Некоторые расширения в теории нечетких реляционных баз данных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Лыу Дык Кхам

• Лыу Дык Кхам
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лыу Дык Кхам

Введение

ГЛАВА I. НЕЧЕТКАЯ РЕЛЯЦИОННАЯ МОДЕЛЬ БАЗ ДАННЫХ BUCKLES И PETRY

1. Первоначальная версия

2. Расширение базы данных с нечеткими числами

2.1. Свойства доменов нечетких чисел

2.2. Нечеткие Булевы запросы

ГЛАВА II. РАСШИРЕНИЕ МОДЕЛИ НЕЧЕТКОЙ РЕЛЯЦИОННОЙ БАЗЫ ДАННЫХ С ОТНОШЕНИЯМИ БЛИЗОСТИ И НОРМАЛЬНЫМИ НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

1. Отношения близости и конечные скалярные домены

2. Нормальные нечеткие множества в реляционной модели

3. Непроцедурный язык запросов для нечетких реляционных баз данных, основанных на отношении близости

3.1. Введение

3.2. Нечеткие подъязыки данных

3.3. Реляционное исчисление нечеткого домена

3.4. Применение

ГЛАВА III. РАСШИРЕНИЕ НЕЧЕТКИХ РЕЛЯЦИОННЫХ БАЗ ДАННЫХ

С КЛАССАМИ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

1. Введение

2. Классы эквивалентности и неточная информация

3. Нечеткая реляционная структура

4. Нечеткая реляционная алгебра

4.1. Объединение

4.2. Разность

4.3. Декартовое произведение

4.4. Проекция

4.5. Выборка

4.6. Пересечение

4.7. Деление

4.8. Соединение 63 5. Пример

ГЛАВА IV. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И МНОГОЗНАЧНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ И НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В НЕЧЕТКОЙ РЕЛЯЦИОННОЙ МОДЕЛИ БАЗ ДАННЫХ

1. Введение

2. Предварительные концепции

3. Функциональные зависимости (ФЗ)

4. Многозначные зависимости (МЗ) 93 4.1 .Аксиомы для нечетких ФЗ и МЗ 96 4.2. Дополнительные правила вывода для нечетких МЗ

5. Нормальные формы

6. Проблемы нормализации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые расширения в теории нечетких реляционных баз данных»

2. Представление и хранение данных 109

3. Обработка данных 113

3.1. Расширенные арифметические операции над данными 114

3.2. Реляционные операции в расширенных (нечетких) базах данных 118

3.2.1. Операция выборки 118

3.2.2. Операция соединения 119

3.2.3. Операция проекции 120

4. Заключение 121 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 122 ЛИТЕРАТУРА 123

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Проблема проектирования баз данных (БД) является в настоящее время объектом все возрастающего интереса широкого круга специалистов в различных областях науки и техники. Однако, во многих случаях, хранимая в БД информация не всегда точно отражает характеристики исследуемого объекта реального мира. Это объясняется рядом объективных и субъективных причин. Во-первых, рассматриваемый объект имеет сложную функциональную структуру, и исследователи не в состоянии полно ее выяснить. Во-вторых, в связи с объективными причинами, специалисты не имели возможности получить точную информацию, а получили только ее некоторую часть (т.е. неполную информацию). В-третьих, на практике бывает достаточно много атрибутов объекта, которые нельзя оценить количественными величинами, а только качественными. Такие типы данных часто встречаются в экспертных системах, системах принятия решений, и интеллектуальных БД. Поэтому в настоящее время в круг проблем проектирования нечеткой модели БД и методик обработки неточной и абстрактной информации вовлекается широкий круг пользователей информационных систем.

Достаточно много ученых рассматривает проблемы нечетких баз данных, особенно их реляционную модель. Ими были разработаны различные нечеткие модели реляционных баз данных. Они изложены, например, в работах: Buckles В.Р и Petry F.E. [66-72], Shenoi S. и Melton А. [116-120], Medina J.M. и Vila М.А. [101-102, 132], Lipski W.Jr. [96-97], Prade H. [109-111], Zemankova-Leech M. и Kandel A. [146], Umano M. [129-130], Ding-An Chiang, Lui R. Chow и Nan-Chen Hsien [79], Le Tien Vuong, Ho Thuan и Truong Due Hung [56, 94, 95, 149]. и т.д. Среди них нечеткие модели Buckles В.Р и Petry F.E., Shenoi S. и Melton А. более привлекают специалистов различных областей, благодаря их структуре, приближающейся к структуре человеческого мышления.

