Нестационарные процессы в тонкостенных моментных упругих телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Май Куок Чиен

• Май Куок Чиен
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Май Куок Чиен

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДИНАМИКИ МОМЕНТНЫХ УПРУГИХ СРЕД

1.1. Современное состояние исследований

1.2. Уравнения движения и теорема о кинетической энергии для трехмерных тел

1.3. Физические соотношения и замкнутая система уравнений для трехмерных тел

1.4. Гамильтониан и вариационное уравнение для трехмерных тел

ГЛАВА 2. НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОМЕНТНЫХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК

2.1. Геометрические соотношения и деформированное состояние

2.2. Гамильтониан моментной оболочки

2.3. Физический закон для моментной оболочки

2.4. Начально-краевые задачи для моментной оболочки

ГЛАВА 3. НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОМЕНТНЫХ УПРУГИХ ПЛАСТИН И СТЕРЖНЕЙ

3.1. Начально-краевые задачи для пластин в криволинейной системе координат

3.2. Уравнения движения изотропных пластин в прямоугольной декартовой системе координат

3.3. Уравнения движения прямолинейных изотропных стержней

3.4. Нестационарные продольные колебания бесконечного стержня (упрощенные подели)

3.5. Продольные колебания шарнирно опертого конечного моментного упругого стержня (общая модель)

3.6. Продольные колебания конечного моментного упругого стержня (модель без обжатия)

3.7. Продольные колебания шарнирно опертого конечного моментного упругого стержня (вторая упрощенная модель)

3.8. Изгиб конечного моментного упругого стержня (общая модель)

3.9. Изгиб конечного моментного упругого стержня Кирхгофа

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные процессы в тонкостенных моментных упругих телах»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время с развитием техники возникает необходимость использования более совершенных, чем классическая теория упругости, моделей, позволяющих учитывать микроструктуру вещества. Одной из таких моделей является сплошная среда, в которой деформация описывается не только вектором смещения, но и вектором вращения. Одними из превых общую теорию таких континуумов в 1909 году разработали братья Коссера (Э. Коссера, Ф. Коссера) [118]. В этих моделях, в отличие от классической теории, напряженное состояние описывается асимметричным тензором напряжений, поэтому упругое тело характеризуется большим количеством упругих постоянных [61].

В последние десятилетия активно проводятся исследования в области динамики тонкостенных моментных упругих тел. При этом большое внимание уделяется разработке моделей, описывающих их поведение при различных динамических воздействиях. Однако количество таких публикаций невелико.

Актуальность темы исследования. Тема диссертации тесно связана со многими областями механики материалов, особенно с проектированием и анализом современных технических конструкций. К таким областям, например, относятся следующие.

1. Строительство и аэрокосмическая техника, поскольку многие инженерные конструкции, такие как крылья самолетов, космические корабли или мосты, выполнены в виде тонких пластин и стержней. Понимание поведения этих панелей в различных условиях чрезвычайно важно.

2. Изделия из композиционные материалов, так как изучение их свойств в рамках теории несимметричной упругости способствует повышению долговечности, твердости и несущей способности.

3. Микромеханика и наномеханика, поскольку моментная теория упругости является расширением классической теории упругости, позволяющим описывать сложные явления, которые не могут разрешить традиционные теории.

Целью диссертационной работы является разработка теоретических основ динамики тонкостенных моментных упругих тел с учетом нестационарных процессов.

Научная новизна диссертационной работы. Впервые в рамках упругой моментной среды построены функционалы Гамильтона для трехмерных тел и оболочек.

Получены новые начально-краевые задачи для произвольных гладких оболочек, а также пластин и стержней.

Построены упрощенные нестационарные модели стержней (пренебрежение поперечным обжатием и/или применение гипотезы прямой нормали).

Получены и исследованы решения начально-краевых задач для различных моделей стержней.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в разработке методов исследования нестационарных процессов в тонкостенных упругих моментных телах, работающих в условиях нестационарных внешних воздействий а также в реализации этих методов и анализе влияния моментных свойств материала.

Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в инженерных методах расчета тонких конструкций, таких как детали самолетов, космических кораблей и крупных конструкций, где важными факторами являются долговечность и устойчивость.

Методы исследования. Используется вариационное уравнение Гамильтона для трехмерного упругого моментного тела. Из него с помощью линеаризации по нормальной к срединной поверхности координате выводится уравнение Гамидьтона для тонкостенной оболочки. Его следствием являются уравнения движения оболочки в обобщенных усилиях, которые связаны с деформационными

характеристиками кинематических факторов. Связи обобщенных усилий находятся с помощью физических законов для анизотропных моментных сред.

Для решения конкретных задач для стержней используются разложения искомых функций и внешнего нагружения в тригонометрические ряды Фурье, а также. преобразование Лапласа по времени. Оригиналы решения находятся аналитически с помощью вычетов.

Основные результаты работы, выносимые на защиту. Вариационное уравнение Гамильтона для трехмерных упругих моментных тел.

Вариационные уравнения Гамильтона для упругих моментных гладких оболочек.

Начально-краевые задачи для упругих моментных пластин и стержней, включая упрощенные с помощью дополнительны гипотез модели динамики стержней.

Решение и исследование разливных нестационарных задач о продольных и поперечных колебаниях упругих моментных стержней.

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность полученных результатов научных положений и полученных результатов подтверждаются использованием проверенной модели сплошной среды, применением строгих математических методов решения начально-краевых задач и сравнения решений по теории Коссера и классической упругой среды.

Апробация основных результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Российских и Международных конференциях и симпозиумах:

- Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Калужская обл., 2021, 2022, 2023, 2024 г.г,).

- Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ, 2022, 2023, 2024 г.г.).

- XII Международная научно-практическая конференция, посвященная 160-летию Белорусской железной дороги, Белорусский государственный университет транспорта, Республика Беларусь, г. Гомель - 2022.

- XIII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механике, Санкт-Петербург, 2023 г.

- 51 международная школа-конференция «Актуальные проблемы механики», Великий Новгород, 2024г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3-х статьях, одна из которых в коллективной монографии издательства Springer, две в журналах, включенных в Перечень ВАК РФ, (одна их них входит в международные системы цитирования Web of Science и Scopus), а также в 11-ти тезисах докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация включает введение, три главы, заключение и список литературы. Во введении сформулированы цель работы, актуальность темы, указаны методы исследования, пояснены достоверность и обоснованность результатов, раскрыта научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, перечислены выносимые на защиту основные результаты и положения а также приведены сведения об апробация основных результатов и публикациям.

В первой главе изложено современное состояние исследований в области механики упругих моментных тел, для трехмерных тел приведены уравнения движения, физические соотношения и доказана теорема о кинетической энергии, а также выписана замкнутая система уравнений, а также построены Гамильтониан и вариационное уравнение.

В главе 2 для упругих моментных оболочек постоянной толщины с использованием гипотезы прямой нормали выписаны геометрические

соотношения и компоненты деформированного состояния, построен гамильтониан, получны физический закон и начально-краевые задачи для призвольной оболочки.

