Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче теории рассеяния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Козлова, Ольга Викторовна

• Козлова, Ольга Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козлова, Ольга Викторовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ.

1.1. Краевая задача теории рассеяния. Вспомогательные предложения.

1.2. Решения /(х,к) и <р(х, к). Существование, связь.

1.3. Фазовое уравнение.

1.4. Задача рассеяния как нелинейное операторное уравнение N = 0, N> 0.

1.5. Обратная задача рассеяния. Классическая постановка. Обзор основных результатов.

1.6. ОЗР в терминах фазовых функций. ОЗР как нелинейное операторное уравнение.

ГЛАВА 2. НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛОГ МЕТОДА НЬЮТОНА В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ.

2.1. Описание метода.

2.2. Построение решения обратной задачи рассеяния.

2.3. Решение интегрального уравнения.

2.4. Наличие дискретного спектра. Вычисление собственных значений.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ И ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

3.1. Вычисление потенциала без собственных значений.

3.2. Вычисление потенциала с собственными значениями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче теории рассеяния»

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы.

В первой главе изложена классическая постановка прямой задачи, даны основные понятия и определения, которые использовались в работе. Приведены постановки обратной задачи рассеяния, необходимые для изложения наших результатов в диссертации. Отмечены трудности на пути восстановления потенциала - обсуждается проблема единственности решения и проблема его устойчивости. Дан обзор основных результатов обратной задачи теории рассеяния.

В первом параграфе обсуждается формулировка прямой задачи, дается общий обзор основных понятий терии рассеяния: фаза рассеяния, амплитуда рассеяния. Приведены рассуждения, помогающие понять основные особенности спектра сформулированной задачи.

В квантовой механике стационарное состояние системы, состоящей из двух частиц с массами Щ и т2 и энергией к2 =Е можно описать волновой функцией удовлетворяющей уравнению Шредингера [91]:

- Д¥(х) + = , где v(*) - потенциал взаимодействия, - расстояние между частицами. Разложение Ч^по сферическим гармоникам приводит к краевой задаче: и" + [к2 -1(1 + l)x~2 - v(x)]u = О, 0 < jc < оо, т ir\ п (0.1)-(0.2) u}(v,k) = 0. - значение орбитального момента.

При достаточно быстром убывании v(x) при х->аэ и вещественных к решение задачи и{(х,к) имеет асимптотику: иj {х, к) я At (к) sin(fo: + (л-/2)/ - Sl (к)), х -> оо,

0.3)

Aj(k) называется амплитудой, a St(k) - фазой рассеяния или сдвигом фазы.

Прямая задача состоит в решении уравнения Шредингера, определяющего движение частиц под действием сил при заданном потенциале.

В работе рассматривается задача для случая / = 0. и" + [к2 - v(JC)]M = 0, 0 < j < оо u(0,k) = 0 ' (0.4X0.5) с так называемыми, короткодействующими потенциалами и предполагается, что v(x) вещественная измеримая функция, удовлетворяющая условию

00

Jx|v(x)|^<00> (0.6) о

Это условие называем основным условием, и всюду в дальнейшем в работе считаем выполненым.

Во втором параграфе собраны сведения о решениях задачи (0.4)-(0.5), введены определения функции рассеяния, данных рассеяния, функции Йоста.

Приведены результаты Марченко В.А. [87], который доказал что даные рссеяния определяют однозначно задачу (0.4)-(0.5). Им были найдены необходимые и достаточные условия.

В третьем параграфе наряду с описанной классической постановкой - рассматривается постановка с использованием фазового уравнения у'(х, к) = —v(x) sin2 [кх+у(х, к)]/ к (к- параметр). (0.7)

Начальные условия (0.5) при этом переходят в начальное условие у(0,к) = 0 (0.8) для уравнения (0.7).

При выполнении условия (0.6) решение задачи (0.7)-(0.8) обладает свойством шу{х,к) = 8{к). (0.9) t

В четвертом параграфе сформулирована прямая задача рассеяния, как нелинейное операторное уравнение, введены нормы в пространствах потенциалов и данных рассеяния.

Соответствие v->S (к), относящее каждому потенциалу V его данные рассеяния S^(к) позволяет определить отображение P:X->Y из пространства потенциалов X в пространство данных рассеяния Y.

Sy(k) = P(v). (0.10)

В пространствах X и Y вводятся нормы, показано, что отображение P:X->Y, с введенными нормами, определяет непрерывный оператор. В параграфе приведены основные дифференциальные свойства оператора Р.