Благодаря работам многочисленных специалистов: Мартин Дж. [21], Мейер Д. [23], Дейт К.Дж. [10], Томас Коннолли и Каролин Бегг [45], Codd E.F. [76,77], Fagin R. [83-85], Maier D. [98], Armstrong W.W. [60]. и т.д., теория классических баз данных была достаточно развита с математической точки зрения. В то же время, нечеткая база данных рассматривается как обобщенная версия традиционной базы данных, иначе говоря, последняя является специальным случаем нечеткой базы данных. С одной стороны, теория нечетких баз данных, по-видимому, еще не закончена с математической точки зрения, и в ней остается немало вопросов, требующих решения. С другой стороны, области, к которым применимы нечеткие базы данных, разнообразны, кроме того, исследуемые объекты обычно имеют сложную функциональную структуру и для работы с ними требуются подходящие методы манипуляции нечеткими данными. Поэтому, проблема расширения нечеткой модели баз данных является актуальной. Среди трех основных моделей баз данных, наиболее простой и распространенной оказалась реляционная модель. Мы выбираем ее нечеткий аналог, чтобы проводить некоторые расширения.

Целью работы является уточнение и расширение нечетких реляционных моделей баз данных, в особенности модели Buckles и Petry и модели Shenoi и Melton. В основе исследования лежат такие вопросы, как нечеткое исчисление доменов, вполне определенности реляционной алгебры, нечеткие функциональные и многозначные зависимости и связанные нечеткие нормальные формы. Более того, опирая на результаты, полученные Medina, Pons и Vila [101, 102], ставится целью поиск одной группы операторов нечеткого сравнения между нечеткими значениями, с одной стороны и нечетким и четким значениям одного и того же домена, с другой стороны.

Аппаратом исследования служат: теория нечетких множеств, нечеткая логика, теория возможностей, теория проектирования реляционных баз данных, исчисление высказываний, исчисление предикатов, лингвистические переменные, теория графов и алгебра лингвистических неопределенностей (hedge algebras).

Научная новизна»

1. Исследована задача исчисления доменов (непроцедурный язык запросов) для основанной на отношениях близости нечеткой реляционной модели и показана компактность этого непроцедурного языка запросов.

2. Определен полный набор операций нечеткой реляционной алгебры в основанной на классах эквивалентности нечеткой реляционной модели и показано свойство вполне определенности каждой операции.

3. Продемонстрированы дополнительные правила вывода для нечетких функциональных зависимостей в основанной на классах эквивалентности реляционной модели. Исследованы в ней нечеткие многозначные зависимости и связанная нормальная форма для схем нечетких отношений.

4. Построена группа операций нечеткого сравнения в нечеткой реляционной модели баз данных и применены эти операции в командах реляционной алгебры. Определен новый метод хранения и обработки нечеткой информации.

Практическая ценность. Полученные во второй и третьей главе диссертации теоретические результаты могут использоваться при создании нечеткой базы данных и реализации нечетких запросов к ним. Результаты, развитые в четвертой главе, могут быть применены при проектировании баз данных для создания "хороших" нечетких моделей с помощью процедуры нормализации схем нечетких отношений. Результаты, полученные в пятой главе, могут быть использованы при хранении и обработке информации с различными уровнями точности.

Полученные нами результаты были реализованы в системе FAMEBASE 3.0 [149] и при проектировании информационной системы "Розыск уголовных преступников" (министерство внутренних дел СРВ).

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах кафедры технологии программирования (2002г.), на 33-ой и 34-ой научных конференциях студентов и аспирантов факультета ПМ-Г1У, СПбГУ (4.2002,4.2003).