Третья глава посвящена начально-краевым задачам для моментных упругих пластин и стержней. С помощью обнуления тензора кривизны срединной поверхности из соответствующих соотношений для оболочки получены начально-краевые задачи для пластин в криволинейной прямоугольной декартовой системах координат. Из них сроятся одномерные задачи как задачи для стержней. Затем приводятся решения этих задач для различных моделей продольных колебаний упругого моментного бесконечного и конечного стержня в условиях обобщенногото шарнирного опирания. Завершает главу исследование нестационарных поперечных колебаний конечного моментного упругого стержня в рамках общей модели и модели Кирхгофа.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертации.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДИНАМИКИ МОМЕНТНЫХ

УПРУГИХ СРЕД

1.1. Современное состояние исследований

В последние десятилетия наблюдается активное развитие исследований, посвящённых нестационарным процессам в тонкостенных моментных упругих телах. Эти процессы в силу своей сложности требуют разработки новых математических моделей и численных методов для их анализа.

Фундаментальные аспекты механики сплошных сред и тензорного анализа, изложенные в учебниках, таких как работа Горшкова А.Г. и соавторов [26], Седов Л.И. [93], Ильюшин А.А. [37], Трусделл К. [102], Жермен П. [34], Шермергор Т.Д. [107] и работа В1^ко G.L. [116], служат основой для более глубокого понимания динамики этих процессов. Новацкий В. [61] акцентирует внимание на механизме передачи волн в упругих средах, что является ключевым для изучения нестационарных явлений.

Важные достижения в этой области представлены в работах [33, 22], [67, 68]. В трудах Ерофеева В.И. [33] и Герасимова С.И. с соавторами [22], которые исследуют волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. Эти исследования открывают новые перспективы для моделирования поведения тонкостенных структур под воздействием динамических нагрузок. Основные понятия и законы механики окружающей среды Коссера изложены Бровко Г.Л. в [14]. Бровко Г.Л. и Иванова О.А. [13, 15] моделировали свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера. В частности, Михайлова Е.Ю. и др. [50] предлагают обобщенную линейную модель динамики тонких упругих оболочек, что значительно повышает точность прогнозирования их реакций на внешние воздействия.

Основы пластин и тонких оболочек представлены в таких учебниках, как работа Kaplunov J. D с соавторами [122], Вольмира А. С [19], Гольденвейзер А. Л [23], Лурье А. И [42], Муштари Х. М [54], Новожилов В. В. [62], Григолюк Э.И. и

Селезов И.Т. [28]. Каюк Я.Ф и Жуковский А.П [38] исследовали теории пластин и оболочек на основе концепции поверхностей Коссера. Исследование нестационарных процессов в тонкостенных моментных упругих телах продолжает развиваться, опираясь на широкий спектр теоретических и практических подходов. В [66] Пальмов В.А. представлена простейшая непротиворечивая система уравнений теории упругих тонких оболочек, Ванин Г.А. В работе [17] представлена моментная механика тонких оболочек. В числе ключевых трудов можно выделить работы, которые исследуют различные аспекты механики, включая микрополярную теорию и вариационное исчисление, которое используется для формулировки задач механики сплошных сред. Работы Гельфанда И.М. и Фомина С.В. [21] и Буслаева В.С. [16] предоставляют инструменты для анализа вариационных принципов, что способствует более глубокому пониманию динамики нестационарных процессов.

Труды, посвященные микрополярной теории, имеют особое значение в контексте нестационарных процессов. Например: Кунин И.А. [40], Миндлин Р.Д. [49], Eringen А.С. [119] систематически изложили теорию микроструктурированных упругих сред, Иванова Е.А. [36] смоделировала тепловые процессы упругие в трехмерной среде и оболочке средой Коссера с микроструктурой; Altenbach H. и Eremeyev V. [110] сосредоточились на линейной теории микрополярных пластин, типа микроструктурированного материала, который может вращаться независимо от локальной деформации. Амбарцумян С.А. [3-5] разрабатывает задачи термоупругости для микрополярных пластинок. Эти исследования показывают, что учет микрополярности может значительно улучшить модели, описывающие динамику тонкостенных структур.

Атоян А.А. и Саркисян С.О. [6-8, 80, 83], Аэро Э.Л. [9], Бабич Д.В. [10, 11], Пальмов В.А. [65], Козицын А.С. и Шмаков А.П. [39], Еремеев В.А. и Зубов Л.М. [32], Sargsyan S.H. [128, 129] представляют динамическую теорию для тонких пластинок на основе несимметричной теории упругости, подчеркивая важность учет взаимодействий на микроуровне для точного анализа нестационарных

процессов. Эти результаты подчеркивают, что для достижения высокой точности в моделировании необходимо учитывать не только макроскопические, но и микроскопические характеристики материалов. Green A.E. [120] при изучении микроскопических материалов и мультипольной механики сплошной среды установили основные уравнения, используя метод Грина и Ривлина.

Исследования, проведенные Лай Тхань Туаном и Тарлаковским Д.В. [41], касаются распространения осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоконтинума Коссера. В [106] Чан Ле Тай и Тарлаковский Д.В рассматривают нестационарное осесимметричное движение упругого моментного полупространства под действием нестационарных нормальных поверхностных перемещений. В работе Нгуена Ван Лама и Тарлаковского Д.В. [55] построено решение задачи о действии антисимметричных кинематических возмущений на поверхность сферической полости в среде Коссера. В [94] Суворов Е.М. и авторы разработали формулу и метод решения нестационарной контактной задачи в плоскости с подвижными границами для полностью твердого и полупространственного ударяющегося тела, заполненного средой Коссера. Бровко Г.Л. в [12] моделировал неоднородные среды сложной структуры и континуум Коссера, Birsan M. в [111] изучал решение задачи Сен-Венана для цилиндрических оболочек Коссера.

В работе Дудникова В.А. и Назарова С.А. [30] построены асимптотически точные уравнений для упругих моментных пластин что позволяет упростить решения для практических задач. Интегральные формулы в симметричной и несимметричной упругости, рассмотренные Горбачевым [24], представляют собой полезные инструменты для математического анализа нестационарных процессов. В работе Мутафяна М.Н. и Саркисян С.О. [53] математические методы были использованы для нахождения приближенных решений сложных краевых задач в случае тонких прямоугольников - частного случая асимметричной теории упругости.

В [117] Cao D. Q. и Tucker Robin W. использовали модель Коссера для описания поведения упругих стержней при сдвиге и изгибе, Жилин П.А. [35] представил основные уравнения неклассической теории упругих оболочек, Green A.E. и Naghdi P.M. [121] обратились к линеаризованной теории упругих поверхностей Коссера, подчеркнув ее связь с классической проблемой гладкой теории упругих оболочек (и пластин), рассматриваемых как трехмерные объекты. Palmov W.W. и Altenbach H. [123] построили новые теоретические модели для расчета упругих пластин, представленных в виде двумерного континуума Коссера.

Монография Николау В.И. [60] представляет собой всесторонний анализ моментной теории упругости, охватывая её развитие, анализ и приложения. Она может являться основой для понимания динамики тонкостенных тел и их взаимодействий с внешними нагрузками. Важно отметить, что этот труд также рассматривает современные применения теории в инженерных науках.

В статьях Саркисяна С.О. [75, 77], а также Саркисяна С.О. и Алваджяна Ш.И. [86] рассматриваются краевые задачи для тонких пластин в несимметричной теории упругости и модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок соответственно.

Исследования, проведенные Саркисяном С.О. и его коллегами [88, 91], направлены на изучение прочности и термоупругости микрополярных пластин и общую динамическую теорию микрополярных упругих тонких пластин. Эти работы выявляют особенности свободных колебаний и их влияние на устойчивость конструкций.

В статье Якушева Р.С. и других [109] рассматриваются постановки задач теории упругих моментных тел жестких в поперечном направлении тонких тел и применения систем ортогональных полиномов.

