Некоторые обратные задачи в теории упругопластического деформирования металлических материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кайгородцева Анастасия Андреевна

• Кайгородцева Анастасия Андреевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Кайгородцева Анастасия Андреевна

Введение

Глава 1. Применяемые модели упругопластического материала

1.1 Модели циклической пластичности при малых деформациях

1.1.1 Деформации, напряжения и энтропия

1.1.2 Новое правило изотропного упрочнения

1.1.3 Закон пластического течения и кинематическое упрочнение

1.1.4 Термодинамическая совместность и теплопроводность

1.2 Геометрически нелинейная модель упругопластичности

1.3 Геометрически нелинейная модель ратчетинга

1.3.1 Модель со стагнацией упрочнения

1.3.2 Модель со стагнацией упрочнения и накоплением поврежденности

Глава 2. Вычислительные алгоритмы для решения прямых

задач

2.1 Явные схемы

2.1.1 Одноосное растяжение по схеме жесткого нагружения

2.1.2 Одноосное растяжение по схеме мягкого нагружения

2.2 Неявные схемы

Глава 3. Обратные задачи

3.1 Классический подход к идентификации параметров

3.1.1 Безградиентный метод Нелдера-Мида

3.1.2 Методы оптимизации с применением градиента целевой функции и вектора невязки

3.2 Стохастические модели шумов

3.2.1 Белый шум

3.2.2 Авторегрессивная модель шума

3.2.3 Модель с двумя источниками шума

3.2.4 Модель коррелированного шума

3.2.5 Матрица корреляций параметров

3.3 Анализ чувствительности параметров к погрешностям экспериментальных данных

3.4 Метрики в пространстве параметров

3.4.1 Евклидовы метрики

3.4.2 Механически-обоснованная метрика для модели пластичности

3.4.3 Механически-обоснованная метрика для модели ратчетинга

3.5 Ускорение вычислений

3.5.1 Построение облака параметров

3.5.2 Вычисление механически-обоснованных метрик

3.6 Критерии излишне параметризованной модели

Глава 4. Приложения

4.1 Калибровка и валидация модели ратчетинга для стали

4.1.1 Экспериментальные данные

4.1.2 Калибровка и валидация по стандартным методам

4.1.3 Калибровка и валидация в контексте стохастического разброса

4.1.4 Выводы по задаче идентификации и валидации для стали

4.2 Подбор матриц весовых коэффициентов для случая коррелированных шумов

4.2.1 Экспериментальные данные для стали 42СгМо4

4.2.2 Вычисления по методу Монте-Карло

4.2.3 Выводы по задаче подбора матриц весовых коэффициентов

4.3 Подбор оптимальной геометрии образца

4.3.1 Инструменты для решения задачи

4.3.2 Синтетические экспериментальные данные

4.3.3 Идентификация параметров и анализ чувствительности

4.3.4 Выводы по задаче подбора оптимальной геометрии образца

4.4 Анализ моделей ратчетинга на патологическую чувствительность к ошибкам и излишнюю параметризованность

4.4.1 Идентификация параметров для титанового сплава ВТ6

4.4.2 Анализ чувствительности параметров к ошибкам измерений

4.4.3 Качественное сравнение критериев излишней параметризации моделей

4.4.4 Выводы

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Приложение А. Корреляционные матрицы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые обратные задачи в теории упругопластического деформирования металлических материалов»

Введение

В настоящей работе рассматривается спектр обратных задач, связанных с моделированием упругопластического поведения металлических материалов. Наравне с классической обратной задачей идентификации параметров материала по известным экспериментальным данным, рассмотрен ряд нестандартных постановок. Новые задачи включают в себя выбор оптимального в некотором смысле функционала ошибки, оптимальной геометрии испытываемых в лабораторных экспериментах образцов, оптимального уровня сложности модели. Ключевую роль в диссертационном исследовании играет устойчивость идентифицированных параметров к ошибкам измерений, содержащимся в экспериментальных данных. Предложена методика изучения чувствительности параметров материала, которая позволяет отследить распространение ошибки в ходе решения прикладных задач и выявить наиболее надежные стратегии идентификации параметров.

В современных публикациях по обработке металлов давлением особое внимание уделяется точному моделированию термомеханического отклика на приложенные нагрузки. В различных приложениях широко используются чисто феноменологические (макроскопические) модели материала [1; 2]. Преимущество таких моделей заключается в их высокой вычислительной эффективности. Однако следствием высокой точности зачастую является большое количество параметров материала, которые входят в определяющие соотношения. Эти неизвестные параметры материала необходимо идентифицировать, используя реальные экспериментальные данные. Известно, что качество идентифицированных параметров зависит от полноты экспериментальных данных. Большой объем информации может быть получен в результате экспериментов с неоднородным напряженно-деформированным состоянием (НДС). Поэтому в ряде публикаций идентификация параметров выполняется с использованием метода конечных элементов (МКЭ) для моделирования экспериментов с неоднородным НДС (см. [3—6]). Для двумерных задач с измеренными полями перемещений также можно использовать метод виртуальных полей, для расчетов этим методом требуется меньше затрат, чем для расчетов МКЭ (см. [7—10]).

В рамках представленного здесь научного исследования поставлены и решены следующие четыре задачи.

Первая задача посвящена калибровке геометрически нелинейной модели ратчетинга (накопления пластической деформации при мягком циклическом нагружении) на основе экспериментальных данных, полученных для конструкционной стали 3. Для задачи идентификации в контексте стохастического разброса механических свойств материала разработан соответствующий математический аппарат.

Вторая задача посвящена подбору матриц весовых коэффициентов в случае коррелированных шумов. Решение задачи идентификации основано на экспериментальных данных по немонотонному кручению тонкостенных образцов из стали 42СгМо4. Для описания поведения материала применяется геометрически нелинейная модель упругопластичности. Проводится анализ влияния ошибок измерений на идентифицированный набор параметров материала. Для оценки надежности процедур идентификации применяется механически-обоснованная метрика для модели пластичности.

Третья задача посвящена подбору оптимальной геометрии образца. Решение задачи идентификации основано на тестах с неоднородным напряженным состоянием. Применяется модель упругопластичности при больших деформациях. Реализован протокол оценки чувствительности параметров к погрешностям экспериментальных данных. Результаты продемонстрированы для испытаний алюминиевых образцов разных поперечных сечений на немонотонное кручение образцов и для испытаний стальных образцов разных форм на растяжение и сжатие.

Четвертая задача посвящена анализу моделей ратчетинга на излишнюю параметризованность. Решение задачи идентификации основано на экспериментальных данных для образцов из титанового сплава ВТ6. Применяются три типа моделей, а именно, модель Армстронга-Фредерика, первая и вторая модели Оно-Ванга. Для анализа чувствительности идентифицированных параметров используется механически-обоснованная метрика для модели рат-четинга. Проведен анализ чувствительности для определения надежности идентифицированных параметров. Установлена связь между излишней пара-метризованностью моделей и патологической чувствительностью параметров к ошибкам.

Актуальность выбранной темы исследования. Для численного анализа технологических процессов, в которых металлическая заготовка деформируется в пластическом режиме, требуются модели, описывающие механиче-

ское поведение материала. Эти модели должны достаточно точно описывать анизотропные свойства металлов при больших упругопластических деформациях в условиях немонотонного нагружения. На сегодняшний день существует множество уточненных феноменологических моделей пластичности, при этом «расплатой» за точность является большое количество содержащихся в них параметров. К сожалению, большинство параметров не могут быть измерены непосредственно, поэтому они определяются из решения некоторой обратной задачи. Труднодоступность параметров для точных моделей привела к тому, что практикующие инженеры-расчетчики продолжают пользоваться упрощенными моделями, в ущерб точности расчетов.

