Неоднородные диофантовы приближения и выигрышные множества тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Дьякова Наталья Александровна

• Дьякова Наталья Александровна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Дьякова Наталья Александровна

Благодарности

1 Неоднородные приближения и плохо приближаемые системы линейных форм

2 О подпространствах в подпространствах

1 Игры и диофантовы приближения

1.1 Описание игры Шмидта

1.2 О примерах выигрышных множеств

1.3 Об обобщениях понятия выигрышности

2 Об изотропной выигрышности множества плохо приближаемых неоднородностей

2.1 Обозначения и формулировки

2.2 Структура доказательства

2.3 Двойственная задача

2.4 Подпространства

2.5 Параллелепипеды

2.6 Применение тождества принципа переноса

2.7 Вспомогательные леммы

3 Примеры множеств, не являющихся изотропно выигрышными

3.1 Формулировка основного результата

3.2 Линейно зависимый случай

3.3 Индуктивное построение целых точек

3.4 Вектор в

3.5 Свойство выигрышности

4 Плохо приближаемые матрицы и линейные подпространства

4.1 Обозначения и формулировки

4.2 Диофантовы экспоненты

4.3 Параметризация подпространств

4.4 Основной результат для диофантовых экспонент

4.5 Пример

4.6 Функции и примеры

4.7 Доказательство основного результата

4.7.1 Простые леммы

4.7.2 Доказательство теоремы

Список используемой литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неоднородные диофантовы приближения и выигрышные множества»

Введение

Настоящая диссертация посвящена классическим объектам теории многомерных диофантовых приближений, точнее, той части этой теории, которая связана с геометрией чисел. В ней рассматриваются вопросы, связанные с приближением точек линейных и аффинных подпространств в ^ точками целочисленной решетки. Основания этой теории связаны с именами знаменитых математиков 19 столетия - Л. Дирихле, Л. Кронекера, Ш. Эрмита, Г. Вороного, Г. Минковского. Свое фундаментальное развитие в 20 веке теория диофантовых приближений получила в работах Г. Давенпорта, Л. Морделла, К. Малера, А.Я. Хинчина, В. Ярника, Дж. Касселса, В.М. Шмидта и других математиков. Основные объекты и понятия этой теории сформулированы и изложены в ставших классическими монографиях Г. Минковского [34, 35], Дж. Коксмы [32], Дж. Касселса [11] и В.М. Шмидта [41, 43]. В нашей диссертации рассматриваются системы линейных форм (как однородных, так и неоднородных), соответствующие линейные и аффинные подпространства в ^ и матрицы, связанные с заданием рассматриваемых подпространств в координатах.

Содержание диссертации изложено следующим образом. В двух

параграфах введения мы вкратце излагаем историю затрагиваемых вопросов и приводим формулировки основных результатов диссертации (первый параграф посвящен плохо приближамым неоднородным линейным формам, второй - подпространствам подпространств). Затем в первой главе мы мы описываем игры В.М. Шмидта и их обобщения. Эта глава не содержит новых результатов. Она совсем небольшая по объему. Тем не менее, мы решили выделить обсуждение вопросов, связанных с выигрышными множествами в отдельную главу, посколько это нужно для общего понимания задач, затрагиваемых в диссертации. Вторая глава посвящена изложению нашего основного результата про изотропную выигрышность множеств неоднородных линейных форм. В третьей главе мы приводим примеры множеств, не являющихся изотропно выигрышными. Четвертая глава касается теорем о подпростанствах в других подпространствах. Для удобства читателей мы приводим формулировки основных наших результатов дважды: сначала во введении, а потом в главах 2, 3, 4, где они непосредственно доказываются. Более того, чтобы удобно было читать диссертацию, мы в начале каждой главы, посвященной новым результатам напоминаем основные понятия и объекты, фигурирующие в данной главе.

Благодарности

Автор хочет поблагодарить научного руководителя проф. Н.Г. Мощевитина за неоценимую помощь в подготовке диссертации, неустанную поддержку и терпение.

1 Неоднородные приближения и плохо приближаемые системы линейных

форм

Центральным вопросом теории диофантовых приближений является вопрос о приближении действительных чисел рациональными, например, вопрос о том, насколько хорошо действительное иррациональное число может быть приближено дробью с наименьшим возможным знаменателем. В нашей диссертации мы рассматриваем вопросы, связанные с неоднородными приближениями. Здесь следует упомянуть теорему А.Я. Хинчина из [24], которая стала основополагающей в данной области. Эта теорема утверждает, что существует постоянная 7 > 0 такая что для любого действительного числа в существует действительное число п £ удовлетворяющее неравенству

т£ д • ||дв — п|| > 7. (1)

Наилучшая известная на данный момент константа была вычислена Годвиным в [19]. Позднее эта теорема была обобщена Хинчиным в [25], [26] на многомерный случай. Он доказал, что для заданных положительных чисел п,т € Ъ существует положительная константа 7пт такая что для любой т х п действительной матрицы в существует вектор п € такой что

Ы (||вд -п||ъп)пМГ >1пт (2)

д€Ът\{0}

(здесь || • ||ъ" обозначает расстояние до ближайшей целой точки в вир-норме). Эти результаты представлены в главе 5 замечательной книги [11] Касселса.

