Неравенства Джексона-Стечкина для $\tau$ -модулей гладкости и значения поперечников в $L_2$ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Олифтаев Нодир Фезилобекович

• Олифтаев Нодир Фезилобекович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Олифтаев Нодир Фезилобекович

Введение

Глава I. Наилучшее полиномиальное приближение функций в Ь2[0, 2п], структурные свойства которых характеризуются т-модулями гладкости

§1.1. Описание различных модификаций модуля непрерывности. т-

модули гладкости

§1.2. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и т-модуль

гладкости функций из Ь2

§1.3. Общая экстремальная задача для т-модулей гладкости т-го

порядка в Ь2

Глава II. Значения п-поперечников классов функций, определяемых т-модулями гладкости

§2.1. Необходимые определения и обозначения

§2.2. Точные значения п-поперечников класса W(r\тm; К)

§2.3. Точные значения п-поперечников класса W(((r)(т1; р,Ь) и некоторые следствия из полученных результатов

§2.4. Точные значения п-поперечников класса Wq(r)(тl;Ф)

Заключение

Список литературы

Введение

Общая характеристика работы Актуальность темы

Одной из наиболее важных задач теории приближения функций является задача отыскания точных констант в неравенствах типа Джексона -Стечкина. Под неравенствами типа Джексона - Стечкина в широком смысле понимают неравенства, в которых величина наилучшего приближения конечномерным подпространством оценивается через некоторую ее характеристику гладкости. В качестве характеристики гладкости функции, как правило, рассматривают либо модуль непрерывности, либо различные модификации классического определения модуля непрерывности.

В диссертационной работе установлены окончательные оценки наилучших приближений тригонометрическими полиномами посредством т-модулей гладкости произвольного порядка и даны их приложения в задаче отыскания точных значений п-поперечников некоторых функциональных классов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неравенства Джексона-Стечкина для $\tau$ -модулей гладкости и значения поперечников в $L_2$»

Цель работы

Цель работы состоит в нахождении точных верхних граней наилучших приближений тригонометрическими полиномами на классах непрерывно-дифференцируемых функций, определяемых т-модулями гладкости, и отыскании точных значений различных п-поперечников на указанных классов функций.

Научная новизна

В диссертации получены следующие основные результаты:

• Найдены точные неравенства типа Джексона - Стечкина между величинами наилучших среднеквадратичных приближений периодических дифференцируемых функций и т-модулями непрерывности высших порядков г-ых производных функций.

• Найдены точные верхние грани наилучших полиномиальных приближе-

ний некоторых классов периодических дифференцируемых функций, задаваемых т-модулями непрерывности т-го порядка.

• Вычислены точные значения различных п-поперечников на классах функций, задаваемых усредненными с весом значениями т-модулей непрерывности высших порядков производных.

Основные методы исследования

В диссертации используются современные методы теории приближения оптимизационного содержания и методы решения экстремальных задач теории функций. Неоднократно используется хорошо известная теорема Тихомирова об оценке снизу п-поперечников.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертация имеет теоретический характер. Развитые в ней методы и полученные результаты могут применяться при решении других задач теории приближения, в вопросах кодирования и восстановления функций. Главы диссертации в отдельности могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов высших учебных заведений, обучающихся по специальности математика.

Апробация работы

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на:

• семинарах отдела теории функций и функционального анализа Института математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан под руководством академика АН РТ М.Ш.Шабозова (Душанбе, 2012-2016 г.);

• международной научной конференции „Современные проблемы математического анализа и теории функций" (Душанбе, 29-30 июня 2012 г.);

• международной научной конференции „Современные проблемы математики и ее преподавания", посвященной 20-летию Конституции Республики Таджикистан (Худжанд, 28-29 июня 2014 г.);

• международной научной конференции, посвященной 80-летию член-корреспондента АН Республики Таджикистан, доктора физико-

математических наук, профессора Стаценко Владислава Яковлевича Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (Душанбе, 27-28 апреля 2015 г.);

• международной научной конференции „Современные проблемы математики и ее приложений" (Душанбе, 3-4 июня 2016 г.);

• международной летней математической Школе-Конференции С.Б. Стеч-кина по теории функций (Таджикистан, Душанбе, 15-25 августа 2016 г.)

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 8 работах [68-75]. Из них 4 статьи опубликованы в изданиях, входящих в действующий перечень ВАК Российской Федерации, а 4 статьи в трудах международных конференций. Из совместной с научным консультантом М.Ш.Шабозовым работы [69] на защиту выносятся лишь результаты, полученные лично автором. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 75 наименований, занимает 82 страниц машинописного текста и набрана на ЬаТеХ. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первая цифра совпадает с номером главы, вторая указывает на номер параграфа, а третья на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации обосновывается актуальность рассматриваемых задач, формулируются цель и основные результаты работы.

В первом параграфе приведена краткая историческая справка о предварительных результатах, имеющих непосредственное отношение к теме диссертационной работы, а также дано описание различных модификаций классического определения модулей непрерывности с целью сравнения полученных результатов с ранее известными. Использование различных

модификаций классического модуля непрерывности т-го порядка

; % = ||дт(/; ОИх : |Н| < *}, (0.0.1)

где

т / \ Д'Л/; х) = £(-1)т-к ™ / (х + (т - к)Н) к=0 ^ '

- разность т-го порядка функции / € X, X - произвольное нормированное пространство, продиктовано специфическими условиями рассматриваемых задач, раскрывающих сущность исследуемых проблем. В качестве примера использования разнообразных модификаций модулей непрерывности укажем на известные работы М.К.Потапова и его учеников [39-42], в которых были использованы вместо оператора сдвига Тн/(х) := /(х + Н) различные виды усредняющих операторов. В этой связи также укажем работу В.А.Абилова и Ф.В.Абиловой [1], где вместо оператора сдвига Тн/(х) используется функция (оператор) Стеклова

5н/(х) = ^ I /(х + Н > 0.