Публикация. Некоторые результаты содержатся в работах [147- 1ST].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка русской и зарубежной литературы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Лыу Дык Кхам

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе изучены некоторые вопросы, связанные с проблемой совершенствования общей теории нечетких реляционных баз данных: нечеткое исчисление доменов для нечеткой модели, основанной на отношении близости; свойство вполне определенности нечетких реляционных операций; НФЗ, НМЗ и связанные с ними нормальные формы; новый метод представления, хранения и обработки неточной информации. Важно отметить, что традиционная реляционная модель баз данных представляет собой специальный случай нечеткой реляционной модели, когда уровни точности информации на всех доменах отношения равны 1. Рассматриваемые нами модели, основанные на отношении подобия, отношении близости и классах эквивалентности, имеют простую и наглядную структуру и обладают удобными средствами для обработки неточной информации. Новый метод обработки данных, предлагаемый нами, также основан на понятии эквивалентности значений домена. Метод определения отношения подобия, отношения близости, отношения эквивалентности (классов эквивалентности) на каждом домене, зависит от конкретного практического применения. Ввиду сложности структуры, в теории нечетких баз данных требуется дальнейшее исследование ряда вопросов. Перечислим некоторые из них: изучение свойства соединения без потерь (зависимости соединения) и определение связанной с ним нормальной формы для схемы нечетких отношений; проблема безопасности данных, связанная с многоуровневой нечеткой реляционной моделью, которая была предложена в главе IV; оптимизация запросов и представления неточной информации; создание нечетких продукционных систем, в которых информации представлены набором правил "если нечеткие условия, то действия" и т.д.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководители, доц. С. Л. Сергееву за постоянное внимание, поддержку и помощь.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лыу Дык Кхам, 2003 год

1. Аверин А.Н. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта // Под ред. Д.А. Поспелова. — М.: Наука. -1986.-312 с.

2. Александров А.Л., Бойко В.В. Вейнеров О.М., Системы управления базами данных. М.: финансы и статистика. - 1984. - 224 с.

3. Алтунин А.Е., Востров Н.Н. Методы определения функций принадлежности в теории размытых множеств // Труды Записи, НИГНИ. Тюмень, вып. 154. - 1980. - С. 62-72.

4. Атре. Структурный подход к организации баз данных. М.: Финансы и статистика. - 1983. — 313 с.

5. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Крумберг О.А. и др. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. Рига: Зинатне. -1982.-256 с.

6. Вольфегаген В.Э., Кузин Л.Т., Саркисян В.И. Реляционные методы проектирования банков данных. Киев: Вища Школа. - 1979. - 192 с.

7. Вольфегаген В.Э., Ящук В.Я., Вычислительная модель реляционной алгебры // Программирование. 1985. - № 5.

8. Гаврилов Т.А., Хорошевский В.Ф. Базы знаний интеллектуальных систем. С.-Петербург, Москва * Харьков * Минск. — 2001.

9. Гладун В.П. Процессы формирования новых знаний. София, 1994.

10. Дейт К. Дж., Введение в системы баз данных. — Москва-Санкт-Петербург-Киев. 2001. - 1071 с.

11. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение. М.: Мир. - 1986. - 165 с.12.3митрович А.И. Интеллектуальные информационные системы.- Минск: HT000 "ТетраСистемс". 1997. - 367 с.

12. Игнатенко Б.В. Языки манипулирования данными: модели и средства.- Киев: Вшца школа. 1984. - 125 с.

13. Кокорева Л.В., Малашинин И.И. Проектирование банков данных. М.: Наука. - 1984.-256 с.

14. Корнеев В.В., Гареев А.Ф. Васютин С.В., Райх В.В. Базы данных, интеллектуальная обработка информации. — М.: Издатель Молгачева С.В. 2001. - 494 с.

15. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь. -1982.-432 с.

16. Круглов В.В., Дли М.И. Годунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. — М.: Физматлит. 2001. — 224 с.

17. Кузнецов И.П. Семантические представления.- М.: Наука.-1986.-293 с.

18. Кузнецов С.Д. Введение в СУБД: ЧАСТЬ 4 // Системы Управления Базами Данных. № 4/95. - С. 114-122.