Работы Birsan Mircea [112, 113] по динамической теории термоэластичных упругих моментных цилиндрических оболочках с отверстиями и тепловых напряжениях открывают новые аспекты в теории микрополярных структур. Савин

Г. Н. и Ван Фо Фы Г. А. [70] исследовано распределение напряжений вблизи эллиптического отверстия в листе волокнистого материала.

Саркисян А.А. [71], Алваджян Ш.И. [2] и Саркисян С.О. [78] исследует свободные колебания микрополярных упругих тонких балок. Улуханян А.Р. [103] также рассматривает динамические уравнения теории тонких призматических тел с использованием разложения по системе полиномов Лежандра, что способствует модернизации математических моделей в механике.

Работы Геворгяна Г.А. [20], Хоффмэн О. [105] исследовали изгиб тонких пластин упругим моментом под напряжением. Винакуров Л.П. и Деревянко Н.И. в [18] разработаны основные уравнения для расчета стержня (без кручения) с учетом моментного напряжения.

Саркисян С.О. в своих исследованиях [73, 74] применяет асимптотическую теорию и вариационное уравнение для задач об изгибе упругих моментных тонких пластинок, что позволяет значительно упростить решения сложных задач.

В последние годы исследования в области механики материалов продемонстрировали значительное развитие новых теорий и моделей, особенно в отношении тонких структур и ассиметричных напряжений. Ниже анализируется несколько ключевых работ.

Саркисян С.О. [85] представил прикладные теории для стержней на основе ассиметричной теории упругости, расширяя понимание напряжений в тонких структурах. Эта работа предлагает новые аналитические методы, демонстрируя возможности применения данной теории в инженерной практике. Тот же автор в [76, 82, 84] развивает общую теорию тонких оболочек, основанную на ассиметричной теории упругости, подчеркивая, как эта теория может быть использована в проектировании сложных конструкций. В работе Sargsyan S.H. [130] исследуется термоупругость тонких оболочек, что демонстрирует влияние температуры на напряжение и деформаци. Саркисян С.О. и Варданян С.А. [87] провели асимптотический анализ уравнений и граничных условий термоупругости

микрополярных тонких пластин, что предоставляет интерес для решения для проектных задач в реальной практике. Тарлаковский Д.В. и Май Куок Чиен [47, 100] рассмотрели частный случай начально-краевой задачи, полученной для однородной моментно-упругой анизотропной оболочки, когда тензор кривизны средней плоскости равен нулю, соответствующие соотношения для панелей в построенной искривленной системе координат. Они включают в себя уравнения движения, физические соотношения, кинематические соотношения и начально-граничные условия. Уравнения движения преобразуются в две независимые системы уравнений по «перемещению» (кинематическому параметру), включающие уравнение, описывающее движение в срединной плоскости, и уравнение, описывающее изгиб.

Никабадзе М.У. [56-59] развил модели микрополярных материалов с использованием метода ортогональных полиномов. Эти исследования расширяют знания о напряжениях в сложных материалах и предлагают полезные инструменты для механического проектирования. В статье [79] Саркисян С.О. построил микрополярную теорию для стержней и оболочек, подчеркивая роль микрофакторов в анализе напряжений и деформаций. В статье [31] Еремеев В.А. и Зубов Л.М. основное внимание уделяется моделированию и анализу механического поведения микроупругих оболочек под действием сил и моментов, что открывает возможности для улучшения вычислительных моделей и методов в инженерных и научных материалах.

Rubin M.B. в [125-127] описал теорию Коссера для оболочек и стержней, предлагая формулы для динамического анализа этих конструкций. Birsan M. [114, 115] обсуждает решения Сен-Венана для задач, связанных с предварительно нагруженными оболочками Коссера. В недавних работах Саркисяна С.О. и Саркисяна А.А. [72, 81, 89, 90, 92] исследованы динамические эффекты в упругих моментных стержнях и пластинах, особенно в контексте свободных колебаний. Тарлаковский Д.В. и Май Куок Чиен [43-46, 48, 69, 95, 96, 98, 99, 101] рассмотрели

задачу об изгибе описываемых разными моделями стержней, под действием нестационарных нагрузок.

И приведенного обзора следует, что нестационарные задачи для упругих мментных оболочек и пластин рассмотрены далеко не полностью. Этому вопросу и посвящена диссертация.

1.2. Уравнения движения и теорема о кинетической энергии для

трехмерных тел

Линеаризованные уравнения динамики моментных упругих сред имеют вид [26, 61, 108]:

где р - плотность; J - массовая мера инерции среды при вращении; и = и1 ег и ш = ю1 е1 - векторы перемещения и угла поворота; t - время; о = а1 е1 е] и ц = ц1е1 е] -тензоры напряжений и моментных напряжений (они несимметричные); F = Fj е1 и М = М] е - массовые сила и момент; С = е11е .еке1 - псевдотензор Леви-Чивита;

Здесь и во всей первой главе полагается, что латинские индексы принимают значения 1, 2 и 3, а также используется мнемоническое правило суммирования по ним.

Для замыкания системы уравнений (1.2.1), (1.2.2) к ней нужно добавить определяющие среду физические соотношения. С целью их построения сначала получим как следствие этих уравнений - теорему о кинетической энергии.

Для этого, прежде всего, записываем доказанную в [26] теорему о кинетической энергии для упругой среды (симметричный тензор напряжений) как

(1.2.1)

рТ2

J = Шуц + рМ + (£, о ),

(1.2.2)

е1,е2,е3 - базис некоторой криволинейной системы координат ^ .

следствие уравнения (1.2.1). При этом в обозначении величин для отличия от аналогичных характеристик, соответствующих уравнению (1.2.2), добавим нижний индекс « и ».

Для любого тела б с Я3 и действительного перемещения du при t > t0 справедливо равенство:

dE = АЛи + АЛ , (1.2.3)

и /и vu ' V /

где

1

dEu = {р(dv, V)dy, dy = dyз, Еи=- Гру2dy, V = —; (1.2.4)

О 2 О д

АЛ и = {р( ^ du) dy, АЛУи = АЛ^ +АЛ«, АЛVU) = {{^, du) dS; (1.2.5)

О д о

АЛ« = -\Nddy = -{а"^, N = ,; (1.2.6)

о о

я, = 2 (^и, + ^ ); (1.17)

дЯ 1

V, =-. = 1 (у у +у V ). (1.2.8)

Здесь Еи - обусловленная перемещением кинетическая энергия тела; АЛти и АЛ^ - элементарные работы соответственно внешних массовых Р и внешних

V

поверхностных сил р = р

= &' V е

до ' '

на площадке с внешним единичным

дО

нормальным вектором v = v!е к границе дО тела; АЛ^ и АЛ^ - элементарные работы соответственно внутренних поверхностных и поверхностных сил на действительном перемещении с1и ; в = Я'ее, и V = V'е е, - тензоры деформаций и

скоростей деформаций; Ns - мощность тензора напряжений: у1 у2У3 - некоторая инерциальная прямоугольная декартова система координат.

Отметим, что тензоры £ и V симметричные.