Цели и задачи работы состоят в:

— разработке и применении методик идентификации параметров материала для современных моделей упругопластичности, учитывающих наведенную в процессе деформирования анизотропию свойств материала. Обеспечить применимость методики к задаче идентификации параметров по экспериментам с неоднородным напряженно-деформированным состоянием образца;

— постановке задач по исследованию устойчивости идентифицированных параметров к ошибкам измерений и разработке соответствующего математического аппарата;

— установлении связи между излишней параметризованностью модели и патологической зависимостью параметров от ошибок измерений; разработке нового критерия излишней параметризованности модели;

— создании протоколов оценки надежности идентифицированных параметров. Указанные протоколы следует применить к задачам по нахождению оптимальной геометрии образцов, оптимальной комбинации образцов и оптимальных моделей.

Научная новизна работы обеспечена:

— введением новых механически-обоснованных метрик в пространстве параметров;

— построением новых алгоритмов ускоренного анализа свойств обратных задач, в том числе алгоритма вычисления облака параметров;

— обнаружением новых, неописанных в литературе эффектов, включая конфликт между точностью и устойчивостью;

— созданием новой методики выбора оптимальной формы образцов и их комбинации;

— созданием нового критерия излишней параметризованности моделей;

— введением новых модификаций существующих моделей для повышения точности компьютерного моделирования механического отклика материалов;

— созданием новой методики калибровки моделей при наличии стохастического разброса данных от образца к образцу.

Практическая значимость работы заключается в возможном применении предложенных моделей, алгоритмов и методов в дальнейших исследованиях в области механики деформируемого твердого тела. В частности, корректно откалиброванные модели могут применяться для оптимизации процессов обработки металлов давлением, для повышения прочностных характеристик изделий благодаря рациональному использованию пластических резервов материала.

Методология и методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач использовались теоретические методы исследования: методы теоретической механики, механики сплошных сред и тензорного анализа, численные методы нелинейной механики деформируемого твердого тела, а также методы оптимизации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Создан протокол оценки чувствительности идентифицированных параметров к ошибкам в экспериментальных данных. Для протокола развиты алгоритмы ускоренного счета.

2. Предложено новое правило изотропного упрочнения. Применимость правила продемонстрирована на примере задачи о ратчетинге образцов из титанового сплава ВТ6.

3. Разработана геометрически нелинейная модель со стагнацией комбинированного изотропно-кинематического упрочнения. Применимость модели продемонстрирована на примере ратчетинга образцов из конструкционной стали 3.

4. Предложена методика калибровки и валидации параметров в контексте стохастического разброса механических свойств между образцами; введены понятия веера модельных ответов и протрузии.

5. Построены механически-обоснованные метрики в пространстве параметров для моделей пластичности и ратчетинга.

6. Разработан новый критерий излишней параметризованности модели материала; показано, что новый критерий показывает результаты, согласованные с результатами по классическим критериям.

7. Установлено, что при наличии корреляции между шумами недиагональные матрицы весов позволяют получить более устойчивые результаты идентификации по сравнению с диагональными матрицами. Обнаружен конфликт между требованием точности идентификации и устойчивости идентифицированных параметров.

8. Развита методика калибровки параметров по данным экспериментов с неоднородным НДС образца. Рассмотрены образцы на кручение и растяжение-сжатие неклассической формы. Установлены комбинации образцов, соответствующие стратегиям, наиболее устойчивым к ошибкам экспериментальных данных.

9. Исследована устойчивость параметров модели Армстронга-Фредерика, первой и второй моделей Оно-Ванга по отношению к ошибкам экспериментальных данных.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью используемого математического аппарата, применением проверенных алгоритмов при моделировании, а также сравнением результатов с экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены в форме устных докладов на следующих конференциях: 55-ая и 56-ая Международная научная студенческая конференция - МНСК (Новосибирск, 2017, 2018), Всероссийская конференция и школа молодых ученых, посвященные 100-летию академика Л.В. Овсянникова «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 2019), XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Уфа, 2019), XX, XXI, XXII и XXIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2019-2022), IX Международная конференция Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике (Новосибирск, 2020), XXII Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 2021), GAMM (онлайн, Германия, 2021).

Личный вклад. Автор принимал активное участие в анализе текущего состояния научной области; в постановках задач, численной реализации программ и алгоритмов и анализе полученных результатов; в написании и публикации текстов научных статей [87—94], а также представлял доклады на различных конференциях [95—106]; все приведенные в работе численные эксперименты и связанные программные решения получены автором.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 20 печатных изданиях, 8 из которых изданы в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, 12 —в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 128 страниц, включая 50 рисунков и 33 таблицы. Список литературы содержит 106 наименований.

Благодарности. Автор выражает благодарность В. И. Капустину и К. В. Захарченко за предоставленные экспериментальные данные по деформированию образцов из стали 3 и титанового сплава ВТ6, вошедшие в Разделы 4.1 и 4.4. Также я благодарна моим коллегам из Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН за плодотворную рабочую атмосферу. Особая признательность за поддержку преподавателям Механико-математического факультета НГУ и научному руководителю А. В. Шутову.

Список примененных обозначений.

A тензор первого или второго ранга

tr(A) след тензора А

det(A) определитель тензора А

AD девиаторная часть тензора А

A унимодулярная часть тензора А

£ тензор полной деформации (тензор деформаций Коши)

£e упругая часть тензора деформации

£i неупругая часть тензора деформации

Nbranches количество реологических ветвей модели материала

свободная энергия Гельмгольца на единицу массы

a тензор напряжений (в теории малых деформаций)

Xi тензор микронапряжений на 1-й реологической ветви

aeff эффективное напряжение

Z энтропия на единицу массы

к, ц

0

К

Я

/ А1

й

У, в

К Г1

61 0

ш Е С С1

С"

т

£ ф

Б Ь

Р

Ехр Шок W

ЕттотГппс

Яввш

3

NоъзуВоЬа

Согг

Соу

СХопкБгге

модули объемного сжатия и сдвига, соответственно

жесткость на 1-й реологической ветви

начальный предел текучести

изотропное упрочнение

функция текучести

скорость неупругой деформации

мера накопленной пластической деформации (параметр Одквиста)

накопленная общая деформация

диссипативная часть параметра Одквиста

параметры материала для описания изотропного упрочения

параметр, контролирующий насыщение микронапряжений X/

микропредел текучести на 1-й реологической ветви

диссипация энергии на единицу массы

температура в рабочей части образца

коэффициент теплообмена

тензор градиента деформации

правый тензор Коши-Грина

неупругий правый тензор Коши-Грина

неупругий правый тензор Коши-Грина 1-й ветви

второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа

движущая сила неупругого течения

параметр пористости материала

тензор скоростей деформации

тензор градиента скорости

набор параметров материала

вектор (набор) экспериментальных данных

вектор расчетных данных для модели материала

матрица весовых коэффициентов

функционал ошибки (целевая функция)

вектор невязки

матрица Якоби

набор зашумленных экспериментальных данных матрица корреляций параметров матрица ковариаций шума размер облака параметров

^^(рр (1),р (2)) механически-обоснованная метрика для модели пластичности ^^ (р (1),р (2)) механически-обоснованная метрика для модели ратчетинга

Краткий словарь специальных терминов.

