Новые методы в технике Бохнера и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Степанов, Сергей Евгеньевич

• Степанов, Сергей Евгеньевич
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Степанов, Сергей Евгеньевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ТЕХНИКА БОХНЕРА В ГЛОБАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ РАССЛОЕНИЙ ВНЕШНИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И СИММЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ

§ 1. Обозначения и определения

§ 2. Представления полной линейной группы в геометрии тензорных расслоений

над многообразием с линейной связностью

§ 3. Техника Бохнера в глобальной геометрии тензорных расслоений над многообразием с линейной связностью

§4. Представления ортогональной группы в геометрии тензорных расслоений ^

над (псевдо) римановьш многообразием

§ 5. Векторные пространства дифференциальных форм над (псевдо ) римано-

вым многообразием

§ 6. Формулы Вейценбека для дифференциальных и симметрических форм на

компактном римановом многообразии с краем

§ 7. Теоремы бохнеровского типа в глобальной геометрии расслоений внешних дифференциальных и симметрических форм над римановым многообразием

ГЛАВА II. ТЕХНИКА БОХНЕРА В ГЛОБАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 0( Н ) х 0( V ) - СТРУКТУР

§ 1. ОЦ Н ) х ОЦ V) - структуры на дифференцируемом многообразии

§2. 0( Н ) х 0( V ) - структуры на (псевдо) римановом многообразии

§ 3. Формулы Вейценбека для 0(Н)х0(У)- структур на комнактном рима-

новом многообразии с краем

§ 4. Теоремы бохнеровского типа в глобальной геометрии 0( H ) х 0( V ) -

структур

ГЛАВА III. ТЕХНИКА БОХНЕРА В ГЛОБАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ОТОБРАЖЕНИЙ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

§ 1. Векторозначные формы и специальные виды отображений

§ 2. Представления ортогональной группы в теории субмерсий римановых

многообразий

§ 3. Формулы Вейценбека для отображений компактных римановых многообразий с краем

§ 4. Теоремы бохнеровского типа в глобальной геометрии отображений

римановых многообразий

ГЛАВА IV. ТЕХНИКА БОХНЕРА В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ

И РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ § 1. Применение представлений ортогональной группы в геометрической

теории тяготения

§ 2. Применение представлений ортогональной группы в релятивистской

электродинамике

§ 3. Теоремы бохнеровского типа в геометрической теории тяготения и релятивистской электродинамике

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые методы в технике Бохнера и их приложения»

ВВЕДЕНИЕ

В заглавие диссертации вынесено название одного из основных аналитических методов глобальной дифференциальной геометрии. Этот метод является общим для доказательства vanising theorems, в которых констатируется обращение в нуль некоторых топологических или геометрических инвариантов ( таких, как числа Бетти или размерность векторного пространства Киллинга ) на замкнутом (то есть компактном без границы ) римановом многообразии при определённых ограничениях на его кривизну. В основе метода лежит вывод "формул Вейценбёка" ( см., напр., [ 2 ], стр. 77 - 83 ), сравнивающих лапласианы на тензорных полях. Впервые такие формулы были получены С. Бохнером ( см. [ 36 ] ) для гармонических векторных полей и дифференциальных форм с целью найти условия на кривизну замкнутого риманова многообразия, препятствующие их существованию и, как следствие этого, гарантирующих обращение в нуль чисел Бетти.

Актуальность темы. В каждом из трёх (см. [ 40 ]; [ 55 ] и [ 74 ]) опубликованных обзоров работ, выполненных с использованием "техники Бохнера", список литературы превышал 70 единиц. "Технике Бонера" посвящены монографии К. Яно и С. Бохнера [ 36 ], Б. Шифмана и А. Соммеса [ 68 ], К. Яно [ 78 ], а также отдельные главы и параграфы в монографиях А. Бессе [ 2 ] и [ 3 ], Ш. Кобаяси [11], Ш. Кобаяси и К. Но-мидзу [ 12 ] и [ 13 ], К. Морена [ 19 ], К. Яно [ 82 ] и других авторов. Успех метода базируется на целой серии результатов ( см., напр., [ 6 ], [ 38 ], [ 49 ], [ 54 j и [ 77 ]), в которых утверждается существование метрик на полных, замкнутых и компактных с краем многообразиях с тем или иным наперёд заданным условием на кривизну.

Исследования с использованием "техники Бохнера" ведутся постоянно, и подтверждением этому могут служить столь разноплановые, но объединённые одним методом работы последних лет [ 39 ]; [ 44 ]; [ 69 ] и [ 76 ].

Подчёркивая современное значение "техники Бохнера", известный американский математик X. By в предисловии к своему обзору [ 74 ] писал: "By now this technique has achived the status of being part of the basic vocabulary of every geometer".

К сожалению, отечественная научная литература содержит буквально единицы статей, выполненных с использованием классической "техники Бохнера", и при этом вообще отсутствуют работы, направленные на её развитие.

Степень разработанности темы. Анализ опубликованных к настоящему времени работ зарубежных авторов, которые выполнены с использованием "техники Бохнера", позволяет выделить три особенности в получении результатов.

Во-первых, задача применения "техники Бохнера" всегда решалась персонифицированно: для каждого изучаемого объекта выводилась своя формула Вейценбёка и лишь затем повторялись предписываемые "техникой" шаги. Это очевидно ограничивало возможности её использования.

Однако при первой же попытке самого автора вывести "универсальную" формулу Вейценбёка для исследования внешних дифференциальных форм (см. [ 96 ]) был обобщён остававшийся неизменным с 1968 года результат Т. Кашивады ( см. [ 52 ] ). Дальнейшие наши исследования глобальной геометрии дифференциальных и симметрических форм ( [ 99 ]; [ 115 ] и [ П8 ] ), римановых структур почти произведения ( см. [ 88 ]; [ 89 ]; [104 ] и [ 108 ]) и отображений римановых многообразий (см. [ 106 ]; [ 109 ]; [111]и[112]) привели к многочисленным новым результатам и обобщениям уже известных к этому времени фактов теории и тем самым подтвердили правильность выбранного метода.

Во-вторых, "техника Бохнера" применялась до последнего времени для исследования объектов на замкнутых и компактных с краем римановых многообразиях ( см. об этом в [ 74 ] и [ 78 ]), и только недавно наметилась тенденция к расширению области применения "техники" за счёт переноса уже известных результатов на комплексные,

полные римановые и лоренцевые многообразия ( см., напр., [ 37 ]; [ 68 ] и [ 69 ]).

К этому ряду статей относятся работы и самого автора [ 119 ]; [ 120 ]; [ 122 ] и [ 125 ], в которых разрабатывается "аффинный аналог" техники Бохнера с последующим приложением его к глобальной лоренцевой геометрии (см. также [ 121 ]; [ 123 ] и [ 124 ]).

В-третьих, несмотря на предпринятые усилия по расширению области применения "техники Бохнера", она продолжает обслуживать внутренние потребности дифференциальной геометрии. При этом за рамками исследований остаются многочисленные задачи смежных наук.

К исключениям можно отнести классическую теорему С. Бохнера об обращении в нуль чисел Бетти на замкнутом римановом многообразии; теорему К. Яно (см. [ 78 ]), распространяющую результат С. Бохнера на компактные римановы многообразия с краем и две работы [41 ] и [ 59 ] физического плана, в которых из полученного К. Яно ещё в 1952 году интегрального уравнения ( см. [ 36 ] , стр. 44 - 45 ) выводятся простые следствия для гармонических и киллинговых векторных полей на замкнутых псевдори-мановых многообразиях.

