Нелинейные задачи теплопроводности и термоупругости полых цилиндров с переменным по длине нагревом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Кириллова, Татьяна Валерьяновна

• Кириллова, Татьяна Валерьяновна
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кириллова, Татьяна Валерьяновна

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

I. ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА С ПЕРЕМЕННЫМ ПО ДЛИНЕ НАГРЕВОМ

1.1. Вариационная схема решения нелинейных задач теплопроводности, линеаризуемых преобразованием Кирхгофа

1.2. Поля температур в цилиндрах при заданных температурах границ

1.3. Вариационная схема решения нелинейных задач теплопроводности, нелинеаризуемых преобразованием Кирхгофа. Метод последовательных приближений

1.4. Поля температур в цилиндрах при наличии теплообмена со средой

1.5. Метод возмущения в физически нелинейной задаче термоупругости

для коротких цилиндров

II. МЕТОД СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧАХ ТЕРМОУПРУГОСТИ ЦИЛИНДРОВ СО СВОБОДНЫМИ ТОРЦАМИ

2.1. Задача термоупругости для цилиндров средней длины из нелинейно деформируемого материала

2.2. Температурные напряжения в цилиндре средней длины

со свободными торцами

2.3. Нелинейная задача теплопроводности составного цилиндра

с идеальным тепловым контактом слоев

2.4. Температурные напряжения в двухслойном цилиндре

с идеальным механическим контактом слоев

III. МЕТОД СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ ЦИЛИНДРОВ С ОГРАНИЧЕНИЕМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ТОРЦЕВ

3.1. Постановка задачи термоупругости для цилиндров с переменным

по длине нагревом с ограничением перемещений торцев

3.2. Поле напряжений в однослойном цилиндре с ограничением перемещений торцев

3.3. Напряженно-деформированное состояние двухслойного цилиндра

с ограничением перемещений торцев

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Основные обозначения

г, в - полярные координаты

г, в, г - цилиндрические координаты

Х(Г) - коэффициент теплопроводности

Е(Г) ~ модуль Юнга

а(Т) - коэффициент теплообмена

а(Г) - коэффициент линейного теплового расширения

¡и - коэффициент Пуассона

ее> Уп ~ компоненты тензора деформаций

е0 - средняя деформация

е, - интенсивность деформаций

аг, ав, сг2, тп - компоненты тензора напряжений

суо - среднее напряжение

су. - интенсивность напряжений

Фг> Фв> Ф* Фп - начальные деформации

и,уч - составляющие перемещений

е0 - параметр возмущения

Т - температура

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные задачи теплопроводности и термоупругости полых цилиндров с переменным по длине нагревом»

Введение

Развитие энергомашиностроения, авиационной, ракетной техники и других отраслей промышленности требует решения вопросов прочности элементов конструкций, находящихся под силовым и температурным воздействием. Многие элементы таких конструкций имеют ввд двухсвязных областей в форме цилиндров, как однородных, так и составленных из различных материалов. Ужесточение требований к надежности работы этих элементов приводит к необходимости совершенствовать их расчетные модели, учитывать факторы, считавшиеся ранее второстепенными, такие, как влияние температуры на термомеханические и теп-лофизические характеристики материалов, нелинейность упругих свойств и т.д. Более достоверные сведения о напряженно-деформированном состоянии конструкции позволяют также выявить резервы их работоспособности и найти пути снижения их материалоемкости. Поэтому разработка новых эффективных методов, позволяющих исследовать напряженно-деформированное состояние (НДС) элементов конструкций, находящихся под воздействием температурных полей, является актуальной задачей, как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Важность данной проблемы подтверждается обзором по термомеханике, приведенном в работах [43-47]. Первым этапом в решении задачи термоупругости является определение температурных полей. В этой области исследован большой класс задач в линейной и нелинейной постановках для пластин и цилиндров, для односвязных и двухсвязных областей. М. Био [7], Б. Боли и Дж. Уэйнер [8], Г. Карслоу и Д. Егер [35], A.B. Лыков [54], П. Шнейдер [90] в своих работах получили решение линейной задачи теплопроводности, A.A. Коздоба [40,41], B.C. Зарубин [26] и авторы ряда статей [48,75] рассмотрели задачи теплопроводности и методы их решения в нелинейной постановке. В основном это численные методы, основанные на конечно-разностной или вариационно-разностной схеме.

