Некоторые типы сингулярных интегральных операторов на плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Меркулов, Алексей Сергеевич

• Меркулов, Алексей Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Меркулов, Алексей Сергеевич

оглавление

Введение

Глава I

§1. Оценка оператора

§2. Формулировка теоремы и ее доказательство

Глава II

§1. Операторы р*р и р*

§2. Оценки для ре и Рр)£

§3. Окончание доказательства

Глава III

§1. Операторы, аналогичные коммутаторам Кальдеротта

§2. Вспомогательный оператор

§3. Оценки для 5„)£ и 5*

Глава IV

§1. Случай четырех множителей

§2. Доказательство леммы

§3. Частные случаи

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые типы сингулярных интегральных операторов на плоскости»

Введение

Актуальность темы. Развитие теории функций побудило ввести и изучить важные сингулярные интегральные операторы несверточного типа. Первый пример подобных операторов рассмотрел Кальдерон в работе [2].Это сингулярный оператор следующего вида: если а(х) - вещественная функция с компактным носителем на оси, удовлетворяющая условию Липшица, то для гладкой финитной функции / положим

МТ/(ж) = вир

£>0

а(у) - а(х) f{y) у — х у — X

4у

\у—Х\>£

Кальдерон доказал, что оператор MTf действует из пространства в пространство ЬР(Ш). Случай прямой оценки МТ/ в норме и}(Ш) рассматривался также в работе [1]. Затем Койфман и Мейер в [3], а также Койфман, Макинтош и Мейер в [4] обобщили определение оператора Кальдерона следующим образом:

МТп/(х) = 8ИР

£>0

'а{у) - а(х)\п /(;у)

|Т/-.Т|>£

у - X

у-X

■йу

Ими было установлено, что все операторы МТД/ непрерывны в и}(Ж) и получены соответствующие оценки норм, которые впоследствии были уточнены Кальдероном.

Важность изучения операторов МТп/ связана в случае пря-

мой и с одним из возможных подходов к оценке интеграла типа

Коши

ДО

С - -2

г

d(

для кривых Г, являющихся графиками функций, удовлетворяющих условию Липшица, хотя впервые такая оценка была получена Кальдероном [5] без применения коммутаторов.

Одним из аналогов преобразования Гильберта на прямой

Hf(x) = lim /

JK J £->+0 J

m

y-x

\y—x\>£

dy

для комплексной плоскости является сингулярный интегральный оператор

Sf{z)= lim [ ,/^\0dsdT, С = s + ir,

J ^ _ zy

\Q—z\>£

естественно в этой связи определить аналог коммутаторов Каль-дерона для плоскости следующим образом: если комплекснознач-ная функция V удовлетворяет условиям |V(z) — V(C)| <w|z — £|, то для гладкой финитной функции / положим

Tt(\ г f (V(Q-V(*)Y Ж) ,

T*,f(z) = SUP

£>0

|<-г|>£

fV«)~V(z)Y ДО

п

Г1 I 1

МО

V С - * ) (С - ¿О2'

\С-г\>£

где сг(() - плоская мера Лебега в С. Эти операторы были определены в работе [6], в ней же была доказана ограниченность этих

операторов в норме Ьр(С), 1 < р < оо. Во многом это удается сделать благодаря тому, что преобразование г —> г + ЛУ(г) при соответствующих А Е С является липшицевски гладким гомеоморфизмом С в С, при котором сингулярный интегральный оператор, из которого могут быть получены операторы Тп или Т*, переходит в сингулярный интегральный оператор 5, ограниченный в Ц}{С). Оказывается, что операторы Тп/ и Т*/ ограничены и во всех весовых пространствах Ьр(си) с весом а;, удовлетворяющим на плоскости условию Макенхаупта Ар. Эти результаты можно использовать для оценки некоторых сингулярных интегральных операторов специального вида. В частности, вторая глава отвечает на вопрос об ограниченности оператора

Далее возникает возможность поставить вопрос о расширении понятия коммутатора Кальдерона на случай нескольких функций Ух, 1/2,Ук- В настоящей работе рассмотрены случаи У2 = V1 для оператора

оо

где ^ - целая функция, Г(т) = ао + У^

апуоп.

п= 1

/

|У(С) - У(г)\2" КО

(С - г)2" (С -

|С-2:|>£

а также V], Ц, Уз, У\ для

кт = вир

е>0

I ^(0 - Ц(*)у ^(0 - Ж*)'

п

X

х I с - ^ ; I с-г ;

Эти ситуации характерны наличием большого количества наглядных примеров и приложений.

Цель работы состоит в исследовании вопроса ограниченности сингулярных интегральных операторов, аналогичных коммутаторам Кальдерона, на комплексной плоскости в весовых пространствах 1Р(ио) с весом а;, удовлетворяющим на плоскости условию Макенхаупта Ар, то есть для любого круга В справедливо

шс1<7 I I т~~7 / оо ^¿а

в

где а - плоская мера Лебега, \В\ - площадь 1?, со = со (о;), 1 < р < оо.

Основные результаты.

- Теорема 1. Пусть / € У(г) - комплекснозначная

функция, определенная на комплексной плоскости и удовлетворяющая соотношению

где г, С £ С,

тогда справедлива оценка

1

р

I V

I< Ь(р, n)w7i I J \f\Puda чС / \с

где функция Ь(р, гг) имеет степенной рост по п.

