Нахождение внутренних оценок множеств решений уравнений с интервальными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Куприянова, Людмила Викторовна

• Куприянова, Людмила Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куприянова, Людмила Викторовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Метрическое пространство /*(ТО.

1.1. Некоторые свойства расширенного множества интервалов

1.2. Метрическое пространство над множеством интервальных векторов

1.3. Интервальные расширения.

ГЛАВА 2. Решение интервальной системы линейных алгебраических уравнений.

2.1. Постановка задач внутренней оценки множеств решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений.

2.2. Теоремы о связи интервального решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений с объединенным и допустимым множествами решений.

2.3. Основная теорема о максимальной внутренней оценке объединенного множества решений.

2.4. Нахождение интервального решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений.

2.5. Выбор начального приближения для получения двусторонних оценок

ГЛАВА 3. Решение квадратного интервального уравнения.

3.1. Интерпретация интервальных решений уравнений в 1(11).

3.2. Объединенное и допустимое множества решений квадратных интервальных уравнений.

3.3. Интервальные решения квадратных интервальных уравнений с неправильными интервальными коэффициентами.

3.4. Интервальные решения квадратных интервальных уравнений с правильными коэффициентами при положительных степенях и неправильным свободным членом.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нахождение внутренних оценок множеств решений уравнений с интервальными коэффициентами»

Данная работа посвящена исследованию уравнений с операторами, действующими в интервальных метрических пространствах, заданных на расширенном множестве интервалов - I (Я) и интервальных векторов -1*(Яп). Целью работы является внутреннее оценивание трудно описываемых множеств решений уравнений и систем с интервальными параметрами более простыми множествами с легко вычислимой мерой, а именно, интервалами и интервальными векторами. Оригинальность предлагаемого подхода состоит в дуализации коэффициентов исходного уравнения и нахождении решения полученного уравнения в 1*(Яп), при этом найденное решение, если оно существует, является максимальной по включению внутренней оценкой для множества вещественных решений исходного уравнения. Автором доказаны соответствующие теоремы для интервальных уравнений и интервальных систем линейных алгебраических уравнений. Существование решений уравнений в интервальных метрических пространствах заслуживает отдельного рассмотрения и не является предметом представленной работы.

Расширенное множество интервалов 1*(Я) впервые было рассмотрено Каухером [32] в 1973 году, им была предложена арифметика этого множества (арифметика Каухера) и доказаны основные теоремы о её свойствах [32,33,34]. В дальнейшем расширенная интервальная арифметика разрабатывалась Гареденесом, Трепатом, Джэнером, Миелго [27,28,29,30], которыми были введены также некоторые понятия и доказаны новые важные свойства.

Главными трудностями при решении уравнений в интервальных пространствах являются нелинейность умножения на вещественные числа и невыполнение дистрибутивного закона для интервальных арифметических операций, в связи с чем даже оператор умножения вещественной матрицы на элемент хе 1*(Яп) не является линейным оператором.

Чтобы охарактеризовать место, которое занимает данное исследование в интервальном анализе, и возможные области приложения, заметим, что с интервальным анализом связаны три направления научной и технологической деятельности [23]:

- математическое - включающее исследование математических проблем интервального анализа;

- компьютерное - рассматривающее вопросы создания и использования компьютерных средств для выполнения интервальных вычислений;

- прикладное - связанное с применением результатов интервальной математики и соответствующих компьютерных средств в различных областях науки и технологии.

Данная работа относится к первому из этих направлений.