19. Макликов А.В. К вопросу определения функциональной зависимости между атрибутами отношений в реляционных базах данных // Программирование. 1978. - № 1.

20. Мартин Дж. Организация баз данных в вычислительных системах. -М.: Мир.-1980.-662 с.

21. Мартен Д. Базы данных: Практические методы. М.: Радио и связь. -1983.-168 с.

22. Мейер Д. Теория реляционных баз данных. — М.: Мир. — 1987. 608с.

23. Медельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука. — 1971. -320 с.

24. Нагао М. И др. Структуры и базы данных. М.: Мир. - 1986. - 198 с.

25. Нейлор К. Как построить свою экспертную систему. М.: Энергофтомиздат. - 1991. — 228 с.

26. Некиодова Е.А., Цаленко М. Ш. Синтез логической схемы реляционной базы данных // Программирование. -1979.-№ 6.-С. 58-68.

27. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения // Под ред. P.P. Ягера. -М.: Радио и связь. 1986. - 408 с.

28. Нильсон Н. Принцип искусственного интеллекта. М.: Радио и связь.1985.-373 с.

29. Норвич A.M., Турксен И.Б. Построение функций принадлежности В кн.: Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения // Под ред. P.P. Ягера. — М.: Радио и связь.-1986- С. 64-71.

30. Плесневич Г.С. Концептуальные языки и модели данных И Изв. АН СССР Тех. Кибернет. 1984. - № 5.

31. Поспелов Д.А. Данные и знания. Искусственный интеллект // В 3 кн. Кн. 1. М.: Радио и связь. - 1990. - С. 7-14.

32. Прикладные нечеткие системы // Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. М.: Мир. - 1993. - 368 с.

33. Райфа Г. Анализ решений. Введение в проблемы выбора в условиях неопределенности. -М.: Наука. 1977. - 120 с.

34. Рыжов А.П., Аверкин А.Н. Аксиоматическое определение степени нечеткости лингвистической шкалы и ее основные свойства //Искусственный интеллект -90. Т. 1: П Всесоюзная конференция. — Минск. 1990. - С. 162 -165.

35. Сибдя М., Ямамото Т. Алгоритмы обработки данных. М.: Мир.1986.-218 с.

36. Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир. - 1979. - 375 с. 43 .Столяров Г.К.Б Дрибас В.П. Факторы оценки и выбора систем управления базами данных. — Минск. — 1976 (Препринт/институт математики АН БССР, № 6(6)).

37. Тиори Т., Фран Дж. Проектирование структур баз данных. М.: Мир. -1985.

38. Томас Коннолли, Каролин Бегг, Анна Страчан. Базы данных, Москва-Санкт-Петербург-Киев. - 2000. - 1111 с.

39. Ульман Дж. Основы системы баз данных. М.: Финансы и статистика. -1983.-334 с.

40. Уэно X, Исидзука. Представление и использование знаний. М.: Мир. -1989.-220 с.

41. Форсайт Ф. Экспертные системы. Принципы работы и примеры. М.: Радио и связь. —1987.

42. Хаббард Дж. Автоматизированное проектирование баз данных. — М.: Мир.-1984.-293 с.

43. Хант Д. Искусственный интеллект. М.: Мир. - 1986.

44. Хейес-Рот Ф., Уотерман Д., Ленат Д. Построение экспертных систем. -М.: Мир.-1987.-441 с.

45. Цаленко М.Ш. Реляционные модели баз данных // В сб. Алгоритмы и организация решений экономических задач. М.: 1977, вып. 9. - С. 18 - 36, вып. 10. - С. 16 - 29.

46. Цаленко М.Ш. Семантические и математические модели баз данных. -М.: ВИНИТИ. 1985. - 207 с.

47. Цаленко М.Ш. Моделирование семантики в базах данных. М.: Наука. -1989.

48. Цикритзис. Модели данных. -М.: Финансы и статистика.- 1985.-343 с. 56.Чыонг Дык Хунт. Некоторые вопросы о базах данных с неполнойинформацией и приблизительном рассуждении при обработке запросов. — Ханой. — 1996. — 93 с.

