Некоторые модели аппроксимации минимальными сплайнами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Куликов Егор Константинович

• Куликов Егор Константинович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Куликов Егор Константинович

Введение

Глaвa 1. Квaдрaтичныe минимaльныe cплaйны и их cвoйcтвa

1.1. Оcнoвныe oбoзнaчeния и нeкoтoрыe утвeрждeния

1.2. Явныe фoрмулы квaдрaтичных минимaльных cплaйнoв

1.3. Аcимптoтичecкиe рaзлoжeния

1.4. Минимaльныe cплaйны нa ceткe c крaтными узлaми

1.5. Нeкoтoрыe чacтныe cлучaи

Глaвa 2. Аппрoкcимaциoнныe функциoнaлы

2.1. О мeтoдe пocтрoeния приближeния

2.2. Трeхтoчeчныe функциoнaлы

2.3. Уcрeдняющиe функциoнaлы

2.4. Функционалы типа де Бура-Фикса

Глaвa 3. Приклaдныe зaдaчи

3.1. Рeшeниe интeгрaльных урaвнeний Фрeдгoльмa

3.2. Сингулярго вoзмущeнныe крaeвыe зaдaчи

3.3. Аппрoкcимaция трaнcцeндeнтных кривых

Зaключeниe

Спи^к литeрaтуры

Спи^к иллюcтрaтивнoгo мaтeриaлa

Приложение А. Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ №

Приложение Б. Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ №

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые модели аппроксимации минимальными сплайнами»

Введение

Актуaльнocть темы иccлeдoвaния. Многие сигналы, имеющие непрерывную природу в силу естественных ограничений на способы наблюдения за ними (например, количество измерений в единицу времени, которое может выполнить прибор), могут быть представлены лишь дискретным образом и требуют точных методов их восстановления. Кроме того, задачи геометрического моделирования, в особенности связанные с компьютерной графикой или разработкой систем автоматизированного проектирования, требуют специального аппарата построения гладких кривых и поверхностей. Сплайны широко применяются при решении упомянутых задач, что подтверждается большим числом приложений как в научных, так и в технических областях: вычислительной математике, медицине, космической технике, астрономии, геофизике, биологии, нанотехнологических разработках, экономике. Поэтому развитие теории сплайн-функций является актуальной задачей современной вычислительной математики, а также имеет существенное прикладное значение.

Поскольку объемы информационных потоков постоянно увеличиваются, возрастают и объемы их числовой обработки. Эта обработка требует либо колоссальных компьютерных мощностей, либо эффективных алгоритмов, допускающих внедрение параллелизма, сокращающего время вычислений. Бурное развитие параллельных вычислений в последние годы предопределило особую актуальность методов аппроксимации сплайнами, которые допускают эффективное распараллеливание. Такие методы могут применяться в том числе и для решения задач в режиме реального времени.

Степень рaзрaбoтaннocти темы иccлeдoвaния. Можно считать, что классическая теория сплайнов берет свое начало от работ Л. Эйлера,

Г\ и и

поскольку ломаную Эйлера можно рассматривать как простейшую кусочно-линейную сплайновую аппроксимацию. В 1926 году В. Дженкинс [1] фактически рассматривал сплайны, когда исследовал кусочно-полиномиальные функции в теории оскуляторной интерполяции, а в 1944 году Т. Гревилл систематизировал подход Дженкинса в работе [2].

Изначально термин «сплайн» (англ. spline) использовался для названия гибкой линейки (лекала), применявшейся для проведения гладких кривых через заданные точки. В математике этот термин впервые был введен в 1946 году в работе И. Шенберга [3], назвавшего сплайнами кусочно-полиномиальные функции специального вида. Ю. С. Завьялов, первым из отечественных специалистов занявшийся изучением сплайнов, предложил называть их «многозвенниками» [4], однако такое название не прижилось.

В классической теории сплайнов исходным моментом является решение какой-либо задачи интерполяции (например, Лагранжа или Эрмита) в классе функций с определенной гладкостью в узлах рассматриваемой сетки (см. монографии [5-7]). Принципиальным достижением этой теории стало построение B-сплайнов (иногда также называемых базисными), которые при заданной гладкости имеют минимальный носитель. Это обеспечивает лишь локальное изменение интерполирующего сплайна при введении новых узлов интерполяции. Аппроксимационные свойства и вычислительная сложность операций над получаемыми сплайнами всякий раз исследуются дополнительно.

Существует большое количество исследований, посвященных как теоретическим основам, так и практическому применению сплайнов. Помимо упомянутых выше, отметим монографии [8-10] и обзорную работу [11]. Среди отечественных специалистов, внесших существенный вклад в развитие теории сплайн-функций в последние десятилетия, выделим Ю. С. Волкова, Ю. К. Демьяновича, Б. И. Квасова, В. Н. Малоземова, А. Б. Певного, Ю. Н. Субботина, В. Т. Шевалдина, Б. М. Шумилова и др.

В связи с появлением теории метода конечных элементов получило развитие и другое направление теории сплайн-функций, которое опирается на аппроксимационные свойства получаемых сплайнов, где определение ба-

1 U

зисных функций связано с решением аппроксимационных соотношении, рассматриваемых как система уравнений. Такой подход применялся Дж. Го-элом [12], Дж. Фиксом и Дж. Стрэнгом [13]. В 1973 году С. Г. Михли-ным и Ю. К. Демьяновичем [55] предложен подход к построению полиномиальных сплайнов, удовлетворяющих аппроксимационным соотношени-

ям и имеющих заданную гладкость. Построенные таким образом функции называются минимальными сплайнами для данных аппроксимационных соотношений и для заданной гладкости. Если воспользоваться аппрокси-мационными соотношениями интерполяционного характера, то получатся аппроксимации, точные на полиномах определенной степени (показатель этой степени называется порядком точности).

