Напряженно-деформированное состояние континуума "жесткий индентор - упругопластическая среда" при динамических нагружениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Овчинникова, Наталья Владимировна

• Овчинникова, Наталья Владимировна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Овчинникова, Наталья Владимировна

Оглавление

Оглавление

Введение

Глава 1. Задача о напряженно-деформированном состоянии континуума «индентор-деформируемая среда»

1.1. Обоснование выбора направления исследования

1.2 Постановка динамической задачи о напряженно-деформированном состоянии континуума «жесткий индентор - упругопластическая среда»

Глава 2. Задача о движении континуума «индентор-деформируемая среда» в вариационной постановке

2.1 Вариационное уравнение движения континуума «жесткий индентор -

деформируемая среда»

2.2 Применение метода штрафных функций для учета ограничений в вариационном уравнении движения континуума

2.3 Использование метода множителей Лагранжа для учета ограничений в вариационном уравнении движения континуума

Глава 3. Исследование напряженно-деформированного состояния «жесткий индентор - упругопластическая среда»

3.1 Применение метода конечных элементов для решения задачи в вариационной постановке

3.2 Выбор рациональной схемы численного решения поставленной задачи

с использованием программного комплекса АВАС>и8

3.3 Исследование напряженно - деформированного состояния упругопластической среды, контактирующей с абсолютно жестким индентором

Глава 4. Решение задачи о движении континуума «жесткий индентор -

упругопластическая среда» на основе упрощенной модели

4.1 Упрощенная физико-математическая модель взаимодействия жесткого

индентора и упругопластической среды

4.2 Динамика абсолютно твердого индентора, контактирующего с деформируемой средой

4.3 Задача о напряженно-деформированном состоянии упругопластической среды под действием эквивалентной нагрузки

4.4 Определение пределов применимости упрощенной модели

Заключение

Список использованной литературы

Приложение А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Напряженно-деформированное состояние континуума "жесткий индентор - упругопластическая среда" при динамических нагружениях»

Введение

В настоящее время активно осваиваются различные новые подходы к повышению эксплуатационных характеристик деталей машин за счет упрочнения их рабочих поверхностей различными способами. К их числу принадлежат технологии, использующие для этих целей механизмы нестандартных динамических воздействий различной физической природы, как механической, так и не механической. К наиболее распространенным методам поверхностного упрочнения с немеханическими источниками энергии относятся: термохимический, электронно-лучевой, плазменный, лазерный, ионная имплантация, детонационное нанесение покрытий, а также термомагнитная и импульсная обработка в магнитном поле. Среди «статических» механических методов поверхностного упрочнения обрабатываемого объекта на сегодняшний день наибольшее распространение получили: калибровка отверстий, алмазное выглаживание, дорнование, обкатка (раскатка) и многие другие. Наряду с ними, в машиностроении достаточно широко используются методы поверхностного пластического деформирования, основанные на ударном динамическом воздействии рабочего инструмента на обрабатываемую поверхность. К ним относятся: виброударная, ультразвуковая, дробеструйная, центробежно -шариковая обработки, чеканка, виброобкатка и вибровыглаживание.

К сожалению, ни один из перечисленных методов не является универсальным, способным дать положительный эффект при всех возможных условиях эксплуатации упрочненных деталей готового изделия. Поэтому в последнее время для улучшения качества обработки получило применение комбинированных методов упрочнения, объединяющих одновременно несколько способов силового воздействия на обрабатываемый материал. В частности, один из них, основан на использовании в процессе поверхностного упрочнения металлов импульсного нагружения рабочего инструмента в сочетании с ультразвуковым на него воздействием. Применение такого режима обработки позволяет существенно повысить качество обрабатываемой поверхности и

обеспечить более высокую износоустойчивость готовых деталей. В её процессе проявляются новые динамические эффекты воздействия ультразвука на материал, прогнозирование которых без проведения предварительных аналитических и численных исследований весьма затруднительно. Для осознанного управления технологическим процессом поверхностного упрочнения необходимо определить комплекс геометрических, механических и физических параметров, его характеризующих и исследовать их влияние на результаты обработки. Механические процессы, происходящие при взаимодействии рабочего инструмента и поверхности детали, настолько сложны и разнообразны, что учесть их все специфические особенности в рамках решения единой задачи не представляется возможным. Одними из косвенных характеристик, позволяющими судить об уровне упрочнения, могут служить возникающие в его процессе остаточные пластические напряжения и деформации в обрабатываемом материале, а также его плотность, являющаяся функцией интенсивности остаточных деформаций. В связи с этим весьма актуальным представляется исследование напряженно-деформированного состояния упрочняемого материала при комбинированном динамическом силовом и ультразвуковом воздействиях.

В основе механического упрочнения пластическим деформированием лежат процессы силового воздействия рабочего инструмента на поверхность обрабатываемого материала. Поэтому с точки зрения механики сплошных сред задача об исследовании напряженно деформированного состояния упрочняемого материала является контактной. Кроме того, с учетом специфики прикладываемого к рабочему инструменту силового воздействия она должна рассматриваться в динамической постановке с учетом упругопластического характера поведения обрабатываемого материала. Однако данный класс задач механики деформируемого твердого тела до сих пор является мало изученным. Поэтому разработка новых подходов к решению контактных задач для упругопластических тел, находящихся под воздействием описанных выше сложных динамических нагрузок, представляется весьма актуальной.

С учетом этого целью настоящей диссертационной работы является разработка новых подходов к решению задачи о напряженно-деформированном состоянии континуума «жесткий индентор - упругопластическая среда» при различных видах статического и динамического нагружения индентора и неупругом поведении материала среды.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

В первой главе проводится обзор и анализ состояния рассматриваемой проблемы, обосновывается выбор предмета и направления исследований. Для принятой математической модели процесса упрочнения формулируется осесимметричная динамическая контактная задача о напряженном и деформированном состоянии континуума «жесткий индентор - деформируемая среда». Постановка задачи проводится в виде, позволяющем учесть нарушение первоначальной геометрической формы деформируемых в процессе контакта поверхностей и появление необратимых деформаций в среде.

