Некоторые вопросы теории неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бернштейн, Евгений Александрович

• Бернштейн, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бернштейн, Евгений Александрович

Введение 1. Предварительные сведения

1.1. Показатели Ляпунова.

1.2. Экспоненциальная дихотомия.

1.3. Описание класса

1.4. Преобразования линейных систем.

1.5. Почти приводимые системы.

2. Асимптотическое поведение решений неоднородных систем

2.1. О существовании решений с полиномиальным ростом.

2.2. Общий случай

3. Решение основной задачи

3.1. Классы ЬРВ и £0Р£>.

3.2. Другое доказательство включения

Ь0РЭ С ЬРВ.

3.3. Классы ЬИ и ЬоИ.

4. Некоторые достаточные условия принадлежности классам и ЬБ

4.1. Еще один критерий экспоненциальной дихотомии.СО

4.2. Принадлежность классам Ьо-О и ЬБ.

4.3. Диагональные системы

5. Грубые свойства линейных неоднородных систем, обладающих решением с малым ростом

5.1. Одномерные системы

5.2. Многомерные системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы теории неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений»

Важное место в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений занимает изучение линейных систем — как однородных, так и неоднородных, поскольку к их рассмотрению сводится ряд задач, связанных с нелинейными системами.

Во многих задачах, посвященных изучению свойств решений систем дифференциальных уравнений, используется понятие характеристических показателей, введенное А. М. Ляпуновым [7].

Одним из направлений исследования линейных систем, начало которому положил О. Перрон [14], является изучение связи между асимптотическим поведением решений однородной и неоднородной систем, в частности, между характеристическими показателями этих решений. В настоящей диссертации получен ряд результатов, связанных с этой областью исследований.

Через Мп обозначается метрическое пространство, точками которого являются системы вида x = A(t)x, жеГ, te R+, (0.1) с непрерывными и ограниченными на полупрямой М+ = [0; +оо) оператор-функциями А(-): Ш+ —> ЕпсШп, а метрика задается формулой р(А,В) = sup \\B(t) - A(t)\\, A, Be Мп, teR+ где

Л|| = sup \Ах\. |*И

Наряду с системой (0.1) будем также рассматривать неоднородные системы x = A(t)x + h(t), (0.2) где вектор-функция h(t) предполагается непрерывной на Е+.

В докладе [10] профессором В. М. Миллионщиковым были введены следующие четыре класса линейных систем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу 1/£)п, если для всякого е > 0 найдется (зависящее от г) линейное преобразование х = Ь({)у, преобразующее ее в некоторую (зависящую от е) экспоненциально дихотомическую систему и такое, что показатель Ляпунова функции \\Щ\\ + \\Ь-\г)\\ меньше е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу если найдется линейное преобразование х = — преобразующее ее в некоторую экспоненциально дихотомическую систему и такое, что показатель Ляпунова функции ШШ + ^Ш Равен 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу ЪРВп, если для всякого е > 0 существует 5 > 0, такое, что для всякой непрерывной вектор-функции Н(-): —» М", показатель Ляпунова которой меньше 5, у системы (0.2) найдется решение с показателем, меньшим е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу если для любой непрерывной вектор-функции /г(-): —► Мп, показатель Ляпунова которой неположителен, у системы (0.2) найдется решение с неположительным показателем.

В работе И. Н. Сергеева [12] доказано, что множество правильных систем является подмножеством класса Ь$РОп, а А. С. Фурсовым [13] установлен критерий принадлежности системы (0.1) классу £оР1)п, то есть, тем самым, полностью решена задача, поставленная в [11].

Основной задачей, решаемой в диссертации, является нахождение всех возможных соотношений (включений, равенств) между этими классами.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, включающих в себя в общей сложности 15 параграфов, и списка литературы, содержащего 14 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бернштейн, Евгений Александрович, 2006 год

1. Берпштейп Е. А. Совпадение двух классов линейных систем. — Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № И. С. 1572.

2. Берпштейп Е. А. О совпадении двух классов линейных систем. — Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 8. С. 1024-1028.

3. Былое Б. Ф. Почти приводимые системы. — Сиб. матем. журн. 1966. Т. 7, № 4. С. 751-784.

4. Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., ГробманД. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. — М.: «Наука», 1966.

5. Далецшй Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: «Наука», 1970.

6. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: «Наука», 1967.

7. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М. Л.: Гостехиздат, 1950.

8. Майзель А. Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений. — Труды Уральского политехи, ин-та, 51, сер. матем., 1954. С. 20 50.

9. Массера X. Л., Шеффер X. X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. — М.: «Мир», 1970.

10. Сергеев И. Н. О существовании решения с малым ростом для бирегулярных дифференциальных систем со случайным возмущением. — Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, Ш 11. С. 2088 2092.

11. Фурсов А. С. Критерий существования решения с малым ростом у линейной неоднородной системы. — Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 6. С. 990-1000.

12. Perron О. Die stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen. Math. Zs. 32 (1930). S. 703-728.