В пятом параграфе дан обзор результатов по обратной задаче рассеяния. Приведены интегральные уравнения: Крейна, Марченко, Гельфанда-Левитана. Дан обзор литературы по этой теме.

В шестом праграфе в рамках модели (0.7)-(0.9) ставится обратная задача рассеяния в териминах фазовых функций: по заданной* функции найти такую функцию v(x) (0 < х < оо) ? чтобы решение у{х,к) задачи Коши (0.7)-(0.8) с потенциалом "К*), давало заданную предельную фазу S(k) в силу соотношения (0.9).

После чего, в рамках терминов и понятий прямой задачи рассеяния (см. соотношение (0.10)) обратная задача рассеяния сформулирована как нелинейное операторное уравнение:

P(v) = S(k). (0.11)

В такой постановке обратной задачи рассеяния в дальнейшем в работе будет использован метод введения непрерывного параметра.

Во второй главе развита идея применения непрерывного аналога метода Ньютона решения обратной задачи теории рассеяния без собственных значений и собственных функций на случай обратной задачи рассеяния с их наличием. Показано, каким образом собственные значения, если они существуют, входят в процедуру вычисления потенциала.

В первом параграфе приведен обзор метода введения непрерывного параметра.

Во втором параграфе построено устойчивое решение нелинейного операторного уравнения (0.11) обратной задачи рассеяния , которое в случае отсутствия собственных значений принимает вид

Р(у) = S(k). (0.12)

Для ОЗР с собственными значениями приведены расчетные формулы для вычисления вспомогательной фазы рассеяния и вспомогательного потенциала. Далее задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма I рода с помощью непрерывного аналога метода Ньютона. Обосновано изменение порядка процедуры предельного перехода по временному параметру непрерывного аналога метода Ньютона и I процедуры дифференцирования «фазовой» функции при построении уравнения Фредгольма I рода для решения.

Задача о решении интегрального уравнения Фредгольма I рода является некорректной задачей. Для ее решения в работе мы применяем метод регуляризации для интегральных уравнений первого рода, разработанный А.Н.Тихоновым.

Решение задачи минимизации функционала Тихонова рассмотрено в третьем параграфе.

Алгоритм вычисления собственных значений в случае наличия связанных сотояний в задаче приведен в четвертом параграфе главы.

В третьей главе приведены результаты численных экспериментов, на основе расчетных формул, полученных в третьей главе.

В первом параграфе для модельных исходных потенциалов [46], не допускающих связанных состояний, решена прямая задача вычисления предельной фазы. После этого решалась обратная задача рассеяния с несколькими вариантами входных данных и стабилизирующих функционалов в методе тихоновской регуляризации построения сглаживающего функционала.

Во втором параграфе для потенциалов допускающих связанные состояния [19] решена прямая задача вычисления предельной фазы. Вычисленная фаза принимается за экспериментальную. Количество собственных значений, соответствующее экспериментальной фазе, проверяется из условия теоремы Марченко для фазы рассеяния. По приведенным в диссертации формулам, строится новая фаза, для которой собственные значения отсутствуют. Для новой фазы решается обратная задача рассеяния > (без собственных значений). Построенный таким образом «промежуточный» потенциал обратной задачи рассеяния (без . собственных значений) сравнивается с исходным.

Приведенные численные результаты подтверждают правильность и эффективность разработанного алгоритма и созданного комплекса программ.

В заключении перечислены основные оригинальные результаты, содержащиеся в диссертации.

Полученные в диссертации результаты опубликованы в 9 работах [58-66], в том числе в трех работах опубликованных в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах: XXXVII, XXXVIII, и XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, 2002,2003,2004,2005,2006); на международной конференции «Тихонов и современная математика» (2006); на научных семинарах под руководством профессора Е.ШКидкова, профессора Л.А.Севастьянова, профессора Е.Б.Ланеева в РУДН, на семинаре МИЭМ под руководством доктора технических наук, профессора Афанасьева В.Н.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козлова, Ольга Викторовна, 2007 год