Во второй главе на основе принципа Даламбера - Лагранжа выводится исходное вариационное уравнение, описывающее движение континуума. Для введения в него ограничений, накладываемых на движение тел составляющих континуум, и сведения решения поставленной задачи к поиску безусловного минимума соответствующего функционала используются методы штрафных функций и множителей Лагранжа.

В третьей главе с применением метода конечных элементов на базе полученных вариационных соотношений проводится дискретизация исходной задачи. Её численное решение сводится к отысканию либо скоростей движения узловых точек разбиения континуума из системы обыкновенных дифференциальных уравнений, либо их ускорений из системы алгебраических уравнений. Формулируются условия и выводятся уравнения для определения границы области контакта в случаях применения метода штрафных функций и метода множителей Лагранжа. Проводится выбор рациональной схемы

численного решения поставленной задачи с использованием программного комплекса АВА(^и8. Приводятся результаты численных расчетов и их анализа.

В четвертой главе на основе предлагаемой физико - математической модели разрабатывается упрощенный инженерный подход к исследованию напряженно - деформированного состояния континуума, основанный на замене реального взаимодействия контактирующих тел воздействием на среду эквивалентной ему виртуальной нагрузки. Исследуется динамика абсолютно твердого индентора контактирующего с упругопластической средой. Выводится вариационное уравнение движения среды под действием эквивалентной нагрузки. С применением метода конечных элементов проводится дискретизация динамической упругопластической задачи о движении среды. Определяются границы рациональной применимости предложенной упрощенной модели.

В заключении формулируются основные выводы, обобщающие результаты проведенных исследований.

В приложении приводятся документы, подтверждающие использование полученных результатов в научно - производственной и образовательной деятельности.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- выполнена постановка динамической упругопластической задачи о напряженно - деформированном состоянии континуума «жесткий индентор -деформируемая среда» в виде, не накладывающем ограничений на форму области контакта и позволяющем учесть нарушение первоначальной геометрической формы деформируемых в процессе контакта поверхностей;

- на основе принципа Даламбера - Лагранжа с применением методов штрафных функций и множителей Лагранжа выведены вариационные уравнения движения континуума без наложения, каких - либо ограничений на форму деформированных поверхностей контактирующих тел, физические уравнения их материалов и геометрические соотношения;

- с целью применения метода конечных элементов для получения численных результатов проведена дискретизация рассматриваемой задачи в вариационной постановке;

- получены уравнения для определения координат точек, лежащих на границе контактной области в случае применения метода штрафных функций и при использовании метода множителей Лагранжа;

- на базе физической модели изотропно кинематического упрочнения материала среды проведено численное исследование напряженно -деформированного состояния тел образующих континуум при различных видах приложения нагрузки к индентору (статическая, динамическая, импульсная, с приложением ультразвуковых воздействий).

- сформулирована упрощенная инженерная расчетная модель изучаемого процесса контактного взаимодействия тел, образующих континуум «абсолютно твердый индентор - деформируемая среда», позволяющая в некоторых частных случаях нагружения индентора исследовать напряженно - деформируемое состояние среды при упругом и упругопластическом поведении её материала с меньшими затратами вычислительных ресурсов;

- определены границы применимости предложенной упрощенной расчетной модели континуума «абсолютно твердый индентор - деформируемая среда» для исследования напряженно - деформированного состояния среды при различных видах нагружения индентора.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью математической постановки рассматриваемых задач, использованием известных аналитических и численных методов, в том числе метода конечных элементов, а также их совпадением с известными аналитическими решениями в некоторых частных случаях. Полученные численные результаты качественно

подтверждаются имеющимися в периодической литературе экспериментальными данными и соответствуют физике исследуемых процессов.

Практическая ценность работы состоит в использовании её результатов при проектировании технологического оборудования в ООО «Научно -производственное предприятие нестандартных изделий машиностроения» и в учебном процессе при подготовке инженеров по специальности №№№ «Проектирование технологических комплексов» в Саратовском государственном техническом университете.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на 5 научно - технических конференциях и 3 научных семинарах, в том числе: на XV Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А. Г. Горшкова (Ярополец, 16-20 февраля 2009г.); на Всероссийской научно-технической конференции «Совершенствование техники, технологий и управления в машиностроении» (Саратов, 20-24 октября 2009г.); на XVI Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А. Г. Горшкова (Ярополец, 15-19 февраля 2010г.); на Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Инновации и актуальные проблемы техники и технологий», (Саратов 2629 октября 2010г.); на XXIV Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-24 (Саратов, 2011г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 12 печатных работах, в том числе 7 работ в изданиях рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов кандидатских и докторских диссертаций.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Вариационные уравнения движения континуума «жесткий индентор -деформируемая среда», полученные на основе вариационного принципа Даламбера - Лагранжа с применением методов штрафных функций и множителей Лагранжа и позволяющие учесть искривление деформируемых вследствие контакта поверхностей без наложения ограничений на их форму и физические

уравнения материалов контактирующих тел (упругое, вязкоупругое, у пру гопл астическое);

2. Упрощенная физико - математическая модель процесса контактного взаимодействия тел, образующих континуум «абсолютно твердый индентор -деформируемая среда», позволяющая исследовать напряженно - деформируемое состояние среды с меньшими затратами вычислительных ресурсов:

- при динамическом нагружении индентора и идеально упругом поведении материала среды;

- при статическом нагружении индентора и упругопластическом поведении материала среды.

3. Результаты численного исследования напряженно - деформированного состояния тел, образующих континуум, полученные для физической модели изотропно кинематического упрочнения материала среды при различных видах приложения нагрузки к индентору (статическая, динамическая, импульсная, с приложением ультразвуковых воздействий).