В отличие от перечисленных в работах автора [ 101 ]; [ 106 ]; [ 122 ] и [ 124 ] "техника Бохнера" используется в общей теории относительности для описания динамики релятивистской жидкости и (3 + 1) - расщепления пространства-времени.

Целью диссертационной работы является выработка метода, основанного на теории представлений групп и дифференциальных операторов, позволяющего выводить формулы Вейценбёка в общем виде, пригодном к одновременному изучению "в целом" различных сечений наперёд заданного тензорного расслоения над компакным многообразием с линейной связностью и (псевдо ) римановым многообразием.

Кроме решения основной проблемы в диссертации даны приложения этого метода и полученных с его помощью формул Вейценбёка для описания локальной и глобальной геометрий

a) пространств сечений касательного расслоения, расслоений внешних дифференциальных и симметрических форм над многообразием с линейной связностью или (псевдо) римановым многообразием,

b) структур почти произведения и (псевдо) римановых структур почти произведения,

c) отображений и, в частности, субмерсий римановых многообразий,

а также для изучения ( с возможностью практического применения ) следующих объектов релятивистской физики:

a) уравнений Эйнштейна и Максвелла,

b) тензоров энергии-импульса и электромагнитных колебаний в орентирован-ном во времени пространстве-времени,

c) динамики релятивистской жидкости,

ё) геометрии (3+1 )-расщепления пространства-времени.

Методика исследований опирается на теорию представлений групп, теорию дифференциальных операторов и включает в себя классическую "технику Бохнера".

Научная новизна работы. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми, обобщающими и дополняющими ставшие уже фактами теории результаты К. Яно и С. Бохнера, К. Номидзу и Ш. Исихары, Н. С. Синюкова и Е. Н. Синюковой, Т. Кашивады, Ж. - П. Бургиньона, А. Навейры и других.

В частности, в работе

1) введено понятие фундаментального дифференциального оператора первого порядка на пространстве сечений тензорного расслоения над ш-мерным многообразием М с линейной связностью V и (псевдо) римановым многообразием М; найдены все такие операторы на пространствах сечений касательного расслоения ТМ, расслоений внешних дифференциальных АрМи симметрических 8рМр-форм ( 1 < р < ш );

2) дана геометрическая интерпретация ядра каждого из найденных фундамен-

тальных дифференциальных операторов, что позволило

a) выработать единый подход к изучению внешних дифференциальных и симметрических форм, провести их частичную классификацию, изучить геометрию каждого класса, что и существенно пополнило теорию новыми фактами,

b) провести частичную классификацию уравнений Эйнштейна, указав для большинства выделенных классов уравнений их решения,

c) выделить и изучить ранее неизвестный класс уравнений Максвелла релятивистской электродинамики;

3) выведен целый ряд "универсальных" формул Веценбёка для сечений расслоений ТМ, ЛрМ и 8рМ над т-мерным с линейной связностью компактным многообразием М с краем или римановым компактным многообразием М с краем, которые связывают значения выделенных фундаментальных операторов на соответствующих сечениях, тензоры Вейля и Риччи, скалярную кривизну многообразия со второй фундаментальной формой края многообразия;

4) с помощью полученных формул Вейцебёка не только обобщены но и существенно дополнены результаты С. Бохнера и К. Яно ( см. [ 36 ] и [ 78 ]), Т. Кашивады ( см. [ 52 ]), М. Берже и А. Грэя ( см. [ 2 ], стр. 591 и 613 ) и других (см., напр., [ 401 и [ 74 ]) по глобальной геометрии векторных полей, дифференциальных и симметрических форм на замкнутых римановых многообразиях, чего нельзя было сделать с помощью "классической техники Бохнера";

5) на основе известной задачи теории представлений полной и (псевдо ) ортогональной групп о разложении тензорного произведения представлений на неприводимые компоненты получены поточечно неприводимые разложения

а) ковариантной производной фундаментального тензора структуры почти произведения на многообразии с линейной связностью и (псевдо) римано-вом многообразии,

b) определенной в диссертации второй фундаментальной формы субмерсии риманова многообразия,

c) тензоров энергии импульса и электромагнитного поля и ковариантной производной единичного поля скоростей релятивистской жидкости;

6) дана геометрическая интерпретация каждой из неприводимых компонент полученных разложений, что позволило

a) провести частичные классификации структур почти произведения и псевдо-римановых структур почти произведения, которые включили в себя известные классификации А.П. Нордена и А.М. Навейры (см. [ 21 ] и [ 60 ]), и существенно пополнить теорию таких структур новыми фактами;

b) выработать подходы к изучению и классификации субмерсий римановых многообразий, позволившие выделить новые виды субмерсий и описать их геометрию;

c) установить, что выведенные из физических соображений представления тензора энергии-импульса и ковариантной производной единичного поля скоростей релятивистской жидкости ( см., напр., [ 15 ], стр. 58 и [ 18 ], стр. 219 -

- 220 ) являются следствием их поточечно неприводимого относительно действия ортогональной группы разложения;

<1) получить неизвестное ранее поточечно неприводимое разложение тензора электромагнитного поля заряженной релятивистской жидкости на "электрическую" и "магнитную" компоненты;

7) на основании поточечно неприводимых разложений получены "универсальные" формулы Вейценбёка на компактном ( псевдо ) римановом многообразии с краем, которые связывают

а) тензор кривизны многообразия и неприводимые компоненты разложений ковариантной производной фундаментального тензора римановой струк-

туры почти произведения со скалярным произведением вектора Йордена структуры и единичного вектора нормали края многообразия;

b) тензор кривизны и неприводимые компоненты разложения второй фундаментальной формы субмерсии риманова многообразия;

c) тензор Риччи и неприводимые компоненты разложения ковариантной производной единичного поля скоростей релятивисткой жидкости со второй фундаментальной формой края многообразия;

8) с помощью полученных формул Вейцебёка не только обобщены, но и существенно дополнены результаты

a) A.M. Навейры и А.Н. Рокаморы (см. [ 61 ] и [66 ]), А. Ранжана ( см. [ 67 ]), П. Вальчака (см. [ 76 ]), П. Култона (см. [ 43 ]) и других по глобальной геометрии римановых структур почти произведения;

b) К. Яно и Ш. Исихары( см. [ 79 ]), Т. Норе (см. [ 63 ]), 3. Хар Эля (см. [ 51 ]), Е. Н. Синюковой ( см. [ 27 ]), Й. Микеша (см. [ 58 ]) и других по глобальной геометрии отображений римановых многообразий;

c) по динамике течения релятивистской жидкости и проблеме (3 + 1) - ращеп-ления пространства - времени, выраженные в известных теоремах С. Хокин-га (см. [ 25 ], стр. 164), Г. Галовэйя ( см. [ 46 ]) и других,

чего нельзя было сделать с помощью "классической" техники Бохнера.

