Нестационарные процессы в оптических системах с сильной связью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Сергеев Тимофей Тимофеевич

• Сергеев Тимофей Тимофеевич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Сергеев Тимофей Тимофеевич

Введение

Глава 1. Влияние взаимодействия системы со своим

окружением на взаимодействие её подсистем

1.1 Система двух связанных осцилляторов, взаимодействующих с окружением

1.2 Исключение степеней свободы резервуаров с учётом гибридизации состояний системы

1.3 Влияние взаимодействия с окружением на взаимодействие

между подсистемами

Глава 2. Процессы релаксации в системах в режиме

ультра-сильной связи

2.1 Режим ультра-сильной связи

2.2 Учёт степеней свободы резервуаров

2.3 Аналитическая модель для описания процессов релаксации в системах в режиме ультра-сильной связи

Глава 3. Неэрмитовый фазовый переход в спектрах систем с

сильной связью

3.1 Модель системы двух связанных осцилляторов с шумами.

Особая точка. Неэрмитовый фазовый переход

3.2 Вывод уравнений для описания неэрмитовой системы с шумами

3.3 Спектр неэрмитовой системы. Неэрмитовый фазовый переход

Глава 4. Проявление фазового перехода в особой точке в

эрмитовых системах

4.1 Модель. Связь эрмитовых и неэрмитовых систем. Особая точка

4.2 Фазовый переход в особой точке в неэрмитовой системе. Критерий фазового перехода в особой точке

4.3 Проявление фазового перехода в особой точке в эрмитовой системе

4.4 Возможная схема для наблюдения проявления фазового

перехода в особой точке в эрмитовой системе

Глава 5. Спонтанное возникновение симметрии в эрмитовой

системе из связанных осцилляторов

5.1 Особая точка и спонтанное нарушение РТ-симметрии

5.2 Спонтанное возникновение симметрии в динамике эрмитовой системы связанных осцилляторов

5.3 Изменение в собственных состояниях системы

5.4 Спонтанное возникновение симметрии и особая точка неэрмитовых систем

Глава 6. Переходы со спонтанным нарушением трансляционной

симметрии времени в оптических системах

6.1 Рассматриваемая система. Спонтанное нарушение трансляционной симметрии времени и временные кристаллы

6.2 Спонтанное нарушение трансляционной симметрии времени в оптической системе атом-резонатор

6.3 Квадратичная зависимость чувствительности в системах со спонтанно-нарушенной трансляционной симметрией времени

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные процессы в оптических системах с сильной связью»

Введение

Системы с сильной связью привлекают большой интерес в последние десятилетия. Такие системы представляют собой совокупность взаимодействующих между собой подсистем. Говорят, что такая система находится в режиме сильной связи, когда константа взаимодействия между подсистемами превышает характерные скорости релаксаций каждой из подсистем. Обычно, системы с сильной связью рассматриваются в контексте открытых квантовых систем, где они, как правило, представляются в виде конечной подсистемы, которая взаимодействует со своим окружением, в котором число степеней свободы много больше, чем в самой конечной подсистеме. Такое описание позволяет рассматривать не всю систему вместе с окружением, а лишь малую её часть. Влияние же окружения может быть учтено как процесс релаксации в малой подсистеме. Поэтому системы с сильной связью часто описываются как неэрмитовые системы, где присутствуют релаксационные процессы. Причем такое описание может быть применено к системам с сильной связью в различных вариациях физических систем, в том числе в оптических системах.

Системы с сильной связью, в частности, оптические системы с сильной связью привлекают значительный интерес благодаря наличию в них особых точек (the exceptional point, ЕР) [1; 2]. Особые точки характеризуются тем, что в них собственные значения системы совпадают, а собственные векторы кол-линеарны [1; 2]. При изменении параметров системы возможен переход через особую точку, которая также определяет переход системы от режима слабой связи к режиму сильной связи [1—4]. Этот переход сопровождается качественным изменением в собственных состояниях системы [1; 3] и часто именуется неэрмитовым фазовым переходом или фазовым переходом в особой тючке [2; 5—9].

Известным примером неэрмитового фазового перехода является спонтанное нарушение симметрии в РТ-симметричных системах [10—14]. В целом, системы с переходом к режиму сильной связи реализованы на большом разнообразии физических систем: системы атом-резонатор [15—17], в поляритонных [18—20] и оптомеханических системах [21—23], в полупроводниковых системах

12*4 27|. в сверхпроводящих системах [28; 29], в системах с параметрической модуляцией [30; 31], а также в плазмонных системах [32—34].

Благодаря необычным свойствам систем с сильной связью, которые они демонстрируют вблизи особых точек, такие системы находят множество различных применений [1; 3]. В частности, особые точки возможно использовать для усиления чувствительности сенсоров [35^39] и лазерных гироскопов [40]. Также особые точки в сильно связанных системах применяются для контроля над распространением света |41 44| и характеристиками лазера [45; 46], для лазирования с отрицательной инверсной населенностью [31; 47]. Помимо этого, системы с сильной связью применяются для контроля над скоростью химических реакций [32; 48; 49], а также для построения квантовых информационных систем [50].

В настоящее время остается открытым вопрос о существовании или проявлении особых точек в эрмитовых (закрытых) системах [51; 52]. Неэрмитовые (открытые) системы получаются из рассмотрения малой подсистемы внутри большой замкнутой системы [53]. Обычно в этом случае применяют приближение Борна-Маркова, где степени свободы окружения исключаются из рассмотрения [53; 54]. Особые точки существуют только в неэрмитовых системах, а в эрмитовых системах их нет из-за ортогональности собственных состояний. Таким образом, существует вопрос о том, является ли особая точка и фазовый переход в ней свойством самой физической системы или лишь способа её описания.

Кроме режима сильной связи, отдельный интерес представляет режим ультра-сильной связи [55—66], когда константа взаимодействия между подсистемами превышает одну десятую от собственной частоты системы [55; 56; 60; 62; 65; 67]. В этом случае многие подходы к описанию сильно-связанных систем не работают, так как они работают в предположении малых констант связи. В этом режиме контр-вращаюгцаяся волна и диамагнитные слагаемые [55; 62] играют важную роль, приводя к изменению собственных энергий и собственных состояний. В частности, состояние с нулевым числом возбуждений перестаёт быть основным [55; 62]. Модификация собственных состояний приводит к изменению взаимодействия системы с окружающей средой. При этом именно обмен энергией с окружающей средой обуславливает релаксационные процессы. Следовательно, переход к ультра-сильной связи должен приводить к изменению

релаксационных процессов в системе. Соответственно, интересен вопрос об описании процессов релаксации в таких системах.

Важным также является изучение других процессов, сопровождаемых нарушением симметрии в сильно-связанных оптических системах. В частности, в последнее время активно исследуется спонтанное нарушение трансляционной симметрии времени [68] и связанная с этим явлением концепция временных кристаллов, которая была предложена Фрэнком Вильчеком в 2012 году [69]. В последующих работах [70—72] концепция квантовых временных кристаллов подверглась критике. Однако, в последние годы концепция спонтанного нарушения трансляционной симметрии времени была расширена на га-ми л ьтоновы системы, периодически модулируемые с определённым периодомТ^ (Й (£) = Й (£ + Т^)) [68; 73—76]. В таких системах существует дискретная симметрия трансляции времени относительно сдвига на Т^. Спонтанное нарушение трансляционной симметрии времени приводит к тому, что некоторые величины в системе начинают изменяться с периодом, кратным периоду возбуждения [68]. То есть, в области параметров, где симметрия нарушается, существует по крайней мере одна величина О (£), такая, что О (£) = О (£ + тТ^), где т > 2 — целое число. В этом режиме симметрия состояния относительно временной трансляции ниже, чем у самой системы [68].

