Некоторые приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Коротков, Александр Евгеньевич

• Коротков, Александр Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коротков, Александр Евгеньевич

1 Избранные вопросы метода редукции к степенным рядам

1.1 О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка

1.2 Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел»

Актуальность работы Рассмотрим ряд Дирихле сю

5 = а + Ш</сь = 1, (1) пь п=1 и соответствующий степенной ряд (с теми же коэффициентами, что и ряд (1)): оо п= 1

Ряд Дирихле / (я) абсолютно сходится в полуплоскости а > 1, а степенной ряд д (г) сходится при \г\ < 1.

Метод редукции к степенным рядам устанавливает взаимосвязь между аналитическими свойствами функции / (5), определенной рядом (1), и поведением функции д (г), определенной рядом (2) на границе сходимости.

Эта взаимосвязь устанавливается на основании изучения свойств прямого и обратного преобразований Меллина: оо

5) Г {з) = I д(е~х)х8-Чх, а > 1, (3) о сг+гоо 1(з)Г(з)х~Чз, С7>1, (4)

7—гоо где Г (5) — Г-функция Эйлера, д (е~х) = ап^~пх, х > 0.

Впервые основные положения метода редукции к степенным рядам были заложены в работе [24], в которой на основании изучения свойств преобразований (3) и (4) было показано, что в случае конечнозначных коэффициентов ряд Дирихле (1) тогда и только тогда определяет мероморфную функцию с единственным возможным полюсом первого порядка в точке я = 1, модуль которой удовлетворяет следующему условию роста модуля s)| = О (еМьМ+лн), а<0, (5) где А —- некоторая положительная константа, когда функция g(z), определенная степенным рядом (2), либо регулярна в точке z = 1, либо имеет там полюс первого порядка. Существенным моментом при этом было доказательство того факта, что в случае когда ряд Дирихле (1) определяет целую функцию / (s) степенной ряд (2) имеет в точке z — 1 радиальные производные вида lim д{п){х) = ап, п = 0Д,2,., (6) х—>1-0 и при этом значения / (—п), п = 0,1, 2,., выражались через эти радиальные производные.

Для степенных рядов с конечнозначными коэффициентами известная теорема Сеге [7] утверждает, что такой ряд тогда и только тогда определяет функцию, регулярную в точке z = 1 или имеющую там полюс, когда коэффициенты этого ряда являются периодическими, начиная с некоторого номера. Этот известный факт о граничном поведении степенных рядов с конечнозначными коэффициентами позволил получить аналитическую характеристику L-функций Дирихле [24]: в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами L-функции Дирихле определяются как мероморфные функции с единственным возможным полюсом первого порядка в точке s = 1 с условием роста модуля вида (5).

В дальнейших работах В. Н. Кузнецова [26], [27], [25] рассматривались ряды Дирихле, аналитическое продолжение которых сводилось к задаче о граничном поведении определенных степенных рядов во всех точках единичной окружности. При этом соответствующие степенные ряды имели в точке z = 1 радиальные производные вида (6) и в то же время были аналитически непродолжимы за границу единичного круга. В результате чего подход изучения аналитических свойств рядов Дирихле, основанный на сведении этой задачи к задаче о граничном поведении соответствующих степенных рядов получил название метода редукции к степенным рядам.

В период с 2003 по 2012 годы метод редукции к степенным рядам и его приложения в теории ¿-функций числовых полей и в теории степенных рядов получили свое дальнейшее развитие в работах В. Н. Кузнецова и его учеников.

Так в работе [8] методом редукции к степенным рядам получен аппрок-симационный критерий для ¿-функций Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами: показано, что в этом классе ¿-функции Дирихле определяются как такие функции, которые в любой полосе а > 0, Щ < Т можно приблизить полиномами Дирихле с показательной скоростью. При этом указана явная конструкция аппроксимирующих полиномов. Нужно отметить, что в работе [8] аппроксимирующий критерий был получен для рядов Дирихле с периодическими, начиная с некоторого номера, коэффициентами в классе рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, что, как показано в данной диссертации, позволяет достаточно быстро определить значения целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами в прямоугольнике 0 < ст < 1, 1 < £ < Т.

В работах [35], [34], [41] исследовалась задача существования радиальных производных вида (6) для степенных рядов, отвечающих рядам Дирихле вида (1). В частности, исследовалась задача о целостности композита двух рядов Дирихле вида (1), т.е. пусть ряды Дирихле со в = <т +и, п=1 со ^

2(5) = У" А Б = <7 + й ГГ п=1 определяют целые функции и нужно определить при каких условиях ряд Дирихле

ОС

А-/

71=1

Было показано, что этот факт имеет место, когда /1 (й) и /2 (в) являются произведением классических ¿-функций Дирихле с неглавными характерами Дирихле. Существенным моментом при этом был результат [33], являющийся обобщением известной теоремы Адамара об умножении особенностей [43].