Теоретическая и практическая значимость работы подчёркивается эффективностью разработанных методов и широким спектром их приложений, что и демонстрируется как в классической области применения "техники Бохнера" - геометрии векторных полей, симметрических и дифференциальных форм, так и в теории структур почти произведения, геометрии отображений римановых многообразий, а также в геометрической теории тяготения и релятивистской электродинамике.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 29 статьях,

одной коллективной монографии и 12 тезисах (см. [ 86 ] - [ 126 ]). Работы [ 120 ] - [ 126 ] выполнены в соавторстве, и их результаты принадлежат авторам в равной мере.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на IX Всесоюзной геометрической конференции ( г. Кишинёв, 1988 г. ); Республиканской конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" ( г. Тарту, 1990 г.); III Всесоюзной школе "Понтрягинские чтения: Оптимальное управление. Геометрия и анализ." (г. Кемерово, 1990 г. ); Международной конференции "Лобачевский и современная геометрия" ( т. Казань, 1992 г.); У Всесоюзной школе "Понтрягинские чтения: Оптимальное управление. Геометрия и анализ" ( г. Воронеж, 1994 г. ); Всероссийской школе - коллоквиуме "Стохастические методы геометрии и анализа" ( г. Абрау - Дюр-со, 1994 г.); Международном геометрическом семинаре "Современная геометрия и её приложения", посвященном 100 - летию со дня рождения П.А. Широкова ( г. Казань, 1995 г.); VII Международной школе - семинаре "Современные проблемы теоретической и математической физики" ( Казань, 1995 г. ); Международной геометрической школе - семинаре памяти Н.В. Ефимова ( г. Абрау - Дюрсо, 1996 г.); Международных геометрических семинарах имени Н. И. Лобачевского "Современная геометрия и теория физических полей" (г. Казань, 4-6 февраля 1997 г.) и "Проблемы современной геометрии" ( г. Казань, 2-5 декабря 1997 г.). Текст доклада был представлен Международной конференции по дифференциальной геометрии ( Будапешт, 1996 г. ) и опубликован в её трудах (см. [ 112 ]).

Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах: по векторному и тензорному анализу в МГУ ( рук. акад. РАН А.Т. Фоменко); по геометрии "в целом" в МГУ ( рук. проф. Э.Г. Позняк, проф. Е.В. Шикин и проф. И.Х. Сабитов ); кафедры геометрии К ГУ ( рук. проф. Б.Н. Шапуков ); по геометрии в МИСиС ( рук. проф. М.А. Акивис ); кафедры геометрии ХГУ ( рук. проф. Ю.А. Аминов); кафедры геометрии МПГУ ( рук. проф. В.Т. Базылев и проф. В.Ф. Кириченко); по

дифференциальным уравнениям в ВлГПУ (рук. проф. В.В. Жиков).

Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, списка литературы, содержащего 126 наименований, и занимает 289 страниц машинописного текста.

Глава I "Техника Бохнера в глобальной геометрии расслоений внешних дифференциальных и симметрических форм" посвящена разработке алгебраических и дифференциально геометрических методов, необходимых для вывода формул Вейценбёка в общем виде, а также применению этих формул для исследований вопросов существования некоторых классов векторных полей, внешних дифференциальных и симметрических форм на замкнутых и компактных с краем многообразиях.

В первом параграфе излагаются необходимые понятия и факты из теории векторных расслоений и дифференциальных операторов на векторных расслоениях, а также необходимые элементы теории О - структур.

Во втором параграфе определяются фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на пространствах сечений касательного расслоения ТМ, расслоений внешних дифференциальных АРМ и симметрических 8рМр - форм (1 < р < ш ) над т - мерным многообразием М с линейной связностью V, как операторы, чьи главные символы являются проекторами на поточечно СТХ т, й ) - неприводимые подрасе-лоения тензорных расслоений Т*М ® ТМ, Т*М ® ЛРМ и Т*М 0 8РМ соответственно. При этом ковариантная производная сечения каждого такого расслоения разлагается в сумму действий фундаментальных дифференциальных операторов. Доказаны

Теорема 2.3. Пусть М - многообразие т измерений с линейной связностью V и ЛУМ —расслоение дифференциальных р-форм над М для 1 <р < т -1. Существуют два фундаментальных дифференциальных оператора первого порядка на пространстве

С°АР М сечений расслоения ЛРМ . Этими операторами будут I)/ = ■ - с! и Д2~У -

р +1

--А. Ядром первого служат замкнутые, а ядром второго - кшлинговые р-формы,

р +1

составляющие два подпространства ВР( М, К ) и КР( М, Я ) векторного пространства дифференциальных р - форм £2Р ( М, К ).

Теорема 2.4. Пусть М -многообразие т измерений с линейной связностью V и 5?М - расслоение симметрических р-форм над М. Существуют два фундаментальных дифференциальных оператора первого порядка на пространстве сечении

1 1

расслоения

зГм. Этими операторами будут 2)/ =- 3* и />2 - V--8*.

р +1 р +1

Ядром первого служат кшлинговые, а ядром второго - кодаццевы симметрические р-формы, составляющие два подпространства (/ (М,Я) и

векторного пространства симметрических р - форм ФР(М,Н).

В случае пространства сечений касательного расслоения также найдено два

фундаментальных оператора О} = —- Ы • ё* и Ох = V + — Ы • ё* и выделено два

ш ш

пространства соленоидальных и специальных конциркулярных векторных полей, составляющих ядра указанных операторов.

Вслед за К. Номидзу ( см. [ 62 ] ) на многообразии М задана эквиаффинная структура (л» V ) такая, что т]€ СЛ^М и Уг\ - 0. Инвариантным образом выделены два класса структур: Риччи - плоские и проективно - евклидовые. Определён аффинный аналог оператора Ходжа *: ЛРТМ -» Лт~рТ*М , задаваемый ш - формой т] структуры, и изучены его свойства. В частности справедлива

Лемма 2.8. Пусть на т-мерном многообразии М с эквиаффинной структурой (г], V) существует т - р для 0<р< т линейно независимых специальных конциркулярных векторных полей % (р+2)< — > % (т) • Тогда р - форма *со, дуальная ( 0, т~р)~ тен-

зорному полю Alt ( £ (p+i) (т) ), будет киллинговой.

На основании леммы 2.8 доказывается следующая

Теорема 2.9. На т-мерном многообразии М с эквипроективной структурой

(г/, V) существуют, по меньшей мере, -- линеино независимых киллинговых р-

р\{т-р)\

-форм, т. е. dim КР ( М, R) > -—- .

pl(m~p)l

В отличие от классических результатов С. Бохнера и К. Яно ( см. [ 36 }; [ 78 ] и [ 82 ]), в которых находятся классы римановых многообразий, не допускающих киллинговых дифференциальных р-форм, здесь указаны пример киллинговой р-формы и многообразия, несущего такие формы.

Сформулированные результаты важны ещё и потому, что вопросы существования и строения киллинговых р-форм постоянно привлекают интерес физиков и математиков, изучающих общую теорию относительности (см., напр., [ 15 ], стр. 340 - 342).

Отметим, что доказанные в параграфе утверждения являются новыми не только для римановой, но и для аффинной дифференциальной геометрии.

В третьем параграфе рассматривается "аффинный аналог" техники Бохнера. Так, в частности, для векторного поля заданного на компактном многообразии М и касающегося его края <5М, получена интегральная формула

JM [ Шсал) + Tr(D24>2 - (m - 1 ) Tr ( Di О21 4= /ш Q'&Ol',

связывающая тензор Риччи Ric линейной связности V, найденные ранее два фундаментальных дифференциальных оператора Dj и D2 на С°ТМ со второй фундаментальной формой Q' краяЗМ.

