Некоторые особенности моделей спинового стекла с отсутствием отражательной симметрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Грибова, Надежда Виталиевна

• Грибова, Надежда Виталиевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Грибова, Надежда Виталиевна

Введение

1 Обзор литературы, посвященной спиновым стеклам. Модели, методы

1.1 Несколько общих слов.

1.2 Модель Шеррингтона Киркпатрика и основные методы, используемые в данной работе.

1.3 Модель изинговского стекла с р- спиновым взаимодействием. Дискретный и сферический случаи.

2 Отражательная симметрия в реплико-симметричных спиновых стеклах

3 Модель квадрупольного стекла

4 Модель стекла Поттса

4.1 Обзор литературы. Результаты, гипотезы, проблемы.

4.2 Новый подход к модели Поттса с р = 3.

4.3 Модель стекла Поттса с р = 4.

5 Сферическая модель Поттса с тремя состояниями. Точное решение 79 Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые особенности моделей спинового стекла с отсутствием отражательной симметрии»

Актуальность темы. Спиновые стекла в последние тридцать лет являются источником идей и методик расчета, ставших основой для теории "сложных систем", которая находит свое приложение не только в физике аморфных материалов, но и в задачах оптимизации в вычислительной технике, а также в биологии, социологии, экономике и финансах. Поведение таких систем не может быть реконструировано, опираясь на анализ только одной из составляющих "компонент", здесь необходим подход, включающий в себя коллективное поведение всей системы. Одной из характерных черт такой системы является существование большого числа устойчивых и метастабильных состояний, или, другими словами, большого числа ее возможных реализаций.

Модели в приближении среднего поля, несмотря на свою простоту, играют большую роль в понимании механизмов, которые приводят к такой сложной структуре, а также породили новые теории, такие как нарушение репличной симметрии и ультраме-тричную структуру состояний [1, 2].

В последнее время снова возрос интерес к неизинговым спиновым стеклам с нарушенной отражательной симметрией, теорию которых связывают с теорией реальных структурных стекол. На сегодняшний день удовлетворительной микроскопической модели перехода жидкость-стекло не существует, несмотря на огромное количество данных реальных и компьютерных экспериментов, а также ряд феноменологических теорий.

Когда говорят о связи теории спиновых стекол с теорией реальных структурных стекол, обычно подразумевают два аспекта. Во-первых, теория переходов в определенном классе спиновых стекол рассматривается как дающая возможный сценарий стеклования в реальных многочастичных системах (см., например, [3]-[5]). Во-вторых, существует ряд попыток создать модельную теорию перехода жидкость-стекло в системах частиц с центральным взаимодействием [6]-[8], используя методы теории спиновых стекол.

В действительности существует и третий аспект указанной связи: развиваются подходы, в которых переход в мультипольное стекло возникает как составная часть перехода жидкость-стекло [9, 10]; причем в сценариях разных авторов физический смысл упорядочивающихся переменных различен. Рассматриваемая в настоящей работе задача может быть полезна в связи с первым и третьим аспектами.

Как показали работы последних лет, экспериментально наблюдаемые характеристики релаксационных процессов в реальных стеклах достаточно хорошо описываются уравнениями теории взаимодействующих мод [11]. Подобные уравнения получаются и в результате исследования динамики спиновых стекол. Наиболее близким по сценарию к реальным стеклам (на что впервые было указано в работах [12]) является класс спиновых стекол с отсутствием отражательной симметрии, в которых "статический" переход (нарушение репличной симметрии - НРС) сопровождается скачком параметра порядка при температуре Тс, причем решение, возникающее в результате первого этапа НРС (1НРС), оказывается устойчивым, а полная схема Паризи не работает. Динамический переход в этих моделях происходит при температуре > Те. В результате этого динамического перехода система оказывается "пойманной" в состоянии, менее энергетически выгодном, чем достигаемое в результате НРС, и остается в нем надолго. К таким моделям (являющимся как бы прототипом реального стекла) относятся, в частности, р-спиновая модель, ориентационные стекла, модель Поттса с беспорядком и др. Некоторые из этих моделей (особенно /ьспиновая сферическая модель) были подробно исследованы уже в середине 90-х годов [3]. Исследование других активно ведется и в настоящее время [13]-[16].

