Неустановившееся движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью и ледовым покровом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Костиков, Василий Константинович

• Костиков, Василий Константинович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Костиков, Василий Константинович

Содержание

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§1. Формулировка основных уравнений

1.1. Задача о неустановившемся движении цилиндра под свободной поверхностью

1.2. Задача о неустановившемся движении цилиндра под ледовым покровом

§ 2. Редукция к граничным интегродифференциальным уравнениям

2.1. Поверхностные волны без погруженного тела

2.2. Поверхностные волны при наличии кругового цилиндра

Глава 2. Движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью

§ 4. Граничное интегральное уравнение

4.1. Вспомогательное конформное отображение

4.2. Интегральное представление комплексной скорости

4.3. Вещественная форма интегрального уравнения

§ 5. Построение начальной асимптотики решения в случае движения

цилиндра с постоянным ускорением

5.1. Рекуррентные уравнения для коэффициентов асимптотического разложения

5.2. Моделирование по параметру заглубления

§ 6. Графическое представление решений

6.1. Влияние нелинейности в случае движения кругового цилиндра с постоянным ускорением

6.2. Динамика свободной поверхности при разгоне эллиптического цилиндра

6.3. Влияние геометрии тела

§ 7. Структура поля скоростей в области течения

Глава 3. Движение цилиндра под ледовым покровом

§ 8. Задача о нестационарных гидроупругих волнах при наличии эллиптического цилиндра

8.1. Исходные уравнения

8.2. Интегродифференциальные уравнения на поверхности контакта льда и жидкости

§ 9. Итерационная процедура построения решения

§ 10. Анализ режимов движения

Заключение

Приложение. Текст программы визуализации асимптотических

решений в пакете «Wolfram Mathematica 8.0»

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неустановившееся движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью и ледовым покровом»

Введение

В диссертации рассматривается задача о нестационарных волнах на поверхности глубокой жидкости и изгибно-гравитационных волнах в ледовом покрове, возникающих в результате движения погруженного эллиптического цилиндра. Основной целыо работы является аналитическое исследование начальной стадии волнового движения в случае ускоренного разгона цилиндра. Нелинейная задача о генерации волн погруженным телом ставится следующим образом. Требуется найти поля скорости и давления в жидкости, удовлетворяющие уравнениям Эйлера идеальной несжимаемой жидкости, граничному условию непротекания на поверхности тела, динамическому и кинематическому условиям на свободной границе или поверхности контакта свободно плавающего ледового покрова с жидкостью, а также условию затухания движения на бесконечности. При этом предполагается, что тело перемещается по заданному закону, и начальное состояние жидкости и ледового покрова известны.

Задачи о волновых движениях жидкости при наличии погруженных тел традиционно являются объектом интенсивного исследования [24, 31, 32, 41]. В последние годы этот интерес связан с необходимостью решения ряда новых практических задач морской гидродинамики [6, 44, 52, 56, 58], таких как моделирование поведения на волнении больших морских сооружений (нефтяных платформ, подводных трубопроводов и т.п.), обеспечение устойчивого движения автономных плавающих устройств (глайдеров) вблизи свободных границ,

учет ледовых нагрузок на стационарные и подвижные тела в полярных условиях. Рассматриваемая в диссертации задача имеет также и определенный геофизический аспект. С этой точки зрения она представляет интерес в качестве модельной постановки для изучения процессов генерации волн типа цунами, возникающих в результате подводных землетрясений, подвижек дна (оползней), схода лавин [13, 27].

Для решения задач о взаимодействии погруженных и плавающих тел со свободными поверхностями и упругими границами часто используется линейная теория [50]. В ней предполагается, что амплитуда волн мала по сравнению с другими характерными параметрами. Это допущение оправдано, например, когда источник волновых возмущений находится достаточно далеко от подвижных границ области течения. Нелинейные эффекты проявляют себя, как правило, в случае движения тел вблизи свободных границ. Успехи в решении нелинейных нестационарных волновых задач в значительной степени связаны с развитием численных методов. Наиболее полные обзоры результатов по данной тематике имеются в работах И.В. Стуровой [33] и С.И. Горлова [2]. Эффективные алгоритмы численного решения задач со свободными границами для гидродинамических уравнений Эйлера — «численные волновые бассейны» — разработаны рядом авторов: D. Ciamond, J. Grue [40], M. Greenhow, S. Moyo [42], R. Yeung, A. Hamilton [43], M. Kashiwagi [45], K. Bai с соавторами [46], G.X. Wu, Eatock R. Taylor [64] и др. Численные результаты, относящиеся к нелинейной задаче о движении погруженных тел или аппроксимирующих их особенностей, получены Д.В. Маклаковым [18], А.Г. Терентьевым, К.Б. Афанасьевым, М.М. Афанасьевой [59], С.И. Горловым [3]. Большое число работ посвящено также задачам о движении тела в неоднородной (стратифицированной по плотности) жидкости с образованием внутренних волн [1, 4, 34, 37].

