Нелинейные краевые задачи для дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Харасова Лилия Сергеевна

• Харасова Лилия Сергеевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Харасова Лилия Сергеевна

Введение

Глава 1. Краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих однородных оболочек типа Тимошенко в единичном круге 17 §1.1. Постановка задачи I и исследование ее разрешимости в единичном круге

1.1.1. Решение задачи I относительно функций wl, w2, \2

1.1.2. Сведение задачи I к одному уравнению относительно функции

w3 и его исследование

§1.2. Постановка задачи II и исследование ее разрешимости в единичном

круге

§1.3. Постановка задачи III и исследование ее разрешимости в единичном

круге

Глава 2. Краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих однородных оболочек типа Тимошенко в произвольной

области

§2.1. Исследование задачи I в произвольной области при помощи

конформного отображения

§2.2. Исследование задачи II в произвольной области при помощи

конформного отображения

Глава 3. Метод интегральных уравнений исследования краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих однородных

оболочек типа Тимошенко в произвольной области

§3.1. Исследования задачи I методом интегральных уравнений

3.1.1. Решение задачи I относительно функций w, w2, \2

3.1.2. Сведение задачи I к одному уравнению относительно w3 и его

исследование

§3.2. Исследования задачи III методом интегральных уравнений

Заключение

Список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные краевые задачи для дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко»

Введение

В диссертационной работе исследуется разрешимость краевых задач для системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, описывающих состояние равновесия упругих оболочек.

Актуальность темы исследования. Основной объект исследования в диссертационной работе - система нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка при заданных граничных условиях.

Предмет исследования - разрешимость нелинейных краевых задач для системы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, описывающих состояние равновесия упругих пологих изотропных однородных оболочек с шарнирно опертыми краями в рамках сдвиговой модели С.П. Тимошенко.

Теория краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными является бурно развивающимся разделом математической физики, в частности, теории оболочек. В настоящее время имеется множество работ, посвященных выводу дифференциальных уравнений с частными производными, используемых в теории оболочек, и численным методам их решения (см. [1], [2], [8], [10]-[12], [14], [18], [19], [25], [29]-[32], [47], [48], [65], [66], [69]-[73], [75], [76], [80]-[82], [85]). Однако, при выводе дифференциальных уравнений с частными производными и граничных условий для них на первый план выходит проблема адекватности этих задач реальным процессам. В основе решения этой проблемы лежит строгое математическое исследование разрешимости краевых задач. Кроме того, наличие теорем существования позволяет легко доказать сходимость численных методов к точному решению. Поэтому строгое исследование разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными и доказательство теорем существования является весьма актуальной проблемой.

К настоящему времени достаточно полно исследована разрешимость

краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными

производными, описывающих состояние равновесия оболочек в рамках

3

простейшей модели Кирхгофа - Лява. Фундаментальные результаты в этой области получены И.И. Воровичем [6], Н.Ф. Морозовым [26] и их учениками. Строгому исследованию разрешимости краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в рамках модели Кирхгофа - Лява посвящены также работы И.Г. Терегулова [33], Ю.А. Дубинского [13], М.М. Карчевского [15], В.Н. Паймушина [16], С.Н. Тимергалиева [34] и других авторов. Подробный обзор и анализ разрешимости краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений теории оболочек в рамках модели Кирхгофа - Лява можно найти в монографии И.И. Воровича [6], в работах М.М. Карчевского [15], С.Н. Тимергалиева [34]. В тоже время существует повышенный интерес к исследованиям разрешимости нелинейных задач для более сложных дифференциальных уравнений с частными производными. Это объясняется не только относительной разработанностью классической теории, но и существенным расширением области инженерного применения теории. Оболочечные конструкции (различные строительные сооружения, купола и т.п.) требуют все более надежных, точных расчетных данных и ставят зачастую совершенно новые задачи, которые не могут быть описаны дифференциальными уравнениями в рамках классической теории. На необходимость изучения краевых задач для более сложных дифференциальных уравнений указывал ещё академик И.И. Ворович [6, С. 349-350] и такие задачи вошли в список нерешенных проблем математической теории оболочек.

На сегодняшний день очень мало работ, посвященных исследованию краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в рамках более сложных моделей.

В 2000 году В.Ф. Кириченко [17] исследовал разрешимость задачи, имеющей приложение в термоупругости в рамках модели Пелеха-Шереметьева. Им доказана слабая компактность множества приближенных решений, получаемых методом Бубнова - Галеркина. Исследованы вопросы существования и единственности решения нелинейных задач термоупругости уточненной теории пологих оболочек и пластин Рейсснера.

В 2004 году В.Ф. Кириченко, В.А. Богданова [3] доказали существование хотя бы одного решения краевой задачи для пологой оболочки в рамках асимтотически согласованной модели как распределенной механической системы переменной массы. Было показано, что приближенное решение этой задачи может быть найдено методом Бубнова - Галеркина.

В работе [20] 2011 года с помощью метода компактности и нового способа получения априорных оценок В.Ф. Кириченко доказана разрешимость обобщенной задачи трансмиссии в неклассической теории пологих оболочек.

Работа [21] В.Ф. Кириченко посвящена доказательству теоремы существования решения задачи, имеющей приложение в теории пологих трехслойных оболочек в рамках гипотез Григолюка - Чулкова.

