Новые обобщения задачи Монжа-Канторовича и ее приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Зимин Александр Павлович

• Зимин Александр Павлович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Зимин Александр Павлович

1.1 Введение

1.2 Мультистохастическая задача. Основные свойства

1.3 Двойственность

1.4 Циклическая монотонность в (3,2)-задаче с функцией стоимости с(х,у,г) = хуг

1.5 Решение прямой (3,2)-задачи с с = хуг

1.6 Построение двойственного решения для (3,2)-задачи с с = хуг

1.6.1 Определение и простые свойства

1.6.2 Непрерывность

1.6.3 Решение двойственной задачи

1.6.4 Некоторые интересные тождества

1.6.5 Случай равенства

1.7 Интегральное представление ¡с (а,Ь)

1.8 Заключительные замечания

2 Теория мультистохастической задачи

2.1 Мультистохастическая транспортная задача

2.1.1 Пример: фрактальная структура

2.1.2 Двойственность и задача Канторовича с линейными ограничениями

2.1.3 Структура решений двойственной задачи

2.1.4 Связь с другими задачами

2.2 Связь с задачей с ограничением плотности

2.2.1 Пример задачи с дискретным пространством

2.3 Существование объединяющей меры для (п,к)-задачи

2.3.1 Постановка задачи, основные факты

2.3.2 Существование заряда

2.3.3 Двойственное к условию существования объединяющей меры

2.3.4 Достаточное условие существования неотрицательной меры

2.3.5 Оценки для (3,2)-случая

2.4 Связь с задачей Монжа-Канторовича с дополнительными ограничениями

2.4.1 Задача Монжа-Канторовича с дополнительными ограничениями: определения и основные теоремы

2.4.2 Построение эквивалентной задачи с дополнительными ограничениями по мультистохастической задаче

2.5 Достаточные условия существования двойственного решения

2.5.1 Подготовительные определения

2.5.2 Основной результат

2.5.3 Отсутствие решения двойственной задачи в неразложимом случае

2.6 Свойства двойственного решения в (3,2)-задаче

2.6.1 Ограниченность двойственного решения

3 Пример решения мультимаргинальной транспортной задачи

3.1 Введение

3.1.1 Обозначения

3.1.2 Мотивация

3.1.3 Основные результаты

3.1.4 Связанные задачи

3.2 Эвристическое описание множества М

3.3 Решение прямой задачи

3.3.1 Необходимые условия существования меры на треугольнике с заданными проекциями

3.3.2 Описание проекций классов мер на треугольнике

3.3.3 Комбинирование мер

3.4 Конструкция двойственного решения

3.4.1 Альтернативное описание множества М

3.4.2 Построение двойственного решения

3.4.3 Построение для функции стоимости с(х,у,г) = хуг

3.5 Единственность двойственного решения

3.6 Априорные оценки размерности носителя оптимального плана

3.7 Экстремальные точки

4 Экономические приложения мультимаргинальной задачи

4.1 Введение

4.1.1 Связанная литература

4.2 Модель

4.2.1 Среда

4.2.2 Задача распределения

4.3 Эвристическое объяснение основного результата

4.4 Основные результаты

4.4.1 Смешанное и контрмонотонное распределение

4.4.2 Задача планирования

4.4.3 Двойственная задача

4.5 Количественный анализ

4.5.1 Данные

4.5.2 Модель

4.5.3 Контрфактический анализ

Заключение

Список литературы

Введение

Диссертация посвящена новым формам транспортной задачи Монжа-Канторовича. Гигантский всплеск интереса к оптимальному транспорту произошел после работ Я. Бренье [17], мотивированных задачами гидродинамики, в которых была было замечено, что решение транспортной задачи Монжа-Канторовича с квадратичной функцией стоимости и заданной парой мер ) порождает отображение Т специального вида (называемое оптимальным транспортом), при котором и является образом ^ относительно Т. Отображение Т существует при широких предположениях и имеет вид Т = УФ, где Ф — выпуклая функция.

Очень быстро теория оптимального транспорта нашла многочисленные связи и приложения в анализе, геометрии, вероятности, уравнениях в частных производных, вариационном исчислении. Несколько позже в этот список вошли случайные процессы, статистика, численные методы, математические методы в экономике. Детальное изложение см в книгах [97], [96], [5], [39], [91],[104] и обзорных статьях [15], [103]. Оптимальный транспорт также активно используется в машинном обучении и других компьютерных приложениях [30].

Одним из важных направлений транспортной теории является обобщение классической транспортной задачи и ее новые варианты. Среди ставших популярными приложений отметим, прежде всего, следующие:

• мультимаргинальная задача, в которой рассматривается несколько (п > 2) мер [85]

• теория барицентров мер [1], тесно связанная с транспортной задачей для многих маргиналов и используемая в машинном обучении

• теория мартингального транспорта, используемого в финансовой математике [56]

• слабый транспорт (вероятностные и экономические приложения) [6]

• транспорт с линейными ограничениями [101] и ограничениями на плотность

[78]

• многие другие обобщения: нелинейный транспорт [102], [16], транспорт вектор-нозначных мер [100] и т.д.

Настоящая работа посвящена двум вариантам транспортной задачи. Первая это мультистохастическая или (п,к)-задача, в которой решение ищется среди мер на произведении п пространств и фиксируются его всевозможные проекции на любые к сомножителей (мультимаргинальная задачи отвечает случаю к =1). Эта задача является естественным обобщением мультимаргинальной транспортной задачи и она

может быть востребована в ситуациях, когда доступна информация о совместных распределениях маргиналов.

(п,к)-задаче посвящена глава 1, в которой изучается модельный пример (п = 3,к = 2), имеющий неожиданные связи с фракталами и побитовым сложением.

Глава 2 посвящена общим вопросам теории (п,к)-задач. Это вопросы равенства прямой и двойственной задачи, существования двойственного решения, оценки для двойственного решения и т.д. Отметим, что эти вопросы оказались гораздо сложнее, чем их аналоги в классической (и даже мультимаргинальной) задаче, в силу того, что маргиналы и функции из двойственного решения более не являются независимыми.