Глава 1. Задача о напряженно-деформированном состоянии континуума «индентор-деформируемая среда»

1.1 Обоснование выбора направления исследования

Подавляющее большинство технологических задач обработки металлов давлением с точки зрения механики сплошных сред относятся к контактным. Во многих случаях при рассмотрении этих задач о взаимодействии двух тел локальными явлениями в зоне контакта пренебрегают и саму задачу приводят к смешанной задаче теории упругости с граничными условиями в виде заданных усилий и перемещений. Однако такое упрощение не всегда оправдано. В реальных технологических процессах закон распределения истинных контактных давлений оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние взаимодействующих тел. В этих случаях необходимо учитывать, что размеры и форма зоны контакта, а также условия взаимодействия на ней нелинейно зависят от приложенной нагрузки и могут быть определены только в процессе решения задачи. При больших значениях внешней нагрузки напряжения в зоне контакта и ее окрестностях увеличиваются, что по достижении определенного уровня последних приводит к появлению пластических деформаций. В местах концентрации контактных напряжений могут наблюдаться зоны больших формоизменений материала, сопровождающиеся появлением геометрической нелинейности процесса деформирования. Еще один тип нелинейности возникает при наличии трения между контактирующими телами. Все перечисленные факторы в совокупности со сложной геометрией реальных объектов, неоднородностью их структуры и анизотропией механических свойств конструкционных материалов в сочетании с разнообразием температурных и силовых воздействий ставят решение контактной задачи в рамки трудноразрешимой инженерной проблемы.

Круг задач этой проблемы весьма обширен, их решению посвящено достаточно большое количество работ российских и зарубежных ученых.

Решение контактной задачи для двух упругих соприкасающихся тел в довольно -таки общей постановке впервые получено Г. Герцем [115, 116, 58]. В основе предложенной им модели лежат допущения о малости зоны контакта по сравнению с размерами контактирующих тел, об однородности и изотропности их материалов, об отсутствии трения в зоне контакта. В предположении об идеальной упругости материалов взаимодействующих тел и представлении недеформируемых поверхностей вблизи зоны контакта уравнениями второго порядка Герцем Г. определено распределение местных напряжений в зоне контакта и её окрестностях. Решенная им задача до сих пор не потеряла своей теоретической и практической ценности. Последующие исследователи, такие как Л. Феппль и Г. Лоренц, задались целью упростить решение, полученное Герцем, и разрешить поставленную им задачу, не основываясь на теории потенциала.

Задача о сжатии двух соприкасающихся упругих тел произвольной формы, когда соприкосновение происходит вдоль значительной части их границ для случаев круговой и эллиптической площадки контакта была впервые исследована и аналитически решена А. Н. Динником [48] и Н. М. Беляевым [16, 17]. На основе анализа полученного решения А. Н. Динником был впервые сделан важный вывод о том, что область максимальных касательных напряжений находится не на поверхности контакта, а в приповерхностных слоях. В последствии этот вывод был подтвержден им опытным путем.

Из всего класса контактных задач наиболее полно на сегодняшний день исследованы случаи, когда одно из соприкасающихся тел является упругим полупространством, а другое - абсолютно твердым телом, как правило, называемое жестким штампом [30, 31].

Развитие аналитических методов решения контактных задач было продолжено выдающимся ученым Н. И. Мусхелишвили [62-65]. Им предложен способ решения граничных задач плоской теории упругости путем приведения к задаче линейного сопряжения граничных значений, получивший широкое приложение в задачах о давлении жестких штампов при отсутствии трения. Им же рассмотрен двумерный аналог задачи Герца, но несколько в обобщенном

виде, без наложения ограничений на размер участка соприкасания и без принятия каких - либо допущений о форме его границ [66]. Упомянутый выше подход получил дальнейшее развитие в работах И. Н. Векуа [19-22], Н. П. Векуа [23], С. Г. Михлина [59-61], Л. А. Галина [26-32], И. Я. Штаермана [109-111], Д. И. Шермана [106-108] и В. Л. Рвачева [89, 90]. Применение этого метода дало хорошие результаты при решении смешанных задач о внедрении жесткого штампа (индентора) в полу бесконечные тела и тела с неограниченными размерами при упругом поведении их материалов.

Изучение плоских контактных задач для анизотропной среды началось после того, как С. Г. Лехницкий [56, 57] в 1935 г. обобщил методы Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили и дал общие выражения для функций напряжений с помощью функций комплексного переменного.

Широкое распространение также получили методы, основанные на сведении смешанной краевой задачи к некоторым парным или тройным функциональным (интегральным) уравнениям, которые в итоге преобразуются в интегральное уравнение Фредгольма II рода, решаемое одним из приближенных методов. К контактным задачам этот метод впервые применил В. М. Абрамов [2], который получил решение задачи о вдавливании в упругое полупространство круглого штампа с плоским основанием при действии эксцентрично приложенной силы. Далее данный метод был успешно применен Ю. Н. Кузьминым и Я. С. Уфляндом [53, 54], А. А. Баблояном [4], А. Ф. Улитко [100] и многими другими учеными. Применение теории сингулярных интегральных уравнений к решению контактных задач теории упругости было начато И. Я. Штаерманом, получившим решение основной смешанной задачи для произвольной односвязной области. С помощью этих методов был исследован и решен широкий класс плоских и осесимметричных задач о штампах.

Еще один класс методов решения контактных задач представляют асимптотические методы. Впервые асимптотический метод был предложен И. И. Воровичем и Ю. А. Устиновым [24, 25] для решения осесимметричной контактной задачи для упругого слоя. Плоская задача о вдавливании штампа в

упругую полосу была рассмотрена В. М. Александровым [5, 6, 8-11], и Г. Я. Поповым [83]. Д. В. Грилицкий [46] применил данный метод в задаче о кручении двухслойной упругой среды штампом, а также совместно с Я. М. Кивыма [47] в осесимметричной контактной задаче для трансверсально-изотропного слоя.