Обобщению аппроксимационных соотношений и развитию на их основе общей теории минимальных сплайнов посвящены работы Ю. К. Демьяновича и его учеников, в которых построенные аппроксимации обладают свойством точности на степенях заданной произвольной достаточно гладкой функции. Интерес к использованию неполиномиальных сплайнов в практических приложениях обусловлен возможностью получать более точные и устойчивые приближения при сопоставимой сложности реализации на различных вычислительных системах и затратах ресурсов вычислительных устройств. Рассматривая литературу по теории минимальных сплайнов и их приложениям, отметим в первую очередь монографии Ю. К. Демьяновича [56-58], а также работы [59-62, 66, 68, 69] членов его исследовательского коллектива.

Задачи практического характера, как правило, предполагают использование минимальных сплайнов (как полиномиальных, так и неполиномиальных) невысоких порядков. Это связано с тем, что при повышении порядка увеличивается длина носителя сплайн-функции и, как следствие, эффект локальности ослабевает. Кроме того, чем короче носитель (и чем меньшее число сплайн-функций имеют в каждой конкретной точке отрезка ненулевое значение), тем более эффективная схема распараллеливания алгоритма аппроксимации может быть предложена. Наконец, чем выше порядок сплайна, тем сложнее проверять его свойства. В данной работе мы будем рассматривать только квадратичные минимальные сплайны. Несмотря на то, что к настоящему моменту такие сплайны уже довольно неплохо изучены (см., например, [56-58] и библиографию в них), остается ряд вопросов, исследование которых продолжает быть весьма важным для дальнейшего развития общей теории, поскольку в фокусе внимания предыду-

щих исследований, как правило, находились интерполяционные сплайны, а сплайн-функции, не имеющие подобных свойств, рассматривались значительно реже.

Во-первых, формулы для построения минимальных сплайнов в общем виде являются достаточно громоздкими, поэтому возникает вопрос возможности получения более простого представления сплайнов (в лучшем случае — в виде одного терма) и выражения их значения в произвольной точке в явном виде лишь с помощью значений компонент порождающей вектор-функции в некоторых точках сетки. Такое представление было построено для минимальных сплайнов произвольного порядка в общем виде в работе [62], однако более простые представления в некоторых частных случаях оказываются более удобными. Для сплайнов нулевого и первого порядка они были приведены в [69].

Во-вторых, почти не были исследованы свойства квадратичных минимальных сплайнов на сетке с кратными узлами (хотя работу [63], исследующую влияние кратных узлов на свойства квазиэрмитовых сплайнов, не упомянуть нельзя). Такие сетки возникают в задачах геометрического моделирования, например, при необходимости проведения гладкой кривой, проходящей через заданную точку [26]. Также кратные узлы удобно искусственно добавлять в расчетную сетку для построения сплайна в окрестности концов отрезка аппроксимации.

Наконец, хотя некоторые важные (например, с точки зрения построения формосохраняющей аппроксимации) свойства квадратичных минимальных сплайнов уже изучены в общем случае (например, в [65] были предъявлены необходимые и достаточные условия положительности таких сплайнов), проверка таких условий в практических приложениях может быть достаточно затруднительной. В то же время, выполнение подобных свойств необходимо для их практического применения в задачах геометрического моделирования, связанных с построением обобщенных NURBS кривых для систем автоматизированного проектирования (см., например, работы [14, 15]), в задачах изогеометрического анализа — активно развивающегося вычислительного подхода, который предлагает возможность непосредственно-

го интегрирования конечно-элементного анализа в обычные средства проектирования (подробности см. в монографии [16]), а также в задачах фор-мо сохраняющей аппроксимации [10]. Поэтому если для минимальных сплайнов, связанных с конкретной порождающей вектор-функцией, оказывается возможным установить аналогичные свойства при более слабых ограничениях, то такие результаты представляют интерес. Например, в [67] были построены условия положительности тригонометрических минимальных сплайнов, зависящие лишь от величины шагов расчетной сетки.

Задача сплайн-аппроксимации требует не только построить сами базисные функции и установить их свойства, но и определить коэффициенты при них. Одним из классических способов их определения является решение системы линейных алгебраических уравнений, каждое из которых выражает точность аппроксимации в одном из узлов интерполяции. Таким образом, порядок полученной системы сопадает с количеством узлов интерполяции, поэтому ее решение в контексте практических задач может требовать колоссальных вычислительных ресурсов.

В последние десятилетия активное развитие получил альтернативный подход — локальные методы, в которых коэффициенты при базисных функциях определяются как значения аппроксимационных функционалов, представляющих из себя, например, линейные комбинации значений исходной функции и ее производных в нескольких точках (подробнее см. [5-7, 9, 10, 56]). Локальные схемы, в которых достигается максимальный порядок точности, называют квазиинтерполяцией, а возникающие при их построении функционалы — квазиинтерполяционными. Приближение функций на основе квазиинтерполяции широко применяется при решении краевых задач математической физики [17-19, 38], в методах численного дифференцирования и интегрирования [20], в системах автоматизированного проектирования и др. Отметим недавно опубликованную монографию [21], посвященную квазиинтерполяции, и библиографию в ней, содержащую более сотни наименований.