При этом исходная нелинейная задача предварительно линеаризуется с помощью интегральных подстановок, метода возмущения и др.

Вторым этапом в решении задачи термоупругости является непосредственное определение напряжений. Исследование данного вопроса при упругом поведении материалов в условиях стационарного и нестационарного воздействий было опубликовано в работах Б.Г. Галеркина [12], Д.В. Грилицкого [17], В.М. Майзеля [55], Н.Н. Лебедева [51], Я.С. Подетригача и Ю.М. Коляно [65] и др. Задачи термоупругости, учитывающие анизотропию материала для одно-связных и двухсвязных областей представлены в работах А.С. Космодамианского и С.А. Колоерова [48], А.И. Уздалева [73] и др. В данных работах получены решения при постоянных термоупругих характеристиках материала и однородных граничных условиях. Задачи со смешанными тепловыми граничными условиями, в решении которых используется метод интегральных преобразований, опубликованы в работах Л.С. Подетригача и Ю.М. Коляно [65], А.Д. Ханжова [77] и др. По данному вопросу в настоящее время имеется ограниченное число публикаций.

Задачам термоупругости с учетом зависимости физико-механических характеристик материала от температуры посвящены работы [33, 34, 42, 85, 86]. В решении задачи термоупругости часто пренебрегают влиянием температуры на термомеханические свойства материала. Учет этого влияния в задаче теплопроводности приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям, а в теории упругости к уравнениям с переменными коэффициентами, что в свою очередь не позволяет получить точных аналитических решений задач термомеханики. И здесь встает вопрос о применении численных или численно-аналитических методов. Последние в сочетании с методами интегральных преобразований использованы в работе [9]. Численные методы, такие как метод динамического программирования [2], МКЭ [13, 59, 61, 70] ,вариационно-разностные методы [20] нашли широкое применение в решении задач теплопроводности. В работах П. Бенерджи и Р. Ба-терфилда [5, 71] развит метод граничных элементов (МГЭ). К достоинству вышеназванных методов можно отнести высокую их надежность и возможность полу-

чать решения задач с высокой степенью точности. Важное преимущество МКЭ заключается в универсальности, т.е. при одной и той же дискретно-элементной модели можно решать как задачи теплопроводности, так и термоупругости. К недостатку данного метода следует отнести необходимость решения большого числа алгебраических уравнений и высокой загруженности памяти машины.

В последнее время встает вопрос о необходимости в некоторых случаях решать задачу термоупругости в нелинейной постановке. Данный вопрос в общем случае был рассмотрен в работах А. Грина и Д. Адкинса [18], И.И. Гольденблата [15], A.C. Космодамианского и С.М. Клойзнера [49], В.В. Новожилова [63], А.М. Лурье [53], и др. В приведенных выше работах для решения нелинейной задачи используются метод возмущения или метод малого параметра. Здесь отметим работы [3, 85]. Г. Каудерер [36] предложил раскрыть физическую нелинейность упругого материала при помощи метода малого параметра. Эти представления в дальнейшем получили развитие в работе И.А. Цурпала [78].

Другой подход, описывающий физически нелинейную задачу, основан на теореме Л.Н. Качанова о равнозначности поведения нелинейно упругого тела и тела при упруго-пластическом деформировании в период активного нагружения при такой же зависимости между напряжениями и деформациями [37]. Это позволило в нелинейной теории упругости использовать математический аппарат теории малых упруго-пластических деформаций, предложенный A.A. Ильюшиным [31, 32]. В его работах развита деформационная теория пластичности и на ее основе предложен метод упругих решений [68] для нелинейных задач. В работах И.А. Биргера метод A.A. Ильюшина преобразован в метод переменных параметров упругости [56].

Следует отметить, что цилиндр как расчетная схема при нелинейном его деформировании во всех упомянутых публикациях рассматривался в состоянии осе-симметричного нагружения и постоянного по длине нагрева. Поле температур, переменное по длине рассматривалось практически лишь в линейной постановке задачи термоупругости [51,58,69].