Вторая задача, изучаемая в диссертации - это транспортная задача с тремя маргиналами и функцией стоимости с = хух. Глава 3 посвящена конкретному примеру решения для мультимаргинальной задачи. Этот пример появился в результате осмысления примера главы 1 (хотя непосредственной связи между ними не видно). Он интересен как пример явного решения со свойством контрмонотонности, известного в статистике, а также как пример решения мультимаргинальной задачи с интересными и нетривиальными свойствами. К числу таких свойств относится тот факт, что решение сосредоточено на множествах разной размерности, при этом точное описание этого носителя оказывается возможным. Глава 4 посвящена экономической интерпретации этого примера в моделях, связанных с занятостью и зарплатами на рынке труда.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые обобщения задачи Монжа-Канторовича и ее приложения»

Актуальность, цель и задачи исследования Актуальность темы

Теория оптимального транспорта за последние три десятилетия превратилась в один из центральных инструментов анализа, геометрии, вероятностных и экономических моделей. Её обобщения - мультимаргинальная, слабая, мартингальная, линейно-ограниченная транспортные задачи - уже нашли применение в машинном обучении, финансовой математике и экономике труда. Однако мультистохастическая (п,к)-задача Монжа-Канторовича, в которой фиксируются все ^-мерные проекции (1 < к < п), до настоящего времени оставалась практически неизученной. Заполнению этой лакуны посвящена данная диссертация.

Кроме того, работа решает мультимаргинальную задачу с функцией стоимости с(х,у,г) = хуг - простейшую модель, которая, тем не менее, порождает нетривиальные фрактальные оптимальные планы и имеет прямое приложение к моделям производства в экономике труда.

Таким образом, исследования одновременно развивают фундаментальную математику и откликаются на запросы прикладных дисциплин.

Цель исследования

Разработать новые теоретические и модельные основы для мультистохастических и мультимаргинальных вариантов задачи Монжа-Канторовича и показать их практическую полезность на примере экономических моделей распределения труда.

Задачи исследования

1. Построить и проанализировать явный пример оптимального плана для (3,2)-задачи с функцией стоимости хух и мерами Лебега; показать его фрактальную структуру (тетраэдр Серпинского).

2. Дать полное описание двойственных потенциалов указанной (3,2)-задачи и оценить их регулярность.

3. Сформулировать и доказать общие результаты существования и сильной двойственности для общей (п,к)-задачи.

4. Построить явное решение мультимаргинальной задачи с функцией стоимости хух и показать его устойчивость для широкого класса стоимостей С(хуг).

5. Применить найденные решения к модели распределения разнотипных работников между неоднородными фирмами; количественно проанализировать динамику дисперсии заработков в США (1981-2013).

6. Разработать и протестировать прототип численного алгоритма для мультимар-гинальной задачи хух (случай п = 3).

7. Обобщить результаты Заева о транспорте с линейными ограничениями на случай мультистохастических ограничений и установить связь с факторным анализом данных.

Научная новизна

• Впервые получен явный оптимальный план (3,2)-задачи, сосредоточенный на фрактальном множестве - тетраэдре Серпинского.

• Доказана сильная двойственность для общей мультистохастической (п,к)-задачи.

• Построено явное двойственное решение в терминах интегралов от побитового сложения.

• Найден оптимальный план для мультимаргинальной задачи хух с смешанным (1- и 2-мерным) носителем и доказана его устойчивость к замене стоимости на С (хуг).

• Выявлена применимость результатов к экономическим моделям субмодулярной технологии и объяснена динамика заработков.

• Доказана ограниченность двойственных потенциалов для (3,2)-задачи.

Теоретическая значимость

Полученные результаты расширяют классическую транспортную теорию, вводя мультистохастическую постановку. Методы геометрической теории меры, функционального и дискретного анализа позволяют конструировать оптимальные планы с нетривиальной геометрией.

Практическая значимость

1. Модель хуz-стоимости даёт новую формализацию субмодулярных производственных технологий.

2. Алгоритмические идеи могут быть использованы при построении барицентров мер и генеративных моделей в ML.

3. Теоретические критерии существования и двойственности служат базой для разработки эффективных численных алгоритмов и новых метрик.

Степень разработанности темы

Классическая задача Монжа-Канторовича и её мультимаргинальное обобщение детально изучены (Бренье, Вилани, Заев и др.). Мультимаргинальные задачи активно исследуются с 2010-х годов, однако для мультистохастической постановки (п,к) систематических результатов до последнего времени не существовало; известны лишь частные наблюдения (задача (п, 1), отдельные линейные ограничения). Настоящая диссертация впервые предоставляет явный фрактальный пример оптимального плана и двойственных потенциалов для случая (3,2) и развивает общую теорию для произвольных (п,к)-задач.

Достоверность полученных результатов

Достоверность обеспечивается строгими математическими доказательствами, основанными на общепринятых методах теории меры и функционального анализа, а также согласованностью новых результатов с классическими теоремами Канторовича-Рубинштейна и Бренье. Основные положения опубликованы в четырёх рецензируемых журналах уровня Q1-Q2 и докладывались на международных конференциях и семинарах, включая Optimal Transport and Applications (Scuola Normale Superiore, Pisa, 2018), Workshop on Recent Advances in Mass Transportation (HSE, Moscow, 2019), Microeconomic Theory Workshop (Yale University, 2022) и другие, что подтверждает их признание научным сообществом.

Методы исследования

• геометрическая теория меры и Канторовичева двойственность;

• функционально-аналитические оценки двойственных потенциалов;

• комбинаторные конструкции на основе побитового сложения;

• экономико-математическое моделирование и работа с эмпирическими данными;

• численные эксперименты для проверки устойчивости решений.

Классическая задача Монжа—Канторовича

Классическая задача Монжа-Канторовича, возникшая как задача об оптимальном перемещении массы, занимает центральное место в теории оптимального транспорта.

Задача формулируется следующим образом: пусть заданы два измеримых пространства X и V, вероятностные меры ^ на X и V на V, а также функция стоимости с: X х V ^ и |+<^}. Необходимо минимизировать функционал

где инфимум берётся по множеству вероятностных мер ж Е ), имеющих мар-

гиналы ^ и v, то есть Prx ж = ^, Pry -к = и. Здесь Pr^ и Pry обозначают проекции меры -к на множества X и Y соответственно.