1. LevinsonN. «Kgl.danske vid. selskab. Mat.-fys.medd», 1949, Bd 25, №9.

2. Jost R., Kohn W. «Phys.Rev.», 1952, v.88, p.382.

3. Jost R., Kohn W. Kgl.danske vid. selskab. Mat.-fys.medd», 1953, Bd 27, .№9.

4. Swan P., Pearse W.A., Nucl. Phys. 79,77,1966.

5. Ulehlal. e.a. «Phys.Ber.», 1969, Bd 19, s.1570.

6. Ulehla I. e.a.Rutherford Laboratory Preprint, RPP/C/41, March, 1972.

7. Ulehla I, Lehar F.,Bystricky I. Preprint E-2440, Dubna, 1965. 8. O.Bergmann, Acta Phys.Soc. Austdaca 4,62 (1950). 9. G.I.Kynch, Proc. Phys.Soc. A65, 83, 94 (1952). 10. P.O.Olsson, Ark. Fys. 4,217 (1952). 1 l.P.M.Morse a. W.P.Allis, Phys. Rev. 44,269 (1933). 12.M.M.Crum. The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford, 6, 2, 121-128,1955.

8. Агранович 3.C., МарченкоВ.А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков, Изд-во Харьковского университета, 1960. Ы.Ахиезер Н.И. Лекции по теори аппроксимации. М., «Наука», 1965

9. Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М., «Наука», 1968.

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельников Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 84

11. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. Издательство Московского университета, 1983.

12. Визнер Я., Жидков Е.П., Лелек В. и др. Итерационные методы решения обратной задачи теории рассеяния. ЭЧАЯ, 1978, т.9, вып.З, 711. 2О.Визнер Я., Жидков Е.П., Лелек В. Метод расчета нотенциала нутем введения параметра. Сообщения ОИЯИ Р5-3895, Дубна, 1968. 21.By Т.Ю., Омура Т. Квантовая теория рассеяния. М., «Наука», 1969.

13. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных процессов. Изв. вузов. Серия математика, 1958, №5(6), 18.

14. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М., «Наука», 1971.

15. Гельфанд И.М., Левитан Б.М., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР, 15, 309,1951.

16. Давыдов А.С. Квантовая механика. М., «Наука», 1973. 26.Де Альфаро В., Редже Т. Потенциальное рассеяние. М., «Мир», 1966.

17. Денисов A.M. О численном решении обратной задачи рассеяния. ЖВМ и МФ, 1977, т.17, №3, с.753-756.

18. Денисов A.M. Вестник МГУ (выч.мат.киберн.), №2, с.77,1978.

19. Дирак П. Лекции по квантовой механике. М., «Мир», 1968. ЗО.Друкарев Г.Ф., Об определении фазы волновой функции при рассеянии частиц. //ЖЭТФ, т. 19,247,1949.

20. Дьяконов В.Н. MATLAB 6: учебный курс. СНб.: Нитер, 2001. 85

21. Егикян Р.С, Жидков Е.П. К теории непрерывного аналога метода Ньютона. Сообщения ОИЯИ Р11-84-361, Дубна, 1984. Зб.Егикян Р.С, Жидков Е.П. Квадратурные формулы для интеграла Фурье, основанные на сплайн-интерполяции. Сообщения ОИЯИ Р5-87285, Дубна, 1987.

22. Егикян Р.С, Жидков Е.П. О конечно-разностном подходе в обратной задаче рассеяния. Сообщения ОИЯИ Р5-85-858, Дубна, 1986

23. Егикян Р.С, Жидков Е.П. О решении обратной задачи рассеяния на полуоси. В кн.: 4 международный симпозиум .по избранным проблемам статистической механики. Сборник аннотаций. ОИЯИ, Д1787-477, Дубна, 1987, с. 34.

24. Егикян Р.С, Жидков Е.П. Об одном методе решения обратной задачи рассеяния. Сообщения ОИЯИ Р5-85-366, Дубна, 1985. 4О.Егикян Р.С, Жидков Е.П. Об устойчивом суммировании интегралов Фурье некоторыми регулярными методами. Сообщения ОИЯИ Р11-84-360, Дубна, 1984.

25. Жидков Е.П. Некоторые нелинейные задачи современной физики и математические методы их решения. Докторская диссертация. ОИЯИ, Дубна, 1970. 42.ЖИДКОВ Е.П., Казаринов Ю.М., Макаренко Г.И, Ракитский А.В. Решение обратной задачи рассеяния методом введения непрерывного параметра. Сообщения ОИЯИ Р1-5306,1970. 86

26. Жидков Е.П., Козлова О.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче теории рассеяния при наличии собственных функций и значений. Математическое моделирование, 2006, Т. 18, 2, 120-128.

27. Жидков Е.П., Козлова О.В. О методе регуляризации решения интегрального уравнения в обратной задаче рассеяния. XL Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. М.: Изд-во РУДН, 2004. 159-160.

