Надгруппы нерасщепимого максимального тора, содержащие одномерное преобразование, в полной линейной группе над полем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Джусоева, Нонна Анатольевна

• Джусоева, Нонна Анатольевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Джусоева, Нонна Анатольевна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

ГЛАВА 1. Элементарные трансвекции в надгруппах нерас-щепимого максимального тора, содержащих одномерное преобразование

§1.1. Общая постановка задачи

§1.2. Факторизация

§1.3. Нормализатор полной линейной группы, связанной с промежуточным подполем

§1.4. Сети и сетевые группы

§1.5. Поведение трансвекций и связанных с ними элементов в промежуточных подгруппах

§1.6. Подгруппа с одномерным преобразованием содержит трансвекцию

§1.7. Техника извлечения элементарных трансвекций 34 §1.8. Трансвекции в надгруппах нерасщепимого тора 35 ГЛАВА 2. Исследование структуры подгрупп (содержащих одномерное преобразование) полной линейной группы к),

содержащих нерасщепимый максимальный тор

§2.1. Свойства матриц тора в случае произвольного

базиса конечного расширения

§2.2. Тор, связанный с радикальным расширением основного поля

§2.3. Кольца множителей и модули трансвекций промежуточной подгруппы

§2.4. Описание сетевых колец, нормализуемых тором 47 §2.5. Сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с тором

§2.6. Сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с промежуточной подгруппой

§2.7. Включение в нормализатор (случай, когда все модули трансвекций первого столбца совпадают с кольцом Я, Яо С Я)

§2.8. Нормализатор элементарной группы (случай произвольной сети)

ГЛАВА 3. Максимальные подгруппы (не содержащие 5Х(?г, к)) полной линейной группы С1/(п, /с), содержащие нерасщепи-

мый максимальный тор

§3.1. Факториальные кольца. Постановка задачи

нерасщепимый тор

§3.3. Построение максимальных промежуточных подгрупп, не содержащих 5Х(п, к)

Литература

Обозначения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Надгруппы нерасщепимого максимального тора, содержащие одномерное преобразование, в полной линейной группе над полем»

Введение

Одним из важнейших, перспективных и интенсивно развивающихся разделов современной алгебры является теория линейных групп. Теория линейных групп имеет связи с такими областями, как общая теория групп, теория колец, теория чисел, группы Шевалле и др. Линейные группы изучаются как абстрактные группы, как алгебраические группы, как группы матриц и т. д. Большое количество работ посвящено таким вопросам, как задание образующими и соотношениями, группы, порожденные элементами специального вида (например, трансвекциями и отражениями), представление, изоморфизмы, максимальные подгруппы. Наша работа связана с изучением расположения подгрупп в линейных группах, точнее, с направлением, в котором изучаются подгруппы линейной группы, содержащие фиксированную подгруппу. Перечислим некоторые результаты этого направления.

Классическим результатом этого направления является описание параболических подгрупп, полученное Ж. Титсом. Далее, в 1965 г. в классической работе Бореля — Титса [72] были изучены связные алгебраические подгруппы в редуктивной группе над алгебраически замкнутым полем к. В частности, из проведенных ими исследований вытекало описание алгебраических подгрупп полной линейной группы С = СЬ(п,/с), содержащих группу диагональных матриц -0(п, к) (для алгебраически замкнутого поля к). Этот результат Бореля — Титса был значительно усилен 3. И. Бореви-чем [9] в 1976 г.

Выделим цикл работ (Н. С. Романовский, 3. И. Боревич, Р. А. Шмидт. Я. Н. Нужин), посвященных описанию подгрупп, промежуточных между группой над кольцом и подкольцом (см. [10, 61-63, 65, 70 ]). Отметим, что в работе Я. Н. Нужина [61] описаны промежуточные подгруппы всех групп лиева типа, когда основное поле является алгебраическим расширением меньшего. В серии работ [24, 64. 75, 82] изучались максимальные подгруппы в линейных группах и группах Шевалле.

Следует отметить значительный вклад в развитие теории расположения

подгрупп ленинградской-петербургской алгебраической школы (3. И. Бо-ревич, Н. А. Вавилов и их ученики). На протяжении многих лет усилиями этой алгебраической школы была развита техника и методика исследований подгрупп линейных групп, содержащих фиксированную подгруппу. Именно с этими исследованиями и методиками тесно связаны результаты нашей работы. Основой исследований подгрупп линейных групп, содержащих диагональную подгруппу, явилась известная работа 3. И. Бореви-ча [9], в которой было дано описание подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих группу диагональных матриц. Оказалось, что для любого поля к все промежуточные подгруппы H, D = D(n, к) ^ H ^ GL(n: к) — G, являются алгебраическими, решетка Lat(D, G) всех промежуточных подгрупп конечна и эта решетка не зависит от поля /с, если только число элементов в к не менее семи (случаи полей из 3,4 и 5 элементов были рассмотрены В. А. Койбаевым (см., например, [45, 46])). В дальнейшем, в работах З.И.Боревича и Н.А.Вавилова (см., например, [11. 12, 21]) этот результат был перенесен на полулокальные кольца. Основным результатом этих исследований явилось стандартное описание промежуточных подгрупп. А именно, всякой подгруппе полной линейной группы G — GL(n,R), содержащей группу диагональных матриц, однозначно соответствует сеть (ковер, см. [10, 43, 58]) идеалов о = (аг]) над кольцом R такая, что G (а) ^ H ^ N(cr), где N(a) - нормализатор сетевой группы G (а) в полной линейной группе G.

Цикл работ Н. А. Вавилова, Е. В. Дыбковой, С. JI. Крупецкого посвящен описанию надгрупп расщепимого максимального тора в ортогональной, симплектической и унитарной группах (см, например, [27, 57]).

Отметим обобщающий результат Н. А. Вавилова [22], в котором дается описание подгрупп расширенных групп Шевалле, содержащих максимальный расщепимый тор над полем к с числом элементов не менее семи элементов.

Описанию подгрупп линейных групп, содержащих группу клеточно-диагональных матриц, посвящены работы 3. И. Боревича, Н. А. Вавилова, Н. С. Романовского, С. JI. Крупецкого и В. А. Койбаева (см., например,

[13, 14, 15, 26, 44, 66]).