Эта задача впервые была поставлена Гаспаром Монжем в 1781 году в терминах транспортировки массы из одного места в другое с минимальными затратами [82]. Позже её обобщил Леонид Канторович в рамках линейного программирования, введя понятие транспортных планов, что позволило анализировать более широкий класс задач [58].

Двойственная задача

Одним из ключевых инструментов для анализа задачи Канторовича является её двойственная формулировка. Пусть Т обозначает множество пар интегрируемых функций (f,g), определённых на X и Y соответственно, которые удовлетворяют условию:

Прямая и двойственная задачи связаны через теорему о двойственности Канторовича, согласно которой их оптимальные значения совпадают:

Данная теорема не только облегчает решение задачи, но и позволяет использовать двойственную формулировку для изучения свойств решений.

Примеры функций стоимости и приложения

Одним из классических примеров функции стоимости является квадратичная функция с(х,у) = \х — у\2. Этот выбор широко используется благодаря своим аналитическим свойствам и многочисленным приложениям. В частности, он играет ключевую роль в задачах машинного обучения (например, при обучении генеративных моделей), в теории вероятностей (для анализа расстояний между распределениями) [97].

Для квадратичной функции стоимости любое стандартное решение к сосредоточено на графике отображения Т. В этом случае Т является решением соответствующей задачи Монжа, которая требует нахождения отображения, минимизирующего функционал / с(х,Т(х)) в классе отображений, сохраняющих меру (т. е. переносящих ^ в V).

Другие примеры функций стоимости включают:

f (ж) + д(у) < с(х, у) для всех х Е Х,у Е Y. Двойственная задача заключается в максимизации

• Евклидово расстояние с(х,у) = \х — у\, которое часто используется в приложениях к обработке изображений и анализу данных.

• Дискретные функции стоимости, задаваемые матрицами затрат, например, в задачах логистики и распределения ресурсов.

• Барицентрическая функция стоимости с(х1,... ,хп) = \\xi — х\\2, где х — барицентр (центр масс) множества точек {ж^}.

Мультистохастическая задача Монжа—Канторовича

Мультистохастическая задача Монжа-Канторовича представляет собой естественное обобщение классической задачи Канторовича, в котором меры имеют фиксированные проекции на подмножества индексов.

Мы рассматриваем (п,&)-стохастические меры, то есть вероятностные меры на произведении пространств

X = Х1 х Х2 х ... х Хп

с фиксированными проекциями ^^ Е ) для каждого Х^ = х ... х Х^к,

где I = {г-\_,... ,%к} — ^-набор индексов, к < п. Мультистохастическая задача Монжа-Канторовича заключается в минимизации (или максимизации) функционала

/ с(х1,... , хп) ¿ж, Зх

на множестве вероятностных мер ж, которые удовлетворяют условиям согласованности проекций:

Рг/ж = для всех I.

(3, 2)-задача Монжа—Канторовича

Одним из центральных примеров является (3, 2)-задача Монжа-Канторовича. Пусть X = [0,1]3, а , , — двумерные меры Лебега на координатных плоскостях, ограниченные на квадрат [0,1]2. Требуется минимизировать (или максимизировать) функционал

/ с(х,у,г) ¿ж,

J[0,1]3

на множестве вероятностных мер ж, удовлетворяющих условиям

Ргху ^ Ц>ху, Ргуг^ , Ргхг^ ^хг.

Для функции стоимости с(х,у,х) = хух мы в первой главе показываем, что существует решение, сосредоточенное на множестве

5 = {(х,у,х): х 0 у 0 г = 0},

где 0 обозначает побитовое сложение. Это множество, известное как тетраэдр Сер-пинского, обладает фрактальной структурой. Решение (3, 2)-задачи с функцией стоимости хух может рассматриваться как естественное обобщение классической задачи Канторовича с квадратичной функцией стоимости. В этом случае свойства фрактала задают структуру оптимального транспортного плана.

Теория мультистохастической задачи

Вторая глава посвящена теоретическому изучению мультистохастической задачи Монжа - Канторовича в общем случае.

Исследование мультистохастической задачи связано с решением ряда фундаментальных вопросов: существование прямого и двойственного решений, их единственность, а также аналитические свойства таких решений. Данная глава развивает эти аспекты и предлагает следующие ключевые результаты.

Существование решений

Одной из центральных задач является установление корректности постановки муль-тистохастической задачи. Мы показываем, что для любого набора согласованных проекций существует знаковая прямая мера ж Е П(^/) с заданными проекциями. Кроме того, мы находим достаточные условия для существования объединяющей меры с заданными проекциями в терминах ограничения на плотность. Также мы доказываем, что при наличии хотя бы одной объединяющей меры, решение прямой задачи сузествует для широкого класса функций стоимости.

Двойственная задача и её свойства

Для мультистохастической задачи определена двойственная формулировка:

U d^c

sup

f-С a7lnkJХ'

где f (х) = Y,a^i„k fa(xa), а функции fa определены на подпространствах Х„.

Мы доказываем, что двойственная задача всегда имеет решение и её значение совпадает со значением прямой задачи, что подтверждает выполнение сильной двойственности. Это обобщение классической теоремы Канторовича позволяет анализировать свойства оптимальных транспортных планов в более общем контексте.

Связь с задачей Монжа—Канторовича с линейными ограничениями

Особый интерес представляет связь мультистохастической задачи с транспортной задачей, содержащей линейные ограничения. В этой постановке меры -к должны удовлетворять дополнительным условиям в виде линейных ограничений:

1(к) = 0,

где I — линейный функционал на пространстве мер. Мы показываем, что мультисто-хастическая задача может быть сведена к задаче Монжа-Канторовича с линейными ограничениями, что позволяет применять методы её решения, включая общие результаты о существовании и свойствах оптимальных решений, такие как теорема Заева.

Мультимаргинальная задача с функцией стоимости

хуг

В третьей главе мы сосредотачиваемся на анализе мультимаргинальной задачи Мон-жа-Канторовича с функцией стоимости хуг. Эта задача является простейшим обоб-

щением классической постановки для одномерных маргиналов на случай трёх переменных, позволяя исследовать сложные взаимодействия между маргиналами и приводя к интересным нетривиальным структурам решений.