-н

Согласно [1] для произвольной функции / € X конечные разности определим следующим образом:

дН(/; х) = 5н/(х) - /(х) = (5н - Е)/(х),

Дт(/; х) = Дн (ДГ1/; х); х) =

т

\т .с/„Л \ V 1 \т—к I \ пк

1 / \

(5н - Е)т/(х) = ^(-1)т-к т)5к/(х), т = 2,3,...,

к=0 ^ '

где

50/(х) = /(х), 5к/(х) = 5н (5к-1/(х)) , к = 1,т, т € М,

н

Е - единичный оператор в пространстве X.

Наряду с величиной (0.0.1), модулем непрерывности т-го порядка функции / € X также называют величину

^ т(/; *) = вир| Д 1(/; •) х : |Н| < г\ =

= sup

J j(—i)m—kf

I k=0 ^

m—k I m \ ok r( \

k rhf u

: 0 < h < t\ .

(0.0.2)

Пусть N - множество натуральных чисел; Ъ+ = N и {0}; - множество неотрицательных чисел вещественной оси. Через Ь2 := Ь2[0, 2п] обозначим пространство суммируемых с квадратом по Лебегу 2п-периодических функций / с нормой

i

2п

1/2

I/112 := ||f||L2[0,2n] = I П f(X)I

<.

Под T2n—1 понимаем подпространство тригонометрических полиномов порядка n — 1.

Хорошо известно, что для произвольной функции / Е L2, имеющей формальное разложение в ряд Фурье

/(x) - ^ + jj(ah(/) cos kx + bk(/) sin kx), (0.0.3)

k=i

где ак(/), Ьк(/) - косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции / Е Ь2, величина ее наилучшего приближения элементами Тп-1 Е Т2п-1 равна

Еп-х(/)2 = II/ - Тп—11|2 : Тп-1 Е Т£п_1} = ||/(•) - £п_1(/; ОЦ2 =

30 1/2 ( з ^ 1/2

£(4(/) + Ь1 (/)) = £ р2(/)!• , (0.0.4)

. k=n

. k=n

где

Pk(/) := -k(/) + bk(/),

-о (/) n—i

Sn—1(/; x) := -°2--h ^(-k(/) cos kx + bk(/) sin kx)

2 k=1

частная сумма порядка n — 1 ряда Фурье функции /.

Под ¿2r) (r Е Z+, L20) = L2) понимаем множество функций / Е L2, у

(0)

2

которых производные /(r—1), r Е N, абсолютно непрерывны, а производные /(r) Е L2.

При решении экстремальных задач теории полиномиальной аппроксимации функций / € Ь2 наиболее актуальным является вопрос отыскания точных констант

(ит; *) := вир | и/-1/)2 : / € 4°; / = сеш*} (0.0.5)

в неравенствах типа Джексона-Стечкина

X

Еп-1(/)2 < ^ ит (/(г); ¿/п)2, (0.0.6)

где ит - некоторая характеристика гладкости самой функции / или некоторой ее производной /(г),г € М, например ит = или ит = Пт. Неравенство (0.0.6) и определение констант в (0.0.5) было объектом многочисленных исследований. В этой связи отметим, например, работы Н.И.Черных [55-57], Л.В.Тайкова [46-48], Н.Айнуллоева [2,3], А.Г.Бабенко [4-6], В.В.Жука [22-24], Х.Юссефа [67], В.И.Иванова и О.И.Смирнова [25], А.А.Лигуна [32-34], С.Н.Васильева [20], В.В.Шалаева [66], С.Б.Вакарчука [9-17], С.Б.Вакарчука, М.Ш.Шабозова и В.И.Забутной [18,19], М.Ш.Шабозова [58, 59], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [60-62], М.Ш.Шабозова и С.Б.Вакарчука [63] и многих других математиков (см., например, более полную библиографию в работах [17-19] и [60-63]).

Для исследования структурных и конструктивных свойств величины наилучшего приближения функций алгебраическими полиномами в пространствах Ьр[а,6] (1 < р < то) и С[а,6] Камен Г. Иванов [26,27] ввел в рассмотрение новые модификации модулей непрерывности — так называемые т-модули гладкости, и изучил их свойства и связи с известными дифференциально-разностными характеристиками.

В диссертационной работе мы воспользуемся указанными величинами для решения ряда экстремальных задач теории полиномиальной аппроксимации в Ь2, развивая и обобщая ранее известные результаты С.Б.Вакарчука [10] для т-модулей гладкости.

Пусть Л есть произвольная положительная 2п-периодическая функция, а и - непрерывная неотрицательная функция периода 2п.

Определение [26,27]. т-модулем гладкости т-го порядка функции / Е Тшах(Р,Р')[0, 2п] (р,р > 1) называют величину

p' Hp

(0.0.7)

где

Л(х)

1/p'

Wm(/,x; Л(х))р' =

2Л(х)

|дт/(x)ip dh

-Л(х)

Камен Г. Иванов в работе [26], в частности, установил, что если, например, Л(х) = u = const > 0, / Е Lp[0, 2п], w(x) = 1 и p' Е [1,p], 1 < p < то, то имеет место соотношение

Tm(/; 1,u)p,p' х ^,m(/, u)p,

где символом „ х " обозначают слабую эквивалентность приведенных характеристик гладкости. При изучении экстремальных задач теории аппроксимации функций / Е L2, структурные характеристики которых выражаются т-модулями гладкости, С.Б.Вакарчук ввел в рассмотрение следующие экстремальные аппроксимационные величины:

КП,г,т(t)p' := sup (—1(/)2— : / Е Lr); / = const! ,

тг

/(r); 1,t/n)p',2

(0.0.8)

Kn,r,m(h)p' : =

:= sup <

nr En-i(/)2

h x1/2

' -2(/(r) ;1,t)p',2dt

/ Е L2r), / = const >

т

,0

где 1 < p' < 2, t, h Е R+\{0}.

Следующие две теоремы принадлежат С.Б.Вакарчуку [10].

(0.0.9)

1

Теорема A. Для любых чисел m, n G N, r G Z+ и 0 < t < п справедливо равенство

f t 1 1/2

Kn,r,m(t)2 = , (0.0.10)

где

v

Jm(v) := ^(1 - cos T)mdr. (0.0.11)

0

Теорема B. При любых m,n G N,r G Z+ и любой h G (0,п/п] выполнено следующее равенство

( f - -1/2

K!r,m(h)2 = \ (nu)-1 Jm(nu)du I . (0.0.12)

Эти теоремы являются отправным пунктом для нашего дальнейшего исследования в последующих параграфах.