белый шум самая простая стохастическая модель шума, в которой предполагается, что ошибки измерений - независимые случайные величины с нормальным распределением с нулевым средним значением ^ и дисперсией а2 (Раздел 3.2.1)

веер модельных ответов совокупность всех модельных ответов с пределом текучести К е [^гшпДтах] (Раздел 4.1.3)

вектор невязки вектор, соответствующий отклонению теоретических результатов от экспериментальных данных (Раздел 3.1)

вязкое перенапряжение мера проникновения тензора напряжений за пределы упругой области в пространстве напряжений (Глава 1)

жесткое нагруже-ние циклическое нагружение, при заданной истории деформаций (Разделы 2.1.1, 4.2, 4.3)

зашумление данных внесение ошибок измерений в набор экспериментальных данных по некоторой стохастической модели шума; применяется для последующего анализа чувствительности идентифицированных параметров к погрешностям экспериментальных данных (Разделы 3.2, 3.3)

излишне параметризованная модель модель материала, которая содержит больше параметров, чем необходимо для точного описания имеющихся экспериментальных данных (Раздел 3.6)

изотропное упрочнение всестороннее равномерное расширение поверхности текучести без смещения ее центра в пространстве напряжений (Глава 1)

касательный модуль модуль упругости; максимальный наклон петли гистерезиса на плоскости «истинная осевая деформация - истинное осевое напряжение» (Раздел 4.1)

кинематическое упрочнение трансляционное перемещение поверхности текучести в пространстве напряжений без изменения ее размера и формы (Глава 1)

матрица весовых коэффициентов симметричная, положительно определенная матрица, элементы которой подобраны таким образом, чтобы обеспечить приблизительно одинаковый вклад различных типов экспериментальных данных в функционал ошибки (Раздел 3.1)

матрица ковариа-ций шума матрица, составленная из попарных ковариаций (мер линейной зависимости случайных величин) элементов двух случайных векторов (Раздел 4.2)

матрица корреляций параметров матрица, элементами которой являются парные коэффициенты корреляции между элементами вектора р; показывает, насколько изменение в одном параметре можно компенсировать изменением в другом параметре, сохраняя результаты моделирования; применяется как инструмент оценки качества процедуры идентификации параметров (Раздел 3.2.5)

метод квази Монте-Карло метод численного интегрирования с применением последовательности случайных чисел с низким расхождением (low-discrepancy sequence) (Раздел 3.3)

механически-обоснованная метрика функция для вычисления расстояния между двумя наборами параметров, настроенная для конкретных приложений, а именно, для моделей пластичности и моделей ратчетинга (Разделы 3.4.2, 3.4.3)

микронапряжения напряжения на реологической ветви (Глава 1)

модельный ответ набор данных, соответствующий теоретическим результатам (расчетные данные) (Раздел 3.1)

мягкое нагруже-ние циклическое нагружение, при заданной истории напряжений (Разделы 2.1.2, 4.1, 4.4)

накопленная пластическая деформация параметр Одквиста s, монотонно возрастающий параметр; s = const, если материал в упругом режиме, и s растет, когда стартует неупругий поток (Глава 1)

новая параметризация модели переход от набора параметров р = (pi,...,pn)T к набору р' = (pi, ...,pn)T; связь между векторами параметров р и рр локально взаимно-однозначна

новые данные экспериментальные данные, по которым проводится ва-лидация модели; данные не использовались при решении задачи идентификации (Раздел 3.6, Глава 4)

облако параметров совокупность векторов параметров р ^\ ] = 1, 2,..., ^П018е, полученных из решения задач идентификации параметров для ^П018е розыгрышей зашумленных данных (Раздел 3.3)

патологическая зависимость от шумов свойство, когда незначительное зашумление экспериментальных данных может привести к существенным изменениям в идентифицированных параметрах, что делает полученные параметры ненадежными (Раздел 3.3)

поврежденность материала в настоящей работе - пористость материала; величина, равная соотношению объемов поврежденного и неповрежденного материала в ненагруженном состоянии (Раздел 1.3.2)

протрузия мера проникновения экспериментальных данных за пределы веера модельных ответов (Раздел 4.1.3)

размер облака параметров мера чувствительности идентифицированных параметров материала к шумам (Раздел 3.3)

ратчетинг или циклическая ползучесть; поведение материала, при котором пластическая деформация накапливается при мягком циклическом нагружении (Разделы 1.3, 3.4.3, 4.1, 4.4)

реологическая ветвь субструктура феноменологической модели (Глава 1)

синтетические экспериментальные данные данные, полученные из расчетов методом конечных элементов, а не из лабораторного эксперимента (Раздел 4.3.2)

склерономное тело Максвелла комбинация тела Гука (пружины) и склерономного тела Ньютона, соединенных последовательно (Глава 1)

склерономное тело Ньютона модифицированный демпфер, не зависящий от скорости нагружения (Глава 1)

стагнация упрочнения физическое явление, наблюдаемое при пластическом деформировании некоторых металлических материалов, проявляется в отсутствии упрочнения (Глава 1)

упрочнение повышение сопротивляемости материала разрушению или остаточной деформации (Глава 1)

устойчивость параметров к шумам параметр корректности поставленной задачи идентификации и оценки надежности идентифицированных параметров (Раздел 3.3)

Глава 1. Применяемые модели упругопластического материала

1.1 Модели циклической пластичности при малых деформациях

1.1.1 Деформации, напряжения и энтропия

Некоторые модели, представленные в настоящей работе, реализуются в рамках теории малых деформаций. Однако разработанные модели могут быть обобщены на геометрически нелинейный случай с помощью методологии из [6; 11—13]. Для феноменологического описания механического поведения материала применяем три типа моделей с комбинированным изотропно-кинематическим упрочнением: модели Армстронга-Фредерика (АР), первая и вторая модели Оно-Ванга (0"^1 и С^П). Для контроля сложности каждого подхода к моделированию, вводим две, три и четыре реологические ветви. Этими ветвями являются: склерономное тело Максвелла для АР-модели, упругопла-стическое тело Прандтля-Рейсса для 0"^1-модели и модифицированное тело Максвелла для С^П-модели.

нхь «в ч РШЛ- Ч НМЛ/^-- %

Ет

£

—ЛЛМАл- упругое тело

—I |— диссипативное тело

—^ ,_I— элемент трения

____ элемент теплового

расширения

АБ: хг (Ж-1: г,

(Ж-П: г„ ш с,

Н^^ММА/^н

а> сео

ч ншал-

к, ц

им^

У,Р,К

Рисунок 1.1 — Реологическое представление моделей циклической пластичности для ^ьгапсЬеэ = 2. Слева: деформации. Справа: сводка параметров

материала.

Все рассматриваемые модели имеют одинаковую кинематику. Тензор полной деформации е аддитивно раскладывается на температурную ее и механическую е т части (Рис. 1.1 (слева)):

е = ее + е

т

(1.1)

Температурная деформация чисто объемная; она определяется как ее = |а(6 — 0о) • 1, где а - объемный коэффициент теплового расширения, в0 - отсчетная температура, 1 - единичный тензор второго ранга.

Механическая деформация раскладывается аддитивно на упругую (ee) и неупругую (&i) части: £m = £e + £j. Пусть Nbranches = 2, 3, 4 - количество реологических ветвей. Случай двух ветвей показан на Рис. 1.1. Для каждой ветви вводятся консервативная ее/ и диссипативная £i/ компоненты деформации следующим образом:

£i = £e/ + £ib l = 1 ^branches- (1.2)

Свободная энергия Гельмгольца на единицу массы вычисляется как:

Nbranches

ф = ^e(£e)+ X] "kin /(Ce/)+ Фв(Э), (1.3)

/=1

к

p^e(£e) = -(tr£e)2 + ^:£?, (1.4)

Р"Фкш /(£е/) = : £d; I = •••^branches, (1-5)

, в \ Р"Фе(б) = "сео(01п- - (9 - 0O)J. (1.6)

Здесь к > 0 и > 0 - модули объемного сжатия и сдвига; с/ > 0 - жесткость на l-й ветви; св0 - теплоемкость материала на единицу массы. Заметим, что наравне с формулой (1.6) в литературе применяются и альтернативные предположения относительно накопленной энергии фв (см. [14]).