Существует также ряд методов сведения смешанной краевой задачи к поиску решений бесконечных систем алгебраических уравнений. Например, В. М. Александров [6, 7, 9-11], Г. Я. Попов [84, 85] и В. Л. Рвачев [86-88] широко используют в своих работах метод ортогональных полиномов, с помощью которого производится разложение известной функции, входящей в правую часть интегрального уравнения. Регулярная часть ядра интегрального уравнения первого рода также раскладывается в двойной ряд, после чего уравнение сводится к алгебраической системе. В работах Б. Л. Абрамяна [3] и А. А. Баблояна [12, 13] предложены методы непосредственного сведения краевой задачи к решению бесконечной системы алгебраических уравнений, минуя интегральное уравнение.

При рассмотрении контактной задачи для штампа полигональной формы в плане был разработан новый математический подход - метода Я-функций. Он объединил в себе классические методы математической физики с алгебраическими. На базе этого метода В. Л. Рвачев [91] на аналитическом уровне разработал структурный метод решения краевых задач для областей сложной формы со сложным характером граничных условий. Характерной особенностью метода Я-функций является построение координатных последовательностей для сложных областей с использованием элементарных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям вариационной задачи, решаемой с применением приближенных методов типа Бубнова-Галеркина.

С помощью выше перечисленных подходов было решено большое количество статических плоских и пространственных контактных задач теории упругости. Решение динамических контактных задач представляет собой гораздо более сложную проблему. Видимо поэтому, их решению посвящено значительно меньшее количество работ. В большинстве из них рассматриваются различные варианты задачи о внедрении в тела с бесконечными или полубесконечными

размерами жесткого штампа, совершающего гармонические колебания [30]. Полученные в этих работах аналитические решения для неограниченных областей применимы для исследования поведения конечных объектов лишь в весьма малые промежутки времени, до тех пор пока отраженные от границ упругие волны не исказят картину движения среды. Задача же о соударении двух упругих тел, когда в области контакта заданы упругие перемещения точек тел, аналитически не решена до сих пор.

Более сложным типом динамических контактных задач являются задачи о взаимодействии тел, ограниченных гладкими выпуклыми поверхностями, с изменяющимися во времени размерами и формой областей контакта. В силу подвижности границ раздела и необходимости учета различных типов краевых условий, методы решения, используемые в задачах о штампах, в этих случаях не применимы. Для преодоления, связанных с этим математических трудностей, появляется необходимость разработки новых специфических подходов к решению такого класса задач. Особенности динамических задач о контакте тел, ограниченных различными криволинейными поверхностями, с упругим полупространством, исследованы А. Г. Горшковым и Д. В. Тарлаковским [34-44], Д. В. Тарлаковским [94-98] и другими. Постановка динамических контактных задач с подвижными границами и методы их решения, включая аналитические, полуаналитические, а также численные методы, наиболее полно изложены в монографии А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [33]. Основное внимание в них уделено моделям взаимодействующих сред в виде абсолютно жесткого тела, упругого и акустического полупространства.

В реальных технологических задачах наибольший интерес представляют модели, учитывающие неупругое поведение материалов, их вязкость, ползучесть и пластичность. Поэтому многие современные публикации посвящены поиску простых и эффективных методов решения контактных задач с учетом у пру го пластических свойств материалов.

В работах [50, 51], посвященных обработке упругопластических тел абсолютно жестким индентором, автором предложена замена нагрузки в области

контакта сосредоточенной силой, представляемой в виде степенного ряда Тейлора по перемещениям с дальнейшим решением задачи динамики индентора под действием этой силы. Такой подход позволил получить достаточно простые аналитические формулы для определения перемещений абсолютно жесткого индентора и контактной силы. Однако напряженно-деформированное состояние обрабатываемого объекта не было рассмотрено. А именно это представляет наибольший интерес при рассмотрении реальных технологических задач.

В работах [18] авторы рассматривают динамический упругопластический контакт ударника со сферической оболочкой. Для решения этой задачи они выводят нелинейное интегральное уравнение для определения контактной силы с использованием безмоментных уравнений равновесия сферической оболочки. Однако полученное ими. решение применимо только для небольшого количества простейших моделей пластичности, таких как жесткопластическая, идеально -пластическая и модель Кильчевского. Для моделей материалов, учитывающих упрочнение и релаксацию такой подход неприменим.

Наименее исследованными являются задачи о напряженно -деформированном состоянии контактирующих тел с учетом более сложных реологических свойств их материалов. Большинство таких задач ввиду непреодолимых математических трудностей требует применения различных численных методов. Для этого кроме классической постановки контактной задачи используется ее вариационная формулировка, которая была впервые предложена в работе А. Синьорини [117]. Для применения этой постановки к рассматриваемым задачам строится функционал, минимум которого достигается на решении исходной задачи, при этом в качестве необходимых условий экстремума используются граничные условия.

На поверхности взаимодействия тел вводятся связи, передающие только сжимающие усилия в направлении общей нормали к контактирующим поверхностям. Перемещения соприкасающихся тел в том же направлении ограничиваются условиями непроникновения контактирующих тел друг в друга.

Решение контактной задачи при отсутствии трения в вариационной постановке сводится к минимизации функционала полной энергии системы с линейными ограничениями в виде неравенств. С точки зрения методов оптимизации - это задача квадратичного программирования и для ее решения приемлемы известные процедуры градиентного спуска, возможных направлений, множителей Лагранжа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Овчинникова, Наталья Владимировна, 2013 год

Список использованной литературы

[1] Абрамов, В. О. Мощный ультразвук в металлургии и машиностроении / В. О. Абрамов, О. В. Абрамов, В. В. Артемьев, О. М. Градов, Н. П. Коломеец, В. М. Приходько, А. С. Эльдарханов. - М.: Янус-К, 2006. - 688 с.

[2] Абрамов, В. М. Проблема контакта упругой полуплоскости с абсолютно жестким фундаментом при учете сил трения / В. М. Абрамов // Доклады АН СССР. - 1937. - Т. 17. - № 4.

[3] Абрамян, Б. Л. Об одной контактной задаче, связанной с кручением полого полушара / Б. Л. Абрамян, А. А. Баблоян // Прикладная математика и механика. - 1962. - Т.26. - вып. 3. - С. 471^180.