В классической теории сплайнов для решения задачи интерполяции параболическими сплайнами распространены два подхода: по Субботину и

по Марсдену. Ю. Н. Субботин предложил узлы сплайна выбирать посередине между заданными точками интерполяции, а М. Марсден стал считать сетку узлов сплайна заданной, а точки интерполяции выбирал посередине между узлами сплайна. Вообще говоря, в случае неравномерных сеток получаются две принципиально разные конструкции, имеющие различные аппроксимационные свойства, в целом предназначенные для решения разных задач (подробнее см. [22]). Оказывается, что при квазиинтерполяции квадратичными полиномиальными сплайнами можно использовать подходы, схематически аналогичные интерполяции по Субботину и по Марсдену. А. И. Гребенников [28] аналогично Ю. Н. Субботину строил уcрeдняю-щш локальные схемы, выбирая узлы сплайна посередине между заданными дискретными значениями функции, а позже П. Саблонир [27] аналогично М. Марсдену стал считать сетку узлов сплайна заданной, а точки для квазиинтерполяции выбирал посередине между узлами сплайна. Отметим, что эти схемы являются частными случаями построенных в данной работе схем при выборе полиномиальной порождающей вектор-функции для построения минимальных сплайнов. Вообще говоря, можно рассматривать и смешанную конструкцию упомянутых выше подходов — п-точечную квазиинтерполяцию. В этом случае сетка узлов сплайна считается заданной, а точки для квазиинтерполяции выбираются и в ocнoвных узлах сплайна, и в дoпoлнитeльных узлах сетки — между узлами сплайна. Такой подход рассматривался, например, в монографии [26].

Квазиинтерполяционные функционалы были построены для различных видов сплайн-функций [23-28, 70], однако вопрос о явном виде ап-проксимационных функционалов того или иного типа для квадратичных минимальных сплайнов до недавнего времени оставался открытым. Такие функционалы впервые были построены автором диссертационного исследования в работах [73, 79].

Приближение функций на основе квазиинтерполяции оказывается удобным механизмом решения многих прикладных задач. Целый ряд приложений можно найти, например, в работах А. И. Гребенникова [28], С. Ф. Сви-ньина [29, 30] и др. Рассмотрим отдельно прикладные задачи, рассматривае-

мые в диссертационной работе.

Методы, основанные на квазиинтерполяции, неоднократно применялись при построении алгоритмов приближения решений интегральных уравнений. В частности, в работах [17, 32] было показано, что замена решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода линейной комбинацией В-сплайнов, коэффициенты при которых вычисляются с помощью квазиинтерполяции функций, входящих в уравнение, позволяет получать достаточно точные приближения к решению при использовании целого ряда подходов (например, метод Галеркина, метод Канторовича, метод итераций Слоана [31], метод Кулкарни [32], метод вейвлет-Галеркина [33] и др.). Однако в упомянутых подходах в качестве базисных функций использовались В-сплайны, что оставляет открытым вопрос о возможности получения более точных и более устойчивых приближений на основе сплайнов, порожденных базисами из неполиномиальных функций. Также не был исследован вопрос о возможности применения аналогичных подходов к аппроксимации (в том числе, в сочетании с другими методами) для построения приближенных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода, представляющих из себя некорректно поставленную вычислительную задачу и требующих проводить регуляризацию Тихонова [34, 35] в процессе решения. Отметим здесь также подход И. Г. Буровой к численному решению интегральных уравнений Фредгольма, использующий аппроксимационные соотношения и интегро-дифференциальные сплайны (подробнее см. работы [36, 37] и цитируемую там библиографию).

Кроме того, некоторые физические процессы (среди них, например, упомянем конвективно-диффузионные с преобладающей конвекцией) моделируются на основе решения сингулярно возмущенных краевых задач. Решения таких задач имеют большие градиенты в области пограничного слоя, поэтому в некоторых ситуациях классические разностные схемы не обладают свойством сходимости. Поэтому вместо них активно исследуются методы, основанные на использовании сеток, сгущающихся в пограничном слое. В работе [45] показано, что применение кубических сплайнов для аппроксимации функций, имеющих большой градиент в экспоненциальном погранич-

ном слое, на равномерной сетке приводит к существенным погрешностям, однако применение сетки Шишкина [44] позволяет в ряде случаев повысить качество приближения. Более точная аппроксимация из работы [46] основана на применении параболической сплайн-интерполяции по Субботину на сетке Шишкина. Методам аппроксимации функций с погранслой-ной составляющей посвящена монография авторов этих статей [47]. Однако остается неисследованным вопрос о возможности построения качественных аппроксимаций в пограничном слое, основанных на минимальных сплайнах, которые допустимо строить в том числе и на являющихся неравномерными сетках Шишкина.

Известно, что с помощью В-сплайнов нередко затруднительно получить точные представления таких трансцендентных кривых, как конические сечения, винтовые линии, гиперболы, цепные линии. Поэтому в системах автоматизированного проектирования подобные В-сплайнам функции (например, NURBS-кривыe) рассматриваются также над пространствами, линейная оболочка которых содержит тригонометрические и гиперболические функции. Такие сплайны (например, ОВ-сплайны, ТВ-сплайны) рассматривались в работах [51-53]. В связи с этим возникает вопрос о возможности применения минимальных сплайнов, порожденных тригонометрическими и гиперболическими функциями, для приближения трансцендентных кривых, а также их использования в задачах изогеометрического анализа.