На основе данной формулы доказаны утверждения, аналогические известным теоремам С. Бохнера и К. Яно о специальных конциркулярных, киллинговых, гармони-

ческих векторных полях и киллинговых дифференциальных формах на компактных ри-мановых многообразиях ( см. [ 36 ]; [ 78 ] и [ 82 ] ). Примером характерного результата может служить

Теорема 3.5. Пусть M - компактное т-мерное ( m =>2 ) многообразие с экви-аффинной структурой (г), V) , âM— его граница, а со - киллинговая (m -1)-форма, заданная на M и трансверсальная âM. Если для векторного поля *й> вдоль âM справедливо неравенство Ç) > Ou всюду на M ( 1 ) Ric( £ Ç) <0, то V(0 - 0 ;

(2) Ric( Ç, t,) <0 и хотя бы в одной точке Ric( Ç, Ç) < 0, то со может быть только нулевой формой.

Псевдоримановое многообразие M с метрикой g и связностью Леви-Чивита V допускает эквиафинную структуру ( rj, V ) для т) = ^/|det(g)j dx1 л ... a dxm, поэтому на

основе уже доказанных в параграфе утверждений получены непосредственные обобщения теорем К. Яно и С. Бохнера ( см. [ 36 ] и [ 78 ] ) о киллинговых и гармонических векторных полях на случай лоренцевых многообразий. Так, например, доказывается

Теорема 3.9. Лоренцевое т-мерное многообразие M не допускает времениподоб-ного векторного поля Киллинга В,, если в M существует ориентируемое т-мерное подмногообразие M'с пространственноподобной ортогональной Ç границей âM'такое, что во всех его точках Rie ( Ç, Ç) <0 за исключением хотя бы одной точки, где Ric( £ Ç) <0.

В четвёртом параграфе определяются фундаментальные дифференциальные

операторы первого порядка на пространствах сечений расслоений ЛрМи82Мнад ( псевдо ) римановым многообразием M как операторы, чьи гланые символы являются проекторами на поточечно неприводимые относительно действий псевдоортогональной группы подрасслоения тензорных расслоений Т*М®ЛРМ и T*M®S2M. В первом случае

доказана

Теорема 4.3, Пусть М - ( псевдо ) римановое многообразие т измерений с метрикой g и связностью Леей - Чивита V. Существуют три фундаментальных дифференциальных оператора первого порядка на пространстве С00А РМ сечений расслоения А РМ внешних дифференциальных р-форм (1 < р < т -1 } над М. Этими операторами

будут Л/ = —с1, В2 ---- gUd* и Б3 = 7--— й---- g □ с(*

р +1 т-р + 1 р +1 т-р + 1

Ядром первого оператора служат замкнутые, второго - козамкнутые, третьего - кон-

формно-киллинговые р-формы, образующие три подпространства йР( М, Я ), ТР ( М, Я )

и ТР( М, Я ) векторного пространства дифференциальныхр - форм £2Р( М, Я ) .

Эта же задача, но для риманова многообразия М, решалась Ж. - П. Бургиньо-ном. Им было выделено только два оператора и сказано (см. [ 3 ], стр. 265): "Имеется ещё один фундаментальный оператор... . Помимо случая р = 1, он не имеет простой геометрической интерпретации".

В диссертации, как видно из теоремы 4.3, найден вид этого оператора и показано, что его ядром служат открытые ещё в 1969 г. конформно-киллинговые р-формы (см. [52]).

Козамкнутые конформно-киллинговые р-формы образуют известное уже пространство киллинговых р-форм Кр (М, К), а замкнутые образуют ещё не изученное в литературе пространство плоских р-форм Рр (М, К). Вместе с четырьмя другими они составят семь подмодулей Н-модуля дифференциальных р- форм на М, принадлежащих ядрам одного, двух и сразу трёх фундаментальных дифференциальных операторов на

сглрм.

В случае расслоения Э2М выделено два фундаментальных дифференциальных оператора и два соответственно пространства конформно-киллинговых и конформно -

-кодаццевых 2- форм, принадлежащих ядрам этих операторов. Установлено, что первые из них задают квадратичный первый интеграл движения изотропных геодезических. Здесь же построен пример конформно - кодаццевой 2- формы.

Подобная же задача, но для расслоения бесследовых симметрических 2- форм So М над римановым многообразием, решалась Ж. - П. Бургиньоном. Им были выделены три фундаментальных оператора и установлено, что ядро одного составляют симметрические бесследовые бездивергентные 2-формы, а далее сказано (см. [ 3}, стр. 277 ): "ядра двух { других - авт.) фундаментальных операторов не имеют простой геометрической интерпретации".

Как это показано в диссертации, и даже для случая псевдориманова многообразия, ядрами этих операторов будут конформно-киллинговые и конформно-кодаццевые симметрические бесследовые 2-формы, первые из которых хорошо известны в общей теории относительности ( см. [ 15 ], стр. 339 - 340 ), а определение вторых дано как обобщение известных в литературе кодаццевых 2-форм (см. [ 22 ], стр. 169; [ 2 ], стр 590 -598).

В пятом параграфе подробно изучена локальная геометрия пространств

дифференциальных форм, составляющих ядра выделенных в предыдущем параграфе фундаментальных дифференциальных операторов. В частности, доказана

Теорема 5.1, На т - мерном ( псевдо ) римановом многообразии MR- модули плоских р - форм Рр ( М, R ) и киллинговых ( т - р ) - форм Кт~р ( М, R ) являются *- изоморфными.

Из этой теоремы выводится следствие, которое является аналогом известного факта * - изоморфизма R-модулей Нр (М, R) и Hm"p( М, R) гармонических форм.

Следствие 5.7. На т - мерном римановом многообразии М постоянной ненулевой секционной кривизны R-модули Тр( М, R ) и Tm'p( M,R) являются *- изоморфными.

Также доказана следующая

Теорема 5.10. Пусть со и оУ суть плоская и кшлинговая р - формы на т- мерном локально плоском ( псевдо ) римановом многообразии М. Тогда существует окрестность II каждой точки х е М, где компоненты форм имеют следующий вид :

для декартовой системы координат

X ) .«. , ОС в и и постоянных компонент А '>,

В'I { I , А ¡2 и В ¡] кососимметрических тензоров на и.

На основании теоремы 5.10 построены примеры плоской и киллинговой р-форм на гиперсфере евклидова пространства Ет.

Эти и другие установленные в параграфе факты существенно дополняют локальные результаты К. Яно и С. Бохнера ( см. [ 36 ] и [ 82 ] ), Т. Кашивады ( см. [ 52 ]), Ш. Ташибаны (см. [ 70 ] и [ 71 ]) и др. ( см., напр., [ 2 ], стр. 590 - 598 и 612 - 614; [ 15 ], стр. 339 - 340) о геометрии внешних дифференциальных и симметрических форм.

