Нестандартные модели математической физики, связанные с системами квазилинейных законов сохранения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Рыков Юрий Германович

• Рыков Юрий Германович
• доктор наук
• 2024

Оглавление диссертации доктор наук Рыков Юрий Германович

ВВЕДЕНИЕ

1. Общее описание области исследований

2. Список основных результатов диссертации, выносимых на защиту

3. Подробное изложение полученных результатов

3.1 Вариационное представление для обобщенных решений систем квазилинейных законов сохранения

3.1.1 Об обобщении результатов Э. Хопфа на системы квазилинейных законов сохранения в случае одной пространственной переменной

3.1.2 Вариационное представление для обобщенных решений систем квазилинейных законов сохранения в случае одной и двух пространственных переменных

3.1.3 Представление обобщенного решения системы квазилинейных законов сохранения в случае одной пространственной переменной как минимума некоторого функционала

3.2 Сингулярные решения системы уравнений газовой динамики без давления в случае одной и двух пространственных переменных

3.2.1 Случай одной пространственной переменной

3.2.2 Случай двух пространственных переменных

3.3 Существование сильных решений квазигазодинамической системы уравнений в случае двух пространственных переменных

3.4 Вырожденные параболические системы уравнений, описывающие процессы сжимаемой двухфазной многокомпонентной фильтрации с точки зрения теории законов сохранения

3.5 Уравнение с насыщаемым (ограниченным) потоком диссипации

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ К ЗАЩИТЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ A. Статья 1. Generalized variational principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics

ПРИЛОЖЕНИЕ B. Статья 2. О вариационном подходе к системам квазилинейных законов сохранения

ПРИЛОЖЕНИЕ C. Статья 3. Вариационная постановка задачи поиска обобщенных решений для квазилинейных гиперболических систем законов сохранения

ПРИЛОЖЕНИЕ D. Статья 4. On the nonhamiltonian character of shocks in 2-D pressureless gas

ПРИЛОЖЕНИЕ E. Статья 5. О взаимодействии ударных волн в двумерных изобарических средах

ПРИЛОЖЕНИЕ F. Статья 6. Об эволюции иерархии ударных волн в двумерной изобарической среде

ПРИЛОЖЕНИЕ G. Статья 7. A new sticky particle method for pressureless gas dynamics

ПРИЛОЖЕНИЕ H. Статья 8. Hyperbolic relaxation of the 2D Navier-Stokes equations in a bounded domain

ПРИЛОЖЕНИЕ I. Статья 9. О возможности распространения теории законов сохранения на некоторые вырожденные параболические системы уравнений, описывающие процессы сжимаемой двухфазной многокомпонентной фильтрации

ПРИЛОЖЕНИЕ J. Статья 10. Discontinuous solutions of some strongly degenerate parabolic equations

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестандартные модели математической физики, связанные с системами квазилинейных законов сохранения»

ВВЕДЕНИЕ

1. Общее описание области исследований

В предлагаемой диссертации рассматривается ряд нестандартных математических моделей, которые могут быть выражены в форме системы законов сохранения при наличии, как членов диссипативного характера, так и членов в виде источника. А именно, соответствующие системы уравнений в частных производных имеют вид

|т(и о, х))+1|-(г, (и (и *)))=о- (V (,, х)) +Я (V (г, *)), (1.1)

где (^х)^,^,...,.^), : М+ х Мт —» Ми, и((,х) = {и1((,х),...,ип((,х));

- достаточно гладкие (по крайней мере,

Т.^.еСЧК")) вектор-функции переменного (и,...,Ии). Далее, О2(V(^,х)) является, вообще говоря, нелинейным оператором

второго порядка, а Я (V (^, X)) - нелинейной правой частью. При этом входящие в эти

выражения нелинейности также предполагаются гладкими. Конкретный вид рассматриваемых выражений типа (1.1) и соответствующие условия на составляющие их функции будут приведены в соответствующих разделах работы. Здесь и далее жирным шрифтом в формулах будут обозначаться векторные величины.

Общая проблематика, рассматриваемая в диссертации, связана по большей части с

системами законов сохранения типа (1.1), где оператор О V , функция Т и правая часть Я отсутствуют или имеют вспомогательный характер, меняя конкретную форму решений, но сохраняя их особенности, характерные для традиционных систем законов сохранения вида

|и(»,х) + ^С^(^(и(г,х))) = 0. (1.2)

Основным свойством решений (1.2) является то, что даже при гладких начальных/краевых

данных эти решения, в случае общего положения, оказываются имеющими особенности

разного вида. Наиболее характерными являются разрывные решения. Это обстоятельство

обуславливает сложность в выборе основных функциональных пространств и,

соответственно, необходимость достаточно подробного рассмотрения частных решений.

Изучение квазилинейных гиперболических систем вида (1.2) имеет давнюю историю,

4

однако построение общей теории столкнулось с трудностями, о которых более подробно будет сказано ниже и которые пока не удается преодолеть. Поэтому рассмотрение систем вида (1.2) требует поиска нестандартных подходов. Так же ряд физических процессов приводит к рассмотрению не стандартных систем и уравнений вида (1.1), решения которых обнаруживают специфическое поведение, требующее теоретического осмысления. Однако оказывается, что данные решения не стандартных систем и уравнений вида (1.1) обладают свойствами, характерными для систем законов сохранения типа (1.2) и могут быть естественным образом рассмотрены с позиций теории систем законов сохранения. Предлагаемая диссертация содержит более конкретное и подробное изучение указанных проблем в случае одной ( т = 1) или двух ( т = 2 ) пространственных переменных.

Теория квазилинейных систем законов сохранения в современном варианте начала развиваться со второй половины прошлого века. Однако, несмотря на ряд впечатляющих достижений, достаточно полная теория, включая многомерный случай, была построена лишь для одного закона сохранения, см., например, [Уо], [Кг]. В случае систем достаточно общие результаты получены лишь для одной пространственной переменной и, как правило, в предположении малости области изменения, по крайней мере, неизвестных функций, см., например, основополагающие работы [Ь1, О, И] и более завершенное изложение в [В]. С промежуточными итогами работ в области теории законов сохранения можно ознакомиться, например, по книгам [Б1], [Б2], [ВОБ]. Современное изложение основ теории законов сохранения, включая физические приложения и численные методы, можно найти, например, в монографиях [Оа], [Не], [ЬТР]. Необходимость работы с, вообще говоря, разрывными функциями при построении теории систем законов сохранения обусловила использование понятия обобщенного решения, т.е. решения, понимаемого в смысле удовлетворения заданного интегрального тождества для (1.2) (подробнее об этом будет сказано в последующих разделах). Однако при попытках перейти к случаю не малой, а произвольной ограниченной, области изменения неизвестных функций возникла необходимость расширения понятия решения и рассмотрения более сильных особенностей, чем разрывы. Появилось новое понятие мерозначных решений [ОР], и на этом пути удалось найти доказательство достаточно общих теорем существования обобщенных решений систем двух законов сохранения (одна пространственная переменная) с использованием принципа компенсированной компактности на основе метода малой вязкости. Однако развитую технику в целом не удалось распространить даже на системы из трех законов сохранения с одной

пространственной переменной. Тем не менее, интерес к понятию мерозначных решений сохраняется в связи с вычислительными аспектами для многомерных систем законов сохранения, см., например, ^БТ], а также получением некоторых дополнительных априорных оценок [Б3].

В конце 80-х годов прошлого века было также обнаружено, что при определенных условиях (а именно, если адиабата Гюгонио оказывается компактным множеством) даже у строго гиперболических, истинно нелинейных систем двух уравнений с одной пространственной переменной традиционного решения задачи Римана (в виде, вообще говоря, разрывной функции) не существует, а решение, определяемое на основе метода малой вязкости, в пределе содержит дельтаобразную особенность, [КК]. При этом возникают трудности в определении того, в каком смысле объект типа дельта-функции может удовлетворять нелинейному уравнению. Концентрированное изложение всего упомянутого круга вопросов можно найти, например, в [К], [Бе], см. также, например, [ОБ]. Кроме того, в отечественной литературе появились и другие расширения понятия обобщенного решения на основе введения специально сконструированных интегральных тождеств и других близких подходов, см., например, [РБЬ], [БЫ]. В относительно недавно появившихся работах [МУ1], [МУ2] предложена концепция слабого со звездочкой решения, которая ослабляет требование измеримости и трактует решения систем законов сохранения как траектории в пространстве, сопряженном к подходящему основному пространству, что требует обобщения процедуры интегрирования. Ожидалось, что это понятие будет полезно при изучении систем со многими пространственными переменными.

Однако, судя по всему, указанные подходы так и не привели к какому-либо удовлетворительному решению накопившихся проблем в теории систем законов сохранения. Сложившуюся ситуацию отмечал и известный специалист по системам законов сохранения Питер Лакс в своей книге [Ь2, стр. 165]. По-видимому, основные инструменты теории систем законов сохранения - построение последовательности приближенных решений и осуществление предельного перехода; метод малой вязкости -не достаточны для преодоления сложившихся трудностей, особенно в случае нескольких пространственных переменных. Кроме того, попытки включить в основное пространство решений нелинейных систем дельтаобразные особенности на основе конструирования тех или иных специальных интегральных тождеств создают достаточно громоздкие конструкции с ограниченными возможностями применения математического анализа. В более широком контексте попытку построения новой (нелинейной) теории обобщенных

функций была предпринята в [Со]. В этой связи является важным замечание Я. Г. Синая о том, что изучение случаев вырожденных квазилинейных систем уравнений может натолкнуть на новые методологические подходы. С точки зрения изложенного выше, в диссертации представлен новый взгляд на структуру обобщенных решений квазилинейных систем законов сохранения на основе специального представления для разрывных обобщенных решений.