Аналитические исследования актуальны для этого класса задач, посколь-

ку анализ точных постановок и получение приближенных решений полезны для оптимизации морских конструкций, для предсказания опасных режимов их эксплуатации (например, резонансного воздействия волн на несущие элементы платформ), а также для тестирования численных алгоритмов. Разрешимость задачи о неустановившемся движении тела в идеальной жидкости со свободной границей до недавнего времени оставалась не исследованной даже в локальной постановке. Однозначная разрешимость двумерной задачи в случае кругового цилиндра в классе аналитических функций установлена Н.И. Макаренко [14, 53], пространственная задача о движении погруженной сферы исследована Е.В. Пяткиной [30]. В этих же работах была построена и обоснована асимптотика решения по малому параметру, характеризующему малость размеров тела по сравнению с глубиной его погружения (нелинейная модель дипольного приближения). Повышенное внимание к этому вопросу обусловлено тем, что дипольные и мультипольные приближения получили широкое применение в задаче о генерации волн, начиная с классической работы Ламба [51] (см. также более поздние работы Е.О. Tuck [60]; J. Wehausen, Е. Laitone [63]).

Начальная по времени асимптотика решения нелинейной задачи о движении погруженного кругового цилиндра с ускорением из состояния покоя впервые была исследована в работах P. Tyvand, Т. Milloh [61, 62]. Построенные ими ряды возмущений используют конформное отображение искомой области течения на фиксированную двухсвязную область во вспомогательной комплексной плоскости. В работе [53] был предложен другой метод построения асимптотического ряда непосредственно в плоскости течения. На этом пути было получено качественное объяснение наблюдаемого эффекта инерционного выноса массы жидкости при быстром всплывании кругового цилиндра. В [29] данным методом была решена трехмерная задача об импульсивном движении погруженной сферы. В упомянутых здесь работах рассматривались постановки нестационарных

задач о безотрывном обтекании погруженного тела при умеренных скоростях его движения. Родственный круг вопросов возникает также при исследовании задач высокоскоростной гидродинамики, требующих учета кавитационных явлений [5]. В недавней работе М.В. Норкина [21] с помощью полуаналитических методов рассмотрена задача о развитии присоединенной каверны при быстром разгоне погруженного кругового цилиндра. В работах [22, 23] с помощью аналогичных подходов изучалась задача о движении эллиптического цилиндра под свободной поверхностью идеальной и вязкой жидкости.

Задача о движении погруженного тела под ледовым покровом в однородной и стратифицированной жидкостях рассматривалась в линейной постановке в работах И.В. Стуровой [35], [36]. Линеаризованная задача о гидроупругом поведении плавающей пластины конечных размеров была исследована A.A. Ко-робкиным [7]. Обзору линейных моделей взаимодействия упругого ледового покрова с жидкостью посвящена работа C.B. Музылева [20]. Вывод уравнений нелинейной гидроупругой структуры на основе вариационных принципов дан в работе П.И. Плотникова и И.В. Кузнецова [28]. Задача о бегущих нелинейных гидроупругих волнах рассматривалась П.И. Плотниковым и Дж. Толандом в [57]. Учитывая все сказанное, становится ясно, что дальнейшее развитие аналитических подходов в нелинейной задаче о генерации волн телами сложных геометрических форм, отличных от круговой или сферической, представляет несомненный интерес.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Во введении дается обзор литературы, близкой к теме данной работы, кратко характеризуется ее содержание, формулируются основные результаты и резюмируются сведения об их апробации. Первая глава, состоящая из трех параграфов, носит подготовительный характер. В первом параграфе приводится постановка основных задач о неустановившемся движении ци-

линдрического тела произвольного сечения под свободной поверхностью и ледовым покровом. Во втором параграфе излагается математический метод, используемый в последующих главах. А именно, здесь описывается способ сведения исходных уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости к системе нелинейных интегродифференциальных уравнений на свободной границе. Этот метод был предложен Л.В. Овсянниковым [26] в задаче о свободных поверхностных волнах и модифицирован Н.И. Макаренко [53] применительно к задаче о генерации волн погруженным круговым цилиндром. В третьем параграфе первой главы в качестве примера приложения данного метода приведена известная начальная асимптотика формы свободной поверхности при вертикальном всплытии кругового цилиндра. Вторая глава, содержащая четыре параграфа, является основной, в ней излагаются центральные результаты диссертации. Эта глава полностью посвящена задаче о неустановившемся движении эллиптического цилиндра под свободной поверхностью. В ее первом параграфе (§4) дается подробный вывод граничного интегрального уравнения, замыкающего систему дифференциальных уравнений для неизвестных функций на искомой свободной поверхности. По своей структуре оно напоминает аналогичное уравнение для кругового цилиндра, однако его построение в случае эллиптического цилиндра существенно осложняется геометрией тела. В диссертации основное внимание уделяется характеристике свойств двулистного отображения, с помощью которого получается интегральное представление комплексной скорости жидкости, содержащее интегралы только по свободной границе (схема его вывода ранее была дана в работе [54]). Эти аналитические свойства в конечном итоге оказываются решающими при получении всех явных формул для асимптотических решений. В §5 исследуется начальная по времени асимптотика решения задачи о поступательном движении эллиптического цилиндра с постоянным ускорением из состояния покоя. Решение ищется в виде ряда по целым положительным