В варианте моментной среды формула для ДА^ в (1.2.6) нуждается в корректировке, поскольку в ней тензор напряжений симметричный. А именно, она должна иметь следующий вид:

Д4ии = -{а1 V у.ССу = -{а^Уи/у. (1.2.9)

G

Далее аналогично доказательству теоремы о кинетической энергии для классической упругой среды записываем уравнение (1.2.2) так:

J= Шуц + рМ + (о), П = , (1.2.10)

где П = О1 е - угловая скорость вращения. Умножаем его скалярно на Сш = Пс1г:

J (П, dП) = (Пdt,diуц) + (Пdt, рМ) + (Пdt, (о)) . (1.2.11)

Затем это равенство интегрируем по области G. При этом для его левой части учитываем, что выполняется уравнение неразрывности [26]:

\J(П,dП)dy =1 \Jd(П2)су =1 \J—С;Су =1 \рJv —С;Су: ^ 2 ^ 2 ^ & 2 ^ д t

(1.2.12)

2 ;

1 а

2 а ;

С; = ,

ю5

где

Ею= 2 { JП2 Су (1.2.13)

2 G

Здесь Ею - кинетическая энергия тела G при наличии только вращения среды, а Jv - соответствующая геометрическая мера инерции.

Для первого и второго слагаемого в правой части равенства (1.2.11) получаем следующие результаты:

J( div^, Qdt ) dy = J(v^je 7, Qk ekdt ) dy = Jq jV ^Jdtdy =

G

G

G

= J Vi (^ Q j ) dtdy - J^j X jV Q jdtdy = д4;} + AA« = AAvra ;

G

G

J( Odt, pM ) dy = AAm

(1.2.14)

(1.2.15)

где

ДА2 = -JN^dtdy = -JjXjdy , N = , ^ = JJ(mv,dw)dS,

G

д G

AAm»=Jp( м,dw ) dy;

(1.2.16)

X j =V,® j ;

Vj = V«Q, Vjdt = dXj.

(1.2.17)

(1.2.18)

Здесь AAmm и AA^ - элементарные работы соответственно внешних массовых

M и внешних поверхностных m = m

= |/ V,. e.

dG 1 j

dG

моментов,

AA.(i) и AA

элементарные работы соответственно внутренних поверхностных и поверхностных моментов на действительном угле поворота dw при наличии только вращения среды; х = хг;/ eV = gradw - тензор изгиба-кручения;

Т = veej = grad^ - тензор скоростей изгиба-кручения; Nц - мощность тензора

моментных напряжений.

Отметим, что тензоры х, Т и ц также как и тензор напряжений О несимметричные.

Интеграл от третьего слагаемого в правой части равенства (1.2.11) записываем так: J( Qdt, (Z, О )) dy = J( dw, ( Z, О )) dy = AAVii, (1.2.19)

G

G

где АЛ^ш - элементарная работа внутренних поверхностных сил на действительном угле поворота dю.

Соотношения (1.2.11) - (1.2.19) приводят к равенству:

dE = АЛ + АЛ +АЛ(г) . (1.2.20)

га V® тга vu га V /

Суммируя его и (1.2.3) получаем теорему о кинетической энергии для

моментной упругой среды (АЛ[е) и АЛ[) - элементарные работы внешних и внутренних сил и моментов):

dE = АЛт +АЛ =АЛ(е)+АЛ('), (1.2.21)

где

Е = Е + Е , АЛ =АЛ, + АЛ , АЛ(е)=АЛ + АЛ(е),

и га ? т ]и тга? т V '

АЛv = АЛvM + АЛvгa + АЛV:)гa = АЛ^ + АЛ«, (О.22)

АЛ^ = А^;^ + АЛVгa), , = ^^^ + ЛЛ^ + АЛV;L.

При этом величина АЛ« определяется равенством (1.2.9).

1.3. Физические соотношения и замкнутая система уравнений для

трехмерных тел

Из закона сохранения энергии и уравнения притока тепла при отсутствии притоков тепла и других видов энергии [26] следуют равенства:

йЕ + дЮ = АЛ(е), (1.3.1)

dU = -АЛ(0. (1.3.2)

Здесь и = W - внутренняя (потенциальная) энергия тела О. Соответствующие удельные характеристики и и w определяются так:

и = W ^ри^у = {р-^^у. (1.3.3)

о о

Тогда из (1.3.2) с учетом (1.2.9), (1.2.16), (1.2.19) и (1.2.21) получаем рdu = рdw = ст" dV1 и, + Ц d- ст" егак = ст'^у, + ;

где

У, = V'и - ек/га

(1.3.5)

Здесь у = у,ее, - несимметричный тензор деформации.

Далее полагаем, что рассеяние энергии отсутствует, т.е. свободная энергия V совпадает с внутренней (потенциальной) энергией:

у = w.

(1.3.6)

В качестве определяющих параметров моментной упругой среды принимаем деформации у, и %,, т.е.

у=у(у,, ).

Тогда из (1.3.4) получаем физические соотношения:

(1.3.7)

ст"' _ ду _ ду р ду«' р дХ,

(1.3.8)

Далее ограничиваемся обычным для линейных моделей квадратичным приближением (нижний индекс «0» соответствует начальному состоянию среды):

у = (у)0

+

' ду 4 V дуУ У о

У, +

ду Vд% , Уо

%', +

+ -

2

д у

Vду, дук/ Уо

2

У, Ук/ +

д2у

VдXг^ д%к/ у

% к/ + 2

2

д2у д% к/ у

у, %к/

(1.3.9)

Кроме того, считаем, что в начальном состоянии имеют место равенства:

(у,)о= (%,)о= 0' (ст'7)о= )о= (у)о = 0. (1.3.10)

1

откуда следует, что

' ду х V ^ У о

= 0,

' ду х

Уо

= 0.

(1.3.11)

В результате приходим к следующим выражениям для свободной энергии и физического закона:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Май Куок Чиен, 2025 год

// / //

У У

-1-1-1-1- -1-1-1

0.2

0.4

0.6

0.8

-- п = э.О--п = 5.5 ~ ■ — п = 6.01

Рис. 3.9.1. Зависимости ¿^„(т)

(\-М2>Г 10 ^

О -5

-10 -15

-20 -25 -30 -35

чч \\ %

у ч X 4 ^ x 4 n \

4 \ \ \л \ \\

'л -А

\ \ \ \ \ ■

\ \ -г--;

-3-

-6-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

|- п = 6.0--п = 6.5---- и = 7.01

Рис. 3.9.2. Зависимости &м,М2п(т)

ч. \ X

\ \

\\ 4 \ч Ч\ \\

л \ \\

V

-9

-12-

-15 -

-18

О 0.2 0.4 0.6 0.8

! п = 6.0--II = 6.5---- п=7.о\

Рис. 3.9.3. Зависимости 0(о2рл(т)

G , l0~

w2M2n

-2

-4

-6

j

f\ \ [г\ \ \ / V V - / 4 v [ / \ j / /

\ £4 V А \ А \ / V А Д \ / V ^

/ 1 \ / v J V х \ / V * / • У < \ —+— \ /

V \ \ \ А/ \ А ^ ' д \ мЛ ^ \

■ \ / \ V I \ \ ' ■у \ / N

/ V/

J

1 ! 1 1 i

0.2

0.4

o.e

0.8

!- >i = -flo~--II = 6.0 - ■ - n = S.O |

Рис. 3.9.4. Зависимости Ga2M2n (x

w

Оригиналы равенств (3.9.10) имеют вид:

wn (т) = Gwqn (т) * р„ (т) + GwM2n (т) * тМ2п (т), 0) = G (т) * рп (т) + GmiM2n (т) * тМ2п (т).