В нелинейной постановке задача термоупругости неравномерно нагретого по длине цилиндра рассматривалась в работе [1], где для решения были использованы метод упругих решений Ильюшина и метод переменных параметров упругости Биргера. Двухслойные же цилиндры с переменным по длине нагревом и с ограничением на перемещения торцев не рассматривались и в литературе не отражены. Упомянутые методы А. А. Ильюшина и И.А. Биргера являются полностью численными, т.е. требуют больших затрат машинной памяти, связанных с преобразованием матриц и расчетом упругих параметров. Этого неудобства не имеют численно-аналитические методы, призванные в начале линеаризовать исходную задачу, довести ее до расчетных формул, и затем выполнять мало затратные временные расчеты на ЭВМ. Одним из таких методов является метод возмущения [85], развитие которого представляется в настоящей работе. Учитьюая высокую теплонапряженность современных энергетических установок и повышенную требовательность к оценке их НДС, все рассмотренные ниже задачи выполнены в уточненной нелинейной постановке.

В настоящей работе исследуется термонапряженное состояние осесиммет-ричных полых цилиндров, находящихся в переменном по длине стационарном поле температур. При решении задач теплопроводности и термоупругости учитывается теплофизическая и механическая зависимость свойств материала и среды от температуры и физическая нелинейность материала.

Целью настоящей работы является дальнейшее развитие известных методов решения нелинейных задач теплопроводности и термоупругости для двухсвязных областей с использованием вариационных принципов и разработки на их основе инженерных методов решения новых задач с использованием конечно-элементной и суперэлементной интерпретации.

На защиту выносится:

1. Дальнейшее развитие метода возмущения физически нелинейных задач термоупругости для цилиндров с переменным по длине нагревом.

2. Разработка схемы метода суперэлементов дога указанных задач и получение новых решений для однослойных и двухслойных цилиндров с идеальным контактом слоев.

3. Разработка метода решения нелинейной задачи термоупругости для однослойных и двухслойных цилиндров с ограничением перемещений горцев.

4. Разработка и развитие вариационно-разностной схемы на основе МКЭ решения нелинейных задач теплопроводности со смешанными граничными условиями нагрева и решение на ее основе ряда новых задач.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и двух приложений.

В главе первой даны постановки нелинейных задач теплопроводности и термоупругости для цилиндров с переменным по длине нагревом. Теплофизические свойства материала цилиндров и среды зависят от температуры. В разделе 1.1 изложена методика решения задач теплопроводности, линеаризуемых преобразованием Кирхгофа. В разделе 1.2 приведены примеры расчета. Рассматривались цилиндры с двумя видами теплового режима:

1) на торцевых; внутренней и внешней поверхностях температура меняется по линейному закону;

2) на торцевых и внутренней поверхностях температура меняется по линейному закону, на внешней поверхности - смешанные граничные условия -имеется участок теплоизоляции.

В разделе 1.3 рассмотрена общая теория решения нелинейных задач теплопроводности, нелинеаризуемых преобразованием Кирхгофа. Для решения таких задач предлагается метод последовательных приближений.

В разделе 1.4 приведены решения для цилиндров со смешанными граничными условиями и с конвективным теплообменом со средой по закону Ньютона

на внешней поверхности. На торцевых и внутренней поверхностях поддерживает ся заданная температура.

В разделе 1.5 главы дана общая постановка физически нелинейной задач] термоупругости для коротких цилиндров. Сформулированы граничные условии закрепления торцев. Разработан алгоритм решения на основе МКЭ.

Во второй главе разработана схема метода суперэлементов для решения за дачи термоупругости свободных цилиндров средней длины. Использование МКс для данных конструкций приводит или к неточному решению (при малом разбие нии) или к перегрузке машинной памяти. В связи с этим используется разбиение цилиндра на более крупные элементы («суперэлементы»), для каждого из кото рых в отдельности решается осесимметричная задача термоупругости. В раздел«

2.1 изложена общая постановка задачи термоупругости для цилиндра с перемен ным по длине нагревом. В разделе 2.2 приведено решение частных задач термо упругости для однослойного цилиндра. На внешней поверхности цилиндра реал» зуются смешанные граничные условия: теплоизоляция и конвективный теплооб мен с внешней средой по закону Ньютона Свойства материала и среды принима ются зависящими от температуры. В разделе 2.3 рассматривается общая поста новка и решение задачи теплопроводности для двухслойного цилиндра с пере менным по длине нагревом. В разделе 2.4 дана общая постановка и представлен* решение задачи термоупругости для двухслойного цилиндра с идеальным контак том слоев.