- Теорема 2. Пусть / 6 - комплекснозначная

функция, определенная на комплексной плоскости и удовлетворяющая соотношению

ЩгО-Ш^г-С!, где г, С е С,

ОС

^ - целая функция, = оо + ^^ тогда справедлива

?)=1

оценка

\РШр*> < 2M(2w)C1Л||^||^,

где M(2w) = тах |.Р(г)|.

|г|=2\¥

- Следствие. Для оператора

Р*/{г) = вир

£>0

-У(СЫФ) /(С) , />л е С- -А^—а^С)

К-2|>е

(С -

верно

||Р71и < 2С2А\\!\\,^.

- Теорема 3. Пусть / Е - комплекснозначная

функция, определенная на комплексной плоскости и удовлетво-

ряющая соотношению

\У(г)-У(()\ < \z-Cl где г, С е С,

тогда справедлива оценка

где b\ < 6(р, со) log(n + 1), причем постоянная Ъ уже не зависит от п, Со - постоянная из условия Макенхаупта для веса и.

- Теорема 4. Пусть / Е ¿^(cj), Vj(z) ~ комплекснозначные функции, определенные на комплексной плоскости и удовлетворяющие соотношению

\Vj(z) - Vj(0\ < \z - с\, где г, С е €, 1 < j < 4,

тогда справедлива оценка

K;/IU < h о», co)ni iog(n+i)n/iu,

где Cq - постоянная из условия Макенхаупта для веса со.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её методы могут использоваться в других задачах, связанных с оценкой сингулярных интегральных операторов, аналогичных коммутаторам Кальдерона, на комплексной плоскости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по теории операторов и комплексному анализу в ПО МИ РАН в 2013 году.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 работы в журнале из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на 11 параграфов, изложена на 57 страницах. Список литературы включает 9 названий.

Содержание работы. Первая глава посвящена изучению коммутаторов Кальдерона на комплексной плоскости в весовом пространстве и\и). Главной целью является обобщение результатов, полученных в [6] на случай веса, удовлетворяющего условию Макенхаупта.

В первом параграфе формулируется условие Макенхаупта, дается определение оператора Т* и вспомогательных операторов и Ьх,£(.),б- Основным результатом этого параграфа является оценка

С С

Второй параграф содержит формулировку теоремы 1 и ее доказательство, основанное на связи между операторами и А\,е(-),<*> которая позволяет оценить сначала а потом и Т* следующим образом:

(ЩУы&Л < 6(p,n)wn (I \ffujda чС / \с

Вторая глава содержит применение полученных результатов к оценке операторов специального вида.

В первом параграфе дается определение оператора Рр для це-

оо

лой функции Р(/ш) = ао + и его частного случая Р*,

п=1

формулируется теорема 2 со следствием.

Второй параграф посвящен изучению вспомогательных операторов Р£ и Р}\£ для оценки которых используются результаты первой главы.

Третий параграф завершает доказательство, показывая, что для операторов Рр и Р* верны оценки

Iкяи < 2М{2^)С1А\\/\\рм,

В третьей главе происходит обобщение понятия коммутатора Кальдерона.

В первом параграфе рассматривается случай двух функций И (г) и (г), таких, что К = У\. Это приводит к рассмотрению нового оператора

= вир

£>0

\У(0-У(2)\2п /(С) (С - г)2" (С-г)2"а(С)

для которого формулируется теорема 3 с соответствующей оцен-

кой

SÎJIU < ЬгпЦ}

Во втором параграфе определяются вспомогательные операторы и М/)£(Л,/г), а также доказывается оценка

Третий параграф содержит завершение доказательства теоремы 3 основанное на связи между операторами Sns и М/)£-(Л,//), которая используется для последовательного получения оценок для S1li£ и S*.

В четвертой главе получает дальнейшее развитие идея обобщения коммутаторов Кальдерона на случай нескольких функций

Первый параграф описывает ситуацию с четырьмя функциями, удовлетворяющими соотношению

с

€

\Vj(z) - Vj(0\ < \z - С\, l<j<4.

Тогда соответствующий оператор будет иметь вид

Уг(0 - Уг(г)

С-*

Уа(С) ~ УМ С - ^

у /(о

) (с-г

В этом случае также удается получить оценки для нормы II* с помощью рассмотрения дополнительных операторов £/>(2, Аъ Аз, Л4) и и71)£ связанных с II*. Если оценка для £/>(2, Ах, Аг, Аз, А4) с очевидностью следует из третьей главы, то соответствующие результаты для 11щ£ сформулированы в качестве леммы, доказательство которой вынесено в отдельный параграф. Далее формулируется и доказывается теорема 4 для оператора и* с оценкой

Второй параграф полностью посвящен доказательству леммы для иП]е. Основной результат имеет вид

и получается при помощи связи между операторами Аь А2,А3, А4) и ип,£.

В третьем параграфе описываются частные случаи для ранее изученных операторов. После нескольких тривиальных примеров рассматриваются более сложные ситуации для функций У {г) = и \У(г) — но наиболее интересным представ-

ляется случай У]^) = г ¿У1 (г), где определены на замкнутых

\\и;л\р^<ь1(Р,с0)пЬо&(п + 1)\\/

множествах Ej меры ноль (Е^ = Е\, Et\ = = dist{z\ Е).

Тогда при условии

Vi(z) = r^iz), V2(z) = Vx(z), V3(z) = r^'(z), V4(z) = F3(*)

оценки для операторов U* и S* выглядят следующим образом

IIWIU < blip, co)32"ni log(n + 1)||/|U,

ll^/IU < Ьг(р, Q))3r'ni log(n + 1)11/IU-

Завершает работу рассмотрение случая

V(z) = r(z)1+t*№\

где r(z) = dist(z; Е), Е - замкнутое множество меры ноль, (р(а) вещественнозначная функция, удовлетворяющая условиям

\<р{а)\ < Cha\(p'(a) loga| < Сг,а > 0.