Хотелось бы отметить, что в литературе, касающейся среднеполевых моделей, считается, что переход из парамагнитной фазы в фазу спинового стекла происходит по одному из двух сценариев. Первый сценарий описывается решением с бесконечным НРС, характеризующимся непрерывным параметром порядка [17], который появляется при переходе и непрерывно возрастает от нуля. Самым известным примером такого поведения является модель Шеррингтона-Киркпатрика. [18]. Во втором сценарии, первоначально предложенном Дерридой в модели со случайной энергией (Random Energy Model) [19], фаза спинового стекла характеризуется устойчивым решением с одним этапом НРС. В таких моделях отсутствует отражательная симметрия, а параметр порядка либо непрерывно возрастет от нуля, либо изменяется скачком. Примером 1НРС решения с непрерывным параметром порядка принято считать модель Поттса с тремя и четырьмя состояниями [20], а также сферическую р-спиновую модель в сильном магнитном поле [21]. Примерами 1НРС решения с параметром порядка, изменяющимся скачком, - модель Поттса с пятью и более состояниями

20], сферическую р-спиновую модель в слабом магнитном поле

21].

В данной работе мы будем исследовать модели с отсутствием отражательной симметрии, которые, как уже говорилось, наиболее близки к реальным стеклам.

Цель работы. Задачей диссертации является теоретическое исследование моделей с квадрупольным взаимодействием, как аксиальным, так и неаксиальным. Основной акцент делается на следующие аспекты:

• Влияние отражательной симметрии на то, каким образом возникает реплико-симметричное решение в фазе спинового стекла.

• Разработка нового подхода к моделям Поттса с тремя и четырьмя состояниями, используя операторы квадрупольного момента. Этот подход должен, с одной стороны, приводить к модели эквивалентной модели Поттса, с другой стороны, позволить более полно и точно исследовать эти модели.

• Построение решения с одним этапом НРС для моделей с различным квадрупольным взаимодействием и исследование устойчивости этих решений.

Практическая ценность и научная новизна работы. Исследуемые в диссертации модели спиновых стекол являются прототипом реальных стекол, описание переходов в них - прототипом перехода жидкость - стекло. Как уже отмечалось, последовательной теории перехода жидкость-стекло в настоящее время не существует. Полученные в настоящей работе новые результаты могут быть использованы при построении такой теории. Перечислим эти результаты.

• Сформулировано правило симметрии для характера появления стекольного порядка для моделей спинового стекла в случае симметричных реплик в приближении среднего поля, связанное с наличием или отсутствием кубических членов в разложении свободной энергии Гинзбурга-Ландау.

• Рассмотрено поведение модели с аксиальным квадрупольным взаимодействием вблизи точки неустойчивости ее реплико-симметричного решения и показано, что вблизи этой точки существует более выгодное решение, соответствующее первому этапу нарушения репличной симметрии. Существенно, что несмотря на отсутствие отражательной симметрии, 1НРС решение ответвляется от PC решения непрерывным образом.

• Развит теоретический подход для описания стекла Поттса с тремя состояниями, опирающийся на изотропный случай ква-друпольной системы с неаксиальным взаимодействием. Впервые показано, что 1НРС решение перестает быть устойчивым при некоторой температуре, и тем самым подтверждена гипотеза Гросса, Кантера, Сомполинского [20].

• Предложен новый подход для описания модели Поттса с четырьмя состояниями, в основу которого легли матрицы аналогичные матрицам квадрупольного момента.

• Впервые была предложена и решена новая точно решаемая модель - сферическая модель Поттса с тремя состояниями.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем составляет 98 страниц.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Грибова, Надежда Виталиевна

Заключение

В данной работе рассмотрены модели с отсутствием отражательной симметрии, тот малоизученный подкласс этих систем, характеризующийся отсутствием скачка 1НРС решения. Эти модели объединяет также и то, что они представлены с использованием операторов квадрупольного момента. Для некоторых моделей это дало возможность принципиально повысить точность их решения, что в свою очередь дало возможность разрешить многолетние сомнения. Отметим основные результаты, полученные в этой диссертации.

1. Сформулировано правило симметрии для характера появления стекольного порядка для моделей спинового стекла в случае симметричных реплик в приближении среднего поля. Это правило связано с наличием или отсутствием кубических членов в разложении свободной энергии Гинзбурга-Ландау. Если в чистой системе переход к упорядоченной фазе является переходом второго рода (нет члена </>3), то в соответствующей неупорядоченной системе реплико-симметричное стекольный порядок появляется как результат фазового перехода. Но если переход в чистой системе - первого рода (присутствует член ф3), то в случайной системе параметр порядка стекла возрастает непрерывно при понижении температуры.