49. Шопшн П.Б. Размытые числа как средство описания субъективных величин // В кн.: Статистические методы анализа экспертных оценок. -М.: Наука. 1977. - С. 234 - 250.

50. Шошин П.Б. Размытые числа как средство описания субъективных величин // В кн.: Статистические методы анализа экспертных оценок. -М.: Наука. 1977. - С. 234 - 250.

51. Ягер Р.Р. Множества уровня для оценки принадлежности нечетких подмножеств //В кн.: Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. М.: Радио и связь. — 1986. — С. 71 - 78.

52. Armstrong W.W. Dependency structures of database relationships // Proc. 1974 EFIP Congress. Amsterdam, North-Holland. - P. 580 - 583,

53. Baldwin J.F. Knowledge engineering using a fuzzy relational inference // Proc. IF AC conf. On Fuzzy Information, Knowledge Representation, and Decision Processes. — Marseille, France. — 1983. — P. 15 — 23.

54. Baldwin J.F., Zhou S.Q. A Fuzzy relational inference language // Fuzzy Sets and Systems.-1984.-V. 14.-P. 155-174.

55. Been C., Fagin R., Howard J.H., A complete axiomatization for functional and multivalued dependencies in database relations // SIGMOD-77. 1977. - P. 47-61.

56. Bose D., Gelibourg M. Fuzzy querying with SQL extention and implementation aspects // Fuzzy Sets and Systems. 1988. - V. 28. - P. 333 -349.

57. Bosc P., Dubois D., Pivert O., Prade H., On the connection between fuzzy functional dependencies and redundancy // EUFIT'96 1996- P. 803-805.

58. Buckles B. P. and Petty F.E. A Fuzzy representation of data for relational databases // Fuzzy Sets and Systems. 1982. - V. 7, N 3. - P. 213 - 226.

59. Buckles B. P. and Petry F.E. Fuzzy databases and their applications // in Fuzzy Information and Decision Processes (M.M. Gupta and E. Sanchez, Eds.). North Holland. - 1982. - P. 361 - 371.

60. Buckles В. P. and Petry F.E. Information-theoretic characterization of fuzzy relational databases // IEEE Trans, Systems Man Cybernet SMC-13, N 1. -1983.-P. 74-77

61. Buckles B. P. and Petry F. E. Extending the fuzzy database with fuzzy numbers // Inform. Sci. 1984. - V. 34, N 2. - P. 145 - 155.

62. Buckles B.P. and Petry F.E., Security and fuzzy databases // in Proceedings of the IEEE international Conference on Cybernetics and Society. Seattle, Oct. 1982.

63. Buckles B.P., Petty F.E., Uncertainty models in information and database systems // Inform. Sci. 1985. - V. 11. - P. 77 - 87.

64. Buckles B. P. and Petry F. E., Sachar H. S. A domain calculus for fuzzy relational database // Technical Report CSE TR-85-006, Department of Computer Science and Engineering, University of Texas at Arlington.-1985.

65. Bose D., Gelibourg M. and Hamon G. Fuzzy querying with SQL extensions and implementation aspects // Fuzzy Sets and Systems (FS & S). 1988. — V. 28.-P. 333-349.

66. Cayrol M., Farreny H. and Prade H. Possibility and necessity in a pattern matching process // in Proceeding of the Ixth International Congress on Cybernetics. -Namur, Belgium, 8 13, Sept., 1980. - P. 53 - 65.

67. Cayrol M., Farreny H. and Prade H. Fuzzy pattern matching // Kybernetes. — 1982.-V. 11.- P. 103-116.

68. Codd E.E. Extending the database relational model to capture more meaning // ACM Trans. Database systems. 1979. - V. 4. - P. 397- 434.

69. Codd E.R. A relational model of data for large shared data banks // Commun. ACM 13, N 6. 1970. - P. 377 - 387.

70. Desai B.C. An Introduction to Database Systems // West Publishing Company. USA. - 1990.

71. Ding-An Chiang, Luis R. Chow, Nan-Chen Hsien. Fuzzy information in extended fuzzy relational databases // FS & S. 1997. - V. 92. - P. 1 - 20.