Первый шаг в решении проблемы описания надгрупп максимального тора в группах Шевалле сделал Г. Зейтц [87, 90], который это описание получил для групп Шевалле над конечным полем из д элементов, д > 11 (при этом в случае максимального расщепимого тора предполагается, что д нечетно [87], а в случае произвольного тора — характеристика поляр > 5 [90]).

Подгруппы специальной линейной группы 5Х(п, Я) над полем Д, содержащие группу диагональных матриц в И (п. Я) были описаны при п ^ 3 в серии работ Н. А. Вавилова [23] 1-1V . Было установлено стандартное описание для случаев, когда Я = К - поле, содержащее не менее семи элементов, а также когда Я - коммутативное полулокальное кольцо и каждое его поле вычетов содержит не менее Зп + 2 элементов. Базисными подгруппами стандартного описания в этом случае служат группы С(сг)п5Х(п, Я). Как показано в работах В.А.Койбаева [45, 46] в случае полей из четырех и пяти элементов можно также говорить о стандартном описании решетки промежуточных подгрупп. Отметим отдельно, что достаточно сложный случай решетки подгрупп специальной линейной группы второго порядка над полем (нечетной характеристики и содержащим не менее 13 элементов), содержащих группу диагональных матриц был рассмотрен О.Кингом [83], который доказал стандартность указанной решетки. Особо отметим, наконец, цикл работ Н. А. Вавилова (см., например, [23, 25]), где задача описания надгрупп расщепимого максимального тора решается для групп Шевалле всех типов над полями, содержащими не менее семи элементов.

Исследование надгрупп нерасщепимого тора является, на наш взгляд, значительно более сложной, задачей. В настоящей работе мы концентрируем внимание на исследовании промежуточных подгрупп полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор, связанный с расширением основного поля (минизотропный тор). В более общей постановке эта задача (связанная по классификации Ашбахера с надгруппами класса Сз) может быть сформулирована следующим образом. Пусть К/к — конечное расширение полей степени га, V — векторное пространство раз-

мерности п над полем К (и размерности тп над к), тогда, очевидно (нелинейное отображение является /с-линейным), СЬк(У) < СЬ^У), или в матричной форме СЬ(п,К) < СЬ(тп,/с). Заметим, что при п — 1 группа СЬ{\,К) = К* является нерасгцепимым максимальным тором. Сформулируем результат, принадлежащий Ли Шанчжы [84], который сводит рассматриваемую задачу к нерасщепимому тору. Пусть п > 3, тогда для всякой промежуточной подгруппы Н,

БЬ^п, К) < Н < СЬ(тп, /с) = С, найдется единственное промежуточное подполе к < Ь < К, [К : Ь] = с1 так, что подгруппа Н заключена между группой I/) и ее нормализатором в С. В случае п = 2, к ^ Рг, возникает еще одна серия промежуточных подгрупп, а именно, группы Бр{2(1, Ь), для всех промежуточных полей Ь,к < Ь < К, [НС : Ь] = (1.

Отметим, что для случая конечного поля Роджер Дай [76-78] описал надгруппы СЬ(п, К) в СЬ(пт, к) в предположении п > 1.

К настоящему времени полное описание надгрупп нерасщепимого тора получено лишь для некоторых специальных полей таких, как конечные или локальные. Для конечных полей это работы У. Кантора, Г. Зейтца и Р. Дая [76-78, 80, 87, 90], в которых получены окончательные результаты для полей (характеристики не равной 2 и 3), содержащих не менее 13 элементов. Отметим, что в работах Г. Зейтца получено описание подгрупп конечных групп Шевалле, содержащих произвольный максимальный тор. Вопросы классификации торов рассмотрены в [81]. Важные результаты о надгруппах нерасщепимого тора для локальных и глобальных полей получены В. П. Платоновым [86]. В случае поля вещественных чисел К надгруппы максимального тора замкнуты в вещественной топологии и, в частности, имеется только конечное число промежуточных подгрупп [74, 86].

В отличие от конечных полей в случае бесконечных полей расположение надгрупп нерасщепимого тора определяется некоторым классом подколец основного поля. А именно, определяется некоторое наименьшее кольцо Яо основного поля к так, что расположение всякой подгруппы, содержащей нерасщепимый тор, фиксируется элементарной сетевой группой, построенной (сетью идеалов) над промежуточным кольцом Я, Яо < Я < к.

На примере работ [4-6, 18, 39, 48, 49] покажем как выглядит кольцо До в случае группы Если к — локальное числовое поле (конечное

расширение поля р-адических чисел, р ^ 2), а тор определяется нераз-ветвленным квадратичным расширением поля /с, то кольцо До совпадает с кольцом целых элементов нормализованного нормирования поля к (в этом случае мы имеем счетное число промежуточных подгрупп). В случае глобальных полей картина сложнее. Если к = (Ц) — поле рациональных чисел (тор определяется квадратичным расширением , с? — целое рацио-

нальное, свободное от квадратов), то кольцо Д о состоит из всех рациональных чисел, в знаменатели которых (в несократимой записи) входят только те простые числа, по модулю которых с1 является квадратичным вычетом. Таким образом, в случае поля рациональных чисел в группе СЬ(2, (О)) имеется континуум надгрупп нерасщепимого тора. Если же к — ^(¿) — поле рациональных функций (с коэффициентами из конечного пoляFg нечетной характеристики), а тор определяется квадратичным расширением к{-^ДГ). где /1 — неквадрат поля Fg, то кольцо До совпадает с множеством всех (полуправильных) рациональных дробей с^(/) < знаменатели

которых являются произведением неприводимых многочленов над полем F9 четной степени (континуум промежуточных подгрупп).

Отметим, что для более подробного ознакомления с проблематикой мы рекомендуем обзоры А.Е. Залесского [40-42], А. С. Кондратьева [55],

A. С. Кондратьева, А. А. Махнева, А. И. Старостина [56], Н. А. Вавилова,

B. В. Нестерова , А. В. Степанова [25, 28, 29, 30, 94, 95].

Настоящая работа посвящена исследованию подгрупп (содержащих одномерное преобразование) полной линейной группы СЬ(п, £;), содержащих нерасщепимый максимальный тор, связанный с радикальным расширением степени п поля к.