В этой ситуации оценка для S* примет вид

IK/iu < ь3(р, со )cf'j iog(n +1)11 ли,

где С3 = у/1 + (Сг + С2)\

Глава I

§1. Оценка оператора Ь\]£(-),5 Пусть У(г) - комплекснозначная функция, определенная на комплексной плоскости и удовлетворяющая соотношению

Г^(г)-У(0|<*|г-С|, где г, С е С. (1)

Вес ш > 0, определенный на комплексной плоскости С, называют удовлетворяющим условию Макенхаупта Ар, 1 < р < оо, если для любого круга В справедливо неравенство

{щ / ^^^ - с°' (2)

где а - плоская мера Лебега, \В\- площадь В) со = сд(о;). Теория весовых оценок с условием Ар подробно изложена в [7], гл. 5. Рассмотрим оператор

Т*Д.г) = вир

г>0

(У(0-У(г)\п /(С)

I с -« ;

|<-г|>£

(3)

где сг(£) - плоская мера Лебега в С, / 6

Как показали Койфман и Фефферман [8], а также Кордоба и Фефферман [9], оценки различных сингулярных интегралов могут быть перенесены со случая Ьр(Шп) на случай весового Ь^М",^). В настоящей главе исследуется вопрос возможной ограниченности оператора (3) в весовом пространстве £Р(С

с весом, удовлетворяющем условию (2). Для ответа на этот вопрос нам понадобятся вспомогательные операторы, связанные с

Фиксируем 5 > 0 и обозначим через е(£) измеримую функцию на С, для которой е(г) > 6. Определим оператор:

/К)

|С-г|>Ф)

(С -

МО- (4)

Свяжем с операторами (4) оператор следующим образом.

Пусть Л - комплексное число, |А| < где w взято из (1). Поло-

жим

оо

= + 1)АмГп,£(.),г/(г).

(5)

77=0

Ответив на вопрос об ограниченности мы сможем полу-

чить оценку для Х^д.)^, которая влечет оценку для Т*/(г). Для оператора получается выражение:

Ж)

|С~с|>ф)

(С -

М0+

+

\(-г\>£(г)

¿<„+1)г(ЫЛ

71=1 ^ 4 ^

П

/

ДО

1

до

1С-г|>ф)

1С-г|>Ф)

Л _ лПяЬШу (С -

ДО

(г _ с _ Х(У(2) - У(С)))2

(С -

МО =

гЛт-СО

Аг(С).

(6)

Введем обозначение А\(г) = 2 — XV {х). Поскольку

|ЛЛ(г) - Лл(С)| > - С| - И Щ*) - У(С)| > |г - <|(1 - |АН,

то А\(г) - обратимое отображение комплексной плоскости С на себя, удовлетворяющее условию Липшица.

Пусть ад - обратное к А\ отображение. Обозначим т = А\(г) и сделаем в интеграле (б) замену переменной А\(С) = t1 С — а\(£) и пусть ¡л- модуль якобиана при такой замене. Тогда мы находим, что

{*€С:|аА(*)-*А(г)|>Ф)}

Будем поточечно оценивать интеграл в (7). Положим

Г<р(т) = вир [

£>0 3 (ъ - ту

\t.~T\>£

\1-т\<£

Тогда имеем

ДалМЫ*)

(г -

{4еС:|/-т|>(1-|АМф)}

/(ал(О)^л(О

(г - гу

(Ь{г)

{/.€С:|4-т|>(1-|А|«г)£(г)}\{(€С:|ол(()-«л(т)|>£М} из чего следует оценка

(1—|Л|лу)е(2)<|4—г|<2е(с)

Положив для краткости = (1 — |Л|\у)£(;г) = а,

2е(г) — Ъ, имеем

— т|2 } } г2

а<|£—т|<& 0

6 2тг Ь / г 2тг

= / /Ф{т + ге»)г<10 = (//+ ре*)р<Ю<1р

1- I I гр№<т(1)+

а 0 а \0 О

1

б2

|г-т|<& |г-т|<а

, \

+2 / ^

гро

(1г <

а

ут—¿|<г /

< тгМ^(т) + 2тг у = 7г + 21og ^ М^(т),

а

поэтому (8) влечет оценку

|Ьд,.(•),*/(*)! < 5*(/(алЫ(т)+

+7Г Л +21оё1_:| М(/(ал)Мл)(г). (9)

Поточечная оценка (9) приводит к следующей интегральной оценке:

с с

+ I М*(/(ах)рх)(т)и,(г)(Ь(г). (10)

с

Через Ь$*{р, со) и Ьд/(р,со) обозначим постоянные в следующих неравенствах:

)(г)ш(г)<кг(г) < Ь8*(р,с0) | \Мг)\Мг)<кт(*), (И)

с с

М>Ш(*М*)М*) < Ъм{р,со) I(12)

€ С

где для веса и){£) выполнено соотношение (2) с постоянной со.