Ярник в [22], [23] обобщил эту теорему и доказал следующее утверждение. Предположим, что ф(Ь) - функция убывающая к нулю при Ь ^ Пусть р(Ь) будет функцией, обратной к функции Ь ^ 1 /ф(Ь). Предположим, что для всех Ь > 1 имеет место неравенство фо(Ь) < ф(Ь). Тогда существует вектор п € Кп такой что

Ы (||вд - п^) • р(8т • ^ > 7 (3)

д€Ът\{ 0}

с соответствующей константой 7 = 7(п,т).

Интерес представляет множество плохо приближаемых неодно-

родностей

Bade = (П e [0,1)n : inf (||Oq -n||z»)n||q||m > ol , (4)

которое мы определяем для заданной m х n действительной матрицы О. Таким образом, упомянутый первый результат Хинчина (существование чисел, удовлетворяющих (1)) показывает, что для m = n = 1 мы имеем Bad$ = 0, а существование n e Rn, удовлетворяющего (3), есть его непосредственное обобщение на матрицы в рамках предложенного Хинчиным [24] метода. Недавние результаты Д.Х. Кима [28] о том, что при m = n = 1 для иррационального в множество Bad$ имеет нулевую меру Лебега, возможно, в относительно неявном виде содержатся в работе Ярника [22] или могут быть выведены оттуда. В ряде работ (см. например [29, 10]) были получены различные результаты, в частности о том, насколько множество Bade, определенное в (4), большое. В частности было доказано, что оно является множеством полной размерности Хаусдорфа.

Дальнейшие результаты, показывающие, что это множество достаточно большое связаны со свойством выигрышности. Все необходимые понятия и формулировки о выигрышности мы для удобства выделили в нашей диссертации в первую главу, в которой детально обсуждаются различные определения выигрышности и их взаимосвязь. Здесь мы лишь приведем сводку некоторых результатов предшественников и сформулируем наши теоремы из глав 2 и 3.

Дж.Ценг в [44] установил свойство выигрышности для множества Ва^. Впоследствии результат Дж.Ценга [44] был обобщен на многомерный случай и выигрышность множества неоднородностей Ва^п,ш) была доказана М. Айнзиндлером и Дж.Ценгом [15], хотя, как показал Н.Г.Мощевитин в [36], этот результат может быть получен непосредственным применением рассуждений Хинчина-Ярника, с помощью которых они доказывали существование векторов, удовлетворяющих (2) и (3). В [9] Бродериком, Фишманом и Симмонсом было доказано, что множество Ва^п,ш) также является абсолютно выигрышным в гиперплоскостях. Использованный там метод взят из работы [8].

Ряд последующих результатов связан с рассмотрением задачи "с весами то есть множеств вида

Ва^г,]) = < (ж1, х2) £ К2 : т£ шах(дг Цдх II, д7||дх2||) > 0 > , [ )

где г, ] действительные положительные числа удовлетворяющие г + ] = 1 и их многомерных аналогов. Постановка этой задачи снова принадлежит В. Шмидту: в основополагающей работе [42] он рассмотрел множество Ва^1/3, 2/3).

Из метрической теоремы Хинчина следует, что это множество имеет нулевую меру Лебега. Шмидт фактически показал, что каждое Ва^г,]) непусто, а позже Поллингтон и Велани, основываясь на ранних работах Давенпорта [12] доказали, что это множество имеет

полную размерность Хаусдорфа. Примечательно, что Бодягин, Пол-лингтон и Велани в работе [5] доказали известную гипотезу, выдвинутую Шмидтом в [42], о том что пересечение любых двух различных множеств Ва^г, 3) не пусто. Более того, они установили общий результат состоящий в том, что для любого конечного набора пар строго положительных действительных чисел удовлетворяющих ц + 31 = 1 ( для 1 < Ь < к) пересечение

к

П Ва^3

г=1

имеет полную размерность Хаусдорфа. При определенных незначительных технических условиях их утверждение может быть улучшено для счетного пересечения. Выигрышность этого множества была доказана Аном в 2013 в [4].

В неоднородном случае, который мы рассматриваем в нашей диссертации, ситуация несколько другая. Харрап [20] доказал следующее утверждение.

Для любых действительных строго положительных чисел г,3 > 0 таких что г = 3 = 1 и для любого х € Ба((г,з), множество

Ва^(г, з) =

^\(а1,а2) € [0,1)2 : т£ max{|q|г\\qx1 — а\\, ^\\qx2 — а\\} > 0> ,

имеет полную размерность Хаусдорфа.

Ограничение на x € Bad(i,j) удалось убрать Мощевитину, но только в совсем специфическом случае i = 2/3, j = 1/3. Некоторые усиления имеются у Мощевитина и Бенгоечеа [6].