Работы [68], [77] В.А. Крысько посвящены доказательству теорем существования краевых задач для дифференциальных уравнений динамики и статики многослойных конструкций. В [68] исследованы краевые задачи в рамках модели Тимошенко и Эйлера - Бернулли. В [77] доказана теорема существования обобщенного решения краевой задачи для ортотропных оболочек типа Тимошенко.

Работы [24], [78] Н.П. Лазарева посвящены дифференциальным уравнениям теории пластин с трещинами.

S.Y. Lee, S.M. Lin [79] изучали задачу о свободной вибрации балок Тимошенко, сводя ее к обыкновенному дифференциальному уравнению четвертого порядка с полиномиальными коэффициентами.

J. Yuan, Y.-H. Pao, W. Chen [84] решение задач свободной вибрации балок Тимошенко привели к паре несвязанных обыкновенных уравнений второго порядка типа Штурма - Лиувилля, для которых можно найти точные аналитические решения.

Работы [35]-[41] С.Н. Тимергалиева посвящены исследованию разрешимости краевых задач для системы пяти нелинейных дифференциальных уравнений, описывающей состояние равновесия пологих оболочек типа Тимошенко.

В работе [35] С.Н. Тимергалиев исследовал разрешимость системы нелинейных дифференциальных уравнений в единичном круге. Граничные условия при этом означали жесткое закрепление края круговой анизотропной оболочки типа Тимошенко. Система нелинейных дифференциальных уравнений при помощи гармонической функции Грина для единичного круга была сведена к системе нелинейных сингулярных интегральных уравнений по единичному кругу, разрешимость которой доказана при помощи принципа сжатых отображений.

В работе [36] для исследования задачи, рассмотренной в [35], предлагается новый метод, состоящий в сведении исходной системы уравнений к одному нелинейному интегральному уравнению. В основе метода лежат интегральные представления для обобщенных перемещений, содержащие произвольные голоморфные функции. Для нахождения голоморфных функций используется решение задачи Римана - Гильберта для таких функций в единичном круге. Разрешимость одного нелинейного интегрального уравнения устанавливается при помощи принципа сжатых отображений.

В [37] метод работы [36] применяется к исследованию системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, описывающей состояние равновесия пологой изотропной однородной оболочки с жестко закрепленным краем в рамках сдвиговой модели Тимошенко. Исходная задача сводится к одному нелинейному дифференциальному уравнению с частными производными, разрешимость которого устанавливается при помощи принципа сжатых отображений.

Работа [38] С.Н. Тимергалиева посвящена исследованию разрешимости системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, рассмотренной в [37], в единичном круге при других граничных условиях, описывающей состояние равновесия изотропной однородной круговой оболочки с незакрепленным краем. Используя метод работ [36], [37], показывается, что при выполнении некоторых необходимых и достаточных условий задача имеет решение с точностью до жестких смещений оболочки как абсолютно твердого тела.

В [39] задача, рассмотренная в [38], исследуется в произвольной односвязной области. Для построения интегрального представления решения сначала область конформно отображается на единичный круг, затем привлекается теория задач Римана - Гильберта в единичном круге.

Работы [40] и [41] С.Н. Тимергалиева посвящены исследованию задач для системы нелинейных дифференциальных уравнений в произвольной односвязной области при граничных условиях, описывающей состояние равновесия упругих пологих изотропных однородных оболочек в рамках сдвиговой модели Тимошенко со свободными и жестко закрепленными краями соответственно. В них для определения голоморфных функций используется теория интегралов типа Коши с действительными плотностями, которые находятся как решения системы одномерных сингулярных интегральных уравнений.

Таким образом, из приведенного обзора видно, что остается открытым, в частности, вопрос о разрешимости краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих состояние равновесия однородных изотропных упругих пологих оболочек с шарнирно опертыми краями в рамках сдвиговой модели Тимошенко. Данная диссертационная работа в определенной степени восполняет этот пробел.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью работы является доказательство теорем существования и разработка аналитических методов нахождения решений краевых задач для системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка при граничных условиях, означающих шарнирно опертый край оболочки типа Тимошенко. Для достижения данной цели решаются следующие задачи:

- исследование разрешимости краевых задач для системы пяти нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, описывающих состояние равновесия упругих пологих изотропных однородных круговых оболочек с шарнирно опертыми краями в рамках сдвиговой модели С.П.Тимошенко;

- исследование разрешимости краевых задач для системы пяти нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, описывающих состояние равновесия упругих пологих изотропных однородных произвольных оболочек с шарнирно опертыми краями в рамках сдвиговой модели С.П.Тимошенко.

Научная новизна:

- разработан аналитический метод исследования разрешимости нелинейных краевых задач для системы пяти нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, описывающих состояние равновесия упругих пологих изотропных однородных круговых оболочек с шарнирно опертыми краями в рамках сдвиговой модели С.П.Тимошенко, с помощью которого выведены условия разрешимости и доказана теорема существования решений;

- разработан аналитический метод исследования разрешимости нелинейных краевых задач для системы пяти нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, описывающих состояние равновесия упругих пологих изотропных однородных произвольных оболочек с шарнирно опертыми краями в рамках сдвиговой модели С.П.Тимошенко, с помощью которого выведены условия разрешимости и доказана теорема существования решений;

- развит метод интегральных уравнений исследования разрешимости нелинейных краевых задач для системы пяти нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, описывающих состояние равновесия упругих пологих изотропных однородных произвольных оболочек с шарнирно опертыми краями в рамках сдвиговой модели С.П.Тимошенко, с помощью которого выведены условия разрешимости и доказана теорема существования решений.