степеням времени и часть коэффициентов может быть найдена стандартным методом Коши — Ковалевской из эволюционной системы граничных дифференциальных уравнений. Нетривиальная часть работы состоит в отыскании коэффициентов разложения для нормальной скорости жидкости на свободной границе. Упомянутое выше интегральное уравнение Фредгольма второго рода играет при этом ключевую роль. Для его приближенного решения используется метод возмущений по малому параметру, характеризующему отношение полуосей цилиндра к глубине его первоначального погружения. Известно [53], что в случае кругового цилиндра этот метод дает в главном порядке решение, соответствующее дипольному приближению (т.е. когда погруженный цилиндр аппроксимируется точечной особенностью поля скоростей жидкости). Получение такой начальной асимптотики нестационарного решения в случае эллиптического цилиндра является новым результатом. В §6 на основе визуализации найденных асимптотических решений проводится сравнительный анализ волновых структур, возникающих при различных углах направления движения эллиптического цилиндра. Согласно этим решениям эволюция свободной поверхности на начальной стадии движения хорошо описывается линейной теорией, если параметр заглубления г достаточно мал. Данная временная стадия развития течения характеризуется формированием инерционного слоя жидкости при разгоне цилиндра. Вместе с тем найденные решения успевают промоделировать и начало образования системы расходящихся поверхностных воли па последующей временной фазе, все еще описываемой линейной теорией. Кроме того, учет в асимптотическом решении членов до порядка г4 включительно в разложении по параметру г позволяет дополнительно описать временную эволюцию интенсивности точечной особенности, моделирующей движение погруженного тела вблизи свободной границы. А в случае кругового цилиндра на этом пути удается продвинуться еще дальше: построенные здесь новые асимптотические

решения описывают и начало нелинейной фазы взаимодействия тела со свободной поверхностью. Заключительный §7 во второй главе посвящен анализу картины поля скоростей течения в целом, а не только вблизи свободной поверхности. Его результаты дают предварительную основу для определения силовых реакций жидкости на тело, хотя данный важный вопрос, требующий отдельного рассмотрения, и вынесен за рамки диссертации. В третье главе, содержащей три параграфа, предлагается обобщение используемого метода на случай движения эллиптического цилиндра под ледовым покровом. В первом параграфе данной главы (§8 в сквозной нумерации) дается эквивалентная формулировка исходной задачи в виде системы граничных интегродифференциальных уравнений на поверхности контакта жидкости и льда. Задача усложняется здесь тем, что давление жидкости на этой поверхности не постоянно и зависит от деформации ледового покрова. Упругое поведение тонкого слоя льда в диссертации рассматривается в рамках линейной модели балки Эйлера. Вследствие этого в эволюционной системе граничных дифференциальных уравнений появляются дополнительные производные высшего порядка по времени £ и пространственной переменной х, а граничное интегральное уравнение для нормальной скорости жидкости остается таким же, как и в главе 2. В §9 в рамках сформулированной математической постановки решается задача о начальной асимптотике волнового процесса при равноускоренном движении подо льдом эллиптического цилиндра из состояния покоя. Исходная система граничных интегродифференциальных уравнений здесь тоже сводится к рекуррентным соотношениям для коэффициентов разложения искомых функций по степеням £ (таковыми здесь являются компоненты скорости жидкости и прогиб ледовой пластины). Однако в явном виде разрешить эти соотношения сразу не получается, поскольку исходная система не имеет нормальной формы Коши — Ковалевской из-за наличия в уравнениях старших производных по времени. Для преодоления этой

трудности используется итерационный метод вычисления коэффициентов, который комбинируется с методом возмущений по малым параметрам, характеризующим инерционные и упругие свойства льда. В заключительном параграфе третьей главы, §10, на основе полученных таким образом приближенных решений анализируются различные формы изгибно-гравитационных волн в ледовом покрове в широком диапазоне параметров, включая случай модели битого льда. Сравнение этих режимов с аналогичными волновыми режимами в случае движения цилиндра под свободной поверхностью дает ясное представление о влиянии льда на характер волнового движения на поверхности жидкости.