2. Рассмотрено поведение модели с аксиальным квадрупольным взаимодействием вблизи точки неустойчивости ее реплико-симметричного решения и показано, что вблизи этой точки существует более выгодное решение, соответствующее первому этапу нарушения репличной симметрии. Исследовано поведение параметров порядка с 1НРС. Доказано, что в окрестности точки ветвление новое решение является устойчивым относительно дальнейшего нарушения репличной симметрии. Это первая модель без внешнего поля, в которой параметр порядка с 1НРС непрерывно ответвляется от PC решения.

3. Развит теоретический подход для описания стекла Поттса с тремя состояниями, опирающийся на изотропный случай ква-друпольной системы с неаксиальным взаимодействием. Подробно исследовано решение с 1НРС для этой модели. Получены выражения для свободной энергии, параметров порядка и энтропии. Впервые показано, что решение перестает быть устойчивым при некоторой температуре, и тем самым подтверждена гипотеза Гросса, Кантера, Сомполинского [20]. Однако, полученная температура оказалась выше температуры, при которой энтропия становится отрицательной, и тем самым решение остается в физической области.

4. Впервые предложен новый подход для описания модели Поттса с четырьмя состояниями, в основу которого легли матрицы аналогичные матрицам квадрупольного момента. Изучено поведение параметров порядка для PC и 1НРС случаев. При этом, в точке ветвления параметр стекла q появляется непрерывно, а параметр ш, отвечающий за разделение на группы при НРС достигает своего максимального значения равного 1. Тем самым показано, что модель является пограничной между моделями, где параметр порядка стекла с 1НРС непрерывно растет от нуля и появляется скачком.

5. Впервые была предложена и решена новая точно решаемая модель - сферическая модель Поттса с тремя состояниями. Решение, полученное с использованием свойств больших случайных матриц, совпало с реплико-симметричным решением для этой модели. Показано, что наличие сферического условия восстанавливает отражательную симметрию.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.- м.н. Елене Евгеньевне Тареевой за предложенную тему, неоценимую помощь и руководство научной работой. Автор благодарит д.ф.-м.н. Валентина Николаевича Рыжова за многочисленные обсуждения и помощь в работе. Автор также благодарен к.ф.- м.н. Т.И. Щелкачевой и к.ф.- м.н. Н.М. Щелка-чеву за поддержку в работе и полезные замечания и коллективу теоретического отдела Института за благожелательное отношение при работе над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Грибова, Надежда Виталиевна, 2005 год

1. М. Mezard, G. Parisi and M. Virasoro, Spin Glass Theory and Beyond. (World Scientific, Sigapore, 1987)

2. K.H. Fischer and J.A. Hertz, Spin Glasse. (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1991)

3. J.-P.Bouchaud, L.F.Cugliandolo, J.Kurchan, M.Mezard. Spin glasses and random fields, ed. A.P.Young.(World Scientific, Singapore, 1998).

4. M.Mezard, cond-mat/0005173

5. A.Crisanti,F.Ritort, Physica A 280, 155,(2000).

6. M.Mezard, G.Parisi. J.Phys. A 29, 6515 (1996); Phys.Rev.Lett. 82, 747, (1999).

7. B.Coluzzi, G.Parisi, P.Verrocchio, J.Chem.Phys. 112, 2933 (2000)

8. G.Parisi, F.Slanina. Phys.Rev. E 62, 6554 (2000).

9. S.T.Chui, G.O.Williams, H.L.Frisch, Phys.Rev. В 26,171 (1982)

10. E.E. Тареева, B.H. Рыжов, ЭЧАЯ 31, 184 (2000)

11. W. Gotze, Liquid, freezing and glass transition, eds. J.P.Hansen, D.Levesque and J.Zinn-Justin. (Elsevier, New York, 1991).