В шестом параграфе как обобщение классической формулы Вейценбёка

|м { ^(«О + У'о со V,, ©|0 ,2 .^-Уко"1-1' } "л = 0,

полученной К. Яно ещё в 1952 году (см. об этом [ 36 ], стр. 58) для внешней р - формы ю на замкнутом римановом многообразии М и используемой без изменений до настоящего времени (см., напр, [ 39 ]), выведена интегральная формула

|м {и,ий) + 2,(©) - №р(ф)~ р(р+1)10ю>|* - (т — р)) Е>2 со)2 +

+ ¡ОзюР } ц = Г <?,(©) г)'

■'ЗМ

для внешней р-формы со на компактном римановом многообразии М, касающейся его края дМ. Здесь £р (о) - Щ (со ) + ^ ( со ) - %гр (со) - неприводимое относительно действия ортогональной группы разложение квадратичной формы ¿Г р : Ар М ® Ар М -> К,

коэффициенты которой известным образом выражаются через компоненты тензоров кривизны и Риччи; Оь Оа и Оз фундаментальные дифференциальные операторы на СЖЛр М и <Ц р\ ЛР5М 0 ЛрдМ -> К - квадратичная форма с коэффициентами из компонент второй фундаментальной формы С>' края д М многообразия М.

Здесь же выведена интегральная формула Вейценбёка

для симметрической р - формы <р на компактном римановом многообразии М с краем <ЗМ как обобщение полученных в разное время (см. об этом [ 2 ], стр. 591 - 592) интегральных формул для симметрических 2- форм на замкнутых многообразиях.

В седьмом параграфе на основе выведенных в предыдущем параграфе интегральных формул доказываются утверждения, обобщающие известные до этого теоремы С. Бохнера и К, Яно, Т. Кашивады, Г. Битиса, М. Берже, А. Грэя и других о внешних дифференциальных и симметрических р-формах на замкнутом римановом многообразии ( см. [ 2 J, стр. 591 - 592, 613; [ 36 ]; [ 40 ]; [ 52 j; [ 74 ] и [ 78 ]). В качестве примера характерных результатов этого параграфа приведём следующие два утверждения.

Теорема 7.10. Пусть т - мерное компактное ориентированное римановое многообразие М с краем сМ несёт симметрическую киллинговую 2- форму (р, касающуюся его края дМ. Если многообразие М имеет

( 1) неположительную секционную кривизну и выпуклый край, то либо локально М является многообразием риманова произведения, либо ¡р- Л g для Л = const; ( 2 ) квазиотрицательную секционную кривизну и выпуклый край, то (р = X g для Л ~ - const;

( 3 ) неположительную секционную кривизну и почти строго выпуклый край, то <р = 0.

Следствие 7.13. Пусть т - мерное компактное ориентированное риманово многообразие М с краем ¿М несёт касающуюся дМ внешнюю конформно-кшлинговую ( киллин-

говую или плоскую ) р - форму со для 1 < р < т — 1. Если многообразие М имеет ( 1) неположительную секционную кривизну и выпуклый край, то ¡со/ = const и либо локально М является многообразием риманова произведения, либо со удовлетворяет равенствам ( 7.12 );

( 2 ) квазиотрицательную секционную кривизну и выпуклый край, то & удовлетворяет равенствам ( 7.12 ) ;

( 3 ) неположительную секционную кривизну и почти строго выпуклый край, то со = 0.

Уточним, что в формулировке следствия 7.13 равенство (7.12) имеет следующий вид: coij2 jpCo-2'"Jp — ^-jcoJ2gjj для jcoj2 = const.

Заметим также, что все известные до этого времени результаты ( см. [ 36 ]; [ 40 ]; [ 74 ] и [ 78 ]) выражают условие препятствия существованию киллинговых р-форм на замкнутом и компактном с краем римановых многообразиях в виде требования отрицательной определённости квадратичной формы £р(ф), геометрический смысл которой ещё не до конца ясен (см. об этом [ 74 ], стр. 985 - 987 ).

Конформно-киллинговые формы в работе [ 85 ] рассматривались на замкнутых кэлеровых многообразиях. Было доказано, что на 2га-мерном (ш > 5 ) замкнутом кэле-ровом многообразии любая конформно-кштлинговая р-форма (m > р > 3 ) параллельна. Поэтому с точки зрения приложений будет интересным и такое

Следствие 7.14. Пусть 2т~мерное замкнутое риманово многообразие М несёт конформно-киллинговую ( соответственно киллинговую или плоскую ) 2-форму со максимального ранга. Если выполняется одно из следующих двух условий: (1) всюду на М секционная кривизна 9С< 0;

( 2 ) всюду на М секционная кривизна Я'<0 и локально М не является многообразием риманова произведения,

то М будет почти эрмитовым (соответственно приближённо кэлеровым или кэлеровым)

многообразием с фундаментальной 2-формой ( л/2ш /а> !)~х со.

Глава II "Техника Бохнера в теории 0( Н ) х 0( V ) - структур на компактных многообразиях" призвана проиллюстрировать возможности новых методов в "технике Бохнера", разработанных в первой главе диссертации, для изучения одного хорошо известного (см., напр., [11], стр. 22 ) класса G - структур.

В первом параграфе дано определение структуры почти произведения как G = GL( Н ) х GL( V ) - структуры на многообразии М, такой, что ТМ = =

Гх = V для любой точки х многообразия М. Найдено условие её интегрируемости и по-строейа GL( Н ) х GL( V ) - связность без кручения, которая согласно общей теории (см. [11], стр. 9 ) должна существовать для интегрируемых G - структур. Кроме того, получено поточечно неприводимое относительно действия группы GL( Н ) х GL( V ) разложение ковариантной производной фундаментального тензора Р структуры почти произведения на многообразии М с линейной связностьюV. Далее проведена частичная классификация GL( Н ) х GL( V ) - структур, когда классы структур выделяются за счет обращения в нуль различных неприводимых компонент разложения. Эта классификация включает в себя классификацию "композиций" А. П. Нордена ( см. [ 21 ], стр. 128 -129 ), в основу которой было положено понятие параллельного перенесения распределений fi и V структуры. Приведены тензорные и геометрические характеристики структур каждого класса.

Во втором параграфе продолжено изучение структуры почти произведения, но уже как G = 0( Н ) х 0( V ) - структуры на ( псевдо ) римановом многообразии М с метрикой g и связностью Леви - ЧивитаУ. Было получено поточечно неприводимое относительно действия группы 0( Н) х х 0( V ) разложение ковариантной производной фундаментальной формы О = g (Р •, •) структуры и доказана

Теорема 2.2. Ковариантная производная VО фундаментальной формы 0(Н ) х х 0(У ) - структуры на т- мерном ( псевдо ) римановом многообразии М разлагается в поточечно неприводимую относительно действий группы 0(Н ) х О(V ) сумму из шести компонент, представляющих следовые и бесследовые части вторых фундаментальных форм и тензоры интегрируемости распределений структуры.

Далее проведена частичная классификация 0( Н) х 0( V) - структур на псевдо-римановом многообразии, когда классы структур выделяются за счет обращения в нуль различных неприводимых компонент разложения.

Данная классификация содержит то же число классов, что и известная классификация 0( п, И ) х 0( ш - п, И ) - структур на римановом многообразии А. Навейры (см. [ 60 ]), но отличается от последней своей геометричностью.

В параграфе даны тензорные характеристики структур каждого класса, а для некоторых найдено стороение метрик, что дополнило в геометрической части исследования О. Гиль-Медрано, А. Монтесиноса и др. (см. [ 48 ]; [ 56 ] и [ 65 ]) по геометрии ри-мановых структур почти произведения. Подробно рассмотрены 0( Н ) х 0( V) - структуры, определяющие почти полуприводимое (см. [ 14 ] ), скрученное и дважды скрученное (псевдо) римановы многообразия ( см. статью автора [ 87 ] и последующую за ней статью [ 64 ]). В частности, доказана

Теорема 2.8. Для того, чтобы заданная на ( псевдо ) римановом многообразии М О(Н) х О(У) - структура была интегрируемой омбилической, необходимо и достаточно, чтобы на многообразии М существовали две независимые, не имеющие нулей, 1- формы ц> и у/ ( (р л у/ # 0) такие, что

(уп) (х,1Л) - ф(У)а(Х,г) + <р(г)п(х,у) + + р(¥)§(х,г) + у(г)в(х, ¥)

для фундаментальной формы О структуры и произвольных X, У, 2, е С° ТЫ.