Существует ряд физических систем, где возможна реализация спонтанного нарушения трансляционной симметрии времени и дискретных временных кристаллов, например, системы атом-резонатор [77], системы с ионами в ловушке [73], МУ-центры [74], спиновые системы с ЯМР [75; 78], квантовые точки и электронно-ядерные спин-системы [79; 80], магнитные структуры [81], сверхпроводники [82; 83], поляритонные конденсаты [84; 85] и открытые оптомеханиче-ские системы [86].

Дискретные временные кристаллы и системы со спонтанно-нарушенной трансляционной симметрией времени в целом, имеют многообещающие приложения в квантовых вычислениях [87; 88], а также в квантовой метрологии и сенсорике [89—93]. Например, квантовые устройства на основе таких систем демонстрируют масштабирование чувствительности по числу частиц и времени, превышающее стандартные квантовые и гейзенберговские пределы [93-97]. Этот факт открывает новые возможности использования таких систем в сенсорах.

Таким образом, исследование оптических систем с сильной связью, а также различных переходов и нестационарных процессов в них является актуальной задачей.

Целью данной работы является исследование нестационарных процессов в оптических системах с сильной связью. В диссертации рассматриваются следующие задачи:

1. Исследование влияния взаимодействия системы со своим окружением на взаимодействие между подсистемами;

2. Построение самосогласованной модели для описания процессов релаксации в системах в режиме ультра-сильной связи;

3. Исследование неэрмитовой системы с шумами на наличие неэрмитового фазового перехода, а также связи этого перехода с особой точкой;

4. Исследование эрмитовых систем на возможное проявление в них неэрмитового фазового перехода в особой точке;

5. Исследование взаимосвязи между симметриями в неэрмитовых и эрмитовых системах;

6. Исследование переходов со спонтанным нарушением трансляционной симметрии времени в оптических системах с сильной связью;

7. Исследование влияния переходов с нарушением трансляционной симметрии времени на чувствительность оптических систем с сильной связью к возмущениям;

Научная новизна:

1. Впервые показано формирование в системе дополнительной константы связи между подсистемами, которая возникает благодаря взаимодействию системы со своим окружением и зависит от плотности состояний окружения;

2. Впервые построена самосогласованная модель для описания процессов релаксации в системах в режиме ультра-сильной связи;

3. Впервые показано наличие неэрмитового фазового перехода в спектре системы с сильной связью, который не определяется особой точкой;

4. Впервые показано явное проявление фазового перехода в особой точке в эрмитовой системе, даже в условиях полностью немарковской динамики;

5. Впервые показано явление спонтанного возникновения симметрии в динамике эрмитовой системы взаимодействующих осцилляторов;

6. Впервые показана возможность формирования режима со спонтанно нарушенной трансляционной симметрией времени в оптической системе вида атом-резонатор, где не требуется внешняя периодическая сила.

7. Впервые показано, что режим со спонтанно нарушенной трансляционной симметрией времени приводит к квадратичной зависимости по времени чувствительности системы к возмущениям.

Исследование проведено с использованием современных методов теоретической физики и численного моделирования. Достоверность полученных результатов обеспечивается численным моделированием и его согласованностью с аналитическими расчётами.

Научная и практическая значимость. Результаты данной диссертационной работы посвящены актуальным научным задачам и имеют множество возможных практических приложений.

В первой главе диссертационной работы показано, что взаимодействие системы со своим окружением приводит к формированию нового, особого режима сильной связи, причём особая точка в этом случае отсутствует. Кроме того, режим сильной связи здесь может сохраняться при любой релаксации системы, если константа связи выше критического значения, которое зависит от плотности состояний окружения системы. Это открывает новые возможности для управления системами с сильной связи при помощи состояний окружения.

Во второй главе работы построена самосогласованная аналитическая модель для описания процессов релаксации в режиме ультра-сильной связи. Было показано, что в режиме ультра-сильной связи скорость релаксации системы квази-экспоненциально убывает с ростом константы связи. Более того, изменяя частотную зависимость констант связи с окружением, можно добиться увеличения скоростей релаксации. Данный результат открывает новые пути для подавления потерь или ускорения излучения в системах с ультра-сильной связью.

В третьей главе работы показано наличие неэрмитового фазового перехода в спектре системы с сильной связью. Показано, что этот переход определяется расщеплением спектра каждой из двух подсистем или потока энергии между ними. Критическая точка перехода не совпадает с особой точкой собственных состояний. Данный переход может служить более удобным индикатором перехода

к режиму сильной связи, так как в эксперименте измеряются непосредственно спектры излучения системы, а не её собственные состояния.

В четвёртой главе диссертационной работы показано, что фазовый переход в особой точке проявляется в эрмитовой системе, даже в полностью немарковской динамике. Это говорит о том, что фазовый переход, сопровождающий переход системы к режиму сильной связи, является свойством самой физической системы, а не способа её описания. Это даёт более глубокое понимание переходов, связанных с особыми точками.

В пятой главе работы показано явление спонтанного возникновения симметрии в динамике эрмитовой системы связанных осцилляторов. Причём переход в динамике связан с изменением в собственных состояниях эрмитовой системы, а также с переходом в спектрах неэрмитовых систем из третьей главы. Данная концепция дополняет и расширяет фундаментальную концепцию спонтанного нарушения симметрии.

В шестой главе работы показано существование перехода со спонтанным нарушением трансляционной симметрии времени в оптической системе вида атом-резонатор. Более того, было показано, что этот режим приводит к квадратичной временной зависимости чувствительности системы к возмущениям. Данный результат имеет непосредственные приложения для сенсоров и оптических гироскопов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Благодаря взаимодействию системы со своим окружением возникает дополнительная константа связи между подсистемами, которая зависит от плотности состояний окружения этой системы;

2. Скорости релаксации в системе в режиме ультра-сильной связи и с постоянной частотной зависимостью констант связи квази-экспоненци-ально убывают с ростом константы связи;

3. Неэрмитовый фазовый переход проявляется в расщеплении спектров неэрмитовой системы с шумами, причём точка расщепления не совпадает с особой точкой;

4. Фазовый переход в особой точке проявляется в эрмитовой системе при полностью немарковской динамике, причём точки перехода в эрмитовой и, соответствующей ей, неэрмитовой системах совпадают;

5. В динамике эрмитовой системы связанных осцилляторов существует переход со спонтанным возникновением симметрии, причём точка перехода не совпадает с особой точкой, а определяется расщеплением в спектре собственных состояний;

6. В оптической системе вида атом-резонатор существует переход со спонтанным нарушением трансляционной симметрии времени, который не требует внешней периодической силы;

7. Переход со спонтанным нарушением трансляционной симметрии времени в оптической системе вида атом-резонатор приводит к квадратичной временной зависимости чувствительности системы к возмущениям.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации многократно докладывались соискателем на: 63-я, 64-я, 65-я, 66-я, 67-я Всероссийские научные конференции МФТИ, 22-я, 23-я, 26-я Научные конференции ИТПЭ РАН, 9-я Всероссийская диановская конференция по волоконной оптике, Конференция по нанофотонике и квантовым материалам «Горизонты нанофотоники», XX международная научная школа-конференция «Нелинейные волны - 2022», The International Summer Conference on Theoretical Physics 2023, The International Summer Conference on Theoretical Physics 2025, 22nd International Conference Laser Optics 2024, Photonics and Electromagnetics Research Symposium 2025.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 7 публикациях в международных рецензируемых журналах, индексируемых базами данных Scopus и Web of Science, все из которых рекомендованы ВАК.