Все основные научные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Диссертация

носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть

8

использованы при исследовании разрешимости подобного класса задач для более сложных дифференциальных уравнений, а также при решении конкретных прикладных задач для упругих конструкций.

Методология и методы исследования. В диссертации исследования проводятся по схеме, предложенной С.Н.Тимергалиевым [36, 38, 39, 40, 41] в случае оболочек с незакрепленными и жестко закрепленными краями, в основе которой лежат интегральные представления для искомого решения, содержащие произвольные голоморфные функции. Голоморфные функции определяются так, чтобы искомое решение удовлетворяло заданным граничным условиям. Нахождение голоморфных функций является одним из существенных и сложных моментов метода исследования. Для этого используются два подхода. При первом подходе используются явные представления решений задачи Римана - Гильберта для голоморфных функций в единичном круге. В случае произвольной оболочки привлекается теория конформных отображений области на единичный круг, при этом существенным моментом является тот факт, что дифференциальные уравнения не инвариантны относительно конформного отображения. Это обстоятельство вносит существенные сложности в исследование задач для произвольных оболочек. При втором подходе голоморфные функции ищутся в виде интегралов типа Коши с действительными плотностями, которые находятся как решения системы одномерных сингулярных интегральных уравнений. Построенные таким образом интегральные представления позволяют свести исходную задачу к одному нелинейному операторному уравнению в соболевском пространстве, разрешимость которого устанавливается при помощи сжатых отображений.

Положения, выносимые на защиту:

- вывод условий разрешимости и аналитический метод нахождения решений краевых задач для системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, описывающих состояние равновесия упругих пологих изотропных однородных круговых оболочек с шарнирно опертыми краями в рамках сдвиговой модели С.П.Тимошенко;

9

- вывод условий разрешимости и аналитический метод нахождения решений краевых задач для системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, описывающих состояние равновесия упругих пологих изотропных однородных произвольных оболочек с шарнирно опертыми краями в рамках сдвиговой модели С.П.Тимошенко;

- вывод условий разрешимости и развитие метода интегральных уравнений нахождения решений краевых задач для системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, описывающих состояние равновесия упругих пологих изотропных однородных произвольных оболочек с шарнирно опертыми краями в рамках сдвиговой модели С.П.Тимошенко.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы. Диссертация включает в себя три главы. Главы состоят из параграфов, параграфы 1.1 и 3.1 разбиты на пункты. Нумерация формул и утверждений ведется по главам.

В первой главе доказываются теоремы существования и строятся интегральные представления решений краевых задач для системы нелинейных дифференциальных уравнений в единичном круге, описывающих состояние равновесия круговых пологих изотропных однородных оболочек типа Тимошенко при различных вариантах их шарнирного закрепления.

В § 1.1 вводится система (1.1) пяти нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка относительно обобщенных

перемещений w1, , w3, щ2. Нелинейная система (1.1) исследуется при различных граничных условиях на протяжении всей диссертационной работы. Дается постановка задачи I. Формулируются условия на исходные данные. Вводится понятие обобщенного решения задачи I.

В п.1.1.1, § 1.1 задача I решается относительно функций w1, и щ , щ2. С

этой целью сначала рассматривается система из первых двух уравнений в (1.1)

относительно , у2, в которых w3 временно считаем фиксированным. Общее

решение этой системы содержит две произвольные голоморфные функции,

которые находятся так, чтобы w1, у2 удовлетворяли заданным граничным

10

условиям. Для этого используются явные представления решений задачи Римана -Гильберта для голоморфных функций в единичном круге. Показываем, что при

выполнении условия (1.45) задача I разрешима относительно функций Щ, щ и решение дается формулой (1.30). Аналогично, из последних двух уравнений в (1.1) находятся функции щ, щ2, которые даются формулой (1.53).

В п.1.1.2, § 1.1 выражения функций Щ, Щ, щ, щ2, полученные в п. 1.1.1, подставляются в третье уравнение системы (1.1). В результате получается нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка относительно функции Щ, удовлетворяющей на границе единичного круга условию Щ = 0. Используя гармоническую функцию Грина задачи Дирихле для единичного круга, это дифференциальное уравнение сводится к эквивалентному операторному уравнению Щ + Ощ =0 в соболевском пространстве ,

разрешимость которого устанавливается при помощи принципа сжатых отображений. Таким образом показывается, что при выполнении необходимого и достаточного условия (1.45) задача I имеет решение с точностью до постоянного слагаемого (теорема 1.1). Выполнение условий разрешимости иллюстрируется на конкретном примере.

В § 1.2 система (1.1) исследуется при других граничных условиях. Дается постановка задачи II. Для исследования разрешимости задачи II используется метод, примененный к задаче I. Существенным моментом здесь является нахождение голоморфных функций. Для этого решается задача Римана - Гильберта в единичном круге для введенных специальным образом других голоморфных функций. Показывается, что при выполнении условий (1.87), (1.89) задача II

разрешима относительно функций Щ, щ и решение дается формулой (1.83).

Функции щщ, щ2 определяются формулой (1.53). Полученные таким образом

выражения функций Щ, Щ, щщ, щ2 через Щ подставляем в третье уравнение (1.1) и повторяя рассуждения п.1.1.2, §1.1, приходим к справедливости теоремы 1.2.

