Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений параболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Данилкина, Ольга Юрьевна

• Данилкина, Ольга Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Данилкина, Ольга Юрьевна

Введение

Глава 1. Нелокальные задачи для одномерного уравнения параболического типа

§1. Нелокальная задача с интегральным условием первого рода для одномерного параболического уравнения.

§2. Нелокальная задача с интегральным условием второго рода для одномерного параболического уравнения.

Глава 2. Нелокальная задача с интегральным условием для многомерного уравнения параболического типа

§1. Обратная задача с интегральным условием переопределения для параболического уравнения

§2. Нелокальная задача с интегральным условием первого рода для многомерного уравнения параболического типа.

Глава 3. Нелокальная задача с интегральным условием второго рода для общего параболического уравнения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений параболического типа»

Задачи с нелокальными условиями представляют собой одно из динамично развивающихся направлений современной теории дифференциальных уравнений. Нелокальными краевыми задачами принято называть задачи, в которых задаются условия, связывающие значения искомого решения или его производных в различных точках границы или в точках границы и каких-либо внутренних точках [60].

Особое место среди нелокальных задач занимает класс задач с нелокальными интегральными условиями, которые являются обобщением локальных и дискретных нелокальных условий. Нелокальные интегральные условия возникают при исследовании различных физических явлений в случае, когда граница области протекания процесса недоступна для непосредственного измерения. В качестве примера можно привести задачи, связанные с исследованием диффузии частиц в турбулентной плазме [75], процессов распространения тепла [45], [23], процесса влагопереноса в капиллярно - пористых средах [59], [4]; при математическом моделировании технологического процесса внешнего геттерирования, применяемого для очи-щеиия кремниевых плат от примесей [57], [58].

Нелокальные задачи также имеют практическое значение при решении задач механики твердого тела. Они позволяют управлять напряженно - деформированным состоянием и этим схожи с задачами управления [1], [74].

К числу первых исследований нелокальных задач можно отнести статью А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [2]. В этой работе были поставлены и исследованы пространственно - нелокальные задачи для определенного класса эллиптических уравнений, которые привели к изучению несамосопряженных спектральных задач. Впоследствии задача, сформулированная в [2], была названа задачей Бицадзе - Самарского.

Дж. Кэннон [45] рассмотрел задачу о распространении тепла в тонком нагретом стержне {0 < х < 1}, в случае, когда задано количество тепла на части стержня {0 < х < Х(х)}, 0 < t < Т. Этот процесс приводит к изучению граничной задачи для уравнения теплопроводности щ — ихх с начальным условием и(х, 0) = <р(х) и нелокальным условием где E(t) и X(t) — известные функции.

В [45] доказано существование и единственность классического решения данной задачи при E(t), X(t) £ Сх[0, Т].

В работе Л.И. Камынина [28] в области St = < х < Х2(t),0 < t <Т} для одномерного параболического уравнения общего вида а(х, t)uxx + b(x, t)ux + с(х, t)u — щ = f(x, t) установлена однозначная разрешимость задачи с условиями в случае, если функции E(t) и Х3(t) удовлетворяют условию Гельдера.

Необходимо также отметить статью А.А. Самарского [75], в которой приведена постановка нелокальной задачи для уравнения теплопроводности и(х, 0) = h(x), g(x,t)u(x,t)dx = E{t), Xi(t) < X3(t) < X2{t), u(X2(t),t) = <p(t)

Ul — ^XXl

0.1: с начальным условием u(x, 0) = <p(x), 0 < x < 1,

0.2; граничным условием u(0,t) = u(t) и с интегральным условием

Эта задача исследована Н. И. Ионкиным в [23].

Также в [75] поставлена задача для уравнения (0.1) с начальным условием (0.2) и с условиями вида aiux(0,t) + b1ux(l,t) + aou(Q,t) + b0u{l,t) = 0, ci«x(0,t) + diux(l,t) + c0u(0,t) + dQu(l,t) = 0.

Существование и единственность решения нелокальной задачи для уравнения щ = ихх — q{x)u + f(x,t) с условиями (0.2), (0.3) исследованы Н.И. Ионкиным и Е.И. Моисеевым [25].