1. Sergeev Т. Т., Zyablovsky A. A., Andrianov Е. S., et al. A new type of non-Hermitian phase transition in open systems far from thermal equilibrium // Scientific Reports. - 2021. - T. 11, No 1. - C. 24054.

2. Sergeev Т. Т., Vovcenko I. V., Zyablovsky A. A., Andrianov E. S. Environment-assisted strong coupling regime // Quantum. — 2022. — T. 6. _ c. 684.

3. Sergeev Т. Т., Zyablovsky A. A., Andrianov E. S., Lozovik Y. E. Signature of exceptional point phase transition in Hermitian systems // Quantum. -2023. - T. 7. - C. 982.

4. Sergeev Т. Т., Zyablovsky A. A., Andrianov E. S., Lozovik Y. E. Self-consistent description of relaxation processes in systems with ultra-and

и

deep-strong coupling // Journal of the Optical Society of America B. — 2023. - T. 40, No 11. - C. 2743-2750.

5. Sergeev Т. Т., Zyablovsky A. A., Andrianov E. S., Lozovik Y. E. Spontaneous breaking of time translation symmetry in a system without periodic external driving // Optics Letters. — 2024. — T. 49, No 17. — C. 4783 4780.

6. Sergeev Т. Т., Andrianov E. S., Zyablovsky A. A. Spontaneous symmetry emergence in a Hermitian system of coupled oscillators without symmetry // Quantum. - 2025. T. 9. C. 1746.

7. Sergeev Т. Т., Zyablovsky A. A., Andrianov E. S. Anomalous dependence of sensitivity on observation time caused by memory retention in a system with broken time-translation symmetry // Physical Review A. — 2025. — T. Ill, No 6. - C. 063708.

Личный вклад. Все изложенные в диссертации оригинальные результаты получены лично соискателем, либо при его непосредственном участии. Соискатель принимал непосредственное участие в выборе объектов исследования, постановке задач, разработке теоретических подходов, численном моделировании и обсуждении полученных результатов.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 134 страницы с 42 рисунками. Список литературы содержит 154 наименования.

Глава 1. Влияние взаимодействия системы со своим окружением на

взаимодействие её подсистем

1.1 Система двух связанных осцилляторов, взаимодействующих с

окружением

Рассматривается система из двух связанных гармонических осцилляторов, каждый из которых взаимодействует со своим резервуаром (окружением). Гамильтониан рассматриваемой системы имеет следующий вид [54]:

Н = Н8 + Яд + Нзк. (1.1)

Где Нв = ш0а\а1 + ¡х>0а2а2 + &(а\а,2 + й2»1) _ гамильтониан системы двух осцилляторов, Нд = Нд + Нд = ^ ^к^Ц_к + _ гамильтониан

резервуаров (окружевИя), Я*д = £+ а»,,1) + »2 + ^)

к1 ,2 — гамильтониан взаимодействия системы и окружения.

Данную систему возможно описать как в полностью квантовом подходе, так и в рамках полностью классического рассмотрения [53; 54; 67]. Стандартной процедурой при рассмотрении такой системы является исключение степеней свободы резервуаров в приближении Борна-Маркова [53]. После такой процедуры исключения степеней свободы получается неэрмитовая система (или открытая система). В стандартной процедуре исключения степеней свободы резервуара (например, как в теории Вайскопфа-Вигнера [54]) получается система уравнений следующего вида:

А | а1 | = | -^0 - ъ -Ш \ | а \ ^уаь) у -Ш -шо - 72 / \ а2 )

где а,2 = \а1,2/ _ амплитуды первого и второго осцилляторов, а 71,2 — скорости релаксации осцилляторов.

Такие системы прежде всего известны возможностью существования в них особых точек, где собственные значения неэрмитовой системы совпадают, а собственные векторы коллинеарны. Действительно, собственные частоты име-

ют вид ¡х>1,2 = *о — ¿71+72 ± ^V2 — (71 472) ■, а собственные векторы определяются следующим образом:

(.1- — Ц + уЪ — 7-)2 — б1'2 = (1--' 1 (1'3)

Видно, что при константе связи равной V = V ер = 171 —721, собственные значения совпадают, а собственные векторы коллинеарны. Через особую точку также определяют переход к режиму сильной связи [1]. Если константа связи V < Vер, то система находится в режиме слабой связи. Если константа связи V > 7ер, то система находится в режиме сильной связи [1].

Однако, далее будет показано, что стандартная процедура исключения степеней свободы резервуаров не учитывает гибридизацию состояний системы, что приводит к потере информации о свойствах резервуаров, например, плотности состояний в резервуарах. В рамках классического описания системы, будет продемонстрирован корректный способ исключения степеней свободы резервуаров, а также будут обсуждены свойства полученной неэрмитовой системы.

1.2 Исключение степеней свободы резервуаров с учётом гибридизации состояний системы

Рассматривается система двух связанных классических осицлляторов, каждый из которых взаимодействует со своим резервуаром. Резервуары также представлены в виде некоторого набора классических осцилляторов. Динамика такой системы описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

¿1 + ц!ж1 = ^ Р^ д^ у^ — к2Х2 (1.4)

ш

¿2 + ^0^2 = ^2 рш] #Ш2) УШ] — (!-5)

ш

у Ш1) + * 2£1) = (1.6)

£2) + <Л'2) = ^2 (1.7)

Здесь и х2 описывают координаты первого и второго осцилляторов, соответ-(1) (2)

ственно, уш и уш описывают координаты осцилляторов из резервуаров, соответствующих частоту ш. к — константа взаимодействия между двумя связанны-

(1) (2)

ми осцилляторами, дш и дш — константы взаимодеиствия первого и второго

осцилляторов с осцилляторами первого и второго резервуаров (па частоте ш),

(1) (2)

соответственно, рш и рш — число мод в первом и во втором резервуарах па часоте соответственно.

В стандартной процедуре, из рассмотрения должны быть исключены переменные уЩ^ и у12), используя приближение Борна-Маркова. В рамках данного подхода, получается замкнутая система уравнений на переменные^ и х2. Взаимодействие осцилляторов с резервуарами приводит к появлению в уравнениях релаксационных членов. Обычно предполагается, что каждый осциллятор имеет свою собственную скорость релаксации, которая не зависит от амплитуды другого осциллятора. Однако это предположение неверно. Чтобы исключить степени свободы резервуаров, необходимо учитывать взаимодействие резервуаров с собственными состояниями системы осцилляторов [98—100], а не с каждым из осцилляторов по-отдельности. То есть необходимо учитывать гибридизацию состояний осцилляторов. В результате в уравнениях для координат осцилляторов появляются кросс-релаксационные слагаемые.