Если учесть, что описываемая в теореме структура задаёт на многообразии два ортогональных дополнительных вполне омбилических слоения, то из этой теоремы в качестве следствия выводится тензорый признак почти полуприводимых римановых многообразий Г.И. Кручковича ( см. [ 14 ]).

Заметим здесь же, что используемое в общей теории относительности понятие искривлённого или скрещенного произведения псевдоримановых многообразий ( см. [ 2 ], стр. 363 - 373 и [ 4 ], стр. 59 - 79) возникло из практических соображений и не предполагало наличие развиваемой в этом параграфе теории 0( Н ) х 0( V) - структур на псев-доримановом многообразии.

В третьем параграфе на основе полученных результатов выведен ряд формул Вейценбёка для изучения различных классов римановых структур почти произведения. Так, в частности, справедлива следующая

Теорема 3.1. Для 0( Н) хО( V) - структуры, глобально заданной на компактном ориентированном римановом многообразии М с краем сМ, справедлива интегральная формула

s ( М) - К(М) + 2 L (| Рг , VQJ2 + | Pr , VQ, |2 )ц -v } х } JM V1 1 ! S\<У®Н 1 ; 1

- 2 L ( J Рг , Л VQI2 + I Pr . 12 ) rj -

-2(n-l)L |Pr . VQ12 r| + 2(m-n-l)L |Pr VQ12 ц =

v /JM 1 C"Mgh JM 1 С Mgv

= J W

связываюгцая скалярные кривизны s и tf многообразия и нормы 0( Н ) хО( V) - неприводимых компонент ковариантной производной VQ фундаментальной формы структуры со скалярным произведением вектора Йордена структуры и единичного вектора нормали

края сМ.

Для сИт Я = т - 1 данная интегральная формула принимает следующий вид:

VQ¡ 2

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Степанов, Сергей Евгеньевич, 1997 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аминова A.B. Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими. - УМН, 1993, Т. 48, Вып. 2,107 - 164.

2. Бессе А. Многообразия Эйнштейна, Т. 1 и Т. 2 : Пер. с англ. - М.: Мир, 1990.

3. Бессе А. Четырёхмерная рымановая геометрия: Пер с англ. - М.: Мир, 1985.

4. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия: Пер. с англ. - М.: Мир, 1985.

5. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления: Пер. с англ. -М.: ИЛ, 1947.

6. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны: Пер. с англ. - М.: Наука, 1982.

7. Громол Д. и др. Романова геометрия в целом: Пер. с нем. - М.: Мир, 1971.

8. Давидов Й., Сергеев А.Г. Твисторные пространства и гармонические отображения. - Успехи матем. наук, 1993, Т. 48, № 3, 3 - 96.

9. Дозморов И.М. Гравитационные системы отсчёта. - Теория относительности и гравитация. - М.: Наука, 1976, 73 - 100.

10. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения: Пер. с нем. -М.: Мир, 1975.

11. Кобаяси Ш. Группы преобразований в диффернциальной геометрии: Пер. с англ. - М.: Наука, 1986.

12. Кобаяси LLL, Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, Т. 1: Пер. с англ. - М.: Наука, 1981.

13. Кобаяси LLL, Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, Т. 2: Пер. с англ. - М.: Наука, 1981.

14. Кручкович Г.И. Признаки полуприводимых римановых пространств. - Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1966, Вып. XIII, 399 - 406.

15. Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна: Пер. с англ. - М.: Энергоиздат, 1982.

16. МантуровО.В. Элементы тензорного исчисления. - М/. Просвещение, 1991.

17. Мизнер Ч. и др. Гравитация, Т. h Пер. с англ. - М.: Мир, 1977.

18. Мизнер Ч. и др. Гравитация, Т. 2: Пер. с англ. - М.: Мир, 1977.

19. Морен К. Методы гильбертова пространства: Пер. с англ. - М.: Мир, 1965.

20. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях: Пер. с англ. - М.:Мир, 1971.

21. Норден А.П. Теория композиций. - Проблемы геометрии, 1978, Т. 10, 117 -145.

22. Норден А.П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, 1976.

23. Пале Р. Семинар по теореме Атъи - Зингера об индексе : Пер. с англ. - М.: Мир, 1970.

24. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. - М.: ФМ, 1961.

25. ПенроузР. Структура пространства-времени: Пер. с англ. - М.: Мир, 1972.

26. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. - М.: Наука, 1979.

27. Синюкова E.H. О геодезических отображениях некоторых специальных римановых пространств. - Математические заметки, 1981, Т. 30, № 6, 889 - 894.

28. Солодовников A.C., Камышанский Н.Р. Полуприводимые аналитические пространства "в целом". - УМН, 1980, Т. 35, Вып. 5,3 - 51.

29. Цыганок И.И. Аффинная геометрия векторных полей. - Автореферат на соискание уч. степени к. ф.-м. н. - М: МГПИ, 1990. - 13 с.

30. Шапиро Я.Л. Об одном классе римановых пространств. - Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1963, Вып. XII, 203 - 212.

31. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях, Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, 1967, ВИНИТИ АН СССР. - М.: 1967,

127 - 188.

32. Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров второго порядка в Riemann'-овых пространствах. - Изв. Физ. - матем. о-ва, Казань, 1925, Т. 25, 86 - 114.

33. Широков П.А. О конкурентных направлениях вримановых пространствах. - Изв. Казанского физ. - мат. о- ва, сер. 3, 1939, Т. 7, 77 - 87.

34. Шоке - Брюа И. Математические вопросы общей теории относительности. - Успехи матем. наук, 1985, Т. 40, № 6, 3 - 39.

35. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия.: Пер. с англ. - М.: ИЛ, 1948.

36. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти.: Пер. с англ. - М.: ИЛ, 1957.

37. Berard P. A note on Bochner type theorems for complete manifolds. - Manuscr. math., 1990, Vol. 69, № 3, 261 - 266.

38. Bishop R.L., O'Neill B. Manifolds of negative curvature. - Trans. Amer. Math. Soc., 1969, Vol. 145, 1 -49.

39. Bitis G. Harmonic forms and killing tensor fields. - Tensor, 1994, Vol. 55, № 3, 215 - 222.

40. Berard Pierre H. From vanishing theorems to estimating theorem: the Bochner technique revisited - Bull. Amer. Math. Soc. 1988, Vol. 19, № 2, 371 - 406.

41. Blau M. Symmetries and pseudo- Riemannian manifols. - Reports on Mathematical Physics, 1988, Vol. 25, № 1, 109 -116.

42. Brito F., Walczak P.G. Totally geodesic foliations with integrable normal bundles!. -Bol. Soc. Bras. Mat., 1986, Vol. 17, № 1,41 - 46.

43. Coulton P. An intvariant formula for orthogonal distributions. - Ann. Global Anal. Geom., 1988, Vol. 6, №1,47 -54.

44. Fontenele F. Submanifolds with parallel mean curvature vector in pinched Riemannian manifold. - Pacif. J. Math., 1997, Vol. 177, № 1,47-70.