В третьей главе выполнена разработка методов решения нелинейных зада' термоупругости для однослойных и двухслойных цилиндров с ограничением ш осевое перемещение торцев и представлена методика по определению опорно! реакции связи и усилия взаимодействия слоев. В разделе 3.1 изложена общая по становка задач термоупругости для однослойного цилиндра с ограничением пе ремещений торцев. В разделе 3.2 приведен пример расчета для однослойного ци линдра с переменным по длине нагревом. В разделе 3.3 представлена общая пс

становка и решение задачи термоупругости для двухслойного цилиндра с ограничением на осевое перемещение торцев.

В заключении приведены общие выводы о диссертации.

Результаты численных расчетов представлены в виде таблиц и графиков. Расчеты выполнены на IBM PC по программам, составленным на алгоритмических языках Фортран, Бейсик и Паскаль.

Результаты работы докладывались:

- на научных семинарах кафедр «Сопротивление материалов» и «Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика» (СГТУ, 19961998гг.);

- на Седьмой научной Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1997г.);

- на VII-ой Международной научной конференции им. акад. М. Кравчука (Киев, 1998г.).

Основное содержание работы опубликовано в статьях [10, 87, 88, 89].

I. Вариационная постановка задач теплопроводности и термоупругости для цилиндра с переменным по длине нагревом

В первой главе рассматриваются вариационные схемы решения нелинейных задач теплопроводности, линеаризумых и нелинеаризуемых преобразованием Кирхгофа. Приведены примеры расчета полей температур при заданной температуре на границе, также приводятся поля температур при конвентивном теплообмене со средой по закону Ньютона. Изложена общая постановка решения осе-симметричной физически-нелинейной задачи термоупрутости для коротких цилиндров.

Рассмотрим полый цилиндр радиусов Д (1=1,2), длины Ь (рис. 1.1). На поверхностях цилиндра реализуются граничные условия 1-го рода. Материал цилиндра термочувствителен.

Поле температур в цилиндре стационарно, удовлетворяет уравнению теплопроводности [54]

где Щ) = /¡„(1+рГ\ \ -коэффициент теплопроводности, р температурный коэффициент, и следующим граничным условиям Т-Т^г) при г = 0 = 1,2), 0<г<Ь,

1.1. Вариационная схема решения нелинейных задач теплопроводности, линеаризуемых преобразованием Кирхгофа

(1.1)

Г=Г3(г) при 2 = 0, Т = Т4(г) при г=Ь, Д^г^^

В цилиндрических координатах уравнение (1.1) запишется в виде

(1.2)

(1.3)

Рис. 1.1. Геометрия и тепловой режим цилиндра.

Введем переменную Кирхгофа у выражением

у = 1~]л(Т)ОГ [40].

о

При этом (1.3) и (1.2) преобразуются к виду

д2у 1 ду д2у

—-+--+ —-

дг2 г дг дг2

= 0

(1.4)

1/ = Г1(г) + уйГ12(2)/2 при г = у = Т2(г)+рГ22(г)/2 при г =

у=Т3(г) + /ЯГ32 (г)/2 при 2 = 0, V = ТА(г)+/$Г2(г)!2 при г=Ь, Я^гйЯ,

(1.5)

Краевая задача (1.4), (1.5) эквивалентна поиску минимума функционала [83]

Реализация минимума функционала (1.6) основана на применении МКЭ по вариационно-разностной схеме.

В силу геометрической и тепловой симметрии, для построения вариационно-разностной схемы достаточно рассмотреть половину сечения цилиндра плоскостью, проходящей через продольную ось (рис. 12). Всю полученную область разобьем на треугольные элементы с постоянным шагом вдоль каждой оси. Элементы имеют вид прямоугольных треугольников с катетами, ориентированными вдоль осей г, г. Функционал (1.6) при этом приближенно заменяем суммой поэлементных функционалов

В пределах каждого треугольника аппроксимируем функцию температур линейным сплайном [70]

(1-6)

г = 1,2,...,# ,Ы- число элементов.

V* = ан + акгг + а иг, к = 1,2,...,6

(1.7)

где а н - выражаются через значения температур в узлах.