Цeлью данной работы является построение новых моделей сплайн-аппроксимации, основанных на использовании квадратичных минимальных сплайнов в качестве базисных функций, коэффициенты при которых вычисляются как значения аппроксимационных функционалов в некоторых точках.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие зaдaчи:

1. Получить явные формулы квадратичных минимальных сплайнов (максимальной гладкости), использующие только значения компонент порождающей вектор-функции в точках расчетной сетки (в том числе с кратными узлами), удобные для проведения вычислений в прак-

тических задачах. Установить важные с практической точки зрения свойства таких сплайнов (интервалы знакопостоянства, положительность, характер выпуклости) для некоторых порождающих вектор-функций.

2. Разработать методы построения аппроксимационных функционалов для упомянутых сплайнов, получив явные формулы их представления.

3. Разработать комплекс программ для проведения численных экспериментов по применению предложенных моделей аппроксимации в практических приложениях.

4. Провести численные эксперименты, демонстрирующие возможность применения указанных аппроксимационных схем в прикладных задачах: для уточнения методов решения интегрального уравнения Фред-гольма первого рода и интегрального уравнения Фредгольма второго рода, при аппроксимации решений сингулярно возмущенных краевых задач в пограничном слое, для приближения трансцендентных кривых.

Нaучнaя нoвизнa. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Тeoрeтичecкaя и прaктичecкaя знaчимocть. Работа носит теоретический характер, а также представляет практический интерес. Полученные результаты могут быть применены для разработки высокоэффективных алгоритмов решения различных прикладных задач, основанных на интерполяции и аппроксимации функций, решении ряда задач математической физики и задач геометрического моделирования (для построения кривых и поверхностей на основе сплайнов), а также при построении параллельных форм упомянутых алгоритмов.

Мeтoдoлoгия и мeтoды иccлeдoвaния. В работе используются методы линейной алгебры, теории функций вещественного переменного, элементы функционального анализа, методы вычислительной математики. Для

построения минимальных сплайнов применен метод аппроксимационных соотношений. Построение численных методов решения сингулярно возмущенных краевых задач основано на методах адаптации расчетных сеток. При построении численных методов решения интегральных уравнений Фред-гольма первого рода использован метод регуляризации Тихонова. При проектировании и разработке комплекса программ были применены принципы структурного и объектно-ориентированного программирования, а также техника символьных вычислений.

Пoлoжeния, вынocимыe нa зaщиту

1. Получены формулы построения квадратичных минимальных сплайнов (максимальной гладкости), явно зависящие только от компонент порождающей вектор-функции, на сетках с кратными узлами. Приведены примеры построения таких сплайнов и исследованы их свойства.

2. Построены явные представления аппроксимационных функционалов различных типов для упомянутых сплайнов. Показано, что при использовании полиномиальной порождающей вектор-функции построенные функционалы совпадают с известными квазиинтерполяционными функционалами для В-сплайнов.

3 1 Г и и и

. Предложен уточненный метод сплайн-коллокаций решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, основанный на одном из рассматриваемых подходов к аппроксимации квадратичными минимальными сплайнами. Предложен численный метод решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода, основанный на регуляризации этого уравнения и его приведении к уравнению второго рода, которое впоследствии решается уточненным методом сплайн-коллокаций.

4. Предложен численный метод аппроксимации функций с большими градиентами в пограничном слое, основанный на приближении ква-

дратичными минимальными сплайнами на кусочно-равномерной сетке Шишкина.

5. Разработан комплекс программ, позволяющий строить приближения функций в соответствии с предложенными моделями аппроксимации, а также реализующий алгоритмы предложенных численных методов. Приведены результаты численных экспериментов, которые были проведены с помощью разработанного программного комплекса.

Стeпeнь дocтoвeрнocти и aпрoбaция рeзультaтoв. Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами; теоретические результаты согласуются с проведенными численными экспериментами.

Проведенные в рамках данной работы исследования были поддержаны грантом РФФИ «Аспиранты» («О сплайн-аппроксимации в задачах изо-геометрического анализа», проект № 20-31-90095), а также грантом Президента РФ («Разработка методов фильтрации и обеспечения целостности цифровых потоков данных большого объема», проект № МД-2242.2019.9). Руководителем грантов в обоих случаях являлся А. А. Макаров, автор диссертационной работы участвовал в них в качестве соисполнителя.

Основные результаты диссертационной работы были доложены на конференциях:

• «1^егпайопа1 СоМегепсе in АрргохтаШп ТЬеогу», Georgia Southern Un^^ty, USA (2017)

• «1^егпайопа1 workshop оп Wavelets, Frames and АррНсайо^ III», ипгуегейу of Delhi, India (2017)

• «12th International On-Line Conference оп Application of Mathematics in ТесЬшса1 and Natural Sciences (AMiTaNS'20)» (2020)

• «Апа1уйса1 and Numerical Methods in Differential Equations: а virt^l conference оп occasion of Ле 100th birthday of Academician №коЫ N. Yanenko»,

Suranaree University of Technology, Thailand (2021)

• «Десятая Сибирская конференция по параллельным и высокопроизводительным вычислениям»,

Томский государственный университет, Россия (2021)

• «ТЬе 1МегпаШпа1 СоМегепсе оп Differential aпd Fuпctioпal Differen-

Equations»,

Российский университет дружбы народов, Россия (2022)

Результаты работы также докладывались на семинаре кафедры параллельных алгоритмов математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (рук. проф. Ю. К. Демьянович), а также на семинаре по вычислительной математике Санкт-Петербургского государственного политехнического университета им. Петра Великого (рук. доц. М. Е. Фролов).