Общая постановка мультимаргинальной задачи

Мультимаргинальная задача Монжа-Канторовича является естественным обобщением классической транспортной задачи на случай нескольких маргиналов. Пусть даны N польских пространств Х1, Х2,... , Х^, снабжённых вероятностными мерами ^1, ^2,..., , и функция стоимости с : Х1 х Х2 х • • • х Х^ ^ К. Необходимо минимизировать

по множеству П(^1,^2,... ) вероятностных мер 7 на Х1 х Х2 х • • • х Х^, маргиналы которых равны ^. Подробнее о задачах оптимального транспорта для двух маргиналов см. [96, 15], а также [85].

Мультимаргинальная задача возникает во многих приложениях, включая теорию функционала плотности в квантовой механике, экономику, задачи планирования в логистике и математическую физику. Например, в задаче минимизации энергии взаимодействия частиц функция стоимости может описывать кулоновское или гармоническое взаимодействие между элементами системы.

Примеры функций стоимости

Разнообразие функций стоимости в мультимаргинальной задаче делает её мощным инструментом для моделирования широкого класса явлений. Приведём несколько типичных примеров:

• Кулоновская функция стоимости. В задачах, связанных с теорией функционала плотности, часто используется функция с(х,у) = |, описывающая электростатическое взаимодействие между частицами. Такая функция стоимости применяется для моделирования систем частиц в физике [28].

• Гармоническая функция стоимости. Функция с^Х]^,... ,Хм) = — ^^ \хг —

х^\2 описывает репульсивное гармоническое взаимодействие [31].

• Барицентрическая функция стоимости. Функция — ^ = х^х^ связана с барицентрической транспортной задачей (см. [18, 1]).

Постановка задачи

В данной главе мы сосредоточились на частном случае мультимаргинальной задачи для N = 3 с функцией стоимости с(х,у,х) = хух. Пусть даны три польских пространства Х1, Х2, Х3, снабжённых вероятностными мерами Прямая задача формулируется следующим образом: необходимо минимизировать

с(х1,х2,... ,хн) 7(^х1, ¿х2,..., ¿х^)

где инфимум берётся по множеству П(ц1, ц2, ^з) вероятностных мер на Х1 х Х2 х Х3, маргиналы которых равны Мы называем меры на [0,1]3 с одномерными проекциями, являющимися мерами Лебега, (3,1)-стохастическими мерами.

Мотивация

Задача с функцией стоимости хух представляет собой естественное обобщение функции —ху, используемой в классической теории Монжа-Канторовича. Для функции —хух структура решений тривиальна: оптимальный транспортный план сосредоточен на главной диагонали [0,1]3, что связано с «неравенством о перестановках» или «неравенством Харди-Литтлвуда». В случае функции хух структура решений значительно сложнее и требует более глубокого анализа.

Двойственная задача

Связь между прямой и двойственной задачами играет ключевую роль в анализе.

Двойственная задача заключается в максимизации

3 [

г=1 ^

где супремум берётся по всем наборам функций {/¿}3=1, удовлетворяющих условию

3

^ ¡'г(хг) < хуг, У(х, у, г) Е X! х Х2 х Х3.

г=1

Основные результаты

Главная цель третьей главы — построить явные решения для прямой и двойственной задач с функцией стоимости хух. Мы доказываем следующие результаты:

• Прямые решения. Оптимальный транспортный план для функции стоимости хух сосредоточен на нетривиальном множестве, включающем части размерности 1 и 2. Это радикально отличает его от случая —хух, где решения концентрируются исключительно на главной диагонали [0,1]3.

Более того, мы показываем, что построенное решение остаётся оптимальным для мультимаргинальной задачи с теми же ограничениями при любой функции стоимости вида С(хух), если 1С'(1) строго возрастает на интервале [0,1].

• Двойственные решения. Приведено явное решение двойственной задачи.

Применение мультимаргинальной задачи к экономике

В четвёртой главе мы используем инструменты и результаты, разработанные в третьей главе, для анализа экономической задачи распределения разнотипных работников в команды внутри неоднородных фирм. Мы показываем, что мультимаргиналь-ная задача с функцией стоимости ху г предоставляет естественную математическую

модель для описания производственных процессов с субмодулярной технологией, где навыки работников и продуктивность фирмы взаимодействуют сложным образом.

Постановка экономической задачи

Экономическая задача заключается в том, чтобы охарактеризовать оптимальное распределение разнотипных работников и фирм, учитывающее взаимодействия между навыками работников и ценностью проектов, реализуемых фирмами. Пусть п — количество работников в команде, а г — продуктивность фирмы. Производственная функция задаётся как

где Хг описывает вероятность того, что работник г не знает, как решить производственную задачу. Эта функция субмодулярна по х1,... ,хп,г, что приводит к нетривиальным паттернам распределения работников и фирм.

Связь с мультимаргинальной задачей

Мы интерпретируем задачу распределения как мультимаргинальную задачу Мон-жа-Канторовича с функцией стоимости

г=1

Данная функция стоимости описывает общие потери в производительности, возникающие из-за взаимодействий навыков работников и продуктивности фирмы.

Основные результаты

Мы доказываем, что мультимаргинальная задача с функцией стоимости с(х1,..., хп, г) = гП^=1 Хг позволяет охарактеризовать оптимальное распределение работников и фирм в двух ключевых областях:

• Смешанное распределение. В смешанных областях проекты с одинаковой ценностью г нанимают работников таким образом, что потери в производитель-

Пп

=1 Хг выравнены для всех команд.

• Контрмонотонное распределение. В контрмонотонных областях фирмы с высокой продуктивностью г нанимают высококвалифицированных работников (низкие Хг), в то время как низкопродуктивные фирмы нанимают работников с высокими значениями х^.

Двойственная задача

Для анализа заработков работников и ценности фирм мы используем двойственную формулировку задачи. Мы показываем, что оптимальные заработки работников 'ш(хг) связаны с их маргинальным произведением:

С(^С1,..., , ^) ^ \ I ^^^.

-ш'(Хг) = — г ^ Xj.

3=г

Количественная иллюстрация

Используя административные данные о заработках в США, мы применяем модель для оценки дисперсии заработков внутри и между фирмами. Модель объясняет наблюдаемые изменения в распределении заработков за период 1981-2013 годов. Контрфактический анализ показывает, что изменения в распределении проектов фирм и навыков работников являются ключевыми факторами, влияющими на динамику заработков.