Задачи с нелокальными условиями активно изучаются в настоящее время. Среди работ, посвященных изучению нелокальных задач для гиперболических уравнений, выделим статьи [5] — [6], [25], [38], [39], [50], [51], [56], [71] - [72].

Нелокальные задачи для уравнений параболического типа исследованы в работах [4], [20] - [27], [33] - [35], [32], [57] - [58], [61] - [62], [70], [73], [77], [78]. Рассмотрим более подробно те статьи, в которых нелокальные условия являются интегральными. Остановимся сначала на работах, посвященных исследованию задач для уравнений параболического типа с интегральными условиями, нелокальными по пространственной переменной.

Н.И. Юрчук [78] изучал решение смешанной задачи для параболического уравнения с условиями и s,0) = 0, [ u(x,t)dx = 0. Jo

З.А. Нахушева [61], [62] исследовала нелокальную задачу для параболического уравнения с условиями д fa

J^ и(х, у) dx = ip(y\ 0<y<b, д fa

J^ u(x,y) dx = ф(у), 0 < у < b.

JI.А. Муравей и A.B. Филиновский [57], [58] изучали нелокальную задачу для уравнения (0.1) с условием p(t)u(l,t)+ / u(x,t) dx — р0и(1,0) + / u(x,0)dx.

Jo Jo 4

Н.И. Иванчов [20] показал существование решения нелокальной задачи для параболического уравнения с интегальными условиями pi(x)u(x,t) dx = Hi(t), г = 1,2. Jo

Задачи с нелокальными по времени интегральными условиями рассмотрены в [34], [69]. Так, А.Ю. Попов и И.В. Тихонов [69] исследовали задачу для уравнения (0.1) с нелокальным условием u(x,t) dt = ф(х).

А.И. Кожанов [34] доказал существование и единственность решения нелокальной задачи для уравнения Аллера с условием

В процессе исследования нелокальных задач была выявлена тесная взаимосвязь задач с нелокальными условиями с обратными задачами. В теории уравнений с частными производными под обратными принято понимать задачи, в которых наряду с искомым решением подлежат определению некоторые входные данные, например начальные условия или коэф-фиценты уравнения. При исследовании обратных задач задаются дополнительные условия, которые представляют собой либо сведения о состоянии процесса в заданный момент времени (задачи с финальным переопределением), либо средние значения каких-либо физических характеристик (задачи с интегральным переопределением).

Приведем пример, показывающий указанную выше связь. Рассмотрим в области Qt = {(ж, 0 : х Е (0,1), t 6 (0, Т)} уравнение теплопроводности

Щ ~ ихх = 0.

0.4)

Поставим для него задачу с граничными условиями

0, t) = u(l, t) = 0

0.5) и условием т

0.6)

Заметим, что в случае заданного начального условия и(х,0) = ф) (0.7) решение задачи (0.4), (0.5), (0.7) можно найти методом разделения переменных. Поэтому естественно расматривать задачу (0.4) — (0.7) как обратную задачу относительно пары функций (и, <р) с условием финального переопределения (0.6).

Среди последних работ посвященных изучению обратных задач для параболических уравнений выделим [46], [47] - [49], [67], [21], [29] - [31], [37] - [36], [63] - [66], [42], [43].

Остановимся на тех исследованиях, в которых условие переопределения имеет вид интегрального оператора.

Дж. Кэннон и Янпинг Лин [47] изучали задачу о нахождении пары функций (и,р), удовлетворяющих уравнению

Щ = ихх + p(t)u + F(x,t,u,uXip(t)), 0 < ж < 1, 0 <t<T, начальному условию и(х, 0) = Uo(z), 0 < х < 1, граничным условиям u*(0,t) = /(*). ux{l,t) = g(t), 0 <t<T и условию интегрального переопределения 1

Ф(х, t)u(x, t) dx = E(t), 0 < t < T, где функции uq(x), f(t), g(t), E(t) и F(t) известны.

A.M. Прилепко и Д.С. Ткаченко [63] исследовали задачу о нахождении пары функций (и,<р), u(x,t) в Qt = ^ х (0,Т), <р(х) в fi, удовлетворяющих уравнению p{x,t)ut - (CLij(x)ux.)x. - bi{x)uXi - c{x,t)u = Ф(x,t)ip(x), L начальному условию и(х, 0) = щ(х), х £ П, граничному условию u(x,t)\s = о и условию интегрального переопределения fT w(t)u(x, t) dt = x(^).