Собственные состояния двух связанных осцилляторов имеют следующий вид симметричной и анти-симметричной мод К3,а = (1, ±1)т с соответствующими собственными частотами ш2 а = Шд ± к2. Тогда динамика системы может быть описана через амплитуды собственных мод:

х(1) = С8(г)П8е-г^ + Са(1)Пае-ш^ + с.с. (1.8)

здесь х(Ъ) = (х1(1),х2(1))тС() и Са(Ь) — комплексные амплитуды симметричной и анти-симметричной мод, соответственно. Здесь и далее "с.с." обозначает комплексное сопряжение. Мы перешли от действительных переменных к комплексным и, соответственно, увеличили число неизвестных слагаемых. Аналогично можно ввести симметричные и анти-симметричные моды для резервуаров:

V? = , } .«> + £] ) (1-9)

у»ш1)2 + рш2'2

2/Ша) = , 1 (^ — «) (1.Ю)

л/ п (1)2 + п ( 2)2

у д ш + д ш

Здесь также можно перейти к комплексным амплитудам симметричных и антисимметричных мод резервуаров. Тогда имеем следующие соотношения:

уШ] = е^ + мШя)*М е^ (1.11)

уШ) = е—гшг + №*($) еШаЬ (1-12)

Для того чтобы доопределить полученную систему, введём следующие ограничения на комплексные амплитуды симметричной и анти-симметричной мод осцилляторов, как в методе вариации постоянной:

С^) е—гш^ + С:,а(*)е = 0 (1-13)

Теперь система является полностью определённой. Используя эти условия, можно получить следующие уравнения на комплексные амплитуды симметричной и анти-симметричной мод осцилляторов:

d

TfCa (t) - + g¡ta)№(t)e(1.14)

d г —

dr^ ш' гш w ^ ' ш

ш

diCa(t) - - £(<¿eaV£° (t) е^-ш»+ дШа¥Лг)) (1.15)

dt ша —

ш

(. ч) / (1)2 (2)2 + Л(2) J2)2 (Ча) / (1)2 (2)2 .Я Í2)2

•эттоот. п(SS) — \ п(1) -I- п(2) Рш +РШ n(Sа) — л/п(1) -I- п(2) Рш ^ -РШ ^ Т^пгч

здесь дш = у дш + дш , дш -у дш + дш • ¿vpo-

ме того, из уравнений (1.6), (1.7), (1.9), (1.10) и (1.11), (1.12) можно получить следующие уравнения на комплексные амплитуды симметричных и анти-сим-метричных мод первого и второго резервуаров:

d jx/2 Лаи2)

' . Í - + удШ' +д<

dAs)(t) + 2¿AS^(t) - (1.16)

dt Ш. / (1)2 (2)2

d i\/2 r/V2)

"ш (г) 1 20Аа^ш W А

';а л/п(1)2 + п(2)2

где As = ш — Аа = ш — ша. Здесь мы использовали предположение о том, что частоты мод резервуаров и частоты симметричной и анти-симметричной мод осцилляторов близки, тогда ш2 — ш2 = (ш — ш8)(ш + ш8) ~ 2Asws и ш2 — ш2а = (и — Ша)(и + Ша) ~ 2Aа^а-

Теперь если формально проинтегрировать уравнения (1.16) и (1.17), то можно получить следующие соотношения на комплексные амплитуды симметричных и анти-симметричных мод резервуаров:

Vis)(t) = ^\0)e—2A + — .9ш 9ш = Cs(r)e—2iA-(t—T)dr (1.18)

+ Jc{i)2 * -(2)2

Уш + Уш 0

n (1)n(2) Г

№{t) = №(0)e—2At + ^ .9ш 9ш Са(т)e—2iA-(t—T)dr (1.19)

Ша (1)2 + (2)2 J у 9ш + 9ш 0

Теперь, когда мы учли взаимодействие мод резервуаров с собственными состояниями системы двух осцилляторов, мы можем применить здесь приближение Борна-Маркова. Тогда мы сможем вычислить интегралы в уравнениях (1.18) и (1.19). Под интегралами здесь стоят произведения медленно меняющихся функций на осциллирующие экспоненты. Ненулевой вклад здесь будут давать временные интервалы вблизи нуля (приближение Маркова) [53; 101], а остальные интервалы дадут в среднем нулевой вклад. Тогда можно вынести из под интеграла комлпексные амлитуды Cs(t) и Са(Ъ) в момент времени t (т.к. функция меняется медленно, в силу приближения Борна), а верхний предел интегрирования устремить в бесконечность:

Cs(t)e—2iA°(t—T)dr « Cs(t) е2гА°тdr = Cs(t) е—2г(ш°—ш)тdr (1.20)

с» с»

Са(т)e—2lAa(t—T)dr « Ca(t) i e2iAaTdr = Ca(t) f е—2г(ша—ш)тdr (1.21)

t

t

Полученные интегралы можно вычислить, используя формулу Сохоцкого-Пле-меля [102]:

с»

[ е-*(ш'"-ш)Чт = \(тS(ша,а -ш) + гР(-1-)) (1.22)

I 2 Ua a ~ U

Подставляя полученные выражения в уравнения (1.18) и (1.19), получим следующие уравнения:

tis)(t) = tis)(0)e-2гА^ + ^ ±J^=Ca(t)[T5(ua-u)+iР(-)] (1.23)

Ш8\/2^(1)2 , J2)2 Ua

Qui + Qu

1 Г7(1)Г7(2) 1

мШа)(0 = мШа)(0) + * ^^СаШ-кб (Ша — ш) + гР (-)]

^Ш1)2 + дШ)2 Ша — Ш

(1.24)

Теперь если подставить формулы (1.23) и (1.24) в уравнения на комплексные амплитуды симметричной и анти-симметричной мод осцилляторов (1.14) и (1.15), то получим следующие соотношения:

с1 „ , ч ь V ( 5 ( 8),пЛ-21 ал

±Ca(t) = £ » <^ua>(0)e—+

u

Quj \ -л/ 1

-Ca(i)[TTi(Ua -Ш)+ iP+

Wa>/2, Л(1)2 + J2)2 Ua -U;7

Y ^u +

(0)e-2гА^+

(1.25)

tW2) 1

У U У U / Ч Г Г./ Ч . у-j/ 1

Ca(i)[Tr5(u -u)+ iP(-)] e

— --w a i ^ < v i ^a i V

J1)2 + J2)2 Ua

V g u + g u

>

- (ua-us)t

-СМ = -Е зС^^т е-2,л-' +

1а V

ш 4

а ип

с{1)а{2) 1 \

Уш Уш Са(ф5(ша -и) + гР(—) е

и- 'д^ + д(2)2 и' -и )

г(ша-ш3)г

+9 X8 е-2л*+

г а{1) а{2) 1 \

Я I --СМ*6("* -") + Р(-)]

Уравнения (1.25) и (1.26) удобнее записать в следующей форме:

±с.а) = + ¡2?(1)-

/ ( ( (1) (1)2 , (2) (2)\ л

с*(1) ^ |--6(и - ш)]+

¿у^МРУ9ш + р12)9ш ) 1 П ^ \ 4ш* иа -и))