В многомерном случае Харрапом и Мощевитиным [21] была доказана следующая теорема.

Теорема. Для любого n-мерного вектора k удовлетворяющего условию

n

ki,..., kn > 0 and ^^ ki = 1,

i=l

и для любой матрицы

© € Bad(k,n,m) = {© € : inf max(|q|mkj(||6j(q)||) > 0}

q€Щ0 i <j <n Л

множество

Bad©(k,n,m) = {n € Rn : inf |q|mkj(||6j(q) - n||) > 0}

qeZmо

является 1/2- выигрышным.

Следует отметить, что в общем случае, без дополнительного условия на © € Bad(k, n, m) задача остается открытой даже для случая n = 2,m =1. Эта задача, по-видимому, является очень сложной, но в случае, когда все ki = 1/n, результат верен и без дополнительного условия на ©.

Одним из основных результатов нашей диссертации, является усиление теоремы Харрапа-Мощевитина из [21]. Он может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 1. Если в € Ва^к,п,ш); то множество Bad©(k,n,m) является изотропно выигрышным.

Эта теорема является основным результатом главы 2 настоящей диссертации. Она опубликована в работе [7]. Определение изотропно выигрышного множества мы приводим в главе 1 в параграфе 1.3. Там же мы обсуждаем взаимосвязь с другими свойствами выигрыш-ности.

Условие в € Ба((п,т) в этой теореме является существенным. Соответствующему примеру посвящен основной результат главы 3, где доказано следующее.

Теорема 2. Существует вектор в = (в^в2) такой что

1. 1,в1,в2 линейно независимы над Ъ;

2. Bad0 := {(пъП2) : х2 шах^1;2 \\xei — п%\\ > 0} не является изотропно выигрышным.

Эта теорема является основным результатом главы 3 настоящей диссертации. Она опубликована в работе [13].

2 О подпространствах в подпространствах

Задача, о которой мы будем говорить в этом параграфе, и которой посвящена четвертая глава диссертации имеет не столь длинную историю, как задача из предыдущего параграфа.

В работе [30] Д. Клейнбок обнаружил следующий феномен. Если в некотором аффинном подпространстве A С Rn найдется вектор плохо приближаемый рациональными векторами, то есть такой, что на погрешность приближения имеется оценка снизу в терминах знаменателя приближающего вектора,, то почти все (в смысле меры Лебега) векторы из подпространства A будут в определенном смысле плохо приближаемыми. Элементарное доказательство чуть более общего факта было дано Н.Г. Мощевитиным в [38], правда с небольшими неточностями. Некоторые обобщения имеются в [45].

Как оказалось, более удобно работать не с аффинными подпространствами A С Rd-i, а непосредственно с соответствующими линейными подпространствами

A = span {z = (1,xi, ...,xd-i) : (xi, ...,xd-i) € A}

в Rd и формулировать все результаты для них. В настоящей диссертации мы доказываем общую теорему о том, что если в подпростран-

стве A, dim A = a найдется плохо приближаемое подпространство B С A, dim B = b, то почти все подпространства C С A, dim C = c будут плохо приближаемыми (в определенном смысле). Для точной формулировки этого результата нам понадобится понятие ф — плохо-приблжаемого подпространства. в d-мерном евклидовом пространстве Rd. Для собственного линейного подпространства B С Rd рассмотрим функцию меры иррациональности

фв(£) = min dist(z, B),

zeZd 1<\z\<t

где dist(A, B) обозначает Евклидово расстояние между множествами A и B. Скажем, что собственное линейное подпространство B С Rd является ф-плохо приближаемым, если

^B(t) > ф(£), Vt > 1.

Нам кажется более разумным все подробные определения дать непосредственно в главе 4 (они достаточно технические), а здесь лишь воспроизвести главную формулировку. Основной результат главы 4 составляет следующая

Теорема 3. Рассмотрим монотонно убывающие к нулю функции if(T) и ф(Т), удовлетворяющие некоторому определенному условию на порядок убывания. Предположим, что B - b-мерное ф-плохо при-

ближаемое линейное подпространство. Тогда для любого о-мерного линейного подпространства А Э В почти все с-мерные линейные подпространства С С А будут р-плохо приближаемы.

Смысл условия на функции, которое мы не привели в явном виде в теореме 4 состоит в том, что если р(Т) убывает не слишком медленно при £ ^ то, то и функция ^(Т) убывает не слишком медленно при £ ^ то. Мы повторим, что точное условие на функции мы приводим в самой главе 4. Там же мы рассматриваем многочисленные примеры и даем различные пояснения. Кроме того, в главе 4 доказывается следствие для экспонент приближений (теорема 3). Результаты главы 4 опубликованы в работе [14].

Глава 1

Игры и диофантовы приближения.

В этой короткой главе мы вкратце опишем игры, встречающиеся в теории диофантовых приближений и приведем сводку некоторых известных результатов, имеющих отношение к рассматриваемой проблеме.

