Ростов-на-Дону, 2006. - С. 52-53.

17. Уксусов С.Н. Ограниченность мультипликаторов в симметричных пространствах / С.Н. Уксусов // Воронежская зимняя мат. школа : тез. докл. -Воронеж: ВорГУ, 2006.-С. 100-101.

18. Уксусов С.Н. Проекторы на подсистему Хаара / С.Н. Уксусов // Совр. проблемы прикл. математики и мат. моделирования : сб. тез. междунар. научн. конф. - Воронеж, 2005. - С. 227.

19. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде; пер. с англ. - М.: Мир, 1969. - 1072 с.

20. Burkholder D.L. A nonlinear partial differential equation and unconditional constant of the Haar system in Lp / D.L. Burkholder 11 Bull. Amer. Math. Soc. - 1982. - №7. - P. 591-595.

21. Carothers N.L. Geometry of Lorentz spaces via interpolation / N.L. Carothers, S.J. Dilworth // Functional analysis. Proc. 4th Annu. Semin., Austin / TX (USA), 1985-86. Austin, TX : University of Texas, 1986. - P. 107-133.

22. Carothers N.L. Isometries on LPt\ / N.L. Carothers, B. Tureet 11 Transaction of the Amer. Math. Soc. - 1986. - Vol. 297, №1. - P. 95-103.

23. Creekmore J. Type and cotype in Lorentz Lp>q spaces / J. Creekmore 11 In-dag. Math. (N.S.) - 1981. - Vol. 43, №2. - P. 145-152.

24. Hunt R.A. On L(p, q) spaces / R.A. Hunt 11L' Enseignement Math. - 1966. -№12.-P. 249-276.

25. Lindenstrauss J. Classical Banach Spaces I. Seguence Spaces / J. Linden-strauss, L. Tzafriri. - Berlin : Springer-Verlag, 1977. - 190 pp.

26. Lindenstrauss J. Classical Banach Spaces II. Function Spaces / J. Linden-strauss, L. Tzafriri. - Berlin : Springer-Verlag, 1979. - 243 pp.

27. Luxemburg W.A. Banach Function Spaces / W.A. Luxemburg. - Van Gor-cum and C. Assen, 1955.-70 pp.

28. Novikov I. Haar series and linear operators / I. Novikov, E. Semenov // Dordrecht: Cluver Acad. Publ. - 1997. - 218 pp.

29. Yano S. On a lemma ofMarcinkiewicz and its applications to Fourier series / S. Yano // Tohoku Math. J. - 1959. - №11. - P. 195-215.