Основные результаты работы изложены в восьми статьях [73-80] в журналах, которые входят в перечень рецензируемых научных изданий, рекомендованных ВАК. Все перечисленные работы, кроме [80], были проиндексированы в базе данных Scopus.

В совместных работах А. А. Макарову принадлежит общая постановка задач, верификация полученных результатов и указание возможных приложений, а также участие в постановке некоторых численных экспериментов.

Также было получено два свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ, реализующих разработанные в рамках диссертационного исследования численные методы и использовавшихся для проведения численных экспериментов. Программа [81] (Приложение А) использовалась для построения аппроксимации с параметрами контроля формы, а программа [82] (Приложение Б) — для апробации численных методов решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода и интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Структурa и oбъeм диcceртaции. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, библиографии и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 85 страниц. Библиография содержит 82 наименования, в число которых включены 8 статей автора по

теме диссертации. Также в приложениях к диссертации приводятся сведения о двух полученных свидетельствах о регистрации программ для ЭВМ, созданных в процессе проведения диссертационного исследования. Теоремы, определения и замечания в работе имеют сквозную нумерацию.

Сoдeржaниe рaбoты. Работа состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы.

Во ввeдeнии диссертационной работы обосновывается актуальность исследования, формулируются цели и задачи, аргументируется научная новизна результатов исследования, обосновывается теоретическая и практическая значимость полученных результатов, приводятся сведения об апробации результатов. Кроме того, приводятся формулировки основных положений, выносимых на защиту.

Пeрвaя глaвa посвящена элементам теории квадратичных минимальных сплайнов. Глава разбита на пять параграфов. В первом параграфе вводятся основные понятия, используемые в тексте диссертационной работы, и связанные обозначения. Второй параграф посвящен построению явных формул квадратичных минимальных сплайнов. Приводятся соотношения, позволяющие выразить сплайн-функции на каждом из интервалов области определения в виде одного терма лишь с помощью значений компонент порождающей вектор-функции в некоторых точках сетки. В третьем параграфе получены асимптотические представления для квадратичных минимальных сплайнов. Оказалось, что главная часть асимптотики совпадает с представлением В-сплайна. С помощью полученных асимптотических разложений в четвертом параграфе оказывается возможным построить сплайны на сетке с кратными узлами, вычислив их значения во всех точках этой сетки, в том числе и в кратных узлах. Наконец, в пятом параграфе рассматриваются свойства тригонометрических и гиперболических квадратичных минимальных сплайнов. Полученные результаты представляют ценность с точки зрения возможности применения этих сплайн-функций в прикладных задачах, например, задачах геометрического моделирования, изогеометри-ческого анализа и др.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Куликов Егор Константинович, 2023 год

Список литературы

1. ,1епктв W. А., Osculatory 1п1егроЫ;юп: New Derivatюn aпd Formulae.

— Record of the American Institute of Actuaries 15 — 1926 — 87 р.

2. GreviUe Т. N. Е., ТЬе General ТЬеогу of Osculatory Interpolation. — ТЬе Transactions of the Actuarial Society of Атепса, vol. 45 — 1944 — р. 202265.

3. Schoenberg I. 3, Со^пЬиШ^ to the РгоЬ1ет of Approximation of Equidistant Data Ьу Analytic Functions. — Quarterly of Applied Mathematics, vol. 4 — 1946 — р. 45-99, р. 112-141.

4. Завьялов Ю. С., Применение вычислительных систем для решения сложных задач проектирования в машиностроении // Вычислительные системы. Вып. 38. Новосибирск: ИМ СО АН СССР — 1970 — с. 322.

5. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л., Методы сплайн-функций. — Москва: Наука — 1980 — 536 с.

6. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н., Сплайны в вычислительной математике. — Москва: Наука — 1976 — 248 с.

7. Schumaker L. L., Spline Functions: Basic ТЬеогу, 2nd Edition. — Cambridge ^^еге^у Press, Cambridge — 2007 — 600 р.

8. Алберг Дж., Нильсон Э, Уолш Дж., Теория сплайнов и ее приложения. — Москва: Мир — 1972 — 316 с.

9. де Бор К., Практическое руководство по сплайнам. — Москва — 1984

— 303 с.

10. Квасов Б. И., Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами.

— Москва: Физматлит — 2006 — 416 с.

11. Волков Ю. С., Субботин Ю. Н., 50 лет задаче Шенберга о сходимости сплайн-интерполяции. — Труды ИММ УрО РАН, т. 20(1) — 2014 —

p. 52-67.

12. Goel J. J., Construction of Basis Functions for Numerical Utilization of Ritz's Method. — Numerical Mathematics, vol. 12 — 1968 — p. 435-447.

13. Strang G, Fix G., Fourier Analysis of the Finite Element Method in Ritz-Galerkin theory. — Studies in Applied Mathematics, vol. 48(3) — 1969 — p. 265-273.

14. Pena J. M., Shape Preserving Representations for Trigonometric Polynomial Curves. — Computer Aided Geometric Design, vol. 14(1) — 1997 — p. 5-11.

15. Xu G, Wang G. Z., AHT Bezier Curves and NUAHT B-Spline Curves. — Journal of Computer Science and Technology vol. 22(4) — 2007 — p. 597607.