72. Dubois D. and Prade H. Fuzzy real algebra: Some results // Fuzzy Sets and Systems. 1979. - V. 2, N 4. - P. 327 - 348

73. Dubois D. and Prade H. Operations on fuzzy numbers // Internat. J. Systems. Sci. 1978. - V. 9, N. 6. - P. 613 - 626.

74. Dubois D. and Prade H. Fuzzy Sets and Systems: Theory and applications. -Academic. -1980.

75. Fagin R. Multivalued dependencies and a new normal form for relational databases // ACM Trans. Database Systems.- 1977.-V. 3, N 2.-P. 262- 278.

76. Fagin R. A normal form for relational databases that is based on domains and keys // ACM Trans. On Databases Systems. V. 6, N. 3. - P. 387- 415.

77. Fagin R. and Vardi M.Y. The theory of data dependencies a survey // in Mathematics of Information processing (M. Anshel and W. Gewirts, Eds.), Symposia in Applied Mathematics 34. - P. 19 - 72.

78. Giardina C., Sack I., Sinha D. Fuzzy Field Relational Database // Tech. Report 8332, Elect. Engng. and Computer Science Dept., Stevens Institute of Technology, Hoboken, NJ, October 1983.

79. Gu Т., Dubuisson B. Similarity of classes and fuzzy clustering // Fuzzy Sets andSystems.- 1990.-V. 34.-P. 213-221.

80. H0 N.C., Wechler W. Hedge algebras: an algebraic approach to structures of sets of linguistic domains of linguistic truth variable // Fuzzy Sets and Systems. 1990. - V. 35. - P. 281 - 293.

81. Ho N.C., Wechler W. Extended hedge algebras and their application to fuzzy logic // Fuzzy Sets and Systems. 1992. - V. 52. - P. 259 - 282.

82. Kadel A. Fuzzy Mathematical Techniques with Applications. — Addison-Wesley. -1986.

83. Kent W. A simple guide to five normal forms in relational database theory // Communi. ACM. 1983. - V. 26. - P. 120 -125.

84. Kocprzyk J. and Ziolkowski. Database queries with fuzzy linguistic quantifiers // IEEE Trans. Systems Man. Cybernat. SMC-16. 1986.

85. Koczy L.T., Hirota К. Ordering, distance and closeness of fuzzy sets // FS & S. 1993. - V. 59. - P. 281 - 293.

86. Le Tien Vuong and Ho Thuan. Retrieval from fuzzy database by fuzzy relational algebra // MTA SZTAKI Kozlemenyek. -Budapest.-1987.- V. 37.

87. Le Tien Vuong, Ho Thuan. A Relational database extended by application of fuzzy theory and linguistic variables // Computers and Artificial Intelligence. 1989. - V. 8, N2.

88. Lipski W. Jr. On semantic issues connected with incomplete information databases // ACM Trans. Databases Systems 1979.-V. 4, N 3-P. 262-296.

89. Lipski W. Jr. On databases with incomplete information // J. Assoc. Comput. Mach. 1981. - V. 28, N 1. - P. 41 - 70.

90. Maier D. The Theory of Relational Databases // Computer Science Press. -Rockville, Md. -1983.

91. Martin Spott. A theory of possibility distributions // Fuzzy Sets and Systems. 1999. - V. 102. - P. 135 - 155.

92. Medelzon A.O. On axiomatizing multivalued dependencies in relational databases // J. Assoc. Сотр. Mach. 1979. - V. 1, N 26. - P. 37- 44.

93. Medina J.M., Vila M.A. Towards the implementation of a generalized fuzzy relational database model // FS & S. 1995. - V. 75. - P. 273 - 289.

94. Medina J.M., Vila M.A and Pons O. GEFRED A Generalized model of fuzzy relational database // Inform. Sci. - 1994. - V. 76. - P. 87- 109.

95. Mizumoto M. and Tanaka K. Some properties of fuzzy numbers // in Advances in Fuzzy Set Theory and Applications (M. Gupta, R Ragade, and R. Yager, Eds.)-North-Holland, New York.-1979.-V. 7-P. 153-164.

96. Mizumoto M. Note on the arithmetic rule by Zadeh for fuzzy Conditional inference // Cybernetics and systems. 1981. - V. 12.