45. Gray A. Pseudo - Riemannian almost product manifolds and submersions. - Journal of Mathematics and Mechanics, 1967, Vol. 16, № 7, 715 - 737.

46. Galloway Gr. J. Some global aspects of compact space-times. - Archiv der Mathematik, 1984, Vol. 42, №2, 168- 172.

47. GuofangWei and others. Negative Ricci curvature and isometry group. - Duke Math. J., 1994, Vol. 76, № 1,59-73.

48. Gil - Medrano O. Geometric properties of some classes of Riemannian almost - product manifolds. - Redieonty del Circolo Matematico di Palermo, serie II, 1983, Vol. 32, 315-329.

49. Hass J. Bounded 3 - manifolds admit negatively curved metric with concave boundary. -- J. Differential Geometry, 1994, Vol. 40, № 3,449 - 459.

50. Hangan T., Lutz R. Champ d'hyperplans totalement geodesiques sur les spheres. - Astérisque, 1983, № 107 - 108, 189 - 200.

51. Har' El Zvi. Projective mappings and distortion theorems. - J. Differential Geometry, 1980, Vol. 15,97- 106.

52. Kashiwada T. On conformai Killing tensor. - Natural Science Report, Ochanomizu University, 1968, Vol. 19, № 2,67 - 74.

53. Lichnerowicz A. Operateurs différentiels invariants sur un espace homogene. - Annales

Scientifiques de l'É cole Normale Supérieure ( 3 ), 1964, Vol. 81, 341 - 385.

54. LohkampJ. Negatively Ricci curved manifolds. - Bull. Amer. Math. Soc., 1992, Vol. 27, №2, 288 - 291.

55. Matthias W. Die Bochner-methode und Sius starrheitssatz. - Bonn. Math. Schr., 1989, № 198, 1-58.

56. Montesinos A. On certain classes of almost product structures. - Michigan mathematical journal, 1983, Vol. 30, № 1, 31 - 36.

57. Meyer D. Sur les variétés riemanniennes a operateur de coubure positif - C. R. Acad. Sci. Paris, Serie A, 1971, Vol. 272,482 - 485.

V

58. Mike s J. Global geodesic mappings and their generalizations for compact Riemannian

space. - Conf. on Diff. Geom. and its Appl. (Opava, August 24 - 28, 1992): Abstracts. -Opava, 1992, 143 - 149.

59. Muzinich I.J. Differential geometry in the large and compactification of higher- dimensional gravity. - J. Math. Phys., 1986, Vol. 27, № 5, 1393 - 1397.

60. Naveira A.M. A classification on Riemannian almost product manifolds. - Rendicon-

ti di matematica e delle sue applicazkmi, 1983, Vol. 3, № 3, 577 - 592.

61. Naveira A.M., Rocamora A.H. A geometrical obstruction to existence two totally umbilical complementary foliations. - Notes Math., 1985, № 1139, 263 - 279.

62. Nomizu K. On completeness in affine differential geometry. - Geometriae dedicata, 1986, Vol. 20,43 - 49.

63. Nore T. Second fundamental form of a map. - Ann. mat. pure ed appl., 1987, № 146, 281-310.

64. Ponge R., Reckziegel H. Twisted products in pseudo - Riemannian geometry. - Geom. dedic., 1993, Vol. 48, № 1, 15 - 25.

65. ReinhartB.L. Differential geometry of foliations. - Berlin - New York: Springer Verlag, 1983.

66. Rocamora A.H. Some geometric consequences of Weitzenbock formula on Riemannian almost - product manifolds; weak - harmonic distributions. - Illinois Jornal of Math., 1988, Vol. 32, 655-671.

67. Ranjan A. Structural equations and an integral formula for foliated manifolds. - Geom. dedic., 1986, Vol. 20, № 1, 85 - 91.

68. Shiffman B., Sommese A. - J. Vanishing theorems in complex manifolds, Progress in Math., Vol. 56 - Boston: Birkh#user, 1985.

69. Sanchez M., Romero A. An integral inequality on compact Lorentz manifolds, and its applications - Bull. London Math. Soc., 1996, Vol. 28, № 5, 509 - 513.

70. Tashibana Sh. On conformal Killing tensor in a Riemannian space. - Tohoku Math.

Journ., 1969, Vol. 21, 56-64.

71. TashibanaSh. On Killing tensor in a Riemannian space. - Tohoku Math. Journ., 1968, Vol. 20, 257 - 264.

72. Tanno Sh. Patially conformal transformation with respect to ( m- I )-dimensional distributions of m-dimensional Riemannian manifolds. - Tohoku Math. J., 1965, Vol. 17, № 4, 358 - 409.

73. Tanno Sh. A theorem on totally geodesic foliations and its applications. Tensor, 1972, Vol. 24, 116- 122.

74. WuH. The Bochner technique. - Proc. Beijing Symp. Differ. Geom. and Differ. Equat. (Aug. 18 - Sept. 21, 1980). - New York: Science - Press & Gordon - Breach, 1982, 929- 1071.

75. Walczak P.G. On quasi-Riemannian foliations. - Ann. Global Annal. Geom., 1991, Vol 9, №1,83-95.

76. Walczak P.G. An integral formula for a Riemannian manifold with two ortogonal complementary distributions. - Colloqium mathematicum, 1990, Vol. 58, Fasc. 2, 244 - 252.

77. Yau S.T., Zhiyong Gao L. The existence of negatively Ricci curved metric on three manifolds. - Invent, math., 1986, Vol. 85, 637 - 652.

78. Yano K. Integral formulas in Riemannian geometry. - New York: Marcel Dekker, 1970.

79. Yano K., Ishihara Sh. Harmonic and relatively affine mappings. - J. Differential Geometry, 1975, Vol. 10,501 - 509.

80. Yano K. Affine connexions in an almost product space. - Kodai Math, Sem. Reports, 1959, Vol. 11, № 1, 1 -24.

81. YanoK. Concircular geometry I - IV. - Proc. Imp. Acad. Tokyo, 1940, Vol. 16, 195 - 200, 354 - 360,442 - 448, 505 - 511.

82. Yano K. Differential geometry on complex and almost complex spaces. - Oxford: Pergamon Press, 1965.

83. Yano К. On torse - forming directions in Riemannian spases. - Proc. Imp. Acad. Tokyo, Vol. 20, 1944, 701 - 705.

84. Yoon Y.D., Chi D.P. On an affine connection which admits a volume-like form. - Can.

Math. Bull., 1990, Vol. 33, № 4, 482 - 487.

85. Yamaguchi S., Jun Jae-Bok, Ayabe S. On the conformai Killingp-form in compact Kaeh-lerian manifolds. - Tensor, 1985, Vol. 42, № 3, 258 - 271.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

86. Степанов С.Е. Сферическое распределение в евклидовом пространстве. - Известия вузов. Математика, 1986, № 9, 76 - 78.

87. Степанов С.Е. Скалярная кривизна римановой структуры почти произведения. - IX Всесоюзная геометрическая конференция ( Кишинёв, 20 - 22 сентября 1988 года ): Тезисы докладов. - Кишенёв: Штиинца, 1988, С. 299.

88. Степанов С.Е. Об одном классеримановых структур почти произведения. - Известия вузов. Математика, 1989, № 7,40 - 46.