В § 1.3 дается постановка задачи III и исследуется ее разрешимость. Основное отличие задачи III от предыдущих состоит в том, что граничное условие для

функции w3 имеет другой вид (1.94), означающее, что край оболочки в направлении прогиба предполагается свободной (не закрепленной), что существенно усложняет исследование задачи. Задача III относительно функций w1, w2 решается точно так же, как и задача I. При решении задачи III относительно Щ1, Щ2 предполагается временно известными функции v = v2 + iv1,vj =waj + щщ, а](j = 1,2) и в результате для функций Щ, Щ2 при выполнении условия (1.101) получаем представление (1.96) через Vj (j = 1,2). Тогда исходная задача III при выполнении условия (1.114) сводится к операторному уравнению v - G*v = 0 с нелинейным ограниченным оператором в W(pT)(Q.). Далее, повторяя рассуждения п.1.1.2, §1.1 и применяя принцип сжатых

отображений, доказываем разрешимость этого уравнения, тем самым получаем основной результат этого параграфа в виде теоремы 1.3.

В главе 2 краевые задачи системы (1.1) изучаются в произвольной ограниченной односвязной области Q. Здесь, как и в главе 1, в основе метода исследования лежат интегральные представления для обобщенных перемещений, содержащие произвольные голоморфные функции. При нахождении голоморфных функций используются явные представления решений задачи Римана - Гильберта в единичном круге. Для этого плоская область Q сначала конформно отображается на единичный круг K :| £ |< 1, затем применяется метод главы 1.

В § 2.1 исследуется разрешимость задачи I. Вместо единичного круга здесь рассматривается произвольная ограниченная односвязная область. Формулируются условия на исходные данные задачи I. Задача сначала решается

относительно w1, w2. Для определения голоморфных функций приходим к задаче Римана - Гильберта в области Q. С целью получения явного решения эту задачу при помощи конформного отображения сводим к задаче Римана - Гильберта в единичном круге. Далее, повторяя рассуждения главы 1 и проводя достаточно

сложные выкладки, получаем, что при выполнении одного условия (1.45) задача I разрешима относительно функций Щ, Щ и решение дается формулой (2.24). Функции щщ, щ2 определяются формулой (1.53). Повторяя рассуждения п.1.1.2, §1.1, показывается, что задача I при выполнении необходимого и достаточного условия разрешимости вида (1.45) имеет решение с точностью до постоянного слагаемого (теорема 2.1). Выполнение условий разрешимости иллюстрируется на конкретном примере.

В § 2.2 задача II исследуется в произвольной односвязной области. Для этого используется метод главы 1. Для определения голоморфных функций Фх( ¿), Ф 2( 2) в произвольной области О решается задача Римана - Гильберта для специальным образом введенных других голоморфных функций, которая при помощи конформного отображения сводится к задаче Римана - Гильберта в единичном круге. Используя полученное решение задачи Римана - Гильберта, для определения голоморфной функции Ф^2) получаем двумерное интегральное уравнение Фредгольма, которое при выполнении условия (2.43) имеет решение вида (2.44). В результате для функций Щ, Щ при выполнении условий (1.87), (1.89) получим представления вида (2.47). Далее, повторяя рассуждения главы 1, показывается, что задача II при выполнении условий (1.87), (1.89) имеет решение с точностью до постоянных слагаемых (теорема 2.2).

В главе 3 исследуются задачи I и II. В отличие от глав 1 и 2 в данной главе для нахождения голоморфных функций привлекается теория интегралов типа Коши с действительными плотностями. Голоморфные функции ищутся в виде интегралов типа Коши с действительными плотностями, которые определяются как решения системы одномерных сингулярных интегральных уравнений по границе области О.

§ 3.1 посвящен исследованию задачи I в произвольной области методом интегральных уравнений и состоит из двух пунктов. В п.3.1.1 задача I решается

относительно функций Щ, Щ, щщ, щ2. Выводятся соотношения, с помощью которых

получаются граничные условия (3.17) для определения голоморфных функций. С помощью этих граничных условий для определения плотностей интегралов типа Коши выводится система одномерных сингулярных интегральных уравнений (3.23). Далее, исследуется разрешимость этой системы интегральных уравнений. В

результате получаем голоморфные функции в виде (3.38), а для функций w1, w2 приходим к представлению (3.40) при этом должно выполняться условие (1.45). Исследуются свойства операторов входящих в представления для частных

производных первого, второго порядков для функций w1, w2. Аналогично, задача I

решается относительно функций Щ1, Щ2, которые при выполнении условия (1.47)

даются формулой (3.49).

В п.3.1.2, § 3.1 задача I сводится к одному уравнению относительно функции

w3 . В основе исследования этого уравнения лежит интегральное представление для

функции w3, содержащие произвольные голоморфную Ф3 и действительную f3 функции. Для нахождения голоморфной функции привлекается теория интегралов типа Коши с действительными плотностями. Построенное таким образом интегральное представление для w3 позволяет уравнение относительно w3 свести к операторному уравнению относительно действительной функции f3. Разрешимость которого устанавливается при помощи принципа сжатых отображений (теорема 3.1).

В § 3.2 в произвольной области Q задача III исследуется методом интегральных уравнений. Данная задача является непосредственным развитием

задачи I и отличается от неё только граничным условием для функции w3 (1.94). Это вносит существенные изменения при исследовании третьего уравнения системы (1.1) методом интегральных уравнений. Для функций w1, w2, как и в п.3.1.1, §3.1, при выполнении условия (1.45) получаем представление (3.40). При решении задачи III относительно Щ1, Щ2 при выполнении условия (1.101) имеем представление (1.96). В результате задачу III сводим к нахождению решения

уравнения (1.112), удовлетворяющего условию (1.111). Для определения голоморфной функции Ф(z) получаем задачу Римана - Гильберта в области Q с условием (3.83), с помощью которого для определения плотности интеграла типа Коши выводится одномерное сингулярное интегральное уравнение (3.85). Исследуя разрешимость (3.85), находим голоморфную функцию Ф( z) в виде (3.88). Тогда исходная задача III сводится к операторному уравнению (3.93). Далее, как и в п.1.1.2, § 1.1, доказывается разрешимость задачи III с помощью принципа сжатых отображений (теорема 3.2).