Тензор напряжений а вычисляется по закону Гука; тензоры микронапряжений X/ в ветвях l = 1,..., Nbranches являются линейными изотропными функциями от £e/ = £i — £i/:

д p"e

о- = —— = ktr{zm - £i)l + 2ц.(£то - £i)°, (1.7)

д £e

X/ = |31fkin 1 = q(£i — £i/)D, I = 1, ..., ^branches, (1-8)

д £e/

где AD = A — -|tr(A)l - девиаторная часть тензора. Эффективное напряже-eff

ние а равно разности между тензором напряжений и суммарным тензором микронапряжений:

Nbranches

aeff = а — Y, X/- (1.9)

/=1

Аналогичным образом вычисляется энтропия на единицу массы:

£ = = + Т^ГО- = — + ^ГСТ. (1.10)

д е д е Зр р е0 зр

В дальнейшем для обеспечения термодинамической совместности рассматриваемых моделей будет достаточно соотношений (1.7), (1.8) и (1.10) в сочетании с применяемыми эволюционными уравнениями.

Пусть К > 0 - начальный одноосный предел текучести. Через Я € К обозначим изотропное упрочнение. Тогда функция текучести / и условия Куна-Таккера для расчета скорости неупругой деформации Л! = ||е1|| имеют следующий вид:

Го

/:=||(00||-\/з(К + В), Л^О, / ^ 0, А = 0. (1.11)

1.1.2 Новое правило изотропного упрочнения

Согласно (1.11), у + К) - актуальный радиус поверхности текучести в пространстве девиаторных напряжений. В рамках феноменологической теории пластичности металлов стандартное допущение состоит в том, что радиус является функцией накопленной пластической деформации в. Циклическое упрочнение (разупрочнение) соответствует монотонно возрастающей (убывающей) величине Я(в) (см. [15]). Более того, в литературе представлены экспериментальные наблюдения циклической пластичности с начальным упрочнением и последующим разупрочнением (см. [16]). Эта ситуация описывается с помощью немонотонной функции Я(в).

Стандартное предположение Я = Я(в) является излишне ограничительным для некоторых приложений.1 В более гибком подходе к моделированию эволюция изотропного упрочнения Я описывается расширенным анзацем. Наряду с параметром Одквиста в мы вводим в модель накопленную полную девиаторную деформацию в£ и предполагаем, что предел текучести является функцией этих двух переменных:

/9 Р)

зП^Н, ^ = Я = Щ8,8Е). (1.12)

1Излишняя ограниченность гипотезы К = К(в) также была показана в [87].

Среди всех вариантов предпочтение отдается величине в£, так как соответствующие эволюционные уравнения для этой величины имеют структуру, аналогичную уравнениям для в. С механической точки зрения моделирование с параметром в£ оправдано для материалов, в которых некоторые неупругие изменения происходят даже при напряжениях ниже номинального предела текучести. Кроме того, численные алгоритмы, разработанные для Я = Я(в), могут быть напрямую адаптированы к новому правилу упрочнения (1.12). Обратим внимание, что классическое предположение Я = Я(в) покрывается гипотезой (1.12) как частный случай.

Поскольку изотропное упрочнение Я(в,ве) описывается гладкой функцией, в простейшем случае аппроксимируем ее линейным анзацем

Я = ув - вв£, (1.13)

где у, в ^ - параметры материала. Слагаемое вв£ имеет отрицательный знак, так как мы предполагаем его связь с разупрочнением.

1.1.3 Закон пластического течения и кинематическое упрочнение

Во всех моделях глобальный закон течения определяет скорость неупругой деформации е1 в соответствии с правилом нормали:

(аей)°

£1 = Л1||(стеТ1Г (1'14)

Упрочнение по Армстронгу-Фредерику. Для ЛР-модели определяющие соотношения для каждой ветви соответствуют склерономной модели тела Максвелла:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кайгородцева Анастасия Андреевна, 2025 год

Список литературы

1. Haupt, P. Continuum Mechanics and Theory of Materials [Текст] / P. Haupt. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2002.

2. Holzapfel, G. A. Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering [Текст] / G. A. Holzapfel. — Chichester, UK : John Wiley & Sons, 2000. — 470 p.

3. Mahnken, R. A unified approach for parameter identification of inelastic material models in the frame of the finite element method [Текст] / R. Mahnken, E. Stein // Computer methods in applied mechanics and engineering. — 1996. — Vol. 136, no. 3/4. — P. 225—258.

4. Hartmann, S. Experiments and material parameter identification using finite elements. Uniaxial tests and validation using instrumented indentation tests [Текст] / S. Hartmann, J. Gibmeier, B. Scholtes // Experimental Mechanics. — 2006. — Vol. 46. — P. 5—18.

5. Identification and estimation of constitutive parameters for material laws in elastoplasticity [Текст] / R. Krei£ig [et al.] // GAMM-Mitt. — 2007. — Vol. 30, no. 2. — P. 458—480.

6. Shutov, A. V. Modelling of cyclic creep in the finite strain range using a nested split of the deformation gradient [Текст] / A. V. Shutov, A. Y. Larichkin, V. A. Shutov // ZAMM Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2017. — Vol. 97, no. 9. — P. 1083—1099.

7. Direct determination of elastic constants of anisotropic plates by modal analysis: experimental results [Текст] / M. Grediac [et al.] // Journal of Sound and Vibration. — 1998. — Vol. 210, no. 5. — P. 643—659.

8. Avril, S. Sensitivity of the virtual field method to noisy data [Текст] / S. Avril, M. Grediac, F. Pierron // Computational Mechanics. — 2004. — Vol. 34. — P. 439—452.

9. Grediac, M. Applying the Virtual Fields Method to the identification of elasto-plastic constitutive parameters [Текст] / M. Grediac, F. Pierron // International Journal of Plasticity. — 2004. — Vol. 22. — P. 602—627.

10. Rahmania, B. Regularized virtual fields method for mechanical properties identification of composite materials [Текст] / B. Rahmania, I. Villemure, M. Levesque // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2014. — Vol. 278. — P. 543—566.

11. Lion, A. Constitutive modelling in finite thermoviscoplasticity: a physical approach based on nonlinear rheological elements [Текст] / A. Lion // International Journal of Plasticity. — 2000. — Vol. 16. — P. 469—494.

12. Shutov, A. V. Finite strain viscoplasticity with nonlinear kinematic hardening: Phenomenological modeling and time integration [Текст] / A. V. Shutov, R. Krei£ig // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2008. — Vol. 197, no. 21—24. — P. 2015—2029.

13. Vladimirov, I. N. On the modelling of non-linear kinematic hardening at finite strains with application to springback-Comparison of time integration algorithms [Текст] / I. N. Vladimirov, M. P. Pietryga, S. Reese // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 2008. — Vol. 75, no. 1. — P. 1—28.

14. Bartel, T. A phenomenological model for the simulation of functional fatigue in shape memory alloy wires [Текст] / T. Bartel, M. Osman, A. Menzel // Meccanica. — 2017. — Vol. 52, no. 4/5. — P. 973—988.

15. Phase-field modeling of fatigue coupled to cyclic plasticity in an energetic formulation [Текст] / J. Ulloa [et al.] // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2021. — Vol. 373. — P. 113473.

16. Hassan, T. Ratcheting of cyclically hardening and sofrtening materials: I. Uniaxial behaviour [Текст] / T. Hassan, S. Kyriakides // International Journal of Plasticity. — 1994. — Vol. 10, no. 2. — P. 149—184.

17. Ohno, N. Kinematic hardening rules with critical state of dynamic recovery, part i: formulation and basic features for ratchetting behavior [Текст] / N. Ohno, J. D. Wang // International journal of plasticity. — 1993. — Vol. 9, no. 3. — P. 375—390.

18. Abdel-Karim, M. Kinematic hardening model suitable for ratchetting with steady-state [Текст] / M. Abdel-Karim, N. Ohno // International Journal of Plasticity. — 2000. — Vol. 16. — P. 225—240.

19. Haupt, P. Continuum mechanics and theory of materials [Текст] / P. Haupt. — Springer Science & Business Media, 2013.

20. Shutov, A. V. On the simulation of plastic forming under consideration of thermal effects [Текст] / A. V. Shutov, J. Ihlemann // Materialwissenschaft und Werkstofftecnhik. — 2011. — Vol. 42, no. 7. — P. 632—638.