чр! т 1 1

л

1- 1<Н

N 14}

1 1-Я

Цч

4

V < 1 1

га)

Рис. 1.2. Схема разбиения на элемент

Получим: Для элемента 1:

УЦ ~а\\ +а122г +а1з0 1 =«11 + «12*/ +«130+1 =«П + «12^-И +«130

Здесь аи = ^ - ~~

п„

«12--_

К

Функционал (1.6) для первого элемента имеет вид

ьЩ

^ = 2л-11

к

Мгск,

ьяг

(1.8)

Поскольку | ^ЫгсЬ представляет собой статический момент площади 1-го од,

элемента относительно оси г,

примет вид

АЛ Г АЛ

т.е. J )гагаг=-~-\^+—\ выражение для ^ ояг ^ V 3 у

«/| = 2/г

А

АЛ

Аг2 ] 2

/*, +

А.

(1.9)

Для элемента 2 аналогично получаем ./2 = 2л"

(УУ.л-1 - >д

(1.10)

Для остальных элементов функционалы 3 1 получаем перестановкой индек-

сов.

Для 3-го элемента имеем

Л = 2 п

Для 4-го элемента имеем

/4=2/Г

Для 5-го элемента Л =2 ж

*

(у,

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кириллова, Татьяна Валерьяновна

Заключение

Результаты выполненных исследований сводятся к следующему:

Глава первая.

1. Развита вариационно-разностная схема на основе МКЭ решения нелинейных задач теплопроводности, линеаризуемых преобразованием Кирхгофа. Получено решение задач теплопроводности для цилиндров с однородными и смешанными граничными условиями - наличием теплоизоляции части контура.

2. Развит метод последовательных приближений для нелинейных задач теплопроводности, нелинеаризуемых преобразованием Кирхгофа. Получено решение задачи теплопроводности с граничными условиями 1-го рода и теплообменом по закону Ньютона на части границы. Разработана схема итерации по определению контурных температур.

3. Разработан вариант метода возмущения для решения физически нелинейной задачи термоупругости для цилиндра с переменным нагревом.

4. Разработана общая схема МКЭ решения краевой задачи для коротких цилиндров и плит с закреплениями общего вида.

Глава вторая.

1. Разработана схема метода суперэлементов для решения физически нелинейной задачи термоупругости свободного цилиндра средней длины с переменным по длине нагревом. Исходная задача сводится к полярно-симметричной с последующим независимым определением касательных напряжений.

2. Получено решение нелинейных задач термоупругости для однослойных свободных цилиндров средней длины с учетом термочувствительности материала.

3. Получено решение нелинейной задачи теплопроводности для двухслойного цилиндра с идеальным тепловым контактом слоев.

4. Получено решение нелинейной задачи термоупругости для двухслойного свободного цилиндра средней длины с идеальным механическим контактом слоев, выполненного из термочувствительных материалов.

Глава третья.

1. На основе суперэлементного подхода разработаны методы решения физически нелинейных задач термоупругости для цилиндров с ограничениями на осевое перемещение торцев с переменным по длине нагревом.

2. Представлена инженерная методика по определению осевой силы (шорной реакции связи) для однослойных и двухслойных цилиндров с ограничением перемещений торцев.

3. Получены решения частных нелинейных задач термоупругости для однослойного и двухслойного цилиндров с ограничением перемещений торцев.

Достоверность полученных результатов основывается на строгости применяемого математического аппарата, отладки и тестирования программ и непротиворечивости полученных результатов известным решением, найденным другими методами.

Разработанная методика определения полей температур и напряжений и полученные решения могут быть использованы в практике расчетов на прочность и жесткость машин и конструкций, находящихся в экстремальных температурных условиях, а также в учебных курсах по термоупругости конструкций соответствующих специальностей вузов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кириллова, Татьяна Валерьяновна, 1999 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андреев, Смолов, Каюпов. Осесимметричная термопластическая деформация конечного цилиндра с учетом двумерной неоднородности материала. Строительная механика и расчет сооружений 1990, №5, с.15-18.

2. Беллман Р. Динамическое программирование.-М.: ИЛ., 1963.-291с.

3. Белова Л.В., Салихов А.Ю. К расчету толстостенного цилиндра методом последовательных возмущений параметров диаграммы деформирования. //Сарат. политех ин-т.-Саратов, 1988.-11с.-Деп. в ВИНИТИ, №1284-В88.