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в работах [42], [44],

[50], [64], [67], [74], [83] в рецензируемых журналах, входящих в список ВАК РФ, или приравненных к ним, а также в изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus, более десяти работ опубликовано в виде тезисов докладов или материалов конференций в сборниках трудов конференций [43], [45], [46], [49],

[51]-[63]. Все основные результаты диссертации доказаны лично автором.

При выполнении работы [42], опубликованной в соавторстве, соискателю принадлежат: исследование краевой задачи относительно тангенциальных перемещений и углов поворота, получение условия разрешимости задачи, вывод оценок для операторов Pi(i = 1,3),H0,HJk(j,k = 1,2), G1 при доказательстве лемм,

сведение задачи к одному уравнению относительно прогиба и доказательство теоремы существования решения исходной задачи. Соавтору работ [42-46], [67], [83] С.Н. Тимергалиеву принадлежат постановка задач, общая схема исследования задач и получение интегральных представлений для тангенциальных перемещений и углов поворота, содержащие произвольные голоморфные функции. Соавтором А.Н. Угловым в [42] получено представление для оператора 5'^[Ф1](t) при преобразовании граничного условия краевой задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Харасова Лилия Сергеевна, 2025 год

Список использованной литературы

1. Барышев, А.А. Вибрационный изгиб вязкоупругих пластинок и оболочек с учетом поперечных сдвигов: дис. ... канд. физ - мат наук: 01.02.04 / Андрей Алексеевич Барышев. - Саратов, 2004. - 156 с.: ил.

2. Баженов, В.А. Нелинейное деформирование и устойчивость упругих оболочек неоднородной структуры / В.А. Баженов, О.П. Кривенко, Н.А. Соловей. - Москва: Либроком, 2013. - 336 с.

3. Богданова, Л. М. О корректности первой краевой задачи для неклассических уравнений движения оболочки с зависящей от времени толщиной и малой инерцией продольных перемещений / Л.М. Богданова, В.Ф. Кириченко // Труды Всерос. Научн. конф. Ч. 1, Математические модели механики, прочность и надежность конструкций, Матем. моделирование и краев. задачи, СамГТУ - Самара, 2004. - С.43-46.

4. Векуа, И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / И.Н. Векуа. - Москва: ОГИЗ, 1948. - 296 с.

5. Векуа, И.Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н. Векуа. - Москва: Наука, 1988. - 512с.

6. Ворович, И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек / И.И. Ворович. - Москва: Наука, 1989. - 376 с.

7. Галимов, К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек / К.З. Галимов. -Казань: Казанский ун-т, 1975. - 326 с.

8. Галимов, К.З. Основания нелинейной теории оболочек / К.З. Галимов, В.Н. Паймушин, И.Г. Терегулов. - Казань: Фэн, 1996. - 216 с.

9. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи. 2-е изд., перераб. и доп. / Ф.Д. Гахов. - Москва: Физматгиз, 1963. - 639 с.

10.Григолюк, Э.И. О коэффициенте сдвига в теории оболочек типа Тимошенко / Э.И Григолюк, Г.М. Куликов // Доклады РАН. -2001. - №1. - С. 47-49.

11.Григолюк, Э.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики

твердого деформируемого тела / Э.И Григолюк, В.И. Шалашилин. - Москва: Наука, 1988. - 232 с.

12.Грудев, И.Д. Толстые упругие стержни, пластинки и оболочки / И.Д. Грудев. - Москва: Академпринт, 2001. - 176 с.

13.Дубинский, Ю.А. О разрешимости системы сильного изгиба пластинок / Ю.А. Дубинский // Доклады АН СССР. - 1967. - Т.175, №5. - С. 1026-1029.

14.Еремеев, В.А. Механика упругих оболочек / В.А Еремеев, Л.М. Зубов. -Москва: Наука, 2008. - 285с.

15.Карчевский, М.М. О разрешимости вариационных задач нелинейной теории пологих оболочек / М.М. Карчевский // Дифференциальные уравнения. -1991. - Т.27, №7. - С. 1196-1203.

16.Карчевский, М.М. О вариационных задачах теории трехслойных пологих оболочек / М.М. Карчевский, В.Н. Паймушин // Дифференциальные уравнения. - 1994. - Т.30, №7. - С.1217 - 1221.

17.Кириченко, В.Ф. Математическое моделирование в задачах статики и динамики конструктивно неоднородных термоупругих оболочек: дис. ... доктора физ - мат. наук: 01.02.04 / Кириченко Валерий Федорович. -Саратов, 2000. - 328 с.

18.Кириченко, В.Ф. «Проекционные» условия движения термоупругого деформируемого твёрдого тела и их применение в теории многослойных ортотропных оболочек / В.Ф. Кириченко // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. - Саратов, 1997. - Т.1. - С.144-155.