21. Halphen, G. Sur les matériaux standard généralisés [Текст] / G. Halphen, Q. S. Nguen // Journal de mécanique. — 1975. — T. 14. — P. 39-63.

22. Miehe, C. Strain-driven homogenization of inelastic microstructures and composites based on an incremental variational formulation [Текст] / C. Miehe // International Journal for numerical methods in engineering. — 2002. — Vol. 55, no. 11. — P. 1285—1322.

23. Numerically efficient computational homogenization: Fourier-accelerated nodal solvers and reduced basis model order reduction [Текст]. — 2018.

24. Shutov, A. V. On the simulation of multi-stage forming processes: invariance under change of the reference configuration [Текст] / A. V. Shutov, S. Pfeiffer, J. Ihlemann // Materialwissenschaft und Werkstofftechnik. — 2012. — Vol. 43, no. 7. — P. 617—625.

25. Shutov, A. V. Analysis of some basic approaches to finite strain elasto-plas-ticity in view of reference change [Текст] / A. V. Shutov, J. Ihlemann // International Journal of Plasticity. — 2014. — Vol. 63. — P. 183—197.

26. Shutov, A. V. Efficient implicit integration for finite-strain viscoplasticity with a nested multiplicative split [Текст] / A. V. Shutov // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2016. — Vol. 306. — P. 151—174.

27. Scherzer, R. FE-simulation of the Presta joining process for assembled camshafts - local widening of shafts through rolling [Текст] / R. Scherzer, C. B. Silbermann, J. Ihlemann // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. — 2016. — Vol. 118. — P. 012039.

28. FE-simulation of the Presta joining process for assembled camshafts - modelling of the joining process [Текст] / R. Scherzer [et al.] // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. — 2017. — Vol. 181. — P. 012030.

29. Finite element simulation of the Presta joining process for assembled camshafts: application to aluminum shafts [Текст] / R. Scherzer [et al.] // Metals. — 2018. — Vol. 8, no. 2.

30. Shutov, A. V. Large strain integral-based nonlocal simulation of ductile damage with application to mode-I fracture [Текст] / A. V. Shutov, V. S. Klyuchantsev // International Journal of Plasticity. — 2021. — Vol. 144. — P. 103061.

31. Nelder, J. A. A simplex method for function minimization [Текст] / J. A. Nelder, R. Mead // The computer journal. — 1965. — Vol. 7, no. 4. — P. 308—313.

32. Lourakis, M. I. A. A brief description of the Levenberg-Marquardt algorithm implemented by levmar [Текст] / M. I. A. Lourakis // Foundation of Research and Technology. — 2005. — Vol. 4, no. 1. — P. 1—6.

33. Identification of material parameters for inelastic constitutive models: statistical analysis and design of experiments [Текст] / T. Harth [et al.] // International Journal of Plasticity. — 2004. — Vol. 20. — P. 1403—1440.

34. Beck, J. V. Parameter Estimation in Engineering and Science [Текст] / J. V. Beck, K. J. Arnold. — New York : John Wiley & Sons, 1977. — 501 p.

35. Harth, T. Identification of material parameters for inelastic constitutive models using stochastic methods [Текст] / T. Harth, J. Lehn // GAMM-Mitt. — 2007. — Vol. 30, no. 2. — P. 409—429.

36. Identification of material parameters for inelastic constitutive models: Stochastic simulations for the analysis of deviations [Текст] / T. Seibert [et al.] // Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2000. — Vol. 12, no. 2. — P. 95—120.

37. Identification of viscoplastic parameters and characterization of Lüders behaviour using digital image correlation and the virtual fields method [Текст] / S. Avril [et al.] // Mechanics of Materials. — 2008. — Vol. 40. — P. 729—742.

38. Johansson, H. Calibration of a class of non-linear viscoelasticity models with sensitivity assessment based on duality [Текст] / H. Johansson, K. Runes-son // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 2007. — Vol. 69. — P. 2513—2537.

39. Soize, C. Uncertainty quantification [Текст] / C. Soize. — Springer International Publishing AG, 2017.

40. Robust optimization and uncertainty quantification in the nonlinear mechanics of an elevator brake system [Текст] / P. Wolszczak [et al.] // Meccanica. — 2019. — Vol. 54. — P. 1057—1069.

41. Parametrschätzung für elastisch-plastische Deformatiosgesetze bei Berücksichtigung lokaler und globaler Vergleichsgrößen. Dissertation [Текст]. — 2000.

42. Shutov, A. V. Regularized strategies for material parameter identification in the context of finite strain plasticity [Текст] / A. V. Shutov, R. Kreißig // Technische Mechanik. — 2010. — Vol. 30, no. 1—3. — P. 280—295.

43. Niederreiter, H. Quasi-monte carlo methods and pseudo-random numbers [Текст] / H. Niederreiter // Bulletin of the American mathematical society. — 1978. — Vol. 84, no. 6. — P. 957—1041.

44. Sobol, I. M. Distribution of points in a cube and approximate evaluation of integrals [Текст] / I. M. Sobol // Comput. Maths. Math. Phys. — 1967. — Vol. 7. — P. 86—112.

45. Bratley, P. Algorithm 659: Implementing sobol's quasirandom sequence generator [Текст] / P. Bratley, B. L. Fox // ACM Transactions on Mathematical Software. — 1988. — Vol. 14, no. 1. — P. 88—100.

46. Noll, W. A new mathematical theory of simple materials [Текст] / W. Noll // Arch. Ration. Mech. Anal. — 1972. — Vol. 48, no. 1. — P. 1—50.

47. Wright, S. J. Numerical optimization [Текст] / S. J. Wright, J. Nocedal. — New York, NY : Springer New York, 1999.

48. Brun, R. Practical identifiability analysis of large environmental simulation models [Текст] / R. Brun, P. Reichert // Water Resources Research. — 2001. — Vol. 37, no. 4. — P. 1015—1030.

49. Nimbalkar, D. H. Review of incremental forming of sheet metal components [Текст] / D. H. Nimbalkar, V. M. Nandedkar // Int J Eng Res Appl. — 2013. — Vol. 3, no. 5. — P. 39—51.

50. Single point incremental forming: state-of-the-art and prospects [Текст] / J. R. Duflou [et al.] // International Journal of Material Forming. — 2018. — Vol. 11, no. 6. — P. 743—773.

51. Collins, J. A. Failure of materials in mechanical design: analysis, prediction, prevention [Текст] / J. A. Collins. — John Wiley & Sons, 1993.

52. Simulation of ratcheting and low cycle fatigue [Текст] / E. Weiß [et al.] // International journal of pressure vessels and piping. — 2004. — Vol. 81, no. 3. — P. 235—242.

53. Ahmadzadeh, G. R. Concurrent ratcheting-fatigue damage analysis of uniax-ially loaded A-516 Gr. 70 and 42CrMo Steels [Текст] / G. R. Ahmadzadeh, A. Varvani-Farahani // Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures. — 2012. — Vol. 35, no. 10. — P. 962—970.

54. Zhu, S. P. Mean stress and ratcheting corrections in fatigue life prediction of metals [Текст] / S. P. Zhu, Q. Lei, Q. Y. Wang // Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures. — 2017. — Vol. 40, no. 9. — P. 1343—1354.

55. Delobelle, P. Experimental study and phenomenological modelization of ratchet under uniaxial and biaxial loading on an austenitic stainless steel [Текст] / P. Delobelle, P. Robinet, L. Bocher // International Journal of Plasticity. — 1995. — Vol. 11, no. 4. — P. 295—330.

56. Multiaxial ratcheting with advanced kinematic and directional distortional hardening rules [Текст] / H. P. Feigenbaum [et al.] // International Journal of Solids and Structures. — 2012. — Vol. 49, no. 22. — P. 3063—3076.