Jo

A.M. Кожанов [37] рассматривал задачу о нахождении функций и(х, t) и p(t), связанных в цилиндре Qt = & х (0, Т) уравнением

- (a^OMHi)^ - - = f{x,t), при выполнении для функции и(х, t) условий и(х,0) = щ(х), хбО,, u(x,t)\s = 0, I K(x,t)u{x,t)dx = fi{t), t€(0,T).

Данная диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений параболического типа и установлению взаимосвязи между нелокальными и обратными задачами.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Данилкина, Ольга Юрьевна, 2007 год

1. Алексеева С.М. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевим условием. /С.М. Алексеева, Н.И. Юрчук // Дифференц. урав.- 1998. Т.34. - №4. - С. 495-502.

2. Бицадзе А.В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. / А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // ДАН СССР. 1969. - Т. 185. - №4. - С. 793-740.

3. Васильева А. Б.Интегральные уравнения. / А. Б. Васильева, Н.А. Тихонов . М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 160 с.

4. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А.М.Нахушева для одного псевдопараболического уравнения. / В.А. Водахова // Дифференц. уравнения. 2004. - Т.40. - №4. - С. 547-564.

5. Голубева Н.Д. Об одной нелокальной задаче с интегральными условиями./ Н.Д. Голубева, Л.С. Пулькина // Мат. заметки. 1996. - Т. 59.- В. 3. С. 456-458.

6. Гордезиани Д.Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды./ Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили // Мат. моделир. 2000.- Т. 12. №1. - С. 94-103.

7. Данилкина О.Ю. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности. / О.Ю. Данилкина // Труды Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Часть 3.- Самара: Изд-во СамГТУ. 2005. - С. 81-83.

8. Данилкина О.Ю. О единственности решения одной нелокальной задачи для уравнения теплопроводности. / О.Ю. Данилкина // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского — Казань: Казанское математическое общество, 2005. Т. 31. - С. 51 - 53.

9. Данилкина О.Ю. Нелокальная задача для параболического уравнения./ О.Ю. Данилкина // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. — Рязань: Рязанский государственный университет, 2006. Т. И. - С. 70 - 71.

10. Данилкина О.Ю. Нелокальная задача с интегральным условием для параболического уравнения. / О.Ю. Данилкина // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского — Казань: Казанское математическое общество, 2006. Т. 32. - С. 72 - 73.

11. Данилкина О.Ю. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности. / О.Ю. Данилкина // СамДиф: всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Тезисы докладов. Самара: "Универсгрупп", 2007. - С. 41 - 43.

12. Данилкина О.Ю. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности с интегральным условием / О.Ю. Данилкина // Вестник СамГТУ. 2007. - №1(14). - С. 5 - 9.

13. Данилкина О.Ю. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения./ О.Ю. Данилкина //Вестник СамГУ. 2007. - №6(56). -С. 141-154.

14. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 2./В.А. Зорич // М.: Наука, 1984. 640 с.

15. Ильин В.А. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями. / В.А. Ильин,Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 2000. Т.Зб. - №5. - С. 656 -661.

16. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. -№2. - С. 294 - 304.

17. Ионкин Н.И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - №7. - С. 1279 - 1283.

18. Ионкин Н.И. Об задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями. / Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев //Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - №7. - С. 1284 - 1295.

19. Ионкин Н.И. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальны-мими краевыми условиями. / Н.И. Ионкин, В.А. Морозова // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. №7. - С. 884 - 888.

20. Ионкин Н.И. Принцип максимума для одной нелокальной несамосопряженной краевой задачи. / Н.И. Ионкин, Е.А. Валикова //Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31 №7. - С. 1232 - 1239.

21. Камынин Л.И. Об обной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями./ Л.И. Камынин // Жв-МиМФ. Т.4. - №6. - 1964. - С.1006 - 1024.

22. Камынин В.Л. О предельном переходе в обратных задачах для параболических уравнений с условием интегрального переопределения. / В.Л. Камынин // Дифференц. уравнения. -1996. -Т. 32. №5. - С. 620 - 626.