[4] Абрамян, Б. Л. О симметричном давлении кругового штампа на упругое полупространство при наличии сцепления / Б. Л. Абрамян, Н. X. Арутюнян, А. А. Баблоян // Прикладная математика и механика. - 1966. - Т.30. - вып. 1. - С. 143— 147.

[5] Александров, В. М. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред / В. М. Александров, С. М. Айзикович, А. В. Белоконь, Л. И. Кренев, И. С. Трубчик. - М.: Физматлит, 2006. - 240 с.

[6] Александров, В. М. О приближенном решении одного типа интегральных уравнений / В. М. Александров // Прикладная математика и механика. - 1962. - Т.26. - вып. 5. - С. 934-943.

[7] Александров, В. М. О методе ортогональных полиномов в плоских смешанных задачах теории упругости / В. М. Александров, В. А. Кучеров // Прикладная математика и механика. - 1970. - Т.34. - вып. 4. - С. 643-652.

[8] Александров, В. М. О действии штампана упругий слой конечной толщины / В. М. Александров, И. И. Ворович // Прикладная математика и механика. - 1960. - Т.24. - вып. 2. - С. 323-333.

[9] Александров, В. М. Контактные задачи в машиностроении / В. М. Александров, Б. Л. Ромалис. - М.: Машиностроение, 1986. - 176 с.

[10] Александров, В. М. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел / В. М. Александров, Д. А. Пожарский. - М.: Факториал, 1998. - 288 с.

[11] Александров, В. М. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости / В. М. Александров, М. И. Чебаков. - М.: Физматлит, 2004. -304 с.

[12] Баблоян, А. А. Об одной смешанной задаче для прямоугольника / А. А. Баблоян, Н. О. Гулконян // Известия АН АрмССР. - 1969. - Т.22. - № 1. - С. 316.

[13] Баблоян, А. А. Осесимметричная задача для полого бесконечного цилиндра с периодически насаженными на него дисками / А. А. Баблоян, А. П. Мелконян // Известия АН АрмССР. - 1968. - Т.21. - № 1. - С. 345-351.

[14] Басов, К. А. А^УБ. Справочник пользователя / К. А. Басов. - М.: ДМК Пресс, 2005. - 640 с.

[15] Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. -М.: «Высшая школа», 1968. - 512 с.

[16] Беляев, Н. М. Применение теории Герца к подсчету местных напряжений в точке соприкосновения колеса и рельса / Н. М. Беляев // Вестник инженеров. - 1917. - №2.

[17] Беляев, Н. М. Местные напряжения при сжатии соприкасающихся тел / Н. М. Беляев // Сб. «Инженерные сооружения и строительная механика». - Л.: «Путь» - 1924.

[18] Бирюков, Д. Г. Динамический упругопластический контакт ударника и сферической оболочки / Д. Г. Бирюков, И. Г. Кадомцев // Прикладная механика и техническая физика. - 2002. - Т.43. - №5. - С. 171-175.

[19] Векуа, И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / И. Н. Векуа. - М.: Гостехиздат, 1948. - 296 с.

[20] Векуа, И. Н. Обобщённые аналитические функции / И. Н. Векуа. - М: Наука, 1988.-507 с.

[21] Векуа, И. Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек / И. Н. Векуа // Математический сборник. - 1951- Т.31. - вып. 2. - С. 217-314.

[22] Векуа, И. Н. О сингулярных линейных интегральных управлениях / И. Н. Векуа // Доклады АН СССР. - 1940. - Т.26. - №8. - С.335-338.

[23] Векуа, Н. П. Системы сингулярных интегральных управлений / Н. П. Векуа. - М.: «Наука», 1970.

[24] Ворович, И. И. Некоторые задачи теории упругости для полуполосы / И. И. Ворович, В. В. Копасенко // Прикладная математика и механика. - 1966. -Т.ЗО.-вып. 1.-С. 109-115.

[25] Ворович, И. И. О давлении штампа на слой конечной толщины / И. И. Ворович, Ю. А. Устинов // Прикладная математика и механика. - 1959. - Т.23. -вып. З.-С. 445^155.

[26] Галин, Л. А. Смешанная задача теории упругости с силами трения для полуплоскости / Л. А. Галин // Доклады АН СССР. - 1943. - Т.29. - № 3. - С.88-93.

[27] Галин, Л. А. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления / Л. А. Галин // Прикладная математика и механика. - 1945. - Т.9. - №5. - С.413-424.

[28] Галин, Л. А. Плоская упруго-пластическая задача / Л. А. Галин // Прикладная математика и механика. - 1946. - Т. 10. - вып. 3. - с.367-386.

[29] Галин, Л. А. Контактные задачи теории упругости / Л. А. Галин. - М.: Гостехиздат, 1953. - 264 с.

[30] Галин, Л. А. Развитие теории контактных задач в СССР / Л. А. Галин. -М.: Наука, 1976.-496 с.

[31] Галин, Л. А: Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / Л. А. Галин. - М.: Наука, 1980. - 303 с.

[32] Галин, Л. А. Упругопластические задачи / Л. А. Галин.-М.: Наука, 1984.-232 с.

[33] Горшков, А. Г. Динамические контактные задачи с подвижными границами / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский. -М.: Наука. Физматлит, 1995. -352 с.

[34] Горшков, А. Г. Вертикальный удар цилиндра по упругой полуплоскости / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский // Проблемы взаимодействия деформируемых сред: Тезисы докладов. - Ереван: АН АрмССР, 1984.-С. 125131.

[35] Горшков, А. Г. Плоская задача об ударе твердым телом по упругому полупространству / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский // Гагаринские научные чтенияпо космонавтике и авиации, 1985. - М.: Наука, 1986. - С. 187.

[36] Горшков, А. Г. Удар цилиндрической оболочки по упругому полупространству / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский // Гагаринские научные чтенияпо космонавтике и авиации, 1986. - М.: Наука, 1987. - С. 165.