16. Cottrell J. A., Hughes Th. J. R, Bazilevs Yu., Isogeometric Analysis: Towards Integration of CAD and FEA. — John Wiley & Sons — 2009 — 360 p.

17. Dagnino C, Remogna S., Sablonniere P., On the Solution of Fredholm Integral Equations Based on Spline Quasi-interpolating Projectors. — BIT Numerical Mathematics vol. 54(4) — 2014 — p. 979-1008.

18. Derakhshan M., Zarebnia M., On the Numerical Treatment and Analysis of Two-Dimensional Fredholm Integral Equations Using Quasi-interpolant.

— Computational and Applied Mathematics, vol. 39:106 — 2020.

19. Yu R.-G, Wang R.-H, Zhu C.-G, A Numerical Method for Solving KdV Equation With Multilevel B-spline Quasi-interpolation. — Applicable Analysis, vol. 92(8) — 2013 — p. 1682-1690.

20. Sablonniere P, Shibih D., Mohamed T., Numerical Integration Based on Bivariate Quadratic Spline Quasi-interpolants on Powell-Sabin Partitions.

— BIT Numerical Mathematics, vol. 53(1) — 2013 — p. 175-192.

21. Buhmann M, Jäger J., Quasi-Interpolation. — Cambridge University Press

— 2022 — 300 p.

22. Волков Ю. С., Шевалдин В. Т., Условия формосохранения при интерполяции сплайнами второй степени по Субботину и по Марсдену. — Труды ИММ УрО РАН, т. 18(4) — 2012 — p. 145-152.

23. Jiang Y, Xu Y., B-spline Quasi-interpolatюn оп Sparse Grids. — Jourпal of ^mplexity ™l. 27(5) — 2014 — p. 466-488.

24. Gao W., Wu Z., A Quasi-interpolation Scheme for Perfodic Data Based оп Multiquadric Trigonometric B-splines. — Journal of Computational and Applied Mathematics, ™l. 271 — 2014 — p. 20-30.

25. Constantini P., Manni C, Pelosi F., Lucia Sampoli M., Quasiinterpolation in Isogeometric Analysis Based оп Generalized B-splines. — ^mputer Aided Geometric Design, vol. 27(8) — 2010 — p. 655-668.

26. Lyche T., Mörken K., Spline Met^ds. Draft. — Centre of Mathematics for Applicatfons, University of Osfo — 2005 — 235 p.

27. Sablonniere P., Quadratic Spline Quasi-interpolants оп Bounded Domains of Rd, d = 1, 2, 3. — Rendiconti del Seminarfo Matematico, vol. 61(3) — 2003 — p. 229-246.

28. rpe6eHHUKoe А. И., Мeтoд cплaйнoв и рeшeниe нeкoррeктных зaдaч в тeoрии приближeний. — Мocквa: Издaтeльcтвo Мо^ов^ого унивeрcи-тeтa — 1983 — 208 c.

29. Свиньин С. Ф., Тeoрия и мeтoды фoрмирoвaния выборок cигнaлoв c инфинитными cпeктрaми. — СПб: Нaукa — 2016 — 72 c.

30. Свиньин С. Ф., Бaзиcныe cплaйны в тeoрии oтcчeтoв cигнaлoв. — СПб: Ha^a — 2003 — 140 c.

31. Sloan I., Improvement by Iteratfon for Compact Operator Equatfons. — Mathematics of Computation, vol. 30 — 1976 — p. 758-764.

32. Allouch C, Sablonniere P., Sbibih D., A Modified Kulkarni's MethDd Based

on a Discrete Spline Quasi-interpolant. — Mathematics and Computers in Simulation vol. 81 — 2011 — p. 1991-2000.

33. Cerna D., Finek V., Galerkin method with new quadratic spline wavelets for integral and integrodifferential equations. — Journal of Computational and Applied Mathematics vol. 3636 — 2020 — p. 426-443.

34. Tikhonov A. N., On the Solution of Incorrectly Posed Problem and the Method of Regularization. — Journal of Soviet Mathematics, vol. 4 — 1963

— p. 1035-1038.

35. Phillips D. L., A Technique for the Numerical Solution of Certain Integral Equations of the First Kind. — Journal of the ACM, vol. 9(1) — 1963 — p. 84-97.

36. Burova I. G, Domnin N. S., On the Solution of the Fredholm Equation with the Use of Quadratic Integro-Differential Splines. — Lecture Notes in Electrical Engineering, vol. 574 — 2019 — p. 35-41.

37. Burova I. G., Fredholm Integral Equation and Splines of the Fifth Order of Approximation. — WSEAS Transactions on Mathematics, vol. 21 — 2022

— p. 260-270.

38. Li M, Chen L, Ma Q., A Meshfree Quasi-Interpolation Method for Solving Burgers' Equation. — Computational Methods for Engineering Science, vol. 2014(3) — 2014 — p. 1-8.

39. Burova I. ., Ryabov V. M., On the Solution of Fredholm Integral Equation of the First Kind. — WSEAS Transactions on Mathematics, vol. 19 — 2021

— p. 699-708.

40. Лeбeдeвa А. В., Pn6oe В. М., О perynHproan^ рeшeния интeгрaльных ypaвнeний nepBoro poдa c пoмoщью квaдpaтypных фopмyл. — Вecтник CaHKT-neTep6yprcKoro yHmepcrneTa, cep. 1, т. 8(66), № 4 — 2021 — p. 593-599.

41. Wazwaz A., The Regularization Method for Fredholm Integral Equations

of the First Kind. — Computers & Mathematics with Applications, vol. 61, №. 10 — 2011 — p. 2981-2986.