Во втором параграфе первой главы, в частности, приведено обобщение результата теоремы B как следствие более общего утверждения. С этой целью докажем точное неравенство Джексона - Стечкина между величиной наилучшего приближения тригонометрическими полиномами гладкой функции из

Г(г) Т .. „

L2 и Lq-нормой т-модули гладкости m-го порядка ее r-й производной. Основным результатом данного параграфа является следующая Теорема 1.2.1. Пусть p = 2, 1/r < q < 2, r G N и h G [0,п/п]. Тогда для произвольной функции f G L2r) имеет место неравенство

h - 1/q

[ Tm (f (r);1,t)2,2 dt

En-i(f)2 <---—-L--nz. (0.0.13)

nh \ ' 1

r- l/q I f U-1 ^ i+\\q/2

2m/2 nr-1/q I (t-1Jm(t^ ^ dt

Неравенство (0.0.13) точно в том смысле, что существует функция (г)

/0 С ), обращающая его в равенство. Из теоремы 1.2.1 вытекает

Следствие 1.2.1. В условиях теоремы 1.2.1 имеет место равенство

«л \ -1/9

8ир 2т/2 Е«-1(/^ = [¡{Г1^)Г . (0.0.14)

/е4° (нг 4 '

М*™* I гт (7(Г), 1; ^)2,2 ^

т V

>0

Замечание. Из равенства (0.0.14), в частности, при д = 2 получаем утверждение теоремы В в виде равенства (0.0.12).

В третьем параграфе первой главы с целью выяснения структурных и

(Г)

конструктивных свойств функции f Е ^2 посредством т-модулей гладкости т-го порядка вводится экстремальная аппроксимационная характеристика следующего вида:

~ ( М 2т/2^«-1(/)2 /ПП1КА

Хт,п,гЛ(Тт,^; К)р = 8ир -т-Т-, (0.0.15)

/е4° / л 4 /<?

/=соп^ (у тт(/(г), 1;¿)р/,2^

где 1 < р/ < 2, 0 < д < 2, К Е М+\{0} и ^ - неотрицательная суммируемая не эквивалентная нулю на отрезке [0, К] функция. Здесь и далее в соотношениях общего характера отношение 0/0 будем считать равным нулю.

Для вычисления точных значений различных п-поперечников и вычисления точных верхних граней наилучших приближений на классах функций во второй главе определенный интерес представляет отыскание точного значения величины (0.0.15).

Имеет место следующее общее утверждение.

Теорема 1.3.1. Пусть т,п Е М, 0 < д < 2, г Е Ъ+, К Е (0,п/п], ^ -неотрицательная суммируемая и не эквивалентная нулю на отрезке [0, К] функция. Тогда имеют место неравенства

1 < Хп,т,г,4(<£; К)2 < —,—-Г—ГЧ, (0.0.16)

где

в«,т,г,9К) «,т,г,9 К) '

/л \ 1/9

^т.г.д(^ К) := ( ((^)-1 ^т(^)) | . (0.0.17)

Отметим, что утверждение теоремы 1.3.1 в определенном смысле является

обобщением результата М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [60], на случай оценки

(г'

наилучшего полиномиального приближения функций f £ L2 ' посредством

модуля непрерывности m-го порядка (0.0.1) на случай наилучшего полино-

(г'

миального приближения функций f £ L2 посредством т-модулей непрерывности m-го порядка (0.0.7).

Из теоремы 1.3.1 вытекает ряд следствий.

Следствие 1.3.1. Пусть k,n,m,r £ N, k > n; 1/r < q < 2; ^>(t) > 0

- суммируемая на [0,h] функция, не эквивалентная нулю, 0 < h < n/n. Тогда, если

inf { h) : k > nj = en,m,r,q (^ h) , (0.0.18)

то имеет место равенство

h)2 = {en,m,r,qfe h)} . (0.0.19)

В частности, равенство (0.0.19) выполняется для весовой функции

^(t) := ^i(t) = (kt)q/2, n < k< oo, k,n £ N при 1/r < q < 2, r £ N.

Из теоремы 1.3.1 вытекает следующая

Теорема 1.3.2. Пусть r £ Z+; k,n £ N;0 <q < 2;0 < а < n; g(t) > 0

- суммируемая на отрезке [0, а] функция, не эквивалентная нулю. Тогда имеют место следующие неравенства:

1 2m/2nr En-i(f )2

__I _i /2

1 / < sup -rj- <

1/q f£L2r) ( a ^ 1/q

f=conSt / у Tm(f (r';1,t/n)2,2 g(t)dt

1

<

{ inf (а; g; x)|

L 1< x<oo J

i/q'

где

Mm,r,q(а; g; x) := xrq / ^(xt) Jm(xt))q/ g(t)dt.

m

а

Если при этом функция g такова, что

inf j(a; g; x) : 1 < x < то} = ^m,r,q(a; g; 1),

то справедливо равенство

2m/2 nr En_ i(f )2 1 sup -n UJ;2-гг =-гг. (0.0.20)

I i,m (f(r);i,t/„)2,2g(t)dtr i"™(a; g;

,0

В свою очередь из теоремы 1.3.2 вытекает

Следствие 1.3.2. Пусть 0 < a < п; m,n,r Е N. Если для некоторого q Е (0, 2] функция g(t) := trq-1g1(t), где g1(t) > 0 - невозрастающая суммируемая на отрезке [0, a] и не эквивалентная нулю функция, то выполняется равенство

inf {Mm,r,q(a; trq-1g1 (t); x) : 1 < x < то} = (a; trq-1gi(t); 1) (0.0.21) и справедливо соотношение

2m/2nr En-1(f )2 sup -ту- —

/EL?' I a 4 1/q

f=<»-«■" I у rm (/(r);1,t/n)2,2 irq-1gi(i)di

(a;

it? (0.0.22)

Приведенные результаты, в силу своей общности, не позволяют точно вычислить значения п-поперечников классов функций, естественно возникающих из определения величины (0.0.15). Однако это удается сделать в конкретной ситуации, например в случае т = 1 для произвольной неотрицательной суммируемой весовой функции которая не эквивалентной нулю.