97. Mizumoto M., Zimmermann H.J. Comparison of fuzzy reasoning methods // Fuzzy Sets and Systems. 1982. - V. 8. - P. 253 - 283.

98. Morrissey J.M. Imprecise information and uncertainty in information systems // ACM Trans. Inform. Systems. 1990. - V. 8. - P. 159 - 180.

99. Nakata M, Dependencies in fuzzy databases: multivalued dependency // ШЕЕ Int. Conf. Fuzzy Systems. -1996, FUZZ-IEEE 96, to appear.

100. Pedrycz W. Direct and inverse problem in comparison of fuzzy data // Fuzzy Sets and Systems. 1990. - V. 34. - P. 223 - 235.

101. Prade H. Lipski's approach to incomplete information databases restated and generalized in the setting of Zadeh's Possibility Theory // Inform. Systems.-1984.-V. 1,N9.

102. Prade H. The connection between Lipski's approach to incomplete information data bases and Zadeh's Possibility Theory // Proc. Int. Conf. Systems Meth. 1982. - P. 402 - 408.

103. Prade H. and Testemale C. Generalizing database relational algebra for the treatment of incomplete or uncertain information and vague queries // Inform. Sci. 1984. - V. 34. - P. 115 - 143.

104. Raju K.V.S.V.N., Majumdar A.K. Fuzzy functional dependencies and lossless join decomposition of fuzzy relational database systems // ACM Trans. Database Systems. 1988. - V. 13. - P. 129 - 166.

105. Sachar H., Theoretical aspects of design of and retrieval from similarity-based relational database systems // Ph.D. Dissertation. 1986, University of Taxas at Arlington, TX, USA.

106. Saxena P.C. and Tyagi В. K. Fuzzy functional dependencies and independencies in extended fuzzy relational databases model // Fuzzy Sets and Systems. 1995. - V. 69. - P. 65 - 89.

107. Sergei Ovchinnikov. Similarity relations, fuzzy partitions, and fuzzy orderings // Fuzzy Sets and Systems. 1991. - V. 40. - P. 107 - 126.

108. Shenoi S. and Melton A. Proximity relations in the fuzzy relational database model // Fuzzy Sets and Systems.-1989.-V. 31, N 3-P. 285-296.

109. Shenoi S. and Melton A. An extended version of the fuzzy relational database model // Inform. Sci. 1990. - V. 52. - P. 35 - 52(.

110. Shenoi S., Melton A. Proximity relations in the fuzzy relational database model // Inform. Sci. 1990. - V. 52. - P. 35 - 52.

111. Shenoi S., Melton A. and Fan L. T. An equivalence classes model of fuzzy relational databases // FS & S. -1990. V. 38. - P. 153 - 170.

112. Shenoi S., Melton A. and Fan L. T. Functional dependencies and normal forms in the fuzzy relational database model // Information sciences. -1992.-V. 60.-P. 1-28.

113. Tahani V. A conceptual framework for fuzzy queries processing a step toward very intelligent database system // Inf. Proc. Manager. - 1977. - V. 13.-P. 289-303.

114. Tanaka H., Fan L.T., Lai F.S. and Toguchi K. Fault tree analysis by fuzzy probability // IEEE Trans. Reliability R-32, N 5. P. 453 - 457. - 1983.

115. Tanaka S., Higuchi S. and Tanaka K. Pattern classification based on fuzzy relations // IEEE Trans. Sys. Man Cybernet. SMC-1, N l.-P. 61-66.-1971.

116. Tanaka H., Fan L.T., Lai F.S. and Toguchi K. Fault tree analysis by fuzzy probability // IEEE Trans. Reliability R-32, N 5. P. 453 - 457. -1983.

117. Tripathy R.C., Saxena P.C., Multivalued dependencies in fuzzy relational databases // Fuzzy Sets and Systems. 1990. - V. 38. - P. 267 - 279.