Обозначая через Ь(р, со, |Л|) величину

Ь(р)Со,\Х\) = с0)+

+2р~17Тр + У Ъм(р,Со), (13)

из (10)—(13) находим следующую оценку:

L\,e(.),ôf(z)\Pu(z)da(z) <

с

< b(Plc0, |А|) J \f(ax(T))nx(T)Mz)da(z), (14)

с

где в (14) по-прежнему в правой части г = Ах(2), z = ас\(т), следовательно,

\f(ax(T))^(T)\"uj(z)da(z) = J l/^p'-^i—^)^). (15)

с с Ах

Оценим модуль якобиана Зал(я) снизу Для произвольной точ-

ки z положим В&{£) — {С : — < Пусть в(5) - площадь АХ{В&)\ тогда

= Пт —(16) А ¿^о 7т52

Поскольку \А\(г) — Ад(С)| > к - С|(1 ~ то в фигуру

А\(В§(г)) можно поместить круг с центром в А\(г) и радиусом не менее (1 — |Л|\¥)$, поэтому (16) влечет

> (1 - |АН2. (17)

Наконец, используя (14), (15), (17) получаем оценку

у [ь^мг*>(*№(*) < ишм^ФЦЩ

с с

§2. Формулировка теоремы и ее доказательство

Сформулируем теперь основной результат первой главы.

Теорема 1. Пусть вес uj удовлетворяет па плоскости условию Макенхаупта, f G LF(uS), V(z) - комплекс?юзиачиая функция, определенная па комплексной плоскости и удовлетворяющая соотношению

|V(«)-V(C)| <\ф-С|, где г, С ее,

тогда справедлива оценка

№ < b(p,n)w* ( / \f\p"d°-

<с / \с

где функция Ь(р, п) имеет степенной рост по п.

Для доказательства этого утверждения оценим сначала вспомогательный оператор ТпПусть 0 < р < Определение (5) приводит к формуле

гр г( \ 1 Г L\,e(-),sf(Z)

TMW(*) = 27ri(n + 1) J Xn+i dX>

|Л| =р

которая дает следующую поточечную оценку:

2тг

IWWI ^ 2тт(п + I (19)

о

Выберем

1, 1

р = рп = ( 1--> 2,

п ч/

тогда

11 1

п 1

Рп (1 - ™

и (19) вместе с (18) влекут

с

; 2тг

7г(п

О С

< тР^ъРп)п2р11/(¿)|М^Ф)- (20)

с

Отметим, что определение (13) позволяет оценивать рост постоянной в правой части (20) в зависимости от п:

2 \ Р

+2р~гпр(1 + 21о62пуЬм(р, со)) = ^(р, с0, п)

(21)

Теперь осталось заметить, что в левой части соотношения (20) в качестве е(-) можно выбирать любую измеримую на С функцию, удовлетворяющую условию е(г) > 6, а правая часть (20) от выбора £(•) не зависит, поэтому (20) и (21) влекут

с

вир

г>5>0

I то - у(*у

п

до

(С -

МО

\

р

< Ъ1(р,со,п)угпр J (22)

с

Наконец, поскольку правая часть в (22) не зависит от 5, то это соотношение влечет требуемую оценку, чем и завершает доказа-

тельство теоремы.

Глава II

§1. Операторы Рр и Р* Основные результаты, полученные в первой главе, могут быть использованы для оценки некоторых операторов специального вида. Настоящая глава посвящена изучению одного из них.

Пусть ш - вес на плоскости, удовлетворяющий условию Ма-кенхаупта (2), У(г) - комплекснозначная функция, определенная на комплексной плоскости и удовлетворяющая соотношению (1),

оо

/ € и}(оо). Для целой функции Р{х) = ао + ^^ а„гп рассмотрим оператор

71 = 1

Рр/(г) = вир

е>0

и его частный случай

Р*/(г) = вир

£>0

|С-*|>£

(С - *У

Теорема 1 позволяет доказать следующие утверждения. Теорема 2. Справедлива оценка

где М(2\¥) = шах \Р{г)\.

\г\=2у,7

Следствие. Для оператора Р* верно

\Р*1\\р,ш < 2С2А\\/\\р,ш.

2. Оценки для Р£ и Р^£

Для доказательства теоремы 2 и следствия из нее нам понадобятся вспомогательные операторы.

Фиксируем 8 > 0 и обозначим через е{г) измеримую функцию на С, для которой > 5. Определим следующие операторы:

Получив оценки для этих операторов мы сможем установить справедливость соответствующих утверждений для Рр и Р*.

Так как структура рассуждений для Р],\£ и Р£ идентична, то более подробно остановимся на операторе Р£. Рассмотрим связанный с ним оператор

1С-*|>Ф)

1С-*1>Ф)

|С-*|>Ф)

Так как ех = У^ —г и X = с

У(С) - У(г)

ТО

оо

71=0

Из неравенства Минковского следует, что

оо

Применим теорему 1 для оценки слагаемых в правой части (23):

\\РпЖ

с\п

п\

/v(0-v(z)y /(о

V с-, ) jrwda{0

\Ç-z\>s(z)

<

P,U)

сГ „,, . |c|n

< ^ K/IU < ll/IU, где

6(p,n) = (Ap(n-{-l)p(2p~1bs*{p, со)+2р~г7тр(1+2 log2п)рЬм(р, co)))^ =

= 8(n + 1) Co) + ^(1 + 2 log 2п)рЪм(р, со)) * =

= i4(?i + l)(l + 21og2n).

Таким образом

||P^/IU < + 1)(1 + 2 l0g(2(n + 2)))w" ||/||№. (24)

I V m

Подставляя (24) в (23) получаем IlPf/|U < A 1)(1 +21og(2(n + 2)))w"] ll/IU,

n! 4n=о

oo

|c!"w??(n + 1) A' 11 v

n!

n=o

+2E|crw> + l).oë(n + 2))||/||;^ (25)

n=0

Обозначим |c|nw" = y" и оценим ряды в (25). Для |c|nw"(n + l)

имеем:

£

ni

п=0

УП(п + 1) = ул уп + уЛ

п! ^(п-1)! ^ п!