Впервые выигрышные множества применительно к теории дио-фантовых приближений рассмотрел В. Шмидт в 1966 в [40], [41], [39]. Он основывался на модель игры Банаха-Мазура и предложил свой вариант игры, ставшей классическим.

1.1 Описание игры Шмидта

Предположим, что два игрока А и В играют в игру, которая состоит в следующем: Для начала игроки А и В выбирают соответственно числа а и в из (0,1). Далее В выбирает замкнутый шар В из радиуса р(В1) = р. Затем А выбирает замкнутый шар А1 С В1 радиуса р(А1) = ар. Затем В выбирает замкнутый шар В2 С А1 радиуса

авр и т.д. Таким образом возникает последовательность вложенных замкнутых шаров

Б1 Э А1 Э Б2 Э А2 э ...

с радиусами

р(Бк) = (ав)к—1р, р(Ак) = а(ав)к—1р, (к = 1, 2,...)

Очевидно, множество Р|^=1 Бк = Р|^=1 Ак содержит только одну точку. Скажем, что множество Е С (а, в)— выигрышно, если у игрока А есть стратегия, гарантирующая что Р|^=1 Ак € Е. Говорят, что множество Е а—выигрышно, если оно выигрышно для любого в € (0,1) и просто выигрышно, если оно а—выигрышно для некоторого а € (0, 1).

Перечислим основные свойства выигрышных множеств.

• Любое выигрышное множество в имеет полную размерность Хаусдорфа (про размерность Хаусдорфа и диофантовы приближения см. замечательную монографию [1]).

• Счетное пересечение а-выигрышных множеств является а-выигрышным.

• Любое а-выигрышное множество имеет мощность континуума.

1.2 О примерах выигрышных множеств

В. Шмидт [39] показал, в частности, что множество вещественных чисел с ограниченными неполными частными разложения в цепную дробь будет а-выигрышным множеством на вещественной прямой для любого а € (0,1/2]. Там же он показал, что множество чисел, не являющихся нормальными по фиксированному натуральному основанию д > 2 также будет выигрышным. В частности, из этого утверждения и свойств 2 - 3 из предыдущего параграфа следовало, что множество чисел, не являющихся нормальными ни по какому натуральному основанию будет тоже выигрышным и, следовательно, будет иметь размерность Хаусдорфа равную единице. Другие результаты о выигрышности диофантовых множеств имеются у Р. Ахунжанова [2, 3]. В работе [39] В. Шмидт доказал важную общую теорему о том, что множество плохо приближаемых матриц

<0 — т х п матрица : т£ (||0д — п1Ь«)п||д||т > 0> (1.1)

будет выигрышным множеством в Щтп (заметим, что множество (1.1) совпадает с множеством Ва^к,т,п) при к = (1/п,..., 1/п), которое мы определяли в параграфе 0.1. введения).

В параграфе 0.1. введения мы обсудили многочисленные результаты о выигрышности множеств вида Bad©(k,m,n).

1.3 Об обобщениях понятия выигрышности

Существуют различные модификации классической игры Шмидта: сильная и абсолютная игра была предложена в [33], абсолютная игра в гиперплоскостях (или HAW) была предложена в [31], потенциальная игра была рассмотрена в [16] и другие. Остановимся подробнее на некоторых из них.

МакМюллен в [33] предложил следущую игру. Предположим что А и В по очереди выбирают шары из Rn так чтобы

Bi э (Bi\Ai) э B2 э (B2\A2) э ...

и для фиксированного в £ (0,1/3)

A ^ в|Bi|, |Bi+i| ^ в|Д

Скажем, что E абсолютно выигрышно, если для любого в £ (0,1/3) у игрока А есть стратегия, гарантирующая что ПВ: £ E.

Несложно заметить, что это более сильное понятие и абсолютно выигрышное множество является выигрышным.

Еще одна модификация игры Шмидта была дана в [31] и выглядит следующим образом.

Фиксируем к Е 0,1,...,n — 1 и в Е (0,1/3). Определим к—мерную в—абсолютную игру следующим образом. B выбирает х1 Е Rn и р1 > 0 который определяют замкнутый шар Bi = B(х1,р1). Далее на каждом шаге игры B выбирает Х{ Е Rn и pi > 0, A выбирает аффинное подпространство L размерности к и удаляет его sp{—окрестность A{ := L(epi) из B{ := B(х{,р{) с некоторым £ Е (0,в]. Потом В выбирает x{+1 и р{+1 ^ вр{ так чтобы

в{+1 = B(х{+1,р{+1) С B{\A{.

Множество E назовем к—мерным в—абсолютно выигрышным если у А есть стратегия, гарантирующая, что P\B{ пересекается с E.

Скажем, что E к—мерно абсолютно выигрышно, если оно к—мерно в—абсолютно выигрышно для любого в Е (0,1/3).

(n — 1)-мерные абсолютно выигрышные множества будем называть абсолютно выигрышным в гиперплоскости или короче HAW.

В нашей диссертации мы предлагаем еще одно новое свойство выгрышности - изотропную выигрышность.