23. Камынин В.Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения. / В.Л. Камынин // Мат. заметки. Т.77. - М. - 2005. - С. 522 - 534.

24. Камынин JI.И. Нелинейная обратная задача для параболического уравнения высокого порядка. / В.Л. Камынин, М. Сарольди // Жв-МиМФ. Т.38. - №10. - 1998. - С.1683 - 1691.

25. Капустин Н. Ю. Априорная оценка решения одной смешанной задачи для уравнения теплопроводности. / Н. Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. 2006. - Т.42. - № 10. - С. 1375 - 1379.

26. Картынник А.В. Трехточечная смешанная задача с интегральным условием по пространственной переменной для параболических уравнений второго порядка. / А.В. Картынник // Дифференц. урав. 1990. -Т.26.-№9.

27. Кожанов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера. / А.И. Кожанов // Дифференц. уравнения. 2004. - №6. - С. 763 - 774.

28. Кожанов А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений. / А.И. Кожанов // Вест. Самар.гос. тех. ун-та. Сер. физико-матем. науки. -2004. №30. - С.63 - 69.

29. Кожанов А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче. / А.И. Кожанов // Матем. заматки. 2004. - Т.76. - В.12. - С.840 - 852.

30. Кожанов А.И. Параболические уравнения с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. / А.И. Кожанов // ЖвмиМф. 2005. - Т.45. - №12. - С. 2168 - 2184.

31. Кожанов А.И. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений./ А.И. Кожанов, Л.С. Пулькина // ДАН. 2005,- Т.404. - №5. - С. 589 - 592.

32. Кожанов А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболическихуравнений. / А.И. Кожанов, J1.C. Пулькина // Дифференц. уравнения.- 2006. Т.42. - №9. - С. 1166 - 1179.

33. Kozhanov А. I. (Кожанов А. И.) An inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation.II. / A. I. Kozhanov (А. И. Кожанов ) // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003. - Vol. 11. - №. 5.- P. 505 522.

34. Колмогоров A. H., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. / А. Н. Колмогоров , С.В. Фомин — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004. 572 с.

35. Костин А.Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. I. / А.Б. Костин, А.И. Прилепко // Дифференц. уравнения. 1996. - №1. - С. 107 - 116.

36. Костин А.Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. II. / А.Б. Костин, А.И. Прилепко // Дифференц. уравнения. 1996. - № 11. - С. 1519 - 1528.

37. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1 /Р. Курант, Д. Гильберт ГТТИ, 1933. - 525 с.

38. Кэннон Дж. (Cannon J.R.) The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy. / Дж. Кэннон (Cannon J.R.) // Quart. Appl. Math. 1963. - V.21. - P. 155 - 160.

39. Кэннон Дж., Эвинг P.(Cannon J., Ewing R.) Dertermination of a source term in a linear parabolic partial differential equation. / Дж. Кэннон, P. Эвинг ( Cannon J., Ewing R.) // J. Appl. Math. Phys. 1976. - №27. -P. 393 - 401.

40. Кэннон Дж., Янпинг JI. (Cannon J.R., Yanping Lin) Dertermination of a parameter p(t) in some quasi-linear parabolic differential equations. / Дж. Кэннон, JI. Янпинг (Cannon J.R., Yanping Lin) // Inverse problems. -1998. №4. - P. 35 - 45.

41. Кэннон Дж., Д P. (Cannon J.R., DuChateau.) Structural identification of an unknown sourse term in a heat equation. / Дж. Кэннон, P. Д (Cannon J.R., DuChateau P.) // Inverse problems. 1998. - №14. - P. 535 - 551.

42. Лажетич H.JI. О существованиии классического решения смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка./ Н.Л. Лажетич // Дифференц. уравнения. 1998. - Т.34. - №5. -С. 682 - 694.

43. Лажетич Н.Л. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка./ Н.Л. Лажетич // Дифференц. уравнения. 2006. - Т.42. - №8. - С. 1072 -1077.

44. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. / О.А. Ладыженская — М.: Наука, 1973. 408 с.