57. Kachanov, L. M. On the creep fracture time [Текст] / L. M. Kachanov // Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Tech. - 1958. - Т. 8. - С. 26-31.

58. Kachanov, L. M. Introduction to continuum damage mechanics [Текст] / L. M. Kachanov. — Springer Science & Business Media, 1986.

59. Naumenko, K. Modeling of creep for structural analysis [Текст] / K. Nau-menko, H. Altenbach. — Springer Science & Business Media, 2007.

60. Cao, T. S. Models for ductile damage and fracture prediction in cold bulk metal forming processes: a review [Текст] / T. S. Cao // International Journal of Material Forming. — 2017. — Vol. 10, no. 2. — P. 139—171.

61. Uniaxial ratcheting and fatigue failure of tempered 42CrMo steel: Damage evolution and damage-coupled visco-plastic constitutive model [Текст] / G. Kang [et al.] // International journal of Plasticity. — 2009. — Vol. 25, no. 5. — P. 838—860.

62. Surmiri, A. Application of anisotropic continuum damage mechanics in ratcheting characterization [Текст] / A. Surmiri, A. Nayebi, H. Rokhgireh // Mechanics of Advanced Materials and Structures. — 2020.

63. Constitutive and damage model for the whole-life uniaxial ratcheting behavior of SAC305 [Текст] / G. Chen [et al.] // Mechanics of Materials. — 2022. — Vol. 171. — P. 104333.

64. Samaria, F. S. Parameterisation of a stochastic model for human face identification [Текст] / F. S. Samaria, A. C. Harter // Proceedings of 1994 IEEE workshop on applications of computer vision. - IEEE. — 1994. — P. 138—142.

65. Application of stochastic parameter optimization to the Sacramento Soil Moisture Accounting model [Текст] / J. A. Vrugt [et al.] // Journal of Hydrology. — 2006. — Vol. 325, no. 1—4. — P. 288—307.

66. Mummert, A. Parameter identification for a stochastic SEIRS epidemic model: case study influenza [Текст] / A. Mummert, O. M. Otunuga // Journal of mathematical biology. — 2019. — Vol. 79, no. 2. — P. 705—729.

67. Shary, S. P. Solving the linear interval tolerance problem [Текст] / S. P. Shary // Mathematics and Computers in Simulation. — 1995. — Vol. 39, no. 1/2. — P. 53—85.

68. Shary, S. P. A new technique in systems analysis under interval uncertainty and ambiguity [Текст] / S. P. Shary // Reliable computing. — 2002. — Vol. 8, no. 5. — P. 321—418.

69. Deb, K. Controlled elitist non-dominated sorting genetic algorithms for better convergence [Текст] / K. Deb, T. Goel // International conference on evolutionary multi-criterion optimization. Springer. — 2001. — P. 67—81.

70. Experimentelle Untersuchung und numerische Simulation des inkrementellen Umformverhaltens von Stahl 42CrMo4 [Текст] / A. V. Shutov [u. a.] // Numerische Simulation des viskoplastischen Verhaltens metallischer Werkstoffe bei endlichen Deformationen. — 2010. — S. 119.

71. Broggiato, G. B. The Chaboche nonlinear kinematic hardening model: calibration methodology and validation [Текст] / G. B. Broggiato, F. Campana, L. Cortese // Meccanica. — 2008. — Vol. 43. — P. 115—124.

72. Identification of sheet metal plastic anisotropy using heterogeneous biaxial tensile tests [Текст] / M. Teaca [et al.] // International Journal of Mechanical Sciences. — 2010. — Vol. 52, no. 4. — P. 572—580.

73. Kamaya, M. A procedure for determining the true stress-strain curve over a large range of strains using digital image correlation and finite element analysis [Текст] / M. Kamaya, M. Kawakubo // Mechanics of Materials. — 2011. — Vol. 43. — P. 243—253.

74. An experimental and numerical investigation of different shear test configurations for sheet metal characterization [Текст] / Q. Yin [et al.] // Journal of Solids and Structures. — 2014. — Vol. 51. — P. 1066—1074.

75. Chaboche, J. L. Modelization of the strain memory effect on the cyclic hardening of 316 stainless steel [Текст] / J. L. Chaboche, K. D. Van, G. Cordier // Materials Modeling and Inelastic Analysis of Metal Structures. — 1979.

76. Multi-mechanism modeling of proportional and non-proportional ratchetting of stainless steel 304 [Текст] / K. Sai [et al.] // Acta Mech. — 2014. — Vol. 225. — P. 3265—3283.

77. Xing, J. A nonlinear constitutive model for describing cyclic mechanical responses of BaTiO3/Ag composites [Текст] / J. Xing, M. Radovic, A. Muliana // Acta Mech. — 2017. — Vol. 228. — P. 2017—2032.

78. Khan, A. S. Continuum theory of plasticity [Текст] / A. S. Khan, S. Huang. — John Wiley & Sons, 1995.

79. Yang, X. Low cycle fatigue and cyclic stress ratcheting failure behavior of carbon steel 45 under uniaxial cyclic loading [Текст] / X. Yang // International journal of fatigue. — 2005. — Vol. 27, no. 9. — P. 1124—1132.

80. Francois, M. A plasticity model with yield surface distortion for non proportional loading [Текст] / M. Francois // Int. J. Plasticity. — 2001. — Vol. 17. — P. 703—717.

81. Shutov, A. V. A viscoplasticity model with an enhanced control of the yield surface distortion [Текст] / A. V. Shutov, J. Ihlemann // International Journal of Plasticity. — 2012. — Vol. 39. — P. 152—167.

82. Shutov, A. V. A phenomenological model of finite strain viscoplasticity with distortional hardening [Текст] / A. V. Shutov, S. Panhans, R. Kreißig // ZAMM Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2011. — Vol. 91, no. 8. — P. 653—680.

83. Adamus, J. Numerical simulation of forming titanium drawn part [Текст] / J. Adamus, P. Lacki // Meccanica. — 2016. — Vol. 51. — P. 391—400.

84. Lemaitre, J. A three-dimensional ductile damage model applied to deep-drawing forming limits [Текст] / J. Lemaitre // Mechanical Behaviour of Materials. — 1984. — P. 1047—1053.

85. A ductile damage criterion at various stress triaxialities [Текст] / M. Brunig [et al.] // Int. J. Plasticity. — 2008. — Vol. 24, no. 10. — P. 1731—1755.

86. Shutov, A. V. Ductile damage model for metal forming simulations including refined description of void nucleation [Текст] / A. V. Shutov, C. B. Silbermann, J. Ihlemann // International Journal of Plasticity. — 2015. — Vol. 71. — P. 195—217.

Публикации автора по теме диссертации

87. On the ratcheting of the VT6 alloy in a range of loading scenarios [Текст] / A. A. Kaygorodtseva [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. - IOP Publishing. — 2020. — Vol. 1666, no. 1. — P. 012020.

88. Kaygorodtseva, A. A. Inspection of ratcheting models for pathological error sensitivity and overparametrization [Текст] / A. A. Kaygorodtseva, A. V. Shutov // Meccanica. — 2022. — P. 1—26.

89. Invariant Procedure for Error Sensitivity Analysis Applied to Cyclic Creep Modelling [Текст] / A. A. Kaygorodtseva [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. - IOP Publishing. — 2021. — Vol. 1945, no. 1. — P. 012015.

90. Shutov, A. V. Optimal error functional for parameter identification in anisotropic finite strain elasto-plasticity [Текст] / A. V. Shutov, A. A. Kay-gorodtseva, N. S. Dranishnikov // Journal of Physics: Conference Series. -IOP Publishing. — 2017. — Vol. 894, no. 1. — P. 012133.

91. Shutov, A. V. Parameter identification in elasto-plasticity: distance between parameters and impact of measurement errors [Текст] / A. V. Shutov, A. A. Kaygorodtseva // ZAMM Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2019. — Vol. 99, no. 8. — e201800340.