4. Беляев Л.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности.-М.: Высшая школа, 1982.-304с.

5. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках.- М.: Мир, 1984.-496с.

6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений.-М.: Наука, 1966,-700с.

7. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена.-М.: Энергия, 1975-208с.

8. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений.-М.: Мир, 1964 -517с.

9. Брюханова Е.М., Уздалев А.И. Температурное и упругое состояние пластин сложного очертания под тепловым воздействием.-Саратов: Сарат. политех, инт, 1992-174с.

Ю.Буряков А.И., Кириллова Т.В. Краевая задача теплопроводности для двухслойного цилиндра //Тр. УП-й Международной науч. конф. им. академика М.Кравчука Киев: КПИ, 1998 г.

П.Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности-М.:Мир, 1987.-542с.

12.Галеркин Б.Г. Термическое напряжение в упругих пластинках. //Инженерные сооружения и строительная механика.-Л.:Путь, 1924.-214с.

13.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы.-М.:Мир, 1984.-427с.

14.Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций.-М.: Мир, 1973 -280с.

15.Гольденблат И.И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред.-М.: Гостехиздат, 1955.-272с.

16.Григолюк Э.И., Попович В.Е. Некоторые энергетические соотношения в задачах термоупругости сплошных сред //Проблемы прочности.-1976-№8-с.74-77,

17.Грилицкий Д.В., Кизима Я.М. Осесимметричные контактные задачи теории упругости и термоупругости.-Львов. Вища школа, 1981.-136с.

18.Грин А., Ддкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды - М.:Мир, 1965.-455с.

19.Даниловская В.И. Расчет стационарных температурных полей температурных напряжений в двухсвязных областях //Тепловые напряжения в элементах турбомашин. Киев, АН УССР, 1961.- Вып. 1.-С.61-69.

20.Дубровских Э.В. Исследование вариационным методом напряженно-деформированного состояния дисков турбомашин: Автореф. канд.техн.наук-Пермь, 1971.-14с.

21.Ельчанинов П.Н., Климов М.И. К расчету цилиндров из нелинейно-разномодульного материала методом переменных параметров упругости. //Прочность, устойчивость, колебания строительных конструкций.-Л., 1987-С.65-69.

22.Жукаускас A.A. Теплоотдача цилиндра в поперечном потоке жидкости. /Теплоэнергетика, 1955.-№4.

23.Жукова В.Н. Температурное поле и напряжения в стенке составного цилиндра //Исслед. по механике деформируемых сред.-Иркутск, 1976-Вып. 1.-С. 105112.

24.Жумабаев М.Ж., Каримбаев Т.Д., Такабаев М.К. Температурные напряжения в нелинейно-деформируемом трехслойном цилиндре. /Ред. ж. Изв. АН Каз. ССР. Сер. физ.-мат.-Алма-Ата, 1983.-1 lc.-Деп. в ВИНИТИ, №1911-В88.

25.Жумабаев М.Ж., Каримбаев Т.Д., Такабаев М.К. Температурные напряжения в нелинейно-деформируемом трехслойном цилиндре. //Аналитичесие и численные методы решения задач математики и механики-Алма-Ата, 1985-Вып.4.-€.48-56.

26.3арубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности.-М.: Энергоиздат, 1983.-328с.

27.Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике.-М.: Мир.1975.-541с.

28.3олочевский A.A. Обоснование определяющих уравнений нелинейного деформирования материалов разносопротивляющихся растяжению и сжатию. //Журн. прикл. мех. и техн. физ.-1986.~№6.-С.139-143.

29.Игнатьков Д.А. Опредедление остаточных напряжений в дисках переменной толщины и цилиндрических деталях из физичесик нелинейною материала. //Восстановление деталей машин электрохимическим способом- Кишинев, 1984.-С. 130-140.

30.Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики.-М.: Наука, 1985 -336с.

31.Ильюшин A.A. Пластичностъ.-М.: АН СССР, 1963.-271с.

32.Ильюшин A.A., Огибалов П.М. Упруго-пластические деформации полых цилиндров.-М.: Из-во Моск. ун-та, 1960.-227с.