В Приложении содержится текст программы, написанной на языке пакета символьных вычислений «Wolfram Mathematica 8.0». Эта программа позволяет оперативно осуществлять визуализацию построенных асимптотических решений. В качестве входных параметров в данной программе можно задавать геометрические характеристики цилиндра, направление движения, значение числа Фруда и упругие характеристики ледового покрова. Вариация указанных параметров позволяет в реальном времени наблюдать и сравненивать картины возникающих волновых структур.

Завершая краткий обзор содержания диссертации, сформулируем ее следующие основные результаты:

1. Для задачи о нестационарном движении погруженного эллиптического цилиндра выведена эквивалентная система интегродифференциальных уравнений для функции, описывающей форму свободной поверхности, и компонент вектора скорости на пей.

2. Построена начальная асимптотика волнового движения для случая равноускоренного движения цилиндра из состояния покоя. Получены и проанализированы явные формулы для первых четырех коэффициентов в разложе-

нии решения по времени, исследована асимптотика решения по параметру заглубления.

3. Задача о нестационарном движении эллиптического цилиндра под ледовым покровом сведена к эквивалентной системе интегродифференциальных уравнений на поверхности контакта жидкости и льда и построена начальная по времени асимптотика решения.

4. Исследовано влияние коэффициентов изгибной жесткости и массы ледового слоя, а также числа Фруда, на картины изгибно-гравитационных волн в ледовом покрове.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [8, 15, 17] в реферируемых журналах из списка ВАК, а также в статье [49] в сборнике трудов международной конференции 27th International Workshop on Water Waves and Floating Bodies (Копенгаген, Дания, 2012 г.) и в тезисах докладов [9, 10, 11, 16, 47, 55]. Эти результаты были представлены на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.), на двух ежегодных конгрессах Европейского геофизического союза EGU General Assembly (Вена, Австрия, 2012 г. и 2013 г.), на Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2011 г.), на Всероссийской конференции «Нелинейные волны: теория и новые приложения», посвященной памяти чл.-корр. РАН В.М. Тешукова и приуроченной к 65-летию со дня его рождения (Новосибирск, 2011 г.), на Всероссийской научной школе молодых ученых «Вихри и волны в сложных средах» (Москва, 2012 г) .

Результаты данной работы докладывались автором на научном семинаре «Нелинейные волновые процессы» лаборатории нелинейных волн Новосибирского государственного университета под руководством академика РАН В.Е. За-

харова и на семинаре лаборатории математического моделирования и фазовых переходов ИГиЛ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН П.И. Плотникова.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Н.И. Макаренко за постановку задачи и поддержку в ходе подготовки данной диссертации, научному консультанту д.ф.-м.н. A.A. Коробкину за ценные советы и обсуждения, а также благодарит руководителей и участников перечисленных семинаров за вопросы и замечания.

Глава 1. Предварительные сведения

§ 1. Формулировка основных уравнений

1.1. Задача о неустановившемся движении цилиндра под свободной поверхностью. Двумерное безвихревое движение бесконечно глубокой идеальной несжимаемой жидкости и перемещение тела, полностью погруженного в жидкость, рассматриваются в неподвижной декартовой системе координат Оху в плоскости (х, у) £ М2 с осыо Оу, направленной вертикально вверх (см. рис. 1.1). Движение тела в этом случае интерпретируется как перемещение неограниченного цилиндра в трехмерном пространстве, имеющего горизонтальную ось, перепендикулярную плоскости Оху, и плоское сечение с границей Введем безразмерные переменные, выбирая в качестве единицы длины

Г

Рис. 1.1. Схема движения тела под свободной поверхностью.

характерное начальное заглубление цилиндра ho. В качестве единицы скорости выберем характерную скорость движения цилиндра щ, единицы времени — отношение ho/щ, единицы давления — величину pul (здесь р — плотность жидкости). Тогда гидродинамические уравнения Эйлера для безразмерных компонент вектора скорости жидкости u = (U, V) и безразмерного давления р будут иметь вид

' Ut + UUx + VUy+px = О,

< Vt + UVx + Wv+Py = -А, (1.1)

Ux + Vy = О, Uy-Vx = о,

где Л = gho/Uq — квадрат величины, обратной к числу Фруда (здесь д — ускорение свободного падения). Граничные условия на свободной поверхности : у — r¡(x, t) имеют форму

fh + Urix = V, р = 0 (x,y)eV(t). (1.2)

Для тела, полностью погруженного в жидкость и движущегося по заданному закону, нормальная компонента вектора скорости жидкости и на поверхности тела S(t) должна совпадать с нормальной компонентой скорости ucyi перемещения твердой поверхности. Таким образом, условие непротекания на поверхности цилиндра записывается в виде

(u — Ue^í) - п = 0 (х,у) е Scyi(t), (1.3)

где п — нормаль к поперечному сечению цилиндра.