Интерес к рассмотрению нестандартных систем типа (1.2), к которым с изложенной точки зрения можно отнести и системы вида (1.1), возник как со стороны физически приложений, так и со стороны теоретических исследований. Как мы увидим ниже, возмущения или вырождения системы (1.2) могут привести к использованию новых методов построения решения, а также к лучшему пониманию природы возникающих особенностей. Для большей ясности изложения введем ряд определений, а затем укажем на рассматриваемые в диссертации нестандартные модели.

Определение 1.1. Пусть т = 1 и индекс у у соответствующих переменных и функций опущен. Система (1.2) называется строго гиперболической, если матрица ¥ '{и) имеет ровно п различных действительных собственных чисел

А {и) < ... < А {и) и, соответственно, полный набор правых Г {V),...,Г {V) (и левых

/х {и),...,/и {и)) собственных векторов. Система (1.2) называется истинно нелинейной,

если Г • У А Ф 0 ,1 = 1,..., п . В случае, если какие-то А1 совпадают при некоторых

значениях V, но система собственных векторов остается полной, то система (1.2) называется нестрого гиперболической.

Определение 1.2. Пусть т = 1 и индекс у у соответствующих переменных и функций опущен. Назовем систему (1.2) вырожденной нестрого гиперболической, если матрица ^ ' {V) не обладает полной системой собственных векторов, но имеет одну и ту

же Жорданову форму для всех рассматриваемых значений V .

Для систем из определения 1.1 можно получить характеристическую форму системы (1.2), т = 1, умножая (1.2) слева на какой-либо левый собственный вектор

Существует большой объем литературы, посвященной изучению различных отклонений от структуры строго гиперболических, истинно нелинейных (в смысле определения 1.1) систем типа (1.2). Не вдаваясь в подробности, приведем для

иллюстрации только книгу [LF] и далее остановимся только на конкретных нестандартных моделях.

Первая модель, которую мы рассмотрим, является моделью так называемой газовой динамики без давления. Соответствующая система законов сохранения в случае одной пространственной переменной ( m = 1) имеет вид

dp / dt + д(ри) / дх = О

, ч , , xeR, teR+. (1.4)

д(ри) / dt + д[ри2 J / дх = О

Здесь р> 0 - плотность, u - скорость. Система (1.4) формально может быть получена из системы уравнений изоэнтропической газовой динамики, полагая давление P равным нулю. Эта система обладает единственным собственным числом X = u и единственным правым собственным вектором Г = (1, u). В соответствии с определением 1.2 система

(1.4) является вырожденной нестрого гиперболической.

Изучение движения сред, в которых можно пренебречь собственным перепадом давления в данный момент времени (кратко: среды без давления), представляет, как математический, так и прикладной интерес. С точки зрения приложений среды без давления возникают при описании различных физических явлений, таких как эволюция многофазных потоков, движение дисперсных сред, в частности пылевых частиц или капель, явление кумуляции, взаимодействие гиперзвуковых потоков в некоторых предельных случаях, движение гранулированных сред и т.п., см., например, [Che], [Se], [St]. С математической точки зрения отсутствие давления приводит к возникновению неклассических ударных волн, законы эволюции которых кардинально отличаются от, например, газодинамических ударных волн. Наиболее интересные эффекты получены для двумерной системы уравнений газовой динамики без давления

dp/dt + W-pU = 0 , ч , ч „

d(pU)!dt + W-(pU®U) = О' V'-^'V» f + V >

где р > 0 имеет смысл плотности вещества, U - вектор скорости, а ® обозначает тензорное произведение. Система (1.5) также может быть получена из уравнений традиционной газовой динамики, полагая давление равным нулю. Здесь же отметим, что, вообще говоря, полная система уравнений газовой динамики включает в себя еще и уравнение сохранения полной энергии, поэтому к системе (1.5), положив в традиционном законе сохранения давление равным нулю, следовало бы добавить уравнение

дБ / dt + V- EU = 0, (1.6)

где E = p^ee +/2j, e - удельная внутренняя энергия. Однако уравнение (1.6) в

отличие от обычной газовой динамики оказывается независимым от системы (1.5) в том смысле, что эволюция особенностей определяется только (1.5), а (1.6) определяет закон изменения дополнительной величины e - удельной внутренней энергии - «вдоль» уже известных особенностей.

В настоящей диссертации показано, что неклассические ударные волны представляют собой меры, вообще говоря, на многообразиях разной размерности, получены законы эволюции этих мер, которые существенным образом отличаются от соотношений Ренкина-Гюгонио для газовой динамики, и законы формирования иерархии особенностей (совокупность особенностей на многообразиях разной размерности) в двумерном случае (1.5).

Следующей моделью является двумерная система несжимаемых уравнений Навье-Стокса, в которую добавлен член второй производной по времени с малым параметром. Эта система вида (1.1) записывается следующим образом, x = ( x, y j,

r)2IJ ЯГ/

s— + — + div(t/®t/) + VP = At/ + g,divt/ = 0, хеК2, /еМ+, (1.7)

здесь S > 0 - малый параметр, P - давление, А - оператор Лапласа, g - внешняя сила. Система (1.7) может быть получена из кинетического уравнения Больцмана при учете дополнительных членов после операции осреднения и определяется в [Ell], [El2] как квазигазодинамическая система уравнений. Эта же система уравнений может быть получена с помощью введения механизма релаксации в уравнения Эйлера, см., например, [BNP], фактически (1.7) представляет собой так называемую гиперболизацию системы уравнений Навье-Стокса. Система (1.7) используется для альтернативного описания газодинамических течений, в частности, течений разреженных сред также ее модификации возникают при описании вязкопластических явлений [CK]. В диссертации для системы уравнений вида (1.7) показано, что сильное решение начально-краевой задачи в ограниченной области существует при достаточно малых S и ограниченной энергии начальных данных. Для одномерной версии системы (1.7) приведен пример того, что если даже при малых S начальная энергия достаточно велика, то решение взрывается за конечное время.

Еще одной моделью является одномерная система уравнений сжимаемой двухфазной многокомпонентной фильтрации, X Е К, t E R

д д

— {ф{ ХоРо* + ХР (! - * ))) + ^(ХоРо^о + ХьРУь ) = О, I = 1,..., N, (1.8)

где N - число компонент в смеси, ф > 0 представляет собой пористость, Х.с > 0, Х^ > 0 являются термодинамическими константами равновесия (т.е. представляют собой молярные концентрации компонента 1) для газовой (О) и жидкой (Ь) фазы соответственно, р > 0, Рь> 0 - плотности газовой и жидкой фаз соответственно, О < * < 1 - насыщенность газовой фазы. При этом скорости фильтрации газовой и жидкой фаз и V, имеют вид

=- Що °р , ^=- ЕК, £, (1.9)

/ ОХ / ОХ

где К > 0 - так называемая абсолютная проницаемость породы, > 0 , кгЬ > 0 , + кгЬ > 0 - относительные проницаемости газовой и жидкой фаз,

/ > 0 , / > 0 представляют собой вязкости газовой и жидкой фаз соответственно,

Р > 0 обозначает давление. Учитывая соотношения термодинамики многокомпонентных смесей, систему уравнений (1.8), (1.9) можно записать в виде (1.1), но без операторов второго порядка, и может быть рассмотрена как система законов сохранения. Математические модели фильтрации хорошо изучены в случае одного компонента и одной фазы, когда неизвестной функцией является только давление (или плотность), см., например, книгу [БЕЯ]. В этом случае ситуация моделируется с помощью вырождающихся уравнений параболического типа, см., например, обзор [Ка]. В случае многих компонент имеется обширная литература, посвященная несжимаемому случаю. В этой ситуации система уравнений многокомпонентной фильтрации (в случае одной пространственной переменной и при предположении о постоянстве скорости фильтрации) может быть преобразована в нестрого гиперболическую систему законов сохранения, см. [Ог]. Стоит подчеркнуть, что свойство нестрогой гиперболичности существенно усложняет исследование, см. статью [КМ], посвященную модельным системам уравнений (но часть из которых имеет физическое происхождение, в частности, происходит из описания процессов фильтрации) и иллюстрирующую разные стороны математического понятия нестрогой гиперболичности. При учете свойства сжимаемости, как в системе (1.8), (1.9), свойство гиперболичности, вообще говоря, теряется, параболической она также не является, и возникает вопрос, с каких позиций рассматривать эту систему уравнений. В диссертации показано, что если подойти к указанной системе уравнений как

к вырожденной системе законов сохранения, то можно прийти к естественному понятию характеристик, сформулировать понятие обобщенного решения и применять методы, развитые в теории законов сохранения, например, рассматривать задачу Римана. Однако все эти понятия приобретают специфические черты, которые не характерны для систем уравнений гиперболического типа.

Наконец, заключительной моделью является уравнение вида (1.1) с нелинейной вязкостью и так называемом ограниченным потоком диссипации

ди! dt + df(u)l dx = dQ(du/ дх)/ дх, хеМ, teR+, (1.10)

здесь /еС1(М),беС2(М), /(О) = Q(0) = 0 , Q' > 0 и Q(±оо) = const.