12. T.R.Kirkpatrick and D.Thirumalai, Phys.Rev. В 36, 5388, (1987); ibid 37, 5342 (1988); T. R. Kirkpatrick and P. G. Wolynes, Phys. Rev. В 36, 8552 (1987)

13. G.Franzese, A.Coniglio, Phys.Rev. E 58, 2753 (1998); Phil.Mag. В 79, 1807 (1999)

14. J.M.de Araujo, F.A. da Costa, F.D. Nobre, Eur.Phys.J. В 14, 661 (2000)

15. J.M.de Araujo, F.A. da Costa, Eur.Phys.J. В 15, 313 (2000)

16. A. Crisanti, L. Leuzzi, Phys. Rev. Lett. 93, 217203, (2004)

17. G. Parisi, J. Phys. A 13, L115 (1980)

18. D. Sherrington and S. Kirkpatrick, Phys. Rev. Lett. 32, 1972 (1975); S. Kirkpatrick, D. Sherrington, Phys. Rev. B17, 4384 (1978)

19. B. Derrida, Phys. Rev. Lett. 45, 79 (1980)

20. D.J. Gross, I. Kanter and h. Sompolinsky, Phys. Rev. Lett. 55, 305 (1985).

21. A. Crisanti and H.J. Sommers, Z. Phys. В 87, 341, (1992)

22. H.B. Грибова, E.E. Тареева, ТМФ 131 852 (2002)

23. N. V. Gribova, V. N. Ryzhov, Т. I. Schelkacheva, E. E. Tareyeva, Physics Letters A 315 467 (2003)

24. N.V. Gribova, V.N. Ryzhov, E.E. Tareyeva, Phys. Rev. E 68 067103 (2003)

25. N.V. Gribova, V.N. Ryzhov, E.E. Tareyeva, принято к печати в Physics Letters A, cond-mat/0404609

26. V. Canella and J.A. Mydosh. Phys. Rev. B6, 4220 (1972)

27. H. Maletta and P. Convert. Phys. Rev. Lett. 42, 108 (1979)

28. U. T. Hochli, Phys. Rev. Lett 48, 1494 (1982)

29. S.F. Edwards and P.W. Anderson, J. Phys. F 5, 965 (1975)

30. J.R.L.Almeida, D.J.Thouless, J.Phys. A 11 983 (1978)

31. G. Parisi. Phys. Rev. Lett. 43 1754 (1979)

32. E.Gardner, Nucl. Phys. B257 FS14], 747 (1985)

33. V.M. de Oliveira, J.F. Fontanari, J. Phys. A 32, 2285 (1999)

34. Л.Д. Ландау и E.M. Лифшиц, Статистическая физика. Курс теоретической физики, Том 5, 3-е издание (Наука, Москва, 1976)

35. Е.Е. Тареева, Т.И. Щелкачева, ТМФ , 31, 510 (1977)

36. P.Goldbart, and D.Elderfield, J.Phys. С 18, L229 (1985)

37. M.Campellone, B.Coluzzi, and G.Parisi, Phys.Rev. В 58, 12081 (1998)

38. E.A.Lutchinskaia, V.N.Ryzhov, T.I.Schelkacheva and E.E.Tareyeva, in Proceedings of the 5th International Symposium on Selected Topics in Statistical Mechanics, edited by A.A.Logunov et al. (World Scientific, Singapore, 1990), p. 170

39. Y. Imry, M.Wortis, Phys. Rev. В 19, 3580 (1979)

40. P.N. Timonin, Phys. Rev. В 69, 092102 (2004)

41. M. Kastner, cond-mat/0412199

42. M.T. Mercaldo, J.-Ch. Angles d'Auriac, F. Igloi, cond -mat/0502035

43. N. S. Sullivan, С. M. Edwards and J. R. Brookeman, Mol. Cryst. Liq. Cryst. 139, 365 (1986)

44. E.A.Lutchinskaia, V.N.Ryzhov and E.E.Tareyeva, J.Phys. С 17, L665 (1984)

45. Е.А.Лучинская, В.Н.Рыжов, Е.Е.Тареева, ТМФ 67, 363 (1986)

46. E.A.Lutchinskaia and E.E.Tareyeva, Phys.Rev. В 52, 366 (1995)

47. Т.И. Щелкачева, Письма в ЖЭТФ, 76, 434 (2002).