В начальный момент времени t = 0 задаются форма свободной поверхности и поле скоростей в области течения:

т)(х, 0) = г)о(х), u(ar, у, 0) = uo(a?, у).

(1.4)

Предполагается, что при t ^ О жидкость сохраняет состояние покоя на бесконечности, так что U, V, т] —У 0, когда |х| —> со.

В диссертации рассматривается поступательное перемещение погруженного тела, при котором достаточно знать траекторию одной выбранной точки сечения цилиндра Xcyi(t) = (xaji(t), Vcyiit)). При этом начальное поле скоростей жидкости lio = (U0,V0) и заданный закон движения цилиндра со скоростью uqji{t) = {x'cyiityiy'cyiit)) должны удовлетворять условиям согласования

Uox + Voy = 0, Uoy — Vox = 0 (®,y)€íl(0), (1.5)

(uo - U^(0)) • n0 = 0 (ж, у) е Scyii0).

Таким образом, в задаче требуется определить поле скоростей жидкости и, давление р и форму свободной поверхности V(t) : у = r¡(x, t), удовлетворяющие уравнениям Эйлера (1.1), граничным условиям (1.2), (1.3), начальным условиям (1.4) и условиям согласования (1.5).

1.2. Задача о неустановившемся движении цилиндра под ледовым покровом. Рассматривается двумерная нестационарная задача о волнах на поверхности ледового покрова, вызванных неустановившимся движением погруженного цилиндра (см. рис. 1.2). Сплошной ледяной покров моделируется тонкой упругой пластиной, свободно плавающей на поверхности жидкости. Форма этой пластины у = tj(x, t) заранее неизвестна и подлежит определению в процессе решения задачи.

В рассматриваемой задаче требуется определить поле скоростей и жидкости, давление р в ней, а также изгиб ледового покрова, описываемый функцией г}. Гидродинамические величины и и р должны при этом удволетворять системе уравнений Эйлера (1.1) безвихревого движения идеальной несжимаемой

Рис. 1.2. Схема движения тела под ледовым покровом.

жидкости. Для адекватного описания колебаний ледяного покрова в динамическом граничном условии необходимо учитывать упругие свойства льда и его плавучесть. Таким образом, на поверхности контакта льда и жидкости должны выполняться кинематическое и динамическое условия [38]

rh + Urjx = Vi р = <щь + (Зг]хххх {у - 7](Х, ¿)), (1.6)

где а = Piceh/(pho) и (3 = Eh?/{12ph^ufy — безразмерные параметры, отвечающие соответственно за инерцию ледового слоя и его изгибную жесткость. Здесь pice — плотность льда, р — плотность жидкости (р > Pice), h — толщина ледового покрова, и Е — модуль Юнга для льда. Динамическое условие в (1.6) соответствует хорошо известной математической модели упругой балки Эйлера. В предельном случае /5 = 0 (но при этом остается а ^ 0) мы получаем модель битого льда, а в случае а = (3 = 0 приходим к задаче о движении цилиндра под свободной поверхностью. Граничные условия на поверхности обтекаемого цилиндра, начальные данные (вместе с условиями их согласования с законом

движения цилиндра) и условие затухания движения при |х| —» сю остаются теми же, что и в задаче о движении тела под свободной поверхностью.

Отметим, что задача о волнах в ледовом покрове на поверхности жидкости сформулирована здесь в полной нелинейной гидродинамической постановке, но граничное динамическое условие в (1.6) учитывает упругие свойства льда в линейном приближении.

§ 2. Редукция к граничным интегродифференциальным уравнениям

2.1. Поверхностные волны без погруженного тела. Рассмотрим сначала задачу о двумерных волновых движениях бесконечно глубокой идеальной жидкости в отсутствие цилиндра (см. [26]). Поле скоростей и безвихревого течения обладает потенциалом Ф — гармонической по х, у функцией, с которой и = уФ = Фу)- Если функция Ф уже известна, гидродинамическое давление р может быть найдено из интеграла Коши-Лагранжа

+ чЦ2 + \у + р = 0. (1.7)

Отсюда в силу граничных условий (1.2) следует, что потенциал Ф(#, у, £) должен удовлетворять следующим кинематическому и динамическому граничным условиям:

(гн + ЪФ* - Фу) = 0, (ф, + 1 (ф2 + Фу) + Ху) = 0. (1.8)

С другой стороны, если в данный момент времени £ известна форма свободной поверхности у = г)(х, ¿) и значение потенциала ср — Ф|у=77 на ней, то потенциал Ф однозначно определен всюду в области течения Г2(£) = {{х,у) \ у < г)(х, £)}

как решение краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа:

/

фх* + фуу = 0, ( оо < у < Г](х, t)) < Ф{х,г1{х,1),Ь)=ср{х,г), (1.9)