92. Shutov, A. V. Sample shapes for reliable parameter identification in elasto-plasticity [Текст] / A. V. Shutov, A. A. Kaygorodtseva // Acta Mechanica. — 2020. — Vol. 231, no. 11. — P. 4761—4780.

93. Shutov, A. V. Stability of Parameter Identification Using Experiments with a Heterogeneous Stress State [Текст] / A. V. Shutov, A. A. Kaygorodtseva // Advances in Mechanics of High-Temperature Materials. - Springer, Cham. — 2020. — P. 169—180.

94. Method for studying the kinetics of plastic deformation and energy dissipation during fatigue of structural materials [Текст] / K. V. Zakharchenko [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. - IOP Publishing. — 2021. — Vol. 1942, no. 1. — P. 012001.

95. Кайгородцева, А. А. Отыскание параметров материала для анизотропных упругопластических моделей в геометрически точной постановке [Текст] /

A. А. Кайгородцева // Материалы 55-й международной научной студенческой конференции. — 2017.

96. Кайгородцева, А. А. Оптимальная методика определения параметров материала с анизотропным упрочнением [Текст] / А. А. Кайгородцева // Материалы 56-й международной научной студенческой конференции. — 2018.

97. Шутов, А. В. Определение оптимальной формы образцов на кручение для идентификации параметров анизотропной упругопластичности [Текст] / А. В. Шутов, А. А. Кайгородцева // Всероссийская конференция и школа для молодых ученых, посвященные 100-летию академика Л.

B. Овсянникова «Математические проблемы механики сплошных сред». Тезисы докладов. — 2019.

98. Шутов, А. В. Идентификация параметров изотропного и кинематического упрочнения с учётом влияния погрешности экспериментальных данных [Текст] / А. В. Шутов, А. А. Кайгородцева // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4 томах. — 2019.

99. Кайгородцева, А. А. Модель термопластичности с учётом накопления энергии дефектов кристаллической решётки [Текст] / А. А. Кайгород-цева, А. В. Шутов // Тезисы XX Всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям. — 2019.

100. Кайгородцева, А. А. Новые модели накопления пластических деформаций в металлических сплавах, подверженных циклическому нагружению [Текст] / А. А. Кайгородцева // Тезисы XXI Всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям. — 2020.

101. Кайгородцева, А. А. Пластическое вышагивание конструкционной стали: моделирование, идентификация и валидация [Текст] / А. А. Кайгородцева // Тезисы XXII Всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям. — 2021.

102. Кайгородцева, А. А. Моделирование ратчетинга конструкционной стали при учете накопления повреждений и стохастического разброса [Текст] / А. А. Кайгородцева // Тезисы XXIII Всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям. — 2022.

103. Метод исследования кинетики пластических деформаций и связанных с ними диссипативных процессов при усталости конструкционных материалов [Текст] / К. В. Захарченко [и др.] // Новые материалы и перспективные технологии. Сборник материалов Шестого междисциплинарного научного форума с международным участием. Том I. — 2020.

104. Моделирование циклического вышагивания сплава ВТ6 в широком диапазоне сценариев нагружения [Текст] / А. А. Кайгородцева [и др.] //IX международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященная 120-летию академика М. А. Лаврентьева. Тезисы докладов. — 2019.

105. Анализ чувствительности параметров моделей пластического вышагивания к ошибкам эксперимента [Текст] / А. А. Кайгородцева [и др.] // XXII Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. — 2021.

106. Shutov, A. V. Optimization of sample geometries and loading histories for error-resistant parameter identification [Текст] / A. V. Shutov, A. A. Kay-gorodtseva // GAMM Annual Meeting - Kassel 2021 Overview of the Sections. — 2021.

Приложение А Корреляционные матрицы

Ниже приведены матрицы корреляций параметров Согг для моделей рат-четинга, параметры взяты из Таб. 20, 21 и 22. Определение матрицы корреляций описано в Разделе 3.2.5.

Таблица 25 — Корреляционная матрица для модели ЛР с ^ьгапсьез = 2.

У 13 С\ С-2 К1 к2 К

У 1.0000 0.4252 0.5607 0.1449 -0.4514 0.2135 -0.1029

13 0.4252 1.0000 -0.0839 -0.0260 0.0855 -0.0555 0.0355

С1 0.5607 -0.0839 1.0000 0.4708 -0.9815 0.2795 -0.3598

С-2 0.1449 -0.0260 0.4708 1.0000 -0.5148 -0.6415 -0.9334

К1 -0.4514 0.0855 -0.9815 -0.5148 1.0000 -0.2535 0.3874

к2 0.2135 -0.0555 0.2795 -0.6415 -0.2535 1.0000 0.7915

К -0.1029 0.0355 -0.3598 -0.9334 0.3874 0.7915 1.0000

У ß Cl C2 сз Kl K2 К

У 1.0000 0.4153 0.5659 -0.0230 -0.0910 -0.4825 -0.1324 0.1922 0.0035

ß 0.4153 1.0000 -0.0925 0.0045 0.0203 0.0948 0.0297 -0.0426 0.0167

Cl 0.5659 -0.0925 1.0000 -0.1352 -0.0519 -0.9887 -0.1690 0.2793 -0.1040

C2 -0.0230 0.0045 -0.1352 1.0000 -0.2913 0.1512 -0.3084 0.2152 -0.0399

Сз -0.0910 0.0203 -0.0519 -0.2913 1.0000 0.0495 0.9646 -0.9656 -0.8065

кх -0.4825 0.0948 -0.9887 0.1512 0.0495 1.0000 0.1761 -0.2849 0.1075

Kl -0.1324 0.0297 -0.1690 -0.3084 0.9646 0.1761 1.0000 -0.9802 -0.6503

къ 0.1922 -0.0426 0.2793 0.2152 -0.9656 -0.2849 -0.9802 1.0000 0.7288

к 0.0035 0.0167 -0.1040 -0.0399 -0.8065 0.1075 -0.6503 0.7288 1.0000

y ß Cl C2 сз c4 Kl K2 K4 К

У 1.0000 0.0068 -0.9999 -0.0288 0.0251 -0.0114 0.0197 0.0027 -0.0047 0.0028 0.0125

ß 0.0068 1.0000 -0.0019 -0.0710 0.0022 0.0043 0.0013 0.0729 0.0243 -0.0415 0.0302

Cl -0.9999 -0.0019 1.0000 0.0345 -0.0251 0.0114 -0.0194 -0.0072 0.0037 -0.0011 -0.0133

C2 -0.0288 -0.0710 0.0345 1.0000 -0.0147 0.2940 -0.0055 0.9790 0.0339 0.0896 -0.3244

Сз 0.0251 0.0022 -0.0251 -0.0147 1.0000 0.0617 -0.0400 0.0194 0.0020 -0.1022 -0.1878

c4 -0.0114 0.0043 0.0114 0.2940 0.0617 1.0000 -0.0190 -0.3423 0.7873 -0.8956 -0.6880

кх 0.0197 0.0013 -0.0194 -0.0055 -0.0400 -0.0190 1.0000 0.0067 -0.0080 0.0192 0.0283

Kl 0.0027 0.0729 -0.0072 -0.9790 0.0194 -0.3423 0.0067 1.0000 -0.0632 -0.0537 0.3509

къ -0.0047 0.0243 0.0037 0.0339 0.0020 0.7873 -0.0080 -0.0632 1.0000 -0.8746 -0.1518

K4 0.0028 -0.0415 -0.0011 0.0896 -0.1022 -0.8956 0.0192 -0.0537 -0.8746 1.0000 0.5325

к 0.0125 0.0302 -0.0133 -0.3244 -0.1878 -0.6880 0.0283 0.3509 -0.1518 0.5325 1.0000

Таблица 28 — Корреляционная матрица для модели с ^ьгапсьез = 2.