Возникнув как подход к решению задачи получения гарантированного результата, интервальный анализ находит свое применение в исследованиях, объекты которых имеют изначально интервальную природу. Например, состояние человеческого организма характеризуется такими параметрами, как температура тела, давление крови в сосудах, содержание в ней определенных веществ и т.д. Для этих параметров существуют некоторые интервалы, в пределах которых любое их значение является допустимым для нормального функционирования организма. Любая система подвержена влиянию разнообразных факторов, которые в количественном выражении могут изменяться в каких-то границах, при этом система остается жизнеспособной (отвечает своему целевому назначению), если ее параметры не выходят за границы допустимых значений [2]. В связи с этим возникают два вида интервальной неопределенности. С одной стороны интервал [ос,|3] есть множество вещественных чисел, и соответствующий параметр может принимать любые вещественные значения из данного интервала, с другой стороны - это приближенные оценки, верхняя и нижняя границы, одного единственного вещественного числа. Математически это различие выражается употреблением кванторов всеобщности V или существования 3: в первом случае - V ^е [а,(3], во втором - 3 \ е [а,(3]. В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений:

- интервалы и интервальные векторы обозначаются латинскими буквами а,Ь,с, .(с индексами и без них);

- интервальные матрицы - большими латинскими буквами А,В, С, .;

- вещественные векторы и матрицы - латинскими буквами с точкой снизу а, Ъ ,с ,.,А,В ,С.\ концы интервалов и интервальных векторов - а, а (нижний и верхний конец, соответственно), Ь,Ь,.;

- вещественные числа - греческими буквами аДу, ., а также малыми латинскими с точкой снизу или с чертой.

Приведем простейший пример двух типов неопределенности. Пусть имеется вещественное уравнение относительно х: а.+ х = Ъ , где а, Ь,х - вещественные числа. Даны интервалы их изменения, а, Ь и х, соответственно. В интервальной постановке возможны различные задачи, например:

1) найти интервал хтакой, что а + х = Ь; этот интервал х характеризуется парой свойств

Ухе х)(Уа.е а)(3 Ь е Ь) а+ х = Ъ и (\/Ь е Ь)(3 ае а)(3 хе х) а+ х = Ъ ;

2) найти интервал х такой, что х = Ъ - а; этот интервал х характеризуется парой свойств аеа)(У Ь е Ь)(3 хе х) а+ х = Ъ и (Ухе х)(3ае а)(ЗЬе. Ь) а+х = Ь.

Решение первой задачи является подмножеством решения второй.

Так как значительная часть настоящей работы посвящена интервальной системе линейных алгебраических уравнений, имеет смысл привести пример из [19], иллюстрирующий принципиальное различие между двумя типами неопределенности. Рассмотрим структурную схему линейных статических систем следующего вида: у- Ах р г

А - вещественная тхл-матрица, х,у - вектора соответствующей размерности. Интервальная неопределенность элементов а матрицы А может быть двух типов, которым соответствуют: первому - параметры, которые нашей воле неподвластны и могут изменяться в пределах соответствующих интервалов как следствие внешних непредсказуемых возмущений (это соответствует \/а • •€ <я/7);

• и и второму - параметры, которые мы можем изменять в пределах заданных интервалов по своей воле, т.е. управлять ими (это соответствует 3 а у<Е а у).

Интервалы выходных откликов системы >',■ можно интерпретировать либо как

- коридоры стабилизации системы, в пределах которых нам требуется обеспечить ее функционирование вне зависимости от значений возмущаемых параметров (соответствует 3 у е у-,), либо как

- множества достижимости системы, каждое значение которых должно быть накрыто в результате подходящего выбора управляющих параметров (соответствует V у -е уг).

Характер неопределенности исходных данных и результата зависят, таким образом, от конкретной задачи. Классификация различных множеств решений для интервальных уравнений дана С.П.Шарым в [22].

В данной работе расширенный интервальный анализ Каухера [32] применяется для нахождения решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений и интервального уравнения второй степени в пространстве 1*(Я). Основным результатом данной работы являются теоремы о связи интервальных решений уравнений в интервальном метрическом пространстве с решениями вещественных уравнений и систем уравнений с интервальной неопределенностью коэффициентов. Наиболее важным результатом является теорема о максимальной внутренней оценке объединенного множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений, которую дает интервальное решение уравнения с дуальным оператором. Кроме того, дается итерационный метод решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений в метрическом пространстве Рассматриваются условия сходимости метода и условия, при которых соответствующий оператор является оператором сжатия. Для интервальных решений уравнений второй степени в пространстве 1*(Я) получены их явные выражения через коэффициенты этого уравнения.