Сформулируем основные результаты диссертации:

- определены модули трансвекций и кольца множителей промежуточной подгруппы; доказано, что все кольца множителей совпадают между собой, а модуль трансвекций является целым идеалом кольца множителей:

- получены необходимые и достаточные условия нормализуемости сете-

вого кольца тором;

- определены сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с промежуточной подгруппой;

- доказана структурная теорема о включение промежуточной подгруппы в нормализатор элементарной сетевой группы для случая, когда все модули трансвекций (первого столбца) промежуточной подгруппы совпадают с кольцом;

- вычисляется нормализатор элементарной группы в полной линейной группе;

- строятся максимальные нетривиальные (не содержащие специальную линейную группу) подгруппы полной линейной группы, содержащие нерас-щепимый максимальный тор.

Содержание диссертации распределено по трем главам.

В первой главе, которая носит предварительный характер, рассматриваются общие вопросы расположения подгрупп полной линейной группы С = СЬ(п,/с), содержащих нерасщепимый максимальный тор Т — Т(с?), связанный с расширением К степени п основного поля к. В §1.1 рассматривается общая постановка задачи, в §1.2 — факторизация промежуточных подгрупп. В §1.3 вычисляется нормализатор подгруппы, связанной с промежуточным подполем, в частности, нормализатор тора. В §1.4 напоминается определение сети и сетевой группы. Однако основное внимание в этой главе уделено надгруппам нерасщепимого максимального тора, содержащим одномерное преобразование. Излагаются в основном технические результаты (§1.5-1.6), касающиеся свойств матричного представления максимального тора, а также свойств одномерных преобразований, содержащихся в промежуточной подгруппе. Представляется также техника извлечения элементарных трансвекций (§1.7) в промежуточных подгруппах, содержащих одномерное преобразование. Эти результаты мы будем использовать в дальнейшей нашей работе. В §1.8 доказывается (теорема 1.8.2), что в случае простого (в частности, радикального) расширения степени п основного поля всякая промежуточная подгруппа, содержащая одномерное преобразование, содержит элементарную трансвекцию на каждой позиции

(г, Л 1 <ъфз<п.

Основные результаты получены во второй и третьей главах.

Во второй главе проводится исследование структуры подгрупп Н (содержащих одномерное преобразование) полной линейной группы С = СЬ(п, к) порядка п над полем /с, содержащих нерасщепимый максимальный тор Т = Т{(£). В силу результатов (теоремы 1.8.1 и 1.8.2) §1.8 главы 1, мы можем считать, что каждая такая промежуточная подгруппа Н "богата трансвекциями". А именно, для любых г ф € Н для

некоторого £ Е к, £ ф 0. Далее, на протяжении всей главы в качестве поля к, сНагк ф 2, мы рассматриваем либо произвольное поле, либо поле, которое является полем частных области главных идеалов Л, причем все промежуточные подкольца Я. А С Я С /с, также являются кольцами главных идеалов, (все эти условия выполняются, например, когда к — ((])). В последнем случае поле мы обозначаем через Е, к = Е. В дальнейшем, если в качестве поля мы рассматриваем поле Е, то мы считаем, что (1 = Р1Р2---Рт — произведение попарно различных (неассоциированных) простых элементов рг Е А, (1 Е А.

В §2.1 рассматриваются свойства матриц тора для случая произвольного расширения основного поля. §2.2 посвящен общей постановке задачи, а также построению матриц С{х) (которыми мы пользуемся на протяжении всей работы) тора Т = Т(ё) для случая радикального расширения основного поля.

Пусть хп — с1 — неприводимый многочлен степени п над полем к, <1 Е к. Тогда ег = вг~\1 < г < п, образует базис радикального расширения

поля К = к (в) над к. Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор Т = Т(с^), который является образом мульти-пликативнои группы поля

К*—> АЫк(К), г—

при регулярном вложении в С = АиЬк{К) ~ С1/(п. к), где Ь{а) = Ьа а Е

К. Таким образом, матрица отображения £ в выбранном базисе имеет вид

С(х) =

(

00{¿Х^

х2 XI

(1X2 (1X2,

\^хп хп^1 . . . х\ у

Следовательно, в выбранном базисе тор Т = Т{в) определяется как матричная группа

Т = Т{(1) = {С(х) :хекп\ 0}.

Для элементов матрицы С(х), определенной для произвольного вектора х = (а?!,..., хп) справедлива формула

2-1+1—^)

3 < ц

с1хт

В параграфе 2.3 для промежуточной подгруппы, содержащей тор Т, мы определяем модули трансвекций

А3 = А3{Н) = {аек: Ьгз(а) Е Я},

и их кольца множителей

Ду = Ду(Я) = Кгз(Агз) = {Хек: ХАгз С А13}.

(как было отмечено ранее, всякая такая промежуточная подгруппа Н с одномерным преобразованием "богата трансвекциями"). Получена формула выражения произвольного модуля трансвекций через модули трансвекций первого столбца (3.1.1). В случае, когда основное поле к совпадает с полем £ все кольца множителей совпадают между собой.

Теорема 2.3.1. Положим Аг = А%\ = Аг\(Н), г = 2,..., п. Тогда 1) Имеет место формула

Агз —

причем А\ С Аз, А2А3 С А4,

Аг+\-3, 3<Ц

(1Ап+г+1^3, у > г,

А2А-\ С Ап, <1А\ С Ап_1. И

2) Пусть к = Е, причем Л С Ягз С Е . Тогда все кольца множителей совпадают между собой: Ягз = Я, г ф 3, причем Аг] — целый идеал кольца Я, 1 < г, .7 < п, г ±

Пусть а — (агз) — сеть аддитивных подгрупп поля к, сггз <к+, 1 < г, з < п, М(сг) — соответствующее сетевое кольцо:

В параграфе §2.4 мы формулируем необходимые и достаточные условия на сеть сг, для которой соответствующее сетевое кольцо М(а) нормализуется тором Т = Т{в).

Определим кольцо До, которое играет важную роль при решении нашей задачи, а также при описании промежуточных подгрупп, содержащих нерасщепимый тор.

Напомним, что каждым ненулевым вектором х = х — (х\. Х2, ■ ■ ■, хп) е кп\ 0 связана невырожденная матрица С(х). С каждой матрицей С = С(х) = (сгз) связана обратная матрица С-1 = С (у) = (с' ), у = у — (у!,...,уп) Е кп, где уг = \с{х)\' пРичем Сь ~ алгебраическое дополнение элемента с\г матрицы С = С(х).