[37] Горшков, А. Г. Результирующие реакции в пространственной задаче об ударе твердым телом по упругому полупространству / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский // Известия АН СССР: Механика твердого тела. - 1987. - №5. - С. 95-98.

[38] Горшков, А. Г. Алгоритм решения интегральных уравнений двумерных динамических контактных задач с подвижными границами / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский // Тезисы докладов II Всесоюзной конференции по численной реализации физико-механических задач прочности. - Горький: ГГУ, 1987. - С. 7879.

[39] Горшков, А. Г. Динамика абсолютно твердой сферической оболочки с заполнителем при ударе по упругому полупространству / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский // Тезисы докладов II Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур. Т. I. - Львов: Львовский государственный университет, 1987.-С. 74-75.

[40] Горшков, А. Г. Динамическая контактная задача для круговой цилиндрической оболочки и упругого полупространства / А. Г. Горшков, Д. В.

Тарлаковский // Прочность пластин и оболочек при комбинированных воздействиях. - М.: МАИ, 1987. - С. 16-25.

[41] Горшков, А. Г. Напряжения в осесимметричных динамических контактных задачах с подвижными границами / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский // Динамические задачи механики сплошной среды: Тезисы докладов региональной конференции Ч. 1. - Краснодар: Кубанский государственный университет, 1988. - С. 39-41.

[42] Горшков, А. Г. Динамические контактные задачи для абсолютно жестких тел и упругого полупространства / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский. -М.: Препринт / МАИ, 1989. - 49 с.

[43] Горшков, А. Г. Динамические контактные задачи с подвижными границами для упругого полупространства / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский // Доклады расширенных заседаний ИПМ Тбилисского государственного университета. - 1989. - Т. 4. - №2. - С. 61-62.

[44] Горшков, А. Г. Двумерные контактные задачи с подвижными границами / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский. - М.: Препринт / МАИ, 1990. - 48 с.

[45] Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М.: Наука, 1971. 1108 с.

[46] Грилицкий, Д. В. Кручение двухслойной упругой полосы / Д. В. Грилицкий // Прикладная механика. - 1961. Т. 7. - вып. 1.

[47] Грилицкий, Д. В. Осесимметричная контактная задача для трансверсально-изотропного слоя, покоящегося на жестком основании / Д. В. Грилицкий, Я. Н. Кивыма // Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. - 1962. - № 3.

[48] Динник, А. Н. Избранные труды. Том I / А. Н. Динник. - Киев: Издательство Академии Наук Украинской ССР, 1952. - 152 с.

[49] Каменских, А. А. Численный анализ напряженного состояния сферического контактного узла с прослойкой из антифрикционного материала / А.

А. Каменских, Н. А. Труфанов // Вычислительная механика сплошных сред. -2013.-Т. 6, №'1. - С 54 - 61.

[50] Котенева, Н. В. Механический контакт твердых тел в условиях упругопластического взаимодействия / Н. В. Котенева // Ползуновский вестник. -2012. -№1/1. - С. 151-155.

[51] Котенева, Н. В. Упругопластический контакт гладкой сферы с плоской поверхностью при динамическом нагружении / Н. В. Котенева // Известия Томского политехнического. - 2005 . - Т. 308, № 2 . - С. 114-116.

[52] Красовский, А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической кибернетики / А. А. Красовский, Г. С. Поспелов. - М. - Л.: Государственное энергетическое изд-во, 1962. - 600 с.

[53] Кузьмин, Ю. Н. Контактная задача о сжатии упругого слоя двумя штампами / Ю. Н. Кузьмин, Я. С. Уфлянд // Прикладная математика и механика. - 1967. - Т.31. - вып. 4. - С. 711-715.

[54] Кузьмин, Ю. Н. Осесимметричная задача теории упругости для полупространства, ослабленного плоской круглой щелью / Ю. Н. Кузьмин, Я. С. Уфлянд // Прикладная математика и механика. - 1965. - Т.29. - вып. 6. - С. 11321137.

[55] Кулиш, Е. В. Решение контактной задачи прессовых полисоединений / Е. В. Кулиш, Ю. В. Турыгин, Д. Мага // Сборка в машиностроении и приборостроении. - 2008. - №1. - С.33-41.

[56] Лехницкий, С. Г. Теория упругости анизотропного тела. / С. Г. Лехницкий. - М.: Наука, 1977. - 415с.

[57] Лехницкий, С. Г. Анизотропные пластинки / С. Г. Лехницкий. - М.: Гостехиздат, 1958. - 464 с.

[58] Лурье, А. И. Теория упругости/ А. И. Лурье. - М.: Наука, 1980. - 939с.

[59] Михлин, С. Г. О напряжении в породе над угольным пластом / С. Г. Михлин // Известия АН СССР. ОТН. - 1942. - № 7-8.

[60] Михлин, С. Г. Сингулярные интегральные уравнения / С. Г. Михлин // Успехи математических наук. - 1948. - Т.З. - вып.3(25). - С. 29-112

[61] Михлин, С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. - М.: Физматгиз. - 1962. - 265 с.

[62] Мусхелишвили, Н. И. Решение основной смешанной задачи теории упругости для полуплоскости. / Н. И. Мусхелишвили // Доклады АН СССР. -1935. - Т.3(8). - №2(62). - С.51-54.

[63] Мусхелишвили, Н. И. Основные граничные задачи теории упругости для полуплоскости / Н. И. Мусхелишвили // Сообщения АН ГССР. - 1941. - Т. 2. - № 10.

[64] Мусхелишвили, Н. И. К задаче равновесия жёсткого штампа на границе упругой полуплоскости при наличии трения. / Н. И. Мусхелишвили // Сообщения АН ГССР. - 1942. - Т. 3. - №5.

[65] Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения/ Н. И. Мусхелишвили. - М.: Физматгиз, 1962. - 599 с.

[66] Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости/ Н. И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1966. - 707 с.