(3.9.13)

р(х,х) = /(т)8(*-х0),тМ2 = 0(0<х0 <1),

В качестве примера действия нагрузки аналогично предыдущим разделам рассмотрим вариант сосредоточенной поперечной нагрузки:

(3.9.14)

что приводит к подобному (3.5.17) равенству:

Рп (х) = 2 / (х) sin X Л. (3.9.15)

При этом равенства (3.9.13) переходят в следующие соотношения:

К М = Л1ф„(х),со2„(т) = Á,,2/)(í (х),

4

Л0,(х) = Sin */(Т)>С = (w,®2pY

j=1

(3.9.16)

На рис. 3.9.5 - 3.9.7 приведены построенные зависимости функций w, у и ®2

при х0 -12 и [(т)- Н(т) от координаты и времени соответственно для

различных значений т их. Сплошные кривые соответсвуютрасчетам с учетом первых 4 членов, штриховые кривые соответствуют расчетам с учетом первых 8 членов, штрихпунктирные кривые соответствуют расчетам с учетом первых 10 членов ряда разложения (3.9.2), (3.9.3) и (3.9.4).

При этом функции А,п (т) находятся подобно (3.7.10):

4 / \

0, п - 2к,

(-1)',п = 2к-\. График функции у строится суммированием ряда (3.9.4).

11'(л; 0.01)

0.0004-

0.0003 -

-0.0001

/ \ ! 1

1 1 ¡/ V, 1 \

¡Л ( *

/ —чн V 'V Н 1\

/Л /" <_\ V >У / Л/ ! V4/ \ V- \ ' Л № \ / Л

А ■ 1 т

г „

(3.9.17)

О О 2 0.4 0.6 0.8

|- п = 4--п = Я--~ п=10\

Рис. 3.9.5. Распределение х, т) по координате х при т = 0.01 и во времени

при х = 0.75.

уг(х, 0.01)

-0.002

-0.004

-0.006-

—

\ 1 I

Л \

ч Л —ч^. * - - / •п 1 1 !1 Ч ы

' 4 / ' 1! /1 1 \ 1 V / \ Чу \ / \

\ ¡1 V/

1

0 02 0.4 0.6 0 8 *

[-п = 4--п = Ъ---п = То\

Рис. 3.9.6. Распределение х, т) по координате х при т = 0.01 и во времени

при х = 0.55.

<о2(х, 0.01)

6.x 10"

4.x }СГ

2.x Ю

16.

0-

-6.x 10"

Л

1 1 Г и \

;1 :! 1 1\ Л »А /

' ( V / ; \ ■; {у у V/ 1 ^ < N

. П Л ^ ■ /и / » ¡} \ 1 \

' V*! а \ /

Л 1

. 1 \ / V

п = 8 ■

•1= ю\

Рис. 3.9.7. Распределение ш2(х, т) по координате х при т = 0.01 и во времени

при х = 0.8.

На рис. 3.9.8 - 3.9.12. приведены распределения Т13 — -Т31,М11,М22 и R12 от

координаты и времени соответственно для различных значений т и х . Сплошные кривые соответсвуютрасчетам с учетом первых 4 членов, штриховые кривые соответствуют расчетам с учетом первых 8 членов, штрихпунктирные кривые соответствуют расчетам с учетом первых 10 членов ряда разложения (3.9.8).

8.x 10 6 х 10"" 4.x ИГ15 1.x Ю-"' 0

0.01)

13

Л /

1

/ \;

, / ¡1 \ /)' 1

\ Г\ А1 ^ \ Л1 ( XI л \ ¡1 \ }

—Г\ 1 У \/ Щ- И

¡1

;

Г ;

-1- -■ -А- --

О 0.4 0.6 О.Е

1- п=4--п = Б---~ п = 10\

Рис. 3.9.8. Распределение Тз(х,т) по координате х при т = 0.01 и во времени

при х = 0.75.

8.x 10 6.x КГ18 4.x Ю-18 НИ"11

о

-2.x 10""

-4.x ¡0"" -6.x 10"1Й -8.x 10""'

0.01)

13

Л

1

г \

г X ,

N / \ м у -У___' тг> * А/

Л ^ч / - . ' \1 у

1 V V/

11 у ■> 1

1 /

0 0 2 0.4 0.6 О.Е -1"

|- п=4--я = Д---п = 10\ |- п = 4--п = 3---п= 10\

Рис. 3.9.9. Распределение Т31(х,т) по координате х при т = 0.01 и во времени

при х = 0.75.

мп(х, 0.001)

0.0015-

0.0010-

0.0005

-0.0005

-0.0010-

Л

1 1 ! | 1 ]

г 1 1 1 1 п л ! \

'-'Л Л 1 ( > | и ; & л А \ ■' * ■ 1 1! \ 1

КтН Лл \ ! /1 1 /1 1 7 —т> > /V \ 1

ь 1 1 ' 1 \ 7 1 1--V —I—1—1—

( \1

02 04 0.6 0.8

|- н= 4--п = Б---п = 10\

Рис. 3.9.10. Распределение М11(х,т) по координате х при т = 0.001 и во

времени при х = 0.25.

М„(х, 0.01)

0.004 0.003 0.002 0.001 0-0.001 -0.002 -0.003 -0.004

Г, . / 1

\г 1 -1 \ г

.'V А \ ■1 ч \

N !\ —ЧС V ¿Л /

Л / \ Г / 4 Л / \ ■ П у. 7" и «,

. ч./ \ !

\

1

\ >

|- 11=4--п = Б---гс = |- п = 4--п = 8---п= 10\

Рис. 3.9.11. Распределение М22( х, т) по координате х при т = 0.01 и во времени

при х = 0.45.

И1Р(х, 0.01)

15 * 10"

1.* 10"

-5.x 10"

Л \\ ■ 1

; ■_ 1 ■ 1

Л 1 1 о ! м * Л / 1

/ ' \ / Л__У/_ ? \ Л 1 ! \ г 1 ; | /Г гжл ■—I./ !1_\/ '

: V ' < И / Г, 3 ! \ и — ■ ' \

V V 1 1 ц 1

-.- ----У Г7 ( V: ., ---

о о:г

0.4

0.6 О.Е X

|-п = 4--П = г -— п = 101

Рис. 3.9.12. Распределение ^12(х,т) по координате х при т = 0.01 и во времени

при х = 0.3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертационной работы следующие.

1. Вариационное уравнение Гамильтона для описываемых моделью Коссера трехмерных тел.

2. Вариационное уравнение Гамильтона для моментных упругих тонкостенных оболочек на основании гипотезы прямой нормали.

3. Формулировка начально-краевых задач для моментных упругих тонкостенных оболочек.

4. Формулировка начально-краевых задач для моментных упругих пластин и стержней.

5. Решение и исследование нестационарных задач для моментных упругих стержней.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамовица М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами// Под ред. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

2. Алваджян Ш.И. Построение уравнений и граничных условий статической задачи изгиба ортотропных микрополярных упругих тонких балок асимптотическим методом // Сборник научных трудов Международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды». 2010, т. 1,

- С. 71-75.

3. Амбарцумян С.А. Задача несимметричной термоупругости весьма пологой оболочки // Изв. АН РА. Механика. - 2002. - № 3. - С. 20-33.

4. Амбарцумян С.А. Микрополярная теория оболочек и пластин. - Ереван: Изд-во НАН РА, 1999. - С. 214.

5. Амбарцумян С.А. Температурная задача микрополярной пластинки // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. - 2000. - № 3.

- С. 17-20.

6. Атоян А.А., Саркисян С.О. Динамическая теория микрополярных упругих тонких пластин // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2004, -№1. - С. 18-29.

7. Атоян А.А., Саркисян С.О. Задача динамики тонкой пластинки на основе несимметричной теории упругости // Изв. АН РА. Механика. - 2004. - Т. 57.