Положения, выносимые на защиту

1. Фрактальная структура решений (3, 2)-задачи. В главе 1, для (3, 2)-задачи Монжа-Канторовича с функцией стоимости хуz, в случае равномерного распределения на квадрате (меры Лебега), найдено оптимальное решение, сосредоточенное на тетраэдре Серпинского — фрактальном множестве. Также найдено двойственное решение, выражающееся как интеграл от побитового сложения.

2. Теория мультистохастической задачи Монжа—Канторовича. Для муль-тистохастической задачи Монжа-Канторовича доказаны существование решений прямой и двойственной задач. Доказана сильная двойственность, и показана связь мультистохастической задачи с транспортной задачей с линейными ограничениями. Получены достаточные условия для существования объединяющей меры, и доказана ограниченность двойственного решения в (3, 2)-задаче.

3. Мультимаргинальная задача с функцией стоимости xyz. Найдены явные решения прямой и двойственной мультимаргинальной задачи с функцией стоимости х . Показано, что оптимальный транспортный план сосредоточен на множестве, включающем части размерности 1 и 2. Решение остается оптимальным для любой функции стоимости вида С (ху z), если tC'(t) строго возрастает на интервале [0,1].

4. Применение мультимаргинальной задачи к экономике. Модель мульти-маргинальной задачи с функцией стоимости х применена к анализу распределения разнотипных работников в команды внутри неоднородных фирм. Доказано, что оптимальное распределение характеризуется смешанными и контрмонотонными областями. Проведён контрфактический анализ дисперсии заработков в США.

Результаты диссертации были представлены на следующих конференциях, школах и семинарах:

• Optimal Transport and Applications, SNS, Pisa (ноябрь 2018)

• Bielefeld University (декабрь 2018)

• New frontiers in high-dimensional probability and statistics, HSE (февраль 2019)

• Workshop on optimal transport and applications, Universite de Toulouse (март 2019)

• Recent advances in mass transportation, HSE (октябрь 2019)

• Math of Machine Learning, Sirius University of Science and Technology (февраль 2020)

• New Frontiers in High-Dimensional Probability and Applications to Machine Learning, Sochi (май 2021)

• Speaker at the Microeconomic Theory Workshop, Yale University (август 2022)

• Speaker at the Fields Institute Colloquium on Applied Math, Toronto (апрель 2023)

• Speaker at the Seminar Series in Actuarial Science and Financial Mathematics, University of Waterloo (апрель 2023)

Основные результаты диссертации были опубликованы в четырех статьях [50, 52, 51, 13] в рецензируемых научных изданиях, входящих в международные библиографические базы:

• Gladkov, N. A., Kolesnikov, A. V., Zimin, A. P. On multistochastic Monge-Kantorovich problem, bitwise operations, and fractals. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 58(5), 2019. DOI: 10.1007/s00526-019-1610-4.

• Gladkov, N. A., Zimin, A. P. An Explicit Solution for a Multimarginal Mass Transportation Problem. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 52(4), 3666-3696, 2020.

• Gladkov, N. A., Kolesnikov, A. V., Zimin, A. P. The multistochastic Monge-Kantorovich problem. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 506(2), 125666, 2022. DOI: 10.1016/j.jmaa.2021.125666.

• Boerma, J., Tsyvinski, A., Zimin, A. P. Sorting with Teams. Journal of Political Economy, 133(2), 421-454, 2025. DOI: 10.1086/732891.

Вклад автора

Вклад диссертанта был определяющим в результатах, представленных в Главах 1, 2 и 3 диссертации, которые отражают его персональный вклад в опубликованные работы.

В Главе 1 решение прямой задачи было найдено совместно с соавторами Гладковым Н.А. и Колесниковым А.В. В Главе 2 результат о сильной двойственности был получен совместно с другими соавторами, а идея достаточных условий существования объединяющей меры была предложена Гладковым Н.А.

Результаты Главы 4 являются итогом совместной работы с профессором Йель-ского университета Цывинским О.А. и доцентом Университета Висконсин-Мэдисон Джобом Боэрма.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 148 страницы, включая 137 страницы текста, 3 таблицы и 20 рисунков. Список литературы занимает 7 страниц и включает в себя 104 наименования.

Глава 1

Мультистохастическая задача Монжа-Канторовича: связь с побитовыми операциями и фракталами

1.1 Введение

В данной главе мы рассматриваем естественную модификацию задачи Монжа-Канторовича, которую мы называем «мультистохастической задачей Монжа-Канторовича». Насколько нам известно, эта задача ранее не изучалась.

Предположим, что заданы две вероятностные меры и на измеримых пространствах Х,У и функция с: X хУ ^ К. Напомним, что классическая задача Канторовича (или транспортная задача) заключается в минимизации функционала

/ c(x,у) ¿к, (1.1)

Зх хУ

на множестве П(/,и) вероятностных мер на X х У с фиксированными маргиналами / V.

Важным инструментом для решения этой задачи, пришедшим из теории линейного программирования, является так называемая двойственная транспортная задача: необходимо максимизировать

У/Ф + У 9&

на множестве пар (интегрируемых) функций (/,д), удовлетворяющих условию /(х) +

д(у) < c(x,у).

Наиболее классическая функция стоимости является расстоянием между точками, но квадратичная функция стоимости с(х,у) = |х — у|2 приобрела огромную популярность благодаря многочисленным приложениям. Для квадратичной функции стоимости любое стандартное решение к сосредоточено на графике отображения Т. В этом случае Т является решением соответствующей задачи Монжа, которая требует нахождения отображения, минимизирующего функционал / с(х,Т(х)) в классе отображений, сохраняющих меру (т. е. переносящих / в и).

С момента своего возрождения в конце 1980-х годов теория Монжа-Канторовича привлекает всё большее внимание. Читатель может найти подробную информацию о

классической теории оптимального транспорта в многочисленных современных учебниках и обзорных статьях [15], [39], [54], [88], [97], [96].

Наше исследование мотивировано рядом недавних результатов, появившихся в нескольких быстро развивающихся направлениях теории оптимального транспорта. Ниже приводится краткий обзор наиболее важных проблем и идей.