Определение 1 (Изотропная выигрышность). Назовем множество N С Rn изотропно выигрышным, если для любого d < n и для любого d—мерного аффинного пространства A С Rn пересечение N П A является 1/2-выигрышным множеством (в смысле Шмидта).

Очевидно, что любое изотропно выигрышное множество является выигрышным и обратное неверно. Например, множество (1.1) выигрышно (как доказал В. Шмидт), но оно очевидно не является изотропно выигрышным при п > 2. С другой стороны, легко видеть, что любое абсолютно выигрышное множество является изотропно выигрышным.

Глава 2

Об изотропной выигрышности

множества плохо приближаемых неоднородностей

В этой главе мы излагаем наш основной результат о множествах неоднородностей и плохо приближаемых системах неоднородных линейных форм.

2.1 Обозначения и формулировки

Обозначим за г = (¿1,..., £п) £ точки из

Пусть действительные числа с 1 < г < т, 1 < ] < п. Рассмотрим систему п однородных линейных форм от переменных ,..., дт

Ьз = ^ (1 < < п)

¿=1

где действительные числа (для 1 < г < т, 1 < ^ < п).

Обозначим за в действительнозначную матрицу размера п х т соответствующую действительным числам и за Ма1пхт(К) обозначим множество всех таких матириц.

Тогда для любых наборов из п действительных чисел к = {к1,... , кп} таких что

п

к3 > 0 (1 < з < п) и ^ к3 = 1

3=1

определим множество

Баа(к,п,т) = {в € МаЬПхт(К) : т£ шах(Щткз||Ь,(д)||) > 0}.

I тко I

(1еЪт\Щ 1<3 <п

Напомним, что здесь | • | обозначает супремум нормы, а || • || - расстояние до ближайшего целого.

Теорема 4. Если выполнено

в € МаЬтхп € Бад.(к,п,т),

то множество

Баав(к,п,т) = {п € [0,1]п : 1п£ шах(|д|тк?||Ь,(д) — ПзII) > 0}

^т\{0} 1<3<п

изотропно выигрышно.

Несложно заметить, что если в определении изотропной выиг-

рышности считать любое пересечение с аффинным подпространством не просто выигрышным, а абсолютно выигрышным в гиперплоскости, то результат теоремы остается верным. Здесь мы используем более слабое определение поскольку доказательство опирается на лемму 5 из параграфа 2.7. сформулированную для классического определения Шмидта.

2.2 Структура доказательства

Обозначим за А к-мерное аффинное подпространство:

А = {п = По + ех^1 + ... + екгк = по + tJ £ К}

Пусть С = {£ = е^ + ... + ек, £ К} -соответствующее линейное подпространство размерности к.

По данному С построим такую последовательность целочисленных векторов иг = иг (С) = (иг1,... , игп) £ Ъп которая будет необходима для неоднородного принципа переноса. Эта последовательность должна удовлетворять следующему свойству. Обозначим за иС проекцию иг на С. Евклидовы нормы Ьг = |иС |е этих проекций обладают свойством лакунарности, т.е.

— > М, г = 1,2,3,... (2.1)

для некоторого М > 1. Теперь в терминах этих векторов иг определим множество

N (Л) = {п € А : Зо(п) > 0 : | + ... + ПиПтЦ > с(п) Vr € М}

Для того, чтобы доказать результат теоремы достаточно установить два факта:

1. N (Л) с Баа©(к,п,т)

2. N (Л) — выигрышно для любого

После установления свойства (2.1) для проекций и^ на С вы-игрышность подмножества N (Л) с А (Факт 2) может быть доказана аналогично лемме 1 из [36]. Лемма 1 из [36] позволяет установить свойство выигрышности для множества в Евклидовом пространстве Кп. Здесь нам следует использовать эту лемму для данного к-мерного афинного подпространства А. Это требует лишь несущественную корректировку оригинального утверждения леммы 1 из

[36].

Все вспомогательные утверждения, которые показывают, что наша теорема 1 следует из отмеченных выше свойств множества N (Л) (фактов 1. и 2.), мы приводим в параграфе 2.7.

2.3 Двойственная задача

Для начала сформулируем следующую лемму, которая связывает матрицы из Ва^к,п,т) с соответствующими «двойственными» множествами. Лемма следует из теоремы 6 из [5]. Эта теорема использует стандартный принцип переноса [11] (о современных обобщениях см., например, в [18]).

Обозначим за М транспонированную матрицу в. Для системы линейных форм рассмотрим соответственную двойстенную систему однородных линейных форм от переменных м,..., мп

п

М'(и) = ^^ мз (1 < г < т) з=!

Лемма 1. Пусть Ва^(к,т,п) = {М £ Ма^пхттакое что

т£ (шах(|м31 ткз) • тах ||М'(и)||) > 0.

и£Z=0 !<з<п !< г<т

Тогда

М = вТ £ Bad*(fc,n,m) ^ в £ Bad(fc,n,m). 2.4 Подпространства

Без ограничения общности предположим что к! > ... > кп. Рассмотрим подпространства Гз = {г : = ... = 23 = 0}, (1 <

3 < п) и предположим что Г0 = Кп.