Теорема 1.3.3. Пусть т = 1, п Е М, 0 < д < 2, г Е 0 < Н < 3п/(4п), ^ - неотрицательная суммируемая на отрезке [0, Н] не эквива-

1

лентная нулю функция. Тогда имеет место равенство

ХпХгл(<£; Н)2 = I пг?

1 - ^ "2

п4

1

(0.0.23)

Равенство (0.0.23) перепишем в эквивалентном виде

вир

/

^2 пг Е- (/)2

1/?

(/(г); 1,4)2,2

вт пА ?/2 , ч 7

1 - -пг)

-1/?

(0.0.24)

Хорошо известно, что для функции / € £2 , где г = 2,3,..., ее промежуточные производные /(г-в) (й = 1, 2,..., г - 1) принадлежат пространству £2. Представляет интерес отыскание точных верхних граней величины

Еп-1(/(г-в))2 на классе ь2г). Подобная задача решалась в работе [17], когда

(V)

гладкостная характеристика функций / € £2 задавалась специальным модулем непрерывности т-го порядка ^т(/; 4), конструкция которого основана на т-кратной итерации оператора Стеклова

н

5Н(/; х) = / (х + 4)^4.

-н

В рассматриваемом нами случае доказательство нижеследующего утверждения основано на использовании экстремального равенства (0.0.24) и следующего неравенства типа Колмогорова

Е„-1(/(г-в>)2 < Е„-1(/)2/гЕ„-1(/(г>гё-/г,

верного при всех й = 1, 2,..., г.

Теорема 1.3.4. Пусть п € М; г € М\{1}; й = 1,2,..., г - 1; 0 < Я < 2; 0 < Н < 3п/(4п); ^(4) > 0 - суммируемая на отрезке [0, Н], не

н

1

эквивалентная нулю функция. Тогда имеет место равенство

sup

л/2 nsEn_i(/(r-s))2

(r) / h

2

/ el

/=const I It q (/(r);1,t)2,2 0

i/q

h q/2 4 -1/q

1 -—' ^(t)dt| . (0.0.25)

Пусть n E N; r E N\{1}; s = 1, 2,...,r - 1; q = 2; 0 < h < 3n/(4n) и ^>(t) = 1. Тогда

nSEn-l(/(r-s))2 Г П \1/2 (0 0 26)

^ Th-V^ = № - Si(nh)^ , (0.0.26)

f=const I J т2(/ (r); 0

Ti (/(r);1,t)2,2dt

x

где Si(x) = J —у— dt - интегральный синус.

0

Если же n Е N; r E N\{1}; s = 1, 2,... ,r - 1; q = 2; 0 < h < 3n/(4n) и ^>(t) = t, то справедливо равенство

nSEn-l(/(r-s))2 _1__(0 0 27)

sup ---1/2 =-■ 2. (0.0.27)

/=£ IJ tT2(/(r). 1, t)22dt | hy1 - ( ^—in

Во второй главе диссертационной работы рассматривается экстремальная задача вычисления точных значений n-поперечников различных классов функций из L2r), определяемых т-модулями гладкости m-го порядка своих r-тых производных /(r). Необходимые определения и обозначения, которыми воспользуемся при вычислении различных n-поперечников заданных классов функций, излагаются в первом параграфе второй главы: пусть M С L2 - некоторый класс функций и пусть Ln С L2 - некоторое подпространство

заданной размерности п. Величину

Е(Ш, ^ = вир{Е(/; : / € ш} =

= 8ир{т£{||/- 9Ц2 : 9 € ¿п} : / € ш} (0.0.28)

называют наилучшим приближением класса Ш подпространством ¿п размерности п. Величина (0.0.28) характеризует отклонение класса Ш от подпространства ¿п в метрике пространства ¿2. Если обозначить через А(£2, ¿п) — множество всех линейных непрерывных операторов А : ¿2 ^ ¿п, действующих из ¿2 в произвольно заданное подпространство ¿п С ¿2 размерности п, то возникает следующая задача: требуется найти величину

Е(Ш, ¿пк = т^зир! |/ - А/12 : / € ш} : А € Л(^2, ¿п)} (0.0.29)

и указать линейный оператор А* С А(£2, ¿п), реализующий точную нижнюю грань в правой части соотношения (0.0.29), то есть

Е(Ш, ¿п)^2 = зир{ |/- А*/1|2 : / € ш}.

Если же в А(£2, ¿п) выделить класс ¿п) операторов А линейного про-

ектирования на подпространство ¿п, то есть таких, что А/ = / при условии / € ¿п, то принято рассматривать величину

^(Ш, ¿пк =

= т£{вир{ / - А/ 2 : / € ш} : А СА1 (£2,¿п)}. (0.0.30)

С величинами (0.0.28) - (0.0.30) связана задача отыскания значения п-поперечников для различных классов функций Ш. Напомним определения п-поперечников, значения которых для конкретных классов Ш вычислим в этой главе.

п-поперечником в смысле А.Н.Колмогорова [28] класса функций Ш в пространстве ¿2 называют величину

¿п(Ш,Ь2) = Е(Ш,¿п)^2 : ¿п С ¿2},

(0.0.31)

где нижняя грань берётся по всем подпространствам заданной размерности п из пространства ¿2. Если исходить из наилучшего линейного приближения Е(Ш, ¿п)ь2, то величину

¿п(Ш,Ь2) = Е(Ш, ¿п)^2 : ¿п С ¿2} (0.0.32)

называют линейным п-поперечником класса Ш в пространстве ¿2.

Аналогичным образом, взяв за основу величину (0.0.30), вводят в рассмотрение проекционный п-поперечник

Пп(Ш,£2) = Е1(Ш, ¿п)^2 : ¿п С ¿2}. (0.0.33)

Существуют ещё две величины, известные в теории приближений под названиями п-поперечник по Гельфанду и п-поперечник по Бернштейну. Пусть S - единичный шар в пространстве ¿2, то есть

5 = {х € ¿2, ||х||2 < 1}.