=1 4 7 п=()

гг—0 п-

00 „П-1 00 „.11

п—1 4 у п=О

В случае > -;-получается оценка:

п

п=0

°° уа(п + 1) 1оё(п + 2) у71(п + 1)2

Еу У" -т-1; -г ¿) ул

га! ^ га!

п=0 п=0

ОО „ 9 ОО Г) оо Г)

= у^ г/п 2 ул ул ?/- =

Л г ^ г J

П=0 ' Д=0 ' 77 = 0

ОО л-» ОО <тг)

Еуп у1

л (га-1)! ^(га-1)!+6

71=1 4 7 ?/ = 1 4 у

^ (п-1)!

77 = 1 ^ > п— 1 4 '

00 71-1

2/

= у2 Е т^Гзм + += У2еУ + 3УеУ +

71=2 ^ ' '

Подставляя (26) и (27) в (25) получаем

\\PefWw < А ((1 + 21og2){уё> + ё") + 2(у2^ + 3уё> + ё>)) ||/||

= А (2у2е» + уе"(21og2 + 7) + е»(21<^2 + 3)) ||/||р,ш.

Учитывая, что \c\vf = у окончательно имеем

ШЬ» < ^2||/||№,где

С2 = 2|с| + |фуе|с|*(21с^2 + 7) + 1оё2 + 3).

Применяя подобные рассуждения к оператору в итоге получим аналог неравенства (25)

/ оо

ЦРкЛи < А ( (1 + 21о62) \апЫп(п + 1)+

??=о

оо

+2^|а„К'(п + 1)1оё(п + 2) ||/|

(28)

п=О

-Л I

где вместо —- используется \ап\. п\

Оценим ряды в (28)с помощью неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда:

оо

^^ \а„\угп(п + 1) <

п=о

. , Щр)

К < -7,-5 Р = 2w

рп

оо

<

М(2чг) ^

п + 1

тг=О

/ оо оо ^

\п=0 п=0

оо

У^ Iап\ч/п(п + 1) \og(n + 2) <

71=0

< М(2,г) £ (" + !)!<*("+ 2) < М(£ ^И

71=0

77.=0

(29)

ОО о

тг

ОО ОО ^

П 1

\ 77=0 71=0 77=0

Подставляя (29) и (30) в (28) получим

12 М(2ЧУ) (30)

1^/11^ < (81об2 + 28)Л||/||Р|Ы = м^с^и/!

! р,ш-

§3. Окончание доказательства Для завершения доказательства осталось заметить, что для каждого го найдется функция е(г) такая, что

вир £>0

|<-го1>е

<

< 2

|С-го|>Фо)

то есть \Ppfizо)| < 2 Р^фо)/^о)|. Но так как оценка нормы Рр,г/(я) не зависит от выбора то для нормы Рр/(г) верно

\\РШр,ш < 2М(2^)С1АЩ№ = М(2-Ш) (161о82 + 56) А\\

Аналогично для оператора Р* получаем

||Р7||№<2СИ||/|и

что и требовалось доказать.

Глава III

§1. Операторы, аналогичные коммутаторам Кальдерона Сингулярные интегральные операторы, относящиеся к коммутаторам Кальдерона имеют стандартный вид

T*f{x) = sup

'а(у)-а(х)\п f(y)

у-x

y-x

dy

\y—X\>£

для прямой и

T;J{z) = sup

£>0

mo-n*)v до

V t-z ) (C - z)'

MC)

для комплексной плоскости. Попытка дальнейшего обобщения полученных результатов приводит к рассмотрению оператора

^п/О) = sup

£>0

о

(С - г)2" (С "

Несмотря на существенное отличие в виде \У(С) — У(г)\2п этот оператор является естественным обобщением для

sup £>0

f fv(0-v(z)v /(О ,(п

1 I с-* )Т^МС)

в случае двух функций У^) и причем V*? = У г. В этой

ситуации также удается получить соответствующие оценки для нормы Б*.

Перейдем к формулировке основного результата этой главы. Теорема 3. Пусть / Е - комплекснозиачиая функ-

ция, определенная на комплексной плоскости и удовлетворяющая соотношению

тогда справедлива оценка

||з:/1и<г>1Й1/1и

где Ъ\ < b(p^c^))\og(n+ 1), причем постоянная Ь уоюе не зависит от п, Со - постоянная из условия Макенхаупта для веса со.

§2. Вспомогательный оператор Для доказательства теоремы 3 нам понадобятся вспомогательные операторы, связанные с Б*. Фиксируем 5 > 0 и обозначим через е(г) измеримую функцию на С, для которой е(г) > 5. Определим следующий оператор:

|С-г|>Ф)

Свяжем с оператором БЩ£, определенным в (31), оператор М/)£(Л, /л) следующим образом. Пусть А, ц - комплексные числа, |А| = = к — Положим

2 4??'

Ми( А,/*)(*) =

Л«^« 5. (32)

((С + АК(С) + 0) - (* + АУ(з) + цУ^)))

Идея доказательства заключается в последовательном получении оценок для соответствующих операторов. Использование результатов первой главы позволяет оценить оператор М/>. Связь между операторами и БП;£ дает нам оценки для БП]£, которые, в свою очередь, влекут результаты для Б*.