28. Жидков Е.П., Козлова О.В. Связанные состояния в обратной задаче рассеяния. Применение робастной схемы прогнозирования временных рядов для решения задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей.//Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика», 2005, Т. 4, 1, 67-75.

29. Жидков Е.П., Козлова О.В. Связанные состояния в обратной задаче рассеяния. XLI Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. М.: Изд-во РУДН, 2005. 13-14.

30. Жидков Е.П., Козлова О.В. Численные методы в обратной задаче рассеяния при наличии собственных функций и значений. XLII Всероссийская информатики, научная физики, конференция химии и по проблемам методики математики, преподавания 89

31. Дубна, 1978. 68.3ахарьев Б.Н., Мельников В.Н., Рудяк Б.В., Сузько А.А. Обратная задача рассеяния (конечно-разностный нодход). ЭЧАЯ, 1977, Т.8, ВЫН.2, 290.

32. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М., «Наука», 1978. 7О.Калиткин Н.Н. Численные методы. М., «Наука», 1978.

33. Калоджеро Ф. Метод фазовых функций и теории потенциального рассеяния. М., «Мир», 1972.

34. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., Физматиз, 1959.672-693

35. Короп В.Ф. Сиб.математический журнал, т.П, №5, 672-693, 1961.

36. Крейн М.Г. ДАН СССР, 94, с.987,1953.

37. Крейн М.Г. ДАН СССР, 97, с:21,1954.

38. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Т.З. М., «Наука», 1969.

39. Левин Б.Я., ДАН СССР, 106,187-190,1956.

40. Левитан Б.М. Достаточные условия разрешимости обратной задачи теории рассеяния на всей прямой. Мат.сб., 1979, т. 108, №3, с.350-357. 90

41. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение

42. Левитан Б.М. Онераторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. Физматгиз М., 1962.

43. Лундина характеризующих Д.Ш., Марченко В.А. Уточнение неравенств, устойчивость обратной задачи теории рассеяния. //Математический сборник. т.78(120), №4, с.475 484,1969.

44. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М., «Наука», 1965.

45. Марченко В.А. Некоторые вонросы теории дифференциального оператора второго порядка. ДАН СССР, т.72, с.457,1950.;

46. Марченко В.А. Устойчивость обратной задачи теории рассеяния.//Мат.сб.,77(119), 139,1968.

47. Марченко В.А. Спектральная теория операторов ШтурмаЛиувилля. Киев. «Наукова думка», 1972.

48. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев. «Наукова думка», 1977.

49. Мельников В.К. О приближенных методах в обратной задаче квантовой теории рассеяния. УМН, 1959,14, вып.4, с.121-131.

50. Мельников В.К. Мат. Сборник, т.1О8, с.378,1979.

51. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М., «Мир», 1969.

52. Петровский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. М.: «Едиториал УРСС», 2003 91

53. Пузынин И.В., Амирханов И.В., Земляная Е.В., Первушин В.Н., Пузынина Т.П., Стриж Т.А. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных вантовополевых моделей. ЭЧАЯ, 1999, т.ЗО, вын.1.

54. Соболев Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., «Наука», 1988. 96.ТИХОНОВ А.Н., Арсении В.Я., Методы решения некорректных задач. М., «Наука», 1974. 97.ТИХОНОВА.Н. ДАН СССР, 156,1,1964.

55. Фадеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. В кн. Современные проблемы математики, т.З, М., ВИНИТИ, 1974, с.93.

56. Фадеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. УМН, 1959, Т.14, ВЫП.4 (88), стр.57.

57. Фадеев Л.Д. Свойства s-матрицы одномерного уравнения Шредингера. Мат.инст. им. Стеклова АН СССР, т.73, с.314,1964.

58. Фадеев Л.Д. ДАН СССР, тЛ21, с.63, 1958 (гл.7, §5; предисловие)

59. Фадеев Л.Д. Факторизация s-матрицы многомерного оператора Шредингера. ДАН СССР, т. 167, .№1, с.69,1966.

60. Фадеев Л.Д. Квантовая механика для математиков.

61. Фадеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантово механике для студентов математиков. Издательство ЛГУ, 1980.

62. Задачи по квантовой механике. Т.1-2. М.., «Мир», 1974

63. Христов Е.Х. Препринт ОИЯИ Р5-11251, Дубна, 1978. 92

64. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М., «Мир», 1980. 93