42. Yuan D., Zhang X., An Overview of Numerical Methods for the First Kind Fredholm Integral Equation. — SN Applied Sciences, vol. 10 — 2019

— p. 1178-1190.

43. Бaхвaлoв Н. С., К onraMroao^ мeтoдoв peшeния KpaeBbix зaдaч при таличии пoгpaничнoгo cnoH. — Журтал вычиcлитeльнoй MaTeMarara и мaтeмaтичecкoй физики, т. 9, вып. 4 — 1969 — c.841-890.

44. Шишкин Г. И., Сeтoчныe aппpoкcимaции ш^^лярто вoзмyщeнных эл-липтичecких и пapaбoличecких ypaвнeний. — Екaтepинбypг: УрО РАН

— 1992.

45. Блaтoв И. А., 3adopuH А. И., Kumaeea Е. В., Аппpoкcимaция функции и ee пpoизвoдных Ha ocHoBe кyбичecкoй cплaйн-интepпoляции при нaличии пoгpaничнoгo cлoя. — Жypнaл вычиcлитeльнoй мaтeмaтики и мaтeмaтичecкoй физики, т. 59, вып. 3 — 2019 — c. 367-379.

46. Блaтoв И. А., 3adopuH А. И., Kumaeea Е. В., Об и^^р^пя^и пapaбo-личecким cплaйнoм функций c бoльшими гpaдиeнтaми в пoгpaничнoм cnoe. — Сибиржий мaтeмaтичecкий жypнaл, т. 58, вып. 4 — 2017 — c. 745-760.

47. Блamoв И. А., Дoбрoбoг Н. В., 3adopuH А. И., Мeтoды cплaйн-фyнкций для зaдaч c пoгpaничным cлoeм. — Сaмapa: ПГУТИ — 2019 — 258 c.

48. Blatov I. A., Zadorin A. I., Kitaeva E. V., On the Uniform Convergence of Parabolic Spline Interpolation on the Class of Functions with Large Gradients in the Boundary Layer. — Numerical Analysis and Applications, vol. 10(2) — 2017 — p. 108-119.

49. Linss T., The Necessity of Shishkin Decompositions. — Applied Math. Letters, 14 — 2001 — p. 891-896.

50. Kopteva N, O'Riordan E., Shishkin Meshes in the Numerical Solution of

Singularly Perturbed Differential Equations. — Ш^таШ^! Journal of Numerical Analysis and Modeling, vol. 7(3) — 2010 — р. 393-415.

51. Куавоу В. I., Sattayatham Р., СБ-splines of АгЬ^гагу Order. — Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 104, — 1999 — р. 63-88.

52. Costantтi Р., Lyche Т., Ыатт С., оп а Class of Weak Tchebycheff Systems. — Numerical Mathematics, vol. 101 — 2005 — р. 333-354.

53. Lyche Т., Ыапт С., Speleers Н., Tchebycheffian B-splines Revisited: ап Introductory Exposition. — Advanced Methods for Geometric Modeling and Numerical Simulation, vol. 35(10) — 2019.

54. Корнейчук Н. П., Сплайны в теории приближения. — Издательство Наука — 1984 — 350 с.

55. Демьянович Ю. К., Михлин С. Г., О сеточной аппроксимации функций соболевских пространств. — Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 35 — 1973 — с. 6-11.

56. Демьянович Ю. К., Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. — Издательство Санкт-Петербургского университета — 1994 — 356 с.

57. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К., Минимальные сплайны и их приложения. — Издательство Санкт-Петербургского университета — 2010 — 364 с.

58. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К., Евдокимова Т. О. , Сплайн-всплески и их реализация. — Издательство Санкт-Петербургского университета — 2017 — 414 с.

59. Демьянович Ю. К., Иванцова О. Н., Гладкость пространств сплайнов третьего порядка. — Математические модели. Теория и приложения, вып. 7. СПб.: ВВМ — 2006 — с. 58-64.

60. Демьянович Ю. К., О. М. Косогоров, Сплайны и биортогональные системы. — Записки научных семинаров ПОМИ, т. 367 — 2009 — с. 9-

61. Демьянович Ю. КЛебединский Д. М, Лебединская Н. А., Двусторонние оценки некоторых координатных сплайнов. — Записки научных семинаров ПОМИ, т. 439 — 2015 — с. 74-92.

62. Dem,yanovich Уи. К., Evdokimova Т. О., Prozorova Е. V., Оп Geпeral Smoothness of Мтта1 Splines of Ле Lagrange 1уре. — WSEAS Тга^асШ^ оп Mathematics, vol. 17 — 2018 — р. 304-310.

63. Демьянович Ю. К., Квазиэрмитовы сплайны второго порядка. — Вычислительные методы и программирование т. 5(1) —2004 — р. 229-239.

64. Dem,yanovich Уи. К., Asymptotic Representations of Coordinate Splines.

— Journal of Ма^ета^са1 Sciences, vol. 157(5) — 2009 — р. 681-688.

65. Dem,yanovich Уи. К., ЗиаЫзоиа О. N,Khodakovskii V. А., Positivity of Мтша1 Coordinate Splines. — Journal of Mathematical Sciences, vol. 219(6) — 2016 — р. 1-23.

66. Демьянович Ю. К., Макаров А. А., Калибровочные соотношения для неполиномиальных сплайнов. — Проблемы математического анализа, вып. 34 — 2006 — с. 39-54.