Величину

^(Ш,^) = Ш П£п С : £ > 0} : ¿п С Ь^, (0.0.34)

где внешний инфимум берётся по всем подпространствам ¿п коразмерности п, называют п-поперечником по Гельфанду, а величину

Ьп(Ш; ¿2) = вир{вир{£5 П ¿п+1 С Ш : £ > 0} : ¿п+1 С Ь^ (0.0.35)

называют п-поперечником по Бернштейну.

Хорошо известно, что в гильбертовом пространстве Ь2 между величинами (0.0.31) - (0.0.35) выполняются следующие соотношения [38,53]:

Ьп(Ш; ¿2) < ¿п(Ш; ¿2) < ¿п(Ш; ¿2) = ¿п(Ш; ¿2) = Пп(Ш; ¿2). (0.0.36)

Исходя из полученных в первой главе результатов, связанных с характеристикой гладкости тт(/; 1,и) /, определим следующие классы функций. Через (тт; Н) обозначим класс функций / € ¿2г), для которых при

любых г, т € М, Н € К+\{0} и 1/г < я < 2 выполняется неравенство

н

Н/ тт(/(Г); 1,4)2,2 ^ < 1. 0

Символом Ж(г)(г1; Н), где 1/г < д < 2, г Е М, обозначим класс функций / Е Ь2Г), для которых при любом Н Е М+\{0} и произвольной неотрицательной суммируемой на отрезке (0, Н] функции ^ выполняется ограничение

н

Ц т?(/(г); 1,и)2,2 < 1.

0

Через Ж?(г)(г1;Ф) обозначим множество функций / Е ¿2Г), для которых при любых г Е М, 1/г < д < 2, Н Е [0, 2п] выполняется условие

н

Ну т?(/(г);1,и)2,2¿и < Ф?(Н), 0

где Ф(Н) - неотрицательная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0.

Основным результатом второго параграфа второй главы является следующее утверждение.

Теорема 2.2.1. Пусть г, т Е М, Н Е М+\{0} и 1/г < д < 2. Тогда при любых п Е N имеют место равенства

Л2пИг)(тт; Н); ¿2) = Л2П-1(Ж?(г)(тт; Н); ¿2) = Е(Ж?(г)(тт; Н), Т^к =

пН \ -1/?

Н

= 2-т/2п-г+1/? ^нУ (*-1^т(*))? ^ , (0.0.37)

где Ап(-) - любой из п-поперечников 6п(^), ¿п(0, ¿п(0, £п(0 или пп(-).

Следствие 2.2.1. При выполнении условий теоремы 2.2.1 справедливы равенства

А2п(^?(г)(т1; Н); ¿2) = А2п-1(^(г)(Т1; Н); ¿2) = Е(^(л; Н), Тп-^ =

/ пН ?/2 \ -1/?

= 2-1/2п-Г+1/? ( 1Д1 - ^у ^ 1 . (0.0.38)

В частности, при д = 2 имеем А2п№(г)(ть Н); ¿2) = А2п-1(^2(г)(т1; Н); ¿2) = Е(Ж^Сл; Н), Тп-^ =

пЛ

1/2

= п

г

2(пЛ - 5г(п^))

0 < пЛ < п.

(0.0.39)

Отметим, что равенства (0.0.39) в определенном смысле являются обобщением одного результата Л.В.Тайкова [46] о наилучшем полиномиальном приближении периодических функций, принадлежащих пространству Ь2[0,2п], структурные свойства которых характеризуются усредненными значениями модулей непрерывности первого порядка их производных ](г) Е Ь2.

В третьем параграфе второй главы вычислены точные значения всех перечисленных выше п-поперечников классов функций, определяемых усредненными значениями т-модуля гладкости и произвольной неотрицательной не эквивалентной нулю весовой функции. Из полученных общих результатов выведены некоторые следствия для конкретных весовых функций, а также вычислены точные верхние грани модулей абсолютных значений коэффициентов Фурье на указанных классах функций.

Теорема 2.3.1. Пусть г Е М, 1/г < д < 2, 0 < Л < 3п/(4п). Тогда при любом п Е N выполняются равенства

где Ап(-) - любой из перечисленных выше п-поперечников 6П(-), ¿п(-) или пп(•).

Следствие 2.3.1. В условиях теоремы 2.3.1 при д = 2 и = 1 справедливы равенства

А2^(^¡г)(т1; р, Л); Ь^ = А2П-1 (^(г)(т1; р, Л); ¿2) = е(ж]г)(ть =

(0.0.40)

А2п(^2(г)(т1; 1, Л); Ь^ = А2П-1 (^(г)(т1; 1, Л); Ь^ =

=п

г

Следствие 2.3.2. В условиях теоремы 2.3.1 при д = 2, = Ь имеют место равенства

а2п(^2(г) (т1; Ь,Л); Ь^ = А2П—1 (^(г) (т1; Ь,Л); Ь^ =

2 -1/2

2 (71; Ь, Л), Т2п-Н = \ / ¿2

1 I, /2 . пЛ . .

1 - — вт — > , 0 < пЛ < п.

пг Л I \пЛ 2

В частности, при пЛ = п имеем:

А2п(^2(г)(тьЬ,п/п); Ь^ = А2П-^^2(г)(т1;Ь,п/п); Ь^ =

= ЕЫг)(т1;Ь,п/п); Т2п-Л = • ^, г Е N.

\ / ¿2 у п2 — 4 п

В 1910 году Лебегом в терминах модулей непрерывности первого порядка ¡х>(/; 5) впервые были получены оценки скорости сходимости к нулю коэффициентов Фурье функции / Е С[0, 2п]. Эти оценки уточняли известные результаты Римана о скорости сходимости к нулю коэффициентов Фурье при п ^ то. В дальнейшем вопросы вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Фурье на различных классах функций в разное время рассматривались А.В.Ефимовым [21], А.Ф.Тиманом [51], Н.П.Корнейчуком [29,30], В.И.Бердышевым [7,8], С.Милорадовичем [35,36], С.А.Теляковским [49,50], А.И.Степанцом [44]. Все вышеперечисленные результаты подытожены в монографии А.И.Степанца [44]. Аналогичные вопросы для некоторых классов дифференцируемых функций рассмотрены С.Б.Вакарчуком [10,13,14,16,17], М.Ш.Шабозовым [58-63] и многими другими математиками.