Перейдем к изучению оператора Для этого введем обозначение

Поскольку

- Ал„(С)| >

> - С1 - |А| Щ*) - У(С)| - И\У(г) -7(01 >

то А\41(г) - обратимое отображение комплексной плоскости С на себя, удовлетворяющее условию Липшица.

Оценим модуль якобиана снизу. Для произвольной

точки г положим — {£ : — г\ < пусть 5(5) - пло-

щадь Axifj(Bs(z)). Тогда

= (33)

Поскольку

то в фигуру A\tfl(Bg(z)) можно поместить круг с центром в Ax,ft(z) и радиусом не менее поэтому (33) влечет

Тогда используя результаты первой главы получаем оценку

\Mu(\^)(z)\poj(z)da(z) <

с

< 6(p,cû, |А|)n24" J \f(z)\puj(z)da(z). (34)

с

§3. Оценки для Зп£ и в* Заметим, что оператор Мд£(Л, /л)(г), определенный в (32), может быть записан в виде

ДО<МС)

MLs{\n){z)

(С - zf{ 1 + qf

\i-z\>e(z)

£(-!№ + !) / /f^f, (35)

fc~° 1С-*|>Ф)

где

и

„ _ » v(0 - ПО , ,,у(С)-у(*)

g — Л----h /i---

M<|A| + W = 1-¿<1.

Введем обозначения

V(Q - V(z) ^ A V(0 - V{z) ^ B (—z ' t-z

2 4 n ' 'P

Используя равенства (35) имеем следующее

2тг 2тг

1

4тг2 о о

2тг 2тг _ оо

О о |С-*|>Ф)

|С-г|>е(г)

/(СЖО

/ 2тг 27Г

1 " "

4тг2 „ V оо

-(^ЧЛЬ / (36)

|С~г|>ф)

так как интеграл

2тг 2тг О О

не равен нулю только в случае к = 2п для слагаемого С2ПАпВп, где

|У(С) - У(г)\2п

АпВп = ^(О-П*)^

(С-*)

2/1

^ 277 2 Ап) 22п V 2п

Обозначив

2п 4-1 / 1 \2,? 1

22п V 2гг / ^ 'С

получим из (36)

2тт 2тг

о о

Далее из неравенства Гельдера имеем

$„,*/(*) I' < (47Г2)Р_1 X

2тг 2тг

О о

и (34) влечет оценку

¿-к ¿IX

11 {Мкф0^^)^)]*м^

с

/ 2тг 2тг \

С I С С \

47Г"' о \ о и I

с \о о /

2тг 27Г

0 0 с

< С"Ь(р, со, |А|)га2*4" ] (37)

с

где

~ 22" / 1 У2" 1 22п / 2п \2п п\п\ = ~2п + 1\ 2п) С$п ~ 2га+1 \2гг — 1/ (2га)! ~

22п 2 га \2n^/Шi(2)ne^y/Шi(2)ne^ ^фт

2га -Ы 42п - I) " 2га + 1

Обозначим

тогда из (37) окончательно имеем

II 5„„ли < ^¿уИ/Ир,- <

Для завершения доказательства достаточно заметить, что для каждого ^о найдется функция е(г) такая, что

вир

£>0

|С-*о1>*

\У(0-УЫ?" /(С) (С - го)2" (С - го)2

<

< 2

|С-2о|>фо)

\У(0-УЫ\2" по

(С - ¿о)2" (С - го)2

М)

то есть

|5*/(гь)| < 2|5„,£(ч|)/(го)|.

Но так как оценка нормы 5п>е/(;г) не зависит от выбора то для нормы Б*/(г) верно

что и требовалость доказать.

Глава IV §1. Случай четырех множителей Дальнейшее развитие идей, изложенных в третьей главе, приводит к рассмотрению оператора

п /л г (/-\ т г ( \ \ п

I / 1 / - I / I _ I / ^ Г -V 1 \ ж

= зир . . , , .

е>0 ] \ С — -г / V С - г

|С-г|>Е

у /У&сс) - аду/У4(С) - У*ыу ЛС)

хI с-, ; I ) (с^о5^0

где / Е -С^(^), ^/(¿О _ комплекснозначные функции, определенные на комплексной плоскости и удовлетворяющие соотношению

Получение соответствующих оценок для оператора и* требует проведения рассуждений, аналогичных тем, что были предприняты для оператора 5*. Для этого нам понадобятся вспомогательные операторы, связанные с С/*.

Фиксируем 8 > 0 и обозначим через е(г) измеримую функцию на С, для которой £(г) > 8. Определим оператор

п

\<-*\>Ф)

Введем обозначение A(z, Ль Л2, А3, А4) = z + AiVi(z) + А2V2(z) + А3Уз(г) + X4V4(z),

где |Л7'| = | — ^ и свяжем с оператором UUj£, определенным в (38), оператор Sf]£(z, Ai, Л2, A3, A4) следующим образом:

Sf,£(z, Ai, А2, A3, A4) =

_(39)

|с-г|>ф) ^Ъ A3, А4) - A(z, Аь А2, А3, A4 Поскольку

\A{z, Ai, Л2, А3, A4) — i4(C, Аь Аг, Л3, A<i)| >

> \z - С| - • |Vi(z) - V1(C)| - |А2| • |V2(z) - У2(С)|--|Аз| • IV3(z) - У3(С)1 - М • |V4(z) - V4(C)| =

Ii.— V5(OI ,, .