45. Ладыженская О.А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. /О.А. Ладыженская,B.А. Солонников, Н.Н. Уральцева — М.: Наука, 1967. 736 с.

46. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.// В.П. Михайлов М.: Наука, 1976. - 391 с.

47. Михлин Г.С. Лекции по линейным интегральным уравнениям. / Г.С. Михлин М.: Физматгиз, 1959.

48. Моисеев Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи./ Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 2001. - Т.37. - №11.C. 1565 1567.

49. Муравей J1.А. Об одной нелокальной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения. / Л.А. Муравей, А.В. Филиновский // Мат. сб., 182: 10(1991). С. 1479 - 1512.

50. Муравей Л.А. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения. / Л.А. Муравей, А.В. Филиновский // Мат. зам. -1993. -Т .54. В.4. - С. 98 - 116.

51. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод. / А. М. Нахушев // Дифференц. урав. 1982. - Т. 18. - № 1. - С. 72 - 84.

52. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. / А. М. Нахушев. М.:Высш.шк. - 1995. - 301 с.

53. Нахушева 3. А. Первая и вторая краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка. / 3. А. Нахушева //Дифференц. урав. 1990. - Т.26. - №11. - С. 1982 - 1991.

54. Нахушева 3. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных. / 3. А. Нахушева // Дифференц. урав. 1986. - Т. 22. -ДО1.-С. 171-174.

55. Прилепко А.И. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением. / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // ЖвмиМф. 2003. -T.43.-JM. С. 537 546.

56. Прилепко А.И. Фредгольмовость и корректность обратной задачи об источнике с интегральным переопределением. / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // ЖвмиМф. 2003. - Т.43. - №9. - С. 1338 - 1347.

57. Прилепко А.И. Фредгольмовость обратной задачи об источнике для параболических систем. / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // Дифференц. урав. 2003. - Т.39. - № 12. - С. 1693 - 1700.

58. Прилепко А.И. Корректность обратной задачи об источнике для параболических систем. / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // Дифференц. урав. 2004. - Т.40. - №11. - С. 1540 - 1547.

59. Prilepko А. I. (Прилепко А.И.) Inverse problem for a parabolic equation with integral overdetermination. / A. I. Prilepko, D. S. Tkachenko ( А.И.Прилепко, Д.С. Ткаченко) // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003.- Vol. 11. №. 2. - P. 191 - 218.

60. Понтрягин JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. / Л. С. Понтрягин. 4-е изд. - М.: Наука. - 1974. - 331 с.

61. Попов А.Ю. Классы единственности в нелокальной по времени задаче для уравнения теплопроводности и комплексные собственные функции оператора Лапласа. / А.Ю. Попов, И.В. Тихонов // Дифференц. урав.- 2004. Т.40. - №3. - С.396 - 405.

62. Пукальский И.Д. Нелокальные краевые задачи для неравномерно параболических уравнений. / И.Д. Пукальский // Дифференц. урав. -2003. Т.39. - №6. - С.777 - 787.

63. Пулькина Л.С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения. / Л.С. Пулькина. // Матем. заметки. -2003. Т.74. - В. 3. - С. 435 - 445.

64. Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения. / Л.С. Пулькина. // Дифференц. урав.- 2004. Т.40. - № 7. - С. 887 - 892.

65. Пулькина Л.С. Неклассические уравнения математической физики. / Л.С. Пулькина. // Изд-во института математики СО РАН. 2005. -С.231 - 239.

66. Розанова А.В. Управляемость в линейной параболической задаче с интегральным переопределением. / А.В. Розанова // Дифференц. урав.- 2004. Т.40. - №6. - С. 798 - 815.

67. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений. / А.А. Самарский // Дифференц. урав. 1980. - Т. 16. -№11.-С. 1925 - 1935.

68. Треногин В.А. Функциональный анализ. / В.А. Треногин — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. 488 с.

69. Чегис Р. Монотонная разностная схема для параболической задачи с нелокальными краевыми условиями. / Р. Чегис , О. Штиконес , О. Субоч // Дифференц. уравнения. 2002. - Т.384. - №7. - С. 968 - 975.

70. Юрчук Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений. / Н.И. Юрчук. // Дифференц. урав. 1986. - Т.22. - № 12. - С. 2117 - 2126.