19. Кириченко, В.Ф. Исследование статической устойчивости и НДС многослойных оболочек в рамках уточненных моделей / В.Ф. Кириченко, Н.С. Сурова // Механика композиционных материалов и конструкций. -2004. - Т.10, №2. - С. 188 -198.

20. Кириченко, В.Ф. Разрешимость эволюционных уравнений в обобщенных задачах трансмиссии для пологих оболочек / В.Ф. Кириченко // Известия

Сарат. ун-та. Нов.сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2011. -Т.11, выпуск 4. - С. 17-26.

21. Кириченко, В.Ф. О существовании решений в связанной задаче термоупругости для трехслойных оболочек / В.Ф. Кириченко // Известия вузов. Математика. - 2012. - №9. - С. 66-71.

22.Красносельский, М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М.А. Красносельский. - Москва: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

23.Лаврентьев, М.А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики / М.А. Лаврентьев. - Москва: ОГИЗ, 1946. - 157 с.

24. Лазарев, Н.П. Краевые задачи теории трещин с неизвестными границами для пластин модели Тимошенко: автореферат дис. ... доктора физ - мат. наук: 01.01.02 / Лазарев Нюргун Петрович. - Новосибирск, 2017. - 31 с.

25.Моргачев, К.С. Динамика пластин (модель Тимошенко) постоянной и переменной толщины: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.17 / Моргачев Кирилл Сергеевич. - Самара, 2007. - 114 с. ил.

26.Морозов, Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости / Н.Ф. Морозов. -Л.: ЛГУ, 1978. -182 с.

27. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных /

B.П. Михайлов. - Москва: Наука, 1976. - 91 с.

28.Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили -Москва: Наука, 1968. - 511 с.

29.Паймушин, В.Н. Вариант нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко / В.Н. Паймушин // Прикладная механика. 1986. - Т.22, №8. -

C.50-57.

30.Паймушин, В.Н. Проблемы геометрической нелинейности и устойчивости в механике тонких оболочек и прямолинейных стержней / В.Н. Паймушин // ПММ. - 2007. -Т.71, Вып.5. - С.855-893.

31.Паймушин, В.Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Тимошенко при произвольных перемещениях и деформациях / В.Н. Паймушин // Прикладная механика и техническая физика. - 2014. - Т.55, №55(327). - С.135-149.

32.Рикардс, Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р.Б. Рикардс. - Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.: ил.

33.Терегулов, И.Г. Сходимость метода последовательных приближений в одной задаче нелинейной теории оболочек / И.Г. Терегулов // Известия вузов. Математика. - 1959. - №4. - С.168-177.

34.Тимергалиев, С.Н. Теоремы существования в нелинейной теории тонких упругих оболочек / С.Н. Тимергалиев. - Казань: Казанский ун-т, 2011. -258с.

35.Тимергалиев, С.Н. К вопросу о разрешимости краевых задач нелинейной теории пологих оболочек типа Тимошенко / С.Н. Тимергалиев // Ученые записки Казанского государственного университета. Серия: Физико-математические науки. - 2008. - Т. 150, №1. - С. 115-123.

36.Тимергалиев, С.Н. О разрешимости геометрически нелинейных краевых задач для анизотропных оболочек типа Тимошенко с жестко заделанными краями / С.Н. Тимергалиев // Известия вузов. Математика. - 2011. - №8. -С.56-68.

37.Тимергалиев, С.Н. Доказательство существования решения системы дифференциальных уравнений с частными производными нелинейной теории пологих оболочек типа Тимошенко / С.Н. Тимергалиев // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, № 3. - С. 450-454.

38. Тимергалиев, С.Н. О существовании решений геометрически нелинейных задач для пологих оболочек типа Тимошенко со свободными краями / С.Н. Тимергалиев // Известия вузов. Математика. - 2014. - №3. - С.40-56.

39.Тимергалиев, С.Н. К вопросу о существовании решений нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с частными производными теории пологих оболочек типа Тимошенко со свободными краями / С.Н. Тимергалиев // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т.51, №3. - С.373-386.

40.Тимергалиев, С.Н. Метод интегральных уравнений в нелинейных краевых задачах для пологих оболочек типа Тимошенко со свободными краями / С.Н. Тимергалиев // Известия вузов. Математика. - 2017. - №4. - С. 59-75.

41. Тимергалиев, С.Н. К проблеме разрешимости нелинейных задач равновесия пологих оболочек типа Тимошенко / С.Н. Тимергалиев // Прикладная математика и механика. - 2018. - Т. 82, №1. - С.98-113.

42. Тимергалиев, С.Н. О разрешимости нелинейных краевых задач для пологих оболочек типа Тимошенко с шарнирно опертыми краями / С.Н. Тимергалиев, А.Н. Углов, Л.С. Харасова // Известия вузов. Математика. - 2015. - №5. -С.49-61.

43. Тимергалиев, С.Н. К вопросу о разрешимости одной краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко / С.Н. Тимергалиев, Л.С.Харасова // Актуальные проблемы математического образования. Материалы научно-практической конференции, посвященной 25-летию факультета математики и информатики. - Наб. Челны: НИСПТР, 2015. - С.76-79

44. Тимергалиев, С.Н. Исследование разрешимости одной краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко / С.Н. Тимергалиев, Л.С. Харасова // Дифференциальные уравнения. - 2016. - Т.52, №5. - С.651-664.

45. Тимергалиев, С.Н. О разрешимости одной нелинейной краевой задачи для пологих оболочек типа Тимошенко с шарнирно опертыми краями / С.Н. Тимергалиев, Л.С. Харасова // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Одиннадцатой международной конференции (г. Казань,20-25 октября,2016 г.). - Казань: Казанский ун-т, 2016. - С.272-277.