- № 2. - С. 18-33.

8. Атоян А.А., Саркисян С.О. Изучение свободных колебаний микрополярных упругих тонких пластин // Докл. НАН РА. - 2004. - Т. 104. - № 2. - С. 18-33.

9. Аэро Э.Л. Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости. Равновесие изотропного тела. ФТТ, 1964. 6, № 9. - С. 2689-2699.

10. Бабич Д. В. Некоторые динамические задачи теории пластин и оболочек с несимметричным тензором напряжений. Ин-т механики АН УССР. Киев. 1967. - 12 с.

11. Бабич Д.В. Основные уравнения движения оболочки с учетом несимметричности тензора напряжений // Прикл. механика. 1966. Т. 2. Вып. 12. - С. 41-48.

12. Бровко Г.Л. Моделирование неоднородных сред сложной структуры и континуум Коссера. Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 5. - С. 5563.

13. Бровко Г.Л. Об одной конструкционной модели среды Коссера. Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. № 1. - С. 75-91.

14. Бровко Г.Л. Основные понятия и законы рациональной механики сред Коссера. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. - С. 104-105.

15. Бровко Г.Л., Иванова О.А. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера. Изв. РАН. Механика твердого тела. 2008. №1. - С. 22-36.

16. Буслаев В.С. Вариационное исчисление: Учебное пособие. - Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1980. - 288 с.

17. Ванин Г.А. Моментная механика тонких оболочек // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2004. № 4. - С. 116-128.

18. Винакуров Л.П., Деревянко Н.И. Построение основных уравнений для расчета стержней (без кручения) с учетом моментных напряжений // Прикл. механика. 1966. Т. 2. N 3. - С. 72-79.

19. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. -М.: Гостехиздат, 1956.

20. Геворгян Г.А. Об изгибе пластин с учетом моментных напряжений // ПМ. 1966. Т. 2. Вып. 10. - С. 36-43.

21. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литер., 1961. - 228 с.

22. Герасимов С.И., Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Волновые процессы в сплошных средах. Саров: Изд-во РФЯЦ-ВНИИЭФ. 2012. - 260 с.

23. Гольденвейзер А. Л. Теория упругости тонких оболочек. -М.: Наука, 1976.

24. Горбачев В.И. Интегральные формулы в симметричной и несимметричной упругости // Вестник МГУ. - 2009. - № 6. - С. 57-60.

25. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. М.: Физматлит, 2004. - 472 с.

26. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: Учебник для вузов. - М. Наука, 2000.

- 214 с.

27. Градштейн И.С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1963. - 1108 с.

28. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Механика твердых дефорированных тел. М.: 1973. Т. 5. - 272 с.

29. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. -М.: «Высшая школа», 1965. - 467 с.

30. Дудников В.А., Назаров С.А. Асимптотически точные уравнения тонких пластин на основе теории Коссера // Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 262. - № 2.

- С. 306-309.

31. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих микрополярных оболочек // Дальневосточный математический журнал. 2003. Т.4. - С. 182-225.

32. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Общая нелинейная теория упругих микрополярных оболочек // Изв. Вузов Сев.-кавк. Регион. Естеств. наук. 2003. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы сплошных сред. - С. 124-169.

33. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 328 с.

34. Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.

35. Жилин П.А. Основные уравнения неклассической теории упругих оболочек // Динамика и прочность машин / Тр. Ленингр. политех. ин-та. 386. 1982. - С. 29-46.

36. Иванова Е.А. Моделирование термоупругих процессов в трехмерных средах и оболочках посредством среды Коссера с микроструктурой // РЭНСИТ. -2013. - Т. 5. - № 1. - С. 98-110.

37. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

38. Каюк Я.Ф., Жуковский А.П. К теории пластин и оболочек на основе концепции поверхностей Коссера // Прикладная механика. - 1981. - Т. XVII. - № 10. - С. 80-85.

39. Козицын А.С., Шмаков А.П. Определяющие соотношения несимметричной теории упругости при наличии внешних полей и функция Эри. Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем., механ. 2000. №3. - С. 32-35.

40. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости. - М.: Наука, 1975. - 416 с.

41. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера // Электронный журнал "Труды МАИ". -2012. - № 53. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=29267.

42. Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. -М.: Гостехиздат, 1947.

43. Май Куок Чиен, Разоренова А.М., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестационарные задачи для моментного упругого стержня // Матер. XXIX Междунар. симпоз. «Динамические и технологические проблемы механики

конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 2. - М.: ООО "ТРП", 2023. - С. 27-29.

44. Май Куок Чиен, Рязанцева М.Ю., Тарлаковский ДВ. Действие нестационарой продольной нагрузки на бесконечный моментный упругий стержень // XIII Всероссийский Съезд по теоретической и прикладной механике: сборник тезисов докладов в 4 томах, 21-25 августа, 2023 г., Санкт-Петербург. Т. 4. Материалы симпозиумов и Исторической сессии, издательство Санкт-Петербург (Санкт-Петербург), том 4, тезисы, - С. 688-690.

45. Май Куок Чиен, Тарлаковский Д.В. Продольные колебания конечного шарнирно опертого моментного упругого стержня // Матер. XXIX Междунар. симпоз. «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.1. - М.: ООО "ТРП", 2023. - С. 140.

46. Май Куок Чиен, Тарлаковский Д.В. Действие нестационарной поперечной нагрузки на бесконечный моментный упругий стержень // Материалы XXVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.2. - М.: ООО "ТРП", 2022. - С. 75.

47. Май Куок Чиен, Тарлаковский Д.В. Начально-краевые задачи для моментных упругих оболочек // Материалы XXVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.1. - М.: ООО "ТРП", 2021. - С. 150151.

48. Май Куок Чиен, Тарлаковский Д.В. Нестационарные продольные колебания бесконечного моментного упругого стержня // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. 16-22 апреля 2022 года. Тез. докл. — М.: Изд-во МГУ, 2022. - С. 119.

49. Миндлин Р.Д. Микроструктура в линейной упругости // Механика: Сборник переводов. - 1964. - Т. 86. - № 4. - С. 129-160.

50. Михайлова Е.Ю., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Обобщенная линейная модель динамики тонких упругих оболочек Ученые записки Казанского университета. Серия физико-математические науки. - 2018, Т. 160, кн. 3. - С. 561-577. Перевод: Mihajlova E.Yu., Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. A generalized linear model of dynamics of thin elastic shells // (2018) Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 160 (3), - P. 561577.

51. Михайлова Е.Ю., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Общая теория упругих оболочек: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 2018 - 112 с.

52. Михайлова Е.Ю., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Упругие пластины и пологие оболочки: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 2018 - 92 с.

53. Мутафян М.Н., Саркисян С.О. Асимптотические решения краевых задач тонкого прямоугольника по несимметричной теории упругости // Изв. АН РА. Механика. - 2004. - Т. 57. - № 1. - С. 41-58.

54. Муштари Х. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. - Алма-АТА: Физико-технический ин-т Казахского филиала АН СССР, 1957.

55. Нгуен Ван Лам, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных антисимметричных кинематических возмущений от сферической полости в среде Коссера. Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. -2020. - No 4. - С. 201-210. DOI: 10.15593/perm.mech/2020.3.47 = Tarlakovskii D.V., Lam Nguyen Van Propagation of non-stationary antisymmetric kinematic perturbations from a spherical cavity in Cosserat medium. PNRPU Mechanics Bulletin, 2020, no. 4, -P. 201-210. DOI: 10.15593/perm.mech/2020.3.47.