33.Кадырбаев Ш.Т. и др. К решению плоских задач термоупругости, с учетом зависимости механических свойств материала от температуры //Тр. Ташкент, политехи, ин-та, 1971. Вып.82,4.1.-€.42^7.

34.Калыняк Н.И., Гонтарь В.Д. Тепловые напряжения в кольце с учетом переменных теплофизических характеристик. //Вест. Львов, политехи, ин-та, 1980. №144.-С.39-41.

35.Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.-М.: Наука, 1964.^487с.

36.Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961.-778с.

37.Качанов Л.М. Основы теории пластичности.-М.: ГИТТЛ, 1956.-324с.

38.Кацуба B.C. Учет нелинейных свойств материалов в плоских термоупругих задачах для односвязных областей //Строит.мех.сооруж.-Л.:1983.-С.99-102.

39.Коваленко А.Д. Основы термоупругости.- Киев: Наукова Думка, 1970.-307с.

40.Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности-М.:Наука, 1975.-228с.

41.Коздоба Л.А. Решения нелинейных задач теплопроводности - Киев: Наукова Думка, 1976.-136с.

42.Коляно Ю.М. Нестационароное температурное поле и температурное напряжение в тонких пластинках с теплоотдачей, термоупругие характеристики которых зависят от температуры. //Тепловые напряжения в элементах конструкций: Научн. техн. сб.-Львов, 1965,-Вып.5.-С. 111-126.

43.Коляно Ю.М., Семерак М.М., Яворская O.A. Термомеханика: Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1965-1976гг. в двух частях. Часть первая.-Львов: АН УССР, 1980-359с.

44.Коляно Ю.М., Семерак М.М., Яворская O.A. Термомеханика: Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1965-1976гг. в двух частях. Часть вторая.-Львов: АН УССР, 1980.-836с.

45.Коляно Ю.М., Семерак М.М., Яворская O.A. Термомеханика: Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1977-1981гг. в трех книгах. Книга первая.-Львов: АН УССР, 1986.-354с.

46.Коляно Ю.М., Семерак М.М., Яворская O.A. Термомеханика: Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1977-1981гг. в трех книгах. Книга вторая.-Львов: АН УССР, 1986.-364с.

47.Коляно Ю.М., Семерак М.М., Яворская О.А Термомеханика: Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1977-1981гг. в трех книгах. Книга третья.-Львов: АН УССР, 1986.-296с.

48.Космодамианский A.C., Калоеров С.А. Температурные напряжения в многосвязных пластинках-Киев-Донецк: Вища школа, 1983-160с.

49.Космодамианский A.C., Клойзнер С.М. Некоторые задачи нелинейной теории упругости.-Донецк: Донецкий гос. ун-т, 1971.-218с.

50.Космодамианский АС., Медведева Н.Ю. Нелинейные эффекты в задачах о температурных напряжениях дли многосвязных сред //14 научн. совещание по тепловым напряжениям в элементах конструкций: Тез.докл.-Киев: Наукова Думка, 1977.-С.

51.Лебедев Н.П. Температурные напряжения в теории упругости.-М.;Л.: ОНТИ, 1937.-1 Юс.

52.Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости-М.;Л.: Гостехиздат, 1943 -287с.

53.Лурье А.И. Нелинейная теория упругости.-М.:Наука, 1980.-512с.

54 .Лыков A.B. Теория теплопроводности-М.: Высшая школа, 1967.-600с.

55.Майзель В.М. Температурная задача теории упругости.-Киев: Изд-во АН УССР, 1951.-152с.

56.Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести.-М.: Машиностроение, 1975.-400с.

57.Мамедсадыгов Г.Г., Нагиев Д.Е. Исследование поля напряжений в физически-нелинейном кольце от температурных воздействий //Материалы 8-й Респ. конф. молодых ученых по мат. и мех. Баку, 26-29 окт., 1987-Баку, 1983-С.164-165.

58.Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями.-М.: Физматгиз., 1958.-167с.

59.Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений /A.C. Городецкий, В.И. Зворицкий, А.И. Лантух-Лященко, А.О. Рассказов .-М.:Транспорт, 1981.-143с.

60.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.-М..Наука, 1970-512с.

61.Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения.-М.: Наука, 1980-256с.

62.Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи метематической теории упругости -Н.: Наука, 1966 -707с.

63 .Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости.-М.; JL: ГИТТЛ, 1948-

64.Норри Д., Де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов-М.: Мир, 1981.-230с.