У 13 С\ С-2 Г\ К

У 1.0000 0.0959 0.1205 -1.0000 0.1597 -0.0301

0.0959 1.0000 0.0425 -0.0959 0.0224 0.4032

С1 0.1205 0.0425 1.0000 -0.1205 0.8243 -0.7726

С-2 -1.0000 -0.0959 -0.1205 1.0000 -0.1597 0.0301

Г\ 0.1597 0.0224 0.8243 -0.1597 1.0000 -0.8313

К -0.0301 0.4032 -0.7726 0.0301 -0.8313 1.0000

Таблица 29 — Корреляционная матрица для модели с ^ьгапсьез = 3.

У 13 С1 С-2 сз п Г2 К

У 1.0000 0.1866 0.0551 0.0419 -1.0000 0.0546 0.0399 -0.0292

13 0.1866 1.0000 -0.0065 0.0460 -0.1863 -0.0352 0.0716 0.0875

С1 0.0551 -0.0065 1.0000 -0.0354 -0.0551 0.9221 -0.3131 -0.0708

С2 0.0419 0.0460 -0.0354 1.0000 -0.0419 -0.0380 0.8199 -0.8466

сз -1.0000 -0.1863 -0.0551 -0.0419 1.0000 -0.0547 -0.0399 0.0292

Г\ 0.0546 -0.0352 0.9221 -0.0380 -0.0547 1.0000 -0.3254 -0.0588

Г2 0.0399 0.0716 -0.3131 0.8199 -0.0399 -0.3254 1.0000 -0.9045

К -0.0292 0.0875 -0.0708 -0.8466 0.0292 -0.0588 -0.9045 1.0000

У ß Cl C2 сз c4 r i Г2 тз К

У 1.0000 -0.2702 0.0449 0.1006 -0.0675 -1.0000 0.0565 0.1239 -0.0752 -0.0630

ß -0.2702 1.0000 0.0108 -0.0685 0.0390 0.2704 0.0193 -0.0923 0.0487 0.0602

Cl 0.0449 0.0108 1.0000 0.0788 -0.1317 -0.0449 0.7744 0.0621 -0.1399 -0.8253

C2 0.1006 -0.0685 0.0788 1.0000 -0.1308 -0.1007 0.0665 0.9454 -0.3590 -0.1074

Сз -0.0675 0.0390 -0.1317 -0.1308 1.0000 0.0675 -0.5056 -0.1180 0.9323 -0.0568

c4 -1.0000 0.2704 -0.0449 -0.1007 0.0675 1.0000 -0.0565 -0.1240 0.0752 0.0630

ri 0.0565 0.0193 0.7744 0.0665 -0.5056 -0.0565 1.0000 0.0496 -0.5143 -0.8078

Г2 0.1239 -0.0923 0.0621 0.9454 -0.1180 -0.1240 0.0496 1.0000 -0.3494 -0.0892

гз -0.0752 0.0487 -0.1399 -0.3590 0.9323 0.0752 -0.5143 -0.3494 1.0000 -0.0220

К -0.0630 0.0602 -0.8253 -0.1074 -0.0568 0.0630 -0.8078 -0.0892 -0.0220 1.0000

Таблица 31 — Корреляционная матрица для модели С^П с ^ьгапсьез = 2.

У 13 С1 С-2 п Г2 К т

У 1.0000 0.5400 -0.1840 -0.0904 -0.0897 -0.1648 0.1216 0.3497

0.5400 1.0000 0.0427 0.0276 0.0499 0.0089 0.0198 -0.0448

С1 -0.1840 0.0427 1.0000 0.5936 0.6605 0.5620 -0.8806 -0.6326

С-2 -0.0904 0.0276 0.5936 1.0000 -0.0864 0.9619 -0.3967 -0.7326

Г\ -0.0897 0.0499 0.6605 -0.0864 1.0000 -0.1161 -0.8652 -0.1261

Г2 -0.1648 0.0089 0.5620 0.9619 -0.1161 1.0000 -0.3820 -0.6245

К 0.1216 0.0198 -0.8806 -0.3967 -0.8652 -0.3820 1.0000 0.3826

т 0.3497 -0.0448 -0.6326 -0.7326 -0.1261 -0.6245 0.3826 1.0000

У ß Cl C2 сз п Г2 тз К m

У 1.0000 0.4060 -0.0375 0.0314 -0.1305 0.0886 -0.0314 -0.1304 -0.0626 0.3707

ß 0.4060 1.0000 0.0134 -0.0080 0.0513 -0.0149 -0.0238 0.0591 0.0583 -0.1065

Cl -0.0375 0.0134 1.0000 0.0995 0.1467 0.1197 0.0906 0.1162 -0.3628 -0.1244

C2 0.0314 -0.0080 0.0995 1.0000 0.5530 -0.4165 0.9737 -0.0008 -0.0061 -0.5962

Сз -0.1305 0.0513 0.1467 0.5530 1.0000 -0.7498 0.5542 0.8072 -0.0608 -0.5079

ri 0.0886 -0.0149 0.1197 -0.4165 -0.7498 1.0000 -0.4125 -0.6502 -0.5774 0.3668

Г2 -0.0314 -0.0238 0.0906 0.9737 0.5542 -0.4125 1.0000 0.0072 -0.0321 -0.4958

гз -0.1304 0.0591 0.1162 -0.0008 0.8072 -0.6502 0.0072 1.0000 -0.0630 -0.1636

К -0.0626 0.0583 -0.3628 -0.0061 -0.0608 -0.5774 -0.0321 -0.0630 1.0000 -0.1395

m 0.3707 -0.1065 -0.1244 -0.5962 -0.5079 0.3668 -0.4958 -0.1636 -0.1395 1.0000

У ß Cl C2 сз c4 r i Г2 T3 r4 К m

У 1.0000 0.4135 0.0146 -0.0427 -0.0742 -0.1835 -0.0636 -0.0987 0.1119 -0.1729 0.0101 0.3868

ß 0.4135 1.0000 -0.0057 0.0157 0.0249 0.0627 0.0219 -0.0002 -0.0264 0.0659 0.0177 -0.1092

Cl 0.0146 -0.0057 1.0000 -0.0283 -0.0934 -0.0367 0.1146 -0.0258 -0.0219 -0.0299 -0.0633 0.0384

C2 -0.0427 0.0157 -0.0283 1.0000 0.1767 0.6513 0.1390 0.9773 -0.3949 0.2469 -0.0868 -0.6823

Сз -0.0742 0.0249 -0.0934 0.1767 1.0000 0.2426 -0.2243 0.1614 0.3860 0.2175 -0.6757 -0.2207

c4 -0.1835 0.0627 -0.0367 0.6513 0.2426 1.0000 0.2032 0.6453 -0.6100 0.8789 -0.1479 -0.6251

ri -0.0636 0.0219 0.1146 0.1390 -0.2243 0.2032 1.0000 0.1270 -0.6850 0.1890 -0.1694 -0.1789

Г2 -0.0987 -0.0002 -0.0258 0.9773 0.1614 0.6453 0.1270 1.0000 -0.3873 0.2435 -0.0899 -0.5964

гз 0.1119 -0.0264 -0.0219 -0.3949 0.3860 -0.6100 -0.6850 -0.3873 1.0000 -0.5637 -0.3508 0.3794

r4 -0.1729 0.0659 -0.0299 0.2469 0.2175 0.8789 0.1890 0.2435 -0.5637 1.0000 -0.1422 -0.3655

К 0.0101 0.0177 -0.0633 -0.0868 -0.6757 -0.1479 -0.1694 -0.0899 -0.3508 -0.1422 1.0000 0.0506

m 0.3868 -0.1092 0.0384 -0.6823 -0.2207 -0.6251 -0.1789 -0.5964 0.3794 -0.3655 0.0506 1.0000