Вследствие указанных свойств при больших ди / дх уравнение (1.10), имеющее вид (1.1), становится близким к закону сохранения вида (1.2) при m = n = 1. Уравнение (1.10) представляет собой модификацию уравнения Бюргерса и является сильно вырождающимися параболическим уравнением, которое допускает разрывные решения особого вида. В контексте вырождающихся параболических уравнений, как правило, исследовались только непрерывные решения, см., например, [Ka]. С физической точки зрения появление уравнений типа (1.10) описано, например, в [Ro] и связано со специальной регуляризацией разложения Чепмена-Энскога, а также в [BBP] в отношении теории специальных турбулентных течений. Уравнение (1.10) является простейшей моделью, описывающей взаимодействие между нелинейным переносом и нелинейными диссипативными процессами. В диссертации изучаются вопросы формулировки понятия обобщенного решения, условия его существования и единственности.

2. Список основных результатов диссертации, выносимых на защиту

Основные результаты, выносимые на защиту, заключаются в пунктах, представленных ниже. Полное и математически строгое описание результатов, включая все необходимые понятия и определения, будет изложено в разделе 3.

1) Найден ряд новых представлений обобщенных решений систем квазилинейных законов сохранения, которые будем определять термином вариационное представление, а именно:

а) в случае одной пространственной переменной m = 1 и системы n законов сохранения найден ассоциированный с обобщенным решением U (t, х) функционал J

на траекториях w = (w,х) = (^(t),%(t)) в пространстве (t, w) , w - один из

11

инвариантов Римана, такой, что из выполнения равенства SJ = 0 вдоль некоторого пути w = (®(^),— (t)) следует выполнение характеристических соотношений в точках

гладкости (®(I), — (t )) и соотношений Ренкина-Гюгонио на изломах; кроме того, если

на некоторую кривую X = X(I) приходят две траектории X = — (t), X = —2(^), такие

что SJX=-Xl (t) = SJx=-2 (t) =0 и Jx— (t) = Jx=-1 (t), то на кРивой х = Х ^ ) также

выполняются соотношения Ренкина-Гюгонио; этот результат является обобщением результатов, полученных Э. Хопфом для одного уравнения, см. [Н];

б) в случае одной и двух пространственных переменных m = 1,2 и системы П

законов сохранения найден ассоциированный с обобщенным решением и (t, х ),

X = (X, у) для m = 2 и X = X для m = 1, функционал J на траекториях/поверхностях в

пространстве (t, X) такой, что выполнение соотношения SJ = 0 вдоль какой-либо

траектории/поверхности х = ( —(t, 5) ,у( t, 5)), в случае поверхности 5 - параметр вдоль

нее, влечет справедливость системы (1.2) в классическом смысле, если и (?, X) гладкая функция и соотношений Ренкина-Гюгонио, если имеет место разрыв;

в) в случае одной пространственной переменной т = 1 и системы п законов сохранения найден ассоциированный с обобщенным решением и ^ ,х) функционал С,

такой, что обобщенное решение ¿7(7, х) выражается через минимум С, в некотором

банаховом пространстве; свойство минимизировать некоторый функционал можно использовать в качестве альтернативного определения понятия обобщенного решения системы (1.2).

2) Для системы уравнений газовой динамики без давления:

а) в случае одной пространственной переменной для системы (1.4), а также для ее обобщения, включающего внешнюю силу, предложено определение понятия обобщенного решения в пространстве мер Радона, доказана теорема существования обобщенного решения для либо непрерывного, либо полностью дискретного распределения вещества; также найдено вариационное представление обобщенного решения, которое выглядит как признак непрерывности обобщенных решений. А именно,

в случае системы (1.4) имеем: точка (t, X), X = а + (а) является точкой абсолютной

непрерывности меры массы вещества Pt (dx) и непрерывности скорости u (t, x) тогда и

только тогда, когда для любых a+, a , a < a < a+ выполнено соотношение

| (^ + Ш0 (^))Р0 (ds) | (s + Ш0 (s))Р0 (ds)

| Р ( ds )

,а)

<

^а,а+)

| Ро ( ds )

,а)

где Р (da) (а) представляют собой начальное распределение вещества и начальную скорость;

б) в случае двух пространственных переменных найдена система уравнений, описывающая эволюцию сильных особенностей вдоль поверхностей

г = ( г, х{ г, I) ,г( г, I)), которая отличается по типу от традиционных соотношений

Ренкина-Гюгонио

I=1 V № в-1 и ]}

| = |{^ [ри]-^ы]}-д-Г{и м-м}

д(ы)

дг

= и = (и V)

где I = Ри и для любой величины / обозначено: /+ - значение величины / с двух ст°р°н г и [/] = / + - /-;

доказано возникновение иерархии сильных особенностей, т.е. системы сильных особенностей, возникающих на многообразиях разной размерности, в том числе, получено соотношение Ренкина-Гюгонио для сильных особенностей вдоль кривых;

построена приближенная динамика прилипания в двумерном случае и получены оценки степени отклонения от слабого решения для дискретной системы частиц;

получено вариационное описание обобщенных решений, которое существенно отличается от одномерного варианта и связано с использованием вектор функционалов от областей О

^ (г, х; С ) = ]]

о

ио ( а )

х - а

р0(а)da.

<

3) Для гиперболизованного уравнения Навье-Стокса (1.7) в случае двух пространственных переменных получена теорема существования сильного решения при малом параметре гиперболизации и ограниченной начальной энергии в пространстве

Е^ = |{и , V} е [ Н2 (О) п И1 (О)]2 х [ И, (П)]2, V ■ и = О, V • V = о}

с нормой

9 и 2 и 2 и ц2

1А11Е1 =£\\ди (г) / дг\\н1 +\\ди (г) / д^ + ||и (г )||я2,

где А (t ) = {и (t), д и (t) / д t}; приведен пример разрушения сильного решения за

конечное время при нарушении указанных условий даже в одномерном случае.

4) Для одномерной системы уравнений, сжимаемой двухфазной многокомпонентной фильтрации (1.8), (1.9) приведена такая переформулировка основных уравнений, которая позволяет использовать методы теории систем законов сохранения. Получившаяся при этом система уравнений определена как почти гиперболическая, обладающая свойствами как гиперболических, так и параболических систем уравнений. Для этой системы уравнений выведено соотношение Ренкина-Гюгонио и доказана теорема о структуре множества скачков. В случае двух компонент получена структура решения задачи Римана, свойства которой существенно отличаются от традиционных систем законов сохранения. Так, например, оказывается, что решение задачи Римана всегда разрывно и, кроме того, имеет место бесконечная скорость распространения возмущений. В несжимаемом случае найдено выражение для всех пар энтропия-поток, которое оказывается существенно богаче, чем для одного скалярного закона сохранения.

5) Для уравнения с ограниченным потоком диссипации (1.10) сформулировано понятие обобщенного решения с учетом возможности возникновения разрывов в, вообще

говоря, параболическом уравнении. Для начальных функций из пространства Ж2'1 (М),

которые являются кусочно-гладкими на компактном множестве с конечным множеством точек разрыва, доказана теорема существования обобщенного решения. Теорема единственности обобщенного решения, удовлетворяющего условию Олейник Е и условию непрерывности потока диссипации, доказана для достаточно узкого, хотя и отражающего все особенности задачи, класса функций, являющихся кусочно

С2((0,Т1)хМ) с конечным числом С1 линий разрыва.

3. Подробное изложение полученных результатов

В данном разделе на математическом уровне строгости будут изложены результаты, анонсированные в разделе 2, включая все определения и формулировки. Также будет приведена дополнительная литература, характеризующая тот вклад в проблему, который сделал диссертант.

3.1 Вариационное представление для обобщенных решений систем квазилинейных законов сохранения

Введем вначале необходимые понятия и определения. Рассмотрим задачу Коши для системы квазилинейных уравнений общего вида, см. также (1.2),

-и(г,*)+£—(/ (и(г,*))) = 0 , и(о,х) = и0 (х), (3.1.1)

где (?,х)еПг ={(?,х):(?,х)е[0,Г]х1ЕГ}, и(г,х) = (и1(г,х),...,ип(г,х)), (^х)^,^,...,^), и(1,х):Ш* хШт , а FJ ={/1],...,/тд) - достаточно гладкие

(по крайней мере, ¥} еС^К"^) вектор-функции переменных Многомерные

интегралы по пространствам многих переменных и по поверхностям в этих пространствах будут записываться в виде одинарных или двойных интегралов для сокращения записи,

если это не будет приводить к двусмысленности. Например, запись

будет

пТ

означать интегрирование по Лебеговой мере с!х& в пространстве М+ х К'". Отдельные исключения будут специально оговариваться.

Решения системы (3.1.1), принимающие заданные начальные значения, понимаются в обобщенном смысле в соответствии со следующим определением 3.1.1.

Определение 3.1.1. Пусть ¿70(х)еМи является локально ограниченной измеримой функцией. Тогда назовем локально ограниченную измеримую в Пг функцию

и х )

обобщенным решением задачи (3.1.1), если для любой пробной функции ^ЕСсо([0,Г)хМт), еС«Г(Мт) при фиксированном (р = О при

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Рыков Юрий Германович, 2024 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[Vo] Вольперт А.И. Пространства BV и квазилинейные уравнения // Матем. Сб. — 1967. — Т. 73. — № 2. — С. 255 - 302.

[Kr] Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Матем. Сб. — 1970. — Т. 81. — № 2. — С. 228 -255.