В работе рассматривается унитальное подкольцо До = Д(^) поля к, порожденное элементами хгу3, (1хгу8\

До = Я(ё) = {хгу3, <1хгу3: I + у < п + + в > п + х Е кп\ б).

Теорема 2.4.8. Пусть к = Е, причем А С Ягз С Е . Пусть, далее, о = (сггз) — сеть аддитивных подгрупп поля к. Следующие условия эквивалентны:

1) Тор Т — Т(с1) нормализует сетевое кольцо М(сг);

2) Для сети а — (а%3) справедлива формула

М(сг) = {а — (агз): агз Е огз].

Аг+1-3, з < г;

^Ап^г+\-3. з > г.

&Ап С Аг С А2 С • • • С А 12

причем для любого г, 1 < г < п, Аг — целый идеал кольца Л. содержащего подкольцо До-

Замечание. Импликация 2) 1) справедлива для произвольного поля

к.

В §2.5 и §2.6 строятся сети и элементарные сетевые группы, ассоциированные с тором и с промежуточной подгруппой Н, Т = Т(с?) < Н < С = СЬ(п,к). В основе этих понятий лежат сети следующего вида. Пусть Д — унитальное подкольцо поля к, содержащее кольцо До = Д(с(), ^ £ До-Пусть, далее, Ах, ..., Ап — идеалы кольца Д, причем

ах с ••■ с Ап, &Ап с ах.

Через о — (агз) = сг(Ах, А2,..., Ап) мы обозначаем сеть идеалов, определенную следующим образом

[ Аг+1_3, у < Ц [ (1Ап+г+] >г + 1.

Так определенную сеть идеалов, удовлетворяющих включениям (приведенным выше), мы называем сетью, ассоциированной с тором Т = Т(д). Подгруппу Е(а), порожденную всеми (не обязательно элементарными) транс-векциями из С(сг), мы называем элементарной сетевой подгруппой ассоциированной с тором Т. Из теоремы 2.4.8 следует, что тор Т — Т(в) нормализует подгруппу Е(а), а потому ТЕ (а) является промежуточной подгруппой Предложение 2.5.3. Группа ТЕ {а) порождается тором Т и корневыми подгруппами:

ТЕ{а) = {ТМ{А1):2<г<п). Более точно, всякая трансвекция из Е(а) имеет вид

С{х)Ь21{а2)Ьз1(а3)... £п1 (ап)С~1{х)

для некоторых С(х) 6 Т, аг Е Аг.

Далее (§2.6) определяются сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с промежуточной подгруппой Н, Т — Т{ё) < Н < С =

СЬ(п,к). С промежуточной подгруппой Н) содержащей трансвекцию связаны модули трансвекций А%3 — Агз(Н), г ф 3, и их кольца множителей Я%3 ~ Ягз(Н) (см.выше) Очевидно, что Ач являются подгруппами аддитивной группы к+ поля к (Яу-модули). Положим Аг — Аг 1,2 < г < п. Тогда (2.3.1) справедлива формула

Мы будем предполагать (это так, например при к = Е, см. 2.3.1), далее, что все кольца Ягз совпадают между собой и равны кольцу Я, А% — целые идеалы кольца Я, <1 Е Я, Я Э До- Тогда (опираясь на (2.4.8)) мы предполагаем, что

Определение. Положим А\ = с1Ап. Сеть а — (агз) = (у(А\, А2,..., Ап), определенная формулой (*), мы называем сетью, ассоциированную с подгруппой Н, а соответствующую элементарную сетевую группу Е(а) — элементарной сетевой группой, ассоциированной с промежуточной подгруппой

Из теоремы 2.4.8 следует, что ТЕ(а)— группа (подгруппа группы Н).

Мотивировка названий "сеть, ассоциированная с промежуточной подгруппой Н и элементарная сетевая группа, ассоциированная с промежуточной подгруппой Н" вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2.6.2. Если а — сеть, ассоциированная с промежуточной подгруппой Н, то ТЕ(сг) < Н и Е{р) — наибольшая элементарная сетевая подгруппа (нормализуемая тором), содержащаяся в Н.

§2.7 посвящен исследованию структуры подгрупп Н полной линейной группы С? = СЬ(п, к), содержащих нерасщепимый максимальный тор Т = Т{ё). для случая, когда все модули трансвекций первого столбца (подгруппы Н) совпадают с кольцом Я. До Я. Сформулируем основной результат этого параграфа. Пусть Я — промежуточное подкольцо, До С Д С к. с1 Е Д. Через сгд обозначим сеть, у которой на главной диагонали и выше стоит идеал (Ш. а ниже диагонали - Я, а через ая — сеть, у которой

А

А+1-^5 3 < ц 3>ъ + 1.

А2 с ••• с Ап, <1Ап с А2.

н.

на главной диагонали и ниже стоит R, а выше — dR:

or =

dR dR R dR

dR dR

R R

dR

/

<7* =

R dR R R

dR dR

R R

R

\Jt Jt ■ ■ / v1" " ■ ■ JV

Теорема 2.7.1. Пусть H — подгруппа полной линейной группы G = GL(n, /с), содержащая нерасщепимый максимальный тор Т — T(d). Предположим, что сеть <т, ассоциированная с подгруппой Н, совпадает с сетью 0"д. Тогда TE(or) — группа и справедливы включения

TE{gr) <Н< N(aR),

где N{aR) = Ng(E{gr)) — нормализатор элементарной сетевой подгруппы Е(ая) в группе G = GL(n,k). Для нормализатора N(ctr) справедливо равенство

N(aR) = TG(aR).

Предположим, что для сети сг, ассоциированной с промежуточной подгруппой Н, выполняются равенства

А2 = --- = АП = А,

где А — идеал кольца Ä, R Э R0. Соответствующую сеть мы обозначаем через а а- Таким образом, у сети а а на главной диагонали и выше стоит идеал dA, а ниже диагонали - идеал А

dA dA А dA

dA dA

\

А А

dA

/

Следующая теорема носит структурный характер.