Ясно что Г, является (п — ])-мерным подпространством и

Го Э Г1 Э Г2 Э ... Э Гп.

Напомним что С с Кп является к-мерным линейным подпространством. Определим Ь,к — 1 < Ь < п — 1 как минимальное число такое что

С с ^—(¿+1^ С с Гп—

В оставшейся части доказательства мы будем иметь дело с двумя подпространствами: (п + т)-мерным пространством

М(п+т) = {(3, у) = (г1,...,гп,у1,...,ут)}

и (Ь + 1)-мерным подпространством

М(т) = Гп_(*+1) = {3 = (*п—*,..., гп)}.

Подпространства С,и, Г^, определенные выше, отождествляются с подпространствами в = {з = (гп—^..., гп)}.

Все углы между этими подпространствами мы рассматриваем только как углы в (Ь + 1)-мерном пространстве Углом между

подпространствами мы будем называть

Л B = min a, b.

aeA,beB

Нам необходимо различать два случая Случай 1. и Случай 2..

Случай 1. Если С = Гп_^+!), то £ = к — 1 и проекции ис это проекции й вектора на В этом случае для выполнения условия (2.1) достаточно убедиться, что последовательность Евклидовых норм проекций |й |е лакунарна.

Случай 2. Если С = Гп_^+!), то £ > к — 1. В этом случае необходимо установить два факта: лакунарность последовательности |й |е и

С^ ^ 0, У^ > 1. (2.2)

Рассмотрим угол ш = С, Гп_^. Так как С ^ Гп_^ то 0 < /п_^, С = 2 — ш < 2. Определим ф = 2 _ 2 £ [0, 2) и рассмотрим конус в

заданный как

=

= {I = (zn-t,..., zn) : 3n G L такой что

П • l

|n|e •Hl

< cos ф = const} =

= {l G Rt+1 : l, L <

который содержит все такие прямые £ С Rt+1 что £, L < ф.

Прямая /n-t лежит внутри конуса K и ^ = min £, ln-t где минимум берется по всем одномерным прямым £ лежащим на поверхности

конуса K.

2.5 Параллелепипеды

Для того чтобы построить последовательность векторов Л, нам необходимо построить последовательность параллелепипедов Пт в Rn+m и выбрать определенный целочисленный вектор ur в каждом из этих параллелепипедов. А для того чтобы обеспечить выполнение условия (2.2) мы строим соответствующие параллелепипеды Пт в Rt+1 очень вытянутые в n — t направлениях и короткие в остальных направлениях, соответствующих n — t + j, 1 < j < t. Таким образом вектора ur, которые мы выбираем в каждом из этих параллелепипедов будут лежать близко к прямой £n—t, а их проекции на L будут лежать близко к прямой t. Для данного T > 1 и набора строго положительных действительных чисел в1,..., вп+1 рассмотрим (n + т)-мерный параллелепипед

Пт (01,... ,вп+1) = {(ui, ...,Un,Vi,...,Vm) е Rn X Rm : |Uj | < Pj Tmk> (1 < j < n), max |Mi(u) — < вп+{Т—1}.

1<i<m

и его проекцию Пт = Пт(вп—t,..., вп) на (t +1)-мерное пространство Rt+1. Таким образом

Пт (вп—t,...,0n) = 29

= {(«п_*,..., Мп) £ : | < вз(п — £ < ; < п)}

Так как С ^ Гп_ и С С Гп_^+!), то каждый вектор п £ С имеет вид п = (0,..., 0,пп_^ ... ,Пп). Следовательно, множество N (Л) будет иметь вид

N (Л) =

= {п £ А : Ю+.. .+<_(т)^0+<_гПп_*+.. .+</Пп|| > с(п)}.

Обозначим как { = (мП_^,... , МП) проекцию вектора и^ на подпространство

Напомним, что для того чтобы установить свойство выигрыш-ности множества N (Л) достаточно показать, что Евклидовы нормы проекций векторов { на С лакунарны.

Так как в £ Bad(fc,n,m) по лемме 1, то существует такая постоянная 7 = 7(в), что

Пт (1,..., 1,7) П Жп+т = {0}.

В Случае 2. очевидно, что параллелепипед Пт(1,..., 1,7) не полностью содержится в конусе К, но пересечение К П Пт(1,..., 1) не пусто.

Рассмотрим п + 1-мерный параллелепипед

Пт ,7 _т, 1,..., 1,7).

Он выпуклый, симметричный и имеет объем равный

п

гу—т • | 2T'mkj • 2т^тТ—т _ 2п+т

3=1

Следовательно, по теореме Минковского о выпуклом теле имеем Пт (1,..., 1,7—т, 1,..., 1,7) П Жп+т = {0}.

п-г-1

Это означает, что для каждого Т > 1 существует по крайней мере один целочисленный вектор w = (и, у) € Zn+m такой что

w € Пт (1,...,1,7—т, 1,..., 1,7) \ ПТ (1,..., 1,7).