[L1] Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws II // Comm. Pure Appl. Math. — 1957. — V. 10. — No. 4. — P. 537 - 566.

[G] Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Матем. Сб. — 1959. — Т. 47. — Вып. 3. — С. 271 -306.

[Gl] Glimm J. Solutions in the large for nonlinear hyperbolic systems of equations // Comm. Pure Appl. Math. — 1965. — V. 18. — No. 4. — P. 697 - 715.

[B] Bressan A. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem. Oxford Univ. Press, 2000.

[51] Serre D. Systems of conservation laws. Vol. 1. Hyperbolicity, entropies, shock waves. Cambridge : Cambridge University Press, 1999.

[52] Serre D. Systems of conservation laws. Vol.2. Geometric structures, oscillations and initial-boundary value problems. Cambridge : Cambridge University Press, 2000.

[BGS] Benzoni-Gavage S., Serre D. Multidimensional Hyperbolic Partial Differential Equations: First-order Systems and Applications. Oxford Mathematical monographs. Oxford : Clarendon Press, 2007.

[Da] Dafermos C.M. Conservation Laws in Continuum Physics, Volume 325 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag. Berlin, fourth edition 2016.

[He] Hesthaven J.S. Numerical Methods for Conservation Laws: From Analysis to Algorithms. SIAM. Philadelphia, 2018.

[LTP] Liu Tai-Ping. Shock waves. American Math. Soc. Providence. Rhode Island, 2021.

[DP] DiPerna R.J. Measure-valued solutions to hyperbolic conservation laws // Arch. Rational Mech. Anal. — 1985. — V. 88. — No.3. — P. 223 - 270.

[FST] Fjordholm U.S., Siddhartha M., Tadmor E. On the computation of measure-valued solutions // Acta Numer. — 2016. — V. 25. — P. 567 - 679.

[53] Serre D. Divergence-free positive symmetric tensors and fluid dynamics // Annales de l'lnstitut Henri Poincare. — 2018. — V. 35. — P. 1209 - 1234.

[KK] Keyfitz B. L., Kranzer H. C. A viscous approximation to a system of conservation laws with no classical Riemann solution // in C. Carasso et all., (eds), Nonlinear Hyperbolic problems. Lecture Notes in Math. — 1989. — V. 1402. — P. 185 - 197.

[K] Keyfitz B. L. Singular shocks, retrospective and prospective // Confl. Math. — 2011. — V. 3. — No. 3. — P. 445 - 470.

[Se] Sever M. Distribution solutions of nonlinear systems of conservation laws // Mem. Amer. Math. Soc. — 2007. — V. 190. — P. 1 - 163.

[DS] Danilov V. and Shelkovich V. Delta-shock wave type solution of hyperbolic systems of conservation laws // Quart. Appl. Math. — 2005. — V. 63. — No. 3. — P. 401 -427.

[PSh] Panov E. Yu., Shelkovich V. M. 5'-shock waves as a new type of solutions to systems of conservation laws // J. Differential Equations. — 2006. — V. 228. — No. 1. — P. 49 - 86.

[Sh1] Шелкович В.М. Сингулярные решения систем законов сохранения типа 5- и 5'-ударных волн и процессы переноса и концентрации \\ Успехи математических наук. — 2008. — Т. 63. — Вып. 3. — С. 73 - 146.

[MY1] Miroshnikov A., Young R. Weak* solutions I: A new perspective on solutions to systems of conservation laws // Methods and Appl. of Anal. — 2017. — V. 24. — No. 3. — P. 351 - 382.

[MY2] A. Miroshnikov and R. Young, Weak* solutions II: The vacuum in Lagrangian gas dynamics // SIAM J. Math. Anal. — 2017. — V. 49. — Issue 3. — P. 1810 - 1843.

[L2] Lax P. D. Hyperbolic partial differential equations. Courant Lecture Notes in Math., V. 14. American Math. Soc., 2006

[Co] Colombeau J. F. Elementary introduction to new generalized functions. North-Holland Math. Studies., V. 113. Amsterdam. North-Holland, 1985.

[LF] Le Floch P.G. Hyperbolic systems of conservation laws. The theory of classical and nonclassical shock waves. Lectures in Mathematics. ETH Zurich. Birkhauser. Basel, 2002.

[Che] Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. Физматгиз. М., 1959.

[Se] Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. Наука. М., 1965.

[St] Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. Наука. М., 1971.

[El1] Елизарова Т. Г., Четверушкин Б. Н. Кинетический алгоритм для расчета

газодинамических течений // Ж. выч. матем. и матем. физ. — 1985. —Т. 25. — № 10. — С.1526 - 1533.

[El2] Елизарова Т. Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. Научный мир. М. , 2007.

[BNP] Brenier Y., Natalini R., Puel M. On a relaxation approximation of the incompressible Navier-Stokes equations // Proc. Amer. Math. Soc. — 2004. — V. 132. — No. 4. — P. 1021 - 1028.

[CK] Constantin P., Kliegl M. Note on global regularity for two-dimensional oldroyd-B fluids with diffusive stress // Arch. Ration. Mech. Anal. — 2012. — V. 206. — No. 3. — P. 725 - 740.

[BER] Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. Недра. М., 1984.

[Ka] Калашников А. С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // Успехи Матем. Наук. — 1987. — Т.42. — Вып. 2. — С. 135 - 176.

[Or] Orr (Jr.) F. M. Theory of gas injection processes. Tie-Line Publications. Holte, Denmark, 2007.

[KM] Keyfitz B. L., Mora C. A. Prototypes for nonstrict hyperbolicity in conservation laws // Contemporary Math. — 2000. — V. 255. — P. 125 - 137.

[Ro] Rosenau Ph. Extending hydrodynamics via the regularization of the Chapman-Enskog expansion // Phys. Rev. A. — 1989. — V. 40. — No. 12. — P. 7193 - 7196.

[BBP] Barenblatt G.I., Bertsch M., Dal Passo R., Ughi M. A degenerate parabolic regularization of a nonlinear forward-backward heat equation arising in the theory of heat and mass exchange in stable stratified turbulent shear flow // SIAM J. Math. Anal. — 1993. — V. 24. — Issue 6. — P. 1414 - 1439.

[H] Hopf E. The partial differential equation и + UUx = ^Uxx // Comm. Pure Appl. Math. — 1950. — V. 3. — Issue 3. — P. 201 - 230.

[L3] Lax P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Comm. Pure Appl. Math. — 1954. — V. 7. — Issue 1. — P. 159 -193.

[O] Олейник О.А. Задача Коши для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с разрывными начальными условиями // Труды Моск. Мат. Об-ва. — 1956. — Т. 5. — с. 433 - 454.

[ERS] И Вейнан, Рыков Ю.Г., Синай Я.Г. Вариационный принцип Лакса-Олейник для

некоторых одномерных систем квазилинейных уравнений // Успехи матем. наук. - 1995. - Т. 50. - Вып. 1. - С. 193 - 194. [Ta] Tadmor E. Variational formulation of entropy solutions for nonlinear conservation laws // Joint Math. Meeting, Baltimore, MD, January 2014,

http://www.cscamm.umd.edu/tadmor/Lectures/2014%2001%20Variational formulati on JMM address%20printout.pdf. [R1] Rykov Yu. G. Extremal properties of the functionals connected with the systems of

conservation laws // Mathematica Montisnigri. — 2019. — V. 46. — P. 21 - 30. [Ze1] Zel'dovich Ya. B. Gravitational instability: An approximate theory for large density

perturbations // Astron. Astrophys. — 1970. — V. 5. — P. 84 - 89. [Ze2] Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы математической физики. Наука. М., 1973.

[Kra] Крайко А. Н. О поверхностях разрыва в среде, лишенной собственного

давления // Приклад. матем. и мех. — 1979. — Т. 43. — № 3. — С. 500 - 510. [Bou] Bouchut F. On zero-pressure gas dynamics // B. Perthame (Ed.), Advances in Kinetic Theory and Computing, series on Advances in Mathematics and Applied Sciences, V. 22, P. 171 - 190. World Scientific. Singapore, 1994. [Ov] Овсянников Л. В. Изобарические движения газа // Дифференц. уравнения. —

1994. — Т. 30. — № 10. — С. 1792 - 1799. [Chu] Чупахин А. П. О барохронных движениях газа // Доклады РАН. — 1997. — Т.

352. — № 5. — С. 624 - 626. [Gr] Grenier E. Existence globale pour la systeme des gaz sans pression // C. R. Acad.

Sci. Serie 1. Math. — 1995. — V. 321. — Issue 2. — P. 171 - 174. [HW] Huang F., Wang Z. Well posedness for pressureless flow // Comm. Math. Phys. —

2001. — V. 222. — Issue 1. — P. 117 - 146. [LiW] Li J., Warnecke G. Generalized characteristics and the uniqueness of entropy solutions to zero-pressure gas dynamics // Adv. Differential Equations. — 2003. — V. 8. — No. 8. — P. 961 - 1004. [Hy1] Hynd R. Sticky particle dynamics on the real line // Notices Amer. Math. Soc. —

2019. — V. 66. — Issue 2. — P. 162 - 168. [Hy2] Hynd R. A trajectory map for the pressureless Euler equations // Transactions Amer.

Math. Soc. — 2020. — V. 373. — No. 10. — P. 6777 - 6815. [KlR] Klyushnev N. V., Rykov Yu. G. Non-conventional and conventional solutions for

one-dimensional pressureless gas // Lobachevskii journal of mathematics. — 2021. —

V. 42. — Issue 11. — P. 2615 - 2625.

[LZY] Li J., Zhang T., Yang S. L. The Two-Dimensional Riemann Problem in Gas Dynamics. Longman. London, 1998.