Теорема 2.Т.7. Пусть Н — промежуточная подгруппа, причем сеть ассоциированная с подгруппой Н совпадает с сетью и а-, А — идеал униталь-ного кольца R, Ro С R. Предположим, что выполнено одно из следующих трех условий:

(а) к = £;

(б) А = Я;

(в) ¿еЯ*

Тогда имеет место формула

[[Н,Е(аА)],Е(аА)}<Е(аА).

В § 2.8 для сети о (ассоциированной с тором), рассмотренной в § 2.5, мы вычисляем нормализатор №(сг) — Мс(Е(а)) элементарной группы Е{а) в С = СЬ(п,к). Итак, мы рассматриваем сеть

/ Ах ¿Ап (Мп_х • • • <2А2\

а —

А2 Аз

с1Ап А1

<1АЪ

\Ап ап_х ап_2 • • • Ах ] где А{ — сггх, г = 1, 2,..., п, аг - идеал кольца я, яо С я С /с, причем

ах с а2 с • • • с Ап, ¿Ап с Ах.

Теорема 2.8.4. Пусть к = Е. Тогда нормализатор А^(сг) элементарной сетевой группы Е{а) совпадает с группой ТС(сгд) : N((1) = ТС(сгЛ).

В третьей главе строятся максимальные подгруппы (не содержащие ЗЬ(п,к)) полной линейной группы СЬ(п,к), содержащие нерасщепимый максимальный тор Т = Т(в). При этом мы предполагаем, что к — поле частных целостного факториальнеого кольца Я (кольца с однозначным разложением на простые множители); о? £ Я, причем = р1р2...рт — произведение попарно различных (неассоциированных) простых элементов Рг е Я.

Пусть р — простой делитель элемента (I, с? £ Я. Мы рассматриваем кольцо Я(р) всех р-целых элементов поля к (то есть всех дробей у которых Ь взаимно просто с р).

Теорема 3.3.6. Пусть р — простой делитель элемента Тогда для сети

Ог

(

О г

Щр) ЩР)

¿Щр) йЩр)

1(р) ... Щр) у

группа Нр = Т • С (сгр) является максимальной нетривиальной (не содержащей БЬ (п, к)) подгруппой полной линейной группы С = О; (п, к), содержащей тор Т.

Следствие 3.3.7. Для всякого простого числа р группа Т(р)С(ар) является максимальной нетривиальной (не содержащей к)) подгруппой полной линейной группы СЬ(п, к).

ГЛАВА 1. Элементарные трансвекции в надгруппах нерасщепимого максимального тора, содержащих одномерное

преобразование

В этой главе, которая носит предварительный характер, рассматриваются общие вопросы расположения подгрупп полной линейной группы С = СЬ(п,к), содержащих нерасщепимый максимальный тор Т — связанный с расширением К степени п основного поля к. Рассматриваются общая постановка задачи, факторизация промежуточных подгрупп, нормализатор подгруппы, связанной с промежуточным подполем, в частности, нормализатор тора. Однако основное внимание в этой главе уделено надгруппам нерасщепимого максимального тора, содержащим одномерное преобразование. Излагаются в основном технические результаты (полученные в [52]), касающиеся свойств матричного представления максимального тора, а также свойств одномерных преобразований, содержащихся в промежуточной подгруппе. Представляется также техника извлечения элементарных трансвекций в промежуточных подгруппах, содержащих одномерное преобразование. Эти результаты мы будем использовать в дальнейшей нашей работе. Доказывается (теорема 1.8.2), что в случае простого (в частности, радикального) расширения степени п основного поля всякая промежуточная подгруппа, содержащая одномерное преобразование, содержит элементарную трансвекцию на каждой позиции {ьз)-> 1 5: 2 ф ] < п. Основные результаты этой главы получены в работах З.И.Боревича, В.А.Койбаева, Чан Нгок Хоя, А.В.Шилова [10], [18],[50], [52], [54], [67].

§1.1. Общая постановка задачи

Пусть к — поле, К/к — конечное расширение степени п. Имеет место регулярное вложение мультипликативной группы К* поля К в группу С? = СЬк(К) — АиЬь{К) всех /¿-линейных обратимых отображений поля К

К* —> Аигк(К), а —► а, 18

где а(х) — ах, х е К. Образ К* при этом вложении обозначается через Т — Т(К) = Т(К/к) и называется нерасщепимым максимальным тором, соответствующим расширению К/к. Очевидно, что Т(К/к) = АЫк(К) С точки зрения теории алгебраических групп эта группа является примером минизотропного тора. Как мы увидим ниже Т(К) — максимальная абеле-ва подгруппа в группе (7 = СЬ^{К). Очевидно, что если зафиксировать базис поля К над к, то группе СЬь(К) — АиЬк(К) соответствует полная линейная группа С = СЬ(п,к), а тору Т(К) некоторая матричная группа, которую мы также обозначаем через Т. Таким образом, мы получили задачу изучения решетки подгрупп ЬаЬ(Т, СЬ^{К)), или в матричной форме ЬаЬ{Т, С). Эта задача в целом представляется чрезвычайно сложной. В данной главе излагаются результаты, посвященные этому общему случаю.

Представим теперь терминологию, связанную с торами, предложенную 3. И. Боревичем, которая отличается от общепринятой в теории алгебраических групп. Тором в полной линейной группе С1/(п. к) называется ее алгебраическая подгруппа, изоморфная группе диагональных матриц В(т,Ь) для некоторого конечного расширения Ь поля к. Тор называется расщепимым над к, если он изоморфен некоторой подгруппе клеточно-диагональных матриц в к) (с числом клеток > 2). В противном слу-

чае тор называется нерасщепимым. Тор называется вполне расщепимым, если он изоморфен группе диагональных матриц 0(п,к) (в общепринятой терминологии — это расщепимый тор. а все остальные торы принято называть нерасщепимыми). Тор называется максимальным, если он не является собственной подгруппой никакого другого тора в к). В заключение этого параграфа мы покажем, что в смысле этой терминологии тор Т = Т(К), определенный в начале параграфа, как легко видеть, является нерасщепимым максимальным тором.

Рассмотрим разложение /с-линейного пространства К в прямую сумму ненулевых подпространств: К = Ь\ ® Тогда подгруппа

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Джусоева, Нонна Анатольевна, 2013 год

Литература

[1] Аль Хамад А. X., Бондаренко А. А., Боревич 3. И., Нормализатор группы «диагональных» автоморфизмов в алгебрах над коммутативным кольцом, Зап. науч. семинаров ПОМИ 191 (1991), 5-8.