Полученные результаты нашли применение [33] в задаче о целостности скалярного произведения ¿-функций Дирихле числовых полей.

В работах [23], [31] изучалась задача о том, насколько функциональное уравнение римановского типа где /(з) — функция, определяемая рядом Дирихле вида (1), а /(5) — функция, определенная рядом Дирихле с сопряженными к коэффициентам, 6 и 5\ — величины, равные либо 0, либо 1, к — натуральное, определяет функцию /(з).

В работе [23] методом редукции к степенным рядам было показано, что функциональному уравнению (7) в классе эйлеровых произведений с конеч-нозначными коэффициентами удовлетворяют только Ь-функции Дирихле с первообразными характерами модуля к.

Известный пример Дэвенпорта-Хейльбронна [1] показал, что в классе рядов Дирихле с периодическими коэффициентами функциональному уравнению (7) могут удовлетворять не только ¿-функции Дирихле. В работе [31] были получены условия, при которых ряды Дирихле с периодическими коэффициентами удовлетворяют функциональному уравнению (7). Было показано, что таких рядов Дирихле существует бесконечно много.

В работах [34], [29] изучались аналитические свойства рядов Дирихле вида (1), для которых соответствующие степенные ряды (2) определяют функции либо регулярные в точке г = 1, либо имеющие в этой точке полюс порядка к. Было показано, что это либо целые функции, модуль которых удовлетворяет условию (5), либо мероморфные функции, имеющие возможные простые полюсы в точках 5 = 1,2К. Результаты этих исследований нашли приложение в теории степенных рядов [39], [38].

Постановка задачи. Как уже отмечалось выше, метод редукции к степенным рядам позволяет:

- устанавливать связи между значениями /(—п), п ~ 1,2,., где /(й) — целая функция определенная рядом Дирихле, и значениями радиальных производных вида (6) для соответствующего степенного ряда

- строить полиномы Дирихле, аппроксимирующие в полосе а > 0, < Т целые функции, заданные рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, с показательной скоростью.

Перед автором была поставлена задача найти приложения этих результатов в задаче о трансцендентности значений в положительных алгебраических точках целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами и удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа, а так же в задаче определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. Как показано в [32] последняя задача связана с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотезой Римана.

Таким образом, можно говорить об актуальности тематики исследований данной диссертационной работы.

Научная новизна. К новым результатам, полученным в данной работе в направлении решения поставленных выше задач, нужно отнести следующие.

1. Показано, что для произведения по Дирихле двух степенных рядов с алгебраическими периодическими коэффициентами, регулярными в точке г = 1 существуют радиальные производные в точке г = 1 любого порядка, которые являются алгебраическими числами.

2. Для рядов Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа показано, что они принимают трансцендентные значения в четных или нечетных натуральных точках в зависимости от величины 5 (5 = 0 или 6 = 1), входящей в функциональное уравнение.

Отметим, что в основе этих двух результатов лежит взаимосвязь между значениями целых функций, определенных рядами Дирихле, в отрицательных целых точках и значениями радиальных производных соответствующих степенных рядов. Тем самым получено новое доказательство о трансцендентности значений L-функций Дирихле в четных или нечетных натуральных точках в зависимости от четности характера Дирихле.

3. Для рядов Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, определяющих целые функции задачу о трансцендентности значений этих функций в положительных алгебраических точках удалось свести к задаче определения порядка роста последовательности высот алгебраических чисел Qk (а), где Qk (s) — последовательность полиномов Дирихле (которые определяются явным образом) с алгебраическими коэффициентами, аппроксимирующих функцию, заданную рядом Дирихле на положительной полуоси с показательной скоростью.

В основе этого результата лежит аппроксимационный критерий целостности функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, полученный в работе [8] и известная теорема Левека [44] относительно скорости приближения алгебраических чисел алгебраическими числами.

4. Разработана численная схема относительно определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. Проведены численные эксперименты связанные как с расширенной гипотезой Римана, так и с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана, которая, как показано в [32], связана с нулями целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

В основе численной схемы лежат основные положения аппроксимаци-онного критерия целостности функции, заданной рядом Дирихле с периодическими коэффициентами.