Если М - некоторый класс функций, принадлежащих пространству Ь2, то требуется найти величину

К(М)=8ир{ М/)|, М/)| : / Е м},

где ап(/) и Ьп(/) - косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции /(х).

Из теоремы 2.3.1 получаем следующее утверждение.

Теорема 2.3.2. Если выполнены условия теоремы 2.3.1, то справедливы равенства , пн ч -1/? К (^(ть 1, Н)) = 2-1/2 п-г+1/2 (1 - —^ ?/2 &

В частности, при д = 2 имеем К (^2(г)(т1;1,п/п^ = п

ч 1/2

(rb - , - I П 1

[ 2(пН - 5г(пН)) ] '

Параграф завершается следующим утверждением.

Теорема 2.3.3. Если выполнены условия теоремы 2.3.1, то при д = 2 и = Ь имеют место равенства

V. (<>(л; U)) = 1 - (¿ sin f) 1 1/2, 0 <nft < n.

В частности, при пН = п выполняются равенства

К (<> (Т!; 4,п/п)) = ^^ • пТ-Г,г Е

В четвертом параграфе вычислены точные значения п-поперечников

класса ж?(г)(т1;Ф). Следуя работе [61], полагая при Ь = 0 значение функ-й1п I

ции равным 1, через Ь* обозначим значение ее аргумента, при котором эта функция достигает на полусегменте [0, то) своего наименьшего значения. При этом Ь* (4, 49 < Ь* < 4, 51) есть минимальный положительный корень уравнения tg х = х. Положим

sin t .

1 - "Г1 = <

*

sin t

1--, если 0 < t < t*,

t

sin t* ^^

1--, если t* < t < то.

t

В этих обозначениях имеет место следующее утверждение. Теорема 2.4.1. Пусть 1/г < д < 2; т,п Е М; г Е Если мажоранта Ф при любых Н Е К+\{0} удовлетворяет ограничению

Ф?(Н) > =_ { /Л - ^?/2Л(//1 - ^?/2 ^У', (0.0.41)

Ф?(п/п) nh

то имеют место равенства

Л2п-1(^Г)(Т1;Ф); L2) = A2n(W¡r)(n; Ф); L2)

E(^(тьФ); T2n-i)L2 =

— 1/q

1/q I > / • + \ q/2 I

П1/q I / Л sin A 7 I /П

\/2пг и о —п(аа42)

и )

где Ап(^) - любой из перечисленных выше п-поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих условию (0.0.41), не пусто. Из теоремы 2.4.1 вытекает следующее

Следствие 2.4.1. При выполнении условий теоремы (2.4.1) имеют место равенства

А2п—1(^2г)(т1;Ф); Ь2) = А2П(^2(г)(т1;Ф); Ь2) =

п 1 „ /п

= E(W2(r)(T1; Ф); Tn—1)^ = "7==^ • nФ (") .

В связи с утверждением теоремы 2.4.1 определенный интерес представляет изучение поведения величин En—1 (f(r—s))l2, где s = 1,... ,r — 1;r E N\{1} на классах функций Wq(r)(T1; Ф).

Теорема 2.4.2. Пусть q = 2, r E N\{1}. Если функция Ф при любом h E R+\{0} удовлетворяет условию

nh

[ / sin А , /11--dt

f Ф(h) \2> 0 V t Л

ф(п/п^ - nhí1_ SiM

п

то для s = 1,... , r — 1 справедливы равенства

sup(En_ 1(f(r—s))2 : f E W2(r)(т1; Ф)| = ,_^ • — Ф (

Pl f )2 f 2 ( 1; Ч \/2(п — Si(n)) V

ГЛАВА I

Наилучшее полиномиальное приближение функций в ¿2[0, 2п], структурные свойства которых характеризуются т-модулями гладкости

§1.1. Описание различных модификаций модуля непрерывности. т-модули гладкости

1.1.1. История вопроса и предварительные результаты

В последнее время при решении ряда экстремальных задач теории аппроксимации функций вместо классического модуля непрерывности т-го порядка

— разность т-го порядка функции / Е X, X - произвольное нормированное пространство, часто используют различные модификации классического определения модуля непрерывности. Использование различных модификаций модуля непрерывности продиктовано специфическими условиями рассматриваемых задач и позволяет получить неожиданные результаты, раскрывающие сущность исследуемых проблем. В качестве примера укажем на работы М.К.Потапова [39, 42] и его учеников, в частности на работу А.Ю.Напедениной [37], где при аппроксимации непериодических функций алгебраическими полиномами предложены различные модификации определения модуля непрерывности (1.1.1), использующие вместо оператора сдвига Тн/(х) := /(х + Н) различные усредняющие операторы.

В случае аппроксимации 2п-периодических функций вместо оператора сдвига Тн/(х) = /(х + Н) В.А.Абиловым и Ф.В.Абиловой [1] была использо-

"т(/;Ь)х = 8ир{цдт(/)||х : |Н| < *},

(1.1.1)

где

вана функция Стеклова

ж+0

50/(х) := /л(ж) = — /Н > 0

с—к

для произвольной функции / Е X. Определим аналоги конечных разностей в рассматриваемом случае:

Дк(/; х) = 50/(х) - /(х) = (50 - Е)/(х),

Дт(/; х) = Дк (дт-1(/; х); х) =

т / \

(50 - Е)т/(х) = ^(-1)т-к ™ 5к/(х),

к=о ^ '

где

50/(х) := /(х), /(х) := 50 (5*-1/(х)) , к = 1,т, т Е М,

Е - единичный оператор в пространстве X.

Наряду с величинами (1.1.1), модулем непрерывности т-го порядка функции / Е X также называют величину

П т(/; ¿) = 8ПР Д т(/)

: 0 < Н < О =

X

= вир

В-1)

т

т—к I \ сук

к=0

к

/ (•)

0 < Н < £

(1.1.2)

X

Отметим также, что в ряде работ С.Б.Вакарчука [13,14] и С.Б.Вакарчука, М.Ш.Шабозова и В.И.Забутной [18,19,65], при решении некоторых экстремальных задач теории аппроксимации функций в Е2 вместо модуля непрерывности т-го порядка использовалась следующая усредненная характеристика гладкости:

1/2

пт(/; *) = < ^

г г

дт/н£2 ^ •••

где t > 0; h = (hi, h2,..., hm); Am = A^ о Д^ о ... о Д^; Д^ f (x) := f(x + hj) - f (x) j = l,m.