46.Тимергалиев, С.Н. К проблеме разрешимости одной геометрически нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко / С.Н. Тимергалиев, Л.С. Харасова // Актуальные проблемы физико-математического образования.

Материалы II Междунар. науч.-практ. конф. - Наб. Челны: НГПУ, 2017. - С. 50-51.

47.Уфлянд, Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин / Я.С. Уфлянд // Прикладная математика и механика. -1948. -Т.12, выпуск 3. - С. 287-300.

48.Филиппов, Д.С. Математические модели пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах: автореферат дис. ... канд. физ -матем. наук: 05.13.18 / Филиппов Денис Сергеевич. - Санкт-Петербург, 2000. - 26 с.

49.Харасова, Л.С. О разрешимости одной краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко / Л.С. Харасова // Труды Математического центра имени Н.И.Лобачевского: материалы Международной научной конференции "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций - 2014". - Казань: Казанский ун-т, 2014. - Т.49. - С.326- 329.

50.Харасова, Л.С. О разрешимости одной геометрически нелинейной краевой задачи для пологих оболочек типа Тимошенко с шарнирно опертыми краями / Л.С. Харасова // Научно-технический вестник Поволжья. - Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2015. - №3 - С.63- 66.

51.Харасова, Л.С. О существовании решений одной краевой задачи для пологих оболочек типа Тимошенко с шарнирно опертыми краями / Л.С. Харасова // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: материалы международной научной конференции. 9-13 октября 2017г. - Самара: СГПУ, 2017. - С. 204 - 206.

52.Харасова, Л.С. К вопросу о разрешимости одной краевой задачи теории пологих оболочек типа Тимошенко / Л.С. Харасова // Сборник докладов всероссийской научно-практической конференции «VIII Камские чтения». В 3-х ч. Часть 1. - Набережные Челны: Издательско-полиграфический центр НЧИ КФУ, 2016. - С. 157- 160.

53.Харасова, Л.С. О разрешимости одной краевой задачи теории пологих оболочек типа Тимошенко с шарнирно опертыми краями / Л.С. Харасова // Сборник докладов всероссийской научно-практической конференции «IX Камские чтения». В 3-х ч. Часть 1. - Набережные Челны: Издательско-полиграфический центр НЧИ КФУ, 2017. - С.153- 156.

54.Харасова, Л.С. О разрешимости одной краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко с шарнирно опертыми краями / Л.С. Харасова // Социально-экономические и технические системы: исследование, проектирование, оптимизация. - Наб.Челны, 2016. - №1(68). - С.24-31.

55.Харасова, Л.С. К вопросу о разрешимости одной геометрически нелинейной краевой задачи для оболочек типа Тимошенко с шарнирно опертыми краями / Л.С. Харасова // Социально-экономические и технические системы: исследование, проектирование, оптимизация. -Наб.Челны, 2017. - №3(76).

56.Харасова, Л.С. Исследование разрешимости одной геометрически нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко / Л.С. Харасова // Социально-экономические и технические системы: исследование, проектирование, оптимизация. - Наб.Челны, 2018. - №2(78).

57.Харасова, Л.С. К проблеме разрешимости одной нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений теории оболочек типа Тимошенко / Л.С. Харасова // Материалы Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы». -Уфа: РИЦ БашГУ, 2018. - Т. I. - С.144- 147.

58.Харасова, Л.С. К вопросу о разрешимости одной геометрически нелинейной краевой задачи для произвольных пологих оболочек типа Тимошенко / Л.С. Харасова // Сборник трудов IV Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы науки и образования в современном вузе». - Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2019. - Т. I. - С. 239- 243.

59.Харасова, Л.С. Об одном методе исследования краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко / Л.С. Харасова // Сборник тезисов Международной конференции «Комплексный анализ и теория аппроксимаций». - Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. - С. 46- 47.

60.Харасова, Л.С. Метод интегральных представлений исследования нелинейной краевой задачи теории пологих оболочек типа Тимошенко / Л.С. Харасова // Сборник тезисов Международной конференции «Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации». - Уфа: Аэтерна, 2020 . - С. 69- 70.

61.Харасова, Л.С. Новый метод решения краевых задач теории пологих оболочек с шарнирно опертыми краями в рамках сдвиговой модели С.П. Тимошенко / Л.С. Харасова // Материалы IV Международной научно-практической конференции «Перспективы развития математического образования и информационных технологий», Вестник НГПУ. -Наб.Челны, 2022. - №2(37). - С. 31- 33.

62.Харасова, Л.С. Метод интегральных уравнений исследования нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко / Л.С. Харасова // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. XVI Международная Казанская школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». -Казань: КФУ, 2023. - Т. 66. - С. 273-275.

63.Харасова Л.С. Метод интегральных уравнений исследования краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих однородных оболочек типа С.П. Тимошенко в произвольной области / Л.С. Харасова // V Международная научно-практическая конференция «Перспективы развития математического образования и информационных технологий». - Вестник НГПУ. - г. Наб.Челны. №1 (49). Март. 2024. - С. 120-122.

64.Харасова Л.С. Исследование методом интегральных уравнений одной нелинейной краевой задачи теории пологих оболочек типа Тимошенко с шарнирно опертыми краями / Л.С. Харасова // Научно-технический вестник Поволжья. - № 9. - Казань: ООО «Рашин Сайнс», - 2024. - С.80 -82.