п , (рШ 9ш рЦ2 9ш ) Л , -^-- и)|+

4 ш 4 у

■ / (1) (1 )2 (22) (2)2 \ , п(рЪ 9и - р1 9ш ) 1

¿у^ \ ъ(рш дш - рш дш ) 1 \ \ 4иаиа иа - и) )

4

-I

с |-—-5(шв - и) | +

(1) (1)2 (2) (2)2

4иаиа иа - и))

ш

22

(1) (1)2 (2) (2)2 п ¡*(р1)9К^) +р1) 9ш) ) с/ ч\,

< -~2-6(ш* - +

\ ш к а )

*( рУ д£)2 + р№ 9^) 1 П

(1.26)

(1.27)

(1.28)

где /i(1)(t) - ¿ E9^^(0)f(1)(t) - ¿ E(0)e-2^

/i(2)(t) - ¿ЕЛ^О)/22)(t) - ¿^Е^Шо)e-2A^ -

\vjjc, o , J2 ша

ш ш

шумовые слагаемые, которые возникают одновременно с релаксациями в силу флуктуационно-диссипационной теоремы. Обозначим новые величины сле-

22

дуюгцим образом: -(г£- Е К (Рш ) С/ш I рш иш

образом: - E'í^g^ + pi?'Í/Í2'2Щш,„ - ш);

22

- Р^Г МКа - ш) Аш(+> - Е Аш(-'

22

Е Р 9ш——, Физический смысл величины г соответствует скоростям ре-

ш

лаксации в системе, а дш — сдвиг частоты.

Выражения для скоростей релаксации и частотных сдвигов также можно переписать в следующей форме:

Г,±'^а) =Ук ! Мр1(ш)9<1>2 ± р2(ш)9<2>2Щи,,« — ш) (1.29) Дш<=а» = Р. /<1иУ(РЛш)9"'2 ±Р2(Ш)9Ш2)2) (1.30)

' ] Ш3,а — Ш

здесь р1;2(ш) — плотность состояний соответствующего резервуара, аУ- объём резервуаров.

Тогда используя введённые обозначения, уравнения (1.27) и (1.28) можно переписать в следующем виде:

ЧЙ ^ } + ■{ ДШ'"})— <■">

Ca(t)U / Г(-)(ШаП+4-^Аша-4') е«-—)' а(л4ш.ша 2 J \4ш.ша а J7

d

^Са(0- /12)(í)+ /22)(t)-

с'<<{ } + '{4^-4) ^ - ^^

( ша

Дополнительно введём обозначения для следующих величин:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сергеев Тимофей Тимофеевич, 2026 год

Список литературы

1. Miri М.-А., Alu A. Exceptional points in optics and photonics // Science. — 2019. - T. 363, № 6422. - eaar7709.

2. Heiss W. The physics of exceptional points // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2012. - T. 45, № 44. - C. 444016.

3. Ozdemir K., et al. Parity-time symmetry and exceptional points in photonics // Nature Materials. - 2019. - T. 18, № 8. - C. 783 798.

4. Gao W., et al. Continuous transition between weak and ultrastrong coupling through exceptional points in carbon nanotube microcavity exciton polaritons // Nature Photonics. - 2018. - T. 12, № 6. - C. 362 367.

5. Moiseyev N. Non-Hermitian quantum mechanics. — Cambridge University Press, 2011.

6. Berry M. V. Physics of nonhermitian degeneracies // Czechoslovak Journal of Physics. - 2004. - T. 54, № 10. - C. 1039 1047.

7. Bender С. M. Making sense of non-Hermitian Hamiltonians // Reports on Progress in Physics. - 2007. - T. 70, № 6. - C. 947.

8. Wei В.-В., Jin L. Universal critical behaviours in non-Hermitian phase transitions // Scientific Reports. — 2017. — T. 7, № 1. — C. 7165.

9. Oztiirk F. E., et al. Observation of a non-Hermitian phase transition in an optical quantum gas // Science. - 2021. - T. 372, № 6537. - C. 88-91.

10. Bender С. M.. Boettcher S. Real spectra in non-Hermitian Hamiltonians having P T symmetry // Phys. Rev. Lett. - 1998. - T. 80, № 24. - C. 5243.

11. Bender С. M.. Boettcher S., Meisinger P. N. PT-symmetric quantum mechanics // Journal of Mathematical Physics. — 1999. — T. 40, № 5. — C. 2201—2229.

12. Зябловский А. А., Виноградов А. П., Пухов А. А., и др. РТ-симметрия в оптике // Успехи физических наук. — 2014. — Т. 184, № 11. — С. 1177 1198.

13. El-Ganainy R., et al. Non-Hermitian physics and PT symmetry // Nature Physics. - 2018. - T. 14, № 1. - C. 11 19.

14. Longhi S. Parity-time symmetry meets photonics: A new twist in non-Hermitian optics // Europhysics Letters. — 2018. — T. 120, № 6. — C. 64001.

15. Khurgin J. B. Exceptional points in polaritonic cavities and subthreshold Fabry Perot lasers // Optica. - 2020. - T. 7, № 8. - C. 1015 1023.

16. Zyablovsky A. A., et al. Exceptional points as lasing prethresholds // Laser & Photonics Reviews. - 2021. - T. 15, № 3. - C. 2000450.

17. Peng B., et al. Loss-induced suppression and revival of lasing // Science. — 2014. - T. 346, № 6207. - C. 328 332.

18. Gao T., et al. Observation of non-Hermitian degeneracies in a chaotic exciton-polariton billiard // Nature. - 2015. - T. 526, № 7574. - C. 554 558.

19. Zhang D., et al. Observation of the exceptional point in cavity magnon-polaritons // Nature Communications. — 2017. — T. 8, № 1. — C. 1368.

20. Zhang G.-Q., You J. Higher-order exceptional point in a cavity magnonics system // Phys. Rev. B. - 2019. - T. 99, № 5. - C. 054404.

21. Xu H., et al. Topological energy transfer in an optomechanical system with exceptional points // Nature. - 2016. - T. 537, № 7618. - C. 80 83.

22. Zhang J., et al. A phonon laser operating at an exceptional point // Nature Photonics. - 2018. - T. 12, № 8. - C. 479 484.

23. Mukhamedyanov A., Zyablovsky A. A., Andrianov E. S. Subthreshold phonon generation in an optomechanical system with an exceptional point // Opt. Lett. - 2023. - T. 48, № 7. - C. 1822 1825.

24. Khitrova G., et al. Vacuum Rabi splitting in semiconductors // Nature Pliys. - 2006. - T. 2, № 2. - C. 81 90.

25. Reithmaier J. P., et al. Strong coupling in a single quantum dot-semiconductor microcavity system // Nature. — 2004. — T. 432. — C. 197-200.

26. Shan H., et al. Brightening of a dark monolayer semiconductor via strong light-matter coupling in a cavity // Nature Commun. — 2022. — T. 13, № 1. - C. 3001.

27. Weisbuch C., et al. Observation of the coupled exciton-photon mode splitting in a semiconductor quantum microcavity // Phys. Rev. Lett. — 1992. — T. 69, № 23. - C. 3314.