[R2] Рыков Ю. Г. Особенности типа ударных волн в среде без давления, решения в

смысле теории меры и в смысле Коломбо. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, №30. M., 1998.

[R3] Рыков Ю. Г. Двумерная газовая динамика без давления и вариационный принцип. Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, №94. M., 2016.

[AR1] Аптекарев А. И., Рыков Ю. Г. Детализация механизма образования особенностей в системе уравнений газовой динамики без давления // Доклады РАН. — 2019. — Т. 484. — № 6. — С. 655 - 658.

[Pa] Pang Y. The Riemann problem for the two-dimensional zero-pressure Euler equations // J. Math. Anal. Appl. — 2019. — V. 472. — Issue 2. — P. 2034 - 2074.

[BD] Bianchini S., Daneri S. On the sticky particle solutions to the multi-dimensional pressureless Euler equations // J. Differential Equations. — 2023. — V. 368. — P. 173 - 202.

[BrN] Bressan A., Nguyen T. Non-existence and non-uniqueness for multidimensional sticky particle systems // Kinetic and Related Models. — 2014. — V. 7. — No. 2. — P. 205 - 218.

[KRy] Клюшнев Н.В., Рыков Ю.Г. О модельных двумерных течениях газа без давления: вариационное описание и численный алгоритм в рамках динамики прилипания // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 2023. — Т. 63. — № 4. — С. 639 - 656.

[BCH] Bressan A., Chen G., Huang S. Generic Singularities for 2D Pressureless Flow, https://arxiv.org/abs/2307.11602, 2023.

[LY] Li J., Yang H. Delta-shock waves as limits of vanishing viscosity for multidimensional zero-pressure gas dynamics // Quart. Appl. Math. — 2001. — V. LIX. — P. 315 - 342.

[ARS] Albeverio S., Rozanova O. S., Shelkovich V. M. Transport and concentration processes in the multidimensional zero-pressure gas dynamics model with energy conservation law, https://arxiv.org /abs/1101.5815, 2011.

[KS1] Khanin K., Sobolevski A. Particle dynamics inside shocks in Hamilton-Jacobi equations // Phil. Trans. Roy. Soc. A. — 2010. — V. 368. — P. 1579 - 1593.

[KS2] Khanin K., Sobolevski A. On Dynamics of Lagrangian Trajectories for Hamilton-

Jacobi Equations // Arch. Ration. Mech. Anal. — 2016. — V. 219. — Issue 2. — P. 861 - 885.

[GSS] Гурбатов С. Н., Саичев А. И., Шандарин С. Ф. Крупномасштабная структура Вселенной: Приближение Зельдовича и модель слипания // Успехи физ. наук. — 2012. — Т. 182. — № 3. — С. 233 - 261.

[AR2] Аптекарев А.И., Рыков Ю.Г. Возникновение иерархии особенностей в средах без собственного перепада давления. Двумерный случай // Математические заметки. — 2022. — Т. 112. — Вып. 4. — С. 486 - 499.

[AR3] Аптекарев А. И., Рыков Ю. Г. Вариационный принцип для многомерных законов сохранения и среды без давления // УМН. - 2019. - Т. 74. - Вып. 6. - С. 159 - 160.

[BNP] Brenier Y., Natalini R., Puel M. On a relaxation approximation of the incompressible Navier-Stokes equations // Proc. Amer. Math. Soc. — 2004. — V. 132. — No. 4. — P. 1021 - 1028.

[PaR] Paicu M., Raugel G. Une perturbation hyperbolique des équations de Navier- Stokes [A hyperbolic perturbation of the Navier-Stokes equations] // ESAIM: PROCEEDINGS. — 2007. — V. 21. — P. 65 - 87.

[RS1] Racke R., Saal J. Hyperbolic Navier-Stokes equations I: local well-posedness // Evol. Equ. Control Theory. — 2012. — V. 1. — No. 1. — P. 195 - 215.

[RS2] Racke R., Saal J. Hyperbolic Navier-Stokes equations II: global existence of small solutions // Evol. Equ. Control Theory. — 2012. — V. 1. — No. 1. — P. 217 - 234.

[IR] Ильин А.А., Рыков Ю.Г. О близости траекторий для модельных квазигазодинамических уравнений // Доклады РАН. — 2016. — Т. 470. — № 4. — С. 380 - 383.

[Vaz] Vázquez J.L. The Porous Medium Equation. Mathematical Theory. Oxford University Press. Oxford, 2007.

[AKM] Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Наука. Новосибирск, 1983.

[Amz] Amaziane B, Jurak M, Pankratov L, Piatnitski A. An existence result for nonisothermal immiscible incompressible 2-phase flow in heterogeneous porous media // Math. Meth. Appl. Sci. — 2017. — V. 40. — Issue 18. — P. 7510 - 7539.

[DEH] Daim F.Z., Eymard R., Hilhorst D. Existence of a solution for two phase flow in porous media: The case that the porosity depends on the pressure // J. Math. Anal. Appl. — 2007. — V. 326. — P. 332 - 351.

[AJK] Amaziane B., Jurak M., Keko A.Z. An existence result for a coupled system modeling a fully equivalent global pressure formulation for immiscible compressible two-phase flow in porous media // J. Diff. Eq. — 2011. — V. 250. — Issue 3. — P. 1685 -1718.

[ASh] Amirat Y. and Shelukhin V. Global weak solutions to equations of compressible miscible flows in porous media // SIAM J. Math. Anal. — 2007. — V. 38. — No. 6. — P.1825 - 1846.

[Orr] Orr, jr. F. M. Theory of Gas Injection Processes. Tie-Line Publ. Copenhagen, 2007.

[Bed] Бедриковецкий П. Г., Каневская Р. Д., Лурье М. В. Автомодельные решения задач двухфазной фильтрации с учетом сжимаемости одной из фаз // МЖГ. — 1990. — № 1. — С. 71 - 80.

[AbP] Abadpour A., Panfilov M. Asymptotic decomposed model of two-phase compositional flow in porous media: analytical front tracking method for Riemann problem // Transp. Porous Med. — 2010. — V. 82. — Issue 3. — P. 547 - 565.

[BdP] Bertch M. and Dal Passo R. Hyperbolic Phenomena in a Strongly Degenerate Parabolic Equation // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1992. — V. 117. — Issue 4. — P. 349 - 387.

[dP] Dal Passo R. Uniqueness of the entropy solution of a strongly degenerate parabolic equation // Commun. Part. Diff. Eq. — 1993. — V. 18. — Issue 1-2. — P. 265 - 279.

[LTa] Lavrentiev M. M., Tani A. Solvability to some strongly degenerate parabolic problems // J. Math. Anal. Appl. — 2019. — V. 475. — Issue 1. — P. 576 - 594.

[KuR] Kurganov A. and Rosenau P. Effects of a saturating dissipation in Burgers-type equations // Comm. Pure Appl. Math. — 1997. — V. 50. — No. 8. — P. 753 - 771.

[KLR] Kurganov A., Levy D. and Rosenau P. On Burgers-Type Equations with NonMonotonic Dissipative Fluxes // Comm. Pure Appl. Math. — 1998. — V. 51. — No. 5. — P. 443 - 473.

[GKR] Goodman J., Kurganov A. and Rosenau Ph. Breakdown in Burgers-type equations with saturating dissipation fluxes // Nonlinearity. — 1999. — V. 12. — No. 2. — P. 247 - 268.

[CKR] Chertock A., Kurganov A., Rosenau Ph. On degenerate saturated-diffusion equations with convection // Nonlinearity. — 2005. — V. 18. — No.2. — P. 609 - 630.

ПРИЛОЖЕНИЕ A. Статья 1. Generalized variational principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics.

E Weinan, Rykov Yu. G., Sinai Ya. G. Generalized variational principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics // Comm. Math. Phys. - 1996. - V. 177. - Issue 2. - P. 349-380. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02101897

Разрешение на копирование:

Согласно https://www.springer.com/gp/rights-permissions/obtaining-permissions/882 автор статьи может включать материалы статьи в свою диссертационную работу при условии цитирования в соответствии с действующими стандартами цитирования.

Communications in Mathematical Physics

© Springer-Verlag 1996

Generalized Variational Principles, Global Weak Solutions and Behavior with Random Initial Data for Systems of Conservation Laws Arising in Adhesion Particle Dynamics

Weinan E1, Yu.G. Rykov2, Ya.G. Sinai3

1 Courant Institute of Mathematical Sciences, New York, NY 10012, USA

2 Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

3 Mathematics Department, Princeton University, Princeton, NJ 08544, USA and Landau Institute of Theoretical Physics, Moscow, Russia

Received: 30 December 1994/in revised form: 1 May 1995

Abstract: We study systems of conservation laws arising in two models of adhesion particle dynamics. The first is the system of free particles which stick under collision. The second is a system of gravitationally interacting particles which also stick under collision. In both cases, mass and momentum are conserved at the collisions, so the dynamics is described by 2 x 2 systems of conservations laws. We show that for these systems, global weak solutions can be constructed explicitly using the initial data by a procedure analogous to the Lax Oleinik variational principle for scalar conservation laws. However, this weak solution is not unique among weak solutions satisfying the standard entropy condition. We also study a modified gravitational model in which, instead of momentum, some other weighted velocity is conserved at collisions. For this model, we prove both existence and uniqueness of global weak solutions. We then study the qualitative behavior of the solutions with random initial data. We show that for continuous but nowhere differentiable random initial velocities, all masses immediately concentrate on points even though they were continuously distributed initially, and the set of shock locations is dense.