> I* - С1 • (1 - м - |Л2| ~ |Аз| - |Л4|) = - С|,

то Лх, Л2, Аз, А4) - обратимое отображение комплексной плоскости С на себя, удовлетворяющее условию Липшица.

Рассуждая по аналогии с оператором из третьей главы, ' получаем оценку

J |£/>(>, Аь А2, А3, \4)\ры(г)(1сг(г) < с

< Ь(р, с0, \Х\)п2р4р J

с

В данных условиях можно сформулировать и доказать основной результат этой главы. Теорема 4. Справедлива оценка

\\KfWpv ^ Ь1{р,с{])п1^(п+1)\\/\\р,ш,

где Со - постоянная из условия Макенхаупта для веса и.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится вспомогательное утверждение, которое для удобства восприятия будет доказано отдельно в следующем параграфе. Лемма. Для оператора IIще справедлива опенка

\\и„,еПр,ш<^п110Е(П+1)11/11^,

где

1 \ Р\ р

Ь, Г, / 32тг2ез

Со - постоянная из -условия Макепхаупта для веса и).

Теперь для доказательства теоремы остается заметить, что для каждого ¿о найдется функция е(г) такая, что

Но так как оценка нормы ип,£/(г) не зависит от выбора то для нормы и*/(г) верно

что и требовалость доказать.

§2. Доказательство леммы Для доказательства леммы нам понадобится связь между операторами Лх, Л2, Аз, А4) и ип£. Заметим, что оператор

Ах, А2, Аз, А4), определенный в (39), может быть записан в

виде

№<Н О

Ах, А2, А3, А4) = J

(С - + яУ

\<-*1>Ф)

£(-1^+1) / (40)

к~° 1С-*|>Ф)

где

д = +хчо - ад

и

С-^ С-г

3 с - * 4 с - *

к1<|Л1| + |А2| + |Аз| + |А4| = 1-^<1.

Обозначим

У1(0-У1(г)=л У2(С) - У2(г) = в

^з(С) - = с У4(С) - = д

с-* ' с-*

7 — -— = А1 = А2 = А3 = А4 =

4 8п

тогда из (40) имеем:

2тг 2тг 2тг 2тг

1

////SfÁz^^té0*^6')*

(2тг)*

0 0 0 0

2тг 2тг 2тг 2тг _ /»/»/»л оо

(2т)

оооо

X ! М ав сЮ

(С - 2)2

|<-г|>ф)

КОМО v

UV л

/ к-.)

1С-*1>Ф)

2

2тт 2тг 2тг 2тг \

Х ' W/III

0 0 0 0 /

H4 J (С - *)

|С-г|>ф)

так как

g* = (íeiÉ>1 А + ieiÖ2ß + íe^C + ie?'Ö4L>)*' = = t* + e^B + e'03C + eiÖ4D)* =

9 '

и11а2,аз.а4>()

и интеграл не равен нулю в случае к = Ап для слагаемого

(4 п)!

п\п\п\п\

АпВпСпПп.

Обозначим

а.(4п)! „ 1

(4п += С'с = С'

тогда

27Г 27Г 2тг 2тг

0 0 0 0

Используем эту связь для оценки оператора С/„)£. Из неравенства Гельдера имеем

2тг 2тг 2тг 2тг

0 0 0 0

¿7Г ¿тт ¿1г ¿тг

откуда следует оценка

ьо{г)йа{г) < ^

с с 4 о о о о

2тг 2тг 2тг 2тг

Ср

(2тг)4

0 0 0 0

х / т^е^1, ¿е^2, ¿е^3, ^е'^4)<

с

<С1Цр,с0,\\\)п2Чр I\тмг)6а{х) <

с

< СрЪ(р, Со, ) + 1)п2р4р J

€

-1 \ 4гс -, / \ 4гг. -. /о 1 \ 4

4п / 1 1 \ 1 Л 1 \ 1 / 2п — 1

Оценим С

44п / 2 п \4яИ4 ~~ 4п + 1 \2п — 1/ (4га)!

Используя формулу Стирлинга имеем

(ы)4 {^{^еЩ

(27гга)2(2)'1"е^г 2тг2ез т&

2~ 44"'

Тогда (42) с учетом (43) влечет оценку

с < аАп ( 2п \Ап -^ . <

16 • 27Г2 • е* пЛ 327г2ез п? Ы2е} <---<---=-

\/2тг 4п +1 ~ л/2тг 4 л/2тг Обозначим

32тг2еАРУ Ъ\

х л/2тг / У 2

тогда из (41) и (44) имеем

что и требовалось доказать.

§3. Частные случаи Полученные результаты позволяют оценивать операторы специального вида для различных случаев выбора У^-. Пусть

\Vjiz) - Ц(0\ < \г - (\, где z,(eC,l<j<4. (*)

Рассмотрим некоторые примеры: 1)^2 = Уи Ц = г,У4 = г

вир

УКО-ИСгОГ/С-Л" ДО

|С-г|>Е

(С -*)

2 п

.с-*; (с-^)2

МО

<

< ЬгПг 1)11/11^,

2)14 = VI, = х, У4 = у = х + = о + гт)

вир

£>0

\С~г\>е

|И(С) - УЫ (С - г)2"

2п

X

X

. п / \ п

а — х \ ( т — у

ДО

С-г; \C-zJ (С-г)2 <Ь1П11оё(п + 1)||/||

¿т-

<

р,и!