65.Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках - Киев: Наукова думка, 1972.-309с.

66.Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика.-Киев: Наукова думка, 1976.-3 Юс.

67.Прочность материалов и элементов конструкций в экстремальных условиях /Г.С. Писаренко, А.Л. Квитка, H.A. Козлов и др.-Киев: Наукова думка, 1980-Т.1.-772с.

68.Расчеты на прочность в машиностроении /С.Д. Пономарев, В.Л. Бидерман, К.К. Лихарев, H.H. Малинин, В.И. Федосьев.-М.: Машгиз, 1958.-Т.2.-975с.

69.Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур /Н.И. Безухов, В.Л. Бажанов, И.И. Гольденблот и др.-М. Машиностроение, 1965 -568с.

70.Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов.-М.: Мир, 1979.-392с.

71.Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач.-М.: Стройиздат, 1987.-161с.

72.Термопрочность деталей машин /И.А. Биргер, Б.Ф. Шорр, И.В. Дульнев и др-М.: Машиностроение, 1975.-456с.

73.Уздалев А.И. Некоторые задачи термоупругости анизотропного тела.-Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1967.-168с.

74.Уздалев А.И. Температурные напряжения в пластинках, ограниченных двухсвязным контуром .-Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975,-175с.

75.Уздалев А.И., Брюханова E.H. Задача теплопроводности для двухсвязной пластинки с теплофизическими характеристиками, зависящими от

температуры //Механика неоднородных структур: Матер. 1-й Всесоюз. конф. Львов, сентябрь, 1983 г.-Киев, 1986.-С.260-265.

76.Уздалев А.И., Серебряков Л.М. Напряженное состояние двухсвязной пластинки при наличии теплообмена со средой //Механика деформируемых сред.-Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974.-Вып.2.-С. 154-161.

77.Ханжов А.Д. Плоская задача термоупругости для полубесконечной ортотропной пластинки со смешанными температурными условиями //Изв. АН СССР. МТТ.-1969.-№2.-С. 155-159.

78.Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов-Киев: Техника, 1976.-176с.

79.Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления.-М.: Наука, 1973.-240с.

80.Черноусько Ф.Л. Метод локальных вариаций для численного решения вариационных задач //Журн. вычисл. математики и мат. физики.-1965.-Т.5, №4.-С.27-34.

81.Чиркин B.C. Теплофизические свойства материалов.-М.: Физматгиз, 1959-356с.

82.П1евченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях-Киев: Наукова думка, 1970.-288с.

83.Шехтер Д. Вариацилонный метод в инженерных расчетах.-М.: Мир, 1971-292с.

84.Шляхов С.М. Нелинейная задача теплопроводности для круговой пластинки со смешанными условиями нагрева на границе //Прикл. теор. упруг. /Сарат. политехи. ин-т.-Саратов, 1983.-С.62-65.

85.Шляхов С.М. Нелинейные задачи теплопроводности и теории упругости двухсвязных пластин и цилиндров.-Саратов: Изд-во Сарат. политехи, ин-та, 1992.-176с.

86.Шляхов С.М., Боровских У.В. Нелинейная задача термоупругости для кольцевой пластины с переменным коэффициентом теплообмена

//Современные проблемы теплофизики, механ. и термомеханики в электронном машиностроении /Матер, регионального совещ.-Саратов, 1991-С.58-62.

87.Шляхов С.М., Кириллова Т.В. Задача термоупругости нелинейно-деформируемого цилиндра, неравномерно нагретого по длине //Математическое моделирование и краевые задачи. Тр.У1-ой Межвуз. конф. Самара: Сам. ГТУ, 1996.Ч.1.С.119-121.

88.Шляхов С.М., Кириллова Т.В. Схема метода конечных элементов в нелинейной задаче термоупругости цилиндра, неравномерно нагретого по длине //Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. УИ-ой межвузовской конф. Самара: Сам ГТУ, 1997.4.1 .С. 148-150.

89.Шляхов С.М., Кириллова Т.В. Нелинейно-деформируемый цилиндр с закрепленными торцами //Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. УШ-ой межвузовской конф. Самара: СамГТУ, 1998. 4.1. С.157-159.

90.Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности.-М.:ИЛ., 1960.-479с.