V ф о. (х2 4- у2 оо)

Тем самым определены и значения всех производных от Ф, в частности Фу\у=п. Очевидно, что последняя величина может рассматриваться как результат действия на функцию (р некоторого линейного оператора N, нелинейно зависящего от функции 7] : N = N(tj). С этим оператором путем дифференцирования второго тождества системы (1.9) по х и t получаются выражения для всех производных от Ф при у = rj:

= <Рх ~ VxN(p, <$>t = (pt - rjtNcp, Фу = Nip. (1.10)

В результате подстановки этих выражений в соотношения (1.8) после небольших преобразований получаются уравнения

Vt + Wx = (1 + rfoNtp, (pt + \ч>1 + Ату = ¿(1 + 7]2x)(Nv)2, (1.11)

представляющие собой нелинейную эволюционную систему дифференциальных уравнений, связывающие функции <р, N<p и г).

Участвующий в уравнениях (1.10)—(1.11) оператор N не имеет простого явного аналитического выражения. Однако для функции Nip в (1.11) можно получить интегральное уравнение Фредгольма второго рода, замыкающее систему (1.11). Воспользуемся тем, что функция комплексной скорости F(z, t) = U — iV аналитична по z = x + iy в области Q(t) — {z = x + iy \ у < r)(x, t)}. Следовательно, для любой точки z из области Q(t) справедлива интегральная формула

Коши:

г

Переходя к пределу при z —> zr, где zr = х + щ{х, t) — точка на свободной поверхности, в силу формулы Сохоцкого - Племеля, учитывающей скачок интеграла типа Коши, получаем следующее соотношение на границе Г(£):

7ГiF(zr,t)=v.p. fF&W. (1.12)

J Q-ZT

г

Воспользовавшись тождествами (1.10), можем записать следующее представление для функции комплексной скорости F на границе Г(£) через функции </?, Nip и 7у.

F(x + ir)(x),t) = (U - iV)y=n = (Фх - гФу)у=Т] = ipx- r)xN<p - iN(p. (1.13) Далее, подставляя выражение (1.13) в формулу (1.12), получаем:

ni(<Px ~ VxN(p - iNip) = - J

+oo

fax - VxN(p - iN(p)( 1 + irjx)ds

s — x + i(rj(s) — T](x)

-oo

Выделив вещественную часть этого соотношения, приходим к сингулярному интегральному уравнению, связывающему функции N<p, ip и rj:

+00

„ЛГ „М Г Ш - ФШ1 + Ж*))

—оо

+оо

f s - х + (ф) - t)(x))rix(s) _

- J Ь-гу + Ш-гМУ^"»* (L14)

—сю

Здесь интегралы понимаются в смысле главного значения. Таким образом, в случае свободных волн без погруженного тела исходные уравнения движения сводятся к эквивалентной системе интегродифференциальных уравнений (1.11)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Костиков, Василий Константинович, 2013 год

Список литературы

1. Воейков И.В., Чашечкин Ю.Д. Гидродинамика цилиндра в стратифицированной жидкости. М.: ИПМ. 1992. 49 с.

2. Горлов С.И. Численные методы решения нелинейных нестационарных задач о генерации волн погруженным в жидкость телом // Вычислительные технолгии. 1998. Т.З, № 6. С. 9-20.

3. Горлов С.И. Нестационарная нелинейная задача о горизонтальном движении контура под границей раздела двух жидких сред // ПМТФ. 1999. Т.40, Ш 3. С. 37-43.

4. Горлов С.И. Нелинейная задача о вертикальном подъеме кругового цилиндра к границе раздела жидких сред // ПМТФ. 2000. Т.41, № 2. С. 84-89.

5. Кедринский В.К. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2000. 435 с.

6. Козин В.М., Жесткая В.Д., Погорелова A.B. и др. Прикладные задачи динамики ледяного покрова. М.: Академия Естествознания. 2008. 329 с.

7. Коробкин A.A. Численное и ассимптотическое исследование плоской задачи о гидроупругом поведении плавающей пластины на волнах // ПМТФ. 2000. Т.41, № 2. С. 90-96.

8. Коробкин A.A., Костиков В.К., Макаренко Н.И. Движение эллиптического цилиндра под ледовым покровом // Вестник НГУ. 2012. Т. 12. Вып. 4. С. 76-81.

9. Коробкин A.A., Костиков В.К., Макаренко Н.И. Неустановившееся движение эллиптического цилиндра под ледовым покровом // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Полярная механика». 2-9 июня 2012. Новосибирск. С. 31.

10. Костиков В.К. Начальная по времени асимптотика волнового движения при наличии погруженного эллиптического цилиндра // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Нелинейные волны: теория и новые приложения», посвященной памяти чл.-корр. РАН В.М. Тешукова и приуроченная к 65-летию со дня его рождения. 2-4 марта 2011 г. Новосибирск. С. 40-41.