Подобного рода усредненная характеристика гладкости функций ранее рассматривалась К.В.Руновским [43] и Э.А.Стороженко, В.Г.Кротовым, П.Освальдом [45].

Необходимо отметить также, что усредненные модули непрерывности несколько другого вида еще ранее изучались Р.М.Тригубом [54] в пространствах Lp (p > 1), где была показана их слабая эквивалентность обычным модулям непрерывности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Олифтаев Нодир Фезилобекович, 2017 год

Список литературы

1. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Некоторые вопросы приближения 2п-перио-дических функций суммами Фурье в пространстве Ь2(2п) // Матем. заметки, 2004, т.76, №6, с.803-811.

2. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в Ь2 // Доклады АН ТаджССР, 1985, т.28, №6, с.309-313.

3. Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2 // Применение функционального анализа в теории приближений. Сборник научных трудов: Калининский госуниверситет, 1986, с.3-10.

4. Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в Ь2 // Матем. заметки, 1986, т.39, №5, с.651-664.

5. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве Ь2 функций на многомерной сфере // Матем. заметки, 1996, т.60, №3, с.333-355.

6. Бабенко А.Г., Черных Н.И., Шевалдин В.Т. Неравенства Джексона - Стечкина в Ь2 с тригонометрическим модулем непрерывности // Матем. заметки, 1999, т.65, №6, с.928-932.

7. Бердышев В.И. Приближение периодических функций в среднем: дис. ... канд. физ.-мат. наук / СОМИ АН СССР. Свердловск, 1968, 83 с.

8. Бердышев В.И. Наилучшее приближение в классом функций ограниченной вариации // Приближение функций полиномами и сплайнами: Сб. ст. / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1985, с.72-82.

9. Вакарчук С.Б. ^-функционалы и точные значения п-поперечников некоторых классов из Ь2 // Матем. заметки, 1999, т.66, №4, с.494-499.

10. Вакарчук С.Б. О наилучших полиномиальных приближениях в Ь2 некоторых классов 2п-периодических функций и точных значениях их п-поперечников // Матем. заметки, 2001, т.70, №3, с.334-345.

11. Vakarchuk S.B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2 approximation on the line and exact values of mean widths of functional classes // East Journal on Approx., 2004, v.10, №1-2, pp.27-39.

12. Вакарчук С.Б., Щитов А.Н. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 и поперечники некоторых классов функций // Укр. матем. журнал, 2004, т.56, №11, с.1458-1466.

13. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из L2 // Матем. заметки, 2005, т.78, №5, с.792-796.

14. Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в L2 // Матем. заметки, 2006, т.80, №1, с.11-19.

15. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. Widths of function classes from L2 and exact constants in Jackson type inequalities // East Journal on Approximation. Bulgarian Academy of Sciences: Sofia, 2008, v.14, №4, pp.411-421.

16. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Точное неравенство типа Джексона-Стеч-кина в L2 и поперечники функциональных классов // Матем. заметки, 2009, т.86, №3, с.328-336.

17. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства типа Джексона-Стечкина для специальных модулей непрерывности и поперечники функциональных классов в пространстве L2 // Матем. заметки, 2012, т.92, №4, с.497-514.

18. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш., Забутная В.И. Структурные характеристики функций из L2 и точные значения поперечников некоторых функциональных классов // Украшський мат. вюник, 2014, т.11, №3, с.417-441.

19. Vakarchuk S.B., Shabozov M.Sh., Zabutnaya V.I. Structural characteristics of functions from L2 and the exact values of widths of some functional classes // Journal of Mathematical Sciences, 2015, v.206, №1, p.97-114.

20. Васильев С.Н. Точное неравенство Джексона-Стечкина в L2 с модулем непрерывности, порожденным произвольным конечноразностным оператором с постоянными коэффициентами // Докл. РАН, 2002, т.385, №1, с.11-14.

21. Ефимов А.В. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Изв. АН СССР, сер. матем., 1960, т.24, №2, с.243-296.

22. Жук В.В. Некоторые точные неравенства между равномерными приближениями периодических функций // ДАН СССР, 1967, т.201, с.263-266.

23. Жук В.В. О порядке приближения непрерывной периодической функции линейными методами // Изв. вузов, Математика, 1969, №10, с.40-50.

24. Жук В.В. О некоторых точных неравенствах между наилучшими приближениями и модулями непрерывности // Сиб. матем. журнал, 1971, т.12, №6, с.1283-1291.

25. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. - Тула: ТулГУ, 1995, 192 с.

26. Ivanov Kamen G. On a new characteristic of functions. I // Сердика Бълг. Мат. Списание, 1982, т.8, №3, с.262-279.

27. Ivanov Kamen G. On a new characteristic of functions. II // Direct and converse theorems for the best algebraic approximation in C[—1; 1] and Lp[—1; 1]. Сердика Бълг. Мат. Студ., 1983, т.5, с.151-163.

28. Коlmоgоrоff A.N. Uber die besste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen // Ann. of Math., 1936, v.37, pp.107-110.

29. Корнейчук Н.П. Верхние грани наилучших приближений на классах дифференцируемых периодических функций в метриках C и L // ДАН СССР, 1970, т.190, №2, с.269-271.

30. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. - М.: Наука, 1976, 320 с.

31. Корнейчук Н.П., Лигун А.А., Доронин В.Г. Аппроксимация с ограничениями. - Киев: Наукова думка, 1982, 252 с.

32. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2 // Матем. заметки, 1978, т.24, №6, с.785-792.

33. Лигун А.А. О поперечниках некоторых классов дифференцируемых периодических функций // Матем. заметки, 1980, т.27, №1, с.61-75.

34. Лигун А.А. Точные неравенства типа Джексона для периодических функций в пространстве L2 // Матем. заметки, 1988, т.43, №6, с.757-769.

35. Miloradovic S. Aproksimacje funkcija Fourier-ovih sumama i goraja granica Fourier-ovih koeficijenata // Magistarski rad. Beograd, 1977.