28. Gu X., et al. Microwave photonics with superconducting quantum circuits // Phys. Rep. - 2017. - T. 718. - C. 1-102.

29. H an X, Zou C.-L., Tang H. X. Multimode strong coupling in superconducting cavity piezoelectromechanics // Phys. Rev. Lett. — 2016. — T. 117, № 12. - C. 123603.

30. Wang Y.-X., Clerk A. Non-Hermitian dynamics without dissipation in quantum systems // Physical Review A. - 2019. - T. 99, № 6. - C. 063834.

31. Doronin I., et al. Lasing without inversion due to parametric instability of the laser near the exceptional point // Physical Review A. — 2019. — T. 100, № 2. - C. 021801.

32. Munkhbat B., et al. Suppression of photo-oxidation of organic chromophores by strong coupling to plasmonic nanoantennas // Science Advances. — 2018. — T. 4, № 7. - eaas9552.

33. Chikkaraddy R., et al. Single-molecule strong coupling at room temperature in plasmonic nanocavities // Nature. — 2016. — T. 535, № 7610. — C. 127— 130.

34. Hummer T., et al. Weak and strong coupling regimes in plasmonic QED // Phys. Rev. B. - 2013. - T. 87, № 11. - C. 115419.

35. Hodaei H., et al. Enhanced sensitivity at higher-order exceptional points // Nature. - 2017. - T. 548, № 7666. - C. 187-191.

36. Chen W., et al. Exceptional points enhance sensing in an optical microcavity // Nature. - 2017. - T. 548, № 7666. - C. 192-196.

37. Wiersig J. Enhancing the sensitivity of frequency and energy splitting detection by using exceptional points: application to microcavity sensors for single-particle detection // Physical Review Letters. — 2014. — T. 112, № 20. - C. 203901.

38. Liu Z.-P., et al. Metrology with PT-symmetric cavities: enhanced sensitivity near the PT-phase transition // Physical Review Letters. — 2016. — T. 117, № 11. - C. 110802.

39. Wiersig J. Review of exceptional point-based sensors // Photonics Research. - 2020. - T. 8, № 9. - C. 1457 1407.

40. Lai Y.-H., et al. Observation of the exceptional-point-enhanced Sagnac effect // Nature. - 2019. - T. 576, № 7785. - C. 65 69.

41. Longhi S. Bloch oscillations in complex crystals with PT symmetry // Physical Review Letters. - 2009. - T. 103, № 12. - C. 123601.

42. Lin Z., et al. Unidirectional invisibility induced by PT-symmetric periodic structures // Physical Review Letters. - 2011. - T. 106, № 21. - C. 213901.

43. Rüter C. E., et al. Observation of parity-time symmetry in optics // Nature Physics. - 2010. - T. 6, № 3. - C. 192 195.

44. Zyahlovsky A., Andrianov E., Pukhov A. Parametric instability of optical non-Hermitian systems near the exceptional point // Scientific Reports. — 2016. - T. 6, № 1. - C. 29709.

45. Hodaei H., et al. Parity-time-symmetric microring lasers // Science. — 2014. - T. 346, № 6212. - C. 975-978.

46. Feng L., et al. Single-mode laser by parity-time symmetry breaking // Science. - 2014. - T. 346, № 6212. - C. 972-975.

47. Doronin I. V., Zyahlovsky A. A., Andrianov E. S. Strong-coupling-assisted formation of coherent radiation below the lasing threshold // Optics Express. - 2021. - T. 29, № 4. - C. 5624-5634.

48. Nefedkin N., Andrianov E., Vinogradov A. The role of strong coupling in the process of photobleaching suppression // The Journal of Physical Chemistry 0. - 2020. - T. 124, № 33. - C. 18234-18242.

49. Thomas A., et al. Tilting a ground-state reactivity landscape by vibrational strong coupling // Science. - 2019. - T. 363, № 6427. - C. 615-619.

50. Faraon A., et al. Coherent generation of non-classical light on a chip via photon-induced tunnelling and blockade // Nature Physics. — 2008. — T. 4, № 11. - C. 859-863.

51. Sergeev T. T., et al. Signature of exceptional point phase transition in Hermitian systems // Quantum. — 2023. — T. 7. — C. 982.

52. Lin J.-D., et al. Non-Markovian quantum exceptional points // Nature Communications. - 2025. - T. 16, № 1. - C. 1289.

53. Carmichael H. An open systems approach to quantum optics. — Berlin : Springer-Verlag, 1991.

54. Scully M. 0., Zubairy M. S. Quantum optics. — 1999.

55. Forn-Diaz P., et al. Ultrastrong coupling regimes of light-matter interaction // Reviews of Modern Physics. - 2019. - T. 91, № 2. - C. 025005.

56. Anappara A. A., et al. Signatures of the ultrastrong light-matter coupling regime // Phys. Rev. B. - 2009. - T. 79, № 20. - C. 201303.

57. Ashhab S., Nori F. Qubit-oscillator systems in the ultrastrong-coupling regime and their potential for preparing nonclassical states // Phys. Rev. A. _ 2010. - T. 81, № 4. - C. 042311.

58. Bayer A., et al. Terahertz light-matter interaction beyond unity coupling strength // Nano Lett. - 2017. - T. 17, № 10. - C. 6340-6344.

59. Ciuti C., Bastard G., Carusotto I. Quantum vacuum properties of the intersubband cavity polariton field // Phys. Rev. B. — 2005. — T. 72, № 11. - C. 115303.

60. Forn-Diaz P., et al. Observation of the Bloch-Siegert shift in a qubit-oscillator system in the ultrastrong coupling regime // Phys. Rev. Lett. — 2010. — T. 105, № 23. - C. 237001.

61. Forn-Diaz P., et al. Ultrastrong coupling of a single artificial atom to an electromagnetic continuum in the nonperturbative regime // Nature Phys. — 2017. - T. 13, № 1. - C. 39-43.

62. Kockum A. F., et al. Ultrastong coupling between light and matter // Nature Reviews Physics. - 2019. — T. 1. — C. 19-40.

63. Kockum, A. F., et al. Deterministic quantum nonlinear optics with single atoms and virtual photons // Phys. Rev. A. — 2017. — T. 95, № 6. — C. 063849.

64. Langford N. K., et al. Experimentally simulating the dynamics of quantum light and matter at deep-strong coupling // Nature Commun. — 2017. — T. 8, ..V" 1. - C. 1715.

65. Niemczyk T., et al Circuit quantum electrodynamics in the ultrastrong-coupling regime // Nature Physics. - 2010. - T. 6, № 10. - C. 772-776.

66. Yoshihara F., et al Superconducting qubit-oscillator circuit beyond the ultrastrong-coupling regime // Nature Phys. — 2017. — T. 13, ..V° 1. C. 44— 47.

67. Sergeev T. T., et al. Environment-assisted strong coupling regime // Quantum. - 2022. - T. 6. - C. 684.

68. Zaletel M. P., et al Colloquium: Quantum and classical discrete time crystals // Reviews of Modern Physics. - 2023. - T. 95, № 3. - C. 031001.

69. Wilczek F. Quantum time crystals // Phys. Rev. Lett. - 2012. - T. 109, ..V" 16. - C. 160401.

70. Bruno P. Impossibility of spontaneously rotating time crystals: a no-go theorem // Phys. Rev. Lett. - 2013. - T. Ill, № 7. - C. 070402.