1. Introduction

This paper has two main goals: The first is to give an explicit construction of weak solutions for the initial value problem of the systems of conservation laws:

The second is to study the qualitative behavior of such weak solutions when initial data are random. We prove that for a wide class of probability distributions for the

(1.1)

and

(1.2)

initial data, almost every weak solution has the following structure: At any positive time t > 0, p( - ,t) becomes a purely singular measure even though it may be continuous at t = 0. Moreover, this singular measure is supported on a dense set which can also be considered as the shock set of u. We will also study a variant of (1.2) in which a weighted velocity instead of momentum is conserved at the collisions [GMS, VFDN]:

Pt + (PU)X =0

«, + (£)*=-& (1-3)

Sxx = P ■

Our construction of weak solutions for (1.1) is based on a connection between (1.1) and the "sticky particle model" of Zeldovich (see [Z] and also [CPY]). There is a similar connection between (1.2) and the gravitationally interacting sticky particles. Consider a system of particles on Rl with initial velocities {v*}}, locations {xj} and masses \m(j\, j e Z. The particles move with constant velocities unless they collide. At collisions the colliding particles stick and form a new massive particle. The mass and velocity of this new particle are given by the laws of conservation of mass and momentum. This model was proposed by Zeldovich [SZ], and developed further by Kofman, Shandarin, et al. (see [GMS,KPS], and the survey paper [VDFN]) to explain the formation of large scale structures in the universe. In this context it is also referred to as the model of "adhesion dynamics." One main result of this paper is that the adhesion dynamics of free particles is in a sense integrable, and this gives rise to weak solutions of (1.1).

A similar connection exists between (1.2) and the gravitationally interacting sticky particles. The Hamiltonian governing the dynamics between collisions is given by 2

H(p,x) = £ p- + £ mmjlx, -xj\. (1.4)

i ¿ffti i+j

We will assume that m, < oo. When particles collide, again they form a new particle with mass and velocity given by the conservation of mass and momentum. The gravitational force acting on a particle is proportional to the difference between the total masses from the right and from the left of the particle. This system is also integrable in the same sense and leads to weak solutions of (1.2).

For smooth solutions, (1.1) is equivalent to the Burgers equation

m2

Tj,-° a5>

together with a scalar transport equation

pt + {pu)x = 0. (1.6)

Given the initial data {p0,uo}, the solution of (] .5) (1.6) can be easily found via the method of characteristics. Define the forward flow map (pt : Rl —> R] by

x = cp,(y) = y + tu^iy) ■ (1-7)

For small t, this map is usually invertible, and we have

u(x,t) = u0((p~l(x)), p(x,t) = Po((pr\x))

where y = <pt '(x) defines the backward flow map.

8x 1 1

dy

(1.8)

It is well-known [L] that this construction ceases to be valid after some critical time T* at which the solution of (1.5) develops shocks. In general (1.1) and (1.5)—(1.6) also cease to be equivalent after T*.

In analogy with fluid mechanics, we call y the Lagrangian coordinate and cpt(y) the Eulerian coordinate at time t. After T* the mapping y —> <pt(y) is no longer one-to-one, and no longer defined by (1.7): a whole interval can be mapped to a single point which is the location of a shock.

However, in all cases <pt defines a partition c, of R1 where elements of the partition are given by

= {(p-\x), XER1}. (1.9)

We should stress that the solutions are assumed to be continuous from the right. The elements of 6 can be either single points, or segments. More importantly, knowing ct. we can reconstruct <pt and u( • ,t) from the two conservation laws:

^ ict(,y)^ + tu0mpa{n)dr] J®l(x)uo(tl)Po(n)dr,

<Pt(y) = ——r-^-r,-, u(x,t)=—y-—-, (1.10)

Jct(y) Po(l)dri Ja,(l)A>0?>ty

where Ct(y) denotes the element of the partition c, containing y, and %(x) = <p^l(x). In the more general case when the initial distribution of mass is given by a nonnegative Borel measure (1.10) takes the form

Ict(y)(n + tuo(r,))dPQ(r,) Utix)"oWdP0W

<Pt(y) = r-j^j--, u(pc,t)=—p—- . (1.11)

ict(y)dPoil) Jat(x)dpo(f)

Both (1.10) and (1.11) state that cpt(y) is now the position of the center of mass of Ct(y).

We are left with the key step of defining {£t}t>o- Let us first consider the simpler case of a finite number of particles with initial data {x(j, v'j, m'j}, 1 ^ j <; N. A crucial observation is that the necessary and sufficient condition for N particles to collide and form a single particle before, or at time t, is that

ELi (*? + »>/ . +

1 T J'"j > ,/ . I V« /

i mj 1 '"j

N o

mi

(1.12)

holds for all J, 1 ^ J ^ N - 1. Indeed assume that (1.12) holds, yet there are more than one cluster of particles at time t. Without loss of generality, let us assume that there are two such clusters, {1,2,...,/'} and {/' + located at X\(/) and

X2(t) with Xx(t) < X2(t). Then we have

= ^ ' QJ ^ < X2(t) = ' , (1.13)

since the conservation of mass and momentum dictates that the cluster has to be located at the center of mass. Equation (1.13) contradicts the assumption that (1.12) holds for all j. On the other hand, assume that (1.12) is violated for some J — J', then the group of particles {1,...,/'} will never catch up with the group {/' + before time t. For details, see Sect. 3.

Before going into the continuous case, let us state the conditions we will impose on the initial data.

Let Po, /0 G M: the space of Radon measures on Rl,Po 0.

(Al) P(i(A ) < 00 for any compact A C R1 and Po is either discrete or absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. In the latter case, we assume that density po(x) > 0, for x e Supp(/V). If Supp(/V) is unbounded, we assume additionally

f sdPo(s) —> +00 as |x ] —>■ +00 . 0

(A2) The initial distribution of momentum I0 is absolutely continuous with respect to Po. The Radon-Nikodym derivative u( ■, 0) = is the initial velocity. In the case when Po is absolutely continuous, we assume that u( ■, 0) is also continuous.

(A3) For any z > 0

sup |mo(x)| b0(z) and lim - b0(z) = 0 .

\x\£z |z|->ooZ

The first essential result of this paper is the following principle for the construction of c_i using the initial data.

Generalized Variational Principle (GVP): y e R1 is the left endpoint of an element of £,t iff for any y~, y+ G Rl, such that y~ < y < y+, the following holds:

¡[r_ y)(r, + tu(mO))dP0(tj) j[y!y+] (r, + tu(tj-,Q))dP0(tj)

< hy,yndP^) ' ( ' }

We can also formulate GVP for right endpoints of elements of but we will omit this since we do not need it.

Having {&}(>0, we define cpt via (1.11) and the density and momentum distributions at time t,Pt and It, by

Pt{A)=PoWi\A)), It(A) = Io(<p7\A)) (1.15)

for A CR1. In the case of continuous u(x; 0 ) the mapping <p, is also continuous. It is clear that I, is absolutely continuous with respect to Pt, and we can introduce the Radon-Nikodym derivative

u{x,t)=^{x) (1.16)

which is the velocity at (x, t).

We will use the following definition of weak solutions.

Definition 1. Let (Pt,It) be a family of Borel measures, weakly continuous with respect to t, such that I, is absolutely continuous with respect to Pt for each fixed t. Define u via (1.16). {PtJt,u)t^0 is a weak solution of (1.1) if for any f,g£ Cq(R1), the space of Cl-functions on Rl with compact support, and 0 < t\ < ¿2,

(Dl) / f{n)dPt2{n) - f f(r,)dPtl(r,) = J dz J f'(r])dl,(r]),

h

(D2) J g(r,)dlt2(v) -fg(ii)dItlW = J dx f g'{n)u{n,x)dIT{n) ■

h

Theorem 1. Under the assumptions (Al-3), the family (PtJt,u)t^o constructed using GVP gives a weak solution of (1.1) with initial data (Po,Io) in the sense that

lim Pt = P0, lim It = /o

weakly as t 0+.

Next we turn to (1.2). First of all, we remark that the third equation in (1.2) can be interpreted as

(+oo X \

f piUW- I p(U)dn, (1.17)

X —BO J

i.e. the acceleration at a point is proportional to the difference between the total masses from the right and from the left of that point. For the initial data, in addition to (A1-A3) we will also assume (A4) Po^1) < + oo.

The characteristics of (1.2) are now given by quadratic functions of t:

1 9

x(t) = y + k0(y)t + - a0(yy . (1.18)

This has the effect of changing (1.11) to

x ¡c1<y)(tl + tu oM)dP0(ri) t2

IQ(y)dP0M 2

u(x,t)=J®f +a(®t(x))t, (1.19)

where

a(Ct(y)) = P0(I+)-P0(r). (1.20)

I+ and I~ are respectively the right and left connected component of /?'

As before, the key issue is to construct the family of partitions of Rl, {c, In this case we formulate an analogous Generalized Variational Principle (GVP): y e Rl is the left end point of an element of c, iff for any y+,y~,y~ < y < y+, the following holds:

f,y- y)(ri + tUo(ri))dPo(ri) t2

fry y+) (t + tuomdPoM t2

J [y,y+) dP°M 2

Having {Ztjtio, we can construct q>t, u using (1.19), P, as before, and I, from u and Pt by a simple integration.