48. Е.А. Лучинская, Е.Е. Тареева, ТМФ 90, 185 (1992)

49. T.I.Schelkacheva, E.E.Tareyeva, Phys.Rev.B, 61 3143 (2000); Е.Е. Тареева, Т.П. Щелкачева, ТМФ 121 1666 (1999)

50. Е.Е. Тареева, Т.И. Трапезина, ТМФ 26, 180 (1976); E.E.Tareyeva and T.I.Trapezina, Phys. Lett. 51, 114 (1975)

51. J.C.Raich and R.D.Etters, J.Phys.Chem.Solids 29, 1561 (1968).

52. B.Strieb, H.B.Callen, G.Horwitz, Phys.Rev. 130 1798 (1963)

53. В.Г. Вакс, Введение в микроскопическую теорию ферроэлек-тиков (Наука, Москва, 1973)

54. N.S.Sullivan, M.Devoret, B.P.Cowan and C.Urbina, Phys. Rev В 17, 5016 (1978)

55. F. Reif, E.M. Purcell, Phys. Rev. 91, 631 (1953)

56. I.F. Silvera, Rev. Mod. Phys. 52, 393 (1980)

57. J.C. Raich, R.D. Etters, Phys. Rev 155, 457 (1967)

58. Т.И. Трапезина, ТМФ, 29, 136 (1976)

59. В.А.Москаленко, М.И.Владимир, С.П.Кожухарь, Метод самосогласованного поля в теории стекольного состояния спиновых и квадрупольных систем. (Штиинца, Кишинев, 1990)

60. М.И.Владимир, С.П.Кожухарь, В.А.Москаленко, ТМФ 71, 471 (1987)

61. L.De Cesare, K.Lukerska-Walasek, I.Rubuffo and K.Walasek, Phys.Rev. В 45, 1041 (1992); K.Walasek and K.Lukerska-Walasek, Phys.Rev. В 49, 9960 (1994)

62. K.Walasek, Phys.Rev. В 46, 14480 (1992)

63. Т.К.Kopec. Phys.Rev. В 48, 3698 (1993); ibid 48, 15658 (1994); ibid 48, 16792 (1994)

64. K.Walasek. Phys.Rev. В 51, 9314 (1993).

65. М.М.Вайнберг, В.А.Треногин, Теория ветвления решений нелинейных уравнений. (Наука, Москва 1969)

66. N.S.Sullivan, C.M.Edwards, Y.Lin, D.Zhou, Proc. Int. Conf. on Quantum Fluids and Solids. (Banfi, Canada, 1986), p. 1

67. F. Wu, Rev.Mod.Phys. 54, 235 (1982).

68. E.A. Лучинская, E.E. Тареева, ТМФ 70 477 (1987)

69. E.A. Лучинская, E.E. Тареева, ТМФ 87, 473 (1991)

70. E.A. Лучинская, E.E. Тареева, ТМФ 91, 157 (1992)

71. E. A. Lutchinskaia and E. E. Tareyeva, Europhys. Lett. 17, 109 (1992); Phys. Lett. A 181, 331 (1993)

72. E.De Santis, G.Parisi, F.Ritort, J.Phys. A 28, 3025 (1995)

73. A. Erzan, E. J. S. Lage, J. Phys. С 16, L555, L873 (1983)

74. D. Elderfield, D. Sherrington, J. Phys. С 16, L497 (1983)

75. D. Elderfield, D. Sherrington, J. Phys. С 16, L971 (1983); ibidl6, L1169 (1983)

76. G. Cwilich and T. R. Kirkpatrick, J. Phys. A 22, 4971 (1989)

77. G. Cwilich, J. Phys. A 23, 5029 (1990)

78. A. Montanari, F. Ricci-Tersenghi. Eur. Phys. J В 33, 339 (2003)

79. J. Ashkin, E. Teller, Phys. Rev. 64, 178 (1943)

80. F. D. Nobre, D. Sherrington, Phys. A 26, 4539 (1993)

81. T.H.Berlin, H.Kac, Phys.Rev. 86, 821 (1952)

82. J.M.Kosterlitz, D.J.Thouless, and R.C.Jones, Phys.Rev.Lett. 36, 1217 (1976)

83. D.Elderfield, J.Phys. A 17 L517 (1984)

84. E. J. S. Lage and J.M.Nunes da Silva, J. Phys. С 18, L817 (1984)

85. Y.Y.Goldschmidt, Phys.Rev. В 31, 366 (1985)

86. К. Binder, J.D. Reger, Advances in Physics 41, 547 (1992)

87. M.L.Mehta, Random Matrices and the Statistical Theory of Energy Levels (Academic, New Yorh, 1967), p. 240

88. См., например, Г. Стенли, Фазовые переходы и критические явления (Мир, Москва, 1973)