56. Никабадзе М.У. Метод ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. II// Деп. в ВИНИТИ РАН. 20.05.14. №136 - В2014. - 218 с.

57. Никабадзе М.У. Метод ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел// Дисс. на соискание степени доктора физико-математических наук. М.: МАИ. 2014. - 384 с.

58. Никабадзе М.У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел// М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ. 2014. - 515 с.

59. Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. Постановки задач для тонкого деформируемого трехмерного тела // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2005. № 6. - С. 43-49.

60. Николау В.И. Моментная теория упругости (Развитие, анализ, приложения). - Одесса: Астропринт, 2006. - 352 с.

61. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Изд-во Мир, 1975. - 872 с.

62. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судпромгиз, 1951.

63. Оконечников А.С., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Обобщенные функции в механике деформируемого твердого тела. Основы теории: Учебное пособие - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2019. - 100 с.

64. Оконечников А.С., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Обобщенные функции в механике деформируемого твердого тела. Интегральные преобразования и дифференциальные уравнения: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2019 - 100 с.

65. Пальмов В.А. Основные уравнения несимметричной упругости. Прикл. матем. и механ. 1964. Т. 28. - С. 401-408.

66. Пальмов В.А. Простейшая непротиворечивая си стема уравнений теории тонких упругих оболочек // В сб.: Механика деформируемого тела. М.: Наука, 1986. - С. 106-112.

67. Погорелов Е.Г. Распространение волн Лява и Релея в упругой и двухфазной средах при неклассических граничных условиях. Дисс. канд. Физ.-мат. наук. МГУ им. М.В.Ломоносова. Мех-мат ф-т. М., 1999.

68. Рахматуллин Х.А., Саатов Я.У., Филиппов И.Г., Артыков Т.У. Волны в двухкомпонентных средах. Ташкент, 1974.

69. Рязанцева М.Ю., Май Куок Чиен, Тарлаковский Д.В. Обращение интегральных преобразований в задаче о нестационарных продольных колебаниях бесконечного моментного упругого стержня // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. 4-14 апреля 2023 года. Тез. докл. — М.: Изд-во МГУ, 2023. - С. 144.

70. Савин Г. Н., Ван Фо Фы Г. А. Распределение напряжений около эллиптического отверстия в пластинке нз волокнистых материалов.-Прикл. механика, 1966, 2, N5, - С. 5-11.

71. Саркисян А.А. Свободные колебания микрополярных упругих тонких балок // Известия национальной академии наук Армении. - 2010. - Т. 63. - № 3. -С. 41-51.

72. Саркисян А.А. Свободные колебания микрополярных упругих тонких цилиндрических оболочек //Сб.тр. Международной школы-конференции молодых ученых. 28 сентября -1 октября, 2009, Агавнадзор, Армения 2009. -С. 304-309.

73. Саркисян С. О. Асимптотическая теория и вариационное уравнение задачи изгиба упругой тонкой пластинки по моментной теории упругости // Докл. НАН Армении. 1999. Т. 99. № 3. - C. 216-225.

74. Саркисян С. О. Асимптотическая теория и вариационное уравнение плоской задачи упругой тонкой пластинки по моментной теории упругости // Докл. НАН Армении. 1999. Т. 99. № 2. - C. 138-147.

75. Саркисян С. О. О некоторых результатах внутреннего и краевого расчетов тонких пластин по несимметричной теории упругости // Проблемы механики тонких деформируемых тел (к 80-летию академика НАН Армении С. А. Амбарцумяна). Ереван: Изд-во НАН Армении, 2002. - C. 285-296.

76. Саркисян С.О. Динамические теории микрополярных упругих тонких оболочек // Докл. НАН Армении. 2009. Т. 109. № 2. - С. 154-166.

77. Саркисян С.О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости // ПММ. - 2008. - Т. 72. - № 1. - С. 129-147.

78. Саркисян С.О. Математические модели микрополярных упругих тонких балок // Доклады НАН Армении. 2011, т. 111, №2.

79. Саркисян С.О. Микрополярная теория тонких стержней, пластин и оболочек // Известия НАН Армении. Механика. 2005. Т. 58. №2. - С. 84-95.

80. Саркисян С.О. Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек // Физическая мезомеханика. 2011, №1, - С. 55-66.

81. Саркисян С.О. Общая теория тонких пластин на основе несимметричной теории упругости //Изв. РАН. Механика твердого тела. N1. 2012. - С. 150168.

82. Саркисян С.О. Общая теория упругих тонких оболочек на основе несимметричной теории упругости // Докл. НАН Армении. 2008. Т. 108. № 4. - С. 309-319.

83. Саркисян С.О. Общие математические модели микрополярных упругих тонких пластин // Известия НАН Армении. Механика. 2011, т. 64, №1, - С. 58-67.

84. Саркисян С.О. Общие модели микрополярных упругих тонких пластин // Вестн. Пермского ГТУ. Математическое моделирование систем и процессов. 2008. № 16. - С. 111-120.

85. Саркисян С.О. Прикладные одномерные теории балок на основе несимметричной теории упругости // Физическая мезомеханика. 2008. Т. 11. № 5. - С. 41-54.

86. Саркисян С.О., Алваджян Ш.И. Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик // Научно-технический сборник ВАНТ. - 2011. - № 4. - С. 196-204.

87. Саркисян С.О., Варданян С.А. Асимптотический анализ уравнений и граничных условий термоупругости микрополярных тонких пластин // Известия НАН Армении. Механика. 2007. Т. 60. №3. - С. 64-76.

88. Саркисян С.О., Варданян С.А., Фарманян А.Ж. Некоторые задачи прочности и термоупругости микрополярных пластин // Международная научная конференция по механике «IV Поляховские чтения», Санкт-Петербург, 7-10 февр., 2006: Тезисы докладов. СПб: ВВМ. - 2006. - С. 213-214.

89. Саркисян С.О., Саркисян А.А. Динамические задачи для тонких стержней и пластин по несимметричной теории упругости //Межвуз. сб. научных трудов, посвящённый 80-летию С. Н. Мергеляна. Ванадзор: Государственный педагогический институт им. О. Туманяна. 2008. Т. 2. - С. 4-17.

90. Саркисян С.О., Саркисян А.А. Динамические эффекты колебаний микрополярных упругих тонких балок, пластин и оболочек. //Первая Всероссийская конференция. Проблемы механики и акустики сред с микро-и наноструктурой: Наномех.-2009. Нижний Новгород, 21-23 сентября, 2009. Тезисы докладов. - С. 58.

91. Саркисян С.О., Саркисян А.А. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких пластин со свободным вращением и особенности их свободных колебаний // Акустический журнал. - 2011. - № 4. - С. 461-469.

92. Саркисян С.О., Саркисян А.А. Свободные колебания микрополярных пластин //Тр.УП Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем». Нижный Новгород: Изд.Дом «Диалог Культур», 2008. - С. 415-423.

93. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.

94. Суворов Е.М., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Плоская задача об ударе твердого тела по полупространству, моделируемому средой Коссера // ПММ. - 2012. - Т. 76. - Вып. 5. - С. 850-859.

95. Тарлаковский Д.В., Май Куок Чиен. Изгиб моментного упругого стержня под действием нестационарных нагрузок // сборнике 51 школа-конференция «Актуальные проблемы механики» памяти Д.А. Индейцева: сборник аннотаций, 19-21 июня, 2024 г, тезисы, - С. 241.