[67] Новожилов, В. В. Некоторые основные задачи математической теории упругости/ В. В. Новожилов, Ю. И. Кадашевич. - Л.: Машиностроение, 1990. -223 с.

[68] Овчинникова Н. В. Модельная задача для исследования процессов поверхностного упрочнения пластическим деформированием с применением ультразвуковых воздействий / Н. В. Овчинникова, Д. Г. Павлов, Ю. В. Чеботаревский // Вестник СГТУ. 2007, №4(28), вып.1. с. 14-18.

[69] Овчинникова Н. В. О некоторых особенностях применения метода конечных элементов к решению контактной задачи на базе программного комплекса АВА(^и8 / Н. В. Овчинникова, Ю. В. Чеботаревский // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2009. - Т.9. - вып. 2. - С. 82-88.

[70] Овчинникова Н. В. К решению задачи о поверхностном упрочнении металлов с применением ультразвука / Н. В. Овчинникова, Д. Г. Павлов, Ю. В. Чеботаревский // Материалы XV Международного симпозиума «Динамические и

технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А. Г. Горшкова, Ярополец 16-20 февраля 2009г. Том 1. - М.: Изд-во «Типография «ПАРАДИЗ», 2009. - С. 121 -122.

[71] Овчинникова Н. В. Динамика абсолютно жесткого индентора, взаимодействующего с упругопластической средой / Н. В. Овчинникова, В. Э. Джашитов, Ю. В. Чеботаревский // Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А. Г. Горшкова, Ярополец 15-19 февраля 2010г. Том 1. - Ч.: ГУП «ИПК «Чувашия», 2010. - С. 63-65.

[72] Овчинникова Н. В. Об одном аналитическом решении задачи о нелинейных колебаниях материальной точки // Материалы Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Инновации и актуальные проблемы техники и технологий», Саратов 26-29 октября 2010г. Том 1. Саратов: Саратовский государственный технический университет, 2010. - С. 201-203.

[73] Овчинникова Н. В. Расчет напряженно-деформированного состояния упруго-пластической среды, контактирующей с абсолютно жестким индентором / Н. В. Овчинникова, Ю. В. Чеботаревский // Материалы Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Инновации и актуальные проблемы техники и технологий», Саратов 26-29 октября 2010г. Том 2. Саратов: Саратовский государственный технический университет, 2010. - с. 122-125.

[74] Овчинникова Н. В. К расчету напряженно-деформированного состояния упругопластического полупространства, контактирующего с абсолютно жестким индентором / Н. В. Овчинникова, Ю. В. Чеботаревский // Вестник СГТУ. 2010, №4(51), вып.З. с. 10 - 17.

[75] Овчинникова, Н. В. О движении абсолютно жесткого индентора, взаимодействующего с упругопластической средой / Н. В. Овчинникова, Ю. В. Чеботаревский // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. - № 3 (15). - С. 151-164.

[76] Овчинникова Н.В. Инженерный способ расчета НДС упругопластической среды, контактирующей с абсолютно жестким индентором / Н. В.

Овчинникова, Ю. В. Чеботаревский // Участники школы молодых ученых и программы У.М.Н.И.К. : сб. трудов XXIV Междунар. науч. конф. ММТТ-24: -С.234-235.

[77] Овчинникова Н. В. Вариационное уравнение движения континуума «жесткий индентор - деформируемая среда» / Н. В. Овчинникова, Ю. В. Чеботаревский // Вестник СГТУ. - 2011. - №4(60). - вып.2. - С. 48 - 57.

[78] Овчинникова Н. В. Применение метода множителей Лагранжа к решению контактной задачи о взаимодействии деформируемой среды с относительно жестким индентором / Н. В. Овчинникова, Ю. В. Чеботаревский // Вестник СГТУ. - 2012. - №4(68). - вып.2. - С. 36 - 43.

[79] Овчинникова Н. В. Применение метода штрафных функций к выводу вариационного уравнения движения континуума «индентор - деформируемая среда»/ Н. В. Овчинникова, Ю. В. Чеботаревский // Вестник СамГТУ. Серия: Технические науки. - 2013. - №1(37). - С. 127- 134.

[80] Пановко, Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем / Я. Г. Пановко. - М.: Государственное изд-во физ-мат. лит-ры, 1960. - 196 с.

[81] Писаренко, Г. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие / Г. С. Писаренко, Н. С. Можаровский. - Киев: Наукова Думка, 1981. - 496с.

[82] Подгорный, А. Н. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций / П. П. Гонтаровский, Б. Н. Киркач, Ю. И. Матюхин, А. Н. Подгорный, Г. Л. Хавин. - Киев: Наукова Думка, 1989. - 232с.

[83] Попов, Г. Я. Об одном приближенном способе решения некоторых плоских контактных задач теории упругости / Г. Я. Попов // Известия АН АрмССР. Серия физико-математических наук. - 1961. Т. 14. - вып. 3.

[84] Попов, Г. Я. Вдавливание штампа в линейно-деформируемое основание с учетом сил трения / Г. Я. Попов // Прикладная математика и механика. - 1967. -Т.31. - вып. 2.-С. 337-343.

[85] Попов, Г. Я. Плоская контактная задача теории упругости с учетом сил сцепления и трения / Г. Я. Попов // Прикладная математика и механика. - 1966. -Т.ЗО.-вып. З.-С. 551-563.

[86] Рвачев, В. Л. Давление на упругое полупространство штампа, имеющего в плане форму полосы / В. Л. Рвачёв // Прикладная математика и механика. - 1956. - Т.20. - вып. 2. - С. 248-254.

[87] Рвачев, В. Л. К расчету бесконечной балки, лежащей на упругом полупространстве / В. Л. Рвачёв // Прикладная математика и механика. - 1958. -Т.22.-вып. 5.-С. 698-700.

[88] Рвачев, В. Л. О давлении на упругое полупространство штампа заданной формы в плане. / В. Л. Рвачёв // Тезисы докладов Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. - М., 1960.