Definition. Let (Pt,It) be a family of Borel measures, weakly continuous with respect to t, such that It is absolutely continuous with respect to Pt for each fixed t. Define u via (1.16). (P,,I,. u),>o is a weak solution of (1.2) iff for any

f,g G Q(Rl), and 0 < t\ < h,

(Dl') J mdPh(.n) - J f(T])dPi}(r]) = J dr J f'(tj)dIT(r,),

h

(D2')

h

f g(t])dlt2(t]) - f g{t])dlh{t]) = J dr J g'(t1)u(t1,x)dlt(t1)

h

h

+ JdxJ g(ri){Px(r},-™) ~ Pr{-™,n))dPAn) -

Theorem 2. Under the assumptions (Al-4), the family (Pt,It,u)t^o constructed using GVP gives a weak solution of (1.2) with initial data (Po,h) in the sense that

lim P, = Pq, lim/j = /(}

weakly as t 0+.

Before continuing, let us put these results in the perspective of general hyperbolic conservation laws. For obvious reasons, (1.1) is sometimes referred to as the pressureless gas dynamics equations. However, compared with the isentropic gas dynamics equation

Pt + (PU\= 0 (pa), + (pu2 + p{p))x =0

there are two important differences. First at a technical level, the natural space for (1.1) is M, the space of Radon measures, instead of B V or L°°. Secondly, the standard entropy condition, which in the present case, takes the form

(pS(p))t + (upS(p))x ^ 0, (1.23)

where S is convex, is not enough as a uniqueness criterion. Indeed in the context of particle systems, there is a whole family of inelastic collision rules that satisfy (1.1) and (1.23). The adhesion dynamics considered here is an extreme case of these collision rules. It is easy to see that the weak solutions of (1.1) constructed in this paper has the additional property:

1

ux<-t.

It is suggested by Jonathan Goodman that this might be sufficient as a uniqueness criterion. Moreover, it is natural to expect that the adhesion dynamics corresponds to a form of viscosity limit. But this also remains to be proven. Notice that (1.1) is an extreme case of a non-strictly hyperbolic system: the two characteristic fields coincide.

We will also consider a model closely related to (1.2) which is also discussed in the astrophysics literature [GMS,VDFN]:

Pt + (pu)x = 0

9xx = P ■

The relation between (1.2) and (1.24) is analogous to the relation between (1.1) and (1.5-6). Let h = gx, we can rewrite (1.24) as

(1.25)

If Pq is absolutely continuous, we can reduce (1.25) to a scalar conservation law of the form

"'+(7) = ~h(G(x - ut, t)), (1.26)

which is amenable to standard methods. Using this, we are able to establish both existence and uniqueness of global weak solutions for (1.24). This is explained in Sect. 6.

In the second part of this paper we study the qualitative behavior of these models with continuous, but non-differentiable initial data, extending some results from [S], We show that the solutions of these models share the common feature that almost surely, at any t > 0, all masses concentrate on points (i.e. the absolute continuous part vanishes), and the set of shock locations is dense. This behavior was to some extent anticipated by Zeldovich [Z] in his work on cosmology. In that context, these point masses are interpreted as the galaxies in a one-dimensional universe.

Before ending this introduction, let us mention that. (1.1) and (1.2) also have an origin in kinetic equations. Consider

fi + vfx = 0. (1.27)

If we look for solutions of the form

f(x,v,t) = p(x,t)3(v - u(x,t)), (1.28)

we obtain (1.1) for (p, u). Similarly consider the Vlasov-Poisson-Jeans equation [VDFN]

f f, + vfx-gxfv = 0

r/y (L29)

[9xx = J f(x,v,t)dv .

If we look for solutions of the form (1.28), we obtain (1.2) for (p,u).

The paper has eight sections and one appendix. In Sect. 2, we compare our GVP with the Lax-Oleinik variational principle for scalar quasi-linear equations. In Sect. 3, we consider the discrete version of (1.1) and prove GVP for this case. In Sect. 4, we extend these results to the continuous case and complete the proof of Theorem 1. In Sect. 5, we explain the additional steps needed for the proof of Theorem 2. In Sect. 6, we consider the modified gravitational system (1.3).

Part II consists of two sections. In Sect. 7, we consider (1.1) and (1.2) with random initial data. In Sect. 8, we extend these results to (1.3).

After this paper was submitted for publication, we received a preprint [BG] by Brenier and Grenier in which existence of weak solutions of (1.1) was proved without resorting to GVP at the continuous level. [BG] also contains some very interesting ideas for the multi-dimensional version of (1.1). We thank Brenier and Grenier for timely communication of their results.

Part I. Generalized Variational Principles and Global Weak Solutions

2. Preliminaries and Comparison with the Lax-Oleinik Variational Principle

In the following we will concentrate on (1.1). The necessary changes for (1.2) will be summarized in Sect. 5.

Intuition from adhesion dynamics suggests that the masses cluster more and more, and the accumulated masses will never split apart again. We formulate this as:

Lemma 1. The family of partitions {i;t}t>o determined with the help of GVP is decreasing. In other words, for 0 < t' < t, each element of is contained in an element of

Proof. Assume to the contrary that there exists y e G£t, but yed£ti, where ot, denotes the collection of points belonging to the boundary of some element of Z,t. Without loss of generality, we can assume that y is the left end point of an element in Then for some y~ < y < y+, we should have

f[y-,y) (.t1 + t'Mtl))dPo(.tl) > Slyty+](.ri + t'uo(ri))dPo(ri)

J[y-,y)dP0(rj) ~ ' J[y!y+]dP0(r,) ■ (11)

Consider two linear functions h(s), /2(5) of 5 defined by

f[y-y) tjdPo(rj) f[y_ y) uo(r])dPo(ri) h(S)- fly.y)dP0(r])+S fly-iy)dPoM '

/2(s) = SjmliH^H + JM . (2.2)

ky+1 dpfly,yn dP

For sufficiently small s, we have l\(s) < /2(s) while h(t') S; h(t'). Since l\ and /2 are linear, we conclude that l\(t) > hit). This contradicts the fact that y e Gc,: i.e. y satisfies GVP at time t.

Now we will compare GVP with the classical Lax-Oleinik variational principle see [L, 0]. We assume that Pq has a density po, and 0 < const ^ po(x') < 00. Introduce

and

y y

4>i(y) = J (f] + tu0(t]))p0(r])dt], (j)2(y) = / po(ri)dri (2.3)

^-m^n- (2a>

My") - (¡>2(/)

<j)2 defines a C1 -diJTeomorphism of R1. Let y = (f>2 '(z), and define

In these notations, (1.14) becomes

inf c(y,y+) ^ sup c(y-,y) (2.6)

y+>y

y <y

or, for Z = (j>2(y),

inf c(z,z+) ^ sup c(z ,z). (2.7)

z+

>Z

Let cj)(z) — (¡>\ o (¡>2 (z). Geometrically (2.7) means that (z, (j)(z)) is a point of contact of the graph of (p and its convex hull constructed in the coordinate z.

In comparison, the Lax Olcinik variational principle for the Burgers equation (1.5) can be formulated as

d ((x-z)2 2 1

u(x, t)=— inf | + ^ U<){r])clr] J ■ (2'8)

It is easy to see that finding the minimum in- (2.8) is the same as constructing the convex hull of the function F(y) = fy(tj + tu0(r]))dr] and finding the points of contact between the graphs of F and its convex hull. In fact the set of points where the minimum in (2.8) is attained is exactly the same as the set of contact points between the graphs of F and its convex hull. Notice that F is a special case of (pi when p0 = 1. We see that the construction of GVP is the same as constructing the convex hull, but in a special coordinate z. It is in this sense that (1.14) and (1.21) generalize the variational principle of Lax and Oleinik.

3. The Discrete Case

It is instructive to consider first the case of a finite collection of particles {(x°, i — 1,2 ,...,N}, where xf, v{- and are respectively the location, velocity, and mass of the Ith particle. The particles undergo adhesion dynamics, defined in Sect. 1. The effect of the partitions {%t}t>o is to divide the particles into ordered groups or clusters G\(t), G2(t), ...,Gk{t), so that each group of particles are glued to a single one before or at time t, and different groups are at different locations at time t. If G is one such group, say G = {/,i + 1,...,]}, we denote by CG(t) its location at time t. From the conservation of mass and momentum, we know that C<;;(t ) has to be the center of mass of G\

CG(t) --—j---. (3.1)

More generally, we will denote the expression on the right-hand side of (3.1) by Cij(t). It is a linear function of t.

Lemma 2. Let G\ and G2 be two neighboring groups of particles such that CGl(t) < CG2(t) for t < t*, and CGl(t*) = CGl{t*). Then for t > f,

CGl[jGl(t) < CGl(t) . 61

Proof. Since both CGl(t) and CGl(l) are linear functions of t, we have for t > t",

CGl(t) > CG2(0 .

Since Q;,:JG2(t) — y-CG](t) + (1 - a)CG2(0 for some constant a e (0,1), we have for t > t*,

CGiug2(0 < CG,(0-

This proves the lemma.