3) У2 = УиУ3 = г,У4 = х

вир

е>0

2 п

|С-«|>е

(С - *)2'

2п

а-х\ " /(С)

С-¿у (С-*):

-Лт-

<

<Ь1^1о6(п + 1)||/||р,ш,

4) У2 = УиУг = х,У4 = у

вир

е>0

т)-ушп (т-у\п т

|С-г|>«

(С-^)2" \C~zJ (С - ¿У

<blnUog(n + l)\\f\\p^

-Лт*

<

р,ш

В частности, при п = 1 случаи 3) и 4) примут вид

вир

£>0

|С-^|>£

(С - г)5

(1т2

р.и)

цир

£>0

|С-г|>£

ШО -Ц(*)1У-у)/(0

(С -

¿1719

<Ъ1\оё2\\Др,ш.

р,ш

В более сложных случаях требуется проверка условия (*). Для функции У (г) = е'^1 воспользуемся известным неравенством

лсх

1 < \а\,а е м.

Тогда

е*(И-1С1) _ 1 <

Ж1

И-1С11 <к-С1

и результаты первой и третьей главы дают соответствующие оценки:

sup

£>0

М - 71

ДО

|С"2|>£

С-* J

МО

<Ь(р,п) ii/iu,

ptu

где функция Ь(р, п) имеет степенной рост по п,

sup

£>0

Ж1

Г /(С)

J-ttttW)

<

р,и)

< Ь(р,со)п*log(n + l)||/||p>w.

Кроме того, если для функции V(z) выполняется условие (*). то оно также верно и для W(z) = так как

\W(z)-W(Q\

е

woi

<

<

\V(z)\-\V(Q\\<\V(z)-V(C)\<\z-C\

В этом случае для оператора из первой главы имеем

sup

£>0

IC-

>то\ - ет*)\

Ж)

(С -

МО

\>е

<ьср,г»)||/||

р,ил

p.OJ

и в частности для V(z) = х

sup £>0

ег\а\ _ et\x\

п

до

ç-z ; (c-zy

-dm-

<b(p,n)\\f\\Pi

р,ш

где функция Ь(р, п) имеет степенной рост по п. Пусть теперь

V(z) =pi\z\ +р2\х\ +рз|у|,

тогда

<

\v(z) - V(0\ = MM - ICI) + P2(W - H) + Рз(1г/| - Irl) < IpiI • |N - ICH + N - |N - H| + bal • \\y\ - M| <

< \Pi\-\z-Ç\ + \p2\-\x-<r\ + \p3\-\y-T\ < (bi| + |p2| + |P3|)-k-C|,

то есть в условии теоремы 1

w= |pi| + |рг| + Ьз|

и для оператора

T*J{z) = sup

£>0

APî\C\+P2\v\+P3\t\) _ J(Pl\z\+P2\x\+Pz\y\)'

11

С-«

K-z\>e

xÄd7(C)

верна оценка

\\t;J\\№ < b(p, п) ■ (Ы + \р2\ + baDl/lk

Пусть теперь для Vj(z) верно

тогда рассмотрим функции

Ч*) = хВД

для которых верно условие (*). Так как в этом случае

Щг) = АМ(г),

то оценка оператора изменится на множитель (А1А2Л3А4) Если У2 = У],У4 = Т^з, то оператор и* примет вид

п

u;j{z) = sup

е>0

/

|С-г|>г

|VÎ(Ç) - УЛ^Г'ШО - V-i{z)\ (С -

2г;

■/(0<М0

Рассмотрим случай, когда V) определены на замкнутых множествах Ej меры ноль (Е2 = Е\, Е4 = Обозначим

ге{%) = dist(z; Е),

тогда ясно, что

K(*)-rB/(Ç)l < k-Cl

и в качестве V* можно взять г е-, однако более интересным явля-

ется случаи

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Меркулов, Алексей Сергеевич, 2014 год

Список литературы

1. Benedek A., Panzone R., Continuity properties of the Hilbert transform, J. Func. Anal., 7, N2, 217-234, 1971

2. Calderon A.P., Commutators of singular integral operators, Proc. Mat. Acad. Sei., 53, 1092-1099, 1965

3. Coifman R.R., Meyer Y., Le double commutateur, Anal. Harm. D'Orsay, N180, 1976

4. Coifman R.R., Mcintosh A., Meyer Y., L'integrale de Cauchy definit un operateur borne sur L2 pour les courbes lipschitziennes, Ann. of Math., 116, 361-387, 1982

5. Calderon A.P., Cauchy integrals on Lipschitz curves and related operators, Proc. Nat. Acad. Sei., USA, 74, 1324-1327, 1977

6. Широков H.A., Оценки в LP(C) некоторых сингулярных интегральных операторов, Изв. АН Арм. ССР, XV, N1, 63-76, 1980

7. Stein Е.М., Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton Univ. Press, Princeton, 1993

8. Coifman R.R., Fefferman C., Weighted norm inequalities for maximal functions and singular integrals, Studia Math., 51, 241-250, 1974

9. Cordoba A., Fefferman C., A weighted norm inequality for singular integrals, Studia Math., 57, 97-101, 1976

Работы автора по теме диссертации ^

1. Меркулов A.C., Широков H.A., Весовые оценки коммутаторов Кальдерона на комплексной плоскости, Вестник СПбГУ, 1, N3, 48-54, 2010

2. Меркулов A.C., Широков H.A., Применение весовых оценок коммутаторов Кальдерона, Вестник СПбГУ, 1, N2, 52-57, 2012

3. Меркулов A.C., Сингулярные интегральные операторы, аналогичные коммутаторам Кальдерона, Вестник СПбГУ, 1, N1, 9196, 2013