1) Мультимаргинальная задача оптимального транспорта.

Книга Рачева и Рюшендорфа [88] содержит богатый материал по мульти-маргинальной задаче оптимального транспорта, включая ряд функционально-аналитических результатов по двойственности, вероятностным приложениям и т. д. Однако до недавнего времени случай двух маргиналов был наиболее значимым для большинства приложений. Книги Вилани [97], [96] посвящены наиболее важному, но специфическому случаю двух маргиналов.

Возрождение интереса к мультимаргинальной задаче Монжа-Канторовича частично связано с экономическими приложениями (теория соответствия, многомерный скрининг), см. [54], [39]. Обзорная статья [85] предоставляет подробности. Многие ссылки на недавние работы по теории двойственности для мультимаргинальных задач с широким классом функций стоимости можно найти в [15].

2) Бистохастические и мультистохастические меры.

Согласно классической теореме Биркгофа-фон Неймана каждая бистохастиче-ская матрица является выпуклой комбинацией перестановочных матриц. Более того, перестановочные матрицы являются точными экстремальными точками множества бистохастических матриц. Классическая задача Биркгофа предполагает обобщение этого результата для множества бистохастических (дважды стохастических) мер П(ц,и). Эта задача исследовалась многими авторами (см. [94], [10], [57], [4]), особенно отметим основополагающую работу [57], содержащую характеристику носителей таких мер. Используя эту характеристику, Ахмад, Ким и МакКанн получили в [4] интересные результаты о единственности решения задачи оптимального транспорта. Экспозицию связей между бистохастическими мерами, марковскими операторами и марковскими цепями можно найти в [95].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зимин Александр Павлович, 2025 год

Список литературы

[1] M. Agueh and G. Carlier. Barycenters in the Wasserstein space. SIAM J. Math. Anal., 43(2):904-924, 2011.

[2] Christian Ahlin. The role of group size in group lending. Journal of Development Economics, 115:140-155, 2015.

[3] Christian Ahlin. Matching patterns when group size exceeds two. American Economic Journal: Microeconomics, 9(1):352-84, 2017.

[4] N. Ahmad, H.-K. Kim, and R.J. McCann. Extremal doubly stochastic measures and optimal transportation. Bull. Math. Sci., 1(1):13-32, 2011.

[5] Luigi Ambrosio, Nicola Gigli, and Giuseppe Savare. Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Birkhauser Basel, 2 edition, 2008.

[6] Julio Backhoff-Veraguas and Gudmund Pammer. Applications of weak transport theory. Bernoulli, 28(1):370-394, 2022.

[7] Gary S. Becker. A theory of marriage: Part i. Journal of Political Economy, 81(4):813-846, 1973.

[8] M. Beiglbock, P. Henry-Labordere, and F. Penkner. Model independent bounds for option prices-a mass transport approach. Finance Stoch., 17(3):477-501, 2013.

[9] Mathias Beiglbock and Nicolas Juillet. On a problem of optimal transport under marginal martingale constraints. Ann. Probab., 44(1):42-106, January 2016.

[10] V. Benes and J. Stepan. The Support of Extremal Probability Measures with Given Marginals, pages 33-41. Springer Netherlands, Dordrecht, 1987.

[11] Carole Bernard, Xiao Jiang, and Ruodu Wang. Risk aggregation with dependence uncertainty. Insurance: Mathematics and Economics, 54:93-108, 2014.

[12] Job Boerma, Aleh Tsyvinski, Ruodu Wang, and Zhenyuan Zhang. Composite sorting. Working Paper 31656, National Bureau of Economic Research, September 2023.

[13] Job Boerma, Aleh Tsyvinski, and Alexander P. Zimin. Sorting with teams. Journal of Political Economy, 133(2):421-454, 2025.

[14] Vladimir I. Bogachev. Measure Theory. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007.

[15] Vladimir I. Bogachev and Alexander V. Kolesnikov. The Monge-Kantorovich problem: achievements, connections, and perspectives. Russian Math. Surveys, 67(5):785-890, October 2012.

[16] Vladimir I. Bogachev, Svetlana N. Popova, and Ayrat V. Rezbayev. On nonlinear kantorovich problems with density constraints. Moscow Mathematical Journal, 23(3):285-307, 2023.

[17] Yann Brenier. Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions. Communications on pure and applied mathematics, 44(4):375-417, 1991.

[18] G. Carlier. On a class of multidimensional optimal transportation problems. J. Convex Anal., 10(2):517-529, 2003.

[19] G. Carlier and B. Nazareth. Optimal transportation for the determinant. ESAIM Control Optim. Calc. Var, 14(4):678-698, 2008.

[20] Guillaume Carlier and Ivar Ekeland. Matching for teams. Economic Theory, 42(2):397-418, 2010.

[21] Hector Chade and Jan Eeckhout. Matching information. Theoretical Economics, 13(1):377-414, 2018.

[22] Hector Chade, Jan Eeckhout, and Lones Smith. Sorting through search and matching models in economics. Journal of Economic Literature, 55(2):493-544, 2017.

[23] Pierre-Andre Chiappori, Robert J. McCann, and Brendan Pass. Multi-to one-dimensional optimal transport. Communications on Pure and Applied Mathematics, 70(12):2405-2444, 2017.

[24] Pierre-Andre Chiappori and Bernard Salanie. The econometrics of matching models. Journal of Economic Literature, 54(3):832-61, 2016.

[25] Pierre-Andre Chiappori, Bernard Salanie, and Yoram Weiss. Partner choice, investment in children, and the marital college premium. American Economic Review, 107(8):2109-67, 2017.

[26] M. Colombo, L. De Pascale, and S. Di Marino. Multimarginal optimal transport maps for 1-dimensional repulsive costs. Canad. J. Math., 67(2):350-368, 2015.

[27] Codina Cotar, Gero Friesecke, and Claudia Kluppelberg. Density functional theory and optimal transportation with Coulomb cost. Comm. Pure Appl. Math., 66(4):548-599, 2013.

[28] Codina Cotar, Gero Friesecke, and Brendan Pass. Infinite-body optimal transport with Coulomb cost. Calc. Var. Partial Differential Equations, 54(1):717-742, 2015.