[89] Рвачев, В. Л. Исследования учёных Украины в области контактных задач теории упругости / В. Л. Рвачев // Прикладная механика. - 1967. - Т. 3. -вып. 10.-С. 109-116.

[90] Рвачев, В. Л. Пространственная контактная задача теории упругости и некоторые её приложения: автореф. дисс. ... док. физ.-мат. наук / Рвачев. - М., 1960.

[91] Рвачев, В. Л. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей / В. Л. Рвачев, В. С. Проценко. - Киев: Наукова думка, 1977. - 235 с.

[92] Станкевич, И. В. Численное решение контактных задач с учетом деформации ползучести / И. В. Станкевич // Инженерный журнал: Наука и инновации. - 2012. - № 4(4). - С. 145-153.

[93] Станкевич, И. В. Математическое моделирование контактного взаимодействия упругопластических сред [Электронный ресурс] / И. В. Станкевич, М. Е. Яковлев, Си Ту Хтет // Наука и образование. - 2012. - №4. -Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/353180.html.

[94] Тарлаковский, Д. В. Плоская задача об ударе цилиндрической оболочки по упругому полупространству / Д. В. Тарлаковский // Труды XIV Всесоюзной

конференции по теории пластин и оболочек. Т. 2. - Тбилиси: Тбилисский государственный университет, 1987. - С. 471-476.

[95] Тарлаковский, Д. В. Применение принципа суперпозиции в осесимметричнойдинамической контактной задаче для упругого полупространства / Д. В. Тарлаковский // Известия АН СССР: Механика твердого тела.- 1988. - №2. - С. 76-84.

[96] Тарлаковский, Д. В. Вертикальный удар абсолютно твердой сферы с заполнителем по упругому полупространству / Д. В. Тарлаковский // Расчет на прочность и оптимальное проектирование элементов авиационных конструкций. -М., 1988.-С. 41-46.

[97] Тарлаковский, Д. В. Удар цилиндрической оболочки с акустическим заполнителем по упругому полупространству / Д. В. Тарлаковский // Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов: Тезисы докладов III Всесоюзной конференции, 1988. - Казань, 1988. -С. 142.

[98] Тарлаковский, Д. В. Удар абсолютно жесткой цилиндрической оболочки с заполнителем по упругому полупространству / Д. В. Тарлаковский // Деформация и разрушение элементов конструкций летательных аппаратов: Тезисы докладов III Всесоюзной конференции. - М., 1989. - С. 129-138.

[99] Томашевский, С. Б. Влияние упругопластических деформаций на результаты решения контактных задач железнодорожного транспорта / С. Б. Томашевский // Вестник БГТУ. - 2011. - № 3(31). - С. 17-23.

[100] Улитко, А. Ф. Растяжение упругого пространства, ослабленного двумя круговыми трещинами, расположенными в одной плоскости / А. Ф. Улитко // Концентрация напряжений. - 1968. - Вып. 2. - С. 201-208.

[101] Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. Часть 1. / Г. М. Фихтенгольц. - СПб.: Изд-во «Лань», 2008. 448 с.

[102] Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. Часть 2. / Г. М. Фихтенгольц. - СПб.: Изд-во «Лань», 2005. 464 с.

[103] Фридман, В. M. Итерационный процесс для решения конечномерной контактной задачи / В. М. Фридман, В. С. Чернина // Высшая математика и математическая физика. - 1967. - Т. 7. - № 1. - С. 160-163.

[104] Фридман, В. М. Решение задачи о контакте упругих тел итерационным методом / В. М. Фридман, В. С. Чернина // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1967. - № 1. - С. 116-120.

[105] Хаяси, Т. Нелинейные колебания в физических системах / Т. Хаяси. -М.: Мир, 1968. 432 с.

[106] Шерман, Д. И. Смешанные задачи теории потенциала и теории упругости для плоскости с конечным числом прямолинейных разрезов / Д. И. Шерман // Доклады АН СССР. - 1940. - Т.27. - № 4. - С.330-334.

[107] Шерман, Д. И. Плоская задача теории упругости со смешанными предельными условиями / Д. И. Шерман // Труды Сейсмол. ин-та АН СССР. -1938.-№86.

[108] Шерман, Д. И. Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах статической теории упругости/ Д. И. Шерман // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. - М.: Наука, 1962.

[109] Штаерман, И. Я. Местные деформации при сжатии упругих круговых цилиндров, радиусы которых почти равны / И. Я. Штаерман // Доклады АН СССР. - 1940.-Т. 29.-№3.

[110] Штаерман, И. Я. Обобщение теории Герца местных деформаций при сжатии упругих тел / И. Я. Штаерман // Доклады АН СССР. - 1940. - Т. 29. - № 3.

[111] Штаерман, И. Я. Контактная задача теории упругости/ И. Я. Штаерман. - М.: Гостехиздат, 1949. - 272 с.

[112] ABAQUS Analysis User's Manual Version 6.4. - Hibbitt: Karlsson & Sorensen, Inc. USA. 2002.

[113] Belytschko, T. Nonlinear finite elements for continua and structures / T. Belytschko, W. K. Liu, B. Moran // Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2000, - P. 666.

[114] Doghri, I. Fully Implicit Integration and Consistent Tangent Modulus in Elasto-Plasticity / I. Doghri // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1993. - vol. 36. - P. 3915-3932.

[115] Herz, H. Uber die Berührung fester elastischer Körper / H. Herz // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1882. - Bd. 92. - S. 156-171.

[116] Herz, H. Gesammelte Werke. Band I: Schriften vermischten Inhalts / H. Herz. - Leipzig: Barth, 1895. - 397 s.

[117] Signorini, A. Questioni di elasticita nonlinearizzata e semilinearizzata / Signorini, A // Rendiconti di Mathematica e dell sue Applicazioni. 1959. - 18. - C. 95139.

[118] Singh, G. Effective Simulation and Optimization of a Laser Peening Process: dissertation ... Doctor of Philosophy / Singh Gulshan. - Wright State University, 2009. - 192 c.