[2] Артин Э. Геометрическая алгебра, М: Наука, 1969.—285 с.

[3] Ба М. С., Боревич 3. И. О расположении промежуточных подгрупп. Кольца и линейные группы, Сб. науч. трудов,—Краснодар, 1988.—С. 1441.

[4] Бондаренко А. А. Расположение подгрупп, содержащих неразветв-ленный квадратичный тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем (р ф 2), Зап. науч. семинаров ПОМИ 211 (1994), 67-79.

[5] Бонадаренко А. А. Расположение подгрупп, содержащих неразветв-ленный квадратичный тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем (р = 2), Зап. науч. семинаров ПОМИ 211 (1994), 80-90.

[6] Бондаренко А. А. Расположение подгрупп, содержащих разветвленный квадратичный тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем (р ф 2), Вестн. СПбГУ 22 (1993), №1, 7-15.

[7] Боревич 3. И. О параболических подгруппах в линейных группах над полулокальным кольцом, Вест. ЛГУ 13 (1976), 16-24.

[8] Боревич 3. И. О параболических подгруппах в специальной линейной группе над полулокальным кольцом, Вестн. ЛГУ 19 (1976), 29-34.

[9] Боревич 3. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц, Зап. науч. семинаров ЛОМИ 64 (1976), 12-29.

[10] Боревич 3. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекция-ми, Зап. науч. семинаров ЛОМИ 75 (1978), 22-31.

[11] Боревич 3. И., Вавилов Н. А. О подгруппах полной линейной группы над полулокальным кольцом, Зап. науч. семинаров ЛОМИ 75 (1978), 32-34.

[12] Боревич 3. И., Вавилов Н. А. Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных матриц Тр. мат. ин-та АН СССР 148 (1978), 43-57.

[13] Боревич 3. И., Вавилов Н. А. О подгруппах полной линейной группы над коммутативным кольцом, Докл. АН СССР 267 (1982), № 4, 777778.

[14] Боревич 3. И., Вавилов Н. А. Расположение подгрупп, содержащих группу клеточно-диагональных матриц, в полной линейной группе над кольцом, Изв. вузов 11 (1982), № 11, 11-15.

[15] Боревич 3. И., Вавилов Н. А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом Тр. мат. ин-та АН СССР 165 (1984), 24-42.

[16] Боревич 3. И., Койбаев В. А. О кольцах множителей, связанных с промежуточными подгруппами для квадратичных торов, Вестн. СПб-ГУ 1 (1993) № 2, 5-10.

[17] Боревич 3. И., Койбаев В. А., Лаврентьев М. В. Гирлянды, содержащие полную линейную группу над промежуточным полем Зап. науч. семинаров ПОМИ 236 (1997), 34-41.

89

[18] Боревич 3. И., Койбаев В. А.. Чан Нгок Хой. Решетки подгрупп в GL(2,Q), содержащих нерасщепимый тор, Зап. науч. семинаров ПО-МИ 191 (1991), 24-43.

[19] Боревич 3. И., Чан Нгок Хой. О стабильном ранге некоторых подко-лец поля рациональных чисел, Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей.—СПб: Издательство СПбГУ 3 (1993), 7-16.

[20] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 3-е изд.—М.: Наука, 1985.-503 с.

[21] Вавилов Н. А., О подгруппах полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц Вестник ЛГУ 1 (1981), 10-15.

[22] Вавилов H.A. О подгруппах расширенных групп Шевалле, содержащих максимальный тор, XVI Всесоюзн. алгебр, конф. Тезисы. Ч. 1.— Л., 1981, 26-27.

[23] Вавилов Н. А. О подгруппах специальной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц. I-IY, Вестник ЛГУ 22 (1985), №1, 3-7; 1 (1986), 10-15; 2 (1987), 3-8; 3 (1988), 10-15.

[24] Вавилов Н. А. Максимальные подгруппы группы Шевалле, содержащие максимальный расщепимый тор, Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей 1 (1986), 67-75.

[25] Вавилов Н. А. Подгруппы групп Шевалле, содержащие максимальный тор, Тр. Ленингр. мат. об-ва 1 (1990), 64-109.

[26] Вавилов Н. А. О подгруппах полной симплектической группы над коммутативным кольцом, Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей,—СПб: Изд-во СПбГУ 3 (1993), 16-38.

[27] Вавилов Н. А., Дыбкова Е. В. О подгруппах полной симплектической группы, содержащих группу диагональных матриц. I, II, Зап. науч. семинаров ЛОМИ 103 (1980), 31-47; 132 (1983), 44-56.

90

[28] Вавилов Н. А., Нестеров В. В. Геометрия микровесовых торов, Вла-дикавк. мат. жури 10 (2008), № 1, 10-23.

[29] Вавилов Н. А., Степанов А. В. Линейные группы над общими кольцами I. Общие места, Зап. научн. сем. ПОМИ 394 (2011), 33-139.

[30] Вавилов Н. А., Степанов А. В. Надгруппы полупростых групп , Вестн. СамГу. Естеств.-науч. сер 62 (2008), № 3, 51-95.

[31] Джусоева Н. А., Койбаев В. А. Максимальные подгруппы, содержащие тор, связанные с полем отношений дедекиндовой области, Зап. науч. семинаров ПОМИ РАН 289 (2002), 149-153.

[32] Джусоева Н. А., Койбаев В. А. Подгруппы, содержащие тор, связанные с полем отношений кольца с однозначным разложением, Влади-кавк. мат. журнал 5 (2003), № 4, 31-39.

[33] Джусоева Н. А., Дзигоева В. С., Койбаев В. А. О максимальных подгруппах полной линейной группы над полем рациональных функций , Владикавказский мат.ж. 12 (2010), №4, 12-14.

[34] Джусоева Н. А. Сетевые группы, ассоциированные с тором, Тезисы IX Международной школы-конференции по теории групп. Владикавказ (9 -15 июля). 2012. С. 47.

[35] Джусоева Н. А. О извлечении трансвекций в надгруппах нерасщепи-мого максимального тора , Владикавк. мат. журнал 15 (2013), № 1, 15-18.