[29] L.-B. Cui, W. Li, and M.K. Ng. Birkhoff-von neumann theorem for multistochastic tensors. SIAM J. Matrix Anal. Appl., 35(3):956-973, 2014.

[30] Marco Cuturi and Gabriele Peyre. Computational Optimal Transport: With Applications to Data Science. Now Foundations and Trends, 2019.

[31] Simone Di Marino, A. Gerolin, and L. Nenna. Optimal transportation theory with repulsive costs. In Topological Optimization and Optimal Transport: In the Applied Sciences, pages 204-256. Berlin; Boston: De Gruyter, 2017.

[32] Anna N. Doledenok. On a Kantorovich problem with a density constraint. Math. Notes, 104(1):45-55, 2018.

[33] Arnaud Dupuy and Alfred Galichon. Personality traits and the marriage market. Journal of Political Economy, 122(6):1271-1319, 2014.

[34] Jan Eeckhout. Sorting in the labor market. Annual Review of Economics, 10:1-29, 2018.

[35] Jan Eeckhout and Philipp Kircher. Assortative matching with large firms. Econometrica, 86(1):85-132, 2018.

[36] Paul Embrechts, Giovanni Puccetti, Ludger Rüschendorf, Ruodu Wang, and Antonela Beleraj. An academic response to basel 3.5. Risks, 2(1):25-48, 2014.

[37] Aviezri S. Fraenkel and Alex Kontorovich. The Sierpinski sieve of Nim-varieties and binomial coefficients, pages 209-228. De Gruyter, Berlin, Boston, 2007.

[38] Norbert Gaffke and Ludger Ruschendorf. On a class of extremal problems in statistics. Mathematische Operationsforschung und Statistik: Series Optimization, 12(1):123-135, 1981.

[39] Alfred Galichon. Optimal Transport Methods in Economics. Princeton University Press, 2016.

[40] Alfred Galichon and Bernard Salanie. Cupid's invisible hand: Social surplus and identification in matching models. The Review of Economic Studies, 89(5):2600-2629, 12 2021.

[41] A. Galishon, M. Henry-Labordere, and N. Touzi. A stochastic control approach to no-arbitrage bounds given marginals, with an application to lookback options. Ann. Appl. Probab, 24(1):312-336, 2014.

[42] Wilfrid Gangbo and Andrzej Swiech. Optimal maps for the multidimensional monge-kantorovich problem. Communications on Pure and Applied Mathematics, 51(1):23-45, 1998.

[43] Luis Garicano. Hierarchies and the organization of knowledge in production. Journal of Political Economy, 108(5):874-904, 2000.

[44] Luis Garicano and Esteban Rossi-Hansberg. Inequality and the organization of knowledge. American Economic Review Papers & Proceedings, 94(2):197-202, 2004.

[45] Luis Garicano and Esteban Rossi-Hansberg. Organization and inequality in a knowledge economy. Quarterly Journal of Economics, 121(4):1383-1435, 2006.

[46] Luis Garicano and Esteban Rossi-Hansberg. Knowledge-based hierarchies: Using organizations to understand the economy. Annual Review of Economics, 7(1):1-30, 2015.

[47] Angel Gavilan. Wage inequality, segregation by skill and the price of capital in an assignment model. European Economic Review, 56(1):116-137, 2012.

[48] Nassif Ghoussoub and Abbas Moameni. Symmetric monge-kantorovich problems and polar decompositions of vector fields. Geom. Funct. Anal., 24(4):1129-1166, June 2014.

[49] K. Gibbons. The geometry of nim. https://arxiv.org/pdf/1109.6712.pdf.

[50] Nikita A. Gladkov, Alexander V. Kolesnikov, and Alexander P. Zimin. On multistochastic Monge-Kantorovich problem, bitwise operations, and fractals. Calc. Var. Partial Differential Equations, 58(5), September 2019.

[51] Nikita A. Gladkov, Alexander V. Kolesnikov, and Alexander P. Zimin. The multistochastic monge-kantorovich problem. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 506(2):125666, 2022.

[52] Nikita A. Gladkov and Alexander P. Zimin. An explicit solution for a multimarginal mass transportation problem. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 52(4):3666-3696, 2020.

[53] Claus Griessler. С -cyclical monotonicity as a sufficient criterion for optimality in the multimarginal Monge-Kantorovich problem. Proc. Amer. Math. Soc., 146(11):4735-4740, 2016.

[54] Nestor Guillen and Robert McCann. Five lectures on optimal transportation: Geometry, regularity and applications. In Analysis and Geometry of Metric Measure Spaces: Lecture Notes of the 50th Séminaire de Mathématiques Supérieures (SMS), Montréal, 2011, chapter 6, pages 145-180. CRM Proceedings & Lecture Notes, 2013.

[55] Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, and George Polya. Some simple inequalities satisfied by convex functions. Messenger of Mathematics, 58:145-152, 1929.

[56] Pierre Henry-Labordere. Model-free Hedging: A Martingale Optimal Transport Viewpoint. Chapman and Hall/CRC, New-York, 1 edition, 2017.

[57] K. Hestir and S.C. Williams. Supports of doubly stochastic measures. Bernoulli, 1:217-243, 1995.

[58] Leonid V. Kantorovich. On the translocation of masses. In Dokl. Akad. Nauk. USSR, volume 37, pages 227-229, 1942.

[59] Jovan Karamata. Sur une inegalite relative aux fonctions convexes. Publications Mathématiques de l'Université de Belgrade, 1(1):145-147, 1932.

[60] Hans G. Kellerer. Duality theorems for marginal problems. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, 67(4):399-432, 1984.

[61] Alexander S. Kelso and Vincent P. Crawford. Job matching, coalition formation, and gross substitutes. Econometrica, 50(6):1483-1504, 1982.

[62] N. Killoran. Supports of extremal doubly and triply stochastic measures - master's project, 2007. http://www.math.toronto.edu/mccann/papers/Killoran.pdf.

[63] Young-Heon Kim and Brendan Pass. A general condition for monge solutions in the multi-marginal optimal transport problem. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 46(2):1538-1550, 2014.

[64] Martin Knott and Cyril Smith. Choosing joint distributions so that the variance of the sum is small. Journal of Multivariate Analysis, 97(8):1757-1765, 2006.