11. Костиков В.К., Макаренко Н.И., Коробкин A.A. Нестационарное движение цилиндра под свободной поверхностью и ледовым покровом // Тезисы докладов Всероссийской научной школы молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах». 3-5 декабря 2012 г. М.: МАКС Пресс. С. 128-131.

12. Кочин Н.Е., Кибель H.A., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1. М.: ГИФМЛ. 1963. 584 с.

13. Левин Б.В., Носов М.А. Физика цунами и родственных явлений в океане. М.: Янус-К. 2005. 360 е.

14. Макаренко Н.И. Неустановившиеся поверхностные волны при наличии погруженного препятствия // Вычислительные технологии. 1995. Т. 11, № 4. С. 169-175.

15. Макаренко Н.И., Костиков В.К. Нелинейная задача о движении цилиндра под свободной поверхностью // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. С. 963-965.

16. Макаренко Н.И., Костиков B.K. Неустановившееся движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью // Тезисы докладов 4-й Всероссийской конференция с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения». Бийск. 5-10 июля 2011 г. С. 62.

17. Макаренко Н.И., Костиков В.К. Неустановившееся движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью // ПМТФ. 2013. Т.54, № 3. С. 30-41.

18. Маклаков Д. В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус-К, 1997. 280 е.

19. Милн-Томсон. Теоретическая гидродинамика. Мл Изд-во «Мир». 1964. 654 с.

20. С.В. Музылев. Волны в океане под ледяным покровом: основы теории и модельные задачи // Современные проблемы динамики океана и атмосферы. М.: «Триада ЛТД». 2010. С. 315-345.

21. Норкин М.В. Образование каверны на начальном этапе движения кругового цилиндра в жидкости с постоянным ускорением // ПМТФ. 2012. Т. 53, № 4. С. 74-82.

22. Норкин М.В., Яковенко A.A. Начальный этап движения эллиптического цилиндра в идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 11. С. 2060-2070.

23. Норкин М.В., Яковенко A.A. Начальный этап движения эллиптического цилиндра в вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью

// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 2. С. 319-329.

24. Ньюмен Дж. Морская гидродинамика. JI.: Судостроение. 1985. 368 с.

25. Овсянников J1.B. О всплывании пузыря // В кн.: Некоторые проблемы математики и механики. JL, Наука, 1970. 287 с.

26. Овсянников J1.B., Макаренко Н.И., Налимов В.И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: «Наука». 1985. 320 с.

27. Пелиновский E.H. Гидродинамика волн цунами. НПФ РАН. Нижний Новгород. 1996. 276 е.

28. Плотников П.И., Кузнецов И.В. Об уравнениях движений нелинейной гидроупругой структуры // ПМТФ. 2008. Т.49, №4. С 174-191.

29. Пяткина Е.В. Начальная асимптотика волнового движения, генерируемого погруженной сферой //ПМТФ. 2003. № 1. С. 39-52.

30. Пяткина Е.В. Обоснование дипольного приближения в задаче о генерации нелинейных воли погруженной сферой // СМЖ. 2005. Т. 46, № 4. С. 907 -927.

31. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. Главная редакция физико-математической литературы издательства. М.: «Наука». 1977. 815 с.

32. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения. Мл ИЛ. 1959. 620 с.

33. Стурова И.В. Численные расчеты в задачах генерации плоских поверхностных волн // Препринт № 5. ВЦ СО АН СССР. Красноярск. 1990.

34. Стурова И.В. Плоская задача об обтекании кругового цилиндра равномерным потоком двухслойной жидкости конечной глубины // ПМТФ. 1998. Т.З, № 6. С. 991-101.

35. Стурова И.В. Гидродинамические нагрузки, действующие на колеблющийся цилиндр, погруженный в стратифицированную жидкость, при наличии ледяного покрова // ПМТФ. 2011. Т. 52, № 3. С. 102-115.

36. Стурова И.В. Движение погруженной сферы в жидкости под ледяным покровом // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76, вып. 3. С. 406417.

37. Филиппов С.И. Гидродинамика крылового профиля вблизи границ раздела. Казань: Изд-во Казан, мат. об-ва. 2004. 200 е.

38. Хейсин Д.Е. Динамика ледяного покрова. Л:, Гидрометеоиздат, 1967. 215 с.

39. Черепенин Н. Д. О движении цилиндра, расположенного под свободной поверхностью // Известия вузов, Серия Математика. 1976. № 66. С. 81-90.

40. Ciamond D., Grue J. A Fast Method for Fully Nonlinear Water Wave Computations //J. Fluid Mech. 2001. V. 447. P. 337-355.