п—г—1

Выберем среди всех таких целочисленных векторов вектор с наименьшей возможной координатой ип—г > 1 для которого шах |Мг(и) — достигает своего минимального значения.

1<г<т

Обозначим этот вектор за

w(T) := (и(Т), у(Т)) := К(Т),... ,ип(Т), ^(Т),...,Ут(Т)).

А это минимальное значение обозначим за

ф(Т) = шах ЦМг(и(Т))|| = шах |Мг(и(Т)) — уг(Т)|.

1< г<т 1< г<т

Так как w(T) € Пт(1,...,1,7—т, 1,..., 1,7), имеем и(Т) €

п—г—1

Пт (7—1,1,..., 1), что значит

|ип—г(Т)|< 7—тТтк"-', |и,(Т)|< Ттк-', (1 < 3 < п, 3 = п—Ь)

(2.3)

и также

ф(Т) < 1Т—1. (2.4) Более того, так как w € Пт(1,..., 1,7) ясно, что

|ип—г(Т)| > Ттк"- ^ шах (|и,(Т)|1/(тк*)) = |ип—г(Т)|1/(тк«Ч

1 < 3 <п

Так как М € Бad*(k,m,n), то ф(Т) > 7(шах (|и,(Т)|1/(mkj)))—1 = 7|ип—г(Т)|—1/(ткп-0 > 71+1/тк«-4т—1.

1 <3 < п

Здесь снова возникают два случая случай А. и случай В. Случай А. кп—г > кп—г—1. Итак определим

Я := ([7—1/кп-1 +1)(1+ 6)-/Ь + 1,

где в случае 1 положим 5 = 1, а в случае 2 5 > 0 будет выбрано таким образом, чтобы ¿-мерный торец {¿п_^+! = Тгк"-т} параллелепипеда

Птг (7 _!, 1,..., 1) =

= {(Мп_;,..., Мп) £ : | < взТ?' п _ £ < э < п},

тг = Яг ,г = 0,1,...

содержался в конусе К.

Для этого достаточно взять 5 достаточно большим, таким, чтобы значение дроби по порядку величины было бы меньше угла ш/2. Важно, что выбор 5 не зависит от г, а зависит только от угла /п_^, К.

Пусть = (иг, vr) = ^(Тг • (1 + 5)) . Ясно что иг £ К, так как иг £ ПТг (7_!,..., 1)\ПТг (1,..., 1) и эта разность С К из-за выбора 5. Обозначим за := ^). Покажем что }г строго убывает и ^ 0 при г ^ то.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дьякова Наталья Александровна, 2020 год

Список используемой литературы

[1] В.И. Берник, Ю. Мельничук Диофантовы приближения и размерность Хаусдорфа // Наука и техника —1988.

[2] R.K. Akhunzhanov On nonnormal numbers // Mathematical Notes — 72 — 2002 — P. 135 - 137.

[3] R.K. Akhunzhanov On the distribution modulo 1 of exponential sequences// Mathematical Notes — 76 2 — 2004 — P. 153 - 160.

[4] J. An Two-dimensional badly approximable vectors and Schmidt's game// Duke Math. J. — 165 — no. 2 — 2016 — P. 267-284.

[5] D. Badziahin, A. Pollington, S. Velani On a problem in simultaneous Diophantine approximation: Schmidt's conjecture // Annals of Mathematics. — 174 — 2011 — P. 1837 - 1883.

[6] P. Bengoechea, N. Moshchevitin Badly approximable points in twisted Diophantine approximation and Hausdorff dimension // Acta Arithmetica — 177 (4) — 2017 — P. 301-314.

[7] P. Bengoechea, N. Moshchevitin, N. Stepanova A note on badly

approximable linear forms on manifolds // Mathematika — 63(2) — P. 587-601.

[8] R. Broderick, L. Fishman, D. Kleinbock Schmidt's game, fractals, and orbits of endomorphisms // Ergodic Theory and Dynamical Systems — 31:4 — 2011 — P. 1095 - 1107.

[9] R. Broderick, L. Fishman, D. Simmons Badly approximable systems of linear forms and incompressibility on fractals // Journal of Number Theory — 133:7 — 2013 — P. 2186 - 2205.

[10] Y. Bugeaud, S. Harrap, S. Kristensen and S. Velani On shrinking targets for Z actions on tori // Mathematika — 56 (2) — 2010 — P. 193-202.

[11] J.W.S. Cassels An introduction to Diophantine approximations // Cambridge Univ. Press — 1957.

[12] H. Davenport A note on Diophantine approximation II // Mathematika — 11 — 1964 — P. 50-58.

[13] N. Dyakova Sets of inhomogeneous linear forms can be not isotropically winning // Mosc. J. Comb. Number Theory — Volume 8 — Number 1 — 2019 — P. 3-13.

[14] N. Dyakova On badly approximable subspaces // Acta Arithmetica. — 2020. — 195.1. — P. 1-11

[15] M. Einsiedler, J. Tseng Badly approximable systems of affine forms, fractals, and Schmidt games //J. Reine Angew. Math. — 660 — 2011 — P. 83-97.