96. Тарлаковский Д.В., Май Куок Чиен. Изгиб моментного упругого стержня кирхгофа // Матер. XXX Междунар. симпоз. «Динам. и технол. проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 1. - М.: ООО "ТРП", 2024. - С. 209.

97. Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Общие соотношения и вариационные принципы математической теории упругости: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. - 112 с.

98. Тарлаковский ДВ., Федотенков Г.В., Май Куок Чиен. Продольные нестационарные колебания конечного моментного упругого стержня // журнале Проблемы прочности и пластичности, издательство ФГАОУ ВПО "ННГУ им. Н.И. Лобачевского" (Нижний Новгород). 2023. том 85, № 3, -С. 390-403.

99. Тарлаковский ДВ., Май Куок Чиен. Изгиб конечного моментного упругого стержня под действием нестационарных нагрузок // журнале "Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества". 2024. Т. 21. № 3. - С. 45-60.

100. Тарлаковский ДВ., Май Куок Чиен. Начально-краевые задачи для моментных упругих пластин // Проблемы безопасности на транспорте: матер. XII Междунар. научн.-практ. конф., посвящ. 160-летию Бел. ж. д.: в 2 ч., Гомель, 24-25 ноябр. 2022 г. / М-во трансп. и коммуникаций Респ. Беларусь, Бел. ж. д., Белорус. гос. ун-т трансп. ; под общ. ред. Ю. И. Кулаженко. - Гомель : БелГУТ, 2022. - Ч. 2. - С. 262-263.

101. Тарлаковский ДВ., Май Куок Чиен. Нестационарный изгиб конечного моментного упругого стержня // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. 03 апреля 2024 года. Тез. Докл.

102. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.

103. Улуханян А. Р. Динамические уравнения теории тонких призматических тел с применением разложения по системе полиномов Лежандра // Известия РАН. Мех. тверд. тела. - 2011. - № 3. - С. 161-177.

104. Фам Дык Тхонг, Тарлаковский Д. В. Динамический изгиб бесконечного электромагнитоупругого стержня // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2020, Т. 20, вып. 4. - С. 493-501.

105. Хоффмэн О. Об изгибе тонких упругих пластинок при наличии моментных напряжений // ПМ. Тр. Американск. об-ва ниж. Мех Серия Е. 1964. Т. 31. N04. - С 149-150.

106. Чан Ле Тхай, Тарлаковский Д.В. Нестационарное осесимметричное движение упругого моментного полупространства под действием нестационарных нормальных поверхностных перемещений // Учен. зап.

Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2017. - Т. 159, кн. 2. - С. 231-245. Перевод: Tran Le Thai, D.V. Tarlakovskii. Nonstationary Axisymmetric Motion of an Elastic Momentum Half-Space under Nonstationary Normal Surface Displacements // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2018. - Vol. 39. - No. 9. - P. 1484-1494.

107. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. - 400 с.

108. Эглит М.Э. Механика сплошных сред. Т. 1: Теория и задачи / Под ред. - М. «Московский лицей», 1996. - 396 с.

109. Якушев Р.С., Никабадзе М.У., Улуханан А.Р. Постановка задач теории жестких в поперечном направлении тонких тел в моментах относительно систем ортогональных полиномов // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Казань, 20 - 24 августа 2015 года. - С. 4330-4332.

110. Altenbach H., Eremeyev V. On the linear theory of micropolar plates // Z. Angew. Math. Mech (ZAMM). 2009. V. 89. № 4. - P. 242-256.

111. Birsan M. The solution of saintvenant's problem in the theory of Cosserat shells // J. Elasticity. 2004. V. 74. - P. 185-214.

112. Birsan Mircea. Several results in the dynamic theory of thermoelastic Cosserat shells with voids // Mech. Res. Commun. - 2006. - Vol. 33. - No. 2. - P. 157-176.

113. Birsan Mircea. Thermal stresses in cylindrical Cosserat elastic shells // Eur. J. Mech. A. - 2009. - Vol. 28. - Iss. 1. - P. 94-101.

114. Birsan, M., 2004. The solution of Saint-Venant's problem in the theory of Cosserat shells. J. Elasticity 74, - P. 85-214.

115. Birsan, M., 2007. On the theory of loaded general cylindrical Cosserat elastic shells. Int. J. Solids Struct. 44, - P. 7399-7419.

116. Brovko G.L. Invariance Types of Tensors, Tensor Processes and Their Transforms in Classical Continuum Mechanics. In: Proc. of the Fifth Int. Seminar on Geometry, Continuum and Microstructures. Sept. 26-28, 2001, Sinaia, Romania . Eds: S.Cleja-Tigoiu, V.Tigoiu. Editura Academiei Romane. Bucuresti, 2002. - P. 13-24.

117. Cao D. Q., Tucker Robin W. Nonlinear dynamics of elastic rods using the Cosserat theory: Modelling and simulation // Int. J. Solids and struct. - 2008. - Vol. 45. -Iss. 2. - P. 460-477.

118. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Hermann. Paris, 1909.

119. Eringen A.C. Theory of micropolar plates // Zeitschrift f ur Angawandte Mathematik und Physik. 25.01.1967. Vol. 18. No. 1, - P. 12-30.

120. Green A.E. Micro-materials and multipolar continuum mechanics. Int. J. Eng. Sci. 1965. 3. - P. 533-537.

121. Green A.E., Naghdi P.M. The Linear Elastic Cosserat Surface and Shell Theory // Int. J. Solid and Struct. 1968. V. 4. - P. 585-592.

122. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of Thin-Walled Elastic Bodies. San Diego; L.; Boston; N.Y.; Sydney; Tokyo; Toronto: Academic Press, 1998. - 226 p.

123. Palmov W.W., Altenbach H. Uber eine Cosseratsche Theorie fur elastische Platen // Thechn. Mech. 1982. V. 3. H. 3. - P. 5-9.

124. Quoc Chien Mai, Marina Yu. Ryazantseva, and Dmitry V. Tarlakovskii. Generalized Linear Model of Dynamics of Elastic Moment Shells // Advanced Structured Materials, V. 186. Deformation and Destruction of Materials and Structures Under Quasi- staticand Impulse Loading. - Springer Nature Switzerland AG, 2023. - P. 273 - 292.

125. Rubin M. B. Cosserat theories: shells, rods and points. (Ser.: Solid Mechanics and its applications. Vol. 79., Ed. G. M. L. Gladwell) Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2000. - 480p.

126. Rubin M.B., 2001. Numerical solution procedures for nonlinear elastic rods using the theory of a Cosserat point. International Journal of Solids and Structures 38, -P. 4395-4437.

127. Rubin M.B., 2004. Restrictions on linear constitutive equations for a rigid heat conducting Cosserat shell. Int. J. Solids Struct. 41, - P. 7009-7033.

128. Sargsyan S.H. Dynamic problem of thin plates on the basis of asymmetric theory of elasticity // Proc. XXXIV Summer School "Advenced Problems in Mechanics". 2006. Repine, SaintPetersburg, Russia, 25 June-1 July, 2006. - P. 447-458.

129. Sargsyan S.H. On some interior and boundary effects in thin plates based on the asymmetric theory of elasticity // Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. V. 16 / Theories of Plates and Shells. Critical Review and New Applications. Springer. 2004. - P. 201-210.

130. Sargsyan S.H. Thermoelastisity of thin shells on the basis of asymmetrical theory of elasticity // J. Thermal Stresses. 2009. V. 32. № 8. - P. 791-818.