67. Демьянович Ю. К., Макаров А. А., Необходимые и достаточные условия неотрицательности координатных тригонометрических сплайнов второго порядка. — Вестник Санкт-Петербургского университета, т. 4 (62) вып. 1 — 2017 — с. 9-16.

68. Kosogorov О., Makarov А., оп Some Piecewise Quadratic Spline Functions.

— Lecture Notes т Сотр^ег Science, vol. 10187 — 2017 — р. 448-455.

69. Макаров А. А., О построении сплайнов максимальной гладкости. — Проблемы математического анализа, вып. 60 — 2011 — с. 25-38.

70. Макаров А. А., Биортогональные системы функционалов и матрицы декомпозиции для минимальных сплайнов. — Украшський математич-ний вкник. т. 9(2) — 2012 — с. 219-236.

71. Макаров А. А., О двойственных функционалах к минимальным сплайнам. — Записки научных семинаров ПОМИ, т. 453 — 2016 — с. 198-218.

72. Makarov A.A., On Ехатр1е of Circutar Агс Арргохшайоп by Quadratic Мтша1 Splines. — Poincare Jorn^l of Analysis & Applications, vol. 2018(2) — 2018 — p. 103-107.

73. Kulikov E. K, Makarov A. A., On de Boor-Fix Type Fun^o^te for Мтша1 Splines. — Topks in C^ss^l and Modern Analysis (Applied and Numerical Harmonic Analysis) — 2019 — p. 211-225.

74. Kulikov E. K, Makarov A. A., On Approximation by Hyperbolk Splines.

— Jour^l of Ма^тайса! Sciences, vol. 240(6) — 2019 — p. 822-832.

75. Kulikov E. K., Makarov A. A., Quadratic Minimal Splines with Multiple Nodes. - Jour^l of Mathematical Sciences, vol. 249(2) — 2020 — p. 256262.

76. Куликoв Е. К., MaKapoe А. А., О приближeннoм рeшeнии oднoй сингу-лярго вoзмущeннoй крaeвoй задачи. — Диффeрeнциaльныe урaвнeния и прoцeccы упрaвлeния, т. 2020(1) — 2020 — с. 91-102.

77. Kulikov E. K, Makarov A. A., On Biorthogonal Approximation of Solutions of Some Boundary Value Problems on Shishkin Mesh. — AIP Confere^e Proceedings, vol. 2302 110005 — 2020.

78. Кулишв Е. К, MaKapoe А. А., О мoдифицирoвaннoм мeтoдe сплайн-кoллoкaций рeшeния интeгрaльнoгo урaвнeния Фрeдгoльмa. — Диф-фeрeнциaльныe урaвнeния и прoцeccы упрaвлeния, т. 2021(4) — 2021

— с. 211-222.

79. Kulikov E. K, Makarov A.A., Construrtion of Approximation Fun^o^te for Minimal Splines. — Jour^l of Mathematical Sde^es, vol. 262(1) — 2022 — p. 84-98.

80. Кулишв Е. К, MaKapoe А. А., Об oднoм мeтoдe рeшeния интeгрaльнo-ro урaвнeния Фрeдгoльмa nepBoro рoдa. — Записки научных ceминaрoв

ПОМИ, т. 514 — 2022 — с. 113-125.

81. Куликов Е. К, Макаров А. А., Программа для биортогональ-ной аппроксимации данных с параметрами контроля формы (Вю^ЬареАрргох). — Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ RU 2019661693 — 2019.

82. Макаров А. А., Куликов Е. К., Программный комплекс для решения интегральных уравнений Фредгольма на основе модифицированного метода сплайн-коллокаций (CollocFredholmApprox). — Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ RU 2022681750 — 2022.

Спитк иллюcтрaтивнoгo мaтeриaлa

Спиcoк риcункoв

1. График ошибки аппроксимации функции и(х) при значении параметра £ = 0.1 и количестве узлов сетки N = 16...... 64

2. График ошибки аппроксимации функции и(х) при значении параметра £ = 0.01 и количестве узлов сетки N = 16...... 64

3. Графики сплайн-функций с ф>Нд, где р =1 и д = 1 (точечная линия), д = 50 (пунктирная линия), д = 100 (точечно-пунктирная линия) ......................... 67

4. График аппроксимации данных типа экспоненциального пограничного слоя при использовании аппроксимационного функционала ^22.............................. 68

5. График аппроксимации данных типа экспоненциального пограничного слоя при использовании аппроксимационного функционала .............................. 68

Спитк тaблиц

1. Ошибка аппроксимации решения уравнения (74) в зависимости от количества узлов сетки N................ 54

2. Ошибка аппроксимации решения уравнения (78) в зависимости от количества узлов сетки N................ 57

3. Ошибка аппроксимации решения уравнения (79) в зависимости от количества узлов сетки N................ 58

4. Ошибка аппроксимации функции и(х) при различных значениях параметра £ и количества точек сетки N......... 61

5. Ошибка аппроксимации функции и(х) при различных значениях параметра £ и количества точек сетки N......... 63

6. Ошибки аппроксимации цепной линии п(Ь) = а сЬ (Ь/а) при значении параметра а = 0.2 в зависимости от выбора функционала ................................ 66

7. Ошибки аппроксимации для функции п(Ь) = arctg(10 Ь) в зависимости от выбора функционала .................. 66

8. Ошибки аппроксимации данных типа экспоненциального пограничного слоя, порождающая вектор-функция ,р =1 . . 68

Приложение А

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019661693

Приложение Б

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022681750