[65] Alexander V. Kolesnikov and Nikolay Lysenko. Remarks on mass transportation minimizing expectation of a minimum of affine functions. Theory Stoch. Process., 21(2):22-28, 2016.

[66] Alexander V. Kolesnikov and Danila A. Zaev. Optimal transportation of processes with infinite kantorovich distance: Independence and symmetry. Kyoto J. Math., 57(2):293-324, June 2017.

[67] A.V. Kolesnikov and D. Zaev. Exchangeable optimal transportation and log-concavity. Theory of Stochastic Processes, 20(2):54-62, 2015.

[68] Jonathan Korman and Robert J. McCann. Insights into capacity-constrained optimal transport. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 110(25):10064-10067, June 2013.

[69] Jonathan Korman and Robert J. McCann. Optimal transportation with capacity constraints. Trans. Amer. Math. Soc., 367(3):1501-1521, November 2015.

[70] Michael Kremer and Eric Maskin. Wage inequality and segregation by skill. Working Paper 5718, National Bureau of Economic Research, August 1996.

[71] V.L. Levin. The problem of mass transfer in a topological space and probability measures with given marginal measures on the product of two spaces. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 276(5):1059-1064, 1984.

[72] Ilse Lindenlaub. Sorting multidimensional types: Theory and application. Review of Economic Studies, 84(2):718-789, 2017.

[73] Ilse Lindenlaub and Fabien Postel-Vinay. Multidimensional sorting under random search. Journal of Political Economy, 131(12):3497-3539, 2023.

[74] N. Linial and Z. Luria. On the vertices of the d-dimensional birkhoff polytope. Discrete Comput. Geom., 51(1):161-170, 2014.

[75] P. Maga. Full dimensional sets without given patterns. Real Anal. Exchange, 36(1):79-90, 2011.

[76] B. Mandelbrot. The fractal geometry of nature. W. H. Freeman and Company, 1982.

[77] Andras Mathe. Sets of large dimension not containing polynomial configurations. Adv. Math., 316:691-709, 2017.

[78] R.J. McCann and J. Korman. Optimal transportation with capacity constraints. Trans. Amer. Math. Soc., 367:1501-1521, 2015.

[79] R.J. McCann, J. Korman, and C. Seis. An elementary approach to linear programming duality with application to capacity constrained transport. J. Convex Anal., 22:797-808, 2015.

[80] Robert J McCann, Xianwen Shi, Aloysius Siow, and Ronald Wolthoff. Becker meets ricardo: Multisector matching with communication and cognitive skills. Journal of Law, Economics, and Organization, 31(4):690-720, 2015.

[81] A. Moameni. Invariance properties of the monge-kantorovich mass transport problem. Discrete Continuous Dynamical Systems - A, 36(5):2653-2671, 2016.

[82] Gaspard Monge. Memoire sur la theorie des deblais et des remblais. Histoire de l'Academie Royale des Sciences de Paris, pages 666-704, 1781.

[83] Sergio Ocampo Diaz. A task-based theory of occupations with multidimensional heterogeneity. Western University Working Paper, CHCP Working Paper, 2022.

[84] Brendan Pass. Uniqueness and monge solutions in the multimarginal optimal transportation problem. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 43(6):2758-2775, 2011.

[85] Brendan Pass. Multi-marginal optimal transport: Theory and applications. ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 49(6):1771-1790, November 2015.

[86] Josip E. Pecaric. On some inequalities for functions with nondecreasing increments. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 98(1):188-197, 1984.

[87] Giovanni Puccetti and Ruodu Wang. Extremal dependence concepts. Statistical Science, 30(4):485-517, 2015.

[88] Svetlozar T. Rachev and Ludger Ruschendorf. Mass Transportation Problems. Probab. Appl. Springer, New York, NY, 1998.

[89] Ludger Rüschendorf and Ludger Uckelmann. Variance Minimization and Random Variables with Constant Sum, pages 211-222. Springer Netherlands, Dordrecht, 2002.

[90] Gilles Saint-Paul. On the distribution of income and worker assignment under intrafirm spillovers, with an application to ideas and networks. Journal of Political Economy, 109(1):1-37, 2001.

[91] Filippo Santambrogio. Optimal Transport for Applied Mathematicians: Calculus of Variations, PDEs, and Modeling (Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications). Birkhauser, 2015.

[92] Michael Sattinger. Assignment models of the distribution of earnings. Journal of Economic Literature, 31(2):831-880, 1993.

[93] Jae Song, David J. Price, Fatih Guvenen, Nicholas Bloom, and Till Von Wachter. Firming up inequality. Quarterly Journal of Economics, 134(1):1-50, 2019.

[94] V.N. Sudakov. Geometric problems in the theory of infinite dimensional probability distributions (in russian). Trudy Mat. Inst. Steklov, 141, 1976.

[95] A.M. Vershik. What does a typical markov operator look like? Algebra i Analiz, 17(5):91-104, 2005. St. Petersburg Math. J., 17:5 (2006), 763-772.

[96] C. Villani. Optimal transport: old and new, volume 338. Springer Science & Business Media, 2008.

[97] Cedric Villani. Topics in Optimal Transportation Theory, volume 58 of Grad. Stud. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI., 2003.

[98] Bin Wang and Ruodu Wang. The complete mixability and convex minimization problems with monotone marginal densities. Journal of Multivariate Analysis, 102(10):1344-1360, 2011.

[99] Bin Wang and Ruodu Wang. Joint mixability. Mathematics of Operations Research, 41(3):808-826, 2016.

[100] Ruodu Wang and Zhenyuan Zhang. Simultaneous optimal transport. arXiv preprint arXiv:2201.034 83, 2022.

[101] Danila A. Zaev. On the Monge-Kantorovich problem with additional linear constraints. Math. Notes, 98(5-6):725-741, 2015.

[102] Богачев В.И. и Резбаев А.В. Существование решений нелинейной задачи Канторовича оптимальной транспортировки. Математические заметки, 112(3):360-370, 2022.

[103] Богачев В.И. Задача Канторовича оптимальной транспортировки мер: новые направления исследований. Успехи математических наук, 77(5 (467):3-52, 2022.

[104] Богачев В.И., Колесников А.В. и Шапошников С.В. Задачи Монжа и Канторовича оптимальной транспортировки. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» ИКИ, 2023.