[36] Джусоева Н. А. О сетевых кольцах, нормализуемых максимальным тором над Q , Междунар.конфер. "Алгебра и комбинаторика". Тезисы. Екатеринбург (3-7 июня). 2013.

[37] Джусоева Н. А. Сетевые кольца нормализуемые тором, Труды ИММ УрО РАН 19 (2013) № 1, С.1-5.

[38] Джусоева Н. А., Койбаев В. А. Нормализатор элементарной сетевой группы, связанной с нерасщепимым максимальным тором в полной линейной группе над полем рациональных чисел, Между нар. конфер. "Алгебра и логика: теория и приложения". Тезисы. Красноярск (21-27 июля). 2013. С.45-46.

[39] Дзигоева В. С., Койбаев В. А., Промежуточные подгруппы в полной линейной группе второго порядка над полем рациональных функций, содержащие квадратичный тор, Владикавказский мат.ж. 10 (2008), №1, 27-34.

[40] Залесский А. Е. Линейные группы, Успехи мат. наук 36 (1981), № 5, 57-107.

[41] Залесский А. Е. Линейные группы, Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Алгебра. Топология. Геометрия 21 (1983), 135-182.

[42] Залесский А. Е. Линейные группы, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, ВИНИТИ, М., 37 (1989), 114-228.

[43] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, -М.: Наука, 1982.-288 с.

[44] Койбаев В. А. О подгруппах полной линейной группы, содержащих группу элементарных клеточно-диагональных матриц Вестн. ЛГУ 13 (1982), 33-40.

[45] Койбаев В. А. Подгруппы специальной линейной группы над полем из пяти элементов, содержащие группу диагональных матриц IX Все-союзн. симпозиум по теории групп. Тезисы докл.—М. (1984), 210-211.

[46] Койбаев В. А. Подгруппы специальной линейной группы над полем из четырех элементов, содержащие группу диагональных матриц ХУШ Всесоюзн. алгебр, конф. Тезисы докл.—Кишинев, (1985), 264.

[47] Койбаев В. А. О подгруппах группы СЬ(2, содержащих нерасще-пимый максимальный тор, Междунар. конф. по алгебре. Тезисы докл. по теории групп.—Новосибирск (1989), 61.

[48] Койбаев В. А. Подгруппы группы СЬ(2,(^), содержащие нерасщепи-мый максимальный тор, Докл. АН СССР 312 (1990), № 1, 36-38.

[49] Койбаев В. А. Подгруппы группы 2, К), содержащие нерасще-пимый максимальный тор, Зап. науч. семинаров ПОМИ 211 (1994), 136-145.

[50] Койбаев В. А. Нормализатор группы автоморфизмов модуля, возникающего при расширении основного кольца, Зап. науч. семинаров ПОМИ 211 (1994), 133-135.

[51] Койбаев В. А. О подгруппах полной линейной группы, содержащих максимальный нерасщепимый тор, связанный с радикальным расширением, Вестн. СПбГУ 1 (1995), № 1, 29-33.

[52] Койбаев В. А. Трансвекции в подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор, Алгебра и анализ 21 (2009) №5, с. 70-86.

[53] Койбаев В . А. Подгруппы группы СЬ(2,к), содержащие нерасщепимый тор, Итоги науки. Сер. матем. монография. Владикавказ. 2009, 182 с.

[54] Койбаев В. А., Шилов А. В. Извлечение трансвекций в надгруппах нерасщепимого тора Владикавк.мат.ж.11 (2009) Вып.4, 22-31.

[55] Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле, Успехи мат. наук 41 (1986), № 1, 57-96.

[56] Кондратьев А. С., Махнев А. А., Старостин А. И. Конечные группы, Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., ВИНИТИ, М., 24 (1986), 3-120.

[57] Крупецкий С. Л. О подгруппах унитарной группы над телом кватернионов, содержащих максимальный тор, Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей,—Л., 1 (1986), 103-115.

[58] Левчук В. М. Параболические подгруппы некоторых АВА-групп, Мат. заметки 31 (1982), № 4, 509-525.

[59] Мерзляков Ю. И. Линейные группы, Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Алгебра. Топлогия. Геометрия 16 (1978), 35-89.

[60] О'МираО. Лекции о линейных группах, Автоморфизмы классических групп,—М.: Мир (1976), 57-167.

[61] Нужин Я. Н. О группах, заключенных между группами лиева типа над различными полями , Алгебра и логика 22 (1983), № 5, 525-541.

[62] Нужин Я. Н. О подгруппах, лежащих между группами Шевалле над различными кольцами, Красноярск: Краснояр. политехи, ин-т, 1984.— 6 с. Деп. в ВИНИТИ 5.12.84, № 7764-84.

[63] Нужин Я. Н., Якушевич А. В. Промежуточные подгруппы групп Шевалле над полем частных кольца главных идеалов, Алгебра и логика 39 (2006), № 3, 347-358.

[64] Романовский Н. С. Максимальные подкольца поля <0) и максимальные подгруппы группы 8Ь(п, О), Алгебра и логика 6 (1967), № 4, 75-82.

[65] Романовский Н. С. Подгруппы, лежащие между специальными линейными группами над кольцом и его подкольцом, Мат. заметки 6 (1969), № 3, 335-345.

[66] Романовский Н. С. О подгруппах общей и специальной линейных групп над кольцом, Мат. заметки 9 (1971), № 6, 669-708.

[67] Супруненко Д. А. Группы матриц, М.: Наука (1972).

[68] Чан Нгок Хой Расположение подгрупп в GL(2.Q); содержащих нерасщепимый тор, Дис. ... канд. физ.-мат. наук.—JL: ЛГУ (1990)— 182 с.

[69] Шмидт Р. А. О подгруппах полной линейной группы над полем частных кольца главных идеалов, Зап. научн. семин. ЛОМИ 94 (1979), 185— 187.

[70] Шмидт Р. А. О подгруппах полной линейной группы над полем частных дедекиндова кольца , Зап. науч. семинаров ЛОМИ 94 (1979), 119— 130.

[71] Aschbaher М. On the maximal subgroups of the finite classical groups, Invent. Math. 76 (1984), K°- 3, 469-514.

[72] Borel A., Tits J. Groupes reductifs, Inst. Hautes Etudes. Sci. Publ. Math. 27 (1965), 55-150.