89. Степанов С.Е. Техника Бохнера в теории римановых структур почти произведения. - Матем. заметки, 1990, Т. 48, № 2,93 - 98.

90. Степанов С.Е. Компактное риманово многообразие почти произведения. - Проблемы теоретической и прикладной математики ( Тарту, 21-22 сентября 1990 года ): Тезисы докладов. - Тарту: Тартусский университет, 1990,72 -74.

91. Степанов С.Е. Кривизна и распределение. ~ III Всесоюзная школа "Понтрягинские чтения: Оптимальное управление, геометрия и анализ" ( Кемерово, 24 сентября -

- 3 октября 1990 года ): Тезисы докладов. - Кемерово: Кемеровский гос. ун - т, 1990, С. 73.

92. Степанов С.Е. Геометрическое препятствие к существованию вполне омбилическо-

го распределения на компактном многообразии. - Ткани и квазигруппы. - Калинин: Калининский гос. ун - т, 1990, 135 - 137.

93. Степанов С.Б. Минимальное гиперраспределение на компактном многообразии. -

- Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1991, № 22, 101 - 104.

94. Степанов С.Е. Римановы структуры почти произведения и отображения постоянного ранга. - Геометрия и анализ. - Кемерово: Кемеровский гос. ун - т, 1991, 39 - 41.

95. Степанов С.Е. Симметрические тензоры на компактном римановом многообразии. -

- Международная конференция "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 18 - 22 августа 1992 года): Тезисы докладов. - Казань: Казанский гос. ун-т, 1992, 94 - 95.

96. StepanovS.E. The seven classes of almost symplectic strutures. - Webs & Quasigroups.

- Tver': Tver' State University, 1992, 93 - 96.

97. Степанов С.Е. Симметрические тензоры с постоянным следом. - Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1992, № 23,94 - 96.

98. Степанов С.Е. Бежевы субмерсии. - Известия вузов. Математика, 1992, № 5, 93 --95.

99. Степанов С.Е. Симметрические тензоры на компактном римановом многообразии.

- Матем. заметки, 1992, Т. 52, № 4, 85 - 88.

100. Степанов С.Е. Техника Бохнера и космологические модели. - Известия вузов. Физика, 1993, №6, 82-86.

101. Степанов С.Е. О проективных субмерсиях и иммерсиях в целом. - Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1993, № 24, 97 - 101.

102. Степанов С.Е. Вторая фундаментальная форма субмерсии. - V Всероссийская школа "Понтрягинские чтения: Оптимальное управление, геометрия и анализ"

(Воронеж, 25 - 29 апреля 1994 года): Тезисы докладов. - Воронеж: Воронежский гос. ун - т, 1994, С. 132.

103. Степанов С.Б. Об одном классе замкнутых форм на римановом многообразии. -

- Всеросийская школа - коллоквиум по стохастическим методам геометрии и анализа ( Абрау - Дюрсо, 25 сентября - 2 октября 1994 года ) : Тезисы докладов. - М. : ТВП, 1996, 110- 111.

104. Степанов С.Е. Интегральная формула для компактного многообразия сримановой структурой почти произведения. - Известия вузов. Математика, 1994, № 7,69 - 73.

105. Степанов С.Е. О замкнутых пространственноподобных гиперповерхностях. -

- Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1994, № 25,91 - 96.

106. Степанов С.Е. К теории отбражений римановых многообразий в целом. - Известия вузов. Математика, 1994, № 10, 81 - 88.

107. Степанов С.Е. Гармонические отображения. - VI Всероссийская школа "Понт-рягинские чтения: Оптимальное управление, геометрия и анализ" ( Воронеж, 20 - 26 апреля 1995 года ): Тезисы докладов. - Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 1995, С. 72.

108. StepanovS.E. An integral formula for a Riemannian almost - product manifold. -Tensor, 1994, Vol 55, № 3, 209 - 214.

109. Степанов С.Е. К глобальной теории проективных отображений. - Матем. заметки, 1995, Т. 58, №1, 11-118.

110. Степанов С.Е. Плоские дифференциальные формы. - Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1995, № 26, 84 - 89,

111. Степанов С.Е. 0( п ) хО( m -п ) - структуры на m - мерных многообразиях и суб-мерсии. - Алгебра и Анализ, 1995, Т. 7, № 6,188 - 204.

112. Stepanov S.E. On the global theory of some classes of mappings. - Annals of Global Analysis and Geometry, 1995, Vol 13, № 3, 239 - 249.

113. Степанов С.Е. Об одном применении теории представлений групп в релятивистской электродинамике. - Известия вузов. Физика, 1996, № 5,90-93.

114. Степанов С.Е. Неприводимые представления ортогональной группы и геометриче-

екая теория тяготения. - В кн.: Лекционные заметки по теоретической и математической физике, Т. 1, Часть 2. - Казань: Казанский гос. ун-т, 1996,449 - 461.

115. Степанов С.Е. О применении одной теоремы П. А. Широкова в технике Бохнера. - Известия вузов. Математика, 1996, № 9, 53 - 59.

116. Stepanov S.E. A class of closed forms and special Maxwell equations. - Conference on Differential Geometry (Budapest, July27 - 30,1996): Abstracts. - Budapest, 1996, P. 113.

117. Степанов С.Е. Плоские дифференциальные 2- формы и специальные уравнения Максвелла. - Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1996, № 27,107 - 111.

118. Степанов С.Е. Формы Киллинга на компактном многообразии с краем. - Международ ный геометрический семинар имени Н.И. Лобачевского "Современная геометрия и теория физических полей"( Казань, 4-6 февраля 1997 года ): Тезисы докладов. - Казань: Казанский гос. ун-т, 1997, С. 114.

119. Степанов С.Е. О групповом подходе к изучению уравнений Энштейна и Максвелла. -Теоретическая и математическая физика, 1997, Т. 111, № 1, 32 - 43.

120. Stepanov S.E., Tsyganokl.L Vector fields in manifolds with equiaffine connection. -Webs & Quasigroups. - Tver': Tver' State University, 1993, 70 - 77.

121. Степанов С.Е., Цыганок И .И. Техника Бохнера в аффинной дифференциальной геометрии. - Алгебраические методы в геометрии. - М.: Российский ун-т дружбы народов, 1992, 50 - 55.

122. Степанов С.Е., Цыганок И.И. Векторное поле на лоренцевом многообразии. - Известия вузов. Математика, 1994, № 3, 81 - 83.

123. Степанов С.Е., Цыганок И.И. Оператор Ходжа на многообразии с эквиаффинной структурой. - Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1996, №27,

114- 117.

124. Степанов С.Е., Цыганок И.И. Единичное торсообразующее векторное поле. - Диф-

ференциальная геометрия многообразий фигур, 1995, № 26,103 - 107.

125. Степанов С.Е., Цыганок И.И. Векторное поле на лорещевом многообразии. - Лоба чевский и современная геометрия (Казань, 18-22 августа 1992 года): Тезисы докладов. - Казань: Казанский гос. ун-т, 1992, С. 108.

126. Степанов С.Е., Цыганок И.И. Оператор Ходжа в аффинной дифференциальной геометрии. - Международная геометрическая школа-семинар памяти Н.В. Ефимова

(Абрау-Дюрсо, 27 сентября - 4 октября 1996 года): Тезисы докладов. - Ростов на Дону: НПП Корал - Микро, 1996, 66 - 68.