71. Nozieres P. Time crystals: Can diamagnetic currents drive a charge density wave into rotation? // Europhysics Letters. — 2013. — T. 103, № 5. — C. 57008.

72. Watanabe H., Oshikawa M. Absence of quantum time crystals // Phys. Rev. Lett. - 2015. - T. 114, № 25. - C. 251603.

73. Zhang J., et al Observation of a discrete time crystal // Nature. — 2017. — T. 543, № 7644. - C. 217-220.

74. Choi S., et al Observation of discrete time-crystalline order in a disordered dipolar many-body system // Nature. - 2017. - T. 543, № 7644. - C. 221225.

75. Rovny J., Blum, R. L., Barrett S. E. Observation of discrete-time-crystal signatures in an ordered dipolar many-body system // Phys. Rev. Lett. — 2018. - T. 120, № 18. - C. 180603.

76. Gong Zn Hamazaki R., Ueda M. Discrete time-crystalline order in cavity and circuit QED systems // Phys. Rev. Lett. - 2018. - T. 120, № 4. - C. 040404.

77. Keßler H., et al Observation of a dissipative time crystal // Phys. Rev. Lett. - 2021. - T. 127, № 4. - C. 043602.

78. Pal Set al. Temporal order in periodically driven spins in star-shaped clusters // Phys. Rev. Lett. - 2018. - T. 120, № 18. - C. 180602.

79. Barnes E., Nichol J. M.. Economou S. E. Stabilization and manipulation of multispin states in quantum-dot time crystals with Heisenberg interactions // Phys. Rev. B. - 2019. - T. 99, № 3. - C. 035311.

80. Greilich A., et al. Robust continuous time crystal in an electron-nuclear spin system // Nat. Phys. - 2024. - T. 20, № 4. - C. 631-636.

81. Sarkar S., Duhi Y. Time Crystals from single-molecule magnet arrays // ACS Nano. - 2024. - T. 18, № 41. - C. 27988-27996.

82. Ojeda Collado H. P., et al. Emergent parametric resonances and time-crystal phases in driven Bardeen-Cooper-Schrieffer systems // Phys. Rev. Res. — 2021. - T. 3, № 4. - C. L042023.

83. Collado H. O., et al. Dynamical phase transitions in periodically driven Bardeen-Cooper-Schrieffer systems // Phys. Rev. Res. — 2023. — T. 5, № 2. - C. 023014.

84. Nalitov A., et al. Optically trapped polariton condensates as semiclassical time crystals // Phys. Rev. A. - 2019. - T. 99, № 3. - C. 033830.

85. Carraro-Haddad I., et al. Solid-state continuous time crystal in a polariton condensate with a built-in mechanical clock // Science. — 2024. — T. 384, № 6699. - C. 995-1000.

86. Chen D., et al. Discrete time crystal in an open optomechanical system // Phys. Rev. Res. - 2024. - T. 6, № 1. - C. 013130.

87. Preskill J. Quantum computing in the NISQ era and beyond // Quantum. — 2018. — T. 2. — C. 79.

88. Ippoliti M.. et al. Many-body physics in the nisq era: Quantum programming a discrete time crystal // PRX Quantum. - 2021. - T. 2, № 3. - C. 030346.

89. Frérot /., Roscilde T. Quantum critical metrology // Phys. Rev. Lett. — 2018. - T. 121, № 2. - C. 020402.

90. Bennett R., et al. Symmetry Breaking in a Condensate of Light and its Use as a Quantum Sensor // Phys. Rev. Appl. - 2020. - T. 13, № 4. - C. 044031.

91. Choi S., Yao N. Y., Lukin M. D. Quantum metrology based on strongly correlated matter // arXiv preprint arXiv:1801.00042. — 2017.

92. Zhou H., et al. Quantum metrology with strongly interacting spin systems // Physical Review X. - 2020. - T. 10, № 3. - C. 031003.

93. Lyu, C., et al. Eternal discrete time crystal beating the Heisenberg limit // Phys. Rev. Research. - 2020. - T. 2, № 3. - C. 033070.

94. Cabot A., Carollo F., Lesanovsky I. Continuous sensing and parameter estimation with the boundary time crystal // Phys. Rev. Lett. — 2024. — T. 132, № 5. - C. 050801.

95. Iemini F., Fazio R., Sanpera A. Floquet time crystals as quantum sensors of ac fields // Phys. Rev. A. - 2024. - T. 109, № 5. - C. L050203.

96. Gribben D., et al. Boundary time crystals as AC sensors: Enhancements and constraints // SciPost Phys. - 2025. - T. 18, № 3. - C. 100.

97. Shukla R. K., et al. Prethermal Floquet time crystals in chiral multiferroic chains and applications as quantum sensors of AC fields // Phys. Rev. B. — 2025. - T. Ill, № 2. - C. 024315.

98. Шишков В. Ю., Андрианов Е. С., Пухов А. А., и др. Релаксация взаимодействующих открытых квантовых систем // Успехи физических наук. — 2019. - Т. 189, № 5. - С. 544-558.

99. Shishkov V. Y., et al. Perturbation theory for Lindblad superoperators for interacting open quantum systems // Physical Review A. — 2020. — T. 102, № 3. - C. 032207.

100. Kosloff R. Quantum thermodynamics: A dynamical viewpoint // Entropy. — 2013. - T. 15, № 6. - C. 2100-2128.

101. Андрианов E. С., Виноградов A. 77., Пухов А. А. Лекции по квантовой оптике _ МФТИ, 2018.

102. Plemelj J. Problems in the Sense of Riemann and Klein. — New York : Interscience Publishers, 1964.

103. Pickering Т., et al. Cavity-free plasmonic nanolasing enabled by dispersionless stopped light // Nature Communications. — 2014. — T. 5, № 1. - C. 4972.

104. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика: Нерелятивистская теория. — Наука, 1989.

105. Sergeev Т. Т., et al. Self-consistent description of relaxation processes in systems with ultra-and deep-strong coupling // Journal of the Optical Society of America B. - 2023. - T. 40, № 11. - C. 2743-2750.

106. Татарский В. И. Пример описания диссипативных процессов на основе обратимых динамических уравнений и некоторые замечания относительно флуктуационно-диссипационной теоремы // Успехи физических наук. - 1987. - Т. 151, № 2. - С. 273-307.

107. Chang L., et al. Parity-time symmetry and variable optical isolation in active-passive-coupled microresonators // Nature Photon. — 2014. — T. 8, A'0 7. - C. 524-529.

108. Guo A., et al. Observation of P T-symmetry breaking in complex optical potentials // Phys. Rev. Lett. - 2009. - T. 103, № 9. - C. 093902.

109. Hodaei H., et al. Parity-time-symmetric microring lasers // Science. — 2014. - T. 346, № 6212. - C. 975-978.

110. Ozdemir S. K., et al. Parity-time symmetry and exceptional points in photonics // Nature Mater. - 2019. - T. 18, № 8. - C. 783-798.

111. Peng В., et al. Parity-time-symmetric whispering-gallery microcavities // Nature Phys. - 2014. - T. 10, № 5. - C. 394-398.

112. Ferreira V. S., et al. Collapse and revival of an artificial atom coupled to a structured photonic reservoir // Phys. Rev. X. — 2021. — T. 11, № 4. — C. 041043.