[16] L. Fishman, D. Simmons, M. Urbanski Diophantine approximation and the geometry of limit sets in Gromov hyperbolic metric spaces // Memoirs of the American Mathematical Society. — 2018 — 254(1215).

[17] A.Ganguly, A. Ghosh Quantitative Diophantine approximation on affine subspaces // Mathematische Zeitschrift. — 2016 — 10.1007/s00209-018-2115-0.

[18] German 0., Evdokimov K.G. A strengthening of Mahler's transference theorem // Izvestiya: Mathematics — Volume 79 — Number 1 — P. 60 -73.

[19] H.J. Godwin On the theorem of Khintchine // Proc. London Math. Soc. — V.3, 1 — 1953 — P. 211-221

[20] S. Harrap Twisted inhomogeneous Diophantine approximation and badly approximable sets // Acta Arithmetica — 151 — 2012 — P. 55 - 82.

[21] S. Harrap, N. Moshchevitin A note on weighted badly approximable linear forms // Glasgow Mathematical Journal — 59:2 — 2017 — P. 349-357.

[22] V. Jarnik O linearnich nehomogennich diofantickych aproximacich (on linear inhomogeneous Diophantine approximations) // Rozpravy II. Tridy Ceske Akad. - 51 - 1941 - no. 29, 21. MR 0021015

[23] V. Jarnik Sur les approximations diophantiques lineaires non homogenes // Acad. Tcheque Sci. Bull. Int. Cl. Sci. Math. Nat.

- 47 - 1946 - P. 145-160.

[24] A. Khintchine Über eine Klasse linearer diophantischer Approximationen // Rend. Circ. Mat. Palermo - 50 - 1926

- P. 170-195.

[25] A. Khintchine Über die angenäherte Auflösung linearer Gleichungen in ganzen Zahlen

Acta Arith. - 2 - 1937 - P. 161-172.

[26] A. Khintchine Regular systems of linear equations and a general problem of Chebyshev //Izvestiya Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat. -12 - 1948 - P. 249-258 (Russian).

[27] A. Khintchine Continued fractions // With a preface by B. V. Gnedenko. Translated from the third (1961) Russian edition. Reprint of the 1964 translation. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1997

[28] D.H. Kim The shrinking target property of irrational rotations // Nonlinearity — 20 — 2007 — 7 — P. 1637-1643.

[29] D. Kleinbock Badly approximable systems of affine forms //J. Number Theory — 79 — 1999 — P. 83 - 102.

[30] D. Kleinbock Extremal supspaces and their submanifolds — GAFA — 13:2 — 2003 — P. 437-466.

[31] D. Kleinbock, B. Weiss Modified Schmidt games and Diophantine approximation with weights // Advances in Math. — 223 — 2010 — P. 1276-1298.

[32] J.F.Koksma Diophantische Approximationen // Berlin: Springer — 1936.

[33] C. McMullen Winning sets, quasiconformal maps and Diophantine approximation // Geom. Funct. Anal. — 20 — 2010 — P. 726-740.

[34] H. Minkowski Diophantische Approximationen; eine Einführung in die Zahlentheorie // Leipzig : Teubner — 1907.

[35] H. Minkowski Geometrie der Zahlen // Leipzig : Teubner — 1910.

[36] N. Moshchevitin A note on badly approximable affine forms and winning sets // Mosc. Math. J. — 11 — 2011 — no. 1 — P. 129-137.

[37] N. Moshchevitin Proof of W.M. Schmidt's conjecture concerning successive minima of a lattice // Journal of the London Mathematical Society - 86:1 - 2012 - P. 129 - 151.

[38] N.G. Moshchevitin On Kleinbock's Diophantine result // Publ. Math. Debrecen - 2011 - 79:3-4 - P. 129-137.

[39] W. M. Schmidt On badly approximable numbers and certain games // Trans. Amer. Math. Soc. - 123 - 1966 - P. 178-199.

[40] W. M. Schmidt Badly approximable systems of linear forms //J. Number Theory - 1 - 1969 - P. 139-154.

[41] W. M. Schmidt Diophantine approximation // Lecture Notes in Math. - vol. 785 - Springer-Verlag - Berlin 1980.

[42] W.M.Schmidt Open problems in Diophantine approximations // In "Approximations Diophantiennes et nombres transcendants' Luminy -1982 - Progress in Mathematics, Birkhauser (1983) -P.271 - 289.

[43] W. M. Schmidt Diophantine Approximations and Diophantine Equations // Lecture Notes in Math. - vol. 1467 - Springer-Verlag - Berlin - 1991.

[44] J. Tseng Badly approximable affine forms and Schmidt games // J. Number Theory - 129 - 2009 - P. 3020-3025.

[45] Y. Zhang Diophantine exponents of affine subspaces: The simultaneous approximation case //J. Number Theory — 129:8 — 2009 — P. 1976-1989.