65. Черных, К.Ф. Общая нелинейная теория упругих оболочек / К.Ф. Черных, С.А. Кабриц, Е.И. Михайловский и др. - СПб.: С.-Петерб. ун-т, 2002. - 385 с.: ил.

66.Adamek, V. Analytical solution for a heterogeneous Timoshenko beams subjected to an arbitrary dynamic transverse load / V. Adamek, F. Vales // European Journal of Mechanics, A-Solids. - 2015. - Vol. 49. - P. 373-381.

67.Ahmadiev, M.G. Solvability of One Nonlinear Boundary-value Problem for a System of Differential Equations of the Theory of Shallow Timoshenko-type Shells / M.G. Ahmadiev, S.N. Timergaliev, L.S. Kharasovay // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. - 2016. - Vol.9, №2. -P.131-143.

68.Awrejcewicz, J. Chaotic vibrations in flexible multi-layered Bernoulli-Euler and Timoshenko type beams / J. Awrejcewicz, A.V. Krysko, M.V. Zhigalov, O.A. Saltykova, V.A. Krysko // Latin American Journal of Solids and Structures. -2008. - Vol.5, №4. - P. 319-363.

69.Do, K.D. Stabilization of exact nonlinear Timoshenko beams in space by boundary feedback / K.D. Do // Journal of Sound and Vibration. - 2018. - №422. - P. 278299.

70.Feng, B. Dynamic of laminated Timoshenko beams / B. Feng, T.F. Ma, R.N. Monteiro, C.A. Raposo // Journal of Dynamic and Differential Equations. - 2018. - Vol.30, №4. - P.1489-1507.

71.Hao, J. Global existence and stability results for a nonlinear Timoshenko system of thermoelasticity of type III with delay / J. Hao, J. Wei // Boundary Value Problems. - 2018. - № 65.

72.Hoang, T. Dynamical response of a Timoshenko beams on periodical nonlinear supports subjected to moving forces / T. Hoang, D. Duhamel, G. Foret // Engineering Structures. - 2018. - № 176. - P. 673 - 680.

131

73.Jafari-Talookolaei, R., Abedi, M.: Analytical solution for the free vibration analysis of delaminated timoshenko beams / R. Jafari-Talookolaei, M. Abedi // The Scientific World Journal. - 2014. - № 280256.

74.Kharasova, L.S. On the question of the existence of solutions of one nonlinear boundary-value problem for the system of differential equations of the theory of shallow shells of Timoshenko type / L.S. Kharasova // IOP Conf. Series: Journal of Physics. - 2019. - №1158. - P.1-6.

75.Kiendl, J. A displacement-free formulation for the Timoshenko beam problem and a corresponding isogeometric collocation approach. Meccanica / J. Kiendl, F. Auricchio, A. Real. - 2018. - Vol. 53, №6. - P. 1403-1413.

76.Kirichenko, V.F. On the non-classical mathematical models of coupled problems of thermo-elasticity for multi-layered shallow shells with initial imperfections / V.F. Kirichenko, J. Awrejcewicz, A.F. Kirichenko, A.V. Krysko, V.A. Krysko // Int. Journal Non-Linear Mech. - 2015. - №74. - P.51-72.

77.Krysko, V.A. On the mathematical models of the Timoshenko-type multi-layered flexible orthotropic shells / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, M.V. Zhigalov, I.V. Papkova, T.V., Yakovleva A.V., Krysko // Nonlinear Dynamics. - 2018. - Vol.92, № 4. - P. 2093-2118.

78.Lasarev, N.P. Optimal control of the rigid inclusion size in the problem of equilibrium of inhomogeneous Timoshenko type plates containing cracks / N.P. Lasarev // Journal of Mathem. Scien. (US). - 2018. -Vol. 228, №4. -P. 409-420.

79.Lee, S.Y. Exact vibration solutions for nonuniform Timoshenko beams with attachments / S.Y. Lee, S.M. Lin // Am. Inst. Aero. Astro. Journal - 1992. -Vol.30, №12. - P.2930-2934.

80.Ling, M. Dynamic stiffness matrix for free vibration analysis of flexure hinges based on non-uniform Timoshenko beam / M. Ling, S. Chen, Q. Li, G. Tian // Journal of Sound and Vibration. - 2018. - № 437. - P.40 -52.

81.Mindlin, R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elasnic plates / R.D. Mindlin // Journal Appl. Mech. - 1951, №1. - P.31 -38.

82.Shi, D. An accurate solution method for the vibration analysis of Timoshenko beams with general elastic supports / D. Shi, Q. Wang, X. Shi, F. Pang // Journal of Mech. Engineering Science. - 2015. -Vol. 229, №13. - P.2327-2340.

83.Timergaliev, S.N. On the existence of solutions of one nonlinear boundary-value problem for shallow shells of Timoshenko type with simply supported edges / S.N. Timergaliev, L.S. Kharasova // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. - 2016. - №158. - P.1-7.

84.Yuan, J. Exact solutions for free vibrations of axially inhomogeneous Timoshenko beams with variable cross section / J. Yuan, Y.-H. Pao, W. Chen // Acta Mechanica. - 2016. -Vol. 227, №9. - P.2625-2643.

85.Zhao, H.-S. Explicit frequency equations of free vibration of a nonlocal Timoshenko beam with surface effects / H.-S. Zhao, Y. Zhang, S.-T. Lie // Acta Mechanica Sinica. - 2018. - Vol.34, №4. - P.676-688.