113. Xie W., et al. Room-temperature polariton parametric scattering driven by a one-dimensional polariton condensate // Phys. Rev. Lett. — 2012. — T. 108, ..V" 16. - C. 166401.

114. Savasta S., et al. Nanopolaritons: vacuum Rabi splitting with a single quantum dot in the center of a dimer nanoantenna // ACS nano. — 2010. — T. 4, № 11. - C. 6369-6376.

115. Mortensen N. A., et al. Fluctuations and noise-limited sensing near the exceptional point of parity-time-symmetric resonator systems // Optica. — 2018. - T. 5, № 10. - C. 1342-1346.

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

Li В., Wang L., Casati G. Thermal diode: Rectification of heat flux // Phys. Rev. Lett. - 2004. - T. 93, № 18. - С. 184301.

Wang L., Li B. Thermal logic gates: computation with phonons // Phys. Rev. Lett. - 2007. - T. 99, № 17. - C. 177208.

Yang G., et al. Phonon heat transport in cavity-mediated optomechanical nanoresonators // Nature communications. — 2020. — T. 11, № 1. — C. 4656.

Gardiner G. W., Zoiler P. Quantum noise: A handbook of Markovian and non-Markovian quantum stochastic methods with applications to quantum optics //. — Berlin : Springer-Verlag, 2004.

Sergeev T. T., et al. A new type of non-Hermitian phase transition in open systems far from thermal equilibrium // Scientific Reports. — 2021. — T. 11, 1. - C. 24054.

Ландау Л., Лифшиц E. Теоретическая физика. Том. 5. Статистическая физика. Часть 1 // книга. — 1976.

Kloeden P. Е., Platen Е. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. - Springer-Verlag, 1992. - ISBN 978-3-540-54062-5.

Pusch A., et al. Coherent amplification and noise in gain-enhanced nanoplasmonic metamaterials: A Maxwell-Bloch Langevin approach // Acs Nano. - 2012. - T. 6, № 3. - C. 2420-2431.

Duggan R., Mann S. A., Alu A. Limitations of sensing at an exceptional point // ACS Photonics. - 2022. - T. 9, № 5. - C. 1554-1566.

Poincaré H. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique // Acta Math. - 1890. - T. 13, № 1. - С. 1 270.

Akahane Y., et al. High-Q photonic nanocavity in a two-dimensional photonic crystal // nature. - 2003. - T. 425, № 6961. - С. 944-947.

Armani D., et al. Ultra-high-Q toroid microcavity on a chip // Nature. — 2003. - T. 421, № 6926. - C. 925-928.

Higgs P. W. Broken symmetries and the masses of gauge bosons // Phys. Rev. Lett. - 1964. - T. 13, № 16. - C. 508.

Anderson P. W. Concepts in solids. — W. A. Benjamin, 1963.

130. Goldstone J., Salam A., Weinberg S. Broken symmetries // Phys. Rev. — 1962. - T. 127, № 3. - C. 965.

131. Klaiman S., Günther U., Moiseyev N. Visualization of branch points in PT-symmetric waveguides // Phys. Rev. Lett. - 2008. - T. 101, № 8. -C. 080402.

132. Mähris K. G., et al. Beam dynamics in PT symmetric optical lattices // Phys. Rev. Lett. - 2008. - T. 100, № 10. - C. 103904.

133. Guo A., et al. Observation of PT-symmetry breaking in complex optical potentials // Phys. Rev. Lett. - 2009. - T. 103, № 9. - C. 093902.

134. Sergeev T. T., Andrianov E. S., Zyablovsky A. A. Spontaneous symmetry emergence in a Hermitian system of coupled oscillators without symmetry // Quantum. - 2025. T. 9. C. 1746.

135. Caldeira A. 0., Leggett A. J. Path integral approach to quantum Brownian motion // Physica A: Statistical mechanics and its Applications. — 1983. — T. 121, № 3. - C. 587-616.

136. Weiss U. Quantum dissipative systems. — World Scientific, 2012.

137. De Vega /., Alonso D. Dynamics of non-Markovian open quantum systems // Reviews of Modern Physics. - 2017. - T. 89, № 1. - C. 015001.

138. Yuan H., et al. Quantum magnonics: When magnon spintronics meets quantum information science // Physics Reports. — 2022. — T. 965. — C. 1— 74.

139. Sadovnikov A. V., et al. Exceptional-point phase transition in coupled magnonic waveguides // Phys. Rev. Appl. - 2022. - T. 18, № 2. - C. 024073.

140. Wang X.-g., et al. Magnon dynamics in parity-time-symmetric dipolarly coupled waveguides and magnonic crystals // Phys. Rev. Appl. — 2022. — T. 18, № 2. - C. 024080.

141. Jack M.. Collett M.. Walls D. Coherent quantum tunneling between two Bose-Einstein condensates // Phys. Rev. A. - 1996. - T. 54, № 6. - R4625.

142. Trimborn F., Witthaut D., Wimberger S. Mean-field dynamics of a two-mode Bose-Einstein condensate subject to noise and dissipation // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 2008. - T. 41, № 17. -C. 171001.

143. Graefe E.-M. Stationary states of a PT symmetric two-mode Bose-Einstein condensate // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2012. — T. 45, № 44. - C. 444015.

144. Konotop V. V., Yang J., Zezyulin D. A. Nonlinear waves in PT-symmetric systems // Reviews of Modern Physics. - 2016. - T. 88, № 3. - C. 035002.

145. Breuer H.-P., et a,I. Colloquium: Non-Markovian dynamics in open quantum systems // Reviews of Modern Physics. - 2016. - T. 88, № 2. - C. 021002.

146. Kolaric B., et a,I. Strong light-matter coupling as a new tool for molecular and material engineering: Quantum approach // Advanced Quantum Technologies. - 2018. - T. 1, № 3. - C. 1800001.

147. Pikovsky A., Rosenblum A/.. Kurths J. Synchronization. A universal concept in nonlinear sciences. — Cambridge University Press, 2001.

148. Petrov V. V. Sums of independent random variables. — Springer-Verlag, 1976.

149. Sergeev T. T., et a,I. Spontaneous breaking of time translation symmetry in a system without periodic external driving // Optics Letters. — 2024. — T. 49, ..V" 17. - C. 4783-4786.

150. Chiasera A., et a,I. Spherical whispering-gallery-mode microresonators // Laser Photonics Rev. - 2010. - T. 4, № 3. - C. 457-482.

151. Guo Z., et a,I. Level pinning of anti-PT-symmetric circuits for efficient wireless power transfer // National Science Review. — 2024. — T. 11, № 1. — nwadl72.

152. Ring resonator optical gyroscopes—Parameter optimization and robustness analysis / M. A. Guillen-Torres [h ^p.] //J. Light. Technol. — 2012. — T. 30, № 12. - C. 1802-1817.

153. Feng L., et a,I. Transmissive resonator optic gyro based on silica waveguide ring resonator // Opt. Express. - 2014. - T. 22, № 22. - C. 27565-27575.

154. Sergeev T. T., Zyablovsky A. A., Andrianov E. S. Anomalous dependence of sensitivity on observation time caused by memory retention in a system with broken time-translation symmetry // Physical Review A. — 2025. — T. Ill, № 6. - C. 063708.