36. Милорадович С. О верхних гранях коэффициентов Фурье и некоторых более общих функционалов // Матем. заметки, 1982, т.32, №5, с.707-720.

37. Напеденина А.Ю. О совпадении классов функций, определяемых оператором обобщенного сдвига или порядком наилучшего приближения // Вестник Моск. университета. Серия 1. Матем., мех., 2004, №2, с.29-33.

38. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. — Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985, 252 p.

39. Потапов М.К. О применении одного оператора обобщенного сдвига в теории приближений // Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Матем., мех., 1998, №3, с.38-48.

40. Потапов М.К., Казимиров Г.Н. О приближении алгебраическими многочленами функций, имеющих данный порядок k-го обобщенного модуля гладкости // Мат. заметки, 1998, т.63, №3, с.425-436.

41. Потапов М.К., Бериша Ф.М. О связи между наилучшими приближениями алгебраическими многочленами и r-м обобщенным модулем гладкости // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. - М.: Изд-во АФЦ, 1999, с.187-213.

42. Потапов М.К. О применении несимметричных операторов обобщенного сдвига в теории приближений // Теория функция, ее приложения и смежные вопросы. Материалы V Казанской международной летней школы-конференции (Казань, 27 июня - 4 июля 2001 г.), Тр. матем. центра им. Н.И.Лобачевского, Казань, 2001, т.78, с.185-189.

43. Руновский К.В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах 0 < р < 1 // Матем. сборник, 1994, т.185, №8, с.81-102.

44. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. - Киев: Наукова думка, 1981, 340 с.

45. Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах 0 < р < 1 // Матем. сборник, 1975, т.98(140), №3(11), с.395-415.

46. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из Ь2 // Матем. заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.

47. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства Ь2 // Матем. заметки, 1977, т.22, №4, с.535-542.

48. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из Ь2 // Матем. заметки, 1979, т.25, №2, с.217-223.

49. Теляковский С.А. Об оценках производных тригонометрических полиномов многих переменных // Сиб. матем. журнал, 1963, т.4, №6, с.1404-1411.

50. Теляковский С.А. Оценки снизу интегрального модуля непрерывности функции через её коэффициенты Фурье // Матем. заметки, 1992, т.52, №5, с.107-112.

51. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. - М.: Фзматгиз, 1960, 624 с.

52. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи матем. наук, 1960, т.15, №3(93), с.81-120.

53. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 325 с.

54. Тригуб Р.М. Линейные методы суммирования и абсолютная сходимость рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968, т.32, №1, с.24-49.

55. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 // Матем. заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.

56. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Приближение функций в среднем. Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 1967, т.88, с.71-74.

57. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0, 2п) (1 < p < 2) с точной константой // Труды МИРАН, 1992, т.198, с.232-241.

58. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L2[0, 2п] // Матем. заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.

59. Шабозов М.Ш. Точные неравенства типа Джексона - Стечкина для 2п-периодических функций в L2 и поперечники некоторых классов функций // Укр. матем. журнал, 2011, т.63, №10, с.1040-1048.

60. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников // Матем. заметки, 2011, т.90, №5, с.764-775.

61. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников некоторых классов функций в L2 // Сибир. матем. журнал, 2011, т.52, №6, с.1414-1427.

62. Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. Widths of Certain Classes of Periodic Functions in L2 // Journ. of Approx. Theory, 2012, v.164, issue 1, pp.869-878.

63. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2 // Analysis Mathematica, 2012, tomus 38, №2, pp.154-165.

64. Шабозов М.Ш., Олифтаев Н.Ф. Наилучшие приближения и точные значения поперечников некоторых классов периодических функций в L2 // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 2013, №4(153), с.23-31.

65. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Точные неравенства типа Джексона - Стечкина для периодических функций в L2 и значения поперечников классов функций // ДАН России, 2013, т.451, №6, с.625-628.

66. Шалаев В.В. О поперечниках в L2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // Укр. матем. журнал, 1991, т.43, №1, с.125-129.

67. Юссеф Х. О наилучших приближениях функций и значениях поперечников классов функций в L2 // Применение функционального анализа в теории приближений. Сб. научн. трудов. Калининский гос. ун-т, Калинин, 1988, с.100-114.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях из перечня ВАК:

68. Олифтаев Н.Ф. О значениях поперечников некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L2 // Известия Академии Наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 2013, №1(150), с.21-31.

69. Шабозов М.Ш., Олифтаев Н.Ф. Наилучшие приближения и точные значения поперечников некоторых классов периодических функций в L2 // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 2013, №4(153), с.23-31.

70. Олифтаев Н.Ф. Неравенства Джексона для т-модулей гладкости и значения поперечников в Е2 // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 2015, т.58, №12, с.1071-1077.

71. Олифтаев Н.Ф. Точные неравенства Джексона-Стечкина в терминах обобщенных модулей непрерывности // Труды международной летней математической Школы-Конференции С.Б.Стечкина по теории функций (Таджикистан, Душанбе, 15-25 августа 2016 г., с.191-194).

В других изданиях:

72. Олифтаев Н.Ф. О наилучших приближениях периодических дифференцируемых функций в пространстве // Материалы международной научной конференции „Современные проблемы математического анализа и теории функций" (Душанбе, 29-30 июня 2012 г., с.194-198).

73. Олифтаев Н.Ф. О наилучшем приближении периодических функций в пространстве Ь2. Материалы международной научной конференции „Современные проблемы математики и ее преподавания", посвященной 20-летию Конституции Республики Таджикистан (Худжанд, 2014, №2(150), с.62-67).

74. Олифтаев Н.Ф. Об одной экстремальной аппроксимационной характеристике для периодических дифференцируемых функций в пространстве Ь2. Материалы международной научной конференции, посвященной 80-летию член-корреспондента АН Республики Таджикистан, доктора физико-математических наук, профессора Стаценко Владислава Яковлевича Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (Душанбе, 27-28 апреля 2015 г., с.34-36)

75. Олифтаев Н.Ф. Наилучшие приближения и точные значения поперечников периодических функций в Ь2. Материалы международной научной конференции, посвященной 25-летию Государственной независимости Республики Таджикистан „Современные проблемы математики и ее приложений" (Душанбе, 3-4 июня 2016 г., с.81-85)