[73] Carter R. W. Simple groups of Lie type, London etc.: Wileys Sons, 1972.

[74] Djokovic D. Z. Subgroups of compact Lie groups containing a maximal torus are closed, Proc. Amer. Math. Soc. 83 (1981), № 2, 431-432.

[75] Dye R. H. On the maximality of the orthogonal groups in the symplectic groups in characteristic two, Math. Z. 172 (1980), № 3, 203-212.

[76] Dye R. H. Maximal subgroups of symplectic groups stabilizing spreads, I, II // J. Algebra 87 (1984), № 2, 493-509; J. London. Math. Soc. 40 (1989), № 2, 215-226.

[77] Dye R. H. Maximal subgroups of PSpQn(q) stabilizing spreads of totally isotropic planes, J. Algebra 99 (1986), 111-129.

[78] Dye R. H., Spreads and classes of maximal subgroups of GLn{q), SLn{q), PGLn(<?) and PSLn(g), Ann. Math. Рига Appl. 158 (1991), 33-50.

[79] Kantor W. M. Subgroups of classical groups generated by long root

elements, Trans. Amer. Math. Soc. 248 (1979), № 2, 347-379.

95

[80] Kantor W. M. Linear groups containing a Singer cycle, J. Algebra 62 (1980), № 1, 232-234.

[81] Kariyama K. On conjugacy classes of maximal tori in classical groups, J. Algebra 125 (1989), № 1, 133-149.

[82] Key J. D. Some maximal subgroups of certain projective unimodular groups, J. London Math. Soc. 19 (1979), № 2, 291-300.

[83] King O. H. Subgrours of the special liner group containing the diagonal subgroup, J. Algebra 132 (1990), № 1, 198-204.

[84] Li Shangzhi. Overgroups in GL(nr,F) of certain subgroups of SL{n, K), J. Algebra 125 (1989), № 1, 215-235.

[85] Li Shangzhi. The maximality of monomial subgroups of linear groups over division rings, J. Algebra 127 (1989), № 1, 22-39.

[86] Platonov V. P. Subgroups of algebraic groups over local or a global field containing a maximal torus, C. R. Acad. Sci. Paris 318 (1994), № 10, 899903.

[87] Seitz G. M. Subgroups of finite groups of Lie type, J. Algebra 61 (1979), 16-27.

[88] Seitz G. M. Properties of the known simple groups, Proc. Symp. Pure Math. 37 (1980), 231-237.

[89] Seits G. M. On the subgroup structure of the classical groups, Commun. Algebra 10 (1982), № 8, 875-885.

[90] Seitz G. M. Root subgroups for maximal tori in finite groups of Lie type Pacif. J. Math. 106 (1983), № 1, 153-244.

[91] Thompson J. G. Quadratic pairs, Actes du Congr. Internat. des Math. ■ (Nice, 1970).-Paris: Gauthier-Villars 1 (1971), 375-376.

[92] Vavilov N. A. Structure of Chevalley groups over commutative rings, World Sci. Publ (Proc. Conf. Non-associative algebras and related topics.— Hirosima, 1990).-Singapore et al, 1991, 219-335.

[93] Vavilov N. A. Geometry of 1-ton in GLn, Univ. Bielefeld, 1995.-21 p. (Preprint № 8).

[94] Vavilov N. A. Subgroups of SLn over a semilocal ring, Univ. Bielefeld, 1998.-13 p. (Preprint № 11).

[95] Vavilov N. Intermediate subgroups in Chevalley groups, Proc. Conf. Groups of Lie Type and their Geometries (Como, 1993).—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995, 233-280.

Обозначения

В работе приняты следующие обозначения: К — расширение степени п поля к нечетной характеристики; хп — (I — неприводимый многочлен степени п над полем к, (I Е к. Тогда ег = в1"1.1 < г < п. образует базис радикального расширения К = 9 = поля К = к(9) над к. Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор Т = Т(с1), который является образом мультипликативной группы поля К = к(Щ при регулярном вложении вС = к).

Через к = Е обозначается поле, которое является полем частных области главных идеалов Л, причем все промежуточные подкольца АС ДС к также являются кольцами главных идеалов, (все эти условия выполняются, например, когда к = О)). Если в качестве поля мы рассматриваем поле Е, то мы считаем, что с? = Р1Р2---Рт ~~ произведение попарно различных (неассоциированных) простых элементов рг Е А, с/ Е Л. в\, . ■ ., еп — базис поля К над к;

/1, /2,.... /п — ^-линейные функционалы (дуальный базис сопряженного пространства У*, V = К), действующие из поля К в поле к, связанные с базисом ех, ег,.... еп следующим образом: ¡г(е3) = 5гз, 1,] = 1,..., п; / - /ъ

Е = Еп (или е) — единичная матрица порядка п;

Егз, (или егз)— матрица, у которой на позиции (г,^) стоит 1 Е к, а на остальных местах нули; с1г( 1 + 9) = е + 9егг;

= Е + £Егз — элементарная трансвекция, £ Е к, £ ф 0, г ф э\ 5гз — символ Кронекера;

п

трансвекция — это матрица вида (5гз + аг/33), где ^2аг(Зг = 0 (5гз —

г=1

символ Кронекера);

[х,у] = хух~1у~1 — коммутатор элементов х.у (соответственно [X, У\ — коммутант);

через (5% обозначается элемент згз матрицы 5 = (з13), стоящий на позиции [г,])] зг] — элементы обратной матрицы = (й^);

с каждым вектором х = х — (х\,х2, ■ ■ ■, хп) £ к11 \ 0 связана невырожденная матрица С(х): элементы которой вычисляются по формулам

В работе рассматриваются матрицы С(х) - мономиального вида. А именно, для случай базисной строки х = ег (на г-ом месте 1 , а на остальных местах строки - 0) мы обозначаем Сг = С(х). Ясно, что С\ ~ это единичная матрица.

матрицы С = С{х)\

В работе рассматривается унитальное подкольцо Rq = R(d) поля /с, порожденное элементами хгу3, dxrys

Rq = R(d) — {хгу3, dxrys: i + j<n+l,r + s>n+l, х£кп\0).

На протяжении всей статьи R — промежуточное подкольцо, Ro С R С k,d G R.