118. Ullman J. D. Principles of Database and Knowledge-Base Systems // Computer Science Press. 1989. -V. 1,2.

119. Ullman J. D. Principles of Database Systems // Computer Science Press, Rockville, Md. -1982.

120. Ullman J. D. Principles of Database Systems // 2nd edition (Computer Science Press, Rockville, MD. 1983).

121. Umano M. FREEDOM-O: A fuzzy database system // in Fuzzy Information and Decision Processes (М.М/ Gupta and E. Sanchez, Eds.). — North-Holland. P. 339 - 347.

122. Umano M. Representation and manipulation of fuzzy data // Diss. Osaka univ.-Japan 2/1979.

123. Vassiliou Y. Functional dependencies and incomplete information // in Proceedings of theVI-th International Conference on Very Large Databases. Montreal, Oct. 1980. - P. 260 - 269.

124. Vila M. A., Cubero J.C., Medina J.M., Pons O. On the use of logical definition of fuzzy relational database // IEEE Conf. On Fuzzy Systems. -1993.

125. Wei-Yi Liu. The fuzzy functional dependency on the basis of the semantic distance // Fuzzy Sets and Systems. 1993. - V. 59. - P. 173 - 179.

126. Winston P.H. Artificial Intelligence. Addison-Wesley. - 1977.

127. Wong E. A statistical approach to incomplete information in database systems // ACM Trans. Database Sys. 1982. - V. 7, N 3. - P. 470 - 488.

128. Yager R.R. On the selection of objects having imprecise qualities // MII-305, Iona, College, New Rochelle, N.Y. 1982. - 28 p.

129. Yager R.R. On the lack of inverses in fuzzy arithmetic // Fuzzy Sets and Systems. 1980. - V. 4, N 1. - P. 73 - 82.

130. Yazici A., G5cmen E., Buckles B.P., George R., Petry F.E. An integrity constraint for a fuzzy relational database // Proc. IEEE Int. Conf. Fuzzy Systems. 1993, Fuzz-IEEE 93. - P. 496 - 499.

131. Yazici A., Sozat M.I. A complete axiomatization for fuzzy functional and multivalued dependencies in fuzzy database relations // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — V. 117.-P. 161-181.

132. Zadeh L.A. Similarity relations and fuzzy ordering // Inform. Sci. — 1971. -V. 3, N 2. — P. 177-200.

133. Zadeh L.A. Fuzzy set // Inform, and Contr. 1965. - V. 8. -P. 338 - 353.

134. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theoiy of possibility // Fuzzy Sets and Systems. 1978. - V. 1, N 1. - P. 3 - 28.

135. Zadeh L.A. Fuzzy algorithms // Inform. & Contr.-1968.-V.12.-P. 94-102.

136. Zadeh L.A. Fuzzy logic and approximate reasoning // Synthese. — 1975. — V. 30.-P. 407-428.

137. Zadeh L.A. PRUF: A meaning representation language for natural language // Internat. J. Man-Machine Studies. 1978.-V. 10 - P. 395-460.

138. Zemankova-Leech M. and Kandel A. Fuzzy Relational Databases A Key to Expert Systems // Verlag TUV Rheinland. - Cologne, Germany. - 1984.

139. Лыу Дык Кхам. Реляционная алгебра для основанной на классах эквивалентности нечеткой реляционной модели баз данных // Журнал "Информация о горной технологии" Ханойский институт горной технологии. - 2003, № 2. - С. 9-11.

140. Лыу Дык Кхам. Операторы сравнения в нечетких реляционных базах данных // Труды ХХХШ-ой научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. С.-Петербург. -2002г. -С. 387- 391.

141. Лыу Дык Кхам, Чыонг Дык Хунт, Ле Тиен Выонг и др. Реляционная система управления базами данных FAMEBASE 3.0 (на вьетнамском языке). — Ханой. — 2000. 256 с.

142. Лыу Дык Кхам, Сергеев С. Л. О многозначных зависимостях в основанной на классах эквивалентности нечеткой реляционной модели баз данных // Деп. в ВИНИТИ 29.05.2003, № 1042-В2003. -9 с.

143. Лыу Дык Кхам, Сергеев С. Л. Множество правил вывода для функциональных зависимостей в нечеткой реляционной модели баз данных // Деп. в ВИНИТИ 29.05.2003, № 1041-В2003. 9 с.