Lemma 3. Let G e G = {x,°, f ^ i ^ /'}. 77zen /or any i,j' ^ / ^

j" — I, we have

Cfj(t) ^ Ci+i,y//(i). (3.2)

Proof Assume to the contraiy that there exists an i, such that (3.2) does not hold. Since Cjijn(t) — y.Cji jit) + (1 — a)C,-+1j»(i) for some 0 ^ a rg 1, we have:

Cyjit) < Cjijn(t). (3.3)

Consider the evolution of the set of particles /(0) = {xj, / ^ j ^ /}. Each time the set is hit from the right by a particle or a cluster of particles, we add them to our set. In this way we obtain a growing family of sets I(s) = {x'1, / ^ j rg z'(.v)}. From Lemma 2, when new particles are added to I{s), its center of mass is moved further to the left, i.e.

CrAs){s) < Cfti{s). (3.4)

From the assumption of the lemma we have i(t) — j". Hence we have

Cj>j't(t) < Cyjit), (3.5)

contradicting (3.3).

Theorem 1'. x° is the left endpoint of an element of the partition iff

max Cii j-i(t) < min Cj jn(t). (3.6)

Proof. Assume that (3.6) holds, and xj1 is not the left endpoint of an element of ct. Let G e C; be the element of c, containing x°, G = {x°, /'o ^ i S jo} and z0 < j. From Lemma 3, we have

Cw_i(0 ^ CjjQ(t). (3.7)

This clearly contradicts (3.6).

Assume now that x(>} is the left end point of an element of c,. For any /,/', / < j < j", we want to show that Cfj_x{t) < Cjjn(t). Let/i,/2,...,/; be the consecutive elements of to the left of x°, and Xj, e I\ = {xf, i\ i S h}-Let Ji,J2,...,Jr be the consecutive elements of c, to the right of x° (including the one containing x'j), and x°„ G J, = {xf, j\ ^ i ^ ji}■ From Lemma 3, we have

C/,i2(t) g, C/j(t), ChJ„(t) > Ch(t). (3.8)

We also have

Ch(t) < < C/,(t) < 0,(0 < • ■ ■ < CJr{t) • (3.9)

Hence, we must have

Cr>y-_,(0 <Cjj„{t). (3.10)

We now show that the adhesion dynamics gives rise to weak solutions of (1.1) with initial data P0 = m°d(x-xf), 70 = i m<]v°d(x - x°).

Let {xj(t + At), Vj(t + At), mj(t + At), j = 1,...,N(t)} be the locations, velocities, and masses of the particles at time t + At. Assume that the /h particle is formed by gluing together some particles whose locations, velocities, and masses at time t were respectively x,j(t), Vij(t) and wiij(t), i ( lj a set of indices depending on j. We have

Eie/,- (*y(0 +

Xj(t + At) =-

Vj(t + At) =

mj(t + At) mj(t + At)

m,<t + At) = £ m,j{t) . (3.11)

ieij

We also have \xtj(t) - xj(t + At)\ ^ Const • At since all velocities are bounded. Let f,g G Cq(R1 ). We first show that Jf(ri)dPt(tj) is a difierentiable function of t, and

j-Jf(r,)dPt(r,) = Jf'Wdl^). (3.12)

This implies (Dl). Indeed, we have Jf(r,)dPt(r,) = £/(xy(0H/(0

Uj

= E E f(xj(t + At) + Xij(t) - Xj(t + At))mij{t)

j щ

= ^f{xj{t + At))mj{t + At) j

+ E f'(xj(t + ¿Ю)£ (xy(0 - xj(t + At))mij(t) + o(At) .

i ieij

Since

£ (Xij(t) - Xj(t + At))mij(t) = £ XijiOntijit) - Xj(t + At)mj(t + At)

¡eij i

= -AtJ2vij(t)mij(t) = -Atvj{t + At)rrij(t + At) , i

we obtain

!f{n)dPt{n)

= f f(t])dPt+At(ri) -At ¿2 f'(Xj{t + At))Vj(t + At)nij(t + At) + o{At) .

j

This implies (3.12).

In contrast f g(rj)dlt(rj) is not C1 in t because of the inelastic nature of the collisions. To see this, consider just two particles colliding at t = z. Before collision they are denoted by (xi(t),vi(t),m\(t)),(x2(t),v2(t),m2(t)),t < z, respectively. After collision they form a single particle (x(t),v(t),m(t)),t > z. We have m(z) = m\(z) + m2(z), m(z)v(z) = m\{i)v\{i) + m2(z)v2(z), m(z)x(z) = m\{i)x\{z) + m2{z)x2{i). For t < t, we have

¡g(r])dlt(ri) = g{x\{t))v\{t)ni\{t) + g(x2(t))v2(t)m2(t)

= g(x(x))(vi(t)mi(t) + v2{t)m2{t))

+ (t- z)g'(x(z))(v21(t)ml(t) + v\(t)m2{t)) + 0{{t - t)2)

= Jgi^dUtj) + (t- T)g'{x{z)){v\{x)mi{z) + v2{x)m2{z))

+ 0((t — z)2).

For t > z, we have

JgWdltiri) = g{x{t))v{t)m{t)

= ¡gQl)dIz(ri) + (t- z)gr(x(x))v2(x)m(z) + 0((i - t)2) .

In general, energy decreases at collisions

v\{x)m\{z) + v\{x)m2{z) =1= v2(z)m(z).

Hence fg(r])dlt(r]) is not C1 in t. Nevertheless, we can prove that (D2) is still valid. We only have to prove this for the case when there is no collision in {t\,t2) and at t = t2, a group of particles, say with indices i\,i\ + 1,.. .,/2, are colliding to form a single particle at x(t2). We then have

12 t2 N

f dz Jg'(tj)u(r],z)dlt(r/) = / ^^'(^(t))!;2^)^/

<1 h i= 1

h

fdz

11

<1-1 d h d N d £ rriiVi—gixiiz)) + £ mivi-rg(xi(z))+ £ miVi—g(xi(z)) ¿=1 dz i=h dz i=h+l dz

¡1-1 ¡2 N N

= J2 miVjgixifo)) + g(x(t2))J2 MM + £ miVigix^)) - Y, mivi9{xi{h))

i= 1 ¡=/1 ¿=¡2+1

= f g(t])dlt2(t]) - JgWIt^).

4. Proof of Theorem 1

We will first give the proof for the case when Po is absolutely continuous, and then for the case when Po is discrete.

For initial data satisfying (A1-A3), we construct a decreasing family of partitions {£r}r>o of R] according to GVP (1.14). Having {c,},>o, we can define cpt,Pt,It, and u(x,t). Obviously cpt is a non-decreasing function of y for any fixed t.

Furthermore, as a consequence of the assumption that u(x; 0) is continuous, cpt is also continuous, and we have

¡mdPM) = ¡f{q>t(r\))dP,(n),

JgWdUr,) = jg((pt(r]))dIo(ri). (4.1)

We will prove Theorem 1 via discrete approximations. Take a sequence of measures Pg"' concentrated on finite sets {x-"', i = 1,...,} such that P^n) —» P0 weakly. Define /g"' to be a signed measure concentrated on the set {x.i"),i = 1,...,} such that 4B)({xiB)}) = «o(x/"))/>o")({*/")})- Then 7o weakly. Using GVP, we construct the corresponding families of partitions ^f* and mappings <p("K Moreover we already showed (Theorem 1') that for f,g& Co(R]),

jmdp^ = jfi^mdp^,

Jg(r,)d4n) = fg(d%))d4n) . (4.2)

Here P{"] j\n} are constructed in Sect. 1. We also have for 0 < t\ < h,

IfMdP? - J/MdP^ = fdrf/'Mdl^ = fdzf/X^C^dl^ ,

h t\

fgWdl^ - Jg(r,)dlW = J dTjg'icp^M^irj, . (4.3)

h

We can extend the definition of <to the whole line by putting (p^"\y) =

if x,W ^y^ X™, <p{r\y) = <pf\x^) \f y< x\n), <pf\y) = p<">(x£>) if ^

xf. Here xj"' = minjx^}, xffi = maxjx-"*}.

We will use superscript "n" to denote objects corresponding to P\"\ /{(ln>. If A is an interval in Rl, we denote

¿,0/+ ;«(>/; 0))rfPoO?) Ja u(T,Q)dP0(tj)

Ga(t) =-r ,p i s-> u0{A =---. (4.4)

J a dpoM JA dPoin)

The following lemma is a continuous version of Lemma 3. It can be proven in the same way as Lemma 3.

Lemma 3'. Let G = [a,b] be an element of a < b. Then for any c e (a,b), we have

C[a,c)(t) £ C[cM(t). (4.5)

Lemma 4. (pin) —> <p uniformly on compact subsets of Rl x [0, oo).

Proof We first prove that for any fixed t S: 0, the inverse images of tp "' of a bounded interval L = (c, d) are uniformly bounded. To that end, let A(n> = {xf\ (pPix™) &L}, and x^ = min{xj"\ xjn) e A^}. Obviously has to be the left end point of an element G(n' in the partition From Lemma 3, we have

+ ^o(xLt) £ C$,(0 ^ c . (4.6)

Using (A3), we can write (4.6) as

(4.7)

Hence {x^,} is uniformly bounded from below. Similarly we can prove an upper bound.

Assume to the contrary that {(/"'' } do not converge uniformly on some bounded set, say [c,d\ x [0,T]. Then there exists e > 0, and sequences \yn,tn) e [c,d] x [0, T] such that

I (p,C\yn)-(pM\>e. (4.8)

We can choose {y„}, {tn} such that lim y„ = y*, lim t„ = t, lim (p\n\yn) = x* exist. Since

W^iyn) - q>{"\yn)| g 11„ - t\max |w(x;0)| ^ Const 11„ - t\ (4.9)