41. Debnath L. Nonlinear Water Waves. Academic Press. San-Diego. 1994. 544 p.

42. Greenhow M., Moyo S. Water Entry and Exit of Horizontal Circular Cylinder // Philos. Trans. Roy. Soc. London A. 1997. Vol. 355. P. 551-563.

43. Hamilton J.A., Yeung R.W. Spectral Shell and Perfectly Transparent Open Boundary Condition for Unsteady Wave-Body Interaction // JOMAE Transactions of the ASME. 2003. V. 125, N1. P. 9-16.

44. Hermans A.J. Water Waves and Ship Hydrodynamics. An Introduction. Second Edition. Springer. 2011. 169 p.

45. Kashiwagi M., Hu C., Sueyoshi M. Numerical Computation Methods for Extremely Nonlinear Wave-Body Interactions. The World Scientific Publishing Co. 2009. Series of Advances in Coastal and Ocean Engineering, Vol. 11.

46. Kim J.W., Kyoung J.H., Ertekin R.C., Bai K.J. Finite-Element Computation of Wave-Structure Interaction of Steep Stokes Waves and Vertical Cylinders //J. Waterway, Port, Couastal and Ocean Engineering. 2006. V. 132, No. 5. P. 337-347.

47. Korobkin A., Kostikov V., Makarenko N. Unsteady waves generated by the obstacle moving under ice cover // Geophisical Research Abstracts. 2013. V. 15. EGU2013-6792.

48. Karabut E.A. Semi-analytical investigation of unsteady free-boundary flows // Intern. Ser. Numer. Math. 1991. V 99. P. 215-224.

49. Kostikov V.K., Makarenko N.I., Korobkin A.A. Unsteady motion of elliptic cylinder under ice cover // Proceedings of 27th International Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Denmark, Copenhagen. 2012. P. 89-92.

50. Kuznetsov N., Maz'ya V., Vainberg B. Linear Water Waves. A Mathematical Approach. Cambridge University Press. 2004.

51. Lamb H. On Some Cases of Wave-Motion on Deep Water // Ann. di Mat. 1913. Vol. 21. P. 237-250.

52. McCormick M. Ocean Engineering Mechanics With Applications. Cambridge University Press. 2010. 580 p.

53. Makarenko N.I. Nonlinear interaction of submerged cylinder with free surface // JOMAE Transactions of the ASME. 2003. V. 125, N. 1. P. 72-75.

54. Makarenko N.I. Nonlinear water waves in the presence of submerged elliptic cylinder // Proc. 23rd Int. Conf. on Offshore Mech. and Arctic Engineering OMAE'04. June 20-25, 2004, Vancouver, Canada. Paper OMAE-51413.

55. Makarenko N., Kostikov V. Nonlinear water waves generated by impulsive motion of submerged obstacle // Geophysical Research Abstracts. 2013. V. 14. EGU2012-4772.

56. Mei C.C. , Stiassnie M., Yue D. K.-P. Theory and application of ocean surface waves. Part 1: Linear Aspects. Advanced Series on Ocean Engineering. Vol. 23. World Scientific. 2005. 1071 p.

57. Plotnikov P.I., Toland J.F. Modelling Nonlinear Hydroelastic Waves // Phil. Trans. Royal Soc. A — Mathematical Physical and Engineering Sciences. 2011. V. 369 (1947). P. 2942-2956.

58. Squire V.A., Hosking R.J., Kerr A.D., Langhorne P.J. Moving Loads on Ice Plates. Dordrecht: Kluwer. 1996. 244 p.

59. Terentiev A. G., Afanasiev K. E., Afanasieva M. M. Simulation of unsteady free surface flow problems by the direct boundary element method // Proc. IUTAM Symp. Advanced Boundary Element Methods. San-Antonio. 1988. P. 427-434.

60. Tuck E.O. The Effect of Non-Linearity at the Free Surface on Flow past a Submerged Cylinder //J. Fluid Mech. 1965. V. 22. P. 401-404.

61. Tyvand P.A., Miloh T. Free-surface Flow due to Impulsive Motion of a Small Submerged Circular Cylinder // J. Fluid Mech. 1995. V. 286. P. 67-101.

62. Tyvand P.A., Miloh T. Free-surface Flow Generated by a Small Submerged Circular Cylinder Starting from the Rest // J. Fluid Mech. 1995. V.286. P. 103-116.

63. Wehausen J.V., Laitone E.V. Surface Waves. Handbuch der Physik. 1960. Vol. 9. Springer Verlag, Berlin. P. 446-778.

64. Wu G.X., Eatock Taylor R. The coupled finite element and boundary element analysis of nonlinear interactions between waves and bodies // Ocean Engineering. 2003. V. 30. P. 387-400.

65. Zhu X., Faltinsen O.M., Hu C. Water entry and exit of a horizontal circular cylinder // JOMAE Transactions of the ASME. 2007. V.129, N4. P. 253-264.