Составлена программа на языке python, реализующая эту численную схему, которая достаточно быстро выдает результаты относительно нулей аппроксимируемых функций в заданном прямоугольнике критической полосы.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 45 наименований. Общий объем диссертации 80 страниц. Диссертация содержит 2 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Коротков, Александр Евгеньевич

Заключение

В заключении отметим, что в работе разработан подход к задаче о трансцендентности значений ¿/-функций Дирихле в положительных алгебраических точках, в результате которого эту задачу свели к задаче оценки высот некоторой последовательности алгебраических чисел. Автор надеется, что данный подход может быть эффективным в случае алгебраических чисел не превосходящих единицы. Автор надеется также, что удастся показать, что нули полиномов Дирихле, аппроксимирующих //-функции Дирихле, имеют ту же кратность, что и нули Ь-функций. Наконец, нужно сказать, что перечень приложений, указанных в начале автореферата и рассматриваемых в данной диссертации, далеко не исчерпывают все приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел.

Стоит также отметить, что в случае ¿-функций числовых полей к (к ф (ф) можно строить полиномы Дирихле (¿п(з), аппроксимирующие функции Ь^тХ^к) в прямоугольнике 0 < сг < 1, 0 < £ < Т, со скоростью где т — любое натуральное, а ¿-функции Дирихле числового поля определяются следующим образом: где ап = Х^(а)=п х(а)> а произведение берется по всем простым идеалам поля к и где х ~ характер Дирихле, заданный на группе идеалов поля к.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коротков, Александр Евгеньевич, 2013 год

1. Davenport Я., Heilbronn H. On the zeros of certain Dirichlet series // J. bond. Math. Soc. 1936. - T. 11. - C. 181-185.

2. H ermite С. Sur la fonction exponentielle // C. R. Acad. Sei. (Paris). — 1873. T. 77. - C. 18-24, 74-79, 221-233, 285-293.

3. Hilbert D. Mathematische Probleme // Ges. Werke. 1900. - T. 3. -С. 290—329.

4. Iwasawa К. Lectures on P-Adic L-Functions. — Princeton University Press, 1972.

5. Lindemann F. Über die Zahl тг // Math. Ann. 1882. - T. 20. - С. 213— 225.

6. Siegel С. L. Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abh. Preuss. Acad. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1929-1930. - № 1. - C. 1-70.

7. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. — M.: Наука, 1967.

8. Воронин С., Карацуба А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994. С. 376.

9. Гельфонд А. О. Sur les nombres transcendantes If С. R. Acad. Sei. (Paris). 1929. - T. 189. - С. 1224-1228.

10. Гельфонд А. О. Sur les propriétés arithmétiques des fonctions entières // Tohoku Math. J. 1929. - T. 39, 3-4. - C. 280-285.

11. Даугавет И. К. Введение в теорию приближения функций. — JI.: Изд-во ЛГУ, 1977.

12. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. — М.: Наука, 1972. С. 368.

13. Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. — М.: Бибфизмат, 1981. С. 192.

14. Короткое А. Е. О граничном поведении одного класса степенных рядов // Вестник Самарского государственного университета — Естественнонаучная серия. Самара : Изд-во Самар. гос. ун-та. — 2012. — 6(97). — С. 22-26.

15. Короткое А. Е. Приложение метода редукции к степенным рядам к некоторым задачам в теории чисел // Аглебра и теория чисел : современные проблемы и приложения : Тез. докл. X междунар. конф. Волгоград : Изд-во ВГСПУ «Перемена». 2012. - С. 35-36.

16. Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса // Мат. заметки. 1984. - Т. 36, № 6. - С. 805-812.

17. Кузнецов В. Н. К задаче описания одного класса рядов Дирихле, определяющих целые функции // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. — 1988. — Т. 1. — С. 63-72.

18. Кузнецов В. Н. О граничных свойствах степенных рядов с конечными коэффициентами // Дифференциальные уравнения и теория функций:

19. Межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. — 1987. — Т. 7. — С. 9-16.

20. Кузнецов В. Я. Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. — 1987. — Т. 1. — С. 17—23.

21. Кузнецов В. Я, Полякова О. А. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами // Чебышевский сборник : Науч.-теор. журн. Тула : Изд-во Тульского гос. пед. ун-та. 2010. - Т. И, № 1. - С. 188-199.

22. Кузьмин Р. О. Об одном новом классе трансцендентности чисел // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1930. - Т. 3. - С. 583-597.

23. Малоземов В. Н. Совместное приближение функций и ее производных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1973.

24. Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967. — С. 511.

25. Сецинская Е. В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих //-функциям числовых полей. — Дис. . .канд. физ.-мат. наук. Саратов. Саратов: СГУ, 2005.

26. Спринджук В. Г. Вертикальные распределения нулей дзета-функции и расширенная гипотеза Римана // Acta Arithmetica. — 1975. — Т. XXVII, № 1. С. 317-332.

27. Титчмарш Е. К. Теория функций. — М.: Наука, 1980. — С. 463.

28. Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа. М.: Изд-во МГУ, 1982.

29. Эйлер Л. Введение в анализ. — М.: Физматгиз, 1961.